ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

N Числовые неравенства:

Если A > B , то B < A .

Если A > B и B > C , то A > C .

Если A > B , то A + C > B + C .

Если A > B и C > 0 , то Ac > Bc .

Если A > B и C < 0 , то Ac < Bc .

Если A > B и C > D , то A + C > B + D .

Если A > 0 , B > 0 , C > 0 , D > 0 , причем A > B и C > D , то Ac > Bd . Если A > B > 0 и N — натуральное число, то AN > BN .

N Разложение на множители: A 2 — B 2 = (AB)(A + B); A 2 ± 2Ab + B 2 = (A ± B )2 ;

A3 ± B3 = (A ± B)(A 2 M Ab + B2 ); A 3 ± 3A 2B + 3Ab2 ± B3 = (A ± B)3 ;

Ax2 + Bx + C = A(XX1)(XX2 ),

Где X1 и X2 — корни уравнения Ax2 + Bx + C = 0 .

N Квадратное уравнение Ax 2 + Bx + C = 0

Ь + 4D Ь + 4B2^

4Ac

1,2

2A

2A

— формула корней квадратного уравнения.

Теорема Виета: X1 + χ2 = —, χ1 χ2 = .

Aa

N Арифметическая прогрессия:

A1 , A2 , …, An , … — члены арифметической прогрессии;

D — разность арифметической прогрессии;

An+1 = An + D — определение арифметической прогрессии;

An = A1 + D (N 1) — формула N-го члена;

AN =

AN1 + AN+1

2

Характеристическое свойство;

SN =

A1 + AN n = 2A1 + D(N -1)N

Формула суммы N первых членов.

bnq - bι = bι (qn -1)
q - 1 q - 1

b1
1 - q
s=,— формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при ∣ q | < 1.
тригонометрия
n свойства тригонометрических функций:
sin (- x)= - sin x ; sin (x + 2πk) = sin x ;
cos(- x )= cos x ; tg(- x)= -tgx ; ctg(-x)= -ctg x ;
где k — любое целое число.
cos(x + 2πk) = cos x ; tg (x + πk) = tg x ; ctg (x + πk ) = ctg x ,
n таблица значений тригонометрических функций некоторых углов
функция а ргумент а
 0 π
^6 π
7 π
7 π
2 π 3π
sin а 0 2 √2
2 √3
2 1 0 -1
cos а 1 √3
2 √2
2 1
2 0 -1 0
tg а 0 √3
3 1 √3 — 0 —
ctg а — √3 1 √3
3 0 — 0

,примечание. связь между градусной и радианной мерами измерении угла:
1° = -π- рад.
180
n формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:
,2 2 sin α cos α
sin2 α + cos2 α = 1; tg α= ; ctg α = — ;
cos α
,cos α
sin α
1 + tg2 а = 12—; 1 + ctg2 а = —1—
cos 2 α sin2 α
n формулы двойного угла:
sin 2α = 2 sin а cos а =,2tg а,1 + tg2α ’
2 2 2 1 - tg 2 а
cos 2а = cos2 а - sin2 а = 1 - 2sin2 а = ⅜—;
,1+ tg2 а
■ ; ctg 2а = esɪl.
1 - tg 2α 2 ctg α

N Геометрическая прогрессия: A1 , A2 , …, An , … — члены геометрической прогрессии;

Q — знаменатель геометрической прогрессии;

Bn+1 = B Q, B ≠ 0, Q ≠ 0 — определение геометрической прогрессии;

Bn = B1QN-1 — формула N-го члена;

Bn2 = Bn-1Bn+1 — характеристическое свойство;

— формула суммы N первых членов;

N Формулы тройного угла:

Sin3α = 3sinα — 4sin3 α; cos3α = 4cos3α -3cosα.

N Формулы понижения степени:

1- cos2α
2
1+ cos2α
2
2
sin α =
2
cos α =

N Формулы сложения и вычитания аргументов:

Sin (α ± β)= sin α cos β ± cos α sin β ;

Cos(α ± β)= cos αcosβ M Sin α sinβ ;

tg(α ± β)=Tg α ± tg β 1 M Tg α tg β ‘

N Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:

α + β α — β

Sin α + sin β = 2 Sin——— cos—— — ;

2 2

Sin α — sin β = 2 sin ——β cos — + β ;

2 2 ’

— + β — -β

Cos α + cos β = 2 cos—— — cos——- —.

2 2 ’ — + β — — β

Cos α — cos β = -2 sin——— — sin—— — ;

2 2’

Sin (— ± β)

Tg α M Tg β = i———- .

Cos — cosβ

N Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:

Sin α sin β = ɪ (cos(α — β) — cos(α + β)) )

Cos α cos β = ɪ (cos(α — β) + cos(α + β)))

Sin α cos β = I (sin(α — β) + sin(α + β)).

N Знаки тригонометрических функций по четвертям

Функция

Четверть

I

II

III

IV

Sin

+

+

Cos

+

+

Tg

+

+

Ctg

+

+

N Формулы приведения

Функция

Аргумент T

π

— α

2

π

— + α

2

π-α

π+α

—- α

2

— + α

2

2π — α

Sin T

COS α

COS α

Sin α

— sin α

— COs α

— COs α

— sin α

Cos t

Sin α

— sin α

— COs α

— COs α

— sin α

Sin α

COs α

Tg T

Ctg α

— Ctg α

— tg α

Tg α

Ctg α

— Ctg α

— tg α

Ctg T

Tg α

— tg α

— Ctg α

Ctg α

Tg α

— tg α

— Ctg α

N Решение простейших тригонометрических уравнений:

Sin X = a, p∣ ≤ 1, X = (- l)N arcsin A + πn ;
Cosx = a, p∣ ≤ 1, X = ±arccosA + 2πN ;

Tg X = A, X = arctg A + πN ;
ctgX = A, X = arcctgA + πN , N — целое число.

N Обратные тригонометрические функции:

— — ≤ arcsin X ≤-, 0 ≤ arccos X π ;

2 2 ’

— -π < arctg X < , 0 < arcctg X < π ;

Arcsin(-X)= — arcsin X; arccos(-X) = π — arccos X ;

Arctg (-X)= -arctgX; arcctg(-X)= π — arcctgX.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Обозначения: A, B, C — длины сторон ∆ABC, H высота, P = A+B+C — полупериметр, S площадь, R И R радиусы описанной и вписанной окружностей. N Теорема синусов. В любом треугольнике

A = b = c
Sin α sin β sin γ

N Теорема косинусов. В любом треугольнике

A2 = B 2 + C 2 — 2Bc cos α .

s = aha = bhb = chc s 2 2 2N Формулы площади любого треугольника:

S = 1 Ab sin γ, S = Pr, S = αbc ,

2 ∣j ’ 4R ’

S = yP(pA)(P B)(P C) — формула Герона.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *