УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА

Где Х — координата частицы, А — ее ускорение. Более общим вы­ражением (1) следует пользоваться в случае изменения массы, как,

Например, при ядерных реакциях, сопровождающихся рождением и аннигиляцией частиц. В динамике встречается несколько типов сил:

F = Тд

Сила притяжения вблизи поверхности Земли (сила тяжести)

(За)

F = Gmm1 i/Г2

Закон всемирного тяготения Ньютона

(36)

F = gg’f∕4πεor2

Закон Кулона

(Зв)

F = — k(x — æo)

Сила упругости,

Возвращающая тело к положению равновесия a⅛

(Зг)

F = -μN

Сила трения скольжения

Или покоя

(Зд)

F = —fc∣v∣n

Сила жидкого трения; П = 1 в законе Стокса F = Qπηrv При обтекании тела потоком; в случае турбулентности П = 2

(Зе)

F = g(E + V × В)

Сила Лоренца, действующая на заряд Q

(Зж)

Обычно задачи нерелятивистской механики проще всего реша­ются составлением уравнения баланса энергий в начале и в конце взаимодействия. Для системы П взаимодействующих частиц, в ко­торой каждая г-я частица имеет кинетическую энергию ⅜rrnv? и потенциальную. энергию ½, мы можем записать

∑5mi⅛a4 + Vilia4 = ∑2∣"6⅛θH+ 52 Vi™»’ ([13] [14])

Где суммирование проводится по всем частицам системы. Если ча­стицы взаимодействуют между собой, мы можем добавить к этому уравнению еще суммирование по начальной V1" ач и конечной Г’“н энергиям взаимодействия частиц системы. Подобный подход к ре­шению задач годится только в случае консервативных систем, в которых отсутствуют диссипативные силы.

… ,,T) представляет собой разность между полной кинетической энергией T и полной потенциальной энергией V системы

L = T-V

(5)

Примеры некоторых лагранжианов:

L = ∣m±2 — ∣⅛(τ — æɑ)2

Гармонический

Осциллятор

(6а)

L = — mc27 — + qA v ɪ

L ≈ ∣mυ2 — qφ + qA v — Mc2 ʃ

Заряд Q

В электромагнитном поле [7 = (1 — /З2)-1/2]

(66)

L = ɪm(r2 + R2θ2) +k∣r

Задача Кеплера о движении Земли по орбите вокруг Солнца

(6в)

L = ɪʃɪ(fl2 + ⅛⅛2 sin2 0) + ɪʃn {Rφ +⅛⅛cos0)2 — Mgl Cos θ (6г)

Симметричный волчок, закрепленный в одной точке.

Использованы углы Эйлера:

ψ угол поворота волчка вокруг собственной оси, φ угол прецессии вокруг вертикальной оси, θ — угол отклонения от вертикали.

При записи лагранжиана следует иметь в виду три наиболее часто используемые системы координат с соответствующими диф­ференциалами ʤI = Hidqi‘.

Декартовы : Х, у,

Dx, dy, dz,

(7а)

Цилиндрические: P,φ,z,

(76)

Dp, pdφ, dz,

Сферические : г, θ, φ,

(7в)

Dr, rdθ, Г smθdφ.

Важность подхода с использованием лагранжиана заключает­ся в том, что согласно принципу Гамильтона движение системы в интервале времени между tɪ и ⅛ происходит по такому пути, для которого значение интеграла

Имеет экстремальное минимальное значение. Используя этот прин­цип, можно показать, что уравнению Лагранжа удовлетворяет каждая из N координат ¾ и скоростей ф.

d_ f∂l dt ∖∂qι dl_
∂qi
= 0 i=l,2,...,n
(9)

Движение часто ограничено связями. Особый интерес представ­

Ляют голономные связи, которые можно аналитически представить в виде уравнений, содержащих радиусы-векторы Г, всех частиц, но не содержащих скоростей

/(N,… ,rjv, t) = 0. (10)

Если на систему наложены связи в виде неравенства, как, напри­мер, условие Г2 — а2 > 0, означающее положение точек вне сферы радиусом А, то такие связи не будут голономными. Дифференциал Df функции /(q⅛,t)

⅛ = Σ⅛⅛ + ⅛" = °. <u>

Где суммирование производится по всем N частицам, может быть записан в форме

ɪʒ Aidqi + Atdt = 0, (12)

Где Ai = ∂F Qi. Если имеется несколько уравнений связи, необхо­димо ввести дополнительный индекс, записав Ац и Cijt Записанные в виде дифференциальных уравнений первого порядка коэффици­енты Aji, составляющие П уравнений связи,

Qjtqi Qjt 0 J 1 > 2,… , и, (13)

Входят в N уравнений Лагранжа

D (∂L ∂L. r. ..

Tt∂⅛JI=∑Aji J г ’ ,"∙, (14)

Через посредство П множителей Лагранжа Xj, где суммирование по j производится от 1 до П. Таким образом, теперь имеется N+N урав­нений и П неизвестных множителей Лагранжа, которые требуется определить. Каждый коэффициент Xj обычно имеет размерность силы или момента силы и чаще всего представляет собой силу ре­акции.

Иногда связи могут быть записаны в виде уравнений (12) или

(13), даже если функции F(Q,T) не существуют. Такие связи можно назвать псевдоголономными; не являясь голономными, они могут тем не менее использоваться в методе множителей Лагранжа (14).

Иногда трение можно учесть, вводя зависящую от скорости дис­сипативную функцию Рэлея D,

D = Σ(KXviz + KYviy + KZviz)> (15)

Связанную с силой трения Fʃ

Ff = VvD, (16)

Где градиент берется по скоростям. В этом случае уравнения Ла­гранжа имеют вид

1 f

Dt Qi

L DD_ ∂Qi +Qi

= 0 i = l,2,..

,N.

(17)

Диссипативная функция Рэлея соответствует силе, определяемой (Зе), с n = 1.

Каждой координате ¾ соответствует обобщенный импульс Pf, Определяемый выражением

(18)

Импульсов:

Pi = ∙ymvi + qAi

Заряд Q

В электромагнитном

Поле

(19а)

Pr = Тг 1 Рв = zzιr20J

Задача Кеплера

(196)

Pe = Iχθ

= i∖∖ + φcosθ)

= (∕∣∣ COS2 θ + Jjl. S⅛2 θ+

+J∣∣≠cos0

Симметричный волчок, > закрепленный

В одной точке (углы Эйлера)

Обобщенный импульс может соответствовать обычному импульсу Тх либо моменту импульса , где I момент инерции, но может иметь более сложный вид, как, например, в случае движения заряда в магнитном поле B = VxA. Примеры некоторых обобщенных

(19в)

4. ФОРМУЛИРОВКА C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГАМИЛЬТОНИАНА

Мы обсудили свойства лагранжиана L(Qi, Qi,T), являющегося функ­цией обобщенных координат и обобщенных скоростей. Существует еще одна функция, гамильтониан, H(Qi,Pi,I), которая зависит от

H = [(JpQA‘)2C2+M2Cl}1∕2+

(р — q, A)2 9

≈—————- (-σ⅛+mc2

2m

П=£ , Pe к 2m 2mr2 г

7, Pg I (pφ-pψcosθ)2 ι

2∕± 2∕±sin20 *

+Mg∕!cos0

ДН

Qi = я-’

Upi

(22а)

ДН

Pi = —Х—,

(226)

∂L _ _&Н

∂t ∂t

(22в)

эта система 2n дифференциальных уравнений первого порядка заменяет n уравнений лагранжа второго порядка (8).
примеры некоторых гамильтонианов:
н=2^+2к{х-хо^
,гармонический
осциллятор
,(23а)
заряд q
в электромагнитном
поле (236)
задача кеплера (23в)
симметричный
волчок. (23г)

Координат Qj и обобщенных импульсов p⅛, определяемых согласно (18). Гамильтониан образуется из лагранжиана посредством пре­образования Лежандра

,H(4I,Pi,T) = ∑4IPiL(Qi,Pi, T), (20)

Где суммирование осуществляется по всем координатам. Это пре­образование для определения обобщенного импульса рг связано с дифференцированием лагранжиана согласно (18). Затем получен­ные уравнения решаются относительно обобщенных скоростей Qi И решения подставляются в выражение (20). Это приводит к га­мильтониану как функции Qi,Pi и Г В некоторых случаях процеду­ра упрощается, как, например, при наличии угла отклонения оси симметричного волчка от вертикали (19в), для которого можно за­писать

θ = PeIh.- (21)

Значительно сложнее определить для случая симметричного волчка два других угла ψ и φ, для чего необходимо решить два совместных уравнения.

Уравнения движения выводятся из канонических уравнений Га­мильтона

Координаты, не входящие в явном виде в лагранжиан и гамиль­тониан, называются циклическими. Как следует из уравнения (226), обобщенный импульс, соответствующий циклической координате, является интегралом движения, т. е. сохраняет не зависящее от вре­мени постоянное значение, которое мы обозначим ад

Pi = 0, (24)

PiAi. (25)

Вследствие этого, чтобы записать уравнения движения в цикличе­ских координатах, обычно проще использовать гамильтониан, а в

Нециклических координатах — лагранжиан.

Если координаты Qi,… ,Qc входят в лагранжиан в явном виде, а остальные координаты Qc+ι,… ,Q^ являются циклическими, то целесообразно в выражении ɪɪ) FIiPi уравнения (20) проводить сум­мирование только по циклическим координатам и тем самым полу­чить функцию Рауса R

R = R(Q1,… ,QN,Qi,… ,Qc,Pc+L,… ,PN), (26)

Которая является функцией скоростей ф, соответствующих неци­клическим координатам, и постоянных импульсов p1. Это позволя­ет записать уравнения Гамильтона для циклических координат и уравнения Лагранжа для нециклических координат. Например, в задаче Кеплера циклической координатой является θ, и, согласно уравнениям (6в) и (196), функция Рауса имеет вид

R(r,θ,f, ps) = ^mr2 +pg∕2mr2 — к, (27)

Где момент импульса Рв = Mr2θ остается постоянным во времени, так как координата θ циклическая.

5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Существует несколько общих принципов, используемых в механике. Мы уже знакомы с принципом Гамильтона (8), который утвержда­ет, что интеграл от функции Лагранжа за некоторый промежуток времени принимает для истинного пути минимальное значение. Это же утверждение можно сформулировать следующим образом: ва­риация действия I (8) при фиксированных моментах времени Zy и Z2 для истинного пути равна нулю

δl = S [ 2 Ldt.

Jt1

Другими словами, бесконечно малые отклонения от пути интегри­рования относительно истинной траектории не изменяют значения интеграла.

Рассмотрим бесконечно малые перемещения Jri в системе, на­ходящейся в равновесии под действием приложенной силы Fπpκjl. Принцип виртуальной работы утверждает, что условием равнове­сия в статике является равенство нулю виртуальной работы, т. е. работы, совершаемой приложенной силой

52 F^jl-Jri = O. (29)

В динамике, где приложенные силы могут вызвать ускорения Х = рх[т, используется принцип Даламбера

52 (F^-Pi)-Jr1 = 0, (30)

Который в статике превращается в принцип виртуальной работы.

ГЛАВА2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *