СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

171. В гл. IV мы разъяснили, чтд понимается под Сходящимся, расходящимся и Колеблющимся бесконечным рядом, и проиллюстри­ровали наши определения на нескольких простых примерах, связан­ных, главным образом, с геометрической прогрессией

1 +х + х[69] [70] + …

И некоторыми другими аналогичными рядами. В настоящей главе мы подвергнем бесконечные ряды более систематическому рассмотрению и докажем ряд теорем, которые дадут нам возможность определить, сходятся ли простейшие ряды, обычно встречающиеся в анализе.

Мы будем применять обозначение

UM + κm+l + ∙ ∙ ∙ + UN ~ Σ Т

Со

И писать ɪ М„, или просто 2 κn, вместо о

⅝ + М1 + a∙2 + • • • • *)•

эго замечание применимо,означает „положительны или172. Ряды с положительными членами. Теория сходимости ря­дов сравнительно проста, когда все члены ряда положительны2).

Мы сначала рассмотрим такие ряды, и не только потому, что их рассмотрение проще, но и потому, что исследование сходимости рядов с знакопеременными или комплексными членами часто приво­дится к аналогичным исследованиям рядов с положительными чле­нами.

Когда мы исследуем вопрос о сходимости или расходимости бес­конечного ряда, то можно пренебречь любым конечным числом его членов. Так, если ряд содержит только конечное число отрицатель­ных или комплексных членов, то мы можем отбросить их и приме­нить следующие далее теоремы к остающемуся ряду.

173. Напомним следующие основные теоремы о рядах с поло­жительными членами, доказанные в п. 77.

A. Ряд с положительными членами либо сходится, либо рас­ходится к со, но не может колебаться.

B. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы ряд JJan Сходился, является существование такого числа К, что

Uo+mi⅛∙ ∙ ∙ + are≤Ar

Для всех значений п.

C. Принцип сравнения. Если ∑,Un сходится и VnsSzuπ для всех значений п, то ∑,Vn также сходится и ∑,’Vn^∑,Un. Вооб­ще, если Vn^,Kun, где К—постоянная, то Vn сходится и Vn≤ Λ,JJwπ. Если же ∑,Unрасходится и Vn^Kun, где К поло­жительно, то Vn также расходится.

Более того, для определения сходимости или расходимости LVn С помощью этих признаков достаточно знать, что они выполняются для Всех достаточно больших значений п, т. е. для всех значений П, превосходящих некоторое определенное значение л0. Но в этом случае неравенство ∑τn≤ Λ"2∏n, конечно, может и не иметь места.

Укажем особенно важный частный случай этой теоремы.

D. Если ιιn сходится (расходится) и 1>п стремится при

Vn

N→-Co к пределу, отличному от нуля, то Vn также сходится (расходится).

174. Первые приложения этих признаков. Наиболее важной теоремой о сходимости специальных рядов из числа доказанных до сих пор является теорема о сходимости JJrn при r<≤J 1 и расходи­мости этого ряда при 1 1). В теореме C естественно положить Un = Rn. Тогда мы получим следующие результаты.

1. Ряд Yn сходится, если Vn^Krn, где r<J 1, Для всех до­статочно больших значений п.

ɪ) В настоящей главе предполагается, что Г положительно или равно нулю.

Когда Λ’≈l, это условие может быть записано в виде τ>yn≤r. Мы получаем известный Признак Kouiu сходимости рядов с поло­жительными членами:

2. Ряд Vn сходится, если V^N^R, где r<≤l, Для всех до­статочно больших значений п.

C другой стороны, мы имеем:

3. Ряд Vn расходится, если VPnΞ3Zl для бесконечного числа значений п.

Это очевидно, так как из следует Vn^Sl.

175. Признаки, основанные на отношениях соседних членов ряда. Существуют весьма полезные признаки, основанные на отно­шении ⅛i двух следующих друг за другом членов ряда. При рас-

Vn

Смотрении этих признаков мы должны предположить, что все Ип и Vn строго положительны.

Допустим, что й„Д>0, τ<n^>0 и что

(1)¾+ι ⅜+t Vn Mn

Для всех достаточно больших например, для w≥^∕z0. Тогда

4~ 1 ¾ 2
^лр 4~ 1
⅝-l,vrto
un-l

По

vn,>
по

Так что Vn^Kun, где К не зависит от я. Аналогично, (2)

Для n≥∕!θ влечет за собой Vn^Kun с некоторым положительным К. Следовательно, мы имеем:

4. Если (1) Имеет место для всех достаточно больших зна­чений п и Un сходится, то ,IVn также сходится.

5. Если (2) Имеет место для всех достаточно больших значе­ний я И Un расходится, то Vn также расходится.

Полагая в теореме 4 Un~Rn, находим:

6. Ряд Vn сходится, если ≤г, Где τ≤l, Для всех до­статочно больших значений я.

Этот признак известен под названием Признака Даламбера. Соответствующий признак расходимости, состоящий в том, что IVn Расходится, если γ∙l≥≈η где r⅛= 1, для всех достаточно больших значений я, тривиален,

Тем не менее признак Даламбера оказывается практически очень полезным, так как когда Vn имеет сложный вид, ⅛-* часто оказы-

Вается простым выражением, рассмотрение которого не представ­ляет никаких трудностей.

Часто случается, что — ztt-* или Vi,N стремится к пределу, когда VN N

И-»-OO*). Если этот предел меньше 1, то очевидно, что условия теорем 2 и 6 выполнены. Таким образом, мы имеем:

Мы увидим, что признак Даламбера теоретически слабее при­знака Коши в том смысле, что признак Коши всегда применим, когда применим признак Даламбера, но что часто признак Даламбера не­применим, когда применим признак Коши (см. ниже пример LXVIII. 9). Признаки, основанные на отношениях, неприменимы к таким „непра­вильным" рядам, как, например, O-∣- — -∣- О — J — у — J — О — J — ɪ — J-. ■. .

7. Если Vifn или ⅛-‘ стремится к пределу, меньшему единицы V11

При п-ь-со, то Vn сходится.

Почти очевидно, что если одно из этих выражений стремится к пределу, большему единицы, то Vn расходится. Доказательство этого предложения мы оставляем в качестве упражнения читателю.

Но когда V^N или ⅛- стремится к 1, то эти признаки не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Они неприменимы также и

В том случае, когда выражение Vi/N или —— колеблется таким об — Vn

Разом, что будучи всегда меньше 1, оно принимает значения как угодно близкие к 1; признаки, основанные на отношении -"+-, не­применимы и тогда, когда это отношение колеблется так, что оно иногда принимает значения меньшие, а иногда значения большие 1. Когда τ>V" ведет себя таким образом, теорема 3 достаточна для до­казательства расходимости ряда. Но уже ясно, что существует боль­шое количество случаев, в которых необходимы более тонкие при­знаки.

Примеры LXVlll. 1. Применить признаки Коши и Даламбера (в их спе­циальном виде, сформулированном в теореме 7) к рядам Nkrn, где А — по­ложительное целое число.

[Здесь

⅛= M + lλfe

Vn \ п

1) Ниже мы покажем (см. гл. IX, пример LXXXVII. 36), что из VirNL

Следует, что —— —► I. Что обратное предложение может не иметь места, VN

Видно из примера VnI для нечетных П и Vn 2 для четных П.

И признак Даламбера показывает, что ряд сходится, если Г < 1, и расхо­дится, если R> 1. Признак не дает ответа, если r=I; но в этом случае ряд, очевидно, является расходящимся. Так как /!v"→l (см. пример XXVII. 11), признак Коши приводит к тому же результату.]

2. Рассмотреть ряд

2 (Ank + Bnk~l + … + K)rn.

[Мы можем предположить, что А положительно. Если мы коэффициент при Rn обозначим через P (н), то P (п)-^ Ank, и, по теореме D п. 173, этот ряд ведет себя как ∑∕ιfern.]

3. ank + bnk 1 + ... + к .
αn' + βn'-ι + ... + -Λ г

(а > 0, а > 0).

Рассмотреть

[Этот ряд ведет себя, как Nk^LRn. Случай, когда Г== 1, K<Zl, требует особого рассмотрения.]

4. Мы видели (см. гл. IV, Разные примеры, 25), что ряды сходятся. Показать, что признаки Коши и Даламбера неприменимы к ним. [Действительно, Iim U%n = Iim 1 = 1.]

1
n(n-∖-l},
и (и+!)...(«+ р)

О. Показать, что ряд

∑n~p

Где Р — целое число, не меньшее 2, сходится.

[Так как П (п -[-1)… (п — j-p — 1)~ Пр, то это следует из рассмотрения

Рядов, исследованных в примере 4. В п. 77 (7) мы доказали, что ряд рас­ходится, если Р = 1, и он, очевидно, расходится при ρ≤0∙]

6. Показать, что ряд из примера 3 сходится, если r=I, ∕>⅛+I, и расходится, если г—1, ∕≤⅛ + l.

7. Если Mn — положительное целое число и Mn+L > тп, то ряд

V1 M,T 2j Г «

Сходится при г<1 и расходится при r^⅛l. Например, ряд

1 _|_ Г /-ŋ , t.

Сходится при r<I и расходится при

8. Просуммировать ряд 1 -)- 2r + 2r4 + … с точностью до 24 знаков, если г = 0,1, И с точностью до 2 знаков, если г = 0,9.

[Если /- = 0,1, то первые пять членов дают сумму 1,2002000020000002,

Причем ошибка равна

9»-25

2z-25 + 2z-3β + …<2r25 + 2z-3β + 2z-47+… = j—yrt<3 ∙ 10-2s.

Если /- = 0,9, то первые 8 членов дают сумму 5,458…, а ошибка не пре­восходит

9. Если O < А < B < 1, то ряд

A -[- B -[- π2 -[- 52 О3 -(-,,,

сходится. показать, что признак коши применим к этому ряду, тогда как признак даламбера неприменим.
[действительно,
,w2∏+l,b ∖n+1,v2∏÷2.
10. ряды
rn t∙n
⅛ и ∑ς
,rtn
сходятся для всех г, а ряды

NRn и

Сходятся ни для одного г, кроме г=0.

(Экз. 1935, 1930 гг.)

11. Ряды

V!JιrN ŋ {(Tt+L)∕-}N IU+V ’ «”+1

Сходятся при Г<1 и расходятся при r≥l.

(Экз. 1927, 1928 гг.)

[При Г =I применить результаты п. 73 и п. 77 (7).]

12. Если ∑an ряд сходится, то сходятся и ряды

И ςΓ⅛∙

13. Если ряд сходится, то сходится и ряд

[Гак как — J ≤ к* + -2, а ряд £ сходится.]

14. Показать, что

1 + ʌ ÷ — ÷ = — ( 1 ÷ — ÷ — -4-

R 3,! ɪɔ2 ɪ————— 4 ∖ ʃ 22 ʃ 32 ɪ

15
16
(ɪ +⅛ + ⅛ + ∙∙∙)
1 + 22 + 32 + 52 + 62 + 72+ 92 + " ''

[Для доказательства первого результата заметим, что

ι + 212+⅛ + ∙∙∙ = (1 +i) + faɪ +⅛) + ∙∙∙ =

= 1+ 32+5Γ+∙"+2^(1÷2i+32+"∙),

По теоремам (8), (6) и (4) из п. 77.]

15. Доказать приведением к противоречию, что ɪj — расходится.

[Если бы ряд был сходящимся, то с помощью рассуждения, аналогич­ного примененному в примере 14, мы нашли бы, что

- -4- -ɪ- 4- ...
3 ɪ 5 ʃ
1+2 +⅛ + ∙'

ИЛИ ЧЮ [71]I1-L1J. — IJ-1J-1J.

T+T + ɪ+ ∙∙∙-1+y + y + ∙∙∙-

А это содержит противоречие, так как каждый член первого ряда меньше соответствующего члена второго.]

176. Прежде чем перейти к дальнейшим исследованиям призна­ков сходимости и расходимости, мы докажем одну важную общую теорему о рядах с положительными членами.

Теорема Дирихле ɪ). Сумма ряда с положительными членами не зависит от порядка, в котором суммируются члены ряда.

Теорема утверждает, что если мы имеем сходящийся ряд с по­ложительными членами, скажем и0 -{- U1 -∣- K2 4~ • • • > и образуем лю­бой другой ряд из тех же членов

VI + V2 + • ‘ • >

Беря их в каком-либо другом порядке, то этот второй ряд будет также сходиться, и его сумма будет равна сумме первого ряда. Ко­нечно, ни один член первого ряда не должен быть пропущен Во Втором: каждое И должно встречаться среди τ∣, и наоборот.

Доказательство чрезвычайно просто. Пусть s будет сумма ряда И. Тогда сумма любого числа членов, произвольно выбранных Из Этого ряда, не будет превосходить s. Но каждое V является одним из И, и поэтому сумма любого числа членов ряда V не больше s. Следовательно, Vn сходится и сумма T этого ряда не превосхо­дит s. Но мы можем точно таким же образом показать, что s≤∕< Следовательно, S = T.

177. Умножение рядов с положительными членами. Следую­щая теорема является непосредственным следствием теоремы Ди­Рихле: Если U0-[-U1Ui-… и V0 — ф — Vl — ф — ¾ — J-… — Два сходящихся ряда с положительными членами, причем S и T являются их сум — мами, то ряд

Mo + («Л ÷ U0vi) 4- (uiv0 + u1v1 + u0vi) +

Также сходится и имеет сумму St.

Запишем все возможные произведения вида Umvn в форме беско­нечной таблицы

K0U0 I

KlV0 .

K3V0

K3V0

K0U1

KχV1 I

K2U1

K3U1

K0U2

K1U2

K2U2

K3U2

K0U3

K1U3

K3V3

K3U3

Из этих членов мы можем составить простые последовательности многими способами, и, в частности, следующими двумя.

(1) Начнем с единственного члена κ0u0, для которого MJN = 0; Затем возьмем два члена U1V0, U0V1, для которых MN== 1; затем три члена M2U0, κ1u1, κ0u2, для которых Tn-{-N = 2 и т. д. Тогда мы получим ряд

M<Po ÷ (¾*⅛ + κ0u1) + (m2u0 4- H1U1 + H0U2) 4-…, фигурирующий в теореме.

(2) Начнем с единственного числа κ0u0, для которого оба Ин­Декса равны нулю; затем возьмем члены κ1u0, κ1u1, κ0u1, для кото­рых ни один индекс не превосходит 1, но по крайней мере один индекс равен 1; затем члены κ2u0, k2u1, k2u2, k1u2, k0u2, для кото­рых ни один индекс не превосходит 2, но по крайней, мере один индекс равен 2 И Т. д. Суммы этих групп членов равны соответ­ственно

κ0u0, (κ0+ K1) (U0 4-u1)- K0U0,

(K0 + K1 + K2) (U0 + U1 + U2) — (K0 4- κ1) (u0 + U1), ….

А сумма первых я +1 групп равна

(κo + K1 +.. • + к„) (u0 + U1 + . .’. + и„),

Что стремится к St при я → оо. Когда мы образовываем сумму ряда таким способом, то сумма первой, первых двух, трех, … групп содержит все члены в первом, втором, третьем, … прямоугольнике приведенной выше таблицы.

Сумма ряда, образованного вторым способом, равна St. Но пер­вый ряд (если отбросить скобки) является перестановкой второго и, по теореме Дирихле, он также сходится к сумме St. Теорема до­казана.

Примеры LXlX. 1. Проверить, что если г<1, то

1 ψrS-(-r4-r4ψrβ4-r3+.-.=l 4-Г+Г3 + Г2 + Г5+Г7+.. ɪj-.

2 1). Если один из рядов H0 + K1 + …, u0 + U1 +… расходится, то рас­ходится И ряд

_________ K0U0 -(- (U1U0 -(- K0U1) -(- (UsV0 4^ KtU1 + K0U;;) .,

1) В примерах 2—4 имеются, конечно, в виду ряды с положительными членами.

За исключением того тривиального случая, когда каждый член другого ряда равен нулю.

3. Если ряды «„ — j — «1 ++ V1 + …, α,0 + α,ι + • • • сходятся к сум­мам Г, S, T, то ряд ∑λ⅛, где

>-fe = Σ Umvnwp,

Причем суммирование производится по всем системам значений Т, п, р та­ким, что Т 4- П 4- Р = к, сходится к сумме Rst.

4. Если ряды ∑aπ и ∑Hn сходятся к суммам s и T, то ряд ∑α∣n, где

IHn = ∑ Ulvm,

Причем суммирование производится по всем парам значений Z, Т, для ко­торых Im = п, сходится к сумме St.

178. Дальнейшие признаки сходимости и расходимости. При­меры, приведенные на сгр. 343 — 6, показывают, что существуют простые и интересные типы рядов с положительными членами, к которым общие признаки пп. 174 — 5 неприменимы. Действительно,

Если мы рассматриваем какой-либо простой ряд, для которого “"+- Ип

Стремится к пределу при n→∞, то Признаки пп. 174 — 5 Будут, вообще говоря, неприменимы, если этот предел равен 1. Так, в примере LXVIII. 5 эти признаки оказались неприменимы, и мы должны были прибегнуть к специальным приемам рассмотрения, ко­торые по существу заключались в применении для сравнения вместо геометрической прогрессии ряда из примера LXVIII. 4.

Это объясняется, между прочим, тем, что геометрическая прогрессия, сравнением с которой были получены признаки пп. 174—5, не только схо­дится, но сходится Очень быстро. Признаки, полученные сравнением с ней, являются поэтому, вполне естественно, весьма грубыми. Часто требуются более тонкие признаки.

В примере XXVII. 7 мы доказали, что π⅛rn→0 при H→∞, если г<1, каково бы ни было значение К. Более того, в примере LXVIII. 1 мы доказали, что ряд NkJl сходится. Отсюда следует, что последовательность

Г, г2, г3, , Rn, …,

Где г<1, убывает быстрее чем последовательность l^fc, 2^⅛, 3~*, …, zi"fc, ….

Это кажется на первый взгляд парадоксальным, если Г не на много меньше 1, а К велико. Так, из последовательностей

2 4 8 , 1 1

‘3’ 9 ’ 27’ ‘- ’ 1, 4096’ 531 441 ’ " ‘ ’

Z 2 \л

Общие члены которых соответственно суть fɜ- I и и-12, вторая кажется

На первый взгляд убывающей гораздо быстрее первой. Но если мы возьмем достаточно далекие члены этих последовательностей, то мы убедимся в том, что члены первой последовательности будут гораздо меньше членов второй. Например,

/2V_16 L U/ 81*^5’

2u2
з/
,< iv
юу >
1 ∞o
<
1 ∖166
юу ’

Тогда как 1 000 [72] = 10 зв,

Гак что тысячный член первой последовательности в IOt3tl раз меньше соответствующего члена второй последовательности. Таким образом, ряд

Сходится гораздо быстрее, чем ряд

∑∏-ιs,

А этот ряд, в свою очередь, сходится гораздо быстрее, чем ряд ∑n~21)∙

Существуют два признака, а именно Интегральный признак Маклорена (или Коши) и Признак сгущения Коши, которые ока­зываются особенно полезными тогда, когда признаки из пп. 174—5 неприменимы. В упомянутых признаках Маклорена и Коши делается еще одно дополнительное предположение относительно Ип, а именно, что Ип монотонно убывает с возрастанием П. В наиболее важных случаях это условие выполняется.

Но прежде чем мы перейдем к этим двум признакам, мы дока­жем одну простую, но важную теорему, которую мы будем назы­вать Теоремой Абеля*). Она дает Необходимое условие сходимости ряда с монотонно убь/вающими положительными’ членами.

179. Теорема Абеля (Прингсхейма). Если Un — сходящийся ряд с убы­вающими и положительными членами, то lira Nun 0.

Действительно,

“л+1 + κn+2+ . . • → 0,

И тем более

"я-n + “n+s + • • • + Uin —► 0, а эта сумма не меньше Nuln. Следовательно,

2ии»я = 2 (πu2n) —► θ∙

Кроме того,

(2и + 1) κ2π+t ≤ Znuln → 0,

И, следовательно, Nun → 0.

Примеры LXX. 1. Применить теорему Абеля для доказательства расхо­димости рядов

У JL V ɪ ∙^j n, an--t>’

[здесь Nun→-l или Nun → ɪ,l

2. Показать, что утверждение теоремы Абеля может не иметь Места, если не выполнено условие, что Ип убывает с возрастанием и.

[Ряд

Lɪiɪiɪiɪ-ɪ-j. A—L 1 — L — L — L i ɪ J—————— L

1
-j в противном слу-
τ2∙≈ t 32 ‘ 4 τ5i 6i 718i 9 r 10s r " ‘ ’

В котором И — ~, если П — точный квадрат, и И„ ■

Чае, сходится, так как с помощью перестановки его членов он может быть представлен в виде

22 + 32 + 521 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , , Λ , 1 , 1 , \

W +∙∙∙+ ∖1+T+SΓ + ∙∙∙J>

а каждый из этих рядов сходится. но так как nun=Λ для каждого п, которое является точным квадратом, то утверждение теоремы не имеет места.]
3. предложение, обратное теореме абеля, неверно, т. е. из того, что ип убывает с возрастанием п и iimzton = o, не следует, что ряд ∑ ип сходится.
[возьмем ряд v — н умножим его первый член на 1, следующий на у, 1
,l zl
1 1 следующие два на ɪ, следующие четыре на ɪ и т. д. группируя в скобках члены этого нового ряда, получим: 1 1 . 1 / 1 . 1 \ . _1 4
,следующие восемь на
о
,!+•,λ , 1
9^3
,i + i
3'4
,½- + ⅛+y + ⅛i+'

А этот ряд расходится, так как его члены Не меньше соответствующих чле­нов следующего ряда:

ι+l. i + i. l + l. l +

1 ‘ 2 2[73]3 2^4 2 ‘ *

Который расходится. Но легко видеть, что члены ряда

ι + Λ.l + l. l + 1 ʃ 2 2^3 3 r з5+71 ‘ 1 .1 + …
о ʃ

Удовлетворяют условию zιzzn→O. Действительно, Tuιn = —F когда

•со при tz- со.1

180. Интегральный признак Маклорена (или Коши) *). Если монотонно убывает с возрастанием П, то мы можем записать ил в виде φ(zι) и предположить, что φ(zz) есть значение при Х = п Некоторой непрерывной и монотонно убывающей функции φ(X) от Непрерывного переменного Х. Тогда, если v — любое положительное целое число, имеем:

φ(v-~ l)Ξ≥φ(x)5⅛φ(v)

Для ⅛ — 1 ≤ Х ≤ V. Пусть

= φ(v-1)—ʃ Ef{χ)Dx j {φ(v — 1) — φ(x)}dx,

Гак что O≤τ∖≤φ (v —1) — φ (v).

Тогда IV.L является рядом с положительными членами и

¾÷⅛ + ∙∙ ∙ + ⅞≤<P(0-‘Непо­Следовательно, £г\ сходится, т. е. V,1 + VI -∣- … — J — Vn, или

Л

(V) — J φ (х) Dx 1

Стремится к некоторому положительному пределу, не превосходя­щему φ(l), когда N→∞.

Положим

Ф ɑ) = ʃ φ (х) Dx,

1

Так что Ф (S) является непрерывной и монотонно возрастающей функцией от S. Тогда

Ml-I-ZZ2 + … + —Ф(я)

Стремится при П → со к некоторому положительному пределу, не превосходящему φ(l). Следовательно, LUy сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли Ф (я) при я → ∞ к конечному иредёлу или нет. А так как Ф (я) монотонно возрастает, то UСходится или расходится, в зависимости от того, стремится ли Ф (S) при S→∞ к некоторому конечному пределу или к бесконечности. Таким образом, Если φ (х) Положительна и непрерывна для всех значений х, Больших 1, И монотонно убывает при возрастании х, то ряд

φ(l)+φ(2) + …

Сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли
ξ

Ф (ξ) = ʃ φ (х) Dx 1

При S →∞ι К некоторому пределу I или Нет, причем в первом случае сумма ряда не превосходит φ(l)+Z.

Сумма этого ряда должна быть в действительности меньше, чем φ (1) — j-Z. В самом деле, из (6) п. 165 и гл. VII. Разные примеры, 43, следует, что С,, < φ (`z — 1) — φ (■*), за исключением того случая, когда φ (х) — φ (у) во всем интервале (у — 1, v); но это не может иметь места для всех значений Ч<

181. Ряд LN~~S. Самым важным приложением интегрального признака является исследование ряда

L-i + 2-i + 3-∙f + …,

Где S — любое рациональное число. Мы уже видели (см. и. 77 ц примеры LXVIII. 15 и LXX. 1), что при S=I ряд расходится.

. Если S ≤ О, то ряд, очевидно, расходится. Если s О, то Ип Убывает с возрастанием П, и мы можем применить интегральный признак. В данном случае

1

Если S≠l. Если s^>l, то s→0 при ξ→-∞ и

Φα)→s41=/.

Если же S≤l, то ξ1~s→-∞ при ξ-*-∞, так что Φ(ξ)→∞. Таким образом, ряд ∑rΓs сходится, если s^>l, и расходится, если s≤l, В случае его сходимости сумма ряда меныие ɪɪɪ.

Мы могли бы, конечно, доказать расходимость ряда для s < 1 его срав­нением с расходящимся рядом ∑ я-’.

Интересно, однако, провести исследование ряда ∑ Rrl с помощью интег­рального признака. В этом случае

φ(3 = ∫¾∙,

1

И легко видеть, что Φ(ξ)→∞ при B→∞. Действительно, если ξ > 2", то In 2 4 2"

♦«»>/ Mτ + J⅞+’∙∙+∫

1 ɪ 2 2N-1

Но полагая Х — Cλru, найдем, что

Ir + 1 2

Г ≤⅛- C Ли
J Х ~ J И ’

Ir 1

21И, таким образом, откуда следует, что <f>(ς)->∙∞ при ξ->-∞.

Примеры LXXI. 1. Рассуждением, аналогичным проведенном)’ выше, И Без интегрирования доказать, что

Е

1

Где s С 1, стремится к бесконечности при ς→-∞.

2. Ряды

", ∑ П~ *⅛, ∙∑ιN~ "ʌo

Сходятся, и их суммы не превосходят соответственно 2, 3, 11. Ряды ∑n-1⅞ ∑∕z-k’λi

Расходятся.

3. Ряд

∖ι ιιs ^nt в ’

Где в>0, сходится, если T> s+ 1, и расходится, если Z≤s + 1. [Сравнить с ∑ ∕rs^C]

4. Исследовать сходимость ряда

V AS?* + A-n^’ + ∙ ∙ ∙ + a⅛w9Fe Blntl + bitιt- 4- … + Blntι

Где все буквы обозначают положительные числа, и показатели s и T рацио­нальны и приведены в убывающем порядке.

5. Доказать, что если Т > 0, то

»z2 , (zh + 1)s 1 (w + 2)i

6. Доказать, что

∑l 11
„s ʃl < 2 + 4 ^

7. Доказать, что

A — 1 — а — + п — < ‘2 "’

(экз. 1909 г.)
8. доказать, что
цап — 2 ■
,уг у2
<2^j∕n- 1,
y∏
1 ɪ , 1
■ < +
,2 yi ʃ 3 у2 ' ’ 4 уз + " ’ ^c % + ŋ',9. если s(n)→∕>l, то ряд
∑ п~ φ (я)
сходится. если φ(n)→l<l, то ряд расходится.
10. доказать, что если β > 0, ⅛>0 и 0<s<l, то
ф (л) = (β + b)~s + (в + 2b)~s + ... + (в + nb)~s -
,(экз. 1911 г.),(а + nb)l~∙
w-«)

Стремится к некоторому пределу А, когда N→-Co. Доказать также, что ⅛(∏)—ψ (п— l)=0(W^5~*), и вывести отсюда, что ψ (я) = А Д — О (N~S).

23 Г. Xapnij

182. Признак сгущения Коши. Второй из упомянутых в п. 178 Признаков гласит: Если Un = Z>(N) является убывающей функцией от п, то ряд

∑φ(")

Сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится ряд

22nφ(2β).

Мы можем доказать это с помощью рассуждения, которое уже однажды применялось при рассмотрении ряда 2 n~l (cm∙ π∙ 77). В первую очередь, мы имеем:

TP(3) + φ(4)≥⅛2φ (4),
φ (5) + φ (6) ɪ φ (7) ɪ φ (8) Ξ≥ 4φ (8),
φ (2π + 1) -J — φ (2π + 2) + … — J — φ (2n+1) ≥≥ 2πφ (2π+1>.

Если 2 2nφ (2") расходится, то расходятся и ряды

2 2π+1φ (2π+1), 2 2πφ (2π+1),

И полученные неравенства показывают, что.2? («)также расходится.

C другой стороны,

φ (2) + φ (3) ≤ 2φ (2), φ (4) + φ (5) + φ (6) + φ (7) ≤ 4φ (4)

И т. д. А Из этой системы неравенств следует, что если 2 2πφ (2") сходится, то сходится и 2tP(β)∙ Теорема доказана.

Для наших целей область применения этого признака практи­чески совпадает с областью применения интегрального признака. Признак сгущения позволяет нам с такой же легкостью, как и ин­тегральный признак, исследовать ряды N~S. Действительно, N~A Сходится или расходится в зависимости от сходимости или расхо­димости ∑2N2~Ns, т. е. в зависимости от того, будет ли ∙s^>l или ≤ 1.

Примеры LXXII. 1. Показать, что если А — любое положительное целое число, большее I, то ∑ φ (и) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится ∑ αnφ (а”).

[Применить те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы, но группируя по A, Ai, As, … членов.]

2. Если 2 2nφ (2я) сходится, то Iim 2πφ (2я) = 0. Вывести отсюда теорему Абеля из п. 179.

183. Дальнейшие признаки, основанные на отношениях. Если Un = TΓs, то, по теореме Тейлора,

где 0<^θ*≤ 1, и, таким образом,,⅛+iv(>+∣Γ'

(1)Допустим теперь, что VN+L

V

Если α^>l, то мы мбжем выбрать s так, что l<^s<^α, и тогда

гп+1
vn

Для достаточно больших П. Но Σ Un сходится, и, следовательно, по признаку 4 П. 175, будет сходиться также ∑τ>n. Аналогично, если д<^1, то мы можем выбрать s так, что α<≤s<≤l, И Доказать расходимость Σ Vn сравнением с расходящимся рядом Σ И„. Отсюда следует, что Если Vn удовлетворяет, условию (1), То Σ Vn сходится, если α^>l, И расходится, если α<^l. Случай А=1 мы должны отложить до следующей главы (пример XC- 5).

Мы можем таким же путем доказать, что если (1) имеет место при любом положительном А и 0<^s<^α, то Vn ≤ К Ri^S, и, следо­вательно, Vn»0.

рядv v — 1 ɪ асё.
—u vn — ɪ 1 • 1 ∙ γ
Рассмотрим, В частности, так называемый „гипергерметрический*

(2)≈(≈ + L)∙β(β + L)
L∙2∙γ(γ + L)

Где α, β, γ — действительные числа, причем ни одно из них не равно ни нулю, ни целому отрицательному числу. Тогда для доста — очно больших П члены этого ряда имеют постоянный знак и

υN+l (А + Д) (β + п) 1 _ T+ 1 A β I /ɔ ∕ ɪ λ

¾ (1 + «)(т + я) « NsΓ

Следовательно, Ряд (2) Сходится, если γ > а 3, И расходится, если γ<^α-j-β. В частности, ряд

I _l ™ Ot(ot÷1)

II + ι.2 +∙∙∙

Сходится, если M<^0, и расходится, если т^>0. Кроме того, Vn->0, если γ^>a-j-β-1.

184. Несобственные интегралы. Интегральный признакам, п. 180) показывает, что если φ(x)— положительная и убывающая функция от Х, то ряд Σ φ (л) сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли Ф (х) — интеграл от φ(x) — при x-→oo к ко­нечному пределу или нет. Допустим, что Ф (х) стремится к конеч­ному пределу при х—÷∞ и что

X

Iim fφ (/)£# = /.

.t→∞ »’

Тогда мы будем говорить, что Интеграл

OO

[ φ (O Dt

1

Сходится и имеет значение I, и будем называть этот интеграл Несобственным.

До сих пор мы предполагали, что φ (Z) положительна и убывает. Но представляется естественным перенести наше определение и на другие случаи, причем предположение, что нижний предел равен 1, несущественно. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Если ψ(Z) Является непрерывной функцией от T для T^A и

X

Iim Г φ (Z) Dt = I,

XO0 V А

То мы будем говорить, что несобственный интеграл

OO

J φ (ŋ Dt

А

Сходится и имеет значение I.

C Другой стороны, если

X

J φ (Z) Dt-~> оо, А

То мы будем говорить, что интеграл Расходится к оо, и анало­гичное определение вводится для расходимости к —оо. Наконец, если ни одно из этих предельных соотношений не имеет места, То Мы будем говорить, что интеграл Колеблется, ограниченно или Неограниченно, при x-→co.

В связи с этими определениями отметим следующее.

1°. Если мы положим

J φ(Z) Dt = Ф (х),

А

То интеграл сходится, расходится или колеблется в зависимости от того, стремится ли Ф(х) при Х —.со к векоторому конечному пределу, к оо (или—оо) или колеблется. Если Ф(х) стремится к пределу, который МИ Можем обозначить через Ф(оо), то значение интеграла равно Ф(оо). Вообще еслиФ(х)— любой интеграл от φ(x), то значение рассматриваемого несоб Ственного интеграла равно Ф(со) — Φ(α).

2°. В том случае, когда φ (/) всегда положительна, ясно, что Ф(х) яв­ляется возрастающей функцией от Х. Следовательно, в этом случае интег­рал может только либо сходиться, либо расходиться к со.

3°. Общий признак сходимости, соответствующий общему признаку из п. 96, гласит: Для сходимости интеграла (1) Необходимо и достаточно, чтобы

XK J

J φ (х) Dx J C д

XI

Для X» > X1 Ξ≥ X (δ).

4°. Читателя не должно смущать то обстоятельство, что термин Беско­нечный интеграл [74]) может обозначать вполне определенное число, как 2 или ɪ π. Различие между бесконечным и конечным интегралом аналогично раз­личию между бесконечным и конечным рядом. Однако никто не предпола­гает, что бесконечный ряд обязательно расходится.

5°. Интеграл

X

J’φ(O<if

А

Был определен в пп. 161 —2 как Простой предел, т. е. как предел некото­рой конечной суммы. Несобственный интеграл является поэтому Пределом предела нли так называемым Повторным пределом. Понятие несобствен* ного интеграла существенно сложнее понятия обычного определенного интеграла, развитием которого оно является.

6°. Интегральный признак из п. 180 может быть теперь сформулирован так: Если φ (х) Положительна и монотонно убывает с возрастанием х, то бесконечный ряд ∑φ(∕z) И несобственный интеграл

J φ (х) dX 1

Либо оба сходятся, либо оба расходятся. ■

7°. Читатель без труда сформулирует и докажет теоремы о несобствен­

Ных интегралах, аналогичные теоремам (1) — (6) п. 77. Так, теореме (2) соот­ветствует следующая теорема: Если

СО

J φ (X) Dx‘‘

А

Сходится и B χ-а, то

Со

I γ(χ)6χ ь

Также сходится и

Со Ь со

J φ (X) Dx = ʃ φ (х) Dx ∣*[φ (х) Dx.

185. Случай положительной φ(x). Естественно рассмотреть те общие теоремы о сходимости или расходимости несобственного интеграла (1) из п. 184, которые соответствуют теоремам A∙—D П. 173. Что теорема А имеет место и для интегралов, мы уже ви­дели в и. 184, 2°. Теореме В соответствует следующее предложение: Необходимым и достаточным условием сходимости интеграла (1) Является существование такой постоянной К, что

X

∫φ(OtZZ<∕C

А

Для всех значений х, больших а. Аналогично, в соответствии с С, мы имеем: Если

Со

ʃ φ(x)fi⅛

А

Сходится и ψ (х) ≤ ∕fφ (х) Для всех значений х, больших а, то

OO

ʃ ψ(x)dx

А

Также сходится и

OO OO

ψ (х) DxК ʃ φ (х) Dx.

А а

Формулировку соответствующего признака расходимости мы остав­ляем читателю.

Отметим, что признак Даламбера (см. п. 175), существенно за­висящий от понятия следующих друг за другом членов, не имеет аналога для интегралов; аналог признака Коши практически не иг­рает большой роли и, во всяком случае, может быть сформулиро­ван только после того, как мы подробнее изучим (в гл. IX) функ­цию φ(x) = rv. Наиболее важные специальные признаки получаются, сравнением с интегралом

Jp — <»>»>■

А

Сходимость и расходимость которого мы уже исследовали в п. 181. Эти признаки состоят В следующем: Если φ (х) <2Λ’x~i, Где s^>ll Для всех х^а, то

OZl£

J φ (х) Dx А

Сходится; если же Y(x)~>Kxs, где tC^>O и s≤l, для х^а, то интеграл расходится. В частности, если

Iim xsφ(x) = Z,

Где Z^>0, то интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли s^>l или ≤1.

Имеется одно основное свойство сходящихся бесконечных рядов, аналог которого для несобственных интегралов неверен. Если 2 TP (и) сходится, то -(л)—>0; но Не всегда верно, даже если о (х) положительна, что если

OO

J φ(*)d*

А

график которой изображен на в точках х=1, 2, 3,... равна. площадьтакогоСходится, то φ (х) —► 0.

Рассмотрим, например, функцию φ (х)’,

Фиг. 46. Здесь ордината всех максимумов единице, а основание и-го треугольника

о ! z 3 λ,фиг. 46

Треугольника равна —f-r√⅛-, и очевидно, что для любого значения (л +1)2

E

∫ φ(χ)dχ<21-±ψ,

Оо О

Так что I φ(x)dx Сходится. Но φ (х) не стремится к нулю.

V

О

Примеры LXXIIl. 1. Интеграл

OO

F AχT + {⅛RL + … + λ

J Λxi + Bχs-* + … + L ’

А

Где а и Л положительны, а А больше наибольшего корня знаменателя (в случае, если знаменатель вообще имеет действительные корни), сходится, если s > Г — J — 1, и расходится, если s≤ r+ 1.

2. Установить, какие из следующих интегралов сходятся:

СО OO OO ∞ ∞ OO

P Dx P Dx P Dx P Xdx P x2dx P X1Dx

J yτ, P x"z≈, P ≈i+*a, J J J V+2βH+5F∙

А ’ а а а а а

В первых двух интегралах предполагается, что А > 0, а в последнем, — что А Больше наибольшего корня знаменателя (если он вообще имеет действи­тельные корни).

3. Интегралы ɛ £

ʃ Cosxdx, J Cos (ах ⅛∙ β)Dx А а

Ограниченно колеблются при ξ-→oc.

4. Интегралы

ε

Л*

X COS X Dx, J Xn COS (ах 4- β)Rfx, А а

Где п—положительное целое число, неограниченно колеблются при ς—со.

5. Интегралы от—оо. Если

А

S

Y (х) Dx

Стремится к пределу I при ξ -→ — со, то мы говорим, что А

J (х) Dx — ∞

Сходится и равен I. Такие интегралы обладают всеми свойствами интегра­лов, рассмотренных в предыдущих пунктах, и читатель без труда сам сформулирует эти свойства.

6. Интегралы От — ∞ до-|-со. Если оба интеграла

Ct СО

J æ (X) Dx, J φ (х) Dx

— со А

Сходятся и имеют, соответственно, значения K и I, то мы говорим, что

Сходится и имеет значение K + /.

7. Доказать, что

О ∞ ∞

J

∙ dx ____________ Г Dx __________ 1 f Dx

Γ∏^J Jl+xa

— ∞ о — ∞

8. Доказать, что

СО OO

ʃ φ (xa) Dx = 2 J φ (-V5) , —•∞ о

Если интеграл в правой части сходится.

9. Доказать, что если

J X φ (x") dx

сходится, тоО

ʃ Xφ (xa) Dx = 0.

— со

10. Аналог теоремы Абеля из П. 179. Если ® (х) положительна и. монотонно убывает и

<х>

J <τ∙(X)Dx

А

Сходится, то xφ(x)-→0. Доказать это (а) с помощью теоремы Абеля и интегрального признака и (Ь) непосредственно рассуждениями, подобными проведенным в п. 179.

11. Если A =x0< Х, < Xi С. .. и Xn[75]Co, то из сходимости

OO

I ‘-F(X)Dx А

Следует сходимость ∑ Un, где

Хл + 1

Un — j φ (X) . ХП

Если φ (х) положительна, то обратное предложение тоже имеет место.

[В общем случае обратное предложение может ие иметь места; это» видно из примера φ(x) = cosx, XnN^.J

186. Распространение на несобственные интегралы правил замены переменного и интегрирования по частям. Правила преобразования определенного интеграла, рассмотренные в п. 166, могут быть распространены и на несобственные интегралы.

(1) Преобразование подстановкой. Предположим, что

OO

J <P(χ)Ctx (1>

А

Сходится. Предположим, далее, что для любого значения £, боль­шего а, мы имеем, как в п. 166’):

ς τ

∣φ (X) Dx= J φ {F(T)}FDt, (2>

Й Ь

Где A=F(B), ξ=∕(τ). Предположим, наконец, что соотношение X=F(F) таково, что Х—>∞ При T→ оо. Тогда, устремляя τ, а следовательно, и ξ к бесконечности, мы заключаем из (2), что интеграл

∫φW)}∕'(0^ (3)

Ь

Сходится и равен интегралу (1).

C другой стороны, может случиться, что E — оо, когда τ —■► — оо «ли когда τ—>с. В первом случае мы получаем:

F φ (х) Dx = iim Гφ {∕(Z)} F‘ (T) Dt

V τ’∙→ — со

А B

Ь Ь

= —Lim Г φ {∕(∕)}∕'(∕)c⅛ = —

τ —÷ — OOV «7

τ —оо

А во втором случае

Оо τ

∫φ (X) Dx= ll∏ζ ∫φ{∕(0}∕’ (O Dt. (4)

К этому равенству мы еще вернемся в п. 188.

Соответствующие результаты для интегралов от —∞ до й

И от —∞ до ∞ читатель сможет сформулировать сам.

Примеры LXXIV. 1. Показать с помощью подстановки X = Ta , что если s > 1 и А > 0, то

OO OO

I ХS dx = a I Fa(i~s’>-‘i(tf,

1 1

И Проверить результат непосредственным вычислением каждого интеграла.

2. Если

OO

J φ (х) Dx

А

Сходится, то он равен либо

Oj φ(αif + β)rfif,

(α β)∕Ct

Либо

(а — β)∕α

ʃ <f(at+ftdt

OO

В зависимости от того, положительно А или отрицательно.

3. Если φ(x)—положительная и монотонно убывающая функция от Х

И А И β—любые положительные числа, то из сходимости одного из рядов ∑φ(n), ∑’f(αw + β) следует сходимость другого.

[Подстановка XAtjrZ, сразу показывает, что интегралы

СО OO

ʃ φ(χ)Rfχ, ʃ?(<** + £)<#

A (A β)∕ct

Либо оба сходятся, либо оба расходятся. Теперь применить интегральный при­знак.

4. Показать, что

Г Dx τ’-»^i_______ 5

J (14- Х) У х

{Положить X = Z2.]

5. Вычислить

∞ ∞

P Dx f Dx

J (l + xs)n И J(l-∣-x2)n+½ . о о

Где П — положительное целое число.

(Экз. 1929, 1935 гг.)

[Подстановка x = ctgθ приводит к интегралам

Теперь применить результат примера LXVI. 10.]

6. Если <p{x)→ft при х— ∞ и φ(x)-⅛ при х—> —oo,τo

ʃ {φ(х — А) — φ(х — ⅞)} Dx = -(A-∂)(HK).

OO

{Действительно,

ε ζ е

J {<P (х—α)-φ(x-⅛)}rfx= J φ(х — A)Dx ∣ φ(χ-B)Dx =

—? -⅛ — у

ξ,-A ξ- Ь I‘ — B TB

= ʃ φ(T)<∕Z — J <P(T}Dt ʃ A(T)Dt— J Y(T)Dt.

— ς’-а — ξ’- 6 — ς,—A ξ — А

первый из интегралов в правой части может быть представлен в виде,— v-,(а-,∙⅛)⅛+ j,pdf,,-ζ>-a

Где f→0 при ξ,→∞ и абсолютная величина последнего интеграла не пре­восходит |а— ⅛∣χ, где х обозначает наибольшее значение р в интервале {—ξ’— А, —ξ’ — Ь). Следовательно,

I,B

æ (Z) Dt-→(AB) K.

Аналогично вычисляется предел второго интеграла.]

(2) Интегрирование по частям. Формула интегрирования по ■частям (см. п. 166) имеет вид

£ £

I F (χ) φ, (∙*) dχ =∕C) φ (O -f(a) φ (ɑ)- I F’ (χ) φ (•*) Dχ.

Предположим теперь, что »со. Тогда если любые два из трех членов этого равенства, зависящих от Е, стремятся к пределам, то стремится к пределу и третий, и мы получаем соотношение

OO OO

J /(x)cp’ (*) rfx=Hm /(ξ)⅛(ξ)-/(α)φ(α)- ʃ/’ (x)φ(x)c∕x.

А * а

Аналогичные формулы имеют, конечно, место и для интегралов от ■— оо до Со.

примеры lxxv. 1. показать, что
uu
j (t+7pdx = 2 j (1 + х)-’ -”2 • о о
,ax
2. если т и п — 1 —положительные целые числа и
со
xm ax
,i,,≈,n-j
о
,(1 +xf
то (т /2 — 1) im, n = т im _ ]>п. вывести отсюда, что tn∖(n — 2)!,3. доказать, что,(т п — 1)!'
i . у.х . dχ — j- -l. 2- г j (l+x)≈ dx~ 2 ‘ 4 -
[полагая x~t~, мы получим:
со
tidt
,(1 +za)≈
di.
dt∖ 1 + ti
дальше интегрировать по частям.]
4. доказать интегрированием по частям, что если ип обозначает первый интеграл из примера lxxiv. 5, и п > 1, то
,вычислить отсюда ип. [заметить, что,(2л — 2) ιιn — (2л — 3) ιιn _ 1;,.hn-j,xsdx,(1 +x2)ra',2(я,{экз. 1935 г.}
со
~t) j ∙v ax {(l i-xt 1 } dx']

187. Другие типы несобственных интегралов. В Определении определенного интеграла в гл. VII мы предполагали, что (1) интер­вал интегрирования конечен и (2) подинтегральная функция непрерывна.

Однако можно распространить понятие „определенного интеграла" на многие случаи, в которых эти условия не выполняются. Напри­
мер, несобственные интегралы, рассмотренные в предыдущих пунк­тах, отличаются от определенных интегралов гл. VII тем, что интервал интегрирования бесконечен. Теперь мы предположим, что не выполняется условие (2). Наиболее важным случаем является тот, в котором φ (х) непрерывна в интервале интегрирования (а, А), За исключением конечного числа значений Х, скажем x = ξ1, L,,…, причем φ(x)—-∞ или φ (х)—► — do при стремлении Х справа или слева к каждому из этих значений.

Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда интервал (а, А) содержит только Одну такую точку ξ. Если таких точек более одной, то мы можем разбить интервал (а, А) на конечное число интервалов, каждый из которых содержит только одну такую точку; определив значение интеграла по каждому из этих частичных интервалов, мы можем определить интеграл по всему интервалу как сумму интегралов по частичным интервалам. Далее, мы можем пред­положить, что точка разрыва ξ совпадает с одним из концов интер­вала (а, А), так как если ξ лежит между А н А, то мы можем определить

как а

А

А

После того, как каждый из этих интегралов определен. Мы можем, таким образом, принять, что K==A; совершенно очевидно, как нужно изменить наши определения в том случае, когда $ = Л.

Предположим, стало быть, что φ (х) непрерывна в интервале (а, Л), за исключением точки X = а, причем φ(x)—>∞ при X-→A справа. Типичным примером такой функции является

φ (X) = (х — A) S,

Где s 2> 0; или, в частности, если А = 0, φ(x)~x~s. Посмотрим, как можно определить

оО)

Когда s^>0. Интеграл

Сходится, если s<≤l (см. п. 185) и означает

но подстановка у = показывает, что η а
j ys~- dy = j x^s dx. 1/а l∕η
л
ɪim i x~s dx
τ∣→∞ ʌ ‘ 1/7]
а
iim i x~s dx
e→ 4- о j 1 ε
таким образом,
или, что то же самое,

Существует, если s≤l; значение интеграла (1) естественно опре­делить как значение этого предела. Аналогичные рассмотрения при­водят нас к определению

А

J (х — A)^S Dx

С помощью равенства

А А

I (х — A)~S Dx Iim I (х — A^)~S Dx.

J e-> 4. О J

А , я+е

Таким образом, мы приходим к следующему общему определе­нию: Если интеграл

А

ʃ φ (х) Dx

α+ε

Стремится к пределу I при ε-→-{-0, То мы будем говорить, что интеграл

А

ʃ φ (х) Dx А

Сходится и имеет значение I.

Аналогично, если φ(x)->∞ при х стремящемся к верхнему пределу А, то мы определяем

А

ʃ φ (х) Dx А

Как

А—е

iim
ε→+0
ʃ Y(X)Dx, А

И тогда, как мы уже видели, можно распространить наши определения на тот случай, когда интервал (а, Л) содержит любое конечное — число точек бесконечности функции φ(x).

Интеграл от функции, стремящейся к оо или — ∞ при стремле­ний Х к некоторому значению или значениям в интервале интегри­рования, называется Несобственным интегралом второго рода; Несобственный интеграл Первого рода — это интеграл по бесконеч­ному интервалу, рассмотренный в п. 184 и с л. Почти все замечания 1°—7° в конце п. 184 применимы и к несобственным интегралам, второго ρona. g>⅛. i’

Сформулированные нами определения относились к функциям, стремя­щимся к бесконечности при частных значениях Х, но эти определения при­менимы и к разрывам других типов. Так, если F(χ) =— 1 для — l≤x<0^ /(0) = 0,/(x)= 1 для 0<x≤l,

То

1

F(X)Dx

Означает -7I ι

Iim f∕(x)rfx-)- Iim f /(x)rfx = τ-→-j-oJ » —► 4- о J

, — 1 8

= Iim (— 1 η) + Iim (1 — ε) = 0. η→-J-0 е →4^0

Определение может быть также применено в том случае, когда F (х) имеет колебательные разрывы, например, когда /(x) = siπ-.

188. Мы можем теперь записать равенство (4) п. 186 в виде ‘ J 2 ⅛ c

φ(x)rfx = Г *{F(T)}F‘(T)Dt. (1>

А Ь

Интеграл в правой части определен как предел при τ→∙ С соответствующего интеграла по интервалу (й, τ), т. е. как несобственный интеграл второго рода, и если φ {∕(Z)}∕'(Z) обращается в бесконечность при Z= с, то интеграл — существенно несобственный. Допустим, например, что φ (х) = (1 + X)~M, где 1 <2, α = 0, и что /(Z)= . Тогда й = 0, с=1, и (1) превра­

Щается в

∞ 1

.f7τ⅛F=∫<1 «

О о

Причем интеграл в правой части — несобственный второго рода.

C другой стороны, может случиться, что φ{∕(Z)}∕'(Z) непрерывна при

Z = С. В этом случае

C

∫φ{∕W}∕'(0^

Ь

Является обычным интегралом и

τ С

Iirn ʃ φ {/ (0} Fit) Dt = ʃ φ {/ (0} F‘ (T) Dt, ь ь

По следствию из теоремы (10), п. 165. Подстановка χ=F(T) преобразует тогда несобственный интеграл в обычный определенный интеграл. Такой случай имеет место при m≥2β только что рассмотренном примере.

Примеры LXXVI. 1. Если φ(x) непрерывна во всех точках интервала интегрирования, кроме Х — а, причем φ(.v)→∞ при X-*-A, то для того чтобы

А

ʃ φ (X) Dx А

Был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая по­стоянная К, что

А

ʃ φ (х) Dx < К А 4- 8

Для всех положительных значений ε.

Ясно, что мы можем найти такое число A1 между А и А, что φ (х) поло­

Жительна в интервале (а, Л’). Если φ(x) положительна во всем интервала Ia, А), то мы можем в качестве A1 взять просто А. Но

А А’ А

ʃ <F(X)Dx ʃ φ X)DxF^ 4F(X)Dx.

А—Е a —s А’

Первый интеграл в правой части этого равенства возрастает с убыванием ε, •и поэтому либо стремится к некоторому пределу, либо неограниченно воз* растает; справедливость нашего утверждения теперь очевидна.

Если условие не выполняется, то А

ʃ æ (х) Dx —► ∞. а—S

Тогда мы будем говорить, что

А

ʃ φ (х) Dx А

Расходится к оо. Ясно, что если φ(.v)->оо при Х—*-α-∣-0, то сходимость и расходимость к ∞ являются единственными возможностями для интеграла. Аналогично разбирается случай, в котором φ(.v)→-— оо.

2. Доказать, что

(-v — afs dx = (a-a)l~s i - s ’

А

(■если s < 1.; интеграл расходится, если s≥l.

3. Если φ (х) непрерывна для А < х ≤ А и

где s< 1, тоО ≤ φ (х) < К(х — A)~S, А

J ? (х) dx

А

Сходится; если же φ(x)>∕C(x— A)~S, ΓΛes≥=l, то интеграл расходится. [Этот результат является частным случаем общего принципа сравнения, аналогичного принципу, сформулированному в п. 185.]

4. л л
f -dx , '
j l∕~(x— а) (а — х) ’ j

dx
dx

Исследовать на сходимость интегралы

У(х — а)(А — х) J (А — х)Ух — а £ (AX)γrAX

J У~х^^ ’ J ,½CT ’ J χi~a* ’ J A‘~X‘ а ’ а Г Zl Л А а

5. Интегралы

л л л
∫dx ɛ dx г
’ j x2 —я2 ’ j
dx dx
о+1
dx

-1 V× AJγ ух —а

Сходятся и равны нулю.

6. Интеграл

Dx

У sin Х

Сходится. [Подинтегральиая функция стремится к бесконечности при Х, Стремящемся к каждому из пределов.]

7. Интеграл

F Dx

1.J (sɪn X)s О

Сходится в том и только том случае, когда s <

8. Показать, что интеграл

dx,
jsinx ~⅛r

А

Где ⅛>0, сходится, если Р <2. Доказать также, что если 0<ρ<2, то интегралы

π 2* Зтс

sinx j р sinx, P sinx j О Tt 2~

Имеют чередующиеся знаки и убывают по абсолютной величине.

[Преобразовать интеграл от ⅛π до (⅛-j~l)π с помощью подстановки

χ = ⅛π-∣-y. J

24 Г. Харди

9. Показать, что

Sin X

~ XP

Dx,

Где 0<ρ<2, достигает своего наибольшего значения при H = R..

(Экз. 1911 г.)

Те/2

10. ʃ (cos Х)1 (sin X)M Dx сходится в том и только том случае, когда о

Z > — 1, Т > — 1.

11. Такой интеграл как

Xs~ldx ~T+x~,

Где s<l, не подходит ни под одно из наших предыдущих определений, так как интервал интегрирования бесконечен и подинтегральная функция стремится к ∞ при x→∙-f,0. Естественно определить этот интеграл как сумму интегралов

1 со

JX5~1 Dx ( Г х5-1 Dx O 1+х +5) -ɪɪrɪ’

В предположении, что оба эти интеграла сходятся.

Первый из этих интегралов сходится, если s > 0. Второй сходится, если

S<l. Таким образом, интеграл от 0 до ∞ сходится в том и только том случае, когда 0 < s < 1.

12. Доказать, что

СО

Сходится в том и только 13. Интеграл

Том случае, когда 0 < s < I.

Сходится тогда и только тогда, когда 0<s<l, 0<Z<l.

[Следует отметить, что подинтегральная функция не определена при

X=L. Но

πpκx→l справа и слева, так что подиитегральиая функция становится непрерывной функцией от Х, если мы припишем ей значение TS при X= 1.

Часто случается, что подиитегральиая функция имеет разрыв просто в силу того, что она не определена в некоторой точке интервала интегри­рования, причем этот разрыв может быть устранен соответствующим доопре­делением ее в этой точке. В таких случаях обычно предполагается, что она, таким образом, сделана непрерывной. Так, интегралы

π∕a π∕2

ʃSɪn Тх Г sir

ʒ? Х’ J H

Sɪn Тх
Sinx

Dx

Являются обычными определенными интегралами, если подинтегральиым функциям приписать при х = 0 значение Т.]

14. Замена переменного и интегрирование по частям. Формулы пре­образования интегралов подстановкой и интегрированием по частям могут быть, конечно, распространены и на несобственные интегралы второго рода. Читателю рекомендуется самому сформулировать соответствующие общие теоремы (см. п. 186).

15. Доказать интегрированием по частям, что если s>0, 7>1, то

ʃ Xs~L (1 —X)T~L Dx = ? $ ɪ- ʃ χ∙y(lX)T~IDx.

(, 16. если s>0, то

1 Со

∫⅞⅛∙»≈j’⅛∙"-

F χs-> + ri. F R∙s F If*-1 ..

J l+χ dχ- J ι+, rfz-J 1 + , at — о о

[п,оложить x =,17. если 0<s<l, то 1
1 + x-∙s

18. Если α-j-⅛>O, то

dx,(x+α)∣Λx— b ∣Λα-j-⅛
(экз. 1909 г.)
[положить х — b = ti.} ' 19. если

In = ʃ (α2X*)NDx,

(экз. 1934 г.)Где й>0, то (2я + l)Zn = 2NasIn^1. [Заметим, что

-in)-In = ʃ (а2 —Xs)n Xdx = 2N ʃ X2 (а — —Xs)n-1 Dx = 2N(AtIn.

Этот результат может быть использован для вычисления In, когда П—-поло­жительное целое число. Подстановка X = A Cos θ приводит In к интегралу из примера LXVL 10.]

20. Показать с помощью подстановки x = -∣———- _, что если I и Т оба

Положительны, то

∞ 1

О о

21. Показать с помощью подстановки Х = T ■ что если I, т нр

Положительны, то

1 1

x)”22. доказать, что ь
dx
]∕^ (х — a) (b — x∙)Dx

(x + p)t+m (1

О

C_____ Xdx____ ____ 1 _

I ιΓ~∕—— гут——— 9 "■ “Ь

J У (X —β)(⅛-х)

1° с помощью подстановки х = А + (BA) Tt, 2° с помощью подстановки

})___ JC

—— = T и 3° с помощью подстановки Х — а cos⅛4- B siπ2 T.

Х — а 1

23. Доказать, что если Р и Q положительны и

то
f(p + ι,q)+f(p, ? + !)=/(?> ?). qf(p + ι, <fi≈pf(p,q-yy выразить zcp-j-i, q) и f(ρ, q-j- 1) через f(p, q) и доказать, что («—!)!
д(д+1). . .(д + я-1) ’ аде п — положительное целое число.
24. вывести формулы
(экз. 1926 г.)
1 «/г
/ (х) dx
,ʃ ∕ (sin s) rfθ,
y i-x8,о
π∕2
,= 2 f f (α cos2 о + ь sin2 θ) dθ. у (х — а)(ь —х) jf

F(p, q)≈ ʃ Xp~1{l X)i-idx,

25. Доказать, что

26. доказать, что 1ʃ,г dx — 1 j (x+l)]∕'x8-~l~}∕'3'dx(экз. 1930 г.)j (l+x)(2+x)/x(l-x) \у 2 уб,
(экз. 1912 г.)
!{положить х — sins Θ и применить результат примера lxlii. 7.]

189. Замена переменных иногда требует некоторой осторожности. Допу­стим, например, что

• 6x-]^ 13) Dx.

Непосредственным вычислением мы находим, что 7 = 48. Сделаем теперь подстановку

Y = X*-Бх+13,

Которая дает x = 3±∣∕ry-4. Так как при X=L,Y-8, и при X = 7, У = 20, мы как будто приходим к результату

Ydy

Vy=* ‘

20 20
lf

Неопределенный интеграл равен

-g(>-4)’^+4(y-4)¼,

И мы получаем значения, из которых ни одно не соответствует действитель­ности.

Для того чтобы понять, почему мы получили неправильный результат, рассмотрим внимательнее соотношение междух Ну. Функция YXs— 6х — f — 13 имеет минимум прих = 3, который равен 4. Когда Х возрастает от 1 до 3, У убывает от 8 до 4, и отрицательна, так что

Dx 1

Dy 21RYI

Когда Х возрастает от 3 до 7, У возрастает от 4 до 20, и следует взять другой знак. Таким образом,

7 4 * 20

7-∫vfc=∫ɔ,,ɪ 4 ⅛

И легко убедиться в том, что эта формула ведет к правильному результату. Аналогично, если мы преобразуем интеграл

∫"’∙="

О

С помощью подстановки x = arcsiπj>, мы должны учесть, что производная равна (1—y2)~ɪʌ или —(1—Y3)~, в зависимости от того, будет ли

0≤χ<Iπ Или ~π<Xπ.

Пример. Проверить результаты преобразования интегралов 1 π

ʃ ^4×2 — Х -(- Dx, ʃ Cos2 Х Dx О о

С помощью подстановок 4×8 — x-j-yg-=y и соответственно x=> arc stay.

190. Ряды, содержащие положительные И отрицательные члены. Наше определение суммы бесконечного ряда и значения не­собственного интеграла как первого, так и второго рода, приме­нимы к рядам, члены которых могут иметь любой знак, и к инте­гралам от функций, меняющих знак в интервале интегрирования. Но те специальные признаки сходимости или расходимости, которые мы установили в первой части настоящей главы, и примеры, кото­рыми мы их иллюстрировали, относились почти исключительно к рядам только с положительными или только с отрицательными членами и к интегралам от функций, не меняющих знака в интер­вале интегрирдвания.

При рассмотрении рядов мы всегда предполагали, иногда огова­ривая это, а иногда только подразумевая, что любые условия, нала­гаемые на Ип, могут не выполняться для конечного числа членов; требуется только, чтобы такое условие (например, что члены поло­жительны) выполнялось начиная с некоторого члена. Аналогично в случае несобственного интеграла предполагалось, что условие выполняется для всех значений Х, больших некоторого значения х0, или для всех значений Х из некоторого интервала (а, а—j—δ), содер­жащего значение А, вблизи которого подинтегральная функция не­ограниченно возрастает (или убывает). Так, например, наши признаки применимы к таким рядам, как

Zza10 Л4 ’

к таким интегралам какТак как и5 —10^>0 при τz≥4, и

со зх— 7 ,
(x+l)3^ ax,
1 —2х х,dx,

7 1

Так как Зх — 7^>0 для и 1—2x^>0 для 0 <≤x<≤y •

Но если перемены знака Ип продолжаются, как бы велико

Ни было п, т. е. если и положительных и отрицательных членов

Бесконечно много, как, например, в ряде 1—-ɪ—ф-

Или если φ(x) меняет знак неограниченное число раз при x→oo, как, например, в интеграле

СО

J∙⅛,⅛,

1

Или при X→-A, где А является точкой разрыва φ(x), как, например, в интеграле

А

То вопрос о сходимости и расходимости становится более сложным. Это объясняется тем, что помимо сходимости и расходимости, мы теперь должны учитывать еще возможность колебания.

191. Абсолютно сходящиеся ряды. Рассмотрим, стало быть, ряд 2un> в котором каждый член может быть либо положительным, либо отрицательным.

Положим I „ I

I I = «Я.

Так что An = Un, если Ип положительно, и «„ = — Ип, если Un отри­цательно. Пусть, далее, Vn = Un, если Un положительно, и Vn = 0, Если Ип отрицательно, и wπ =—-ип, если Un отрицательно, и υιn = О, если Ип положительно. Другими словами, положим либо Vn=Ctn, —Wn = Q, либо дя = 0, Wn = An в зависимости от того, положитель­но ли Ип или отрицательно. Тогда очевидно, что Vn и υιn всегда положительны и что

⅝ = ⅝-¾, ⅜ = +

Если, например, мы имеем дело с рядом

То Un = ~—^7—. и c<n причем Vn = —R или Vn = 0 в зависимости

I

От того, нечетно П или четно, a Wn =—^-илиа/я = 0— в зависимости от того, четно П или нечетно.

Мы должны теперь различать два случая.

А. Допустим, что ряд ^απ Сходится. Это, например, имеет место для только что рассмотренного ряда, где

∑⅝=ι+(4) +⅛) +• • • •

Тогда оба ряда ‘∑IVn и ‘∑Pt)N сходятся, так как (см. пример XXX. 18) любой ряд, состоящий из части членов сходящегося ряда с положи­тельными членами, сам сходится. Следовательно, по теореме (6) п. 77, VИли 2 Cun — ¾) сходится и имеет сумму, равную ,IVn—‘∑I,Wn

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если "∑T<ιnuΛU ∑) Un | сходится, то ряд ‘∑μn на­зывается абсолютно сходящимся.

Мы уже доказали, кроме того, следующее предложение: Если ряд Un сходится абсолютно, то он сходится и вообще; ряды, составленные по отдельности из его положительных и его отри­цательных членов, также сходятся, и сумма самого ряда равна сумме его положительных членов плюс сумма его отрицательных членов.

Читатель не должен думать, что утверждение, абсолютно сходящийся ряд сходится" является тавтологией. Когда мы говорим, что ‘∑LU.N „сходится абсолютно", мы непосредственно Ничего не утверждаем относительно схо­димости ∑zzn; мы утверждаем сходимость другого ряда, а именно, ∑ ∣ zzn и совсем не очевидно, что это исключает возможность колебания ряда ∑zzn.

Примеры LXXVII. 1. Применить „общий признак сходимости" (п. 84, теорема 2) к доказательству того, что абсолютно сходящийся ряд сходится.

[Если ∑ I I сходится, то для любого заданного положительного числа δ. мы можем найти такое zz,, что

I t⅛ + l I ÷ I “щ+2 I + •••+! “я, I < δ

Если

Zz2 > zz12⅛ ZZ,.

Тем более

I κn1+l ÷un1+2÷∙ ∙ ∙ + κπsJ<δ> и, следовательно, ∑zzn сходится.]

2. Если ∑an— сходящийся ряд с положительными членами и [⅛n[≤Λan, то ∑⅛n сходится абсолютно.

3. Если ∑an — сходящийся ряд с положительными членами, то ряд Anxn Сходится абсолютно для каждого значения Х, для которого —l≤x≤l.

4. Если ∑αn — сходящийся ряд с положительными членами, то ряды ∑ancoszzθ, ∑αn sin zzθ абсолютно сходятся для всех значений В. [Примерам» могут служить ряды

∑z-ncoszz0, Rn sin zzθ

Из п. 88.]

5. Любой ряд, состоящий из части членов абсолютно сходящегося ряда, сам сходится абсолютно. [Так как ряд из модулей его членов является частью ряда из модулей членов исходного ряда.]

6. Доказать, что если ∑∣ И„ | сходится, то

1 Σ¾ I ≤ΞΞ Σ I ‰ I»

И что знак равенства возможен только в том случае, когда все члены имеют один и тот же знак.

192. Обобщение теоремы Дирихле на абсолютно сходящиеся ряды. Теорема Дирихле (см. п. 176) показывает, что члены ряда, если они все положительны, могут быть переставлены любым обра­зом, причем сумма ряда при этом остается неизменной. Легко видеть, что абсолютно сходящиеся ряды обладают тем же свойством. Дей­ствительно, пусть Un в результате некоторой перестановки пере­ходит в U,N, и пусть AN, VN, VoN образованы из AN так же, как ая, Vn, Von образованы из Ип. Тогда A!N сходится, так как этот ряд является перестановкой ряда J⅛, Сходятся также ряды VN, ∑w∏, являющиеся перестановками рядов Vn, ∑Vt>N. По теореме Дирихле мы имеем: VRl = ∑Vn и VoN == ∑Von. Следовательно,

‘∑Fl, n — ∑v’n — ‘∑ivo’n = ∑vn — ⅛ = Sαn.

193. Условно сходящиеся ряды[76]). В. Теперь мы должны рас­смотреть вторую возможность, заключающуюся в том, что ряд Van, Составленный из модулей, расходится к оо.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если "∑IUn сходится, но Un J Расходится, т& исходный ряд называется условно сходящимся.

В первую очередь, заметим, что если 2НЯ Сходится условно, то ряды Vn, ∑,Wn из п. 191 должны оба расходиться к оо, Они не могут быть оба сходящимися, так как это повлекло бы за собой сходимость ∑(t’n + ‘α’n) или ∑⅛ ʌ если бы один из них, скажем, ‘∑LWn, сходился, а другой, расходился, то из равенства

NNN

Ttn=∑TVn-‘∑IWn (1)’

ООО

При 7V→∞ следовало бы, что 2⅝ Расходится, что противоречит предположенной сходимости An.

Следовательно, оба ряда LVn и IWn расходятся. Из предше­ствующего равенства (1) ясно, что сумма условно сходящегося ряда является пределом разности двух функций, каждая из которых стремится к бесконечности при N→-Oo. Ясно также, что условно’ сходящийся ряд уже не обладает тем свойством рядов с положи­тельными членами (см. пример XXX. 18) и всех абсолютно сходя­щихся рядов (см. пример LXXVII. 5), что любой ряд, составленный из части его членов, будет сходящимся. Представляется также весьма вероятным, что условно сходящиеся ряды не обладают свойством, составляющим утверждение теоремы Дирихле; во всяком случае- доказательство, приведенное в п. 192, здесь совершенно непригодно, так как оно существенным образом использует сходимость Vn и. ∑,Wn. Вскоре мы увидим, что наше предположение действительно правильно, т. е. что теорема Дирихле не может быть распространена, на условно сходящиеся ряды.

194. Признаки сходимости условно сходящихся рядов. Нельзя ожидать, что мы сможем найти столь же простые и общие признаки; условной сходимости, как признаки, установленные в п. 173 и с л. Формулировка признаков сходимости оказывается, естественно, бо­лее трудной, если сходимость ряда имеет место, как это показывает равенство (1) п. 193, по существу, за счет взаимного сокращения, положительных и отрицательных членов ряда. В первую очередь, Не существует признаков условной сходимости, основанных на сравнении рядов.

В самом деле, допустим, что мы хотим вывести сходимость ряда Vn из сходимости ряда 2∏NМь> должны сравнивать

VQ + VL + ∙ ∙ ∙ + VN И ɑo + H14- . . . + Н„.

Если бы каждое И и каждое V было положительно и (а) каждое V Было меньше соответствующего И, то мы сразу заключили бы, что>

⅝4^’Yl + ∙ ∙ ∙ + vn<ZuβΛ~ui~iΓ ∙ ∙ ∙~t~an>

T-. е. что Vn сходится. Если бы только И были положительны м (Ь) каждое V по модулю было бы меньше соответствующего а, то мы заключили бы, что

M + ∣τ,ιl + ∙ ∙ ∙ + Kl<⅜ + uι+∙ • •+«».

Т. е. что »∑I,Vn абсолютно сходится. Но в общем случае, когда и И И V имеют произвольные знаки, мы можем из (Ь) только заключить,

IVoI+1VιI + • ∙ ∙ +1VNI< I⅜I +1AII + ∙ ∙ ∙ +1ANI-

■Это соотношение дало бы нам возможность заключить абсолютную сходимость Vrl из абсолютной сходимости Un; но если известно, ‘что Un сходится только условно, то мы вообще не можем сделать никакого заключения.

Пример. Дальше мы увидим, что ряд 1— ɪ-)-ɪ— -^-+…сходится.

Но ряд yτ-^3+^^ + ^5′ + ∙ • • расходится, хотя каждый его член меньше ■абсолютной величины соответствующего члена первого ряда.

Поэтому вполне естественно, что те признаки, которые мы смо­жем получить, будут иметь значительно более частный характер, мем признаки, приведенные в первой части настоящей главы.

195. Знакочередующиеся ряды. Простейшими условно сходя­щимися рядами являются так называемые Знакочередующиеся ряды, Т. е. ряды, члены которых поочередно положительны и отрицательны. Условия сходимости этого весьма важного типа рядов содержатся в следующей теореме.

Если φ(N) — положительная функция от п, монотонно Стре­мящаяся к нулю при N→-∞, то ряд

φ(0)-φ(l)4-φ(2)-…

,сходится, и его сумма заключена между φ(0) И φ(0) — φ(l)[77]).

Будем писать φ0, φ1, … вместо φ(О), φ(l), … и положим ⅝ = 5Po-¾ + ⅝- ••• +(—l)"cPn∙

Тогда

⅛+l — SInLCPin—— CPin+L ==≈ θ> SIn SInI(CPinL CPin) ≤ θ∙

Следовательно, s0, sa, Sl, … , Sin, … образуют убывающую после­довательность, которая поэтому стремится либо к некоторому ко­нечному пределу, либо к—oo, a s1, s3, … , s9,n+1, … образуют ■возрастающую последовательность, стремящуюся либо к некоторому конечному пределу, либо к ∞. Но

Lim(s2n+1- s2n) = Iim (— l)’w+1 φ2n+ι =θ>

Откуда следует, что обе последовательности должны стремиться к конечным пределам и что эти пределы должны быть равны. Это значит, что последовательность

5O> 5ι> ∙ ∙ ∙ ɪ SN> • • •

Стремится к конечному пределу. Так как Sθ = φ0, s1 = φ0— φ1, то ясно, что этот предел заключен между φ0 и φfl — φ1.

Примеры LXXVIH. 1. Ряды

ɪ___ L-∣-J_____ — L-I — 1__ ɪ л.______ ɪ______ ɪ___ L

2 + 3 4 + ∙∙∙’ y^2^ + ∕T ^""

Σ

(L)N V (-Un V (-1)” У (~Un___________________________

П + а ’ ‰J j∕r л -|- д ’ ‰J j∕r П + pr А ’ ~ (∣Λ П + У а )’2

Где д>0, сходятся условно.

2. Ряд

V (-1)”

L (й + А)* ’

Где А > 0, сходится абсолютно, если s > I, сходится условно, если O < s ≤ 1 и колеблется, если s≤0.

3. Сумма ряда из п. 195 заключена между S и Sn+ι для всех значений П. Ошибка, допускаемая при замене суммы всего ряда суммой его первых П членов, по абсолютной величине не превосходит модуля (л+1)-го члена, ряда.

4. Рассмотрим ряд

Σ

J — L)n

У п +(-1)”’

Который мы предполагаем начинающимся с члена, соответствующего П = 2 (во избежание осложнений, связанных с определением первых членов). Этот ряд может быть записан в виде

j-ɪ)"
у «+(-i)”
(-un ) 1 (-uni y~n ∫^t^ у~п j
или
 1
л+ (-un у л
}=2>-χn>∙

Ряд ∑ψn сходится, но ряд ∑χn расходится, так как все его члены положи­тельны и Iim nχn=l. Следовательно, исходный ряд также расходится, хотя он и. имеет вид φs — φ3 + φ4— … , где ifn→0. Этот пример показывает, что условие Монотонного стремления φn к нулю существенно для справедливости теоремы. Читатель легко проверит, что

J∕2n + I — 1 < Yι + 1,

так что это условие в данном случае не выполняется.
5. если условия теоремы из п. 195 выполняются, за исключением того, что φn монотонно стремится к некоторому положительному пределу i, то ряд £ ( — l)n φn ограниченно колеблется.
6. ряд
ɪ(-ɪ)"д (д + 1) ⅛(⅛+l)'(α -⅜- л + 1) (⅛ + n+u ’

Где ни А, ни Ъ не равны ии 0, ни отрицательному целому, числу, сходится в том н только в том случае, когда A<,B.

(Экз. 1927 г.}

[Обозначим этот ряд через £ (— 1)" φn и предположим сначала, что А и fr положительны. Если a≥⅛, то φn+ι ≥≥’-f л, и cPn не стремится к нулю. Если А < Ь, то φn+ι<φn, и φn-→0 (см. п. 183), так что условия теоремы выполнены.

В общем случае мы можем найти такое N, что A‘ =AN и δ’ = ⅛-j-ΛΓ оба положительны; тогда φn- будет отличаться только постоянным множи­телем от ψπ-jv> где

Л, ______ A‘ (a’ + 1) … (a’ я 1) ^j

,n~⅛'(⅛’ + l) … (⅛’ + n + l) ‘]

7. Изменение суммы условно сходящегося ряда перестановкой его членов. Пусть s будет сумма ряда и Ssn — сумма его первых 2я членов, так что Iim s8n = s. Переставим ряд следующим образом:

1+τ~⅛+4+τ-τ+ ••• ’ (1>

Где за двумя положительными членами следует один отрицательный. Если через T3N обозначить сумму первых Зл членов этого нового ряда, то

1 1
4п — 1 2
1
,2я -|-1 2я -j- 3 — 2 1
— ssn •
4и— 1
но
iim
+ 1 2л + 2^2я + 3 4я — 1 4я
я
(2я + 1)(2л + 2)’
так как сумма кроме того,
lim (2-⅛2+
членов, заключенных в скобки, меньше
2я + 4
z=l ɪ + •

По пп. 161 и 164. Следовательно,

lɪm t3n 2

И, таким образом, сумма ряда (1) равна не s, а правой части по­следнего равенства. Ниже мы приведем значения сумм обоих рядов (см. п. 220, пример XC. 7, и гл. IX, Разные примеры, 19).

Можно даже доказать, что условно сходящийся ряд может быть так переставлен, чтобы он сходился к любой заданной сумме или расходился к ∞ или к — со. По поводу доказательства этого предложения мы отсылаем читателя к книге Бромвича; Bromwich, Infinite Series, 2nd edition, стр. 74.

8. ряд,расходится
[здесь
^sn ~ s2n ~
где ssn — 1
,к со.,pr 3 y 2,pr2n+l ∣∕^2n + 3
-l + -j ..._
y 2 у 3
,γ 5' + y 7' -jΛ4 + "■
+ ” ‘ + pr4w-1 > s2n ɪ ^y~4n^i 1
- , что стремится к пределу при п-
γ 2п
∞.]

196. Признаки сходимости Абеля и Дирихле. Приведем более общий признак, содержащий признак из п. 195 как частный случай.

Признак Дирихле. Если ср„ Удовлетворяет тем же условиям, что и в п. 195, A YEan является любым рядом, который сходится или огра­ниченно колеблется, то ряд

AθtPθ + 42IcPl + а2®2 + • • •

Сходится.

Читатель легко проверит тождество

AocPo + aιcPι + ∙∙∙ + ancPn =

= S0 (cPo — cPι) + sɪ (cPι — CPs) + … + S„_, (ср„_1 — <Pn) + Snφn, где sn = α0 + αι+ … +αn∙ ∏θ РЯД

(cPo-cPι)+ (cPi-cPs)+ •••

Сходится, так как сумма его первых П членов равна φ0 — φn, a Iim φn = 0, причем все его члены положительны. Кроме того, поскольку ряд ∑αn схо­дится или ограниченно колеблется, мы можем найти такую постоян­ную К, что I S41< К для всех значений э. Следовательно, ряд

∑ Sv (?- cP, + l)

Сходится абсолютно и

So (cPθ — cPl) + Si (cPι — cPs) + • ∙ ∙ + S„_1 (<p„_i — Ф„) стремится к конечному пределу при П → со. Наконец, φn, а значит и snφn, стремится к пределу 0; поэтому

AocPo + aιcPl + ••• + ancfzι

Стремится к конечному пределу, т. е. ряд ∑ α4φ4 сходится.

Признак Абеля. Существует еще один признак, принадлежащий Абелю,

Который хотя и применяется реже, чем признак Дирихле, но в некоторых случаях оказывается весьма полезным.

Допустим, что φn является, как в признаке Дирихле, положительной и убывающей функцией от П, но что ее предел при N‘→∞ не есть обяза­тельно нуль. Таким образом, мы предполагаем меньше относительно φn, но зато должны предположить больше относительно ∑ Ап, а именно, что этот ряд Сходится. Тогда мы имеем следующую теорему: Если <Fn— положи­тельная и убывающая функция от п и ряд ∑ ап сходится, то ∑ αnφn Также сходится.

Пусть φn→∕ при N→∞, так что lim(φn — Z)==0. Следовательно, по признаку Дирихле, ∑ An (ψn — I) сходится; а так как ∑ Ап сходится, то мы заключаем, что сходится и ∑ Anyn.

Эта теорема может быть сформулирована и следующим образом: Сходя­щийся ряд остается сходящимся, если мы умножим его члены на соответствующие члены любой положительной убывающей последова­тельности.

Примеры LXXlX. 1. Признаки Дирихле и Абеля могут быть доказаны также с помощью общего признака сходимости (см. п. 84.) Предположим, например, что выполняются условия признака Абеля. Мы имеем следующее тождество:

H — Am+l ?яг+1 H — • • • — sm, Т (.rPm Ψct+i) "Ь Sm, яг+i (?ст+1 ?m+s) 4"

+ ∙ ∙ ∙ + sm, n-ι (rPn-ι RPn) + sm, nrPn> (1)

Где

Sm, 4 = amjt — am+ι + ∙ ∙ ∙ + a∙,.

Левая часть тождества (1) заключена поэтому между Hym и Hym, где ħ и H Обозначают наименьшее и наибольшее из чисел sm ι m, sm> m+1, … , Sm Но для любого данного положительного S мы можем найти такое от(|, что |sm> „ I < S для M Ξ⅛ Тй, и, следовательно,

I AMrPm + flm+ι RPm+ι + ∙ ∙ ∙ + AπrPn I < ⅜ot ≤ ⅜ι>

если п>т„. таким образом, ряд ∑ianyn сходится.
2. ряды ∑cosno и ∑siπnθ ограниченно колеблются, если 0 не кратно π.
действительно, если мы обозначим через sn и tn суммы первых л членов этих рядов и положим z = ciso, так что ∣ z | = 1 и z ≠1, то найдем, что
,∣sn + z‰ i —,l-z"∣ 1 — z i,1 +1г in,∣l-z∣,2
∣1-z∣

то что эти ряды не являютсяТак что I sn I и ∣ Tn | не превосходят — i-i————- r

I-Z

Сходящимися, следует из того, что их л-ые члены не стремятся к нулю (см. пример XXIV. 7).

Ряд синусов сходится к нулю, если 0 кратно π. Ряд косинусов ограни­ченно колеблется, если θ—нечетное кратное π, и расходится, если 0—чет­ное кратное π.

Отсюда следует, что Если. — положительная функция от п, кото­рая монотонно стремится к нулю при NCo, то ряди

E RPnS N θ, Σ RPn sin Л О

Сходятся, за исключением, быть может, первого ряда, если θ кратно 2π. В этом случае первый ряд сводится к ряду E RPn> который может сходиться или расходиться при θ кратном π, второй ряд тождественно обращается в нуль. Если Е? п сходится, то оба ряда сходятся абсолютно (см. при­мер LXXVII. 4) для всех значений θ. Поэтому особенно интересным является тот случай, когда E RPn расходится. В этом случае рассматриваемые ряды сходятся условно, а не абсолютно, как будет доказано ниже в примере 6. Если мы положим O = IB первом из этих рядов, то мы вновь получим результат п. 195, так как cos лк = (— l)n.

3. Ряды En~scosnO, En-isi∏nθ сходятся, если s>0, за исключением первого ряда в том случае, когда θ кратно 2π и 0<s≤l.

4. Ряды из примера 3 являются в общем случае абсолютно сходящи­мися ∏pHS>l, условно сходящимися при 0<s≤l и колеблющимися при s≤0 (ограниченно при s=0 и неограниченно при s < 0). Указать воз­можные исключения.

5. Если E Onn~S сходится или ограниченно колеблется, то E ANnT схо­дится при ∕ > s.

6. Если φn является положительной функцией от Л, Которая монотонно стремится к нулю при n→co, и E RPn расходится, то ряды E’-f⅛c°snΘ, E RPn sɪn л 0 Не будут абсолютно сходящимися, за исключением ряда сину­сов при 0 кратном π. [Действительно, предположим, что E I cos Л 6 | схо­дится. Так как coss nθ ≤ ∣ cos Лб |, То отсюда следует, что

2 φncossnO илиу2?л(1 +cos2nθ)

Сходится. Но это невозможно, так как 2 cf∏ расходится, а 2 tf∏ cos 2nθ схо­дится, по признаку Дирихле, если θ не кратно если же θ кратно π, то рас­ходимость ∑φπ∣cosnθ∣ очевидна. Читателю рекомендуется провести соот­ветствующее доказательство для ряда синусов, отметив то место, в котором, оно не проходит при θ кратном π.]

197. Ряды с комплексными членами. До сих пор мы ограни­чивались рассмотрением рядов, все члены которых действительны.. Рассмотрим теперь ряд

Σ⅝ = Σ(^÷⅛),

Где Vn и wn действительны. Изучение таких рядов не представляет — никакиХ новых трудностей. Ряд 2 U сходится в том и только том. случае, когда сходится каждый из рядов

∑fn. Σ≈⅛

Однако один класс таких рядов заслуживает специального рассмо­трения. Дадим следующее определение, которое является очевидным, обобщением определения из п. 191.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ∂∑Un, где Un = VnRIwn, называется абсо­лютно сходящимся, Если абсолютно сходятся ряды LVn И Wrv.

ТЕОРЕМА. Необходимым и достаточным условием абсолютной, сходимости ɪ Ип является сходимость JJ J Un | или

∑/Ч+Ч-

Действительно, если 2 U сходится абсолютно, то оба ряда JJ ∣ ∙∏n jι и JJ [ wn | сходятся, а следовательно, сходится и

∑{ι¾ι÷w}.

Но

L⅝l = ‘∣Λ⅛+^≤l^! + l^n∣,

И, следовательно, JJ [Un | сходится. C другой стороны, KI≤]∕⅛+⅛ KlY^VN+WN

Так что ɪ] I Vn I и 2 I WN I сходятся, если сходится JJ∣Mn∣.

Ясно, что Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся, Так как его действительная и мнимая части по отдельности сходятся. Теорема Дирихле (см. пп. 176, 192) может быть также сразу обоб­щена на абсолютно сходящиеся комплексные ряды, в силу ее спра­ведливости для рядов JJ Vn, JJ Wn.

Сходимость абсолютно сходящегося ряда можно также вывести непо­средственно из общего признака сходимости (ср. пример LXXVIL 1). Это мы оставляем читателю в качестве упражнения.

198. Стзепенные ряды. Одной из наиболее важных частей теории. обычных функций элементарного анализа (таких как синус, косинус, логарифмическая и показательная функции) является их разложение в ряды вида ~∑IAnxa. Такой ряд называется Степенным рядом отно­сительна х. Мы уже встречались с. несколькими разложениями в ряды такого вида в связи с рядами Тейлора и Маклорена (см. п. 152). -Однако там мы рассматривали только действительное переменное Х. Здесь мы рассмотрим некоторые общие свойства степенных рядов относительно Z, где Z—Комплексное переменное.

А. Степенной ряд 2 αnzn Может сходиться для всех значений Z или только для значений из некоторой области, или ни для одного. значения Z, кроме Z = O.

Достаточно привести по одному примеру для каждого случая.

У

Zn

!сходится для всех значений Z. Действительно, пола-

Z~

Гая Ип = —;, найдем, что N п!

I UN+I 1 1 Г1 0

I «„ I П -ф 1 ’

Жаково бы ни было значение Г. Следовательно, по признаку Даламбе — Pa> Σ I An I сходится для всех значений Z и исходный ряд абсолютно сходится „для всех значений Г. Дальше мы увидим, что если степенной ряд сходится, то он будет, Вообще говоря, абсолютно сходящимся.

2. Ряд %NZt не сходится ни для одного значения г, кроме Z = 0. .Это следует из того, что где и„ = л! г" стремится к ∞ при NCa, если только z≠0. Следовательно (см. примеры XXVIL 1, 2, 5), модуль л-го члена ряда стремится коо •при n→ω. Таким образом, ряд не может сходиться ни при одном значе­нии Z, кроме 0. Ясно также, что любой степенной ряд сходится при z = 0.

3. Ряд £ г" Сходится для всех г, для которых | г | < 1, И расходится для всех Zt для которых ∣z∣≥=l. Это было доказано в п. 88. Таким образом, мы имеем примеры для каждого из трех возможных случаев.

199. В. Если степенной ряд Anzn сходится для некоторого значения Z, скажем Z,1 = R1 (cos 61 г sin 61), То он сходится абсо­лютно для всех значений Zt для которых ∣2∣<Vx.

Действительно, так как 2 ANzι сходится, то Iim AnzF = 0, и, следовательно, мы можем найти такое число К, что }Anzln ‘.для всех значений П. Но если Z] = R<^Rl, то

И Утверждение вытекает из сравнения со сходящейся геометрической прогрессией (ɪj •

Другими словами, Если ряд сходится в точке Р, то он абсо­лютно сходится во всех точках, расположенных к началу коор­динат ближе, чем Р.

Пример. Показать, что утверждение остается в силе даже в том слу­чае, когда ряд ограниченно колеблется при Z = Z1. [Если Isπ = A0Alzl

Anzln, то существует такое К, что ∣ Sn | < К для всех значений П.

Но

I AZιn i= l⅛ — sn-ι I ≤ I sn 1 + l⅝-ι l.< 2К, И Доказательство заканчивается как в основном случае.]

200. Область сходимости степенного ряда. Круг сходимости.

Пусть Z=R—Любая точка на положительной действительной по­луоси. Если степенной ряд сходится при Z = Г, то он сходится. абсолютно во всех точках внутри круга Z[ = R. В частности, он сходится для всех положительных действительных значений Z, Меньших Г.

Разобьем теперь все точки Г положительной действительной полуоси на два класса, а именно, на класс значений, при которых ряд сходится, и на класс значений, при которых ряд расходится. Первый из этих классов всегда содержит по крайней мере одну точку Z = 0. Второй класс может и не существовать, так как ряд может сходиться для всех значений Z. Предположим, однако, что этот второй класс существует и что первый класс содержит другие точки, кроме z = 0. Тогда ясно, что каждая точка первого класса расположена левее каждой точки

Второго класса. Следовательно, су­ществует точка, скажем точка ZP, Которая разделяет эти два класса; сама эта точка может принадле­жать к любому из них. Тогда ряд абсолютно сходится во всех точ­ках внутри круга [ Z ≤ Р.

Допустим, что этот круг пере­секает OX в точке А (фиг. 47) и что P—Некоторая точка внутри него. Мы можем провести круг с центром в О радиуса, меньшего Р, содержащий точку Р; пусть этот круг пересекает OX в точке Q. Тогда ряд сходится в точке Q И, следовательно, по теореме В, сходится абсолютно в точке Р.

C Другой стороны, ряд не может сходиться ни в какой точке P‘ вне круга радиуса Р. Ибо если бы он сходился в точке P‘, то он сходился бы абсолютно во всех точках, расположенных к О ближе,

25 Г. Харди

Чем Р’. Но это невозможно, так как ряд не сходится ни в одной точке между А и Q‘.

До сих пор мы исключали случаи, в которых степенной ряд (1) не сходится ни в какой точке положительной действительной полуоси (кроме 2=0) и (2) всюду абсолютно сходится. Таким образом, мы получаем следующий результат: Степенной ряд может либо

(1) Сходиться при 2 = 0, Но не сходиться ни при каком другом значении Z, либо

(2) Сходиться абсолютно для всех значений Z, либо

(3) Сходиться абсолютно для всех значений Z внутри неко­торого круга радиуса Rr но не сходиться ни для какого значе­ния Z вне этого круга.

В случае (3) круг радиуса R называется Кругом сходимости,. А его радиус R — радиусом сходимости степенного ряда.

Следует заметить, что этот общий результат не содержит ника­кого утверждения относительно поведения степенного ряда на круге сходимости. Приведенные ниже примеры показывают, что здесь действительно могут иметь место самые разнообразные случаи.

Примеры LXXX. 1. Ряд 1 — j-Az + A‘2Z2 + … , где α>0, имеет радиус сходимости, равный —Он не сходится ни в одной точке на круге сходи­мости, причем он расходится в точке Z = ~ к ограниченно колеблется ве>

Всех остальных точках окружности..

Z Z8 Z3

2. Ряд — — j — — … имеет радиус сходимости 1; он сходится абсо­

Лютно во всех точках круга сходимости.

3. Вообще, если

I ^Я+II л I «я I

Или I А„ l"j→ ɪ при N→-∞, то ряд й„ — J — Alz -(- a2z2 имеет радиус сходи­мости — . В нервом случае что больше или меньше 1 в зависимости от того, будет ли ] Z | больше из» меньше ɪ-, так что мы можем применить признак Даламбера (см. п. 175, бу

«я+1*"+1I

iim

Во втором случае мы можем аналогично применить признак Коши (см. п. 174, 2).

4. Логарифмический ряд. Ряд

! д_ ʌ zs__

-у 3 Z…

Называется Логарифмическим (обоснование этого читатель узнает киже)_ Из результата примера 3 следует, что его радиус сходимости равен I.

Когда Z находится на круге сходимости, мы можем положить Z = = cos θJZ sin θ, и ряд примет вид

Cos О — ɪ cos 2 О ɪ cos 3 & — … -)- Z (sin O-—sin 20 — sin 3 О —…).

Действительная и мнимая части обе сходятся, хотя и неабсолютно, если Θ не равно нечетному кратному π (см. примеры LXXIX. 3, 4, в которых θ нужно заменить на θ4-π)∙ Если О равно нечетному кратному ~, то 2 =— 1 и ряд—1— 2—у— ••• расходится к —со. Таким образом, логарифми­ческий ряд сходится во всех точках круга сходимости, кроме точки 2 =—1.

5. Биномиальный ряд. Рассмотрим ряд

1+^ + ^^^ + M^==⅛=l2)z3+ … .

Если Т — положительное целое число, то ряд обрывается. .В общем случае так что его радиус сходимости равен 1. Мы не будем рассматривать здесь вопрос о его сходимости на круге, так как этот вопрос представляет неко­торые трудности [78]).

⅛+ι 1
1,
я+ 1

201. Однозначность степенного ряда. Если степенной ряд ‘∑TAnzn схо­дится для некоторых значений Г, отличных от 2 = 0, и /(2) обозначает его сумму, то

/(2) = β<, + 0ι2+ … ψ Amzm + О (Zm)

При 2→0 для каждого Т. Действительно, если р— любое положительное число, меньшее радиуса сходимости ряда, то | An | рл < К, где ZC не зависит от П (см. п. 199)t следовательно, если ∣2j<p, то

L∕(2)- ɪ 2∏ ≤ j ∕⅛+ι [ i 2 ]ot÷1-j-∣fl⅛+2 i I 2 i"1+[79]4- … <

О

KZM^

1√*(p-∣21)’

7 i л /я+1
£1 ) р i
<к

Что равно О(] Z ∣ffi+1), и тем более О (| 2 ∖m). В частности, это имеет место и для действительных положительных 2.

Из результата примера LVI. 1 теперь следует, что если Vv’i = ⅛n

Для всех значений 2 по модулю меньших р, то AnBn для всех я. Одна и та же функция не может быть представлена двумя разными степен­ными рядами.

202. Умножение рядов. В п. 177 мы видели, что если 2н„ и 2 vn —два сходящихся ряда с положительными членами, то

∑wn∑¾ = ∑s,≈

Где

: ип®„

Мы можем теперь распространить этот результат на все случаи, в которых Un и ɪVn сходятся Абсолютно. Для этого нужно только заметить, что наше доказательство является простым прило­жением теоремы Дирихле, которая была уже обобщена нами на все абсолютно сходящиеся ряды.

Примеры LXXXI. 1. Если |г| меньше радиуса сходимости каждого из рядов ɪ Anzn, ∑Bnzn, то произведение этих двух рядов равно Cnzn, где

CN — AJjп + aibn~i. + ∙ ∙ ∙ + arfiv

2. Если радиус сходимости ряда Anzn равен R и сумма ряда при [ Z LL < R Обозначена через F (г), то для всех Г, для которых Z [ меньше R и меньше 1,

= ∑v",

1-

где∕ω

~sn — A0-j~ at-]~ … -(- an.

3. Возведя в квадрат ряд для ɪ-ɪ— • ■ доказать, что

L+2z+3z* ⅛… ,

1

(l-*)β

(l-z)s,если i z i < 1.
4. аналогично доказать, что
1
,1 +32 -(- 6z1 -⅛- ... , где общим,членом является ɪ (л 1) (л -j- 2) zn.
5. биномиальная теорема для отрицательного целочисленного пока-зателя. если i z i < 1 и т — положительное целое число, то

(1— z)m -1 + mz'M(m + ) Ot(ot + 1)…(ot + Л1)

1∙2 z+…+ 1.2…л 2+….

[Предположим справедливость теоремы для всех показателей вплоть до Т. Тогда, по примеру 2,

где (1—z)m+1
m(m + l) , , от (от+ 1)... (от +л —i)
1-2 -г'"+ l^7277b

ɪ ^ Σ snz”,

_ (от + 1) (от + 2).. ■ + л)

1 -2…л

Что легко доказывается методом индукции (независимо от того, целочисленно от или нет).]

6. Доказать умножением рядов, что если

F(M, z) = l+^Jz + ^)28 + — и I Z I < 1, То F(M, Z)F(M‘, Z) =F(M-↑-M‘, Z).

[На этом равенстве основывается доказательство Эйлера биномиальной

Теоремы. Коэффициент при z" в произведении равен

,,-2)+∙∙4"j∏+α∙

Что является многочленом относительно Т и Т’. Когда Т и Т’ — положи — Z яг -4- Т’

Тельные целые числа, этот многочлен должен привестись к

(в силу биномиальной теоремы для положительного целочисленного показа­теля). Но если два таких многочлена равны друг другу при всех положи­тельных целочисленных Т и Т’, то они должны быть тождественны.]

7. Если F(Z)= l + z+-∣y — + …, то F(Z)F(Z‘)=F(Z + Z‘).

[Ряд для F(Z) абсолютно сходится при всех значениях Z,F легко видеть,, что если

Vn =

(z + z1y1
п!
8. если
c(z)=i-
., s(z) = z∙
2! 4! 3! 51

C(z + z’)=C(z)C(z’)-S(z)S(z’), S (z + Z1) = S (z) C (z’) + S (z’) C (z>
{C(z)}, + {S<z)}s= 1.

9. Случай, когда теорема об умножении рядов не имеет места. Эта Теорема не всегда имеет место, если Un и Vn не являются абсолютно сходящимися. В этом можно убедиться, рассматривая ряды, для которых

(-ɪ)"

тогда¾=(-i)n2|<л+1

Zfe0V^(r+ 1)(й+1— Г)

Но Yr(R 1) (п + 1 — г) ≤ ɪ (п 2) и, следовательно,

. 2л — J — 2 ∣¾∣>-7⅛∙

Что стремится к 2, так что ряд ∑ Wn заведомо не сходится.

203. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.

Для интегралов существует теория, аналогичная развитой для рядов в п. 191 и с л.

Несобственный интеграл

^F(X)Dx (1)

А

Называется абсодю/яио Сходящимся, если сходится интеграл ∞

ʃ F(X)Dx. (2)

А

Мы можем определить G(X} и й(х) с помощью равенств

Ft F(X) = G(X)-ħ(X), F(X)~G(X)+Fl(X)-

Тогда G(X) равна F(X), если F(X) положительна, и равна 0, если F(X) отри­цательна, a H(X) равна 0, если F(X) положительна, и равна F(X), если F(X) отрицательна, так что G(X) и ħ(X} соответствуют Vn и Wn п. 191. Ясно, что ⅛r(x)Ξ≥0, Λ(x)5⅛0 и что G(X) и H(X) непрерывны, если F (х) Непрерывна.

Далее, так же’как в пп. 191 и 193, следует, что интегралы

FСо

J G(×)Dx, J HI(X}Dx

A T А

Оба сходятся, если интеграл (2) сходится, и что они оба расходятся, если (1) сходится, но (2) расходится. Таким образом, Абсолютно сходящийся интеграл является сходящимся.

Очевидно также, что если ∣∕(x)]≤φ(x) и ∞

ʃ φ (х) Dx А

Сходится, то интеграл (1) сходится абсолютно.

Если (1) сходится, но (2) не сходится, то говорят, что интеграл (1)

Сходится условно *). В настоящей книге мы не будем часто встречаться с условно сходящимися интегралами; однако, имеется один особенно важный тип таких интегралов, который мы сейчас рассмотрим.

Допустим, что φ'(x) непрерывна, φ(x)Ξ⅛0, φ'(x)≤0 и что <p(x)→0 при х — оо. Тогда ]φ'(х) | = — φ’ (х) и

∞ ∞

^∣ψ'(x)∣dx = — j φ'(x)dχ = о А

X

= —Iim I φ’ (х) Dx = Iim {φ )—φ(ΛΓ)} = φ(a),

XX> J X→<X>

А

Со

Так что ^F‘(X)Dx абсолютно сходится. А

Ф) Или неабсолютно. (Прим, перев.)

рассмотрим теперь интеграл ∞
j φ (х) cos tx dx, а
где t предполагается положительным. имеем: x x
,ʃt (x)costxdx=y φ(x),dx,sin tx dx =
(3)

sin tx sin∕a
: с— tf (ʌ) т—
Л

(а)—γ ʃTf(х) sin Zx Dx. (4)

Первый член стремится к О при ΛΓ-→∞. Далее, J sin Zx ∣ ≤ 1, так что ∕ ψ’ (х) sin Tx I ≤ I φ’ (х)Следовательно,

ʃφ' (х) sin,tx dx

«сходится абсолютно, а значит сходится и вообще, т. е. последний интеграл в равенстве (4) стремится к некоторому пределу при А—-со. Отсюда сле­дует, что и интеграл в левой части равенства (4) стремится к некоторому кределу, так что интеграл (3) сходится. Аналогично сходится и

Sin Tx Dx.

Наиболее важным случаем является тот, в котором о>0и φ(x) = x-i, вгде s>0. Соответствующие интегралы сходятся абсолютно, если s>l, и сходятся условно, если O<s≤l.

Примеры LXXXII. 1. Интеграл

(‘sin tx,dx

Сходится, если О < s < 2, и абсолютно сходится, если O<s<l. [Рассмотреть отдельно интегралы от О до 1 и от 1 до со.]

2 f- +1

J X[80]A

sinxdx сходится.
(экз. 1930 г.)

LXJ

Ч

Sin X (1 COS Х)

Х-

Dx сходится, если 0<s<4, и абсолютно сходится,

(экз. 1934 г.уЕсли 1 < s < 4.

СО

5. ʃ X~ αsiπx1~^Dx сходится, если а заключено между β и 2—β. о

(Экз. 1936 г.>

[Положить x1^~3 и рассмотреть по отдельности случаи β < 1 и. β>l∙]

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. VIlI

1. Исследовать сходимость ряда

∑n* {VrrΓ+ — 2]Лй + ]∕7Γ-ξ+},

Где K—Действительное число. (Экз. 1890 r.)>

2. Показать, что

‘∑1nr № (ns), Где

ʌɪʃ/i = ≈≈ ʌ (ʌɑn)

И т. д., сходится в тех и только тех случаях, когда ⅛>r+s+l ил» когда s является положительным целым числом, меньшим K (в этом послед­нем случае каждый член ряда равен нулю).

[Результат примера 6, Разные примеры к гл. VII, показывает, что за общем случае №(Ns) имеет порядок Ns~K.}

3. Показать, что

Σ

. л8 + 9л + 5 _ 5

(й+1)(2й + 3)(2л+5)(л + 4) ~ 36 ‘

(Экз. 1912 r.>

[Разложить общий член ряда на простейшие дроби.]

4.

п --> r a"-'>l + an'
ь — n
n~ l+nan

Если ∑αzl является расходящимся рядом с положительными членами

То ∑¼ι расходится. (Экз. 1931 r.>

[Легко проверить, что Bn~1>Bn. Следовательно, сходимость ряда ∑⅛ повлекла бы за собой стремление Nbn к нулю, а значит, и стремление лага

К нулю. Это дало бы Bn^~An, что приводит к противоречию.]

5. Показать, что ряд

1
l+~z
_1_
2 + 2

Сходится, если г не равно отрицательному целому числу.

6. Исследовать на сходимость или расходимость следующие ряды:

∑(- ifsin-vl — cosΣ. а 1 . А

Sɪn — ■ V —sin — П ’ п п

где а — действительное число.∑(-lfn(l-cos-j^

7. Исследовать сходимость ряда

1+⅛+⅛+∙∙ sin (л9 -j- а)

(Экз. 1899 г.)*

10Где Виа действительны.

8. Доказать, что ряд

,±_1+±+±,±_±_± 2 3 I 4 5 -1 β78

В котором следующие друг за другом члены с одинаковым знаком образуют группы в 1, 2, 3, 4, … члена, сходится, но что соответствующий ряд, в ко­тором группы содержат по 1, 2, 4, 8, … членов, ограниченно колеблется.

(Экз. 1908 г.)

9. Если U1, Us, Us, … образуют убывающую последовательность поло­жительных членов, стремящихся к нулю, то ряды

Hi — ~2 (uιHj “2) + -ɜ-(u1 -(- Us — j — Us) —…,

U1—— ɜ (U1 + Из) + ɪ (U1 + ∏s + и5) —…

Сходятся.

[Ибо если

«1 + H2 + ∙ ∙ . + Un _____

—————————- —— Un.

То V1, V3, Vs, … Также образуют убывающую последовательность с преде­лом нуль (гл. IV, Разные примеры, 8, 16). Это показывает, что первый ряд сходится. Доказательство сходимости второго ряда предоставляется чита­телю. В частности, ряды

ι~⅛fι+⅛)+⅛(l+⅛+l)-∙∙∙- 1-⅛(1+⅛)+i(1+⅛+l)-•

Сходятся .1

10. Если πθ-j — Hj~i7 н» +… — расходящийся ряд с положительными убы­вающими членами, то

Цо 4~ H8J^ ■ ■ ■ -}- U3N ɪ

Hj H3 -∣- . . . -∣- U2n+j

И. Доказать, что

Iim в Ул ^~1~a≈ 1. α→+0 7

[Из п. 180 следует, что

П

0 < I-1—3 2-1-a + … + (п _ l)^~1~α — ʃ Х ~1~A dx≤ 1,

1

__ 4_ Ч 1 ot 4- 1 ,

П заключена между — и —ɪ— 4

OO

12. Найти сумму ряда ɪ и„, где 1

_ XnX~N~1 1/1 1 \

Un(Xn 4- X~N) (Xn+1∙ χ-*→) ~ (L Xn + X~N χn+1 4- x-"-ι )

Для всех действительных значений Х, для которых этот ряд сходится.

(Экз. 1901 г.)

(х —f)(x*+l)’

{Если ∣x[≠l, то ряд имеет сумму

Если х=1, то Un = Q и сумма равна 0. Если х =— 1, то Un = -ɪ-(—l)n+1

•и ряд ограниченно колеблется.]

13. Просуммировать ряды

2zs 4г* 1

1+г1+22 + 1 + 2* "ɪ

{в которых все показатели являются степенями 2) для тех значений Г, Для которых они сходятся.

[Первый ряд сходится только для Г по модулю меньших 1, и его сумма г г

,равна Второй ряд сходится к сумме -.——— , если ∣ Z J < 1, и к сумме

1

ɪɪp если I г J > 1.]

14. Если I An I ≤ 1 для всех значений П, то уравнение

1 βj2 —βaZ‘ —… ——- О

Яе может иметь корня, модуль которого был бы меньше -ɪ-; единственным случаем, в котором оно может иметь корень по модулю равный -ɪ-,

Является тот, когда An = — Cis (л8) [в этом случае корень равен — i-1Cis(—®)1-

15. Рекуррентные ряды. Степенной ряд Anzn называется Рекуррент­ным рядом, если его коэффициенты удовлетворяют соотношению вида

АП +Plan-l + Pian-s∣+ ∙3+lPftan-fel=⅛θ> О)

ɑe rtj⅛⅛ и ρ1, ρi,…T Pft не зависят от П. Лобой рекуррентный ряд является разложением дробно-рациональной функции от Z. Для доказатель­ства заметим, в первую очередь, что такой ряд заведомо сходится для зна­чений Z с достаточно малым модулем. Действительно, из (1) следует, что βn≤(Jan, Где ct„ является модулем наибольшего по абсолютной величине «з предшествующих коэффициентов, а О = ∣p11 + ∣p21 +… + ρk I. Отсюда следует, что ∣ An < KGn, где К не зависит от я. Таким образом, рекуррент­ный ряд во всяком случае сходится для всех значений Z по модулю мень-

Ho если мы умножим ряд F (Z) = ∑ Anzn на ρlz, ρizi, …, ρftzk и сложим результаты, то получим новый ряд, в котором все коэффициенты после <⅛—l)-ro обращаются в нуль, в силу соотношения (1). Таким образом,

(1 + PlZ +//.,Z2 + .. . + Pttzk) F (?) = PО +P12 + . . . +PfeιZft *,

где p0, p1, ..., pk.1-■ постоянные. Многочлен

1 +P1Z +PsZt + . . . +pft2[81]

Называется Производящим многочленом рекуррентного ряда *).

Из известных результатов, относящихся к разложению дробно-рациональ — д

Ных функций на сумму многочлена и простейших дробей вида и

Из биномиальной теоремы для отрицательного целочисленного показателя •следует, что любая дробно-рациональная функция, знаменатель которой не делится на г, может быть разложена в степенной ряд, сходящийся для всех значений Z с достаточно малым модулем, а именно, для ∣ Z | < р, где р является наименьшим модулем корней знаменателя (см. гл. IV, Разные при­меры, 26 и сл.). Обращая приведенные выше рассуждения, мы видим, что этот ряд будет рекуррентным. Таким образом, Для того чтобы степенной ряд был рекуррентным, необходимо и достаточно, чтобы он являлся разложением дробно-рациональной функции с знаменателем, не деля­щимся на г.

16. Решение разностных уравнений. Соотношение вида (1) из примера 15 называется Линейным разностным уравнением относительно а„ с по­стоянными коэффициентами. Метод решения таких уравнений достаточно разъяснить на примере. Допустим, что мы имеем уравнение

= 0.

Рассмотрим рекуррентный степеней ряд ∑ Unzn. Как в примере 15, мы най­дем, что его сумма равна

«в + (й1—ao)∙2÷(as.-Λj-8й„)г2 _ Ai Л.

1 — Г— 8224-1223 1— 2e+ (1— 2Zfi ʃ 1 + Зг ’

Где A, A2 и В — величины, легко выражаемые через A0, Al и й2. Разлагая по отдельности каждую дробь в степенной ряд, мы найдем, что коэффи­циентом при Zn является

А„ = 2я μ1 + (п + 1) A} + (-3)NB.

Значения Al, A2, В зависят от первых трех коэффициентов A0, A1, α2, Кото­рые, конечно, могут быть выбраны произвольно.

17. Решением разностного уравнения

Ип — 2cos 6⅛ι + И„_2 — 0

Является И„ = A cos nθ — j-В sin яб, где А и В—Произвольные постоянные.

18. Если Ип—Многочлен степени ⅛ относительно П, то ∑ Unzn является рекуррентным рядом, производящий многочлен которого равен (1—Z)K+I.

(Экз. 1904 г.)

19. Разложить в степенной ряд по возрастающим степеням г функцию

(z — 1)(г+2)2’

(Экз. 1913 г.)

20. При игре в монету игроку засчитывается одно очко, если выпадает •орел, и два очка, если выпадает решка. Игра ведется до тех пор, пока счет не превзойдет П. Показать, что вероятность получить в точности П очков равна ɪ {2 +(~∣)"}∙

[Если эту вероятность обозначить через ρn, то Pn ɪ (ря-i 4^Pn-s);

Кроме того, = 1, ρ1 у •]

21. Доказать, что

_JL_+_L_ + _____ .. ɪ!. , ,

A + l ɪ α + 2 ʃ’—ɪ A + n~ U ∕ α+l 2J (α+l)(α + 2) + -"r

Где я—положительное целое число и А Не равно ни одному из чисел —1, — 2, — л.

[Это следует из разложения каждого слагаемого в правой части на простейшие дроби. Когда А>—1, результат может быть очень легко полу­чен из равенства

ʃ χa 1rE⅞" rfχ=∫(l-x)a {1 — (1 — хП ɪ

О U

1 —Х"

Разложением -ɪ_____ χ и 1—(1—x)n по степеням Х и почленным интегри­

Рованием. Результат является алгебраическим тождеством, и поэтому дол­жен иметь место для всех значений А, кроме —1, —2, …, —П.]

22. Доказать перемножением рядов, что

(— l)n→2nп • я!OO

Σ(>+⅛+÷+-

1

[коэффициент при zn оказывается равным

в нашем распо-
далее применить результат примера 21, полагая а == о.]
23. исследовать, насколько это возможно, имеющимися
ряжении средствами сходимость ряда

Для действительных и комплексных Z.

(Экз. 1924 г.)

24. Если А„ — А и Brl^B при π-→co, то

— MiBn-J-AsBn-J + ∙ ∙∙ + AnBi)-→ АВ.

[Пусть An = A-⅛- εn. Тогда рассматриваемое выражение примет вид
. Вд -[-B2J-.. • 4~ В„ . εlBn -{- ε2Bn-1 —J— … JεπB1

Я ɪ П

Первое слагаемое стремится к AB (см. гл. IV, Разные примеры, 16). Абсо­лютная величина второго меньше

(I ɛɪ I + i ε21 + • • • +1 ея D>

Где β — любое число, превосходящее наибольшее значение JS ]; это выра­жение стремится к нулю.]

25. Доказать, что если

= о А + Aibn~I +… + Unbl И

An = Ai-(- Usf -.. .~R а„, В N = Bi 4- B-2 — j-…-j — Bn, Cn ■==■ Ci + C2 + • • • + сп, То

Cn = AiBn 4- й8Дя_1 4- ∙ ∙ ∙ + UnBiBiAn -(- ⅛2√4n-ι 4- ∙ ∙ ∙ + ⅛nΛx Ci + C2 -j-∙∙∙+ Cn = AiBn √4≈A-ι + ∙ ∙ >

Доказать, что если ряды ∑ An, ∑ Bn сходятся и имеют соответственно суммы А и В, так что An-→ А и В„—> В, то

Ct + C8 + Ся β п

Вывести отсюда, что если ∑ Сп сходится, то сумма этого ряда равна АВ. Этот результат известен как Теорема Абеля об умножении рядов. Мы уже видели, что можно умножать ряды указанным образом, если оба ряда абсолютно сходятся; теорема Абеля показывает, что результат остается в силе и в том случае, когда один или оба ряда не являются абсолютно сходящимися, но полученный ряд сходится.

26. Если

(— 1)"

An = L-, An = я„ Al +… 4^ Ип,

■ Ул+1

⅛n ==■ й„йя 4~ й1йя_1 4- ∙ ∙ ∙~∏ Unaa, Bn = b0 4- Bi 4- • • ∙ +

То 1° £й„ сходится к сумме А,An = AO(N /s), 3° Bn ограниченно ко­

Леблется, 4° BnA0An 4- йр4п_1 + … 4- AnA0 и 5° Bn ограниченно колеблется.

(Экз. 1933 г.)

27. Доказать, что

[Применить результат примера 9 для доказательства сходимости рядов.]

28. Доказать, что если /л > — 1, р > 0, я>0 и 1

Unhn = ^X"(IχPfdx,

О

То 4-я? + V)Unhn = Unfo-,L. Вывести, что 1 1

J χ ɪʌ(l — х*/«)6/2 dx = A-j X~¼(IX‘^)¼Dxl О О

И вычислить эти интегралы подходящей подстановкой.

29. доказать, что
dx
-у 2х‘ arc sin х , 7
dx =
(экз. 1932 г.)

qo qo

-j<∕y.2_
а
у у2 — аьljrfy

Г_____ , ____________________

J x4l∕^A2 + X2 Зй4 J У! —х2 9

A γ i Or

30. Вывести следующие формулы:

J F {J∕^x2 + 1 +X}Dx = J-J f 1 + ɪ j F (у) Dy,

0 1

J Л {]∕^x2 + 1 — X}Dx = ~ J (J+Yr)F(Y)Dy.

О о

В частности, доказать, что если л> 1, то

QO QO

∫wτ⅛F=∫

(В этом и последующих примерах предполагается, что рассматри­ваемые интегралы понимаются в смысле, определенном в п. 184 и ел.]

31. Показать, что если 2YAx————— ~, где А и B положительны, то у

Монотонно возрастает от —оо до ∞, когда х возрастает от 0 до со. От­сюда вывести, что

УY2Fab

Если F (у)— четная функция, то это выражение равно

QO

■ j /(У) Dy.

32. Показать, что если 2_у —йх + —, где А и Ь положительны, то

Любому значению У, большему Уад, соответствуют два значения х. Обо­значая большее из них через x1, а меньшее—через х2, показать, что когда У возрастает от j∕^<z⅛ до со, то X1 возрастает отдо оо, a xs убывает от

J∕^ -— до 0- Отсюда вывести, что

Со со

f аьf ь/а
yfbΓa
J ЛЛ⅛ = ɪ ∫∕∞{-j7j⅛ + 1>,

J F(Y)Dx1 = ɪʃ/(ʃ)f о /ай

И что

Ai){XiYP) — 2(α + ⅛) ’ Вывести также, что если A, β и γ положительны и 3s≥aγ, то

СО

Dx х (* Xidx π

p{⅛("+4)}i'=4 j⅛¾
о yab о
,33. доказать формулу: ʃ ∕! sec ^x + tg ^ x,dx,]∕" sir,: ʃ/(cosecx) -
dx
'∣∕^ sin.
34. если а и ь положительны, то дх г.,(xi + ai) (х- + bi) riab (a-y ь) о о
x-dx
∙j∙
αx4 + 2 3x2+γ 2 ]∕^2γΛ αx4 4- 2 jix2 + γ 2|<2ал

Где А — β 4-¼α7∙ Вывести последний результат также из формулы примера 31,. полагая F (у) •

[Последние два результата остаются в силе и при ≥2 < αγ, но в этом, случае их доказательство несколько сложнее.]

35. Доказать, что если Ь положительно, то

СО со

F χ4χ . Г x'<lχ __ ”

J (х2 — а2)2 4“ ⅛2×2 2⅛ ’ J {(x2 — й2)2 4- B^X2}2 4Bs’

О о

36. Если φ, (х) непрерывна для х > 1, то

X

У ψ (я) = W φ (х) — Г [H Y (() Dt,

1 ≤irt≤: X 1

Где [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.

(Экз. 1932 г.>

37. Если φ" (х) = О (x~ α), где α > 1, для больших х, то

/I — f-~ 1

J {?(*) — φ (n4-iy∣dχ=0(∏-ct)

П

И

П п 4-1

ɪ? (",+Y)=j* <?(χ)Dx4-С4-О(п 1-≈),

1 1

[Заметить, что

ʃ {?(*) —ψ (л + у)рх =

П

1A 1 ‘

= ∫{φ (я + |+*) + <Р (л + у-^)-2φ (л+ 2-j}Λ∙]

38. если

X

ʃSiπm Θ sin А (х — 9) d9

И Т—Целое число, не меньшее 2, то

Т 1) Jm_. = A si Nmx -}- (м2 — й2) Jm.

Вывести, что

, β2 . . ‘ At{2TAt) . . β2(22-й2)(42 —й2) . .

Cos Ах = 1—— τ7r sm2 х——— 5sɪn4 Х—————— -——7√———— ‘- smβ х —… .

2! 4! 61

(Экз. 1923 г.)

π∕2 π∕2
un = ʃ sin 2лх ctg х dx, vn — ʃ 5in^nx ctx,
39. Доказать, что если

π∕2

То и„ = у π И

OO

ʃ

Sin Х J ~^- = V, О

Причем (что можно вывести интегрированием по частям или иным путем)

"я~⅜—ɑ, так что V = —Yτ.. (Экз. 1924 г.)

40. Если й положительно, /(х) непрерывна, за исключением начала коор­динат,

i f(x) dx =,lim f∕(x)dx j ε→0 j

А а

•существует и

ew=j,
d(,

то

А а

§G(X)DxF(X)Dx.

(экз. 1934 г.

ГЛАВА IX

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *