ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе обсуждаются основные представления специальной те­ории относительности и их применение к четырехмерным вектор­ным величинам (4-векторам) в механике и электродинамике. Рас­смотрены свойства 4-векторов, законы их преобразования и соот­ветствующие инварианты. В конце главы кратко обсуждаются пре­образования переноса в пространстве и времени, а также вопросы, связанные с четностью и обращением времени.

2. НЬЮТОНОВСКАЯ МЕХАНИКА

В первоначальной формулировке механики Ньютона неявно пред­полагалось, что законы физики в системах координат (X‘,Y‘,Z‘) и (X,Y,Z), движущихся относительно друг друга с постоянной скоро­стью У, связаны преобразованием Галилея. Это означает, что каж­дый вектор Г В лабораторной (стационарной) системе координат связан с соответствующим вектором г’ в движущейся системе урав­нением

Г’ = г — Vt. (1)

Последовательно дифференцируя это выражение дважды по вре­мени, мы получим соответственно скорости и ускорения

F’ = f — V, (2)

Г’= г. (3)

Равенство

А’ = а (4)

Показывает, что в ньютоновской механике величина ускорения оди­накова в обеих (движущейся и стационарной) системах координат.

3. ПОСТОЯНСТВО СКОРОСТИ СВЕТА

Сто лет назад Майкельсон и Морли установили, что измерен­ная экспериментально скорость света одинакова во всех равномер­но движущихся системах координат независимо от направления его распространения. Ранее ожидалось, что результаты измерений, проведенных в выделенной системе координат, не должны отличать эту систему от любой другой системы, движущейся равномерно от­носительно первой. В более общем виде постулат эквивалентности означает требование, согласно которому законы физики должны иметь один и тот же вид во всех равномерно движущихся системах координат. Из этого следует, что переход из одной такой системы в другую должен сохранять неизменным вид этих законов.

Поскольку в эксперименте было доказано, что скорость све­та постоянна, то преобразования Галилея, согласно которым ско­рость должна была изменяться, оказались несостоятельны. Пробле­му удалось решить, введя время в качестве дополнительной коорди­наты и используя для перехода между двумя системами координат, движущимися равномерно относительно друг друга, «вращение» в этом пространстве-времени, названное преобразованием Лоренца.

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Рассмотрим две системы координат X,Y,Z,Ct и Z‘,Y‘,Z‘,Ct‘, описы­вающие четырехмерное пространство-время в так называемом про­странстве Минковского, где время соответствует четвертой коор­динате X4 = Ct. Пусть «штрихованная» координатная система дви­жется вдоль оси Z со скоростью V относительно «нештрихованной» системы, как показано на рис. 7.1. Преобразование Лоренца, свя-

Зывающее эти /

];ве системы,

Имеет вид

/1

О

О

θ \

< Х\

/х’\

О

1

О

О

У

У’

О

О

7

-/Зу

Z

Z1

О

-/Зу

7 >

∖ctJ

∖ct’J

Что дает

Х’

= ≈,

У’

= У,

Z1

= y(z

βct)

5

Ct1

= 7(^

βz),

рис. 7.1. штрихованная система координат x',y',z', движущаяся вправо со скоростью v относительно нештрихованной системы x,y,z.
где

(7)
(8)
β = v∕c,

1

7- (l-∕32)i/2′

Так выглядит преобразование Лоренца вдоль оси Z. В терминах пространства-времени это преобразование соответствует «враще­нию» в плоскости Z,Ct.

Преобразование Лоренца сохраняет квадрат 4-вектора в про­странстве-времени (или величину четырехмерного интервала)

/х\

(x,y,z, -ct) у
z
∖ctj
= (,r2 + y2 + z2 - ct2), (9)

Где у контравариантного вектора (столбца) временная компонен­та положительна, а у ковариантного вектора (строки) — отрица­тельна. В более общем случае преобразование Лоренца оставляет неизменной величину квадрата четырехмерного вектора (с компо­нентами Vx,Vv,V2,Vt), которая равна

V2+ Vy2 +Vz2V2. (10)

При одном и том же преобразовании Лоренца скалярное произве­дение двух 4-векторов также остается неизменным

Vxwx+VvWv+ V2W2VtWt=V^+W+VZWZViWi, (11)

Что можно записать и в более компактной форме:

V∙w-½τyt = v’∙w,-yt’τyt’. (12)

а) (136) (13в)Чтобы пролить свет на сущность преобразования Лоренца как опе­рации вращения в пространстве-времени, можно выразить это пре­образование как сдвиг по быстроте ζ, которая определяется как thζ = β,

Shζ = /З7, chζ = 7,

После чего уравнения (6) переходят в К’ = Vx,

(14)Vy = Vy,

Vz = Vzchζ ⅝shζ,

V/ = Vzxshζ + ¼chζ.

Рассмотрим два последовательных вращения в пространстве-вре­мени на углы ζ и Q1

в одной и той же плоскости пространства-времени (т. е. для одного направления скорости). тригонометрическое тождество
thζ" = th(ζ + o (16)
или 
„ _ thζ + thζ' ζ 1 - thζthζ' (17)
приводит к выражению 
all _ β + β'
p l + ∕3∕3'' (18)

C‘= Q + Q1 (15)

Которое называют законом Эйнштейна сложения параллельных скоростей. Легко заметить, что если одна из скоростей равна с (т. е. либо /3 = 1, либо β = 1), то также β" = 1. Таким образом, значение β" не может превышать единицу и скорость света с является пре­дельно достижимой скоростью. При низких скоростях (/3, /3′ <⅞∕ 1) членом /3/3′ можно пренебречь, и тогда формула (18) сводится к обычному преобразованию Галилея, т. е. V" = v + vl.

5. ПРОШЕДШЕЕ И БУДУЩЕЕ

Можно сказать, что 4-вектор (г, Ct) представляет некое «событие» в четырехмерной системе координат с началом в точке Х = у =

образующая,образующая,рис. 7.2. пространственно-временная диаграмма в координатах ct и х, по-казывающая области событий в прошедшем, будущем и других точках пространства. эти области разделены пунктирными «световыми линиями», соответствующими движению со скоростью света.

Z = T = 0 подобно тому, как пространственный вектор Г В обычном координатном пространстве обозначает положение некой точки от­носительно начала координат Х = у = Z = 0.

В зависимости от знака величины квадрата длины вектора (ко­торая в нашем случае равна r2 — c272) существуют следующие типы

4-векторов:

R2 — c272 < 0 r2 — c272 = 0 r2 — c272 > 0

Времениподобный,

Светоподобный (или изотропный), пространственноподобный.

(19)

Времениподобный 4-вектор сопоставляет некоторое событие в про­шедшем при T < 0 некоторому событию в будущем при T > 0, как показано на рис. 7.2. Равный нулю интервал соответствует движе­нию со скоростью света, Х = Ct. Пространственноподобный случай отвечает событию, которое ни в прошедшем, ни будущем не про­исходит в начале координат, а осуществляется в какой-то другой точке пространства. Точки на вертикальной (временной) оси соот­ветствуют событиям в прошедшем (7 < 0) или будущем (7 > 0), которые происходят в той же точке пространства, где располагает­ся начало системы координат, а точки вдоль оси Х соответствуют событиям, происходящим где-то в пространстве одновременно с со­бытием в начале системы координат.

Таким образом, всегда можно найти такое преобразование Ло­ренца, которое позволит «перевести» будущее событие из некой точ­ки пространства также в будущее событие в точке Х = 0, соответ­ствующей началу пространственной системы координат. Аналогич­но событие в удаленной точке пространства можно преобразовать в событие, происходящее одновременно с событием в начале ко­ординат. Именно этим обусловлен выбор названий для 4-векторов (времениподобный и пространственноподобный) соответственно в случаях R2 < C2T2 и r2 > C2T2.

Пусть, например, в некоторой точке на поверхности Земли про­исходит вспышка света, а через Т секунд — другая вспышка в точке, удаленной от первой на 1200 км. Будут ли эти события времени — подобными или пространственноподобными по отношению друг к другу? Поскольку свет распространяется со скоростью 300 000 км/с (или 300 км/мс), он преодолевает расстояние между этими точка­ми за 4 мс. Если второе событие происходит на 8 минут позднее первого, то теоретически можно представить себе движущийся со скоростью 150 км/мс космический корабль или спутник, пролетаю­щий над местом первой вспышки одновременно с ней и проходящий над второй точкой как раз в момент второй вспышки. При этом обе вспышки будут зарегистрированы непосредственно под косми­ческим кораблем, т. е. в одной и той же точке в системе координат, связанной с кораблем. Следовательно, эти события будут простран­ственноподобными.

Предположим теперь, что вторая вспышка происходит лишь че­рез 2 мс после первой. Скорости космического корабля в этом слу­чае уже недостаточно, чтобы оба события произошли в одной и той же точке его собственной системы координат. Оба события будут одновременны, если корабль в момент регистрации обеих вспышек находится точно на полпути между источниками света. Для опре­деления скорости, с которой корабль должен двигаться, чтобы это произошло, запишем преобразование Лоренца для указанных со­бытий:

0 = Y(CT — ∕3∆x), (20)

Где ∆x = 1200 км и ∆i = 2 мс, что дает β = 0,5. При меньшей скорости сигнал от первого события поступит раньше, а при боль­шей — позднее, чем сигнал от второго события.

В табл. 7.1 приведены пространственные и временные состав­ляющие некоторых 4-векторов. В зависимости от конкретной ве­личины составляющих большинство этих 4-векторов могут быть

Таблица 7.1. Пространственные и временные составляющие некоторых встречающихся в физике 4-векторов.

Название

4-вектора

Простран­

Ственная

Часть

Временная

Часть

Тип 4-вектора

Значение в покоящейся системе

Координата,

Г

Ct

Время

Импульс,

P = -γmv

Ejc = -уте

Временипо-

Тс

Энергия

Добный

Сила

7F

YF-β

Простран­

Ственнопо­

Добный

F

Потенциал

А

Ф/с

— ■

Электро­

Магнитного

Поля

Градиент

V

_1д_ с ∂t

Волновой

К

ω∕c

Светоподоб­

О

Вектор

Ный

Заряд, ток

J

Ср

6. ЛОРЕНЦЕВО СОКРАЩЕНИЕ ДЛИНЫ И

ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ

Представим себе наблюдателя, следящего за космическим кора­блем, который движется со скоростью V относительно связанной с Землей лабораторной системы координат. Длина космического корабля в собственной системе координат, где он покоится, в на­правлении движения составляет ⅞, а часы на руке космонавта по­казывают, что каждый оборот вокруг Земли совершается за Δ⅛ с. Нас интересует, какие результаты получит наблюдатель на Земле, измеряя длину космического корабля Z и время ∆i по наручным часам космонавта.

Преобразования Лоренца позволяют перейти от двух событий , и X2,T2 в нештрихованной системе координат (корабль) к со­бытиям в штрихованной системе (лаборатория):

Z2-z’1 =7[(x2-ац)-∕3c(f2-fɪ)], T‘2 — Iι = 7[(⅛ — tι) — (∕3∕c)(a⅛ — Zi)].

Время измеряется при условии x2, поскольку часы неподвиж­ны относительно корабля, так что

T‘2 — T‘1 = 7(t2 — Н) (23)

Или

∆t’ = 7∆io, (24)

Т. е. время на космическом корабле замедляется. Рассмотрим, на­пример, пи-мезон (пион), время жизни которого в покое составля­ет 0,026 мкс. Если пион движется со скоростью /3 = 0,9999, то 7 = 70,7, и время жизни в лабораторной системе возрастает до 1,84 мкс. При такой скорости насекомые, в нормальных условиях живущие обычно не дольше недели, вполне могли бы жить годами!

Рассмотрим теперь длину космического корабля Z0 = X2Xi. Поскольку положение концов корабля измеряется с Земли одновре­менно, то T,2 = iɪ, и уравнения (22) превращаются в

V = 7[⅞ — ∕3c(t2 — ⅛ι)],

O = 7[(i2-i1)-(∕¾0∕c)]. }

Исключая i2 — <ι, мы получим окончательно выражение

V = ^o∕7, (26)

Которое показывает, что при наблюдении с Земли космический ко­рабль кажется укороченным. Это явление называют лоренцевым сокращением.

7. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

Формулы для релятивистского эффекта Доплера в случае световой волны можно вывести, используя преобразование четырех мерного волнового вектора k,ω∕c в штрихованную систему координат, ко­торая движется со скоростью V. Эти преобразования имеют вид

Fc∣∣ =,Y(K∖∖ -∕3ω∕c),

⅛1 = К J., (27)

ω’ = 7((x) -∕3c⅛∣∣),

Причем в случае световой волны

K2ω2C2 = (fc’)2 — (ω’)2∕c2 = 0. (28)

Полагая ⅛∣∣ = Kcosθ, получим

√ =ω7(l-∕3cos0). (29)

Для специальных случаев продольного (θ = 0) и поперечного (θ = 7г/2) эффекта Доплера (эти случаи соответствуют ситуациям, когда вектор /3 параллелен и перпендикулярен вектору к, соответственно) имеем

ι∕2 продольный эффект

θ = 0 (30)

β Il к

поперечный эффект
θ = ττ∕2
β il к
,sin#
7(cos0 - β) '
(x)' = 7(x) (31)
можно также показать, что
(32)

8. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Второй закон Ньютона может быть записан в ковариантном виде

κμ = ~ (33)

Через 4-силу и 4-импульс = Muμ, где = (7v,7c) — 4-скорость, а собственное время Т связано с обычным временем T Формулой

(34)Dt = Ydτ;

4-сила имеет пространственную и временную составляющие

Tfμ = (7F,7F∙∕3), (35)

Вследствие чего закон Ньютона можно записать раздельно для каж­дой из составляющих:

F = Ttmri,

F∙v = c2-γ-m7. (37)

At

Легко показать, что скалярное произведение 4-векторов силы и ско­рости равно нулю.

9. СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ИНВАРИАНТЫ

Мы уже упоминали, что скалярные произведения 4-векторов представляют собой инварианты. Рассмотрим, например, скаляр­ное произведение четырехмерного радиуса-вектора (координаты — время) и четырехмерного волнового вектора

(k,ω∕c) • (г, Ct) = к • г — ωt. (38)

Это скалярное произведение присутствует в хорошо известном вы­ражении Elkτ~Lωt, описывающем распространение плоской волны.

Ряд важных инвариантных соотношений можно получить в виде скалярных произведений с участием 4-вектора градиента V, — (LC)∂∕∂T. При этом следует отметить, что временная состав­ляющая этого 4-вектора в отличие от других 4-векторов имеет знак минус. В качестве примеров таких лоренц-инвариантных скалярных произведений можно привести уравнение для 4-вектора потенциа­ла электромагнитного поля.

А 1 φA ÷ -J-X — — 0

С2 T

И уравнение непрерывности 4-вектора тока

V’j÷s=0∙

(39)(40)Которые инвариантны относительно преобразований Лоренца. Скалярное произведение 4-градиента на самого себя, называемое

□2 - v2 -

:9t2’

(41)Даламберианом, или оператором Даламбера 1 ∂2

Представляет собой скалярный оператор. При действии на скаляр­ную функцию мы получаем волновое уравнение

□2Ф = 0. (42)

Используя выражение для скорости распространения электромаг­нитной волны в свободном пространстве c2 = l∕μo≤e и оператор Даламбера, можно получить следующие уравнения, связывающие пространственные и временные компоненты 4-векторов потенциала электромагнитного поля и тока:

D2A = -μ0 J, (43)

O2 φ = — p∕ε0. (44)

10. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА

До сих пор мы рассматривали вращения в пространстве и простран­стве-времени, не учитывая преобразований переноса. В простран­стве Минковского существует преобразование более общего вида, сохраняющее постоянство скорости света. Его называют преобра­зованием Пуанкаре или неоднородным преобразованием Лоренца. Это преобразование переводит 4-вектор V в V

V1 = LgV + 6, (45)

Где Lg обобщенное преобразование Лоренца (его иногда называ­ют однородным преобразованием Лоренца), а Ъ учитывает перенос начала координат в пространстве-времени. Преобразование Пуан­каре содержит десять независимых параметров, четыре из которых определяют перенос вдоль осей Х, у, Z и Ct, три — скорости сдвига, или буста, Vx, Vy и Vz, И три — эйлеровы углы при вращении в про­странстве.

Обобщенное преобразование Лоренца Lg включает переход от нештрихованной системы Х, у, Z, Ct к штрихованной X1 ,Y‘, Zl, Ct‘, в ко­торой начало новой системы координат движется со скоростью V, а новые оси координат повернуты относительно старых. Преобразо­вание Lg может быть разложено на произведение пространствен­ного вращения R и преобразования Лоренца, не связанного с пово­ротом системы координат, или буст L, т. е.

Lg = RL = L1R1, (46)

Причем в общем случае Д ≠ R1 и LL‘. Пространственные враще­ния не коммутируют с преобразованиями Лоренца, за исключением

Случая, когда направление сдвига скорости совпадает с осью враще­ния. В гл. 3 мы уже отмечали, что R и R в общем случае имеют вид

а буст l в самом общем случае может быть записан в виде действи-тельной и симметричной матрицы
(7 - wz a \
,/ɪ + (7-1)^ (7-1жд,/з2
(7 ~ ^}βyβχ
p2
(7 - wx
p2
-βχ^1
,p2,1 , (7 - l)∕3y
p2
(7 - l)β2py
p2
-pyl
,/з2
2 (7 - wz
,p2 о (7-l)∕3?,p2
-βz4
,-pxl
~py^ι
~βz^f
у /
,(48)

∕ cos θxx

COS θxy

∞S θxz

R -~ I cos θyx

COS θyy

COS θyz J,

(47)

Ycos O zχ

COS θzy

CcγλΘzz)

Определитель которой равен +1. При обсуждении пространствен­ных вращений в гл. 3 мы уже отмечали, что их можно разделить на собственные, детерминант которых |Д| = +1, и несобственные, с |Д| = — 1. Собственные и несобственные вращения образуют непе — ресекающиеся множества в том смысле, что все собственные враще­ния, например, могут быть преобразованы друг в друга последова­тельностью бесконечно малых собственных вращений. Аналогичное справедливо для несобственных вращений, однако не существует последовательности инфинитезимальных матриц, которая перево­дила бы собственные вращения в несобственные, или наоборот. По­добное преобразование требует операции инверсии, вследствие чего собственные и несобственные вращения никогда не переходят друг в друга. Другими словами, векторы нашего реального мира и их зеркальные отражения нельзя преобразовать друг в друга никаки­ми пространственными вращениями.

Говоря о пространственно-временном многообразии мира Мин­ковского, следует отметить, что имеется четыре набора непере — секающихся преобразований и четыре набора 4-векторов. Общее преобразование Лоренца (48) является собственным в том смыс­ле, что оно не включает в себя инверсию. В пространстве Мин­ковского возможны следующие операции: пространственная инвер­сия, связанная с входящей в уравнение (46) матрицей R-, инвер­сия времени, связанная с бустом L в том же уравнении и, нако­нец, пространственно-временная инверсия, в которой участвуют обе

104 Глава 7. Теория относительности

Матрицы, RnL. Ниже приводятся матрицы, производящие эти три типа инверсий.

Z-I

Инверсия

Х —> —х

IV = — I

-1

Пространства

У →

-1

(изменение

Z —> — Z

IV = +1

+V

Четности Р)

T → t

Z+1

Инверсия

Времени

(обращение

Х —> X

Y→y

Z > Z

IV = +!

IV = — I

+1

+ 1

-V

Времени Т)

T → — t

Z-I

Инверсия

X → —х

IV = -1

-1

Пространства-

У

-1

Времени

Z > — Z

IV = — I

(PT)

T → — t

Zi

λ

X —> X

IV = +ι

1

Тождественное

Y→y

1

Преобразование

Z ¼ Z

IV = +1

У

T → t

Мы знаем, что многие законы физики инвариантны относитель­но операций изменения четности P и обращения времени Т, ко­торые соответствуют первым двум матрицам, причем указанные операции коммутативны, т. е. PT = TP. Существует также тре­тья операция, называемая зарядовым сопряжением, которая пе­реводит частицы в античастицы. Соответственно существует ин­вариантность относительно этих трех операций, называемая CPT — инвариантностью. Этот вопрос рассмотрен в гл. 26.

ГЛАВА8

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *