ПРОВОДИМОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1. ВВЕДЕНИЕ

Ширина энергетических уровней атома весьма мала; в веществе взаимодействие между атомами приводит к расщеплению уровней внешних электронов и образованию зон, как показано на рис. 24.1. Рентгеновское излучение атомов в твердых телах, связанное с пере­ходами на внутренних оболочках К и L (n = 1, 2), характеризуется узкими спектральными линиями, поскольку внутренние оболочки соседних атомов хорошо экранированы друг от друга и не образуют зон. Электропроводность твердых тел обусловлена структурой зон внешних электронов. Если внешняя зона полностью заселена, то она образует валентную зону, и электроны в ней не могут служить но­сителями тока. Если к тому же следующая зона, называемая зоной проводимости, далеко отстоит от валентной зоны, т. е. Eg 3> КвТ, И Не может быть заселена в результате теплового возбуждения, то вещество является диэлектриком. Вещество оказывается проводни­ком, когда зона проводимости частично заполнена делокализован­ными электронами. Если показанная на рисунке запрещенная зона Eg сравнима по ширине с КвТ, то часть электронов из заполнен­ной валентной зоны сможет перейти в пустую зону проводимости; такое вещество представляет собой беспримесный полупроводник. Если в такое вещество ввести примеси, стимулирующие переходы в зону проводимости, то его электропроводность может существенно увеличиться.

В качестве примера рассмотрим хлористый натрий NaCl, в ко­тором атом натрия передает свой валентный электрон хлору

Na => Na+ + е, Cl + e~ => СГ;

А б

Рис. 24.1. Превращение уровней энергии отдельных атомов (а) в энерге­тические зоны (6) при сближении атомов.

Ионы Na+ и Cl+ имеют целиком заполненные оболочки, валентная зона тоже целиком заполнена, а зона проводимости отделена от нее широкой энергетической щелью, так что это вещество является ди­электриком. C другой стороны, у металлического натрия решетка состоит из ионов Na+; помимо электронов, целиком заполняющих внутренние оболочки и валентные зоны ионов натрия, существу­ют делокализованные (свободные) электроны, возникающие вслед­ствие ионизации (Ia) и частично заполняющие зону проводимости; в результате натрий оказывается хорошим проводником.

Настоящая глава начинается с обзора основных положений элек­тронной теории металлов, а затем в ней обсуждаются температур­ная и частотная зависимости электропроводности. Кратко будет упомянута связь явлений электропроводности и теплопроводности. Далее объясняются понятия поверхности Ферми и энергетических зон в К-Пространстве; затем эти понятия будут использованы в те­ории проводников и полупроводников. В заключение показано, как эффект Холла позволяет почерпнуть полезную информацию о при­роде проводимости.

2. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ

Проще всего электронную проводимость металлов можно объяс­нить следующим образом: атомы металла теряют свои валентные электроны, которые свободно движутся в образовавшейся таким образом решетке из положительных ионов — катионов. Число элек­тронов проводимости в единице объема металла с плотностью Р, Массовым числом А и валентностью Z дается равенством

N = NaZ р/А, (2)

Где Na постоянная Авогадро. Типичные значения числа электро­нов в металлических проводниках (8,47 ■ IO28 м3 для меди) более чем в тысячу раз превосходит число молекул в таком же объеме газа при комнатной температуре (2,7 ∙ IO25M3).

Простейшее объяснение явления электропроводности дает мо­дель Друде, в которой делаются следующие допущения о свойствах электронов проводимости:

1. Электроны не взаимодействуют с катионами решетки (прибли­жение свободных электронов) за исключением упругих столк­новений с ними, происходящих в среднем 1/т раз в секунду и приводящих к мгновенному хаотичному изменению направле­ния движения (приближение времени релаксации).

2. Столкновения электронов поддерживают их в тепловом равно­весии, подчиняющемся статистике Максвелла—Больцмана (при­ближение классической статистики).

3. Электроны не взаимодействуют между собой (приближение сво­бодных электронов).

На основе этой модели удается предсказать большинство основ­ных особенностей электропроводности, однако она оказывается не в состоянии объяснить такие эффекты, как образование запрещен­ных интервалов энергии и туннелирование.

В более совершенных теориях металлов ослабляется или вообще отбрасывается одно (или несколько) из приведенных ограничений. Как правило, отказываются от приближения свободных электронов и считают, что электроны движутся в периодическом потенциале, обусловленном электрическим полем ионов решетки. Отказ от при­ближения классической статистики обычно связан с признанием то­го факта, что электроны подчиняются статистике Ферми—Дирака со следующей функцией распределения по скоростям /o(v):

ʃθ( ) exp [(⅜Mv2 μ) /квТ\ + l’ где μ — так называемый химический потенциал, численно совпада­ющий с работой по удалению одного электрона из системы. Говорят, что подчиняющиеся статистике Ферми—Дирака не взаимодейству­ющие электроны проводимости образуют ферми-газ.

В рамках релаксационного приближения считается, что функ­ция распределения по скоростям ʃ(v, i) явно зависит от времени,

И при возникновении возмущения она возвращается из-за столк­новений электронов к своему равновесному виду ʃŋ ɛ постоянной времени т в соответствии с уравнением

= Ж — /О X4′

Dt т U

Время релаксации Т обычно считается не зависящим от скорости, так что возврат к состоянию равновесия описывается просто экспо­нентой e~t∕τ. В рассматриваемых системах F(Y,I) всегда близка к равновесной функции распределения (3).

3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ

Если между концами металлического проводника приложена раз­ность потенциалов, то внутри него возникает однородное электри­ческое поле Е, электроны начинают двигаться с ускорением

—еЕ = M(DvDt) (5)

Под действием силы F — —еЕ. За время T, равное по порядку ве­личины промежутку времени Т между двумя последовательными столкновениями, электрон приобретает скорость

V = — (EEM)τ. (6)

Движение электронов представляет собой интервалы ускоренного движения, прерываемые столкновениями. Можно считать, что при каждом столкновении, предшествующем началу нового интервала ускоренного движения, скорость электрона уменьшается в среднем до нуля.

Для плотности тока J можно написать

J = Ne(υ} = (Ne2τM)E‘, (7)

Здесь считается, что средняя скорость электрона {υ) определяется соотношением (6). В случае постоянного тока электропроводность Ct0 определяется законом Ома

J = σ0E, (8)

А обратная электропроводности величина — удельное сопротивле­ние Pq соотношением

σ0 = 1/ро = Ne2τM. (9)

Типичные значения удельного сопротивления металлов при комнат­ной температуре лежат в пределах от 1,5 • 10 — 6 д о 2,0 • 10 — 5 О м • см, а д ля меди, серебра и золота —в интервале от 1,5 ∙ ICE6 до 2,0 ∙ IO-6 Ом — см.

Удельное сопротивление высокотемпературных сверхпроводников дри нормальных условиях составляет от 3,0 ∙ 10^^4 до 10“2 Ом • см, полупроводников — от IO-2 до IO9 Ом • см, а диэлектриков — от IO14 до IO22 Ом • см, соответственно.

4. ПЕРЕМЕННЫЙ TOK

Находясь в переменном электрическом поле, изменяющемся по гар­моническому закону E = E0E~Iωt, электроны проводимости будут испытывать ускорение в противоположных направлениях в зависи­мости от смены в каждом цикле знака Е. Они также будут испыты­вать случайные столкновения, разделенные в среднем интервалом времени г. Эти столкновения прерывают колебательное движение электронов, и их можно учесть введением в уравнение (5) диссипа­тивного члена р/г:

DpDt + р/г = —еЕ, (10)

Где Р = импульс электрона, изменяющийся по тому же гар­моническому закону: р = Mυoe~Iωt; подставляя это соотношение В уравнение (10) и разрешая последнее относительно скорости υo, получим

EE0 Т

VO = ————— •:——- :—-

Т 1 — ιωτ

Сопоставляя это выражение с (7) и (9) и учитывая, что роль (υ) здесь играет t⅛> находим для электропроводности σ(ω):

= τ⅛√ <12>

Это соотношение переходит в выражение для электропроводности В Случае постоянного тока σ(ω) = σo, когда частота ω обращается в нуль.

В Области низких частот ωτ ≪ 1 за один период колебаний элек­трического поля E происходит много столкновений, так что движе­ние электрона в среднем следует за изменением поля и σ(ω) ~ σo∙ C Другой стороны, в области высоких частот шг 3> 1 между после­довательными столкновениями укладывается много периодов коле­баний поля; электропроводность в этой ситуации оказывается по­чти чисто мнимой, что отвечает случаю реактивного импеданса. В Области СВЧ частота столкновений становится несущественной и электронный газ ведет себя подобно плазме, т. е. электрически нейтральному ионизованному газу, в котором роль отрицательных
зарядов играют подвижные электроны, а положительных — непо­движные ионы решетки. Электромагнитные волновые процессы мо­гут быть описаны в терминах зависящей от частоты диэлектриче­ской проницаемости ε(ω)

ε(ω) = ε0 ɑ — 4θ , (13)

Где ωp плазменная частота,

ωp = (Ne2εom)1^2. (14)

Эта частота характерна для электронов проводимости. Ее физиче­ский смысл состоит в том, что на частотах ниже плазменной, ча­стоты ωp диэлектрическая проницаемость отрицательна и распро­странение электромагнитных волн невозможно, а на частотах выше плазменной диэлектрическая проницаемость положительна, и про­исходит распространение электромагнитных волн. Вследствие этого металлы непрозрачны на частотах излучения ω < ωp и, наоборот, прозрачны, при ω > ωp.

5. УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

При движении в металле электроны проводимости испытывают рассеяние не только в результате столкновений с фононами, но также из-за дефектов решетки, присутствия примесных атомов и других причин, по которым кристаллическая структура может отличаться от идеальной. Дефекты кристаллической структуры и включения создают не зависящий от температуры вклад в удельное сопротивление, ограничивающий электропроводность металлов.

Согласно эмпирическому правилу Маттиссена общее сопроти­вление металлического образца Р(Т) складывается из сопротивле­ния Pph(T), обусловленного рассеянием на тепловых колебаниях ре­шетки (фононах), и сопротивления Ро, связанного с присутствием примесных атомов и других дефектов кристаллической решетки:

P(T) = p0+pph(T). (15)

При высоких температурах член Pph(T) пропорционален темпе­ратуре T в первой степени, а при низких — T5 в соответствии с законом Блоха. При температурах вблизи и выше комнатной вли­яние примесей и дефектов решетки пренебрежимо мало, так что удельное сопротивление металлов примерно пропорционально тем­пературе

(16)

При температурах существенно ниже дебаевской температуры при­меним закон Блоха T5, так что

Из соотношений (16) и (17) видно, что сопротивление металлов растет с температурой, т. е. их проводимость улучшается при пони­жении температуры. Напротив, удельное сопротивление полупро­водников увеличивается с понижением температуры. Как объясня­ется в разд. 9, это связано с тем, что в полупроводниках п-типа электроны, перешедшие в зону проводимости вследствие теплового возбуждения, при понижении температуры T будут возвращаться обратно на свои места в атомах — донорах. В полупроводниках p-типа понижение температуры приводит к возврату в валентную зону электронов от атомов акцепторов. Оба процесса приводят к уменьшению числа подвижных носителей заряда, что влечет уве­личение удельного сопротивления полупроводника при понижении температуры.

6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Если в металлическом образце имеется градиент температуры, дви­жение электронов проводимости приводит к возникновению тепло­вого потока в форме кинетической энергии от более нагретых участ­ков тела к менее нагретым. В хороших проводниках, таких как медь или серебро, перенос тепла обусловлен тем же процессом рассеяния на фононах, который ответствен за электропроводность. Для ти­пичных металлов в интервале температур от 273 до 373 К отноше­ние fcth∕σT, где λ⅛h (Дж • см-1 • с-1 • К-1) и σ (Ом-1 • см-1) —элек­тронные теплопроводность и электропроводность, соответственно, примерно в два с половиной раза превосходит значение, предсказы­ваемое законом Видемана—Франца

KthσT = ∣(⅛∕e)2 =

= 1,11 KT8Bt Ом К-2,

Где универсальная постоянная j(λ⅛∕e)2 называется числом Ло­ренца[31] .

7. ПОВЕРХНОСТЬ ФЕРМИ

Электроны проводимости подчиняются статистике Ферми—Дирака с функцией распределения (3); выразив F через энергию Е, получим

Ж) = exp[(E-∏)∕⅛Γ] + l’ (20)

График этой функции приведен в гл. 9 на рис. 9.3,а для темпера­туры абсолютного нуля T = 0 и на рис. 9.3,6—для температуры в интервале 0 < T < Тр. Выражение

μEp = КрТр (21)

Связывает химический потенциал μ с температурой Ферми Тр, Зна­чение которой обычно составляет около IO5 К. Для энергий ниже уровня Ферми Ep функция распределения ʃ(v) = 1, а для энер­гий выше энергии Ферми Ер: ʃ(v) = 0; промежуточные значения функция распределения принимает лишь в области шириной по­рядка КдТ вблизи Ер, как показано на рис. 9.2,6.

Кинетическую энергию электрона можно представить в виде

=^Mv2=P2 ∕2M=ħ2K2 ∕2M=(ħ2 ∕2M)(K2+K2+K2Z), (22)

Где Р = ħK. Для определения уровней энергии в прямоугольной области с размерами Lx, Ly и Lz заметим, что декартовы компо­ненты вектора к могут принимать только дискретные значения 2πmxLx для ^-компоненты, и аналогично для остальных компо­нент. Величины Mx, τny, τnz принимают целочисленные значения в интервале от 1 до L/а, где А — межатомное расстояние.

В одномерном случае энергия запишется в виде

Ek = ti2k2∕2m = E0(kxa∕π)2, (23)

Где E0 энергия на границе первой бриллюэновской зоны Кх = ±π∕α(pπc. 24.2)

E0 = (π2ħ2 ∕2Ma2). (24)

Энергию удобно выразить через значения Кх

πA <Kx < +πA, (25)

Лежащие в первой зоне Бриллюэна:

Ek = E0{2Nx + Kxa∕-π}2, (26)

Где Пх принимает значения

Пх,= 0, ±1, ±2,…

При температуре абсолютного нуля все энергетические уровни (23) вплоть до уровня Ферми

Ep = ?i2fcp/2m (28)

Полностью заселены, причем на каждом уровне находятся по два электрона с противоположными спинами (здесь опять рассматри­вается трехмерный случай). При ненулевой температуре частичная заселенность уровней имеет место лишь в узкой области шириной порядка КрТ вблизи Ер, как показано на рис. 9.3,6. Для простоты рассмотрим область кубической формы Lx = Ly = Lz = L; поверх­ность Ферми в данном случае имеет форму шара, так что полное число электронов N определяется как

Объем области фазового пространства
Фазовый объем, приходящийся на один электрон

Плотность электронов П — NV = NL3 при E = Ep составляет

П = fcp∕3π2 = R2MEp/Й2)3^2, (30)

Зл2

А плотность состояний D(E), приходящихся на единицу объема, Оцениваемая как производная DnDE от плотности, в которой

E = Ер, есть

D(E) = ±N(E) — ~(2n√Λ2)2∕3E1/2 = D(Ef)[EEf}D (31)

Этот результат схематично изображен на рис. 24.3. В изотропном случае, когда поверхность Ферми является сферой, плотность со­стояний вблизи уровня Ферми можно представить с помощью соот­ношений (30) и (31) в любой из нижеприведенных форм

Nfp ∫3π∕2⅛bTf

D(Ef} — μ⅛∕6⅛≈. (32)

Следует, однако, иметь в виду, что сказанное выше несправедли­во для многих типов проводников, включая высокотемпературные сверхпроводники при T > Tκp, когда D(E) имеет более сложный вид.

Плотность П удобно выразить через полную энергию электронов Впол„ с помощью следующих интегралов по энергии:

N = J D(E)f(E) dE, (33)

Eτ = I D(E)f(E)EdE. (34)

Произведение D(E)J(E), стоящее в подынтегральных выражениях, показано в зависимости от энергии на рис. 24.4,а при T = 0 и на рис. 24.4,6 в интервале температур Q <T <TTf.

Выражение для кинетической энергии свободного электрона (22) получено на основе решения уравнения Шредингера в виде плоской волны Ф = e-jk’r

-(62∕2to)V2≠(γ) + V(τ)φ(τ) = (R),

В котором потенциальная функция V(г) положена равной нулю. При отличном от нуля потенциале в законе дисперсии для одно­мерного движения электрона образуются запрещенные интервалы (зоны), как показано на рис. 24.5 и рис. 24.8,а (ср. с энергетиче­ским спектром свободного электрона, показанным на рис. 24.2). За­прещенные интервалы энергии возникают на границах К = ±7r∕α элементарной ячейки обратной решетки, называемой первой зоной

Бриллюэна, а также на границах последующих зон Бриллюэна. По мере приближения к запрещенным зонам расстояние между сосед­ними энергетическими уровнями уменьшается, т. е. плотность со­стояний D(E) увеличивается, как показано на рис. 24.6 и рис. 24.7. Из этих рисунков видно, что при слабом потенциале V <⅞1 Ep плот­ность состояний вдали от краев запрещенных зон мало чем отли­чается от плотности состояний свободного электрона. При образо­вании запрещенных зон число энергетических уровней, т. е чис­ло точек в /г-пространстве, остается постоянным, меняется только плотность состояний D(E).

Если для кинетической энергии вблизи запрещенной зоны ис­пользовать выражение для свободного электрона

= ħ2K2/2т* (36)

То, дифференцируя Ek по К, можно оценить скорость электрона V = Kk/т* в этой области

1 ∕⅞∖

ħ Dk J

Дифференцируя еще один раз, получим эффективную массу M*(K) D2 Dk2

На рис. 24.8,6 изображен модуль скорости электрона для энер­гетического спектра, показанного на рис. 24.8,а; оценить скорость можно непосредственно из графика 24.8,а, если известно поведе­ние спектра на границах запрещенных зон вблизи уровня Ферми. Плотность состояний электрона на краях запрещенной зоны про­порциональна эффективной массе Т*

D(Ef) = т* KF ∕ħ2π2 (39)

И отличается от плотности состояний свободного электрона (32). Из рис. 24.8,6 непосредственно видно, что для рассмотренного идеали­зированного случая переход через запрещенную зону сопровожда­ется скачкообразным изменением эффективной массы от больших отрицательных значений к большим положительным; вдали от за­прещенных зон закон дисперсии близок к параболическому.

8. ЗОНЫ В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Показанные на рис. 24.2 и рис. 24.5 одномерные энергетические спектры просты и понятны. Трехмерные спектры весьма сложны и трудно представимы. Чтобы разобраться, в чем состоит эта труд­ность, рассмотрим энергетические зоны в простой квадратной дву­мерной решетке размером L × L, в которой расстояние между ато­мами составляет А = L/10. На рис. 24.9 показана решетка в К — Пространстве; площадь элементарной ячейки этой решетки соста­вляет 2π∕L2. Представляет интерес вычисление энергии на пути из точки Г в центре в вершину угла M, затем в середину стороны X, И потом обратно в Г, как показано на рис. 24.10.

В приближении свободных электронов полная энергия совпада­ет с кинетической:

= E0(Aπ)(K2X + K2Y), (40)

Где Eo определена соотношением (24). Энергию следует выразить через величины Кх и Ку в первой зоне Бриллюэна

—7τ∕α ≤ Kx, ку < +πA (41)

Показанной на рис. 24.11. Используя форму записи, аналогичную соотношению (26), получим

= E0[(2Nx + Kxaπ)2 + (2Ny + Kyaπ)2], (42)

Где

Nx, пу = 0, ±1, ±2,… (43)

В направлении Г => X, ку = 0, и из соотношения (42) следует

= E0[(2Nx + Kxaπ)2 + (2ny)2] Г => X, (44а)

Рис. 24.9. Прямоугольная двумерная решетка в fc-пространстве с L = 10а. (Из книги: C. P. Poole, Jr. et al., Superconductivity, Academic Press, New York, 1995, p. 212.)

В направлении Г => M Kx = Ky, и (42) дает

Ек = E0[(2Nx + Kxaπ}2 + (2Ny + Kxaπ)2] Г => М, (446)

В направлении X => M Kx = π/а, и из (42) вытекает

Ek = — Efl[(2na, + I)2 + (2ny + kya∕π)2] X => М. (44в)

Определяемые этими соотношениями зоны показаны на рис. 24.12 с указанием соответствующих значений (Nx, Ny). В качестве уп­ражнения читателю предоставляется самостоятельно идентифици­ровать зоны A, β и 7 в верхней части рисунка. Из этого рисунка, кстати, видно, что в точках симметрии Г, М, X зоны перекрыва­ются.

В реальных веществах зоны на рис. 24.12 будут заполнены вплоть до уровня Ферми, а при энергиях выше Ep они будут оста­ваться свободными. Например, при Ep = 1,5-Ео зона (0, 0) будет заполнена всюду, за исключением окрестности точки M, а зона

Рис. 24.10. Точки симметрии первой зоны Бриллюэна из рис. 24.9: цен­тральная точка Г (0,0), вершина M (πA, π/а) и середина стороны X (π/а, 0). (Из книги: C. P. Poole, Jr. et al., Superconductivity, Academic Press, New York, 1995, p. 212.)

_ ɪ

α

ɪ ‘ a

Ky

0‘ a a

ɪ A ’

ɪ

A

-ɪ,θ a

0f 0

ɪ 0 a

_ 7Γ

0 —

ɪ

_ 7Γ

A ‘

A

‘ a

A

1 a

Рис. 24.11. Значения (Kx, Ky) в точках симметрии для зоны Бриллюэна, изображенной на рис. 24.10. (Из книги: C. P. Poole, Jr. et al., Supercon­ductivity, Academic Press, New York, 1995, p. 211.)

Рис. 24.12. Энергетические зоны в трех главных направлениях Г => X, X => M и M => Г для квадратной решетки в приближении свободных электронов. Читателю предлагается самостоятельно идентифицировать зоны ɑ, β и 7 в верхней части рисунка. (Из книги: C. P. Poole, Jr. et al., Superconductivity, Academic Press, New York, 1995, p. 213.)

(—1, O) заполнена вплоть до энергии E = Ep в направлениях Г => X И X => M. Остальные зоны останутся незаполненными.

Если учесть влияние периодического потенциала решетки, то на границах бриллюэновских зон на рис. 24.12 появятся запрещен­ные интервалы; они возникнут в точках Г, М, X пересечения зон различных направлений. Данное явление аналогично одномерному случаю, изображенному на рис. 24.5.

9. ПОЛУПРОВОДНИКИ

В предыдущем разделе уже говорилось, что в диэлектриках ва­лентная зона полностью заполнена, а лежащая выше зона прово­димости — пуста. В случае обычных диэлектриков больцмановский фактор exp(-ΔEs∕fcβT,) настолько незначителен, что число элек­тронов, переходящих в зону проводимости, пренебрежимо мало.

У беспримесных полупроводников ширина запрещенной зоны Δ-E, s значительно меньше, так что в результате теплового возбуждения часть электронов переходит в зону проводимости, где они стано­вятся носителями электрического тока. Кроме того, переходя из валентной зоны в зону проводимости, электрон оставляет за собой вакантное место, которое называется дыркой и ведет себя как поло­жительный заряд. Дырка может перемещаться, поскольку располо­женный поблизости электрон может занять образовавшееся вакант­ное место в валентной зоне, перемещая тем самым дырку к новой связи. Дырки ведут себя так, как если бы они были делокализован­ными зарядами. Делокализованные электроны в зоне проводимости и делокализованные дырки в валентной зоне являются носителями электрического тока, однако количество и тех и других невелико, так что суммарная электропроводность оказывается малой. В таком полупроводнике число дырок в валентной зоне совпадает с числом электронов в зоне проводимости, и его называют беспримесным.

Кремний (Si) и германий (Ge) являются полупроводниками. Оба этих элемента принадлежат IV группе периодической системы (рис. 21.4 в гл. 21), и их атомы имеют по четыре валентных электрона, участвующих в образовании химических связей с четырьмя соседни­ми атомами кристаллической решетки. Если в кремний ввести в виде примеси элемент V группы, например фосфор (P), мышьяк (As) или сурьму (Sb), атомы которых имеют по пять валентных электронов, то примесный атом As израсходует четыре электрона на формирова­ние четырех связей с ближайшими атомами решетки кремния, после чего у него останется еще один валентный электрон. Этот дополни­тельный электрон атома мышьяка находится на уровне в запрещен­ной зоне чуть ниже зоны проводимости, на расстоянии ΔEp от нее, как показано на рис. 24.13. Поскольку ^Ed/квТ <⅞C 1, то больцма — новский фактор ехр(—АЕр/^вТ) будет близок к единице, и боль­шинство электронов с донорного уровня атомов мышьяка перейдут в зону проводимости и внесут вклад в электропроводность. Такие по­лупроводники относятся к n-типу, поскольку их электропроводность обусловлена электронами в зоне проводимости.

Когда кремний или германий легируются элементами III груп­пы, например бором В, галлием Ga, или индием In, примесные атомы с тремя электронами во внешней оболочке отберут элек­трон из валентной зоны атома кремния для дополнения четвертой связи. В результате в валентной зоне образуется подвижная дыр­ка, способная стать носителем электрического тока. На рис. 24.13 эта ситуация изображена как переход электрона на акцепторный

Y∕∕∕∕7 7/

FJ Зона проводимости Л

∕> f <<6-÷S‰

T

ΔEs

. I

ΔE’4 i

T

Уровень примеси (например, галлия), расположенный на неболь­шом расстоянии ΔEa над верхним краем валентной зоны. Веро­ятность перехода электрона на акцепторный уровень велика, по­скольку ∙C 1 и больцмановский фактор близок к единице

Exp(-Δ∙Eλ∕⅛bT) ~ 1. Этот тип проводимости называется проводи­мостью p-типа, поскольку носителями тока являются положитель­ные заряды (дырки), образующиеся в валентной зоне в результате перехода электронов на акцепторные уровни.

Избирательное легирование полупроводника донорными или ак­цепторными примесями позволяет добиться желаемой электропро­водности. Хотя описанная выше собственная электропроводность полупроводника также дает некоторый вклад, в обычных услови­ях он будет почти незаметен на фоне проводимости р — и п-типов. Типичные значения ширины запрещенных зон и энергий примес­ных уровней приведены в табл. 24.1; использование этих данных

Таблица 24.1. Характеристики полупроводников.

Энергия, эВ

Тип

Кремний (Si) Германий (Ge) проводимости

ΔEs

1,12

0,67

Собственная

ΔEd, фосфор, P

0,044

0,012

П-типа

ΔEd, сурьма, Sb

0,039

0,010

П-типа

ΔE4, бор, В

0,046

0,010

Р-типа

ΔE4, индий, In

0,16

0,011

Р-типа

Обеспечивает разработку полупроводниковых приборов с широким набором характеристик.

В реальных полупроводниках дело обстоит сложнее, посколь­ку положение зон в кристалле может зависеть от ориентации, так что приведенные в таблице величины будут изменяться в зависи­мости от направления. Однако картина явления кардинально не изменяется.

10. ЭФФЕКТ ХОЛЛА

Эффект Холла возникает в скрещенных электрическом и магнит­ном полях и может быть использован для определения подвижности и знака носителей заряда. Практическая схема измерений показана на рис. 24.14; магнитное поле Во направлено по оси Z перпенди­кулярно образцу, имеющему форму пластинки; электрическое поле Ey в направлении оси У вызывает электрический ток I = JA с плотностью J = Nev. Сила Лоренца

Рис. 24.14. Схема измерения эффекта Холла: в пластинке шириной D и толщиной А, в однородном поперечном магнитном поле Во,

Течет электрический ток I. Показаны падение напряжения ½ — Vi вдоль пластинки, разность потенциалов ΔVx и электрическое поле Ex поперек пластинки. Схема приведена для случая отрицательных носителей за­ряда (электронов). (Из книги: C. P. Poole, Jr. et al., Superconductivity, Academic Press, New York, 1995, p. 18.)

F = Qv × B0 (45)

Действует в положительном направлении оси Х со стороны магнит­ного поля как на положительные, так и на отрицательные электри­ческие заряды Q, движущиеся в направлении оси У, как показано на рис. 24.15,а и Б, соответственно. Эта сила отклоняет заряды к краям пластинки, и в результате возникает электрическое поле Ex, пер­пендикулярное направлению электрического тока (у) и магнитного поля (z). Наведенное электрическое поле направлено против оси Х Для положительных зарядов Q и вдоль оси Х — для отрицательных, как показано на рис. 24.15,в и Г, соответственно. В установившемся режиме сила QEx, действующая на заряд со стороны наведенного электрического поля, уравновешивает силу Лоренца gv х B0:

QEx = QvB0, (46)

Так что движение носителей заряда Q в образце перестает откло­няться от прямолинейного.

Коэффициент Холла определяется как отношение

Rh =ExJyB0 (47)

Трех наблюдаемых физических величин. Подставляя в (47) соотно­шения (7) J = Neυ и (46), для дырок (</ = е) и электронов (Q = —е), получим, соответственно,

Rh = 1/пе (дырки), (48а)

Rh = —1/пе (электроны), (486)

Т. е. знак величины R определяется знаком заряда. Таким обра­зом, эффект Холла отличает электроны от дырок, и если все носите­ли заряда имеют одинаковый знак, описанная схема позволяет опре­делить их плотность. Если в образце одновременно присутствуют и положительные, и отрицательные носители заряда, то происходит частичная или полная компенсация их вкладов в эффект Холла.

ГЛАВА 25

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *