Системы линейных алгебраических уравнений

Системы п линейных алгебраических уравнений
с п неизвестными

Пусть дана система П линейных алгебраических ypaB∙ нений с П неизвестными вида

αllxl + α12^2 +’••• + ALnxn = &Р
®21^1 + O,22X2 + ∙∙∙ + O,2Nxn = ^2»

Amxι + a∏2χ2 +… + annxn = bn∖

Z

Vn

Системы.

Правило Крамера

Если в системе DetA 0, т. е. матрица А имеет обрат­ную А-1, то система имеет, и притом единственное, реше­ние

Или Xl = -ɪ, I = 1, 2, П,

Δ

Где ∆i — определитель, получаемый из определителя Δ системы заменой i-ro столбца на столбец свободных чле­нов.

Пример 1. Решить систему уравнений по правилу Крамера xi — x2 + X3 = 5,

• 2×1 + x2 + X3 =6,

Xi + x2 + 2×3 = 4.

Решение.

X

3 Δ 5 Ответ: X1 = 3, x2 = -1, X3

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений примера 1 матричным способом.

X1 — X2 + X3 = 5,

• 2×1 + X2 + X3 = 6, x1 + X2 + 2×3 = 4.

Решение.

1 P

— матрица системы уравнений,

Матрица-столбец неизвестных,

— матрица-столбец свободных членов данной

. Отсюда: x1 = 3, x2 = -1, x3 = 1.

5

V У

Ответ: X1 = 3, x2 = -1, x3 = 1.

Произвольные системы линейных
алгебраических уравнений.

Теорема Кронекера—Капелли

Пусть дана система Т линейных уравнений с п неиз­вестными общего вида

αil≈l + α12*2 + ••• + Amχn = &1> ®21^1 O,22x2 + ∙∙∙ ^t^ O,2nxn ~ ^2’

/ɪmlɪl ÷ AM2X2 ÷ ∙∙∙ + AMnxn ~ »

Или в матричной форме, AX = Ь,

ɑvnl M2 ∙ ∙ ∙ ®тп

NJ

— матрица-столбец свободных членов данной системы.

Определение 1. Решением системы называется такая совокупность П чисел α1, a2, •••» a∏>что ПРИ подстановке их во все уравнения системы вместо соответствующих неиз­вестных получаются числовые тождества.

Определение 2. Система, имеющая хотя бы одно реше­ние, называется Совместной; система, не имеющая ни од­ного решения — несовместной.

Определение 3. Система, имеющая единственное реше­ние, называется Определенной; система, имеющая более одного решения — Неопределенной.

F

ALl a12 ∙∙∙ aIn

BI

A31 a32 ∙∙∙ a3π

B2

AMl am2 ∙∙∙ amn

Ът>

Определение 4. Две системы называются эквивалент­ными, если множества их решений совпадают.

Определение 5. Матрица (А | Ъ) = Получаемая из матрицы А системы добавлением столбца свободных членов, называется Расширенной матрицей.

Теорема 1. Для того, чтобы система (*) была совмест­ной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы сис­темы был равен рангу расширенной матрицы, т. е.

R(A) = Г(А) Ь).

Иначе, 1) r(A) R(A | Ь) <=> система несовместна,

2) R(A) = г(А Ь) <=> система совместна,

3) Г(А) = г(А Ь) = л <=> система определенна,

4) R(A) = г(А Ь) <п <=> система неопределенна.

Алгоритм исследования произвольных система линей­ных уравнений методом Гаусса.

1) Сначала расширенная матрица (А | Ь) приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (при этом одновременно приводится к ступенчатому виду и матрица А системы (*));

2) Затем находятся числа r(A), r(A | Ь) и п (п — число неизвестных системы);

3) Проводится исследование системы согласно теоремы Кронекера-Капелли.

Пример 3. Исследовать систему

‘-I

2

-1

1

F

1

-2

1

5

5

1

К

-2

1

1

1

У

Ешение.

‘ 2

-1

-2

Ч

1

1

3 ‘

3

-1

-1

1

(1) θ (4)

З

-1

-1

1

-3

2

1

1

-3

2

1

1

1

1

1

3

2

-1

-2

-1

V

У

К

Решение.

(2) — 3(1)

(3) + 3(1)

(4) — 2(1)

"ill

3 ʌ

1

‘l 1 1

3 ‘

О -4 —

4

-8

Oll

2

0 5 4

10

-1 • (4)

0 5 4

10

0 -3 —

4

-7

0 3 4

7

К

У

К

У

‘l 1 1

3′

Ill

Oll

2

(4) + (3)

Oll

2

0 0-1

О

0 0-1

О

0 0 1

1

ООО

1

(3) — 5(2)

(4) — 3(2)

Г(А) = 3,

R(A∣ b) = 4, r(A)≠r(A∣ Ь). Ответ: система несовместна.

Ответ: система совместна и имеет единственное реше­ние.

Метод Гаусса

Определенные линейные алгебраические системы

Определение 6. Система является Определенной тогда и только тогда, когда r(A) = r(A | Ь) = л. В этом случае имеем систему П линейных уравнений с л неизвестными, определитель которой не равен нулю. Значит, по форму­лам Крамера можно найти ее решение. Найдем же реше­ние этой системы методом Гаусса. В этом случае матрица А после приведения ее к ступенчатому виду будет треу­гольной, т. е. количество строк у нее равняется количе­ству столбцов (так как г(А) = л и ниже диагонали распо­ложены нули). C помощью элементарных преобразований матрицу А можно привести к единичной матрице, тогда после черты в расширенной матрице будет расположено решение системы, т. е. приведем расширенную матрицу к виду ] X). Покажем это на примере 5.

Пример 6. Найти решение системы уравнений примера 5 методом Гаусса. Данную систему мы приведем к виду: . C помощью элементарных преобра­

Следовательно, X1 = 2, X2 = 3, X3 = -1.

Проверка. Подставим эти значения неизвестных в си­стему примера 5.

2 — 3 — (-1) = 0, 5∙2-l∙3 + 4∙ (-1) =10-7 = 3, 1 • 2 + 2 • 3 + 3(-l) = 8-3 = 5.

Ответ: X1 = 2, X2 = 3, X3 = -1.

Пример 7. Методом Гаусса решить систему X1 + 6×2 + 3*з = 21,

• 4×1 + 8×2 + *з = 18,

3×1 4" 5×2 4- 4×3 — 33.

Решение.

16×2 + 6 • 11 = 66, X2 = 0;

4×3 = 378;

X1 + 18 = 21, X1 = 3, X3 =

Ответ: X1 = 3, x2 = 0; X3 = 6.

Пример 8. Выяснить, является ли система векторов α1 = (2, -3, 1), α2 = (3, -1, 5), α3 = (1, -5, -3) линейно зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.

Решение.

Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой явля­ются α1, α2, α3:

A =

"2 3 1 ‘

-3 -1 -5

(l)θ(3)

‘ 1 5 -3^

-3 -1 -5

15-3

2 3 1

(2) + 3(1)

(3) — 2(1)

Векторы A1 и α2 образуют базис исходной системы.

Неопределенные линейные
алгебраические системы

Если система имеет бесконечное множество решений, то все их перечислить невозможно. В этом случае строит­ся общее решение системы.

Определение 7. Общим решением неопределенной си­стемы называется такая система, эквивалентная исход­ной, в которой часть неизвестных, называемых зависимы­ми, выражена через остальные неизвестные, называемые независимыми.

Опишем способ нахождения общего решения системы, предполагая, что ее матрица уже приведена к ступенча­тому виду.

Зависимыми (остальные будут независимыми); для этого надо, обведя нули, нарисовать «лесенку», иллюстрирую­щую ступенчатый вид матрицы. Под теми столбцами, где начинаются «ступеньки» этой «лесенки» подписать неиз­вестные, соответствующие этим столбцам, и рядом напи­сать букву «з». В данном примере это будет выглядеть так:

Fl_

8

-4

0

-2

4

-2

О

О

2

7

4

2

-1

3

О

О

0

0

1

3

0

2

О

О

0

0

0

2

-3

1

7

X1 3

X3-3

Х5 “ 3 x6 ^ 3

Ми.

2) Затем с помощью элементарных преобразований надо добиться, чтобы в столбцах, соответствующих зависи­мым неизвестным, осталось лишь одно ненулевое число. Делать это целесообразно двигаясь снизу вверх и справа налево. В данном примере получим таким образом матрицу

[Г] 8 0 14 0 0 -19 3 О 0 [2] 7 00-16 О

0 0 0 0 [2] 0 9 1

ООО 0 0∣2]-3 1

3) Теперь надо систему из матричной формы записи перевести в обычную форму:

X1 + 8×2 + 14×4 — 19×7 = 3,

2×3 + 7×4 — 16×7 = 0,

2×5 + 9×7 = 1,

2xθ 3×7 — 1.

4) Выражая в каждом уравнении зависимую неизвест­ную, получаем общее решение системы:

X1 = 3 — 8×2 — 14×4 + 19×7, x3 =∣(-7×4 +16×7),

1

XS = 2<1~9×7>,

Xg = — (1 + 3×7).

5) Теперь, придавая независимым неизвестным произ­вольные значения и вычисляя зависимые, можно найти Частное решение системы и сделать проверку.

В этом примере положим X2 = 1, X4 = 2, X7 = 0, тогда X1 = -33, X3 = -7, X5 = ɪ, X6 = ɪ

1 1

Проверка. -33 + 8 1 4 (-7) 2 • — + 4 • — — 2 0 =

Z Z

= -33 + 8 + 28-L + 2 = 4; 2(-7) + 7 2 + 4-ɪ +2∙ — Л Z

-1∙0 =-14 + 14 + 2 + 1 = 3; + 3- =2; 23-0 = 1.

Замечание. Количество зависимых неизвестных долж­но равняться рангу матрицы.

R2

1

-1

-3

2"

О

2

-3

1

1

О

О

О

О

О

О

К

О

О

О

О

7

Пример 9. Исследовать и решить систему

R2

1

-1

-3

4

О

1

-7

3

О

2

-3

1

1

2

3

-4

-2

3

К

7

•ешение.

4. Система совместна и неопре-

О 1

-7

3

2 -3

1

ɪ

4×1 +x3- 7×4 = 3,

Находим общее решение системы.

3 1 7

13 1

*2 =2 + 2*3^2*4′

Пусть X3 = QtX4 = 0, тогда Xl= ɪ, X2= ɪ. Следователь-

Qp

4 1 2 О

К° √

Проверка. Подставим координаты частного решения — вектора X в исходную систему уравнений:

3 1 3 1

2 •- +-• l-l∙0-3∙0 = 2, 4∙-+0∙

4 2 4

-7∙0 = 3,

3 1 3 1

0∙- + 2∙ — -3∙0 + l∙0= 1,2∙- +3∙ — — 4∙0-

4 2 4 2

— 2 • 0 = 3. Верно.

Будем теперь обозначать независимые неизвестные x3 = c1, xi = C2- произвольные постоянные. Тогда общее

3 1 7

XL — 4 4 C1 + 4 C2,

13 1

2 2 2 1 2 2

3 1 7

4 T1 +Γ2

13 1

Ответ: 2 + 2 ɛɪ ^ 2 ɑ2 Ct c2

Пример 10. Исследовать и решить систему (СЛАУ)

Ма совместна неопределенна.

X1 + X2 + X3 1, Xl = 1 — X2 хз — Положим X2 = 1, X3 = 1,

Частное решение системы. Обо­значим x2 = c1, X3 = с2, где c1, с2 — произвольные действи­тельные постоянные. Тогда общее решение системы будет иметь вид

ZI-Cj — c2λ

C2

C2 — произвольные действительные постоянные, ( 1 ʌ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *