Прямая и плоскость в пространстве

ŋ X~ xO У ~Уо Z ^ 2O _

I т п

Канонические уравнения пря­мой, проходящей через точку Λf0(x0; Уо> ZO) параллельно направ­ляющему вектору А = {/; т; м};

2) X^*< y~yι _ Z~zι

X2 ~ Х1 У2 ~ Vl Z2 — Z1 — уравнение прямой, проходящей через две данные точки Mi(Xi; Yl; Zl) И M2(x2; Y2; Z2);

Х = x0 + Itt

3) уравнения

Z = z0 + nt;

Te R есть Параметрические уравнения прямой в простран­стве.

4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

X-x1 УY1 z-Z1 1 I1 m1 τιl

Г . Ξ∑2⅛ У-У2 ZG2 X√2∙ J *

I2 M2 п2

За Угол φ Между прямыми принимают угол между их направляющими векторами

A1 = {l1; ml; n1}t a2 = {l2; m2; n2};

∕1∕2 m1m2 ~h n1n2

J2 . ,2 /. 2 ,m2 , „2

I1 + ZM1 + M1 ∙y L2 + ZM2 + M2 5) L9 + ZM. ZM9 + M1Mi, = 0 Условие перпендикулярности

— условие параллельности двух пря­мых L1 и L2 в пространстве.

7) Общие уравнения прямой в пространстве

Alx + B1 у + C12 + D1 О,

A2X + B2Y + C22 + D2= 0;

Где коэффициенты A1, B1, C1 не пропорциональны коэф­фициентам A2, B2, C2. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей че­рез прямые:

R ‘ х-2 _ у+ 1 _ г-3 τ Х-1 у-2 г + 3

ɪɪ 3 ^ 2 " -2 ’ а: 3 2 -2 ’

Решение.

Обозначим точки, через которые проходят прямые LL2 — M.(2; -1; 3), M2(L; 2; -3). Им соответ­ствует вектор M1M2 = ={-1; 3; -6}. Возьмем на искомой плоскости точку М(х; У; z) с текущими ко­ординатами, получим вектор M1M = — 2; У + 1;

Г — 3}.Таким образом, три вектора M1M, M1M2 и на­правляющий вектор прямой А = {3; 2; -2} компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем Х-2 у+1 Г-3

-1 3 -6

3 2-2

Ответ: бх — 20y — Ilz + 1 ≈ 0.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

5х — У — 2з — 3 = О,

Перпендикулярно плоскости

ОХ -, -, D2 ⅛, = v>

Х + 19YIz — 11 = 0, П = {1; 19; -7}.

Решение.

N1 = {5; -1; — 2}, П2 = {3; — 2; — 5}. Данная прямая дей­ствительно перпендикулярна данной плоскости:

N1 • П = 5 + (-1)19 + (-2)(-7) = О,

H2 ’ н — ɜ — 38 *t^ 35 — 0.

Следовательно, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, прохо­дящих через эту прямую.

Ответ: α(5x — У — 2з — 3) + β(3x — — 52 + 2) = 0.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(l; 2; -3) параллельно прямым х-1_р+1_2-7 х+5_р-2_2+3

Решение.

Отложим в искомой плоскости точки M1(l; 2; -3), М(х; У; з) и векторы A1 = {2; -3; 3},

A2 = {3; -2; -1}. Тогда три вектора

M1M = {χ — 1; У — 2; Z + 3}, a1 и А2 будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь:

Х-1 р-2 2 + 3 2-3 3

3 -2-1

Ответ: 6x — 20p — Ilz = 0.

Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1(l; -1; -3) параллельно

Х-1 ι∕⅛^2 2 ~ 1

Прямой —-— = —-— = ——.

R 2 4 0

Решение.

Возьмем на искомой пря­мой точку М(х; у, г) с теку­щими координатами, тогда m1(1; -1; -3′

Векторы M1M и А будут кол-

Линеарны, т. е. Х-1 у + 1 2 + 3 λ

— — ——— — __— = t Qτ.

2 4 0

Сюда получаем Х = 2T + 1, у = 4T1, г = -3.

Ответ: х = 2T + 1, у = 4T1, Z = -3.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей че­рез точку M1(2; -2; 1) и прямую Х = 2T + 1, У = -3T +2, Z = 2T — 3.

Решение.

По уравнениям дан­ной прямой находим точ­ку прямой M2(l; 2; -3) и направляющий вектор прямой А = {2; -3; 2}. По­лучаем три вектора, от­ложенные в искомой плоскости:

M1M = {х -2; у + 2; Z 1}, M1M2 = {-l; 4; -4}, А = {2; -3; 2}.

По условию компланарности трех векторов имеем: Х-2 у+2 г-1

= 0, т. е. 4X + Qy + 5з — 1 = 0.

Ответ: 4X + Qy + 5г — 1 = 0.

Пример 6. Составить уравнение плоскостр, проходящей Х-1 у+ 2 2-2

Когда

Три вектора M1M » А, п компланарны только тогда, Х-1 у + 2 г-2

= 0, т. е. Х — 8Y — 13z + 9 = 0.

-3

2

2

-1

Ответ: х — 8Y — 13z + 9 = 0.

Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(l; -2; 1) перпендикулярно прямой

X-2y + z — 3 = 0,

X + YZ + 2-О.

Решение.

Так как искомая плос­кость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормаль­ные векторы данных плос­

Костей можно отложить вместе с вектором M1M в одной

Плоскости. Следовательно, векторы M1M = {X — 1; У + 2;

Г — 1}, n1 = {1; -2; 1}, N2 = {1; 1; -1} компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем: х-1 У + 2 г-1

1 -2 1

1 1 -1

= 0, т. е. х + 2Y + 3z = 0.

Ответ: х + 2Y + 3z = 0.

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(l; 1; -1) и M2(3; 4; 1) параллельно пря-

„ х-2 Мои ——-

3

Решение.

Возьмем на искомой

Плоскости точку с теку­щими координатами, по­лучим вектор M1M = = {x — 1; У — 1; Г + 1}.

Г-3

-1

(Z).

Векторы M1M , M1M2 и А компланарны. По условию компланарности трех векторов M1M2 = {2; 3; 2}, А = {3;

2; -1}, M1M = {х —1; У — 1; Z + 1} имеем:

ɪ__ ɪ У — ɪ 2⅛,1

3 2-1

2 3 2

Ответ: 7х — 8у + 5г + 6 = 0.

Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенно­го из точки Mo(2; 3; 1) на плоскость Зх + у + 2Z — 11 = 0. Решение.

Нормальный вектор П = {3; 1; 2} данной плоскости бу­дет по условию направляющим вектором прямой, прохо­дящей через точку Mo(2; 3; 1).

Х-2 _ у-3 _ ZI ^^3 1~~~2~"

Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опу­

Щенного из точки M1(3; 2; 1) на прямую

Решение.

Составим уравнение плоскости, проходящей через дан­ную точку M1(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору А = {2; 4; 1} — направляю­щему вектору прямой):

2 • — 3) + 4 • — 2) + 1 • (г — 1) = 0 или

2X + 4Y + Z — 15 = 0.

2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку M2(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плос­кость, проходящую через точки M1(3; 2; 1) и M2(0; 0; -3), и параллельную направляющему вектору данной прямой

А = {2; 4; 1}. Имеем M1M2 = {-3; -2; -4}. Следовательно, уравнение второй плоскости

X у 2 + 3 -3 -2 -4

2 4 1

‘ Найденные плоскости пересекаются по прямой I, кото рая проходит через данную точку и перпендикулярна дан — + 4л) + 2 -15 = 0, 14x-5y -82-24 = 0

Будут уравнениями прямой I искомого перпендикуляра. 2х + + 2 -15 = 0,

14х — — 8г — 24 = 0.

Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей че­рез точку Mθ(-4; 3; 0) и параллельной прямой

X-2Y + Z = 4,

2X + у — Z = Q.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой А = Nl × п2,

= Г + 3/ + 5Й = {1; 3; 5}. Тогда уравнение

Пример 12. Найти прямую, про­ходящую через точку Λfθ(-4; 3; 0) и перпендику­лярную к прямым х — 2 _ У _ 2

3 "^-^2 "^ ɪ И

X _ У +1 _ 2 + 3 Т“~4 z7Γ’

Решение.

Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно дру­гой прямой.

Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:

ɪ ⅛^ 4 у___ 3 z

^^^3 -8~-7′

^ х + 4 у-3 г

Ответ: ——— = —— = —.

3 8 7

Пример 13. Заданы плоскость Pi х + у — г + 1 = 0 и пря-

X 1 У Z 4" 1

Мая Li — — = — = —ɪ— , причем LeP.

Требуется найти:

А) угол между прямой и плоскостью;

Б) координаты точек пересечения прямой и плоскости. Решение.

Sin φ; А = {О; 2; 1},

(а • п) _ 2-1 _ 1 |а| ∣n∣ ^ √5√3 — √15 ’

Б) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

—ð- ~ ~^ = —ɪ— “ t> или параметрически Х = 1, У = 2T, г = T — 1.

Подставим параметрические уравнения прямой в урав­нение плоскости, найдем значение T‘. 1 + 2TT + 1 + 1 — 0; T = -3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: Х = 1, У = -6, Z = -4.

Пример 14. Определить косинус угла между прямыми: Х — у -4z-5 = 0, Jx — Бу — Qz + 2 = 0,

+ у — 2Z — 4 = 0. 2X + 2Y + 9ZL = 0.

Решение.

Найдем направляющие векторы данных прямых

Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плос­кость Х + 2YZ == 3.

Решение.

1) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости x + 2ι∕-z-3 = 0.

„ х-4 У + 2 г-1

Получим ——— = ——- =——- = T.

12-1

2) Найдем точку пересечения прямой и данной плоско­сти. Для этого подставим XT + 4, Y = 2T-3, Z = —T + Ln Уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра Tzt + 4 + 2(2T — 3) — (T + 1) — 3 — O; 6T = 6; T = 1.

3) Подставляем найденное значение параметра T = 1 В Параметрические уравнения прямой, получим X0 = 5» У о ~ = — l, Z0=O.

Ответ: (5; -1; 0).

5√2 Ю

Ответ: 0,31∕3g.

Пример 17, Заданы скрещивающиеся прямые L1:

Х _р-1_г+2 х + 1 _У + 1_Г-2

-2 0 1 2I 2-1

Найти расстояние d(L1; L2) между прямыми и написать уравнение общего перпен­дикуляра L к этим пря­мым.

Решение.

Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L1, парал­лельную L2.

Точка M1(0j-l; -2) лежит на прямой L1 и, следователь­но, принадлежит искомой плоскости P. В качестве нор­мального вектора к этой плоскости возьмем вектор

I J K

-2 0 1

12-1

Плоскости P: -2х — {у — 1) — 4(з + 2) = 0 или в общем виде + у + 4г + 7 = 0.

Расстояние D{L1, L2) равно расстоянию от любой точки прямой L2, например, точки M2(-l; -1; 2), до данной плос­кости Р.

∣2×0 + У Q + 4jZq + 7| |— 2 — 1 + 8 + 7| 12

D~ √4 + l + 16 √21 √2l’

2) Для того, чтобы составить уравнение общего перпен­

Дикуляра L, найдем уравнение плоскостей P1 и P2, прохо­дящих через заданные прямые L1 и L2 соответственно и перпендикулярных плоскости Р. Имеем: M1(0; 1; -2) ∈ P1 и n1 = [α1 х л] = (Г— 10 J+ 2/г) JL P1, откуда P1: Х — IOy +

+ 2Z + 14 = 0. Аналогично, M2(-L; -1; 2) ∈ P2 (IP) и zι2 =

Пример 18. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M0(2; 1; 0) и пересекающей две прямые Х +1 _ У-1 _ г_ Х-2 _ У+ 2 _ Z_

2 — 1 ɜ и 3 ^^ 4 — ɪ ’

Решение.

Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие че­рез данную точку и одну из данных прямых.

Уравнения этих плоскостей:

Х + 1

2

У~1

1

Z

3

= 0,

Х-2

3

У+ 2

4

Г

1

= 0, или

1

0

О

О

1

О

3YZ-3 = 0, X-3Z-2≈0- искомые уравнения пря мой.

Ответ: Зу — г — 3 = 0, Х — Зг — 2 = О.

Задания для самостоятельного решения

1. Даны две точки M (1; 3; 5) и К (7; 8; 9). Составить а) канонические и б) параметрические уравнения пря­

Мой, проходящей через данные точки M и К.

2. Составить канонические уравнения прямой, прохо­дящей через точку Λf1(2; 0; -3) параллельно:

А) вектору А = {2; -3; 5};

Б) прямой

Х-1

.. 5…

; в) оси Ох; г) оси Оу;

Д) оси Oz.

3. Составить канонические уравнения прямой, прохо­дящей через две данные точки: а) (1; -2; 1), (3; 1; -1); б) (3; -1; 0), (1; 0; -3); в) (0; -2; 3), (3; -2; 1); г) (1; 2; -4), (-1; 2; -4).

4. Составить канонические уравнения следующих пря­

Мых:

Х — 2y + Зг — 4 = 0, 3x + 2y — 5г — 4 = 0;

Б)

+ у + z = 0,

+ Зу — 2г + 5 = 0;

В)

Х — 2y + 3z +1 = 0, 2x + y-4z-8 = 0.

5. Доказать параллельность прямых:

А)

Х + 2 _ у -1 3 -2

Z

Х + у — г = 0, Х ~ у — Sz — 8 = 0;

Б) Х = 2t + 5, У = — t + 2, Z = t — 7 и

X + y-3z + l = Q,

В)

X-y + z + 3 = 0;

X + 3Y + Z + 2 = 0, х-у — Зг-2 = 0; х + 2у — 5г -1 = 0, X-2Y + 3Z — 9 = 0.

6. Доказать перпендикулярность прямых:

Зх + У — 5г + 1 = О,

2x + Зу — 8г + 3 = 0;

2х + У — 4г + 2 = О, 4х — У — 5г + 4 — 0;

2х- у-Qz — 2 = 0

7. Найти острый угол между прямыми:

Х-3 _ У + 2 = Z Х + 2 У-3 г + 5

1 -1 √2, 1 1 √2 ‘

8. Составить уравнение прямой, которая проходит че­рез точку M1(-l; 2; -3) перпендикулярно вектору А =

Х-1 у +1 Z -3

={6; -2; -3} и пересекает прямую —-— = —-— = ——.

3 2 — 5

9. Найти координаты точки К пересечения прямой:

Х-1 у-2 z-3

—-— = —-— = —-— с плоскостью: 2х + 5у — Зг = 0. i О 4

10. Вычислить расстояние d точки P (1; -1; -2) от пря-

Х + 3 у+ 2 г-8

Мой —— = —.

3 2 -2

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

Х-2 _У + 3_Г-3 х-1 Y-2z+3

3 2 -2*3 2 -2

12. Найти точку Q, симметричную точке Р(3; -4; -6) относительно плоскости, проходящей через M1(-6; 1; -5), M2(7; -2; -1) и M3(10; -7; 1).

13. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

Х + 7 г/+-4 г + 3, Х -21 _ у + 5 _ г-2

3 4-26-4

Б) х = 2T4, у = —T + 4, Z = -2T 1; Х = 4T5, у = -3T + 5, г = -5T + 5;

; х = б£ + 9, г/ = -2T, Z = —T + 2.

Л х + 1 у-2 г + 3 λ ɪ,

2 -3 6

10. D = 7; 11. 6х — 20у — Иг + 1 = 0; 12. Q(l; -2; 2); 13. а) 13; б) 3; в) 7.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *