Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Определение 1. Системой обыкновенных дифференци­альных уравнений первого порядка называется совокуп­ность уравнений вида

F1(X; Y1; …γyn; Y‘1; …;у’п) = О»

У1’ ‘”>Уп> Ух* ’"^УпУ ~~ θ*

Fn(X; Y↑∖ ∙∙∙*Y∏* Ух* ,,∙>Y∏Y ~ θ> где p1; р2; … ; pn — искомые функции.

Ух = Fχ(×I Ух* —\Уп}* У%~ F2(χ* Ух, ∙∙∙>‰)>

Y‘N = №’> Ух* -‘>Yn)

Называется Нормальной системой дифференциальных уравнений 1-го порядка. Если Fl не зависят явно от Х, то система называется Автономной или стационарной.

Определение 2. Любая совокупность функций p1 = = φ1(x); P2,= <P2(χY* •••; У„ ~ Φn(χ)> обращающая в тождества все уравнения системы, называется Решением (частным реше­нием ) данной системы дифференциальных уравнений.

Определение 3. Совокупность п функций вида Pz = φi(x; C1; C2; …; Cn); I = 1; 2; …; л, называется Общим решением системы дифференциальных уравнений, если они тождественно удовлетворяют системе уравнений и при соответствующем выборе констант C1; C2;…; Cn из них может быть получено любое (частное) решение исходной системы.

Определение 4. Задача о нахождении решения систе­мы дифференциальных уравнений первого порядка, удов­летворяющего дополнительным (начальным) условиям

Yι(X0) = Ух ; У2Ы = У2 ; •••; *∕N(⅜) = УH, где pf; У2 ; …; Уп — произвольные постоянные, называется Задачей Коши.

Системы линейных уравнений

Определение 5. Системы дифференциальных уравне­ний вида

Y[ = PnMyi + ••• + PinMyn + ZiW, У 2 = P2ι WPι + ∙∙∙ + PznMyn + Z2W,

Уп = Pm МУ 1 + — + Pnn Myn + Fn W; называются Линейными. Если Fi(X) ≡ O, I = 1, 2, …» л, то система называется Однородной.

Определение 6. Совокупность л линейно независимых решений однородной линейной системы называется Фун­даментальной системой решений.

PnJPι2;-‰ t∕21> ^22’ ∙4∙*2^2λ

Теорема 1. Если — фундаментальная

• • • • •

Prtl> Рл2> —’Рлл

Система решений линейной однородной системы, то общее решение этой системы имеет вид:

Pi = CiPn + ⅛ι + — + CNYni,

У 2 = ciPl2 + c2P22 + — + СПУп2>

Уп ~ CiPm + С2У2п ÷ ∙∙∙ + Cnynn‘, Где C1; C2; …; Cn — произвольные постоянные.

Теорема 2. Общее решение системы линейных неодно­родных уравнений имеет вид

Pi =Pi + cι Pn +- + cnPαP P2 =P2 + c1P12 +— + Cnyn2,

Уп =Уп +Clyln + … + Cnynn;

Yl; У2 ;…; р„ — частное решение неоднородной системы; pij. — фундаментальная система решений однородной сис­темы; C1; C2; …; Cn — произвольные постоянные.

При решении системы линейных однородных диффе­ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами наиболее эффективен метод Эйлера, в рамках которого решение ищется в виде Y1 = Alekx; Y2=A2Ekx; …; Yn≈Anekx, Где K; Al; A2; …; An — постоянные, подлежащие определе­нию. После подстановки данных выражений в исходную систему

УI = Allyi + α12y2 + … + Ulnyn, У2 = а21У1 ^f^ «22^2 ^*^ ,∙∙ ^*^ А2пУп>

Уп = Wl + Ап2У2 + — + аппУп Получаем следующую алгебраическую систему

(α11 -к) A1 + U12A2 + …+ ulnAn = О,

«21-^1 (a22 ~ ^)-^2 + ••• + А2ПАп = θ>

[απlA1 + Un2A2 + … + (Unn —K)An = 0.

Система имеет нетривиальное решение, если определи­

Тель матрицы системы равен нулю

Полученное уравнение называется Характеристичес­ким, а его корни — Характеристическими числами.

Рассмотрим различные варианты решения характери­стического уравнения.

1. Все характеристические числа действительны и раз­личны: fe1; fe2;…; fen.

Для каждого корня Kl находим коэффициенты A11; A12; …; Ajn; а следовательно, получаем следующее решение:

Уп = Ап ; Yi2 =Aj2 Eft,X ;…; Yin = Ajn Eh‘X; I = 1; 2;…; П. Со­вокупность найденных функций — фундаментальная сис­тема решений системы:

Yn = cι ■ Anleh>X + C2 ∙ Anlek*X +… + Cn- Annek"x.

2. Все характеристические числа действительны, но среди них есть кратные.

Пусть корень К имеет кратность Р, тогда ему соответ­ствуют решения вида:

Y1 = P1(X}Ekx; Y2 = P2(X)Ekx; …; Yn = Pn(X)Ekx, где Pi(X) — Полиномы степени не выше Р — 1. Среди коэффициентов этих полиномовР являются произвольными, а остальные
выражаются через них. Полагая последовательно один из этих произвольных коэффициентов равным 1, а осталь­ные — 0, получаемР линейно независимых частных реше­ний, соответствующих данному р-кратному корню fe.

3. Все характеристические числа различны, но среди них есть комплексные.

Решение проводится по схеме пункта 1, но после того, как построены комплексные решения, проводится выде­ление действительной и мнимой частей. В результате чего каждая пара комплексно сопряженных корней Kl 2 ==A±Ib Порождает два действительных решения исходной систе­мы.

4. Среди характеристических чисел есть комплексные кратные.

Решение проводится по схеме пункта 2. Каждый раз (осле получения комплексного решения проводится вы — еление действительной и мнимой частей.

При решении линейных неоднородных уравнений для (остроения частного решения наиболее часто использует­ся метод неопределенных коэффициентов (см. 8.2).

Пример 1. Решить систему уравнений:

А) Характеристическое уравнение данной системы име­ет вид.

5~fe 4 = 0; ft2-IOft+ 9 = О,

4 5-ft

Откуда получаем ⅛t = 1; ft1 = 9.

Рассмотрим случай K = 1. Решение системы ищется в

Виде

‘Y = Aex,
г = Bex;

Получаем: 4А + 4В = 0; А = — В. Используя произвол в выборе одной из констант, получим А = 1; В = -1. То есть решение системы, соответствующее значению К —1, име­ет вид Pi = Ex; 2L = — ех.

Случай К = 9 рассматривается аналогично, при этом получаем Y2 = E9X; г2 = E9X.

Общее решение исходной системы:

⅛ = C1e’ +C2eβ’, —

> = — C1e’ + C2e9′; C1, C2 — const.

Б) Характеристическое уравнение системы имеет вид

Откуда получаем K12 = 2 ± I.

Поскольку решение системы ищется в виде

У = Aekx, г = Bekx;

То после подстановки этих выражений в исходную систе­му получаем: ZA + В = 0; В = —IA.

Пусть А = 1, тогда В = —I и решение системы следую­щее:

У _ e(2+ι)χ _ E2X (Cθs χ + . gɪɪɪ χY,

Z =-Ze(2+l)x = e2x(sinx-Zcosx).

Выделяя действительную и мнимую части решений,

Получаем

Y1 = e2xcos Х; Z1 = e2xsin х; У2 = e2xsin Х; Z2 = — e2xcos х,

После чего общее решение системы приобретает окон нательный вид:

У = E2X (C1 cos х + C9 sin х),

• 1 2 C1, C2 — const.

Z = e2x(C1 sin x-C2 cos х);

В этом случае решение исходной системы ищется в виде

У = (Alx + A2)e3x,

«

[z = (B1x + B2)e3x;

Где A1, A2, B1, B2 — коэффициенты, подлежащие опреде­лению.

После подстановки выражений для У и Z в исходную систему получаем

(—A1 + B1 )X + A1 — A2 + B2 = 0,

(-A1 + B1)X + B2 + B1 — A2 = 0; что равносильно следующей алгебраической системе урав­нений.

B1 = A1,

‘ B2 = -ʤ ~ -ʌl ’ A1; A2 ∈ В.

В качестве двух линейно независимых решений этой системы выберем следующие:

B1 — 1, B1 — о,

B2 ≈ —1; B2 = 1.

Получены два линейно независимых решения исход­ной системы дифференциальных уравнений:

Y1 = Xe3X; Z1 = (х — l)e3x и У2 = E3X; Z2 = E3X.

Таким образом, общее решение исходной системы име­

Ет вид:

У-(Clx + C2)E3X,

«

Z = (C1(x-l) + C2)e3x; C1,C2 — const.

Y = (C1x + C2)e3x, z = (C1(x-l) + C2)e3x;

Пример 3. Решить систему дифференциальных уравнений: У’=-бу+ 2Z + ех, Z, = у -6Z + E~2X.

Решение.

Данная система является неоднородной, поэтому ее решение будет построено как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения однородной си­стемы уравнений.

1) Рассмотрим однородную систему:

Характеристическое уравнение имеет вид:

-5-⅛ 2 *2+ii⅛+28≈0,

1 -6-k

А его корни соответственно равны K1 = -4; K2 = —7. Если K = -4, то решение системы ищется в виде

У = Ae-4′, г = Be-4′.

После подстановки этих выражений в систему получаем: A = 2В.

Пусть S = I, Тогда А = 2, тогда решение исходной сис­темы, соответствующее случаю K = -4, имеет вид:

Y1 = 2E~4X; Z1 = E~4X.

Случай К = -7 исследуется аналогично и приводит к следующему решению:

Уг = E~7X; Z2 = —E~7X.

Окончательно получаем общее решение однородной системы уравнений:

Y<i = 2C1e~4x + C2e~7x,

Z0 = C1e~4x — C2e~lx∖ C1, C2 — const.

2) Частное решение неоднородной системы найдем ме­

Тодом неопределенных коэффициентов:

У = Aex + Be~2X, Z = Cex + De~2X;

А, В, C, D— коэффициенты, подлежащие определению. После подстановки У и Z исходная система приобре­

Тает вид:

Aex — 2Be~2X = -5 Aex — 5Be~2X + 2Cex + 2De~2X + ех, Cex — 2De~2X = Aex + Be~2X — QCex — QDe~2X + E~2X‘,

Откуда получаем А = —; В = 40

~ Vx 1 _2х

У = —е +—е,

40 5

~ ɪ „х I ɜ -2х
z = — е + — е

40 10

3) Общее решение неоднородной системы:

Y—ex + ~e~2x +2C1e~4x +Cse~7xt

I, 40 5 1 2

Z=-ex + — e~2x + C1e~4x-C2e~7x; где C1t C2 — const. 40 10 1 2 12

Ответ:

Y = — ex+-e~2x+2C1e~4x+C2e~7xt y 40 5 1

Z = — ex + -→~2i + Cle~4x — C2e~7x∖ C1, C2 — const. 40 10 1 2 1 2

Задания для самостоятельного решения

У ≈3Y—Z + Wt 1. • г’ = -у + Sz — Wt

W‘ = У — г + 3W.

У = Z —Iyt Z‘ — -2Y — Sz.

У = Z +Wt
2. Lz‘=Y + Z—Wt
W‘ = Z + W.

У’= У-2Z—Wt 4. ^Z‘ = -у + Z + Wt

W‘ = У —W.

У = —Z + COS Xt

Z‘ = 3Y-4Z + 4 cos Х — sin Х.

Ответы:

У = C1E2X + C2E3X — C3E6XT .∙Z≈ C2E3X + 2C3E6XT

W = — C1 E2x + C2e3x — C3e6x.

2.

3.

4.

У = 2C1 + C2xex + C3ex, Z = — C1 + C2ex, W = Cl+ C2xex + C3ex. У = (C1 cos Х+ C2 sin x)e~6x, Z = ((C1 + C2) cos Х + (C2 — C1) sin X)e y = C1+3C2e2x, Z =-2C2e2x + C3e~x, W = C1 + C2e2x — C3ex.

6Х

5.

У ~ C1e x + C2e ɜ , Z = C1e~x + 3C2e~3x + cosx.