Определение 1. Системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется совокупность уравнений вида
F1(X; Y1; …γyn; Y‘1; …;у’п) = О»
У1’ ‘”>Уп> Ух* ’"^УпУ ~~ θ*
Fn(X; Y↑∖ ∙∙∙*Y∏* Ух* ,,∙>Y∏Y ~ θ> где p1; р2; … ; pn — искомые функции.
Ух = Fχ(×I Ух* —\Уп}* У%~ F2(χ* Ух, ∙∙∙>‰)>
Y‘N = №’> Ух* -‘>Yn)
Называется Нормальной системой дифференциальных уравнений 1-го порядка. Если Fl не зависят явно от Х, то система называется Автономной или стационарной.
Определение 2. Любая совокупность функций p1 = = φ1(x); P2,= <P2(χY* •••; У„ ~ Φn(χ)> обращающая в тождества все уравнения системы, называется Решением (частным решением ) данной системы дифференциальных уравнений.
Определение 3. Совокупность п функций вида Pz = φi(x; C1; C2; …; Cn); I = 1; 2; …; л, называется Общим решением системы дифференциальных уравнений, если они тождественно удовлетворяют системе уравнений и при соответствующем выборе констант C1; C2;…; Cn из них может быть получено любое (частное) решение исходной системы.
Определение 4. Задача о нахождении решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющего дополнительным (начальным) условиям
Yι(X0) = Ух ; У2Ы = У2 ; •••; *∕N(⅜) = УH, где pf; У2 ; …; Уп — произвольные постоянные, называется Задачей Коши.
Системы линейных уравнений
Определение 5. Системы дифференциальных уравнений вида
Y[ = PnMyi + ••• + PinMyn + ZiW, У 2 = P2ι WPι + ∙∙∙ + PznMyn + Z2W,
Уп = Pm МУ 1 + — + Pnn Myn + Fn W; называются Линейными. Если Fi(X) ≡ O, I = 1, 2, …» л, то система называется Однородной.
Определение 6. Совокупность л линейно независимых решений однородной линейной системы называется Фундаментальной системой решений.
PnJPι2;-‰ t∕21> ^22’ ∙4∙*2^2λ
Теорема 1. Если — фундаментальная
• • • • •
Prtl> Рл2> —’Рлл
Система решений линейной однородной системы, то общее решение этой системы имеет вид:
Pi = CiPn + ⅛ι + — + CNYni,
У 2 = ciPl2 + c2P22 + — + СПУп2>
Уп ~ CiPm + С2У2п ÷ ∙∙∙ + Cnynn‘, Где C1; C2; …; Cn — произвольные постоянные.
Теорема 2. Общее решение системы линейных неоднородных уравнений имеет вид
Pi =Pi + cι Pn +- + cnPαP P2 =P2 + c1P12 +— + Cnyn2,
Уп =Уп +Clyln + … + Cnynn;
Yl; У2 ;…; р„ — частное решение неоднородной системы; pij. — фундаментальная система решений однородной системы; C1; C2; …; Cn — произвольные постоянные.
При решении системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами наиболее эффективен метод Эйлера, в рамках которого решение ищется в виде Y1 = Alekx; Y2=A2Ekx; …; Yn≈Anekx, Где K; Al; A2; …; An — постоянные, подлежащие определению. После подстановки данных выражений в исходную систему
УI = Allyi + α12y2 + … + Ulnyn, У2 = а21У1 ^f^ «22^2 ^*^ ,∙∙ ^*^ А2пУп>
Уп = Wl + Ап2У2 + — + аппУп Получаем следующую алгебраическую систему
(α11 -к) A1 + U12A2 + …+ ulnAn = О,
«21-^1 (a22 ~ ^)-^2 + ••• + А2ПАп = θ>
[απlA1 + Un2A2 + … + (Unn —K)An = 0.
Система имеет нетривиальное решение, если определи
Тель матрицы системы равен нулю
Полученное уравнение называется Характеристическим, а его корни — Характеристическими числами.
Рассмотрим различные варианты решения характеристического уравнения.
1. Все характеристические числа действительны и различны: fe1; fe2;…; fen.
Для каждого корня Kl находим коэффициенты A11; A12; …; Ajn; а следовательно, получаем следующее решение:
Уп = Ап ; Yi2 =Aj2 Eft,X ;…; Yin = Ajn Eh‘X; I = 1; 2;…; П. Совокупность найденных функций — фундаментальная система решений системы:
Yn = cι ■ Anleh>X + C2 ∙ Anlek*X +… + Cn- Annek"x.
2. Все характеристические числа действительны, но среди них есть кратные.
Пусть корень К имеет кратность Р, тогда ему соответствуют решения вида:
Y1 = P1(X}Ekx; Y2 = P2(X)Ekx; …; Yn = Pn(X)Ekx, где Pi(X) — Полиномы степени не выше Р — 1. Среди коэффициентов этих полиномовР являются произвольными, а остальные
выражаются через них. Полагая последовательно один из этих произвольных коэффициентов равным 1, а остальные — 0, получаемР линейно независимых частных решений, соответствующих данному р-кратному корню fe.
3. Все характеристические числа различны, но среди них есть комплексные.
Решение проводится по схеме пункта 1, но после того, как построены комплексные решения, проводится выделение действительной и мнимой частей. В результате чего каждая пара комплексно сопряженных корней Kl 2 ==A±Ib Порождает два действительных решения исходной системы.
4. Среди характеристических чисел есть комплексные кратные.
Решение проводится по схеме пункта 2. Каждый раз (осле получения комплексного решения проводится вы — еление действительной и мнимой частей.
При решении линейных неоднородных уравнений для (остроения частного решения наиболее часто используется метод неопределенных коэффициентов (см. 8.2).
Пример 1. Решить систему уравнений:
А) Характеристическое уравнение данной системы имеет вид.
5~fe 4 = 0; ft2-IOft+ 9 = О,
4 5-ft
Откуда получаем ⅛t = 1; ft1 = 9.
Рассмотрим случай K = 1. Решение системы ищется в
Виде
‘Y = Aex,
г = Bex;
Получаем: 4А + 4В = 0; А = — В. Используя произвол в выборе одной из констант, получим А = 1; В = -1. То есть решение системы, соответствующее значению К —1, имеет вид Pi = Ex; 2L = — ех.
Случай К = 9 рассматривается аналогично, при этом получаем Y2 = E9X; г2 = E9X.
Общее решение исходной системы:
⅛ = C1e’ +C2eβ’, —
> = — C1e’ + C2e9′; C1, C2 — const.
Б) Характеристическое уравнение системы имеет вид
Откуда получаем K12 = 2 ± I.
Поскольку решение системы ищется в виде
У = Aekx, г = Bekx;
То после подстановки этих выражений в исходную систему получаем: ZA + В = 0; В = —IA.
Пусть А = 1, тогда В = —I и решение системы следующее:
У _ e(2+ι)χ _ E2X (Cθs χ + . gɪɪɪ χY,
Z =-Ze(2+l)x = e2x(sinx-Zcosx).
Выделяя действительную и мнимую части решений,
Получаем
Y1 = e2xcos Х; Z1 = e2xsin х; У2 = e2xsin Х; Z2 = — e2xcos х,
После чего общее решение системы приобретает окон нательный вид:
У = E2X (C1 cos х + C9 sin х),
• 1 2 C1, C2 — const.
Z = e2x(C1 sin x-C2 cos х);
В этом случае решение исходной системы ищется в виде
У = (Alx + A2)e3x,
«
[z = (B1x + B2)e3x;
Где A1, A2, B1, B2 — коэффициенты, подлежащие определению.
После подстановки выражений для У и Z в исходную систему получаем
(—A1 + B1 )X + A1 — A2 + B2 = 0,
(-A1 + B1)X + B2 + B1 — A2 = 0; что равносильно следующей алгебраической системе уравнений.
B1 = A1,
‘ B2 = -ʤ ~ -ʌl ’ A1; A2 ∈ В.
В качестве двух линейно независимых решений этой системы выберем следующие:
B1 — 1, B1 — о,
B2 ≈ —1; B2 = 1.
Получены два линейно независимых решения исходной системы дифференциальных уравнений:
Y1 = Xe3X; Z1 = (х — l)e3x и У2 = E3X; Z2 = E3X.
Таким образом, общее решение исходной системы име
Ет вид:
У-(Clx + C2)E3X,
«
Z = (C1(x-l) + C2)e3x; C1,C2 — const.
Y = (C1x + C2)e3x, z = (C1(x-l) + C2)e3x;
Пример 3. Решить систему дифференциальных уравнений: У’=-бу+ 2Z + ех, Z, = у -6Z + E~2X.
Решение.
Данная система является неоднородной, поэтому ее решение будет построено как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения однородной системы уравнений.
1) Рассмотрим однородную систему:
Характеристическое уравнение имеет вид:
-5-⅛ 2 *2+ii⅛+28≈0,
1 -6-k
А его корни соответственно равны K1 = -4; K2 = —7. Если K = -4, то решение системы ищется в виде
У = Ae-4′, г = Be-4′.
После подстановки этих выражений в систему получаем: A = 2В.
Пусть S = I, Тогда А = 2, тогда решение исходной системы, соответствующее случаю K = -4, имеет вид:
Y1 = 2E~4X; Z1 = E~4X.
Случай К = -7 исследуется аналогично и приводит к следующему решению:
Уг = E~7X; Z2 = —E~7X.
Окончательно получаем общее решение однородной системы уравнений:
Y<i = 2C1e~4x + C2e~7x,
Z0 = C1e~4x — C2e~lx∖ C1, C2 — const.
2) Частное решение неоднородной системы найдем ме
Тодом неопределенных коэффициентов:
У = Aex + Be~2X, Z = Cex + De~2X;
А, В, C, D— коэффициенты, подлежащие определению. После подстановки У и Z исходная система приобре
Тает вид:
Aex — 2Be~2X = -5 Aex — 5Be~2X + 2Cex + 2De~2X + ех, Cex — 2De~2X = Aex + Be~2X — QCex — QDe~2X + E~2X‘,
Откуда получаем А = —; В = 40
~ Vx 1 _2х
У = —е +—е,
40 5
~ ɪ „х I ɜ -2х
z = — е + — е
40 10
3) Общее решение неоднородной системы:
Y—ex + ~e~2x +2C1e~4x +Cse~7xt
I, 40 5 1 2
Z=-ex + — e~2x + C1e~4x-C2e~7x; где C1t C2 — const. 40 10 1 2 12
Ответ:
Y = — ex+-e~2x+2C1e~4x+C2e~7xt y 40 5 1
Z = — ex + -→~2i + Cle~4x — C2e~7x∖ C1, C2 — const. 40 10 1 2 1 2
Задания для самостоятельного решения
У ≈3Y—Z + Wt 1. • г’ = -у + Sz — Wt
W‘ = У — г + 3W.
У = Z —Iyt Z‘ — -2Y — Sz.
У = Z +Wt
2. Lz‘=Y + Z—Wt
W‘ = Z + W.
У’= У-2Z—Wt 4. ^Z‘ = -у + Z + Wt
W‘ = У —W.
У = —Z + COS Xt
Z‘ = 3Y-4Z + 4 cos Х — sin Х.
Ответы:
У = C1E2X + C2E3X — C3E6XT .∙Z≈ C2E3X + 2C3E6XT
W = — C1 E2x + C2e3x — C3e6x.
2. |
3. |
4. |
У = 2C1 + C2xex + C3ex, Z = — C1 + C2ex, W = Cl+ C2xex + C3ex. У = (C1 cos Х+ C2 sin x)e~6x, Z = ((C1 + C2) cos Х + (C2 — C1) sin X)e y = C1+3C2e2x, Z =-2C2e2x + C3e~x, W = C1 + C2e2x — C3ex. |
6Х |
5. |
У ~ C1e x + C2e ɜ , Z = C1e~x + 3C2e~3x + cosx. |