ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Характеризующих распространение волны в пространстве и во вре­мени, а именно векторов (r,ωf) и (k,ω∕c) (гл. 7.)

В пустом пространстве скорость света есть с = l∕(μ0ε0)ιz2,

В среде она равна

С

[(/√μo)(ε∕ε0)]v2

= с/п,

Где п — показатель преломления немагнитной среды с μ = μo∙ (ɛ и μ абсолютные проницаемости, в дальнейшем — просто проницае­мости.)

П = (ε∕ε0)ιz2 (9)

Кроме того,

λr, = υ, (IOa)

ω = Vk, (106)

Где ω = 2πp и К = 2π∕λ. В диэлектрической среде частота волны сохраняется, а скорость распространения уменьшается в соответ­ствии с выражением (8); длина волны А в среде по сравнению с Длиной волны Ao в пустом пространстве уменьшается в П раз:

А = 0N. (11)

Плотность потока энергии, переносимого плоской электромагнит­ной волной в пустом пространстве, характеризуется вектором Пойн — Тинга П:

∏ = E × H Дж/м2 ■ с, (12)

А Электромагнитный импульс волны g определяется аналогичным выражением:

G = D×B = Π∕c2 Дж-с/м4. (13)

Отношение напряженности электрического поля к напряженности магнитного поля равно (μ0∕εo)1/2. Эта величина называется волно­вым сопротивлением пустого пространства (вакуума):

Е/Н = (μ0∕εo)1∙z2 = 120π Ом. (14)

При распространении в немагнитной среде (μ = μo)

Е/Н = 120π∕n Ом.

Здесь П — показатель преломления (9).

3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН

Хорошо известен основной закон отражения, согласно которому угол падения равен углу отражения (рис. 13.1). Преломление на границе раздела двух сред с соответствующими показателями пре­ломления fiι и «2 и магнитными проницаемостями /iɪ = μ2 = Po описывается законом Снелла

Nɪ sin θι = n2 sin O2 (16)

Этот закон иллюстрируется рис. 13.2. Его нетрудно вывести, если предположить, что свет проходит от точки Pi в среде 1 до точки P2 в среде 2 за минимальное время. Иными словами, сумма времени , затрачиваемого светом в среде 1, и времени, затрачиваемого в среде 2, минимальна:

T1+T2 = min • (17)

Когда свет последовательно проходит несколько сред, оптическая длина пути OPL, определяемая как

OPL = £, (18)

NtSi

Минимальна; здесь Si длина пути в среде I с показателем пре — ломления I. Если преломление происходит на границе оптически более плотной среды (с более высоким показателем преломления) с менее плотной средой, т. е. n2 < nɪ, то существует критический угол падения O1 = Ic, при котором угол преломления O2 становится равным 7г/2. Это условие записывается в виде

Sinιc = N2N1. (19)

Таким образом, световые пучки с углом падения 0 > Ic не могут преломляться в среду с П2. Пучок с Ic < 0 < π∕2 полностью от­ражается.

Рис. 13.1. Отражение света на поверхности.

Рассмотрим плоскую волну с вектором Пойнтинга ∏ = Eo × H0 в среде с показателем преломления П0, которая по нормали падает на границу раздела со средой, имеющей показатель преломления Nl. В этом случае могут существовать прошедшая (преломленная) волна Et хH⅛ и отраженная волна Er ×Hr. Электрическое и магнит­ное поля E и H параллельны границе раздела, так что граничные условия имеют вид

E0 ± Er = Et, (20)

H0 Hr = Ht. (21)

Знаки ± и ψ обусловлены тем, что направление распространения отраженной волны противоположно направлению распространения падающей волны, и либо H0 и Hr параллельны, A E0 я Er антипа — раллельны, либо наоборот. Верхний знак выбирается, когда N0 > Nt∙, Тогда в обоих случаях отраженная Er и преломленная Et волны имеют вид

Рассмотрим поведение амплитуд на границе раздела. Представ­ляет также интерес поток энергии через границу раздела двух сред. Интенсивность I волны пропорциональна квадрату амплитуды, и в силу сохранения энергии поток энергии в отраженной и преломлен­ной волнах должен быть в сумме равен потоку энергии падающей волны:

Noʃo — τι0Ir + ntIt,

(24)

τι0E0 = τι0 E^ + ntEt.

(25)

Коэффициенты отражения R И пропускания T можно определить

Через интенсивность,

Учитывая, что

R + T = 1.

(26)

Таким образом,

(27)

τ _ nt Et ∏qEI’

(28)

Эти выражения можно проверить с помощью формул (22) и (23).

4. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ

ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ ВОЛНЫ

При угле падения Г и угле преломления Г возможны два случая. Во — первых, если поле E перпендикулярно плоскости падения, имеем

No cos Г∏t cos Г Er — — E0,

N0 cos Г+ nt cos Г

τr 2π0cosi r,

Et ———- ————— Jtio

N0 cos Г + nt cos Г

И, во-вторых, если поле E параллельно плоскости падения, то

В случае нормального падения волны, когда I = г = ∣π, эти выра­жения сводятся к формулам (22) и (23).

В частном случае отражения от воздуха (∏o ≈ 1) из среды с Nt > 1 согласно закону Снелла nŋsini = ntsinr и мы имеем

Sinι > sin г, (31)

Cosi < cosr. (32)

В этих условиях амплитуда Er отраженной волны может быть рав­на нулю, если поле E параллельно плоскости падения в соответ­ствии с равенством

Nt cos I = n0 cos Г. (33)

Это происходит при угле Брюстера i = is, когда падающий и отра­женный лучи составляют угол ∣π (т. е. Θγ+Θ2 = ∣π на рис. 13.2). Таким образом, Ig + г = ∣π, так что cos г = sin Г в и

Tgis = NtN0. (34)

Если неполяризованный свет падает под этим углом, отражен­ный пучок имеет 100%-ную поляризацию в плоскости, перпенди­кулярной плоскости падения. В случае перпендикулярной поля­ризации нельзя получить Er = 0, поскольку для этого требуется Cosi = T cosr, а согласно неравенству (32) cosi меньше cos г.

5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ

Электромагнитная волна, распространяясь в пространстве, взаи­модействует с присутствующими в этой области зарядами и тока­Ми. Сила F = <?Е, действующая со стороны волны, может сместить внешнее электронное облако атома с отрицательным зарядом — Q на расстояние ∆x относительно положительно заряженного ядра +Q, Создавая таким образом у атома электрический дипольный момент р = QX, определяемый выражением

P = аЕ, (35)

Где А — поляризуемость. Если рассматривать атом как связанный заряд с возвращающей силой F = — Т^т, совершающий гармони­ческие колебания, то можно написать

ЕЕ = MωgΓ (36)

И сравнение (35) и (36) для дипольного момента Р = Ег дает следу­ющее выражение для поляризуемости:

А = e2∕m%

Распределение диполей в среде создает дипольный момент единицы объема, называемый поляризацией Р, и

D = εE = ε0E + Р. (38)

Если в среде присутствуют молекулы с постоянными дипольными моментами, то они будут ориентироваться во внешнем электриче­ском поле E и давать вклад в поляризацию и диэлектрическую проницаемость ε.

Если электрическое поле волны, распространяющейся в сре­де, осциллирует достаточно медленно, то заряды смещаются вслед за волной. При очень низких частотах диэлектрическая проницае­мость е высока, поскольку все постоянные диполи и возникающие в результате поляризации заряды могут следовать за полем пада­ющей волны. C увеличением частоты волны некоторые заряды не успевают уже следовать за быстрыми колебаниями и, таким обра­зом, не будут давать вклада в ε. Это приводит к «выключению» некоторых механизмов поглощения, таких как вращения молекул и молекулярных групп в микроволновой области спектра (≈ IO11 Гц), колебаний в инфракрасной области (≈ 1013Гц) и электронных пе­реходов в видимой области и ближнем ультрафиолете (≈ 1015Гц). При очень высоких частотах и в рентгеновской области заряды не испытывают воздействия распространяющейся в среде волны, и ве­личина ε принимает значение электрической постоянной εo∙

Б. ПОГЛОЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

Диэлектрическая проницаемость ε имеет действительную ε’ и мни­мую ε" части. Действительная часть ε’ — это обычно то, что мы по­нимаем под диэлектрической проницаемостью; она определяет ско­рость и длину электромагнитной волны в среде. Мнимая часть ε" отвечает за поглощение в среде, например за потери в конденсато­ре, за нагрев микроволновой печи и т. д. В отсутствие поглощения ε" = 0, и если среда немагнитная С μ = μo, то мы имеем следующее выражение для волнового числа К:

К ~ (ε’∕ε0)1∕2ω∕c. (39)

Если учитывается мнимая часть е" величины ε, то К становится комплексной величиной и ее можно записать как сумму волнового числа β и коэффициента поглощения А\

K = β + Ia = [(ε’ + ιε")∕εo]1’z2ω∕c.

При этом распространяющееся электрическое поле равно

E = Eoei0χAx~Iωt. (41)

Если поглощение слабое (ε" — C εz), то, используя разложение в сте — пенной ряд, имеем

A ≈ i∕3(ε"∕ε’). (42)

Действительная ε’ и мнимая ε" части диэлектрической прони­цаемости не являются независимыми; они связаны соотношениями Крамерса—Кронига

,ZX 2Г ω,ε"(ω,},

ε, ω) =εo +P Y, 2 ,

π J ω2 — ωz

,,, Л — -⅛Lp [ №’)

π J ω∕2 — ω2 ’

∑Λ = z∙

Из рис. 13.3, А видно, что для этой модели в широком диапа­зоне частот вещественная часть диэлектрической проницаемости ε’

Рис. 13.3. Частотная зависимость вещественной части ε (о) и мнимой ча­сти ε" (б) комплексной диэлектрической проницаемости ε = ε‘ + ε" в окрестности двух резонансов.

Рис. 13.4. Детали частотной зависимости вещественной части диэлектри­ческой проницаемости ε‘ между двумя резонансами при ωj— и ωj∙+ι для узкой лоренцевой линии, представленной выражением (47).

Постепенно уменьшается и дает всплески на каждой резонансной частоте ωj∙. Мнимая же часть становится значительной лишь вбли­зи резонансов, как показано на рис. 13.3, Б. Более подробно поведе­ние вещественной части ε’ в этой модели изображено на рис. 13.4. Между резонансами она постепенно увеличивается с частотой до тех пор, пока не достигает максимального значения при частоте Uj = UJj — ∣7j∙ для резонанса, расположенного при ωj∙. После этого максимума величина ε’ резко падает до минимума при ω = Ujj + ∣7j∙ , после чего она вновь постепенно возрастает до следующего резо­нанса при ωj∙+1.

7. ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА

В Случее проводящей среды, уравнение Максвелла

Oτ*⅛

VxH = J + — (49)

Идя гармонической зависимости от времени E~Tωt сводится к

V × H = (σ — iωε)E = (50)

= + (51)

Здесь использованы закон Ома J = σE и выражение D = εE. Видно, что проводимость σ вызывает потери, и коэффициент поглощения А проводника зависит от наличия конечной проводимости.

Создающие ток электроны перемещаются в окрестности поло­жительно заряженных ядер и тем самым создают электрически Нейтральную систему подвижных зарядов, называемую плазмой. На высоких частотах эта среда характеризуется диэлектрической проницаемостью

ε(ω) = ε0 ɑ — , (52)

Где ωp плазменная частота, определяемая выражением

ωp = (Ne2ε0M)1»2. (53)

Ниже плазменной Частоты ω < ωp волновое число оказывается чи­сто мнимым, и электромагнитные волны затухают, т. е. проводник непрозрачен для них. Выше частоты ωp в ультрафиолетовой обла­сти вещество становится прозрачным. Экспериментально найден­ные плазменные частоты Xp = 2πcωp у щелочных металлов лежат в диапазоне от 2000 А для Li до 4400 А для Cs.

7-1168

8. ВОЛНОВОДЫ

Электромагнитная волна распространяется в пустом пространстве со скоростью света с, причем произведение ее длины волны λ на частоту V дается выражением

λz∕ = с = l∕(μ0ε0)1/2. (54)

По своей природе эта волна является поперечной электромагнитной волной, а это значит, что ее электрическое поле E перпендикулярно магнитному полю Н, причем каждое из них ортогонально направле­нию распространения вдоль оси Z, и отношение амплитуд электри­ческого и магнитного полей равно характеристическому импедансу пустого дространства (вакуума)

EgHq = (μ0∕ε0)1/2 = 120πθM. (55)

Если волна распространяется в полой трубе, называемой волново­дом, ее скорость υg уменьшается, а длина волны Xg оказывается больше, чем в неограниченном пространстве. Пусть волновод име­ет прямоугольное сечение. В этом случае существует предельная (критическая) длина волны Xc. Электромагнитные волны с длина­ми больше Xc не могут распространяться в волноводе. Упомянутые три длины волны связаны соотношением

ɪ — ɪ ɪ λ2 “ λ2 + Al’

Волны, которые могут распространяться в волноводах, будут либо поперечными электрическими (ТЕ-волнами) с составляющей поля H вдоль направления распространения, либо поперечными магнитными (ТМ-волнами) с составляющей поля E вдоль направ­ления распространения. В волноводах круглого поперечного сече­ния изменение амплитуд в радиальном направлении описывается функциями Бесселя. В прямоугольном волноводе с размерами А < B Основная мода колебаний, т. е. мода с наименьшей критической дли­ной волны λc, относится к ТЕ-типу, т. е. является поперечной элек­трической, причем составляющие магнитного и электрического по­лей даются выражениями

Hx = Hq sm(πx∕a)eikz~iωt,

(57)

Hz = H0(Xg∕2a) cos(πx∕a)eikz~iωt,

(58)

Ey = — ZτEH0sm(πx∕a)eikz-ιωt,

(59)

Где Z направление распространения, Xc = 2α и Zte — характери­Стический Импеданс этой моды:

‰ = (μ∕ε)172^, (60)

Который равен отношению Ey/Hx поперечного электрического по­Ля к Поперечному магнитному полю. Этот характеристический им­педанс больше характеристического импеданса Z0 неограниченной среды для поперечных электромагнитных волн,

Z0 = (μ∕ε)1/2, (61)

И, Как правило, мы имеем

Ztm < Z0 < Zte (62)

Волна распространяется со скоростью

υs = (де)_1/2^-, (63)

^9

Которая меньше, чем скорость V = (με)-1/2 ТЕМ-волны в неогра­ниченной среде, где μ и ε — проницаемости среды, заполняющей волновод. Таким образом, ТЕ — и ТМ-волны распространяются ме­дленнее, чем ТЕМ-волны.

Волновод, действующий на частоте микроволнового диапазона 10lθ Гц, имеет диаметр около 2 см. Световоды работают аналогич­но, но их диаметры обычно значительно превышают длины волн распространяющегося по ним света, Xg <⅞C 2α, так что волна отно­Сится По существу к ТЕМ-типу.

9. МОДУЛИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ

До сих пор мы рассматривали простые синусоидальные волны. При передаче амплитудно-модулированных радиосигналов синусо­идальные волны с высокой несущей частотой ω модулируются по амплитуде гармоническим сигналом, имеющим более низкую часто­Ту ωm <⅞C ω, называемую частотой модуляции. Рассмотрим высоко­частотную несущую волну с амплитудой E0, которая модулируется по амплитуде волной, налагаемой на несущую и имеющей ампли­туду Em. Амплитуда модулированной волны E(T) изменяется во Времени в Соответствии с выражением

E(t) (E0 + Em sinωmt) sinωt (64)

Используя тригонометрическое тождество

Cos(ωtψωmt) = Cosωt cosωmt ± sinωt sinωmt, (65)

Выражение (64) можно записать в виде

E{t} = E0 sin ωt + ∣Em cos(ω — ωm}t ⅜Em cos(ω + ωm)t. (66)

Таким образом, результирующий сигнал состоит из трех частот­ных компонент: на несущей частоте ши на сумме и разности боко­вых частот ω ± ωm. Общий сигнал имеет следующие минимальную и максимальную амплитуды:

ENin = Eo Em, {Fi,7

Emax = Eo + Em,

Что показано на рис. 13.5, причем глубина модуляции Т в процентах дается выражением

M(%) = 100EmEo. (68)

На рисунке указаны также длины волн λ = c∕ω и Xm = Cωm соот­ветственно несущего сигнала и сигнала модуляции.

Другой вид модуляции, а именно частотная модуляция, приме­няемая для ЧМ радио — и телевизионных передач, из-за ограничен­ных рамок книги нами рассматриваться не будет.

10. солитоны

Уединенная волна, или солитон, — это волна, которая имеет локали­зованную структуру и распространяется без изменения структуры. Солитон впервые наблюдал Джон Скотт Рассел в 1834 г. как острое И Закругленное возвышение на поверхности воды с высотой пика H, Которое движется в канале глубиной D со скоростью

Г = [g(∕ι + d)]1/2, (69)

Составляющей в среднем около 14 км/ч. Первые наблюдения Рас­сел выполнял, наблюдая за гребнем волны. Он обнаружил также, что более высокая и, следовательно, движущаяся с более высокой скоростью [в соответствии с выражением (69)] уединенная волна может столкнуться с более медленно движущейся волной и пройти сквозь нее.

Профиль солитона ≠(x, ŋ в случае H <⅞C D дается выражением ≠(x, T) = ∕ιsch2 [(x — Vt)∕W], (70)

Где параметр ширины W равен

W = 2t∕[(Zι + d)∕3Zι]1/2 (71)

И при H <⅞C D имеет приближенное значение

W ~ 4{DzIhY2. (72)

На рис. 13.6 представлены профили солитонов для трех значений высоты и ширины. В 1895 г. Кортевег и де Фрис показали, что

Рис. 13.6. Три солитона с различными амплитудами и ширинами. (Из книги: Dodd e< All., Solitons and Nonlinear Wave Equations, Academic Press, New York, 1982, p. 5.)

Где

σ = ^H3HTGp, (74)

T — поверхностное натяжение, Д — ускорение свободного падения, Р — плотность жидкости, а г — произвольный параметр. Во многих случаях членом с поверхностным натяжением можно пренебречь. Одним из ранних уравнений квантовой механики было уравнение Клейна—Гордона, которое в одномерном случае записывается сле­дующим образом:

⅛≠-⅛⅛≠ = (mc∕fi)2≠’ (75)

Где ħMec = λc∕2π, причем λc = 2,426 ∙ 10-12m — комптоновская длина волны электрона. Это уравнение имеет решения в виде гармо­нической волны elkx~tωt, которая приводит к следующему диспер­сионному соотношению между ω и К:

{ωC}2 = K2 + (2πC)2. (76)

Как фазовая, так и групповая скорости

Го = ω∕∕r, Vq = Dk (77)

Зависят от К, поэтому волна, характеризуемая некоторой областью значений К, при распространении будет расплываться, или диспер­гировать.

Нелинейное уравнение Клейна—Гордона

(27fMc)2 sin≠, (78)

Называемое уравнением синус-Гордона, имеет решение в виде соли — тонов, т. е. в виде уединенных волн, которые могут распространять­ся на большие расстояния, прежде чем они начнут расплываться. Существуют решения, называемые кинковыми, или частицеподоб­ными, которые описывают скручивание переменной ψ(X,T), и анти — кинковые решения с вращением в противоположном направлении.

ГЛАВА 14

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *