РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

1. ВВЕДЕНИЕ

В гл. 7 мы обсудили основные аспекты специальной теории отно­сительности. Наибольшее внимание уделялось 4-векторам и их ис­пользованию в механике; в то же время там почти не упоминались электрические и магнитные поля, а также тензоры более высоко­го ранга. В этой главе тензоры высших рангов будут рассмотрены более подробно; кроме того, обсуждаются и вопросы электродина­мики, тесно связанные с теорией относительности. Так, например, уравнения Максвелла являются лоренц-инвариантными.

2. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Компоненты электромагнитного поля составляют антисимметрич­ный тензор, контравариантные компоненты Fμv которого равны

I θ

-cBz

CBy

E Л

CBz

О

-cBx

Ey

—сВу

CBx

О

Ez

∖-Ex

-Ey

-Ez

Ковариантные компоненты этого тензора Fμv = GμμFμι

Z О CBz CByEx

CBz О CBx Ey

—сВу CBx 0 Ez

Ex Ey Ez 0 у

Причем контравариантная и ковариантная формы метрического тензора (Gμv и Gμi,, соответственно) совпадают между собой

/10 0 о \

0 10 0 0 0 10 \0 О О -1/

При переходе к другой системе координат тензор F преобразуется в F1 по правилам преобразования подобия

F‘ = S~1FS. (3)

Если переход связан с поворотом и равномерным прямолинейным движением новой координатной системы относительно старой, то S Определяется матрицей обобщенного преобразования Лоренца Lg

F = Lq1FLg. (4)

Аналогичные выражения имеют место для чисто пространственных вращений R, а также для буста — разновидности преобразования Лоренца L, не связанного с вращением

F‘ = R~1FR, (5а)

F‘ = L-1FL. (56)

Если оба преобразования RkL совершаются в направлении оси Z, То их матрицы запишутся в виде

(cos θ — sin 0 0 0\

Sin θ cos θ 0 0

0 0 10’

\ 0 0 0 1/

/10 0 о \

0 10 о

0 0 7 β^1 ’

\о о -∕37 7 /

Соответственно.

В качестве примера рассмотрим преобразование (56) тензора электромагнитного поля при бусте (7); для простоты принимаем равными нулю две компоненты Ex = 0 и Bx = 0. В результате
для тензора электромагнитного поля в новой системе координат получим

F О CBz ^CByβ^,CBys

Γ‘∙μi CBz O β^<Ey BEy

-∙YcBy βrEy O Ez

∕3^FcBv -~IEyEz 0 /

В более общем виде этот результат может быть записан через ком­поненты:

E∣∣ = eII bH = bII (9)

= 7(Ex + × В) сВ’± = 7(CB± — β х Е).

Отсюда видно, что в отличие от случая 4-векторов преобразуются только компоненты поля, ортогональные вектору скорости v, тогда как параллельные компоненты остаются неизменными.

В заключение отметим, что существует еще дуальный тензор электромагнитного поля Е, в котором поля E К В переставлены местами; его контравариантные компоненты

EzEy

Rμv = ~Ez θ Ех

I Ey — Ex О

-cBx СВу -cBz

Этот тензор преобразуется, как обычный тензор электромагнитного поля. Получить этот тензор можно с помощью свертки

ʃɑ/? = (11)

Где εaβ^*S = 1 для четной перестановки индексов, εaβ^ιs = — 1 для нечетной перестановки и εaβ^Y5 = Ob случае, если два индекса сов­падают.

3. ИНВАРИАНТЫ

Напомним, что квадрат 4-вектора инвариантен по отношению к пространственным вращениям и преобразованиям Лоренца. У ан­тисимметричного тензора второго ранга имеются два инварианта. Первый получается сверткой тензора Faβ с его контравариантной формой Faβ, а второй — сверткой Faβ с дуальным тензором Eaβ

52 FaβFaβ = 2(C2B2 E2), (12)

52 FaβFaβ = 4cB∙E. (13)

Квадрат 4-потенциала электромагнитного поля (А, Ф/с) также является инвариантом

∑ A2a =A2— φ2∕c2. (14)

Эти величины остаются инвариантными по отношению к простран­ственным вращениям и преобразованиям Лоренца.

Если в какой-либо системе отсчета поля E и В взаимно орто­гональны, т. е. E • В = 0, то они будут взаимно ортогональными в любой системе координат, причем существует система, при переходе к которой наименьшее из полей E или СВ обращается в нуль. Если же поля в исходной системе не ортогональны, то не существует та­кой системы отсчета, в которой хотя бы одно из полей обратилось в нуль, поскольку величины сВ ∙ E и C2B2 E2 должны оставаться неизменными.

В качестве примера рассмотрим поле с единственными отлич­ными от нуля компонентами Eo и Во вдоль оси У. Преобразование

Рис. 12.1. Преобразование электрического Eo и магнитного Во полей, ориентированных в исходной системе отсчета параллельно оси У, при пе­реходе к системе отсчета, движущейся вдоль оси Z со скоростью, близкой к скорости света.

Лоренца, связанное с движением вдоль оси Z, дает

E’x = -β1cB0,

CB’x = β∙yE0,

Ey = 7 Eo,

СВу = -у B0,

(15)

E’z=Q,

CB’z = 0.

Этот результат иллюстрируется на рис. 12.1. Видно, что при боль­ших 7 поля СВ’ и E1 возрастают по величине и становятся почти ортогональными друг другу. Нетрудно также видеть, что инвари­антность соблюдается:

C2βz2 _ E,2 = С2В2 _ Е2, ()

СВ’ ∙ E’ = сВ • Е. (17)

4. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ПОТЕНЦИАЛЫ

Тензор электромагнитного поля Fα∏(l,2) связан с 4-потенциалом (А, Ф/с) соотношением

Xa

Дифференцирование этого тензора приводит к уравнениям Макс­велла. 4-градиент

Неоднородные уравнения Максвелла можно также получить, диф­ференцируя дуальный тензор

∑⅛z"s=°’ (25> что легко проверяется непосредственно.

5. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Тензор электромагнитного поля (1), составленный из компонент по­лей Ei и Bi, не позволяет однозначно определить 4-вектор электро­магнитного поля. Поскольку магнитное поле В Определяется рото­ром векторного потенциала А

B = VxA, (26)

То добавление к А Градиента произвольной скалярной функции ʌ(ŋ,z,ŋ

А’ = А + VA (27)

Не приведет к изменению В. Чтобы эта процедура не нарушила справедливость уравнения

ДА

E = —7φ (28)

Для электрического поля, к потенциалу Ф должна быть добавлена производная по времени от А:

И ɪðʌ

φφ~Cm

Соотношения (27) и (29) определяют калибровочное преобразо­вание, превращающее потенциал (А, ф) в потенциал (A’, </>’). Та­ким образом, уравнения Максвелла инвариантны относительно рас­смотренного типа преобразований ввиду произвольной калибровки потенциала.

Для устранения неоднозначности 4-потенциала обычно требуют, чтобы он имел нулевую 4-дивергенцию

M=va4I=°; <3°>

Это выражение называется условием Лоренца. Для устранения оставшейся неоднозначности можно потребовать, чтобы скалярная функция А удовлетворяла волновому уравнению соотношения (28), (29), в которых скалярная функция Л удовлетво­ряет уравнению (31), называются калибровкой Лоренца. Эта кали­бровка удобна в том отношении, что благодаря ей пространствен­ная и временная компоненты 4-потенциала удовлетворяют незави­симым волновым уравнениям

V⅛-⅛⅛ = — P∕≈o, (32)

V2A — ⅛⅛ = ’«J — (33)

При иных способах калибровки система волновых уравнений не рас­падается на независимые.

Другой метод устранения неоднозначности связан с выбором кулоновской калибровки, которая называется также калибровкой Лондона и состоит в выборе векторного потенциала с нулевой ди­вергенцией

V-A = O; (34)

В этом случае волновое уравнение (32) для скалярного потенциала становится не зависящим от времени:

V2<∕> = — p∕ε0∙ (35)

Эта калибровка используется в теории сверхпроводимости, о чем можно догадаться по ее названию.

6. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА

В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрим заряд Q с массой покоя Т, движущийся в электромаг­нитном поле. Силу Лоренца Ka, действующую на этот заряд, мож­но записать в виде

κA = ^ = —C∑,Faguβ, (36)

4-импульс Ра имеет компоненты (m7v, m,7c), 4-скорость — компо­ненты (7v,7c) и собственное время = Dt/7. Отсюда для трех пространственных и одной временной компонент уравнения (36) следует:

M 7v = 2(e + v х В) A = X,Y,Z, Dt 7 (37)

Dy

Тс—г- = — E — V А = T.

Dt у

Лагранжиан заряженной частицы равен

L = + Lv.A∙, (38)

7 С

Гамильтониан же можно выразить через обобщенный импульс P P = 7mv + QA (39)

В виде

H = [(cP — <∕cA)2 + m2c4]1/2 + . (40)

При скоростях V ∙≤C С в этом выражении преобладает член M2Ci, Отвечающий энергии покоя, и его можно с хорошей точностью ап­проксимировать выражением

H = (.P,,,-,gʌ)ɪ + + Mc2 (41)

C помощью соответствующего оператора в квантовой механике опи­сывается эффект Зеемана.

7. СКРЕЩЕННЫЕ ПОЛЯ

Перейдем теперь к изучению скрещенных полей Е±В. Рассмотрим поле (8) после перехода к системе отсчета, движущейся со скоро­Стью β = V/с в направлении нормали к плоскости, в которой лежат векторы E и В

E’∣, =0 E’χ = 7(Е± + β × сВ), (42)

В’Ii = 0 cB’χ = 7(cBχ — β × Е);

В Этой системе отсчета параллельные компоненты полей остаются нулевыми.

Рассмотрим два случал, в одном из которых E больше, чем сВ, А В другом — наоборот. Если JEj < сВ, то, выбрав скорость системы отсчета равной

ExB B2

Получим, что поле Е’± = 0, и

Поскольку электрическое поле E в новой системе отсчета отсутству­ет, то заряд будет двигаться в магнитном поле В (в этой системе),

8. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ

Если заряженная частица совершает движение по круговой орби­те, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля, а поле ме­дленно увеличивается с расстоянием, как показано на рис. 12.3, то траектория движения такой частицы будет иметь форму спирали, причем частица может испытать отражение от области, в которой величина поля достигнет некоторого критического значения.

Характер такого движения можно проанализировать, восполь­зовавшись адиабатической инвариантностью действия J

Рис. 12.3. Спиральное движение частицы в ловушке, образованной про­дольным магнитным полем В, слабым в центре и возрастающим к краям. 1 — υ∣∣ — велико, aɪ — мало; 2 — область отражения, aɪ — велико, υ1∣ =0

Где PОбобщенный импульс (39). Поскольку векторы vɪ и M кол- линеарны и

ωβ = еВ Ymoc = Aɪ/ɑ, (48)

Где А—радиус орбиты, то, как показывает весьма кропотливый анализ,

J = gPπα2, (49)

И, Следовательно, радиус А уменьшается с увеличением поля В. Ки­нетическая энергия частицы также сохраняется, поскольку

∏+⅛ = ⅛ (50)

Где υ0 — начальная скорость, с которой частица была захвачена маг­нитным полем. Поскольку заряженная частица движется по спира­Ли В направлении возрастания поля, радиус спирали А уменьшается В Соответствии с (49), а поперечная компонента скорости rɪ — уве­личивается согласно (48). Движение по спирали продолжается до Тех Пор, пока υ± не достигнет по величине начальной скорости ι⅛; 9 Этот момент υ∣∣ обращается в нуль согласно (50), заряд останавли­Вается И начинает двигаться по спирали в обратном направлении В Сторону уменьшения поля. Если поле достаточно слабое в центре Некоторой области и возрастает по мере приближения к ее краям, То Заряженная частица может совершать возвратно-поступательное движение по спирали, т. е. оказывается захваченной в ловушку, как ‘Показано на рис. 12.3.

ГЛАВА 13

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *