ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

D = V(X2 — Х1 )2 + (Y2 Y1 )2 — расстояние между точками M1 (X1; Y1) и M2 (X2; Y2) ■

χ = X∣∣ + λχ2, Y = Yι + λλH — координаты точки, делящей отрезок с концами M1 (1; Y1) и M2 (X2; Y2) в

Отношении λ = IM1M ∣: ∣ MM21.

Ax + By + C = 0 — общее уравнение прямой (A, B, C любые вещественные числа, A2 + B2 ≠ 0) ■

Y = Kx + B — уравнение прямой с угловым коэффициентом К (Ь — величина отрезка, отсекаемого прямой по оси Oy ).

Y Y1 = К (X X1) — уравнение прямой с угловым коэффициентом К, проходящей через точку M1 (X1; Y1) ■

_У—= 2χ—£_ — уравнение прямой, проходящей через точки M1 (X1; Y1) и M2 (X2; Y2).

Y2 — Y1 X2 — X1

χ + Y = 1 — уравнение прямой в отрезках ( A, B величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox

Ab

И Oy ).

ax0 + bx0 + c
□ d = j , —l — расстояние от точки m0 (x0 ; y0) до прямой ax + by + c = 0 ■
,22,□ tg φ =,+ b
к2 - к1
,2 1 — формула вычисления одного из углов между прямыми y = k1x + b1
1 + к1 к2
,к1 x + b1 и y = к2 x + b2 ■

X2 Y2

+ Y2 = 1 — каноническое уравнение эллипса (A, B полуоси).

22
x2 - y2 а2 b2 '
y 2 = 2px ,
1 — каноническое уравнение гиперболы.
y 2 = -2px — каноническое уравнение параболы с осью симметрии ox ( p > 0 — параметр).
,аналитическая геометрия в пространстве
x = χ2 - χ1, y = y2 - y1, z = z2 - z1 — выражение координат вектора ab через координаты точек a (x1; y1; z1) и,b (x2 ; y2 ; z2 ).
□ i a i = ]x2 + y2 + z2 — выражение длины вектора a = {x ; y; z} через его координаты.
□ d = 1∕(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1) расстояние между точками m1 (x1; y1; z1) и m2 (x2; y2; z2 ).
□ а ∙ b = ∣α ∣∙ ∣b∣ ∙ cos φ — определение скалярного произведения векторов а и b (φ — угол между векторами).
□ а ∙ b = x1x2 + y1y2 + z1z2 — выражение скалярного произведения векторов а = {x1; y1; z1} и b = {x2; y2; z2} через их координаты.
x1x2 +y1y2 + z1z2,√x? + y12 + z12 √x22 + y22 + z22
□ cos φ = выражение угла между векторами.
□ ax + by + cz + d = 0 — общее уравнение плоскости (a, в, с — любые вещественные числа,
a2 +b2 +c2 ≠ 0).
ax0 + byo + czo + d,a2 + b2 + c2
— расстояние от точки m0 (x0 ; y0 ; z0) до плоскости ax+ by +cz+d = 0.
d=

а = x; m; n},XX0 YY0 ZZ0

□ —— = ——— =———- 0- — каноническое уравнение прямой с направляющим вектором

L m n

Проходящей через точку M0 (X0 ; Y0 ; Z0 ).

X = X0 + It, Y = Y0 + Mt, Z = Z0 + Nt — параметрические уравнения прямой.

X2 + YT + = 1 — каноническое уравнение эллипсоида ( А, B, C — полуоси).

X2 + Yτ = 1 — каноническое уравнение однополосного гиперболоида.

А2 B2 C2

X2 + Yτ — = -1 — каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.

А2 B2 C2

22

XP + YQ = Z — каноническое уравнение эллиптического параболоида (P>0, Q>0 — параметры).

22

XYQ = Z — каноническое уравнение гиперболического параболоида.

X2 Y2 Z2

-2 + —2——— τ = 0 — каноническое уравнение конуса второго порядка

А2 B2 C2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

□
□
□
□
lim -in- = ι — первый замечательный предел.
x →0 x
iiml 1 + — i = е — второй замечательный предел.
f '(χ0) = lim f (x0 +Δx>- f (x0) — 0 ∆x →0 ∆x
определение производной функции y = f(x) в точке x0 .
dy = f'(χ0)dx — дифференциал функции f(x) в точке x0 .

□ Производные простейших элементарных функций:

♦ Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

1) (U ± V) = U± V; 2) (Uv) = UV + Uv; 3) (U‘"j = U V Uv , VО.

I4 V ) vV

♦ Производная постоянной функции

Y=F(X)=CY =0,

♦ Производная степенной функции

(cu )= cu .,(ax)=ax lna; (ex) =ex.

Производная показательной функции

1 . x lna
(loga x)

Производная логарифмической функции

□ Производные тригонометрических функций:

(sin x)= cos x .
(cos x)= - sin x .
(arcsin x ) (arccos x ) (arctg x)=
(arcctg x)
v;
1 .
1 + x2 ;
- 1 1 + x2
(tg x) = —12— = sec2 x ;
cos2 x
2
-cosec x .
(ctg
2
sin2 x

У(T0) = F ‘(χ0)∙φ'(T0) — правило дифференцирования сложной функции Y = F [φ(T)] в точке T0; здесь

X0 = φ(T0) .

□ φ'(Y0) = ‘ ( ) — правило дифференцирования обратной функции X = φ(Y) в точке Y0 = F (χ0).

F (X0)

f (b)- f (a) = f √c) — ,FψbFa = F( — формула Лагранжа; C (A, B).

F ( )N F (N+[1])(ξ)( )+1

— —’XA) +-,——— Vi’XA)

"’ , (n +1)! v 7

+ C (a 0); ∫-^d — = 1ln∣ —d∣ + C;

V 7, ∫ X2 -1 2 IX +1∣ ’

∫ 2dX 2 = -1 arctgX + C (a 0); ∫ 2dX = arctgX + C;

X2 + A2 A a x2 + 1

□ f m=f (a)+f-()(χ - a)+f2aa)(x - a)2,+ ... +,∫ sin x dx = - cos x + c ;,∫ dx2 = -ctgx +c;
sin 2 x
,dx x
∫ = arcsin + c ;
j y∣a2 - x2 a
,∫ dx 2 = arctg x + c ; 1 + x2,dx,1 x - a ln,x 2 - a 2 2a x + a ∫ cos x dx = sinx + c;,∫ dx2 = tg x + c;
cos 2 x
,dx
∫ = arcsin x + c;
j √1 - x2
,dx 1 x
∫ 2 2 = arctg + c ;
a2 + x2 a a
— формула тейлора; ξ ∈ (a, x)
n!
x2 + 1
□ при a = 0 получаем формулу маклорена
f (x)=f (0)+ж+ш χ2+...+f⅛i x-w+£!й
,1г ■ 2! n! ■’ ■ (n +1)!^
□ неопределенный и определенный интегралы
,(n+1),∫ . x - = ln ∣ x + vx2 ± k i + c; ∫
√x2 ± k
,dx
y∣x2 ± 1
,■ = in x + vx2 ±1 i + c.,♦ ∫ f (x)d xx=φ() = ∫ f [φ()]φ'()d< — формула замены переменной в неопределенном интеграле.
♦ табличные интегралы:
xα+1
∫ xαdx = χ + c (α ≠ -1);
∫ α+1 7 7
∫dχχ = ιn χ∣ + c;
x
∫ axdx = -a- + c (0 < a ≠ 1); ∫exdx = ex + c;

F (B) F (A) = -f-(C)∙ — формула Коши; C (A, B). G (B)G (A) G’(C)

F (X)dX = ∫ F [φ(T)]φ'(T)dT — формула замены переменной в определенном интеграле; φ (α) = A, φ (β) = B.

A

U(X)V‘(X)dX = U(X)V(X)- ∫ V(X)U‘(X)dX — формула интегрирования по частям в неопределенном

Интеграле.

B B B

U dV = UVa — ∫V DU — формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Aa

Ь

□ ∫ F (X)dX = F (C)(B A) формула среднего значения; C [A, B] .

A

□ ∫ F (X)dX = F(B)F(A)= F(X)BA — формула Ньютона-Лейбница.

A

B

N S = ∫ F(X)dX — площадь криволинейной трапеции

A

0 ≤ YF(X), AXB.

β

S = ∫ψ(T)φ'(T)dT — площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически:

α

X = φ (T ), Y = ψ (T), α ≤ T ≤ β .

1β

S = — ∫Р2 (φ)dφ — площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных

2 A

Координатах: Р = P(φ), A ≤ φ ≤ В

B.

L = ∫√ 1 + (F ‘(X))2 dX — длина дуги кривой, заданной уравнением Y = F (X), AXB

A

L= ∫⅛ ‘(T) + (ψ'(T))2 dT — длина дуги кривой, заданной параметрически: X = φ(T), У = ψ (T), ATβ .

A

L = β∕(ρ(φ))2 + (ρ'(φ))2 dφ — длина дуги кривой, заданной в полярных координатах: Р = P(φ), A≤ φ ≤ В

A

B

V = ∏∫ F2 (X)dX — объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции 0 ≤ УF (X), AXB.

A

B

P = 2∏∫ F (X) 1 + (F ‘(X))2dX — площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции

A

0 ≤ УF(X), AXB. I.

1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

□ Средняя и мгновенная скорости материальной точки

RS

V = —, V = —;

TT

RS

V =———— , V =——- ,

r — радиус-вектор точки; ∆sTT

Где ∆R — элементарное перемещение точки за промежуток времени ∆T; — путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆T.

□ Среднее и мгновенное ускорения материальной точки □ Связь между линейными и угловыми величинами

a=,dv
dt
∆v , ∆t ,
a=

□ полное ускорение при криволинейном движении
a = aτ + an, a = jal + a2n ,
dv v 2
где aτ = — — тангенциальная составляющая ускорения; an = — ускорения ( r — радиус кривизны траектории в данной точке).
□ путь и скорость для равнопеременного движения
нормальная составляющая
at2
s = vt ± — ';
v= v0 ± at,
где v0 — начальная скорость.
□ угловая скорость

ω=,dφ
dt
□ угловое ускорение
ε=,dω
dt
,□ угловая скорость для равномерного вращательного движения
φ 2 π
ω = — = — = 2πn, t t
где t — период вращения; n — частота вращения (n = n /t , где,совершаемых телом за время t ). n — число оборотов,
□ угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения
φ = ω0t ±
где ω0 — начальная угловая скорость.

S = Rφ; v = Rω; aτ = Rε; an = ω2R ,

Где R — расстояние от оси вращения.

1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

□ Импульс (количество движения) материальной точки

□ Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

DV DP

F = MA = m= -ɪ .

DT dT

□ Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

dv
fτ = maτ = m ;
τ τ d t
mv
= mω2r .
fn = man =■

□ Сила трения скольжения

FMp = FN ,

Где F — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

□ Сила трения качения

FMp = F N / Г ,

Где F — коэффициент трения качения; R — радиус качающегося тела. □ Закон сохранения импульса для замкнутой системы

P = ∑MiVI = const I=1

Где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

□ координаты центра масс системы материальных точек:,xc,Σmixi
Σmi
,где mi — масса i-й материальной точки; xc, yc, zc,Σmiyi
ус — ; zc
Σmi
,Σmizi
Σmi
,ее координаты.

□ Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)

MA = F + FP,

Где реактивная сила FP = —U( И — скорость истечения газов из ракеты).

□ Формула Циолковского для определения скорости ракеты

M0

V = U Ln—0, M

Где M0 — начальная масса ракеты.

1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

□ Работа, совершаемая постоянной силой

DA = FsDS = FDS cos α ,

Где Fs — проекция силы на направление перемещения; α — угол между направлениями силы и перемещения.

□ Работа, совершаемая переменной силой, на пути 5

A = ∫FsDS =∫FCosαdS . Ss

□ Средняя мощность за промежуток времени T

N = ∆A / ∆t.

□ Мгновенная мощность

da
n = —, или dt
n= fv = fsv = fv cos α .

П = Mgh,

Где G — ускорение свободного падения.

□ Сила упругости

F = —Kx ,

Где Х — деформация; K — коэффициент упругости.

□ Потенциальная энергия упругодеформированного тела

П = Kx 2 / 2 .

□ Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

T + П = Е = const.

□ Коэффициент восстановления

ε = VN′ /VN ,

Где Vn′ и Vn — соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

□ Скорости двух тел массами M1 и M2 после абсолютно упругого центрального удара:

V (M1 M2 )V1 + 2M2V2 . V1 =—— >

M1 + M2

V (M2 M1) V2 + 2M1V1 V2 —— 5

M1 + M2

Где V1 и V2 — скорости тел до удара.

□ Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара

M1VI + M2V2
M1 + M2

1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

□ Момент инерции материальной точки

J = Mr 2 ,

Где M — масса точки; R — расстояние до оси вращения.

□ Момент инерции системы (тела)

J = ∑ MIrI2
I=1

Где Ri — расстояние материальной точки массой Mi до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс J = ∫R2dM .

□ теорема штейнера

□ Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; M масса тела):

Тело

Положение оси вращения

Момент

Инерции

Полый тонкостенный

Ось симметрии

MR1

Ци-линдр радиусом R Сплошной цилиндр

Ось симметрии

1 MR2

Или диск радиусом R

2

Прямой тонкий

Ось перпендикулярна

ɪ Ml

Стержень длиной L

Стержню и проходит через

12

Прямой тонкий

Его середину

Ось перпендикулярна

1 Ml2

Стержень длиной L

Стержню и проходит через

3

Шар радиусом R

Его конец

Ось проходит через центр

MR2

Шара

5

J = JC + Ma 2 ,

Где JC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии А; M — масса тела.

□ Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z ,

ТВр. = JZω2 /2 ,

Где Jz — момент инерции тела относительно оси Z ; ω — его угловая скорость.

□ Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

1 2 1 2

T = MvC + — JC ω ,

Где M — масса тела; VC — скорость центра масс тела; JC — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела.

□ Момент силы относительно неподвижной точки

Где R — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.

□ Модуль момента силы

M = Fl ,

Где Lj — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

□ Работа при вращении тела

DA = Mz,

Где dφ — угол поворота тела; Mz — момент силы относительно оси Z .

□ Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

LZ = ∑ MIvIrI = JZ,

где ri — расстояние от оси z до отдельной частицы тела; mivi — импульс этой частицы; jz — момент инерции тела относительно оси z ; ω — его угловая скорость.
□ уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
,dl,dt,dω
dt
,= jz ε

Где ε — угловое ускорение; Jz — момент инерции тела относительно оси Z .

□ Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

L = const.

□ Напряжение при упругой деформации

σ = F/S,

Где F — растягивающая (сжимающая) сила; S — площадь поперечного сечения.

□ Относительное продольное растяжение (сжатие)

ε = L∕l,

Где ∆Ll — изменение длины тела при растяжении (сжатии); L — длина тела до деформации.

□ Относительное поперечное растяжение (сжатие)

ε’ = D∕d,

Где ∆D — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); D — диаметр стержня.

□ Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε’ и относительным продольным растяжением (сжатием) ε

ε’ = με,

□ Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

σ = E ε,

Где Е — модуль Юнга.

□ Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня

v,П = ∫FDX = 2 EeS (∆L) = E

Где V — объем тела.

1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

□ Третий закон Кеплера

TL = RL T R2

Где T2 и T2 — периоды обращения планет вокруг Солнца; R2 и R2 — большие полуоси их орбит.

□ закон всемирного тяготения
f = g m1m,

Где F —сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами M2 и M2 , R — расстояние между точками; G — гравитационная постоянная.

□ сила тяжести
p = mg ,

Где M — масса тела; G — ускорение свободного падения.

□ Напряженность поля тяготения

G = F/M,

Где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массой M, помещенную в данную точку поля.

□ Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами M2 и M2, находящихся на расстоянии R друг от друга,

П = —Gm2M2 / R .

□ Потенциал поля тяготения

φ = П / M ,

Где П — потенциальная энергия материальной точки массой M, помещенной в данную точку поля.

□ Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью где I, J, K — единичные векторы координатных осей.

□ Первая и вторая космические скорости

V =LGR0, V2 =L2GR0,

Где R0 — радиус Земли.

□ Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета

MA‘ = MA + FUh. ,

Где А И A‘ — соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, FUh. —силы инерции.

□ Силы инерции

F = F + F + F

Ин. и ц к

Где FU, — силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением А0: FU = — ma0; F,λ — центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся

Системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fji „= Mω2R; FK Кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью V‘ во вращающейся системе отсчета:

FK = 2M[V‘ω].

1.6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

□ Гидростатическое давление столба жидкости на глубине H

P = ρ Gh ,

Где Р — плотность жидкости.

□ Закон Архимеда

FA = PgV ,

Где FA — выталкивающая сила; V объем вытесненной жидкости.

□ Уравнение неразрывности

Sv = const,

Где S — площадь поперечного сечения трубки тока; V — скорость жидкости.

□ Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

2

+ ρgh + P = const,

Где Р — статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; V — скорость жидкости для этого же сечения; ρV2 / 2 — динамическое давление жидкости для этого же сечения; H — высота, на которой расположено сечение; ρGh — гидростатическое давление.

Для трубки тока, расположенной горизонтально,

2

+ P = const.

2

□ Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

V = Jigih ,

Где H — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

□ Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

P I V I

F = η S

X

Где η — динамическая вязкость жидкости; V / ∆X — градиент скорости; S площадь соприкасающихся слоев.

□ число рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,
re = ρ < v > d / η ,
где ρ — плотность жидкости; < v > — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.
□ формула стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,
f = 6πηr v ,
где r — радиус шарика; v — его скорость.
□ формула пуазейля, позволяющая определить объем жидкости. протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,
v = πr4∆pt /(8ηl),
где r — радиус трубки; ∆p — разность давлений на концах трубки.
□ лобовое сопротивление
rx = cx p^s ,
где cx — безразмерный коэффициент сопротивления; ρ — плотность среды; тела; s — площадь наибольшего поперечного сечения тела.
□ подъемная сила
v — скорость движения
ry = cy p^s ,
y y 2
,где cy — безразмерный коэффициент подъемной силы
□ преобразования лоренца,1.7. элементы специальной (частной)
теории относительности
,x - vt
√1 - v2 / с2 ’
,y' = y, z = z,,t - vx / с2
√1 - v2/ с2 ,
,где предполагается, что система отсчета k ′ движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы отсчета k, причем оси x' и x совпадают, а оси y' и y, z и z — параллельны; с — скорость распространения света в вакууме.
□ релятивистское замедление хода часов
τ
- v2 / с2

Где τ — промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; T промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

□ Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

L = Z0Jl — v2 / С2 ,

Где L0 — длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); L — длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью V .

□ Релятивистский закон сложения скоростей

uy-j 1 - v2 /c1
1-vux/c2
uzy∣ 1 - v2 / c2 1 - vuχ / c2 ,
ux - v
1 - vux /c2
u=
ux =
где предполагается, что система отсчета k ′ движется со скоростью v в положительном направления оси x системы отсчета k, причем оси x и x совпадают, оси у и y, z и z — параллельны.
□ интервал s12 между событиями (инвариантная величина)
s122 = c2t122 - l122 = inv ,
где t12 — промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 — расстояние между точками, где произошли события.
□ масса релятивистской частицы и релятивистский импульс
= m0 p = m0 v
,ʌ/l - v2 / c2 yjl - v2 / c,22
где m0 — масса покоя.
□ основной закон релятивистской динамики,f=,dp
dt ’
,где p — релятивистский импульс частицы.
□ полная и кинетическая энергии релятивистской частицы
e = mc2 = m0c2 +t t = (m-m0)c2.
□ связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
e2 = m02c4 + p2c2, pc = ^t(г + 2m0c2).
□ энергия связи системы
есв. = ∑ m0icl - m0c2 ,
i=1
где m0i — масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; m0 — масса покоя системы, состоящей из n частиц.
ii. основы молекулярной физики и термодинамики
2.1. молекулярно-кинетическая теория
идеальных газов
□ закон бойля-мариотта
pv = const при т = const, m = const,

Где Р — давление; V объем; Т — термодинамическая температура; M масса газа.

□ Закон Гей-Люссака

V = V0(1+ αT), или V1 /V2 = T1 /T2 при P = const, M = const;
P = P0(1+ αT), или P1 /P2 =T1 /T2 при V = const, M = const,

Где T — температура по шкале Цельсия; V0 и P0 — соответственно объем и давление при 0 °С;

Коэффициент α = Y273 K-1; индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям.

□ Закон Дальтона для давления смеси П идеальных газов

N

P = ∑PI ,
I=1

Где ρi — парциальное давление I-го компонента смеси.

□ Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менде-леева)

PVM = RT (для одного моля газа),
PV = (M / M)RT (для произвольной массы газа),

Где VM молярный объем; R молярная газовая постоянная; M молярная масса газа; M масса газа; M/M = ν — количество вещества.

□ Зависимость давления газа от концентрации П молекул и температуры

P = NkT ,

Где K постоянная Больцмана (K = R/NA, NA постоянная Авогадро).

□ Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

P = 1 Nmθ{vκβ.)2 ,

Или

2

PV = N 3

MO( vκβ.

2

К

T

=2E,

3

Или

1

2

1

2

PV = 1 ^m^Vκβ.)2 = 1 M(‰)2 ,

Где (Vκβ) — средняя квадратичная скорость молекул; Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; N — концентрация молекул, M0 — масса одной

Молекулы; M = Nm0 — масса газа; N число молекул в объеме газа V.

□ Скорость молекул:

♦ наиболее вероятная

Vβ. = ^2RT / M = y∣2kT / m0 ;

♦ средняя квадратичная

♦ средняя арифметическая

V = -^8RT /(πM( = ^8kT /(πm0),

Где M0 — масса одной молекулы.

□ Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

0) = 2kT .

□ Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям

F (V) = ⅛1 = 4π— ‘C)

J V 7 Ndv 2πkTJ

Где функция F (V) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул DN(V)/N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от V до V + DV.

□ Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения

F(ε) = ⅛) 2 (kτ(-3/2ε1∕2e-/(Т(

ZV7 Ndε 4∏

Где функция F(ε) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул dN((/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии ε = M0V2∕2, заключенные в интервале от ε до ε+dε.

□ Барометрическая формула

ph= P e-Mg(HH0)/(RT), = P0e 0

Где Ph и P0 — давление газа на высоте H и H0 .

□ Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле где N и N0 концентрация молекул на высоте H и H = 0 ; П = M0Gh — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

m0gh/(kt) , п /(kt) ,
-mgh/(rt)=,= n0e или n = n0e
n=ne

□ Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с,

Z = 42πd^1nV,

Где D эффективный диаметр молекулы; П — концентрация молекул; Z средняя арифметическая скорость молекул.

□ Средняя длина свободного пробега молекул газа

= V = 1

W Z 42πd2N

□ Закон теплопроводности Фурье

Q = —λ—St, Dx

Где Q — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время T; dT / dX — градиент температуры; λ — теплопроводность:

λ = 3 CV ρ(V(L} ,

Где Cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ — плотность газа; (у) — средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; (ιL} средняя длина свободного пробега молекул.

□ Закон диффузии Фика

M = — D≤ρSt, DX

Где М масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время T; dρ / dX — градиент плотности, D — диффузия:

□ Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

— -η dV , F = »ʃS ,

градиентDX

Где F сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dV/ dX Скорости; η — динамическая вязкость:

η- 3 P<V}(L} ■

2.2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

□ Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

Ы = 1KT

□ Средняя энергия молекулы

V = ⅛kτ ,

Где I — сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы

( = N∏ocτ. + ПВращ. + 2ПКолеб. ) ■ □ Внутренняя энергия идеального газа

U = ν-RT = MiRT ,

2 M 2

Где ν — количество вещества, M — масса газа; М молярная масса газа; R молярная газовая постоянная.

□ Первое начало термодинамики

Q = ∆ U + A ,

Где Q количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; ∆U — изменение ее внутренней энергии; А — работа системы против внешних сил.

□ Первое начало термодинамики для малого изменения системы

δQ = dU + δA.

□ Связь между молярной CM „ и удельной С теплоемкостями газа

CM = CM ,

Где М — молярная масса газа.

□ Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

Cv = -R, Cp = l-+2R . v 2 p 2

□ Уравнение Майера

Cp = CV +R .

□ Изменение внутренней энергии идеального газа

M

DU =— CvDT .

M v

□ Работа, совершаемая газом при изменении его объема,

DA = PDV .

□ Полная работа при изменении объема газа

V2

A = ∫ PDV ,
V1

Где V1 и V2 — соответственно начальный и конечный объемы газа.

□ Работа газа:

♦ при изобарном процессе

A = P( VI), или A = MR( TI);

♦ при изотермическом процессе

или a = mrt ln— .
m p2
a = — rt ln—,vi

□ Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

PVγ = Const , TVγ-I = Const , TγpI = Const ,

Где γ = Cp /CV = (+ 2)/ — показатель адиабаты.

□ Работа в случае адиабатического процесса

rti m
γ-im
a=mcv(- t2 ),
или
l -(- i"11 = p1v1 1 - vit-11
 γ-1 v2 ) _
a=

Где TI, T2 и VI, V2 — соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

□ Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

η = A = QI Q2 = 1 — QL QI QI QI ’

Где Q1 — количество теплоты, полученное системой; Q2 — количество теплоты, отданное системой; А работа, совершаемая за цикл.

□ Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

t1 - t2
η=

Где T1 — температура нагревателя; T2 — температура холодильника.

□ Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2 SI2 = S2 SI = M = I^.

1T 1 T

2.3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

□ Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса) для моля газа

’+ Vτl(VM — B) = RT ,

VM J

Где VM „ — молярный объем; А и B — постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов.

□ Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольной массы газа

P +V⅛P-BJ = RT , или IP +ν⅛∣(V— νB) = RT ,

Где ν = Т/М — количество вещества.

□ Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул, P′ = A /VM2 .

□ Связь критических параметров — объема, давления и температуры — с постоянными А и B Ван-дер- Ваальса

Vκ. = 3B, РК. = A /(27B2), TK.= 8A /(27 Rb).

□ Внутренняя энергия реального газа

U = ν(CvT — a / VM),

Где CV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

□ Энтальпия системы

U1 + P1V1 = U2 + P2V2 ,

Где индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы.

□ Поверхностное натяжение

σ = F /L, или σ = E / ∆S,

Где F сила поверхностного натяжения, действующая на контур L, ограничивающий поверхность жидкости; E поверхностная энергия, связанная с площадью ∆S‘ поверхности пленки.

P = σ(V RI + 1/R2 ) ,

Где R1 и R2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости (вогнутый мениск). В случае сферической поверхности

□ Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

2σ cos θ

H =—- ,

g — ускорение свободногоρGr

Где θ — краевой угол; R радиус капилляра; Р — плотность жидкости; падения.

□ Закон Дюлонга и Пти

CV = 3R ,

Где CV — молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел.

□ Уравнение Клапейрона-Клаузиуса, позволяющее определить изменение температуры фазового перехода в зависимости от изменения давления при равновесно протекающем процессе,

D^ = L

^dT ~ T (V2 — V1),

Где L — теплота фазового перехода; (V2 —V1)— изменение объема вещества при переходе его из первой фазы во вторую; Т — температура перехода (процесс изотермический).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *