ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ

Ill. Производные или дифференциальные коэффициенты. Вер­немся к рассмотрению сЬойств, которыми мы интуитивно наделяем понятие кривой. Первым и наиболее очевидным свойством является, как мы видели в предыдущей главе, то, в силу которого кривая представляется „связной", и которое легло в основу нашего опреде­ления непрерывной функции.

Такие кривые из числа обычно встречающихся в элементарной геометрии как прямые, окружности и конические сечения обладают значительно большей степенью

У,

0

G______

∕y⅛

R

Р

0

______

л'm
фиг. 33
„правильности", чем это следует из одной лишь непрерывности.

В частности, они имеют в каждой точке определенное Направление; В каждой точке кривой имеется Касательная к ней. Касательная к кривой в точке P определяет­ся в элементарной геометрии как „предельное положение хорды PQ при Q стремящемся к Pu Вдоль кривой. Посмотрим, что означает существование этого пре­дельного положения.

На фиг. 33 P—Фиксированная точка на кривой y∑=φ(χ), a Q переменная точка; PM, QArпараллельны OY и PP параллельно ОХ. Обозначим координаты точки P через Х и У, а координаты точки Q—Через XH, Y-{-K, причем H будет, конечно, положитель­ным или отрицательным, в зависимости от того, лежит N правее или левее М.

Мы предполагаем, что в точке P существует касательная к кри­вой, т. е. что имеется определенное „предельное положение" хор­ды PQ. Допустим, что PT, касательная в точке Р, образует с OX Угол ф, Тогда утверждение, что PT является предельным положе­нием PQ, равносильно тому, что предел угла QPP при Q стремящем­ся к P вдоль кривой с любой стороны равен ф. Мы должны теперь различать два случая: общий и рсобый.

Общим случаем является тот, когда ψ не равно ɪ, так что PT

Не параллельно OK. В этом случае угол RPQ стремится к пределу ф и

*L = TsRpQ

Стремится к пределу tgψ. Но

RQ NQ-AfP _ φ(X + Λ)-φ(x)

PR ~ MN H

И, следовательно,

(1)Lim y(→⅛)-φ-¾=tg⅜.

A→0 "

Читатель должен обратить внимание на то, что во всех этих равен­ствах все длины должны рассматриваться как алгебраические величины, так что, например, RQ на чертеже отрицательно, если точка Q ле­жит левее Р, а также на то, что стремление к пределу должно иметь место при H стремящемся к нулю с обеих сторон.

Таким образом, предположение, что кривая, являющаяся графи­ком φ (х), имеет касательную в точке Р, которая не перпендикуляр­на оси О К, влечет за собой, что ±⅛≥t-5λ—!Li⅛ Стремится к пре­делу, когда H→-0.

Это, конечно, означает, что оба выражения

φ(χJ-⅞)-φ(χ) φ(X-Й)—?(х)

Л ’ — й

Стремятся к пределам при H -→ 0, принимая только положительные значе­ния, и что эти пределы равны. Если эти пределы существуют, но не равны, то кривая имеет в рассматриваемой точке излом, как на фиг. 34,

Предположим теперь, что кривая имеет (как, например, окруж­ность или эллипс) касательную в каждой своей точке или по край­ней мере в каждой точке некоторой своей части, которая соответ­ствует некоторой области изменения Х. Далее предположим, что эта касательная нигде не перпендикулярна к оси Х (если кривая — окружность, то, В Силу этого условия, мы должны ограничиться рас­смотрением дуги меньшей полуокружности). Тогда (1) имеет место для всех значений Х из рассматриваемой области его изменения. Каждому такому значению Х соответствует некоторое значение tg ф; tg ф является функцией от Х, которая определена для всех значе­ний Х из этой области. Мы будем называть эту функцию Производ­ной от φ(x) и обозначать ее через

φ’ (X).

Вместо термина „производная" употребляется еще термин Дифферен­циальный коэффициент. Операция нахождения φ’ (х) по заданной φ(x) называется Дифференцированием. Эта терминология прочно установилась в силу исторических причин (см. п. 116).

Прежде чем перейти к рассмотрению специального случая ψ = ɪ, мы снабдим наше определение некоторыми общими замечания­ми и приведем несколько примеров.

112. Некоторые общие замечания. (1) Существование производ­ной функции φ'(x) для всех значений Х из интервала a≤x≤6 влечет за собой непрерывность φ (х) в каж­

Дой точке этого интервала. Это ясно из » (х 4- Л) — φ (х)

Того, что —ʌ—- не может стре­миться к пределу, если не выполняется соот­ношение Iim φ (х — j- Л) = φ (х), которое озна­чает непрерывность φ(x).

(2) Естественно поставить вопрос, не имеет ли место обратное предложение, т. е. не будет ли каждая непрерывная кривая

положительные значения, и предел tgα, когда ft→∙0, принимая от-рицательные значения.

иметь касательную в каждой точке и каждая функция — дифферен­циальный коэффициент для каждого значения х, при котором она непре­рывна [46]). Ответ, очевидно, должен быть Отрицательным-, достаточно рассмотреть кривую, состоящую из двух полупрямых, исходящих под углом из точки P (фиг. 34). Читатель сразу увидит, что в этом C:\YЧае.^{φ(x-j-⅛)-φ(x)} имеет предел tgβ, когда ⅛→0, принимая

В этом случае можно, конечно, сказать, что кривая имеет два направле­ния в данной точке. Но следующий пример, хотя он несколько сложнее, показывает, что существуют случаи, когда нельзя сказать, что непрерывная кривая имеет одно или несколько определенных направлений в одной из ее точек. Нарисуем график (фиг. 13, стр. 61) функции х sin — . Эта функция

Не определена при х = 0 и, следовательно, разрывна при x = 0. C другой стороны, функция, определенная соотношениями непрерывна при х = 0 (примеры XXXVIl. 14, 15), и график этой функции является непрерывной кривой.

φ (х) = 0
φ (х) = х sin — (x≠0), (x = o)

Но φ (х) не имеет производной при х = 0. Ибо φ'(0), по определению,

, ?(Л)— φ(0) … 1

Должно было бы быть равным Iim———- ~~—~ или ɪɪɪɪɪsιπ "⅛ > но этот пре­дел не существует.

Известно, что непрерывная функция от Х может не иметь производной ни для одного значения х; однако, соответствующие примеры значительно! сложнее. Читателя, который заинтересуется этим вопросом, мы отсылаем к курсу Bromwich, Infinite Series (изд. 1-е), стр. 490—1, или Hobson, Theory Of Functions Of A Real Variable (изд. 2-е), τ. II, стр. 411—12 *).

(3) Понятие производной или дифференциального коэффициента было подсказано нам геометрическими рассмотрениями^ Но в самом понятии ничего геометрического нет. Производная φ’ (х) функции φ (х) может быть определена вне зависимости от какого бы то ни было геометрического представления функции φ(x) соотношением.

φ'(x)= Iim 1⅛¾=Σ∑W ⅛→o n

Причем φ(x) имеет или не имеет производную для каждого данного значения х, в зависимости от того, существует этот предел или нет. Геометрия кривых является лишь одним из многих разделов математики, в котором понятие производной имеет приложения.

Другой важной областью приложения является динамика. Допустим, что» материальная точка движется прямолинейно так, что ее расстояние в данный момент T от некоторой фиксированной точки прямой есть φ (T). Тогда „ско­ростью точки в момент T* называется, по определению, предел

φ (/ -)- Ft) —- φ (T)
ħ

При H-→0. Понятие „скорости” является лишь частным случаем понятия производной функции.

Примеры XXXIX. 1. Если φ (х) — постоянная, то φ'(x) = 0. Дать геоме­трическое толкование этого результата.

2. Если φ (x) = αx -j — Ь, то φ'(x)=≈α. Доказать это 1° из формальнога определения и 2° из геометрических соображений.

3. Если φ(x)=zχm, где Т — положительное целое число, то φ'(χ)=≈. = mxm~1.

[Действительно,

φ’ (х) = Iim S,X.+H^-~χm _Jim Jmxm→ ψ ∞J⅛rιl)χm-e⅛ψ … + Flmι

Читатель должен отметить, что этот метод неприменим к xft% где ~ — рациональная дробь, потому что (x-j — Kftq не может быть представлено в виде конечной суммы степеней ft. Дальше (см. п. 119) мы увидим, что утвержде-

*} См. также, например, П. Александров и А. Колмогоров, Введение в теорию функций действительного переменного, стр. 220—222 (изд. 3-е, ГОНТИ, 1938 г.). (Прим, перев.) Ние примера остается в силе и для всех рациональных значений Т. Пока же читатель найдет поучительным для себя вычислить φ’ (х) при частных дробных значениях Т ^например, M—^J путем каких-либо специальных приемов.]

4. Если o(x) = siπx, то φ'(x) = cosx; если φ(x) = cosx, то φ'(x) =— sinx. [Например, если φ(x) = siπx, то мы имеем:

φ(χ + ft)-φ(χ) h ft,2

А пределом этого выражения при ft->0 янляется cosx, так как lɪm cos ^x ɪ ∖ = cos х

(вследствие непрерывности функции cosx) и

. H

Sɪnɪ

Iim —— — 1
ft

^2

(пример XXXVI. 13).]

5. Уравнения касательной н нормали к кривой У = φ (х). Касательной к кривой в точке (x0, у0) является прямая, проходящая через эту точку и образующая с OX угол ψ, для которого tgψ = φ'(x0). Ее уравнением поэтому будет

У— y0 = tp'(⅞)∙(∙*- X0);

Уравнением нормали (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания) будет

?’ (*o)∙(y — Ув) + X — Xo = О-

Мы предполагаем, что касательная не параллельна оси У. В противном слу­чае очевидно, что уравнением касательной будет x=x0, а уравнением нор­мали У =V0-

6. Написать уравнения касательной и нормали в любой точке параболы X2 = 4αy. Показать, что если x0 = ^,y0 = ~, то уравнением касательной в точке (xβ, V0) будет х = Ту — J — — •

113. Мы видели, что если φ(x) разрывна при некотором значе­нии Х, то она не может иметь производной при этом значении Х. Например, такие функции как — или sin ɪ, которые не определе­ны при Х = 0 и, следовательно, разрывны при этом значении Х, не могут иметь производной при х = 0. Подобным образом функция [%], раз­рывная при всех целочисленных значениях Х, не имеет производной ни при каком таком значении Х.

Пример. Так как [х] постоянна между любыми двумя следующими друг за другом целочисленными значениями х, ее производная, если она суще­ствует, имеет значение нуль. Таким образом, производная [х], которую мы можем обозначить через [х]’, является функцией, равной нулю для всех зна — 14* чений Х, отличных от целочисленных, и не определенной для целочисленных значений Х. Интересно отметить, что функция 1—g∣π ⅛χ обладает н точно­сти теми Же Свойствами.

В примере XXXVII. 7 мы видели также, что наиболее часто встречающиеся типы разрывов таких простейших функций как мно­гочлены, дробно-рациональные или тригонометрические функции связаны с соотношениями вида

φ(x)→+∞

Или φ(x)→— ∞. Во всех таких случаях производная не суще­ствует для некоторых частных значений Х.

Таким образом, Все разрывы функции φ (х) являются также разрывами и ее производной φ’ (х). Но обратное предложение неверно, как мы легко увидим, если вернемся к геометрической точ­ке зрения п. Ill и рассмотрим тот частный случай, до сих пор исключавшийся из рассмотрения, когда график φ(x) имеет касатель­ную, параллельную OY. Этот случай может быть подразделен на целый ряд случаев, наиболее типичные из которых представлены на фиг. 35. В случаях (с) и (D) функция двузначна с одной стороны от P И не определена с другой стороны. В таких случаях мы можем рассмат­ривать два множества значений φ(x), которые принимаются ею с одной и с другой стороны от Р, как определяющие разные функ­ции cp1 (х) и φ9, (х), причем верхняя часть кривой соответствует cp1 (х).

Читатель легко убедится сам, что в случае (а)

Ф 4- Й) — æ (х) .

XC —► — U оо

H

При ⅛→0, а в случае (⅛)

Ф (х H) — ь (х)

~—-—r———- → — оо:

+ ∞,cg lɪ h`) — с,, (х)
“ h
■>В случае (с)

ψι(X+ ⅛>-⅝T(X)

H

А н случае (D)

V1 (X + Й) — φ1 (х) φ2(χ + Л) —φs(x) I „

_ > — ∞, h >-+-∞,

Хотя, так как в (с) могут приниматься во внимание только положи­тельные, а в (D) — только отрицательные значения А, В этих последних случаях не может быть речи о существовании производной как та­ковой.

Мы можем получить примеры, иллюстрирующие эти четыре слу­чая, рассматривая функции, определенные соотношениями

(α) Y3~X, (Ь) у3 = — Х, (с) Yt = X, {D) Yp = —X В точке х = 0.

114. Некоторые общие правила дифференцирования. В сле­дующих далее теоремах мы предполагаем, что функции/(x) hF(x) имеют производные / (х) и F (х) для рассматриваемых значений х.

(1) Если Tp(X)=F(X)-{-F(X), то φ(x) Имеет производную

φ’ (*) =Z (*) + P’ (*)•

(2) Если Cf(X) = Kf(X), где K — постоянная, то φ(x) Имеет производную

φ’ (*)=⅛/ (•*)•

Вывод этих результатов из общих теорем примера XXXV. 1 мьг оставляем в качестве упражнения читателю.

(3) Если φ (х) =∕(x) F (х), То φ (х) имеет производную

ψ’ (ʃ) =F(X) P (ʃ) ÷/ (ʃ) P (χ)∙

Действительно,

φ’ (Х) = limL(X + K>P{χ + H)-F{X}F{X) _

= Iim {∕(x + A) Z×f+⅛-ZW + F )/(x+A)→(x)} =

=∕(x)F'(x)+F(x)∕(x).

?'(*) =

/'(X)

{∕(X)}8′

(4) если а (х) --,/(x),и f(x) ф 0, то ψ (х) имеет производную,/'(x),действительно,,{∕(x)}2,
/(х ~ь а)
(5) если φ (х);,/(x)
^f(x)
,φ' (x) :,и f (х) ≠ 0, то φ (х) имеет производную
∕,(x)f(x)-/(x)f'(x)
{f(x)p

Это сразу следует из (3) и (4).

(6) Если φ (X) = F{F(X), то φ(x) Имеет производную φ'(χ) = Γ{∕(x)}∕(x).

Доказательство этой теоремы требует некоторого внимания [47] [48] [49]). Положим F(X)=Y, F(X^IRTi}=YF K, так что ⅛→0 при H→~0 и

⅜→∕W∙ О)

Мы должны различать теперь два случая.

(а) Допустим, что ∕ (ʃ) ≠ 0 и что H мало, но не равно нулю.

Тогда K ≠ 0, в силу (1), и

~f' wf (х).φ (X -)- H) φ (х) F(YK) E (У) K

H ~~ K H

= q.

если ≠ 0, то

(Ь) Допустим теперь, что F (х) = 0 и что H мало, но не равно нулю. Здесь имеются две возможности. Если ^ = O9), то У (X -)- Zr) у (X)

φ (х -)- Л) — © (х) E(Y + ⅛)- F (у) K

Первый множитель в правой части почти равен F (у), а второй мал, так κaκ-^-→0. Следовательно, y? мало во всех слу­чаях и 0ω f (%).

Наша последняя теорема требует нескольких слов для предва­рительного разъяснения. Предположим, что x = ψ(y), где ψ (у) — непрерывная и строго возрастающая (или убывающая) функция (см. п. 95) в некотором интервале значений у. Тогда мы можем писать y==φ(x), где φ является функцией, „обратной" ф (см. п. 110).

(7) Если у = φ (х), Где φ — Функция, обратная ф, Так что х = ф (у), И ф (у) Имеет производную ф’ (у), Которая не равна ну­лю, то у (х) имеет производную

φ’w=Φ⅛r

действительно, если φ (х -{- h) = у -K, то K —>0 при ⅛→0 и

φ' (χ) = hm h →0у (x+ zt)-φ(x)
(xafi) — х
: iim k →0____ (Y + ⅛)-У __1 _

Ф (У + K) — Ф (у) Ф’ (у) ■

115. Производные комплексных функций. До Сих пор мы пред* полагали, что y = φ(x) является Действительной функцией от Х. Ec∏Hjμ является комплексной функцией ψ (%)-}-г ψ (%), то мы опре­деляем производную У как φ’ (х) -∣~ ⅛’ (ʃ). Читатель легко убедится в том, что теоремы (1) — (5) предыдущего пункта сохраняют силу и для комплексных φ(x). Теоремы (6) и (7) обладают анало­гами для комплексных функций, которые, однако, опираются на об­щее понятие „функции комплексного переменного". Мы сталкивались лишь с некоторыми частными случаями этого понятия.

116. Обозначения дифференциального исчисления. Мы Уже

Говорили о том, что Производная часто называется Дифференциаль­ным коэффициентом. Часто применяются не только другой термин, но и другие обозначения; производная функция y = φ(x) обозна­чается еще следующим образом:

Из этих обозначений второе является наиболее удобным и приме­няется чаще всего; однако, читатель должен отдать себе ясный отчет в том, что не обозначает „некоторое число Dy, деленное на некоторое число <7х“; этот символ обозначает „результат неко­торой операции Dx или — , примененной к функции Y = ^(X)U> ПРИ_ ■чем эта операция заключается в образовании частного

Ср (X + ⅛) — ср (X)
H

И в переходе к пределу ⅛→0.

Конечно, такое специальное обозначение не было бы принято без особых оснований. Его обоснование заключалось в следующем. Знаменатель H дроби

Cp(X+∕T)-ср(х)

Л

Является разностью значений хф ft и х независимого переменного х; ана­логично, числитель является разностью соответствующих значений φ (х + H), ?(х) зависимого переменного у. Эти разности можно назвать Приращениями, Соответственно, х И У и обозначить через δx и δy. Тогда дробь принимает вид и по многим причинам представляется удобным обозначить предел

этой дроби, т. е. ер' (х), черезdxНо это обозначение должно пока рассма­триваться как чисто символическое. Выражения Dy и Dx, встречающиеся в нем, не могут быть разделены, и сами по себе они ничего не обозначают; в частности, Dy и Dx не означают Iim δy и Iim δx, так как эти пределы равны нулю. Читателю следует привыкнуть к этому обозначению, но если оно его затрудняет, то его можно избежать, записывая дифференциальный коэф­фициент в виде Dxy или применяя обозначения φ (х), ср’ (х), как мы это де­лали в предыдущих пунктах настоящей главы.

Однако в гл. VH мы увидим, каким образом оказывается возможным определить символы Dx и Dy так, чтобы они имели самостоятельное значе-

Dy

Ние и чтобы производная действительно была их отношением.

Теоремы п. 114 могут быть, конечно, записаны и В Этих обо­значениях. Они могут быть сформулированы следующим образом:

(1) если Y=yl÷y,, то £ =

(2) если y = kyl, то -j,dx,(3) если y-y1yi, то 1,(4) если у =,уз,то,dx
dy
dx'
,dx , j, 2 dx
1 dyl ,
,yj2 dx ’ rfyι,dx,-yi,dya
dx
,(5) если у =y-- , mody-— ,
уз dx yss ’
(6) если у является функцией от х, a z-
dz dz dy '
dx dy dx,
dy 1
(7) dx dx‘
dy
примеры xl. 1. если у =y1ysy3, то
• функцией от у, то

а если y=yjy2

dx
■■уп, ɪo

v
dx l-i
,у уз ∙ ∙ -yr~yr+1 ■,v ⅛ 'уп dx,г=1
dy „ , dz то -nzn~i --- .
dx dx'
,в частности, если у = zn
как было уже иначе доказано в примере xxxix. 3. 2. если y=yιys...yn, то
,а если у — xn1 то
dy
dx
: uxn
1 dy у dx,- l⅛l ɪ jl ⅛⅛ ɪ xi⅛
^y1 dx ^ry3 dx∙'~'" ʃ yn dx
,п dz,в частности, если y-zn,τo -ɪ- ~ , .
у dx z dx

⅛L-υv ‘⅛>4-υo⅛ . Vv ʤʃ3 jr -J⅛)⅛ +W +УУз D^>

117. Основные формулы. Перейдем теперь к более системати­ческому исследованию производных некоторых простейших типов функций.

А. Многочлены. Если φ (х) = A0Xn — J — Alxn~1 … -j — Ап, то

φ, (х) = Na6Xn~1 -{- (Л — 1) Alxn~~ -}-… + αn,1.

Иногда бывает удобнее принимать запись многочлена степени П от­носительно Х в так называемой биномиальной форме

AAχtl “Ь ( 1 ) a^ιχn t ( 2 ) a%χn 2 ^4^, ∙- ~f^ αrc,

В этом случае

φ’ (х) = N {α0xπ^1 + (Я 7 ɪ) ARχn^ + 7 ɪ) Aixn~3 + • • • + ɑn-ɪ } •

Биномиальная форма φ (х) символически часто записывается следую­щим образом [50]):

(ɑθɪ ɑl( ∙ ∙ ∙> O,N ɪ x> ɪ) >

И тогда

φ'(x) = n(α0, Al,…l an, lχx, I)"-1.

В дальнейшем мы увидим, что многочлен φ(x) всегда можег быть представлен в виде произведения П множителей:

φ (х) = А6 (х — α1) (х — c⅛)… (х — αn), где а — действительные или комплексные числа. Тогда

φ'(X) = αθ ɪ (х — α2) (х — α3) … (X — αn),

Причем эта сокращенная запись обозначает, что следует образовать, все возможные произведения из в — 1 множителей и затем их сложить. Этот результат остается в силе и в том случае, когда некоторые из чисел а равны между собой; тогда некоторые слагаемые в пра­вой части повторяются. Читатель легко установит, что если

φ (х) = αθ (х — OCj )mι (х — α2)m- .. .(х — a,)m,, то

φ’ (х) = aβ ɪ Ml (х — a1)mι~1 (х — <¾)ms… (х — av)m^.

Примеры XLI. 1. Показать, что если φ(x)— многочлен, то φ’ (х) является коэффициентом при H в разложении φ(x-∣-Λ) по степеням H.

2. Если φ(x) делится на (х — а)2, то φ'(x) делится на Х — а; вообще, если Ф (х) делится на (х — A)M, то о’ (х) делится на (х — a)m^^1.

3. ‘ Наоборот, если φ (х) и φ’ (х) Оба делятся на х — А, то φ (х) делится на (х — а)2, и если φ (х) делится на х — а, а φ, (х) — на (х — a)m~1, то φ (х) делится на (х — A)M.

4. Показать, как можно наиболее полно определить кратные корни урав­нения P(x) = 0, где P(х) — многочлен, вместе с порядками их кратности, при помощи элементарных алгебраических действий.

[Если H1 есть общий наибольший делитель P и P,, H2 общий наи­больший делитель H1 и P", Hs — общий наибольший делитель H2 и P‘" и т. д.,

II

То корни уравнения X~ = 0 являются Двойными корнями уравнения P = 0,

HtHi п

Корни уравнения — —0 — Тройными корнями и т. д. Однако может ока-

H1Hs . HtHi А

Заться невозможным до конца решить уравнения ~ττ2=θ, —⅛s — ≈=0, ….

/Y2 YYj

11

Так, например, если P(X) = (X — l)3(x5 — Х — 7)2, то —‰3 = χ5 — Х — 7 и /Y2

HtHi . .

—^~- = x — 1, и мы не можем решить первое уравнение.]

5. Найти все корни, вместе с порядками их кратности, уравнений:

Xi — J — 3×3 — 3×2 — Ilx-6 = 0, xβ + 2×5 — 8×4 — 14×3 -}- И*2 + 28x-(- 12 — 0.

6. Если уравнение Ах2 + 26х -}- с = 0 имеет двойной корень, т. е. имеет вид

А (х — а)2 = 0, то 2 (ах -)- 6) должно делиться на х — а, Так что А — —— . Это

Значение х должно удовлетворять уравнению. Проверить, что полученное условие сводится к Ас — Ь2 = 0.

7. Уравнение

————- 1—— Ц-Н———— — =0

Х — А 1 Х — B Х — с

Может иметь равные корни в том и только в том случае, когда а = 6 = с.

(Экз. 1905 г.)

8. Показать, что уравнение

αx8 -)- 36×2 4- Зсх 4- D = 0 имеет двойной корень, если

G2 4- 4№ = 0, Где

∕7 = αc-⅛2, G = a2d Zabc 4- 263.

[Положим AxBY и сведем уравнение к виду

Y>4-3Λ> + G=0.

Это уравнение должно иметь общий корень С Y2 4- H=O.]

9. Проверить, что если A, β, γ, S суть корни уравнения

Ax4 4- 46×3 4- 6cx2 4- 4Dx 4- е = 0, то уравнение, корнями которого являются

Iα{(α-β)(γ-δ)-(γ-a)(β-δ)}

И два аналогичных выражения, получаемых из этого круговой перестанов­кой а, р и γ, имеет вид

4YiGsy~ g3 = 0, где

Gt — ае — 4Bd 4- 3c2, Gs = асе 4- 2⅛crf — Ad2Eb2 с3.

Ясно, что если два из чисел A, β, γ, δ равны, то приведенное кубическое уравнение будет иметь два одинаковых корня. Применяя результат при — Jnepa 8, мы выведем, что Gi—∙27gl = 0.

10. Теорема Ролля для многочленов. Если φ(x) — Любой многочлен, то между каждой парой корней уравнения у (х) — 0 Лежит корень урав­нения φ’ (X) = 0.

Доказательство этой теоремы для более общих классов функций будет дано позже. Здесь мы приводшч алгебраическое доказательство, применимое
только к многочленам. Предположим, что А и β— два следующих друг за другом корня кратностей от и и соответственно, так что

æ (х) — (х — A)M (х — β)n θ (χ)L

Где 0(х)— многочлен, не меняющий знака для a≤x≤β. Тогда ψ,(x) =

= (х — α)m (X — β)n θ’ (X) {m (X — a),7≈-1 (х — β)NLrn(XA)M (χβyl→} θ (χ)=

= (а — α) M~S (х — β)n^1 [(х — А) (х — β) θ, (х) { от (х — β) -)- N — α)} θ (х)] =

— (х — ≈)m-1 (х — β)n-1 F (х),

Причем F(A)-M(A— β)θ(α) и Λ(β) = n(β — α)θ(β) имеют разные знаки. Сле­довательно F(X), а значит и φ, (х), обращаются в нуль при некотором зна­чении х между А и β.

118. В. Дробно-рациональные функции. Если где P и Q многочлены, то из (5) п. 114 сразу следует, чтб

_Р(х)

<?(*)’

/?(%)

r'{χyP, (X)Q(X)~P(X)Q‘(х) ’ “ {Q(x)}*

И по этой формуле мы можем вычислить производную любой дробно­рациональной функции. Однако получаемое выражение для произ­водной иногда можно упростить. Оно не будет упрощаться, если Q(x) и Q (х) не имеют общего делителя, т. е. если Q(x) не имеет кратных корней. Но если Q(x) имеет кратные корни, то получен­ное выше выражение для R1 (х) может быть упрощено.

При дифференцировании дробно-рациональных функций часто оказывается удобным разложение на простейшие дроби. Предположим, что Q (х) (как в п. 117) представлено в виде

A0(X— A1)Mι(X α3)m2 … (х—AT)M4.

В учебниках по алгебре доказывается, что R(X) тогда может быть представлено в виде где II (%)— многочлен, т. е. в виде суммы многочлена и нескольких слагаемых типа

(х,yil,2 
≈1)2
ai,т,,(x-zι)mι
al,1
п(х)
, а.
,2.1_
‘2,2
⅛ (x — ⅞)2 (х α2)

А

(XCt)P

Где А есть корень уравнения Q(x) = 0. Мы уже знаем, как найти производную многочлена, а из теоремы (4) п. 114, или, если А ком­
плексно, из ее расширения, упомянутого в п. 115, сразу следует, что производная последней дробно-рациональной функции равна

РАA)P-i рА

(x-afP~ (x-α}P+1

Теперь мы можем записать производную общей дробно-рацио­нальной функции R(X) в виде

TT’ /„ч__ -^1,1_______ 1,2___________ _ 7⅛ιi______ 2_______

L ’ (X — αι)2 (х — aι)3 (х —α2)2 (x-α2)3

Между прочим, мы доказали, что Производная хт равна Tnxm~1 для всех целочисленных значений M1 как положительных, так и отри­цательных (если Т отрицательно, то Х должно быть отлично от йуля).

Метод, изложенный в этом пункте, оказывается особенно по­лезным в тех случаях, когда нужно дифференцировать дробно-рацио­нальную функцию несколько раз (см. примеры XLV).

Примеры XLH. 1. Доказать, что

D / х ʌ _ 1 X8 D /1 X2 \ _ 4х 5XLΓψχ27~(T+X2)≈I,RΓ+X2J(Г+х*)2‘

2. Доказать, что

DAx2 -)- 2⅛X 4- С \ _ 9 (ах + B) (Bx + С) — (Ьх -)- с) (Ах + В) Dx AX2 + 2Дх + Cj~ 2 (Ах2 + 2Bx + Q8 ‘

3. Если Q имеет множитель (х — A)M, то знаменатель /?’ (после приве­дения У?* к простейшему виду) делится на (х —α)m+1, но ни на какую выс­шую степень Х — а.

4. Знаменатель R не может содержать множитель х — А в Первой степени. Следовательно, дробно-рациональная функция, знаменатель которой содер­жит простой множитель, не может быть производной дробно-рациональной функции. Например, — не является производной дробно-рациональной функ­ции.

119. С. Алгебраические функции. Результаты предыдущих пунк­тов и теорема (6) п. 114 позволяют нам находить производные любых явных алгебраических функций.

dy
dy _ _ dz dx dx
dz

p,zp-9
<1
,= тх

Такой наиболее важной функцией является Хт, где Т— рацио­нальное число. Мы уже нидели (см. п. 118), что производная этой функции равна Mxfl~I, если Т — положительное или отрицательное’ целое число. Покажем теперь, что этот результат остается в силе (при условии, что Х ≠ 0) и для всех рациональных значений Т. Положим у/ = χm=x^/?, где Р и Q—целые числа и Q положительно, и пусть Z~ X1 /?, так что X = Zq и Y=Zp. Тогда

Этот результат может быть также выведен как следствие из примера XXXVI. 3. Действительно, если φ(x) = xm, то мы имеем

. ,. (x + ∕z)m-Хт ξm-Хт т_,

φ (х) = Iim-—!~—————- = Iim ■ r- — =Rnxm ɪ.

Λ→0 “ ς→-i 5 х

Ясно также, что и более общая формула

Dχ (ах -}- B)M = та (ах — j — B)M~1

Имеет место для всех рациональных значений Т.

Дифференцирование Неявных алгебраических функций связано

С некоторыми теоретическими трудностями, к которым мы вернемся в гл. VII. Но практическое вычисление производных таких функций осуществляется весьма просто; метод их дифференцирования доста­точно проиллюстрировать на примере. Допустим, что У задано с по­мощью уравнения

X3 η-y3 — Заху — 0.

Дифференцируя по х, найдем:

χi+YirxA(Y+X⅛)=0>

И, следовательно,

Dy х2— ау

Dx У2 — ах’

Примеры XLIlI. 1. Найти производные следующих функций:

2. доказать, что
-dj x .
rfx ( [∕^a2 -j- x2 )
u- fla
1s (а2 — xs)",z-
∕4⅛∙ ∕⅛IKB⅛⅛.

‘(A2+X2Y⅛’ DxYаг_X<Tf 3. Найти производную У, если

(1) Ax2-2Hxy-(-By2R2Gx-[~2FyC = 0, (2) x5 -∣-y5 -5Ax2Y2 = 0.

120. D. Трансцендентные функции. Мы уже доказали, что
Dx sin х = cos х, Z)xcosx = — siπx

(см. пример XXXIX. 4).

При помощи теорем (4) и (5) п. 114 читатель легко найдет, что Dx tg х = sec2x, DxCtgx = — cosec2x,

Dx sec х = tg х sec х, Dx cosec х = — ctg х cosec х.

При помощи теоремы (7) мы можем легко найти производные обрат­ных круговых функций. Читателю предлагается проверить следующие формулы:

Dx arc sɪn Х ~ -⅜- -ʒrɪɪ——- , £>,. arc cos Х — ɪjɪ z. 2________ ,

X PrlX2 λ ^1-Xs

Dxaτctgx = R^-S, Dxaιcctgx==-~R~,

Dx arc sec Х = ÷- ʃɪ—————— . Dr arc cosec. r = +———— U=-=.

.t(∕.vi-1 x xprx2-I

B случае функций arc sin X и arc cosec X должен быть взят знак, совпа­дающий со знаком cos (arc sin Х), а в случае arc cos Х и arc sec Х знак, совпадающий со знаком sin (arc cos х).

Весьма важны также и следующие более общие формулы: которые легко выводятся из теорем (6) и (7) п. 114. В первой из них знак следует брать совпадающим со знаком A cos (arc sin ~), так как

~У аа—х*’

dx arc sin dx arc ⅛

Я J/ 1 —= zb ∣/ AtX1,

В зависимости от того, положительно А или отрицательно.

Наконец, с помощью теоремы (6) п. 114 мы можем дифферен­

Цировать сложные функции, состоящие как из алгебраических, так и из тригонометрических функций. Таким образом, мы можем вы­числить производные таких функций, как приведенные в ниже сле­дующих примерах.

Примеры XLlV1). 1. Найти производные функций

cosx sinx

pra- coss x-(-a2 sin2 х,Cosmx, sinm х, cos(xm), sin(xm), cos (sin х), sin (cos х).

PrA- cos2 x-J-A2 sin2 х х arc sin X — J — pr 1 — x2, (1-J-х) arc tg^j∕^x — prχ.

2. Продифференцировать

. -./л——- ; . , . . Cosx . a — J — A cos Х

Arcsinj/T=^, tg(arc smx), arc tg, arctg.

(Экз. 1926, 1929, 1930 гг.)

1) В этих примерах Т означает рациональное число, а А, Ь, … , A, Р, … Имеют такие значения, что содержащие их функции вещественны. Неодно­значность знака не указывается.

У ас — 6* У ас —IA

5. Показать, что каждая из функций

3. продифференцировать
arc sin х -j- arc cos х,
arc tg х -j- arc ctg x, arc,tg,a 4- x 1 —ax
и объяснить, почему результаты дифференцирования имеют столь простой вид,. 4. продифференцировать,arc tg,ях -ua,: arc sɪn,ах 4- b
ywΞ^ac

2arcsinl/Ax—∣, 2arctgl/ -—arc sin -2V^a————————— ⅛⅛—⅛

Г се — р Г ɑ — Х а — ɪj

Имеет производную

УУ—х) (х—β)

О. Доказать, что

D ( I Λcos3θl ^∣∕^ 3

cos о cos 39(экз. 1904 г.)>{arccosr ^θ∕=F∙

7. Показать, что

1 ʧ C(ax* + c)y

04x24- c)∣z'ax2 + c'
a cos x4-a 2 . ∕ -i га— а , 1 )
 — > ■ -r arc tg 1 i/ tg--x?
я-j-a cosx l∕as—a2 ir я 4-а 2 ‘
У C (Ac-аС) Dxi3Ic C0SV C(Axa+C)}’

8. Каждая из функций 1

TT=T=UT arc cos. ,

У а—A2 А 4- Ь

Имеет производную

10. Доказать, что. производная функции F { F [φ (х)] } равна F‘ {F IcP (*)] } F [?(■*)] cP’ (x)>

a -j-acosx'
9. если x= a -j- acosx-)-csiπx и
ях — ai-i-ai-j-c2
%y^a2+c2
arc cos
у-
у aa-!a-ca
то
dy 1
dx~x'
и распространить результат на более сложные случаи. 11. если и н v — функции от х, то,dx arc tg,vdxιι — udxv
w2-j-v2
,12. производная функции у = (tgх -j- secx)m равна mysecx.
13. производная функции ʃ = cosx-j-isinx равна iy.
14. продифференцировать xcosx, 5Ξl5. показать, что значения х, при

Sin Х

Которых касательные к кривым y = xcosx, У ———————- Параллельны оси Х,

Являются соответственно корнями уравнений ctgx = x, tgx = x.

15. Нетрудно видеть (см. пример XVII. 5), что уравнение sin Х — ах, где А Положительно, не имеет действительных корней, кроме х== 0, если α 1, и имеет конечное число корней, которое возрастает при убывающем А, если А < 1. Доказать, что значениями А, при которых число корней изменяется, являются значения cosξ, где ξ является положительным корнем уравнения — tgξ = ξ. [Искомыми являются значения А, при которых У— ах касается кри* вой У = sin Х.]

16. Если φ(x) = xssin-^ при x≠0 и о (O) = O, то

«’ (х) — 2 Х sin ——- cos -ɪ- ,

‘ ‘ х х

Если x≠0 и φ'(O) = O. Далее, φ'(x) разрывна при Х — 0 (см. п. 112 (2)).

17. Найти уравнения касательной и нормали в точке (X0, ув) к окруж­ности xs4-ys = <z2 и привести их к формам XxβJYyβ= As и, соответственно, Хув—ухв — 0.

18. Найти уравнения касательной и нормали в любой точке эллипса

T2 V2 χ2 Vs

— — L-i-=ι и гиперболы — ,—⅛=l.

A1 bi as V1

19. Уравнениями касательной и нормали к кривой XEi(I}, у — ЬЩ В точке, которой соответствует значение параметра T, являются уравнения

=’⅛r° > {χ — =P (0} √ (T) + {У — ф (0} ψ’ (() = о.

' dγ <ру dx i ʃ1 dχ-'

d'xy,

121. Повторное дифференцирование. Исходя из φ'(x), мы можем — образовать новую функцию φ"(x) так же, как из φ(x) Мы образо­вывали φ’ (х). Эта функция называется Второй производной или Вто­рым дифференциальным коэффициентом ф(х). Вторая производная функции j∕ = φ(χ) может быть записана в любой из следующих •форм:

Аналогично мы можем определить П-ую производную или П-ый диф­ференциальный коэффициент функции y = φ(x), которые могут быть записаны в любой из следующих форм:

(*)>

dn,у’,ту,dny
dxh'
,общая формула для и-ой производной данной функции может быть, однако, найдена лишь в отдельных специальных случаях. некоторые из этих случаев приведены в следующих примерах.

Примеры XLV. 1. Если φ(x) = xm, то

φ(") (X)-M(M 1) … (т — n + 1)Xm~N.

Эта формула дает нам возможность записать я-ую производную любого многочлена.

2. Если φ (х) ~ (ах -)- B)M, то

φ(") (х) = т (т — 1) … (т — N-(-L)An (ах + B)M~~N.

В этих двух примерах Т может иметь любое рациональное значение. Если Т—Положительное цело? число, то φ(^) (х) = 0 для N>M.

3. Формула

_______ _(____ 1«P(p + ɪ) • ■ • (Р 4~ Я IM

(x-a)P v ) — — (χ-α)P+"

5. Найти я-ые производные функций Х 4- 1 Х*

дает нам возможность записать я-ую производную любой дробно-рациональной функции, представленной в виде суммы простейших дробей.,4. доказать, что я-ая производная функции 1,1 — х',~ равна,ɪ (я!) { (1 -x)-"-ι + (- 1)" (1 + xyn→ } .
4х,х2 —4’ (x-l)(x-2)' (х—l)s(x + 2)∙
(экз. 1930, 1933, 1934 гг.) при х = 0 равно 0, если я четио,
и равно —я!, если я нечетно и больше 1.
(экз. 1935 г.)
7. теорема лейбница. если у есть произведение uv и мы можем образовать я первых производных от и и о, то мы можем образовать я-ую производную от у с помощью теоремы лейбница, содержащей следующее правило:
,6. показать, что значение,(d∖n xs ∖dx∕ х- —,(по),,'л=кя®+( ɪ )⅝-ι¾+(2 )κ∏-Λ+ ••• +(”) '≈-'∙v'∙+ ••• + ttσ"
где индексы обозначают дифференцирование, так что, например, un обозначает я-ую производную от и. для доказательства теоремы заметим, что
(uv)ι = u1v 4- uv1,
(uv)2 = u2v 4- 2α1τ⅛ + uv2
и т. д. очевидно, что повторяя этот процесс, мы придем к формуле вида
(uv)n = unv + βn,lhn-lv1 + an,2 un~2v2 + .. . ±an,r un~rvr± ... + uvn.
допустим, что an,r = ^'j для r= 1, 2, ... , я — 1 и докажем, что если это
так, то an+1,r= (n ɪʌ для г=1, 2, ... , я. применяя метод математиче-
,ской индукции, получаем, что an,_!п
'~∖r
,для всех встречающихся значе,ний я и г.
при образовании (uv)n+1 дифференцированием (uv)n мы легко убеждаемся в том, что коэффициентом при un+1~rvr будет выражение
an,r + a∏,r-ι — ( „ i +
г—1

Это и доказывает теорему. 15 Г. Харди

8. я-ая производная xmf(x) равна
т! ,, . , т!
,(т — ri}∖
я (я— 1)
,xm~n f(x) + n,zz)!,(т —я-f~ ɪ)ɪ,χm-n+if, (χy +,1 • 2 (т — я -к 2)1,x'"-"+2∕"(x)4- ••• .

Причем ряд должен быть продолжен до (π-)2l)-ro члена, если он не обры­вается раньше.

9. Доказать, что Dx cos Х = cos ^X -)- -ɪ- n~j, Dx sin Х = sin ^X — j-~ n-ʌ .

10. Найти я-ые производные функций

Cossxsiπx, cos х cos 2x cos 3x, x3cosx.

(Экз. 1925, 1930, 1934 гг.)

11. Если У — A cos Тх 4- В sin zz)x, то Dxy 4- »I2Y 0. Если

У = A Cos mx 4- В sin Тх 4- Pn (x)>

Где Pn(X)—Многочлен степени я, то Dx+SУ + ιn3Dx+LY = 0.

12. Если X3Dxy 4- XDxy +y=0,τo

X~D1Jx у 4* (2я 4-1) XDx+ у 4* (N^ 4~ ɪ) DrJy = 0.

[Дифференцировать я раз и применить теорему Лейбница.]

13. Если Un обозначает я-ую производную функции

lx4-ΛΓ
xs—д5х4-с’
то
xs-2bx4-c (я4-1)(я4-2)t7n+a,, 2(х-д)
φ я-]-1
,^zi+1 + ^∏— θ∙

(Экз. 1900 г.)

[Сначала вывести уравнение при я = 0; затем я раз дифференцировать и применить теорему Лейбница.]

14. Показать, что если a=arctgx, то

= 0,dx^(l + Λ⅛.2χ-s 1 ɪ > Dx3^’-

И отсюда определить значения всех производных от И при х=0.

(Экз. 1931 г.)

15. я-ые производные от,а- 4- х-
1
,.2,я2 4- x2,a~->rx3 2i∖x~ai x-↑-aij, β24-x2 мы имеем:
dn f a ʌ = (~1)nb∣ i ɪ , 'l'.a24-x2y 2z l(x-0z)n+1
,-. так как
1
,1
2 \х
,ai ʃ х 4- asj ’
ɪ 1
х -и- aiyl+1 j ’
г? 4-χs)∙
и аналогичную формулу для р —l∕^xs4~a2 и 0—ваи-
dx если

Меньший по модулю угол, косинус н синус которого равны соответственно — Я — То Л 4-az = р CisO и Х — Ai р Cis (— 0), так что

P Р

= у (- ir` "⅛^"~1 Icis (я +1) θ — Cis { — (я + 1) 0 } ] =

= (— 1)" я! (x2 + Ai)~ 1/2 (n+1,> sin | (я -∣- 1) arc tg — |.

Аналогично,

D" Al3ψxs = ŋ" П!(Х‘" + й2)~’/2(Л+1) cos { (« + 1) arc tg ~ J.

16. Доказать, что

Dnx = I Р„ cos 4- ɪ N~^ + Qn sin + ɪ ял) J χ->L~1,

D„ srn_x _ I Pn siπ )χ ψ _L NE __ Qn Cos 4- ɪ πj J X~N~,T

Где Pn и Qn многочлены относительно Х степеней соответственно я и я— 1.

17. Вывести формулы

Dsy d3ydy ∙>(<Py^

Dx___ 1 D2x ________ Dxi d3x__________ Dx3 dx Dxi)

~dy^~~d)Γ, dy — ~ Fdy3 Dy3~^ (dy3

Dx Dx) Dxj

122. Некоторые общие теоремы, относящиеся к производным.

В последующем важную роль играет различие между „замкнутым" и „открытым" интервалом. Замкнутым интервалом (а, Ь) называется множество значений Х, для которых α≤x≤A. Открытый интер­вал определяется неравенствами A<^X<^B (т. е. является замкнутым интервалом без концевых точек)1).

Мы будем рассматривать функции непрерывные в замкнутом интервале (а, Ь) и дифференцируемые в открытом интервале (а, Ь). Иначе говоря, мы будем предполагать, что наша функция φ (х) удо­влетворяет следующим условиям:

(1) φ(x) непрерывна для β≤x≤A, причем непрерывность в кон­цах интервала понимается в смысле, разъясненном в конце п. 99;

(2) φ'(x) существует для каждого Х, для которого A<^X<^B.

Может показаться странным, что в одном условии интервал предпола­гается замкнутым, а в другом — открытым, но мы увидим, что это различие играет важную роль. Ясно, что если мы ничего не знаем о о (х) вне (а, А), то мы не можем распространить условие (2) на концы интервала без неко­торых дополнительных определений.

Начнем с теоремы, относящейся к частному значению Х.

ТЕОРЕМА А. Если Y’ (х0) ^>0, то φ (х) φ (X0) для всех значе­ний х, меньших х0, но достаточно близких к нему, и φ (х) φ (х0) для всех значений х, больших х0, ио достаточно близких к нему.

‘) Мы могли бы определить полузамкнутые интервалы неравенствами ‘j<x≤A или a≤x<A, но мы не будем применять эти термины.

Действительно, ——’⅛-⅛λ стремится к положительному пре­делу φ’ (χθ) при ⅛-→0. Это может иметь место только в том слу­чае, когда φ(x0-γ-Λ) — τ(xo) и H имеют одинаковые знаки при доста­точно малых значениях H, а это и составляет утверждение теоремы. C геометрической точки зрения результат, конечно, очевиден, так — как неравенство φ’ (х) )> 0 означает, что касательная к кривой образует положительный острый угол с осью Х. Читателю следует сформулировать соответствующую теорему для того случая, когда φ'(*)<θ.

Утверждение теоремы А мы будем формулировать так: φ(x) Строго возрастает при X = X0 ɪ).

Следующая исключительно важная теорема известна под именем теоремы Ролля.

ТЕОРЕМА В. Если φ(x) Непрерывна в замкнутом и дифферен­цируема в открытом интервале и ее значения на концах интер­вала а и B равны, то в открытом интервале найдется точка, в которой φ'(x) = 0.

Мы можем предположить, что

φ (в) = 0, φ (£) = 0,

Так как если φ(a) = ⅞(⅛) = ⅛ и A≠0, то мы можем рассмотреть функцию φ(x)— K вместо φ(x).

Имеются две возможности. Если φ(χ) = 0 во всем интервале (а, Ь), то φ'(x) = 0 для A<^X<^B и утверждение очевидно.

Если же, с другой стороны, φ(x) не всегда равна нулю, то существуют значения х, для которых она либо положительна, либо отрицательна.

Допустим, например, что функция в некоторых точках поло­жительна. Тогда φ(x) имеет точную верхнюю грань M в (α, B~) и φ(x)≈AI для некоторого S из {а, Ь) (по теореме 2 п. 103), причем очевидно, что $ не равно ни А, ни Ь. Если бы φ’ (S) было положи­тельно или отрицательно, то, по теореме А, вблизи S существовали бы значения х, для которых φ(x))>ΛI, что противоречит определе­нию М. Следовательно, φ’ (S) = 0.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если φ(X) непрерывна в замкнутом и диф­ференцируема в открытом интервале и φ'(x))>0 Для всех х в открытом интервале, то φ (х) Является строго возрастающей (в смысле п. 95) Функцией от х в этом интервале.

Мы должны доказать, что φ (x1) φ (X2) для α≤x1<^x3≤⅛∙ Предположим сначала, что α<^x1 ∙≤x.2<^Z>.

1) Cp. пример 19 на стр. 204—5.

Если φ(x1) = φ(χ2), то, по теореме В, между X1 и X2 должно существовать такое значение Х, для которого φ'(.r)=0, что проти­воречит нашей предпосылке.

Если же φ (x,) ^>φ (х2), то, по теореме А, существует такое Х3, Близкое к X1 и большее его, что φ (x3) φ (x1) }> φ (х4), и, сле­довательно, по п. 101, такое xi между X3 и х2, что φ(xi)=φ(χ1). Отсюда, по теореме В, следует, что существует значение х между X1 и xi, для которого φ’ (х) = 0, что опять противоречит нашей предпосылке.

Таким образом, φ(x1)<^φ(x.,).

Остается распространить неравенство на случаи, когда χ1 = A Пли X2 = Ъ. Из уже доказанного следует, что

C? (ʃ) < cP (ʃ’)

Если α<^x<^x’<CJ>, так что φ(x) строго убывает, когда х прибли­жается к А справа. Следовательно,

φ (α) = Iim φ(x)<φ(χ,) Х Q -ɪ- 0

И, аналогично, φ(x’)<^φ(⅛).

СЛЕДСТВИЕ 2. Если φ (х) 0 В интервале (а, Ь) и φ (A) ≥ 0, То

Z (х) Положительна в интервале (а, Ь).

Читателю следует внимательно сравнить первое из этих следствий с теоремой А. Если, как в теореме А, мы предполагаем только, что φf(x) положительна В единственной точке х = х0, то мы можем доказать, что? (x1) <t? (х2), когда x1 и X2 достаточно близки к Х„ и x1<x0<x2. Дейст­вительно, по теореме A, φ (x1) < φ (х0) и φ (x2) > φ (x0). Но отсюда нельзя сделать вывод, что существует интервал, содержащий Xw в котором φ(x) является строго возрастающей функцией, так как предположение, что X1 и X2 лежат с разных сторон от х0, существенно для нашего заключения. Мы вскоре еще вернемся к этому вопросу (см. п. 125) и проиллюстрируем его на примере.

123. Максимумы И Минимумы. Говорят, что функция φ(x) при x = ξ имеет Максимум ф(£)> если ф(0 больше любого другого зна­чения, принимаемого φ(x) в непосредственной близости от x = ξ, т. е. если мы можем найти такой интервал (ς—ε, ξ —f—е) значе­ний х, что φ(ξ)^>φ(x), когда ξ — ε≤x≤ξ и когда ξ≤x<4-j-e. Аналогично определяется Минимум. Точки А соответствуют макси­мумам, а точки В •— минимумам функции, график которой изображен на фиг. 36. Следует заметить, что то обстоятельство, что A3 соот­ветствует максимуму, A B1-—■ минимуму, вполне совместимо с тем, что значение функции в B1 больше чем в A3.

ТЕОРЕМА С. Необходимым Условием для того чтобы φ (ξ) Было максимумом или минимумом дифференцируемой функции φ(x), Является φ, (ξ) — 0.

Это сразу следует из теоремы А. Что условие не является достаточным, видно из рассмотрения точки C на фиг 36. Так, если V = X3, то φ'(x) = 3×2, что обращается в нуль при x = 0. Но х = 0 не дает ни максимума, ни минимума х3, что видно на гра­фике этой функции (фиг. 9, стр. 53).

Но φ (ŋ Будет заведомо максимумом, если ψ’ (£) = 0 и φ’ (х) 0

Для всех значений х, меньших ξ, Но близких к К, A φ‘ (X)<^0 — для всех значений х, больших ξ, Но близких к £. А если имеют место неравенства, обратные двум последним, то φ(ς) будет минимумом. Ибо тогда мы можем (по следствию 1 п. 122) найти такой интервал (ς— е, £), в котором φ(x) возрастает с возрастанием х, и такой интервал (ξ, ξ-J—е), в котором она убывает с возрастанием х.

Этот результат может быть сформулирован и так: если знак φ'(x) меняется при x = ξ с положительного на отрицательный, то φ(x) достигает максимума при x = ξ, а если знак φ’ (х) меняется в обратном направлении, то φ(x) достигает минимума.

Максимум, как он был определен выше, является максимумом В стро­гом смысле этого слова: φ (Sj) > О (х) для всех Х, близких к ξ. Мы могли бы ослабить наше определение и требовать только выполнения неравенства 9(6)Ξ⅛φ(x) для всех Х, близких к ξ. При таком определении постоянная имела бы, например, максимум (и минимум) при каждом значении перемен­ного. Теорема C все же имела бы место.

Максимумы и минимумы иногда называют Экстремальными зна»"» НИЯМИ.

124. Можно указать еще другие условия существования макси­мума и минимума, которые часто оказываются полезными. Предпо­ложим, что φ(x) имеет вторую производную φ,'(x); существование φ» (х), конечно, вовсе не следует из существования φ’ (х), точно так же, как существование φ, (х) не следует из существования φ (х). Но в большинстве тех случаев, С Которыми нам придется иметь дело, функции обладают вторыми производными.

ТЕОРЕМА D. Если φ'(ξ) = O и φ"(ξ)≠ 0, то φ(x) имеет макси­мум или минимум при x = ⅛, точнее — максимум, если φ"(S)<^O, и минимум, если φ»(ξ)^>O.

производную для всех условие не удовлетво-Допустим, например, что φ" (ξ)<≤0. Тогда, по теореме A, φ'(x) положительна, когда Х меньше ξ, но достаточно близко к нему, и отрицательна, когда Х больше S, но достаточно близко к нему. Таким образом, φ(x) при х = £ имеет максимум.

125. Выше мы предполагали, что φ (х) имеет значений Х в рассматриваемом интервале. Если это ряется, то теоремы перестают быть справед­ливыми. Так, теорема В не верна для функ­ции

V = 1 — l∕^x2,

φ' (х). в частности, мы неГде корень квадратный берется со знаком плюс. График этой функции изображен на фиг. 37. Здесь φ(—l) = 0, ψ (l) = 0, нок>’ (х), как видно из чертежа, равна 1 для отрица­тельных х, и — 1 для положительных Х, и ни­когда не обращается в нуль. При х = 0 про­изводная не существует и не существует ка­сательной к графику в точке Р. Одиако при V = O, очевидно, имеется максимум φ(x), но достаточное условие максимума неприменимо.

Мы предполагали только существование предполагали, что φ'(x) Сама является непрерывной функцией. В связи Г Этим возникает следующий интересный вопрос: Может ли функция φ(x) иметь производную для всех значений Х, которая не является непрерывной функцией? Другими словами, может ли кривая иметь касательную в каж­дой точке, причем, однако, направление касательной не меняется непре­рывно? Интуиция нам как будто подсказывает отрицательный ответ; но ие представляет большого труда показать, что это ие так.

Рассмотрим функцию φ(х), определенную при x≠0 соотношением

φ (х) = X2 sin

( положим φ (O) = O. Тогда φ(x) непрерывна при всех значениях х. Если г =£ 0, то

О’ (х) = 2x sin —— cosɪ .

X X

Тогда как

H2 sin -ɪ-

φ’ (0) = Iim——- r-ʌ = 0.

Ft→0 «

Таким образом, φ, (х) существует для всех значений х. Но φ, (х) разрывна

При х = 0, так как 2xsitι ^- стремится к 0 при x→0, a cos ɪ колеблется

Между верхним и нижннм пределами +1 и —1, так что tp’ (х) колеблется между этими же пределами.

JIo существу этот же пример может служить иллюстрацией к вопросу, затронутому в конце п. 122. Пусть

φ (х) = .V2 sin ɪ 4" ax>

Где O<α<l, если x≠0, и φ (O)=O. Тогда φ'(θ)-α>θ∙ Таким образом, условия теоремы А П. 122 удовлетворены. Но если x≠0, то

φ’ (х) = 2x sin ɪ — cos ɪ-

А это выражение колеблется между пределами а — 1 и а 4-1 nP11 х—*0. Так как а—1 с О, то мы можем найти значевия Х, как угодно близкие к нулю, для которых φ,(x)<0. Поэтому не существует никакого интервала, содер­жащего х = 0, в котором φ(x) являлась бы строго возрастающей функцией от х.

Однако φ'(x) не может иметь так называемого „простого" разрыва (гл. V, пример XXXVlI.18). Если φ'(x)-→α при х—4~θ> <p'(x)-∙⅛ при x→— 0 и tp’ (0)=с, то A = B=C, и φ’ (х) непрерывна при х = 0. Доказа­тельство см, в п. 126, пример XLVII. 5.

Примеры XLVI. 1. Проверить теорему В для функций

А (х) = (х — a)m (х — B)N и φ (х) = (х — A)M (х — B)N (х — с)Р,

Где Т, п и Р — положительные целые числа н А < B < с.

[Первая из этих функций обращается в нуль при Х—а и Х—Ь. Произ­водная

φ’ (х) = (х — A)M~L (х — B)N~I {(т 4- П)х — Mb — па}

Обращается в нуль при лежащем между А и B.. Во втором

Случае мы должны проверить, что квадратное уравнение

(от 4- П +P)x2 — { (B+ с) 4- П (с 4- А) 4-Д (a + Ь) } х 4^ Mbc— пса 4- PabQ

Имеет корни между А и B и между B и С.]

2. Показать, что х — Sinx является возрастающей функцией в любом интервале значений х и что tgx—х возрастает, когда х возрастает от

—- до . При каких значениях а функция Ах — siπx является монотонно.

Возрастающей или монотонно убывающей функцией от х?

3. Показать, что -ɪr — χ монотонно возрастает, когда х возрастает от 0 до ʌ.

2 {Экз. 1927 г.)

4. Показать, что tgx — х возрастает при х возрастающем от ɪ до ɪ,

■3- о~

От ɪдо ɪ и т. д., и вывести отсюда, что уравнение tgx = x имеет по одному корню в каждом из этих интервалов (см. пример XVII. 4).

5. Вывести из примера 2, что siπx— х<0, если х>0, отсюда, что

Cos Х — 1 ɪ X2 > О,

А отсюда, что

, 1 , п

Sl∏ X — V + -ɑ- Xi > 0.

Вообще, доказать, что если

C2 r2ZΠ

C2m = cosx-l+2f — … -(-1)m(⅛jp

V3 r2∕n+l

⅛=siπx-x + — — … -(-1γγ2-f-,

И х>0, го C2m и S2m+χ положительны или отрицательны, в зависимости от того, будет Т нечетным или четным.

6. Если F(X) и F"(X‘) непрерывны и имеют одинаковый знак в каждой точке интервала (а, Ь), то этот интервал может содержать не более одного корня каждого из уравнений /(x) = 0, ∕,(x) = 0.

7. Пусть функции И и V и их производные И! и V, непрерывны в неко­тором интервале значений Х и пусть Uv‘— и’о не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Показать, что тогда между любыми двумя корнями уравнения И = O лежит корень уравнения D = О, и наоборот. Про­верить эту теорему для U — cosx, v — sinx.

[Если О не обращается в нуль между двумя корнями уравнения и= О, скажем А и 3, то функция ɪ непрерывна в интервале (α, 3) и обращается в нуль на его концах. Следовательно, производная

U‘_____ UVUV1

υ J V2

Должна обратиться в нуль между А и что противоречит нашим предпо­сылкам.]

8. (экз. 1931 г.) (х — a)m(x-b)n, где разные случаи, koto- п. начертить графикНайти наибольшее и наименьшее значения х3— 18×2-]-96x в интер­вале (0, 9).

9. Исследовать максимумы и минимумы функции Тип — положительные целые числа, и рассмотреть рые могут иметь место при четных и нечетных Т и функции.

10. Показать, что функция (x-)-5)2(x3 —10) имеет минимум при х=1, и исследовать другие экстремальные значения.

(Экз. 1936 г.)

11. Показать, что

(“ — " — *) (4 — 3λ^2)

Имеет один максимум и один минимум и что разность между ними равна

Каково наименьшее значение этой разности при различных значениях а?

(Экз. 1933 г.)

12. Показать, что не ИхМеет ии максимумов, ни ^минимумов,

Каковы бы ни были значения α, Bi с, D. Начертить график функции.

13. Исследовать максимумы и минимумы функции

ι ах2 + 2bx + с

V ~ Ax2 + 2Bx+C ’

Где знаменатель имеет комплексные корни.

[Мы можем предположить, что А и А положительны. Производная обра­

Щается в нуль, если

(ах4- B)(BxС) — (AxB)(BxC) = Q. (1)

Это уравнение должно иметь действительные корни. Действительно, в про­тивном случае производная имела бы всегда один и тот же знак, А

А это невозможно, так как у непрерывна для всех значении Х, и У~*~д При x-→-f-∞ и при X-→—∞. Нетрудно убедиться в том, что кривая пере­секает прямую у=-? в одной и только в одной точке и что она лежит над этой прямой для больших положительных значений Х и под ней для больших отрицательных значении, если > и наоборот, если

Таким образом, алгебраически бдлыпий корень уравнения (1) дает ЬВ

Максимум, если — > и минимум в противном случае.]

14. Максимальное и минимальное значения Ax2-↑-2Bxс ~λ(Ax2

+ 2β.v4- С) равны значениям λ, для которых это выражение является точным квадратом. [Это условие того, 4τoy = λ касается кривой.]

15. Если уравнение Ax2 JR2Bx -{- C — О имеет действительные корни, то удобнее всего рассуждать следующим образом. Мы имеем

А _ 2λx + [а

V~ A ~ A (Ax2 + 2βχ+ Cf ’

А

Где λ = ЬА — аВ, μ = СА — аС. Полагая, далее, ξ — 2λx + (х и η = (/Iv — А), Получим уравнение вида

η—(5—У) (Г— У

Минимуму у как функции от Х соответствует минимум η как функции oτξ, и наоборот. То же справедливо и для максимумов.

Производная от η по В обращается в нуль, если

(В— P)(ζQ)~ ξ(ξ- P)- ξ(ξ-?)=0,

Т. е. когда I2 = ρq. Таким образом, существуют два действительных корня производной, если Р и Q имеют одинаковые знаки, и не существует ни одного действительного корня, если они имеют обратные знаки. В последнем случае график η имеет вид, изображенный на фиг. 38а.

Общий вид графика в случае Р и Q положительных изображен на фнг.’386, и легко видеть, что ξ = ‘[∕ Pq дает максимум, a ξ= — ∣∕rp√— минимум.

Предыдущее исследование неприменимо в случае λ = O, т. е. ʌ = — g-. Но в этом случае мы имеем:

V_£_____________ И___________________ Р;_______

Y A A (Ax2— 2Bx — J — C) A2 (х — X1) (х — х.) ’

И ~ = 0 дает единственное значение x = — i — (xι + xs)∙ Пользуясь графи — ИХ £

Ком, мы видим, что это значение дает максимум или минимум, в зависимости от того, является ли ц положительным или отрицательным. График на фиг. 39 соответствует первому из этих случаев.

16. Показать, что

(X — Сх — Ё)
ʃ-T

Принимает все действительные значения, когда Х изменяется от — ∞ до-J-Ос Если γ лежит между А и β, а в противном случае принимает все значения кроме тех, которые лежат в некотором интервале длины

4 ? I a — T I i? — TI •

17. Показать, что

F __ x2 + 2.x + Г
ʃ-x2 + 4.v + 3c

Принимает все действительные значения, если 0<c<I, и начертить график функции в этом случае.

(Экз. 19Ю г.)

18. Функция

__ ах — f — Ъ

» ^ (.r-l)(.r-!)

Шмеет экстремальное значение — 1 при х = 2. Найти А и B и показать, что это экстремальное значение является максимумом. Начертить кривую.

\экз. 1930 г.)

19. Определить функцию вида

αx2 + 2⅛a’ С

Λχ2+^2βx + C ’

Которая имеет экстремальные значения 2 и 3, соответственно при Х=1 И X = 1, и принимает значение 2∙5 πpi[.v = 0.

(Эгсз. 1908 г.)

20. Максимум и минимум функции

4~ А) (х 4~ Ь)

(х — а) (х— Ь)

Где А и Ь положительны, равны

Λ<a+pT V {Vd-Yb V

[γa-Yb ]’ Ya+Yb J

21. Максимум функции

(^ — U2

(г +O3

2

Равен •

22. Исследовать на максимумы и минимумы функции

Х(х — 1) Xi (х— l)2(3×2— 2х— 37)

р(х)
q(χ)
(экз. 1898 г.)Х^+Зх + З’ (x^T)(x-З)3 ’ (Σψ5)2Y3x2 — 14х — 1) ’

[Если последнюю из этих функций обозначить через

PQPQ‘ = 12 (χ-7)(x-3)(x-l)(x-j-l)(x+2)(x + 5).]

23. Найти максимумы и минимумы функции α cos х-J-⅛ sin х. Проверить результат, представив эту функцию в виде A cos (х — а).

24. Показать, что

Sin (x-(-a) Sin (x-{-b)

Не имеет ии максимумов, ни минимумов. Начертить график этой функции.

25. Показать, что функция

(0< α∙<⅛<r)Sin2 Х

Sin (х-J — A) sin (х — J- Ь) Имеет бесконечно много минимумов, равных нулю, и максимумов, равных

, sin A sin B — 4

Sin2(α — Ь)

(Экз. 1909 г.)

26. Наименьшим значением функции Ai sec2 Х -)- B^ cosec2 Х является (AB}-.

27. Показать, что tg3xctg2x не может лежать между ɪ и — у.

28. Показать, что максимумы и минимумы функции sin ТхCosec х, где Т—Целое число, определяются из уравнения Tgmx = Mtgx, и вывести, что

Sin2 Тх ≤ т- Sin2 х.

(Экз. 1926 г.)

[^Заметим, что в точке максимума или минимума

Sin2OTX_ _ . cos2 отх__ < 1 -J — tg2 х ____ „ l-J-tg2x |

Sin2 х m cos2 х m l-ɪ- tg2 отх m I-J — от2 tg2x ’ J

29. ау+ь =
су л-л
где ad ≠ be.sin2 х -j- 2 cos х-j- 1,Найти максимумы и минимумы функции У, определенной соотноше­нием

(Зхз.1928 г.)

30. Показать, что если сумма длин гипотенузы н одного из катетов прямоугольного треугольника задана, то площадь треугольника будет наи­большей, когда угол между этими двумя сторонами равен 60°.

(Экз. 1909 г.)

31. Через фиксированную точку (а, Ь) проведена прямая, пересекающая оси OX и OY в точках P и Q. Показать, что наименьшие значения PQ1,

OP — J-OQ и OPOQ равны соответственно (AS JIBi‘")"’I, (У~а 4-^∣Λ⅛)2 и 4αft.

32. Касательная к эллипсу пересекает оси в точках P и Q. Показать, что наименьшее значение PQ равно сумме полуосей эллипса.

33. Переулок перпендикулярен к улице, которая имеет в ширину 18 футов. Какова ширина переулка, если шест длиной в 45 футов как раз можно про­нести при повороте с улицы в переулок, держа его все время горизон­тально?

(Экз. 1934 г.)

34. Две точки А и В лежат на прямой по разные стороны и на равных расстояниях от фиксированной точки О этой прямой, a P фиксированная точка, не лежащая на ией. Показать, что AP — J — BP возрастает с возраста­нием AB-

(Экз. 1934 г.)

35. Найти длины и направление осей конического сечения

Ах — J — TIhxy — J — By — = 1.

[Длина Г полудиаметра, образующего угол 8 с осью Х, определяется из соотношения

ɪ = A cos2 8 — J — 2ft cos 8 sin 8 — J — B sin2 8.

2ft

Условием максимума или минимума Г является tg 28 = —~-y — • Исключая 8 из этих двух уравнений, находим:

36. Наибольшим значением Ах — J — By, где Х и У положительны и x2 Ху -J — — J-y2 =3×2, является

2χ]∕α2-αft + ⅛2.

^Если Ах — J- By имеет максимальное значение, то β + 6dx=θ’

Из соотношения между Х и У находим, что (2x+y) + (x+2v)g=0,

Dy 1

И исключаем.

Dx J

37. Наибольшим значением Xmyn, где Х и У положительны и XY = K, Является

Mmnnkm+n ~pu)m+n "

38. Если 8 и φ — острые углы, связанные соотношением

A sec 8 — J — B sec æ =≈ С,

Где А, Ъ, с положительны, то A cos 8 — J — B cos φ имеет минимальное значение при 8 = φ.

126. Теорема О Среднем. Мы можем теперь перейти к доказа­тельству другой обшей теоремы большой важности, которая обычно именуется Теоремой о среднем значении, или просто Теоремой о среднем.

прежде чем приступить к строгому доказательству этой теоремы, которая является одной из наиболее важных теорем дифференциального исчисления, представляется целесообразным отметить ее очевидный геометрический смысл. он заключается просто в том, что если кривая apb (фиг. 40) имеет касательную во всех своих точках, то на такая точка р, в которой каса-ТЕОРЕМА. Если χ(X) непрерывна в замкнутом интервале (а, Ь) и дифференцируема в открытом интервале, то существует зна­чение ξ Между а и Ь, для которого CF(B)-Cf> (α) = (BA) φ’ (ξ).

Ней должна существовать тельная параллельна АВ. Действительно, φ’ (ξ) есть тангенс угла, _ . „ √r φ (Ь) — о (а)

Который касательная в точке P образует с Ол, а FyZ~A есть

Тангенс угла, который AB образует с ОХ.

Строгое доказательство теоремы несложно. Рассмотрим функ­

Цию,

® (£) — ? (х) • {φ(6)-φ(α)},

Которая обращается В Нуль при x = α и X = B. Из теоремы В п. 122 Следует, что существует такое значение £, при котором производ­ная этой функции обращается В Нуль. Но эта производная равна

Что и доказывает теорему. Отметим, что мы не предполагали φ,(X) Непрерывной.

Следующая запись теоремы о среднем часто представляется удобной:

φ(⅛) = φ(α)-j-(6—α)φ’ [a-j-0(⅛-А)},

Где θ означает некоторое число, лежащее между 0 и 1. Выраже­ние A(- θ (А— а) означает, конечно, ,некоторое число ξ, лежащее между А и Ь“. Если мы положим BAH, то получим:

φij-]-Λ) = φ(a)-f-½φ'(a÷θΛ).

Теорема о среднем чаще всего формулируется именно в этой: форме.

Примеры XLVII. 1. Показать, что

φ (⅛) — φ (X) — I φ (⅞) — φ (а) }

Есть разность между ординатами точки на хорде и соответствующей точки; на кривой.

2. Проверить теорему для φ(x)=x2 и φ(x) = x≈.

[В последнем случае мы должны доказать, что где α<ς<⅛, т. е. что если -ɜ- (Bs + Ab + a2) — В2, то В лежит между А и ⅛∙]

3. Определить значение В из теоремы о среднем, когда

/(x) = x(χ-l)(x-2), α = 0, ⅛=Jr.

(Экз. 1935 г.)’

4. Доказать следствие 1 п. 122 с помощью теоремы о среднем. Доказать также, что если φ'(x)c≥≈0 то, φ(x) является функцией, возрастающей в слабом смысле.

5. Доказать с помощью теоремы о среднем теорему, сформулированную в конце п. 125.

[Так как φ'(0)=e, то мы можем найти такие малые положительные а (х) — о (0)

Значения Х, что ‘ , ■ почти равно с; отсюда, по теореме о сред­

Нем, следует существование малых положительных значений ξ, для которых φ'(ξ) почти равно С, что противоречит — соотношению Iimφ’(х) = а, если А

A∙→-∣-α

Не равно С. Аналогично доказывается, что B = с.]

6. Применить теорему о среднем к доказательству теоремы (6) п. 114,. в предположении, что производные непрерывны.

[Мы имеем

∕7{∕(x+ Л)} — F {∕( H) =F {F{X) + Hf (В) }-F{∕(x)} = ⅛∕-(B)P(η),

Где ξ лежит между Х и x-)-∕ι, а Т, — между F (х) И /(x)-j-⅛∕'(ξ).)

7.

a0 i 0i i
п + 1 + л ɪ
⅛1+¾ = 0,

имеет по крайней мере (экз. 1929 г.)Доказать, что если то уравнение Aaxn — J — A1^^L -J — … -[- An^1X + An = 0 один корень между 0 и 1.

127. На теореме о среднем основывается также доказательство одной теоремы, играющей основную роль в теории интегрирования, а именно: Если φ'(x) = 0 Для всех значений х из некоторого интервала, то ф(х) Постоянна в этом интервале.

Действительно, если А и B два значения Х из этого интервала,, то

φ (Ь) —cρ(a) = (b — a)φ’ ∖a — f — θ (Ь — а)} = 0.

из теоремы сразу следует, что если φ'(x) = ψ'(x) в некотором интервале, то функции φ (х) и 4 (х) отличаются в этом интервале только на аддитивную постоянную.
123. теорема коши. существует обобщение теоремы о среднем, принадлежащее коши, которое имеет важные приложения (см., например, п. 154).
если (1) φ(x) и ψ(x) непрерывны в замкнутом интервале {а, ь) и дифференцируемы в открытом интервале, (2) ψ (й) ≠ 4 (а) и (3) φ' (х) и ψ' (х) никогда не обращаются в нуль при одном и том же значении х, то между а и b существует такое ξ, что
,? (й) — φ (а) __ sr(ξ)
4 (6) — 4 (а) 4' (?)"
эта теорема сводится к теореме о среднем, когда ψ (х) = х, причем в этом случае дополнительные условия выполняются авто,матически.
доказательство является прямым обобщением доказательства из л. 126. функция
,φ(⅛)-φ(x)-,φ (6) — φ (а),{ψ(⅛)-ψ(x)},4 (6) — 4 (а)
обращается в нуль при x=α и при х = й; следовательно, ее производная обращается в нуль при некотором между а и ь, т. е.
? w-?_(£) , , ztx 4(6) —4(a) γ w
,значении £, лежащем,φ' (ξ):

Для такого ξ. Если бы ψ’ (ξ) равнялась нулю, то и φ'(ξ) было бы равно нулю, что противоречит нашим предпосылкам. Следовательно, 4′(ξ)≠0, и теорема полностью доказана, если разделить последнее равенство на ψ’ (ξ).

Условие того, что φ’ и 4′ никогда не обращаются в нуль при одном и том же значении х, существенно. Допустим, например, что

А — —1, й = 1, φ = x,, ψ = x3.

Тогда φ(B)— φ(a) = 0, 4(й)—∙ψ(a)=2, и результат может иметь место только в том случае, когда φ’ (ξ) = 0, т. е. когда £ = 0; но 4′(E) при этом значении $ тоже обращается в нуль, и формула теряет смысл.

129. Теорема Дарбу. В п. 101 мы доказали, что если с (х) непрерывна в (а, Ь), то она принимает в этом интервале все значения между φ(a) и φ (6). Существуют другие классы функций, которые обладают этим свой­ством, в частности, класс производных. Если φ’ (х) является производной некоторой функции φ(x), то (независимо от того, непрерывна она или нет) о‘ (х) обладает этим свойством.

Если φ (х) Дифференцируема для A ≤x ≤6, φ,(a) = a, φ,(6) = β Uf лежит между а и β, То существует такое ξ Между а и Ь, что φ'(ξ) = T∙

Предположим, например, что А < γ < β, и пусть ψ (х) = ® (х) — γ (х — А).

Тогда ф(х) непрерывна и, следовательно, достигает своей точной нижней грани в (а, 6) в некоторой точке ξ из (а, 6). Эта точка ξ не может совпадать ни с а, ни с Ь, так как

⅛'(a) = α-γ<0, ψ'(⅛) = β — γ>0.

Следовательно, 6 (х) имеет минимум[51]) в некоторой точке $ между А и Ь, Так что ψ,(ς) = O, т, е. φ'(S) = T-

130. Интегрирование. Мы видели, как во многих случаях можно найти производную данной функции φ (х). Естественно поставить теперь обратный вопрос о Нахождении функции, производная которой задана.

Пусть функция ψ (х) задана. Тогда мы хотим найти такую функ­цию φ (х), что φ’ (х) = ψ (х). Нетрудно видеть, что этот вопрос в действительности распадается на три части.

(1) В первую очередь мы хотим знать, Существует ли вообще такая функция φ (х). Этот вопрос не следует ни в коем случае сме­шивать с вопросом о нахождении какой-либо простой формулы для этой функции (если она существует).

(2) Мы хотим также знать, не может ли существовать более одной такой функции, т. е. является ли решение нашей задачи Един­ственным или нет; а если оно не единственно, то не существует ли простого соотношения между различными решениями, которое поз­воляет выразить все решения через одно из них.

(3) Наконец, если решение существует, то мы хотим знать Как его фактически найти.

Постановка этих трех вопросов станет ясней, если мы сравним их с тремя соответствующими вопросами, возникающими при диф­ференцировании функций.

(1) Функция φ (х) может иметь производную для всех значений х (как, например, функция Хт, где Т — положительное целое число, или sin х). Она может иметь производную для всех значений х, кроме некоторых специальных значений (как, например, функции Igx Или sec х). Или же она может не иметь производной ни для одного значения х (как, например, функция из примера XXXVII. 20, которая даже не непрерывна ни при одном значении х).

Эта последняя функция разрывна при каждом значении х, a tg х и sec х имеют производные во всех точках, в которых они непре­рывны. Пример YzХ показывает, что непрерывная функция может не иметь производной при частных значениях х, в данном случае при х = 0. Вопрос о том, существуют ли непрерывные функции, кото­рые ни при одном значении х не имеют производной, или непре­рывные кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной, слишком сложен для разбора в рамках настоящей книги. Интуиция подсказывает нам отрицательный ответ на него; но, как мы уже отметили в п. 112, высший анализ показывает, что в данном случае интуиция вводит нас в заблуждение.

Во всяком случае ясно, что ответ на вопрос, имеет ли φ(x) производную φ'(x)?" зависит от разных обстоятельств. Мы вправе ожидать, что обратный вопрос, существует ли функция φ (х), про­изводная которой равна данной функции ψ(x)?" допускает также разные ответы. Мы уже видели, что в некоторых случаях ответ должен быть Отрицательным’, так, если ψ (х) есть функция, рав­ная А, B или с, в зависимости от того, отрицательно ли х, равно ли оно 0 или положительно, то функции φ (х) Не существует, за исключением того случая, когда А == B = с (см. пример XLVII. 5).

В этом случае данная функция разрывна. В дальнейшем мы будем, однако, как правило, предполагать, что ψ (х) непрерывна. Тогда ответ будет Утвердительный: если ψ (х) Непрерывна, то всегда существует такая функция φ(x), Что φ'(x) = ψ(x). Доказатель­ство этого утверждения будет дано в гл. VII.

(2) Второй вопрос не представляет никаких трудностей. В слу­чае дифференцирования мы имеем определение производной, из ко­торого с самого начала ясно, что не может существовать более одной производной. В обратной задаче ответ одинаково прост. Если φ (х) является решением задачи, то φ (х) — j — C будет также решением при любом значении постоянной С, причем в формуле φ (х) -(- C содержатся все возможные решения. Это сразу следует из п. 127.

(3) Задача фактического нахождения φ’ (х) весьма проста, если φ(x) — любая функция, определенная некоторой конечной комбина­цией обычных функциональных символов. Обратная задача гораздо сложнее. Природа возникающих в ней трудностей станет нам более ясной позже.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Если ψ (х) Является производной от φ (х), То φ (х) Называется интегралом от ψ(x)[52]L Операция нахождения φ(φ) по заданной ψ (х) Называется интегрированием.

Применяется следующее обозначение:

φ (χ) = ʃ ψ (χ) Dx.

Вряд ли нужно особо подчеркивать, что символ 1 Dx, так Же D

Как и^-, должен рассматриваться пока только как символ некото­рой операции; символы ʃ И Dx сами по себе ничего не означают (как ничего не означают и взятые по отдельности символы D и Dx)∙

131. Задача практического интегрирования. Результаты первой части настоящей главы позволяют нам сразу же записать интегралы от некоторых простейших функций. Так,

Эти формулы следует понимать так, что функция, стоящая в пра­вой части, является лишь Одним из интегралов функции, стоящей под знаком интеграла. Наиболее общий интеграл получается, конечно, прибавлением к функции в правой части постоянной С, так назы­ваемой Произвольной постоянной интегрирования.

дроби.,существование такой функции f {x}, что dxf(x) = ~, будет

В случае Т ——1 первая из формул (1) теряет смысл, что и следовало ожидать, так как мы уже видели (см. пример XLII. 4), что не может быть производной многочлена или рациональной доказано в следующей главе. Эта функция заведомо не является ни многочленом, ни дробно-рациональной функцией; можно даже дока­зать, что она не является алгебраической функцией. Более того, доказывается, что F (х)— существенно новая функция, не выражаю­щаяся никакой конечной комбинацией рассмотренных выше элемен­тарных функций. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящей книги, но в гл. IX мы вернемся еще к этому вопросу и подвергнем свойства функции F(X) систематическому рассмотрению.

г dx 1
j τlnx>
Предположим сначала, что Х положительно. Тогда мы будем писать

(2)

И назовем функцию в правой части этого равенства Логарифмиче­ской функцией. Пока она определена только для положительных значений Х.

Предположим, далее, что Х отрицательно. Тогда —Х положи­тельно и, следовательно, In (—Х) определено. Но

Так что, когда Х отрицательно,

(3)∫⅞="∙<→

Формулы (2) и (3) могут быть объединены в следующую формулу:

(4)
16«

Где знак следует выбирать так, чтобы -+-х было положительно. Эти формулы имеют место для всех действительных значений Х, отлич­ных от 0.

Основные свойства Inx, которые будут доказаны в гл. IX, выражаются соотношениями

Lnl = 0, In ɪ = — lnx, Inxy = In x + Iny,

Из которых второе является очевидным следствием первого и третьего. Для целей настоящей главы эти свойства по существу не нужны, но иногда они окажутся нам полезными, так как с их помощью мы сможем записать некоторые формулы в более компактном виде.

Из последнего приведенного свойства логарифмической функции сле­дует, что Inx4 равен 2 Inx, если х > 0, и 2 In (—х), если х < 0, т. е. в обоих случаях равен 21n∣x∣. Таким образом, (4) эквивалентно

∫⅞m,"λ <5>

Формулы (1) — (5) принадлежат к числу основных формул ин­тегрального исчисления. К ним можно добавить еще следующие две:

ʃ RI = Arc tgх, ∫p≈= = ±arc sin Х (6)

132. Многочлены. Все общие теоремы п. 114 могут быть сфор­мулированы как теоремы интегрального исчисления. Так, например, мы имеем следующие формулы:

ʃ {∕W÷∕7W} Dx = ʃF (X) Dx + ʃF(х)Dx, (1)

Dx = K^F(X)Dx. (2)

Здесь, конечно, предполагается, что произвольные постоянные соот­ветствующим образом подобраны. Так, формула (1) утверждает, что сумма Любого интеграла от /(х) и Любого интеграла от F[X) яв­ляется Некоторым интегралом от /(х) F(X).

Эти теоремы позволяют нам сразу написать интеграл от любой функции вида "∑LA1,Ft (х), т. е. линейной комбинации с постоянными коэффициентами конечного числа функций, интегралы от которых известны. В частности, мы можем сразу написать интеграл от много­члена, а именно,

(αθxn + Alxtl~[53] + an) dx = + ɪ +4- Atpc.

133. Дробно-рациональные функции. Теперь естественно пе­рейти к интегрированию дробно-рациональных функций. Предполо-

производные и интегралы
245

Жим, что R (х) — некоторая дробно-рациональная функция, пред­ставленная в виде, рассмотренном в п. 118, т. е. в виде суммы много­члена П (х) и некоторого числа слагаемых вида gyj⅛.

Мы можем сразу написать интегралы от многочлена и от всех остальных слагаемых, кроме тех, для которых P=↑,. В самом деле,

Г Л ʃ, . А 1

J (XA)PclχP(χAγι>

Независимо от того, будет ли а действительным или комплексным (см. п. 118).

Члены, для которых Р — 1, представляют значительно бдльшие затруднения. Из теоремы (6) п. 114 сразу следует, что

§ F‘{FW}F‘{X)Dx = F{F(X)}. (3)

В частности, если мы возьмем /(x) = ax-{-⅛, где А и Ь действи­тельны, и будем писать φ(x) вместо F (х) и ф (х) вместо F (х), так что φ (х) — интеграл от ф (х), то мы получим

ʃ Ф (αx-j-Z>)rfx = yφ(αx + ⅛). (4)

Так, например,

∫,⅛ = lt÷x + *1>

И, в частности, если а — действительное число,

∫⅛a=lπ ∣χ-a∣∙

Таким образом, мы знаем интегралы от всех слагаемых в R (х), для которых р = 1и! действительно. Остаются еще члены, для кото­рых Р — 1 и а комплексно.

Для того чтобы найти интегралы от таких членов, мы введем дополнительное предположение, а именно, то, что все коэффициенты в R (х) действительны. Если тогда ot = γ —δz является корнем крат­ности Т уравнения Q(x) = 0, то и комплексно сопряженное число α = γ — δz будет корнем того же уравнения той же кратности. И если

простейшая дробь tχ _ -у, встречается выражении для r (х), то
и дробь — также встретится в нем, где л
(х — а)р
,комплексно,сопря,жено с ap. это следует из характера алгебраических операций, ɑ помощью которых находятся простейшие дроби и которые подробно разбираются в учебниках алгебры.

Таким образом, если слагаемое встречается в разложе­

Нии R (х) на простейшие дроби, то вместе с ним встретится и сла­гаемое — ψδ∕ • СУмма этих двух слагаемых равна

2 { λ γ) — (л5 }

(x-γ)s + δ3 •

Эта дробь принадлежит к следующему общему виду:

Ax+ В

AxsF2Bx -)- с ’

Где Читатель легко убедится в эквивалентности этих двух

Видов; λ, μ, γ, δ выражаются через А, В, а, Ь, с следующим образом:

λLa‘?— 2AYI‘1~ αδ~ А ’

Где ∆ = αc — Z>s и D = AB—ЬА.

Если в (3) мы предположим, что F{F{X)} есть lnj∕(x)∣, то найдем, что

∫7⅛Hx = in∣≠(χ)∣- (5)

А если предположим, что/(х) = (х—- λ)^2 —р.2, то найдем, что ʃ ζ⅛yj¾⅛ dx = 1° { (χ — λ)’ + P∙4} •

А, в силу уравнений (6) п. 131 и (4) этого пункта,

Г —Jfj — ~DX — —28 arc tg -—- .

J (X —λ)a + lxs s> jj.

Эти две формулы позволяют нам интегрировать сумму тех дробей в разложений R (х), которые мы рассматривали. А следовательно, мы теперь в состоянии написать интеграл от любой действительной дробно-рациональной функции, знаменатель которой может быть разложен на линейные множители. Интеграл от такой функции со­стоит из Суммы многочлена, некоторого числа дробно-рациональ­ных функций вида

А 1

Р — 1 (х— Aγ>~1 ’

И некоторого числа логарифмических функций и арктангенсов.

Остается еще добавить, что если а комплексно, то указанная дробно-рациональная функция, входящая в состав интеграла, встре­чается в нем вместе с аналогичной функцией, в которой А и а за­менены комплексно сопряженными числами, и что сумма двух таких функций является действительной дробно-рациональной функцией

примеры xlvlh. 1. доказать, что,лх~)-д а . , „
—5^τ~sτ—i ах = н— in i лi
ах2 -|- 2bx с 2а
,2а [/—Δ,in,где x—ax2 + 2bx с, если Δ < 0, и лх + в,αx2 + 2bx + с,dx = ʌ in i xi + -ɪ= arc tg,2а,'.y ∆,ах -jr b -\~у — Δ
ах-ir b
если Δ>0, причем Δ≈ ас — b2 и d= ав — ьа.
2. в. том частном случае, когда αc = ⅛2, интеграл равен
d i а , i , , ,
 i-ɪ- h in ах + ь .
α(αx + ⅞) а 1

3. Показать, что если корни уравнения Q (х) = 0 все действительны и различны и P (х) — многочлен степени низшей чем Q(X), то

∫tf(x)rfx = J^ln∣χ-a∣,

Где суммирование производится по всем корням А уравнения Q(x) = 0.

[Вид простейшей дроби, соответствующей А, может быть получен нз

Следующих соотношений:

q(χ)
x — а
. pm 1 q' (а)’1
(x —a)fl(χ)

4. Если все корни Q(X) действительны, А — двойной корень, а все остальные корни — простые иР(х) — многочлен степени низшей, чем Q (х), то интеграл равен

+ Л’ In I х — a I + ɪ B In I х — β I, где

И_ 2p(a) λ, ,2{3P'(a)Q"(a)-P(a)Q»-(a)} P(β)

<?»(*)’ Л — 3{Q"(a)}2 Q‘®)’

И суммирование производится по всем корням β уравнения Q(x) = 0, отлич­ным от А.

5. Вычислить

Г Dx

J (х—l)2(x2 + l)2 •

[Разложение на простейшие дроби имеет вид ɪ 1 I , 2—/ I 2 + г

4 (х — I)2 2(х — 1) 8(х — г)2 ^^i^ 8(х— I) "t^ 8(х + г)2 ^r 8(x + Z) ’

И интеграл равен

— 4(⅛ij — — 4(⅛) "I Ь| *-1∣ + ⅛lfl(*2+l) + iarct^∙1

6. Проинтегрировать

X X XX

<х — А) (х — Ь) (х — с) ’ (х — α)≈ (х — B) ‘ (х — а)2 (х — B)I , (х — а)8 ’

Х‘ — а*

(x2 — J — A2) (х2 + й2) ’ (х2 + α2) (х2 — J — й2) ’ x2 (x2 + α2) ’ х (х2 + а2)2" 7. Проинтегрировать

X X X3

(X-I)(X2-J-I)’ 1+х3’ (х-

-l)2(x3+l)∙

(Экз. 1924, 1926, 1934 гг.)

+ х<

X2dx

,∣,,L+JYj + χ.

1 1— XjAl-J-X2

О х *V 2 ■ 2 arc tg ɪ- —

I-J-X2-J-X[54] 4|Лз

Lnl+x}< 2 + X2 1— Х У 2-J-X2

-tal+χ + χ2

1 XJX2

8. доказать формулы
}',x1
+ 2arctg^l}
,io х -×v'3 )
+2arc⅛τ⅛}
dx
4yr 2
7?{
+ x1
dx

134. Замечание о технике интегрирования дробно-рациональных функций. Рассмотрения п. 133 дают нам общий метод, с помощью которого мы можем найти интеграл от любой действительной дробно-рациональной ■■ функции R (х), Если мы можем решить уравнение Q(X)-Q. В простых случаях (как В Предыдущем примере 5) применение этого метода весьма быстро приводит к результату. В более сложных случаях вычислительна» работа, связанная с применением этого метода, может оказаться настолько большой, что практически результат таким путем не может быть получен.. Тогда следует применять другие приемы. В задачу настоящей книги не входит подробное рассмотрение техники интегрирования, и поэтому читатель,, интересующийся этим вопросом, должен обратиться к другим руководствам, например, к курсу Э. Гурса (Курс математического анализа, т. I, гл. V, ГТТИ, М. —Л., 1933).

Если уравнение Q (х) = О не может быть эффективно решено, то метод разложения на простейшие дроби вовсе неприменим, и следует обратиться к другим методам1).

135. Алгебраические функции. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании Алгебраических функций. Мы должны рассмотреть задачу интегрирования У, где У является алгебраической функцией от Х. Однако удобнее рассматривать интеграл

ʃ R (х, У) Dx,

Где R (х, у) — любая дробно-рациональная функция от Х и У. Этот интеграл в действительности не является более общим, так как R(X, у) Сама является алгебраической функцией от Х. Эта форма интеграла оказывается более удобной; например, функцию

Рх — J — Q — J — lʌax2J— 2йх J— с ρx -J — Q ]∕"αx2 -J — 2йх 4- С

Удобнее рассматривать как дробно-рациональную функцию от Х и от простой алгебраической функции У = Yf Ax[55] -J — 2йх — j — С, Чем непо­средственно как алгебраическую функцию от Х.

136. Интегрирование подстановкой и рационализацией. Из

Уравнения (3) п. 133 следует, что если

ʃ ψ (х) ʤ = φ (х), то

∫÷{∕W}∕’WΛ=φW)}∙ (1>

Это уравнение дает нам метод нахождения интеграла от ψ (х) в боль­шинстве тех случаев, когда значение интеграла не может быть сразу найдено. Оно может быть сформулировано в виде следующего правила: Положим X=F(F), где F(T) — любая функция, выбор которой представляется целесообразным; умножим на F‘ (/) и опре­делим (если это возможно) интеграл от ⅛{∕(0}∕ (0> Затем выразим результат через х. Часто оказывается, что функция от T,. К которой мы приходим в результате применения этого правила, принадлежит к числу тех, интегралы от которых могут быть легко вычислены. Это, например, всегда имеет место в тех случаях, когда она является дробно-рациональной функцией; с другой стороны, часто оказывается возможным выбрать зависимость между хи/ так, что мы как раз приходим к такой функции. Если, например, нужно найти интеграл от 7?(у/х), где R дробно-рациональная функция, то с помощью подстановки x = Z2 мы приходим к интегралу от 2/7?(/), т. е. к интегралу от дробно-рациональной функции от /. Этот метод интегрирования’ назовем Интегрированием рационализацией.

Его применение к рассматриваемой задаче очевидно. Если мы можем найти такую переменную /, что х и у оба являются дробно-рациональными функциями от T, скажем X = R1 (J), у = = Ri(T), то

ʃ R (х, у) Dx = ʃ R { R1 (∕), Ri (∕)} R1‘ (∕) Dt,

А этот последний интеграл является интегралом от дробно-ра­циональной функции от T и может быть вычислен методами, изло­женными в п. 133.

Важно знать, в каких случаях мы можем найти вспомогательную переменную /, которая удовлетворяла бы этим условиям, но мы не можем рассматривать здесь этот общий вопрос ɪ). Мы должны огра­ничиться несколькими простыми частными случаями.

137. Интегралы, связанные с коническими сечениями. Пред­положим, что Х и У связаны уравнением вида

Ax2 -j — Vixy — j — By2 — j~ CIgx — J — CIfy — j — С = О,

Другими словами, что график У, рассматриваемого как функция от Х, Является коническим сечением. Пусть (ξ, η)— любая точка на этом коническом сечении и Х — ξ = Λr, _у— η = У. Если выразить соотно­шение между Х и у в переменных X и У, то оно примет следующий вид: AX2 4- CIhXY 4- B Y2 + 2 GX ф — C2FY = О,

Где F = 4- Bt —j—ʃ, G = αξ ф — Hrl 4- G. Положим в этом уравнении Y = TX. Тогда мы найдем, что X и Y, а следовательно, и Х и У, Являются дробно-рациональными функциями от T. Действительно, мы находим, что

T__ 2 (G-↑-Ft) _ _ _ 2T (G + Ft)

Х ζ AA-2HtABFY η αφ-2W + W2 ‘

Таким образом, процесс рационализации, описанный в предыдущем пункте, может быть проведен.

Читателю предлагается проверить, что

Hx 4- By 4-/= — i + Vit +Bt2) ⅛,

Так что

dtDx

A A^2Ht А — ЬГ

Если H2"A>Ab, то вычисления удобнее всего продолжать следую­щим образом. Коническое сечение является гиперболой с асимпто­тами, параллельными прямым

Ax2 4- C2Hxy 4- By2 = О,

Или

B (у — р. х) (у — tʌ) — 0.

Если мы положим У — ^.X = T, то найдем: и ясно, что Х и У могут быть получены отсюда как дробно-рацио­нальные функции от T. Проиллюстрируем этот процесс на одном важном частном случае.

2gx + 2/у + с
ы
у — y,'x =—

Dx

—— — Допустим, в частности, что у2 =

Yrax1 + 2Bx + C

= Axz + 2Bx~)-C, где ^>0. Полагая У ф-х }A A = T, найдем:

2Dx _ (Г +с) LA + 2Bt Z(Tt + C) ↑Fa+2Bt

Dt (t↑Aa+b)i ’ У TVaA-b

И, следовательно,

JDx___ ɛ Dt

У ~ J T Уа+Ь

In

ХУ а -)-у

(1)

Если, в частности, я = 1, B = 0, С — аУ или A = L, B = 0, с — — α8, получим:

То мы

Dx

J∕xs + α8
Dx

У Xi α8

In I X + УXs + a8 In 1 Х + У X2 — а8

(2)

■Справедливость этих уравнений может быть непосредственно проверена дифференцированием. К этим двум формулам следует присоединить еще третью:

Dx

У a82∑^78

Arc sin — 4

A ,

(3)

Которая соответствует случаю α<0. В формуле (3) предполагается, что

А > 0; если α<0, то интеграл равен arc sin-ɪ- (см. п. 120). На практике

Рассматриваемый интеграл следует вычислять сведением его (как это сделано в следующем пункте) к одному из этих стандартных видов.

Формула (3) представляется совершенно отличной от формул (2), но в гл. X читатель узнает о связи, существующей между ними.

139. Интеграл | ————— ɪ-………… — ■. Dx. Этот интеграл может быть

J "J∕ Axi -)- 2Bx — J — С

Во всех случаях вычислен при помощи результатов предыдущего пункта. Наиболее удобным методом вычисления является следую­щий. Так как

λ∙* + R = — (αx + р—

И

Ах — J- Ь

У Axi -)- 2Bx с

Мы имеем:

(λx + р) Dx У ах* -2Bx + с

Dx = у ах^у 2bx-{-c,

= ɪ αx2 — j — T2,Bx — j — С — j-

+KU

Dx

У ах* — J- 2⅛x — J — С’

В этом последнем интеграле А может быть положительным или отрица. тельным. Если А положительно, то положим

Тогда мы получим:

1 P Dt

∣∕α J У+ V

Ас — Bt τ,

Где κ =————- . Если

А

А отрицательно, то заменим — А на Л и по-

Ложи м

Х ]/Л-

___ B—=t-

Va

Тогда мы

Получим:

1 . Г

Dt

У — A J

Таким

Образом мы

Видим, что вычисление этого интеграла сво-

Дится к вычислению интеграла, рассмотренного в п. 138, и что этот интеграл сводится к одному из следующих трех:

Dt ɛ Di о Dt

PrZs + α2 ’ J Y^T1A1 J L/’ɑɑ/2 ‘

140. Интеграл ʃ (λx+p) ]∕^βx2 + 2Bx — J — С Dx. Подобным образом нахо — ДИМ, что

ʃ (Kx + р) VAx1 -)- 2BxJС Dx =

= ɪ (ах* + 2Bx -)- с)’/а + ʃ V 2 + 2Bx + с Dx,

А этот последний интеграл сводится к одному из следующих трех:

2 + α2<f∕, JjΛτ2-A1 dt, J]Λ8~ T1dt.

Для вычисления этих интегралов здесь уместно ввести еще одну общую теорему интегрального исчисления.

141. Интегрирование по частям. Теорема об Интегрировании по частям является лишь другой формулировкой правила дифферен­цирования произведения, доказанного в п. 114. Из теоремы (3) п. 114 сразу следует, что

ʃ F‘ (х) F (х) Dx = F(X) F (х) — ʃ F(X) F (х) Dx.

Может случиться, что функция, интеграл от которой ищется, пред­ставима в виде ∕ (X)F(X) и что F(X)F‘(X) может быть проинтегри­рована. Предположим, например, что φ (х) = x ψ (х), где ψ (х) является второй производной от известной функции χ (х). Тогда

ʃ φ (х) Dx = ʃ Xχ» (х) Dx = Хк’ (х) ■— ʃ 7.’ (х) Dx == Xl (х) — Z(х).

Мы можем проиллюстрировать применение этого метода интегрирования на примере интеграла, рассмотренного в предыдущем пункте. Положим

/(x) = βχ+⅛, F(X) = Yax1 -f-2⅛x -(- С =у.

тогдаA ʃ У Dx = (ах JB)Y ʃ Dx — (ах + Ь) у — A ʃ У DxJ

(ax-{-b)y асB3 f‘ dx

так что

+ (ac-b3)J^,

у dx-2а ‘ 2а

Но мы уже видели, как вычисляется этот последний интеграл (см. п. 138). Примеры XLIX. 1. Доказать, что если α>0, то

YX)∕χ2 + ++^α2ltl I Х + У X3 + α2 },

ʃ У X3 α2 rfx = ɪ X ]∕^ X2 —∙ a2——- a2 In ] х -)- ]∕^x2 ■— a2 ∣ j

ʃ У A3 — X2rdx = ɪ х У А3 —X3 4- ɪ A3 arc sin ɪ .

2. Вычислить интегралы ∫7⅛’ У а3 — X3 Dx с помощью под­становки x = asinθ и показать, что результаты совпадают с полученными в п. 138 и в примере 1.

3. Доказать с помощью подстановок AxB = ^N х = ιt , что (в oðɑ* значениях пп. 133 и 141)

ʃ

Dx

Йх + B

У“

‘~W~’f

Dx

t
ьх + с
’ xdx1° методами предыдущих параграфов, 2° подстановкой B —х

T3,

И 3° подстановкой х = a cossθ + B sin2θ, и показать, что результаты совпа­дают.

.,Я

5. Проинтегрировать

, … с помощью подстановок (xs + I)3

(a) x = tgθ, ) и = x2-j-l,

и проверить совпадение результатов. 6. проинтегрировать(Экз. 1934 г.)

x2+lХ 1

X(l+xε)’ (a+χ)∣∕++x, χ j∕u-2ψι ’ 1Zχ2 + χ+Γ ’ х« Уχ2+"a2 ’ (Экз. 1923, 1925, 1927, 1929 гг.) .

7. Показать с помощью подстановки

2χ+a + b≈±.(a-b){t3 + ±

Или умножением числителя И Знаменателя на ]∕x-J-α— ]∕^x-J-⅛, что если A>B, то

зг8
jΛχ-j- a -j- ∣aχ-j- b 2

8. Найти подстановку, которая приводит

Dx

4- ɑfʌ — J — (х — Aj,’i

К интегралу от дробно-рациональной функции.

(Экз. 1899 г.)

9. Показать, что ʃ 7? { Х, YraxB } Dx приводится подстановкой

AχI)-Tn к интегралу от дробно-рациональной функции.

10. Доказать, что

/" (х) F (х) Dx = Г (х) F (х) — / (х) F (х) -J — ʃ F (х) F" (х) Dx,

И вообще

ʃ ∕w(x)∕7(x)dx =

=∕<n~1>(x)F(x)-∕<π-^(x)F'(x)+ … +(—1)я ∫∕(x) r<n∖x)dx.

И. Интеграл ʃ (1 — J-x)Pχ? Dx, где Р и Q— рациональные числа, может

Быть вычислен в следующих трех случаях: (1) когда Р—Целое число, (2) когда Q целое число и (3) когда ρQ— целое число. [В случае (1) положим X = Us, где S знаменатель Q в случае (2) положим l-J-x = ∕∙s, где s — знаменатель р; в случае (3) положим 1-J-x = Xts, где s—.знамена­тель р.]

12. Интеграл ʃ Xm (Axn -J — B)L Dx может быть сведен к предыдущему под­становкой αxπ = W[56]). [Практически конкретные интегралы этого типа удоб­нее всего вычислять с помощью так называемых, рекуррентных формул* (см. стр. 277, пример 55).]

13. Интеграл ʃ 7? { х, ]∕^αx — J- B, У Ex — J — D } может быть приведен к интегралу от дробно-рациональной функции подстановкой

1
t+t)
2
4х = —

14. Привести ʃ R(X,Y)Dx, где у* (х—у) = х, к интегралу от дробно­рациональной функции. [Положив Y-=tx, мы получим X= ɪɪ—,

г(1⅛]∙

15. То же для функции, определенной уравнением

(a) у(х—y)2 = x;

(b) (x2+y2)2 = α2(x2-у3).

J⅛ случае (а) положим х — У = T; в случае (Ь) положим X2-J-у2 = T (х—У) и найдем:

_ аЧ (ti — J — β2) _ Ait{ti Att)

16. если у (х—y)2=∙χ, то ɛTi^-ai J, tiAa>

_ z¾=⅛’"<<*-Λ≈-1∣∙

_ 1 x2 -j- у2
у (x2 +y2 +c2) с2 π х — у '

17. Если (Xi — J-у2)2 = 2c2 (х2— у2), то Dx

142. Интеграл ʃ 7? (.v, Y)Dx, где YiAxi-2Bx∙}-C. Наиболее общий

Интеграл, связанный в смысле п. 137 с коническим сечением y2=αx2-f — — J — 26x — J — с, имеет вид

ʃR(X,YY Dx, (1)

Где Λ-=y2 = αχ2 — J — 2Bx — J — С. Мы предполагаем, что R— вещественная Функция.

P

Подинтегральная функция имеет вид „ , где P и Q — многочлены ч/

Относительно х и ~. Поэтому она может быть приведена к виду

Л+ВУХ (A + BYX){CDYX) J7 , K,1<V C + DY~χσ~D*X + V >

Где А, В, … —дробно-рациональные функции от х. Новой является задача интегрирования функции вида F Yx или, что то же самое, гДе ɑ —

Дробио-рациональная функция от х. Интеграл всегда может быть вычислен разложением G на простейшие дроби. При этом мы получим три различных типа интегралов.

jw
dx (2>

1°. Прежде всего могут получиться интегралы вида

(3)Т Dx,

axm -j- βxm~1 -j- γxm~2
γx
Где Т — положительное целое число. Случаи от = 0 и Т = 1 уже рассматри­вались в п. 139. Для вычисления интегралов, соответствующих большим значениям Т, заметим, что

(xm~1 YX)=(ML)Xm~I YX — J- (ЯХ^t*>χm^^* — τjifi A, β, γ — постоянные, значения которых могут быть легко найдены. Ясно, что после интегрирования этого уравнения мы получим соотношение между интегралами типа (3), соответствующими следующим друг за другом значениям Т. Так как нам известны такие интегралы в случаях Т = 0 и щ = 1, то мы сможем последовательно вычислить эти интегралы и для дру­гих значений Т.

2°. Далее могут получиться интегралы вида Dx

(XP)MVx ’ (4)

Где Р—Действительное число. Если мы сделаем подстановку Х — ρ = — if то

Этот интеграл приведется к интегралу по I типа (3).

3°. Наконец, могут получиться интегралы, соответствующие комплексным

Корням знаменателя G. Ограничимся простейшим случаем, когда все такие корни — простые. В этом случае (см. п. 133) паре комплексно сопряженных корней знаменателя G соответствует интеграл типа

Lx — I — M

(ð)I.. — — …—————— . — … — Д χ∙

(Ax* + 2Bx+C)Vaχs + 2bx+с "

Для вычисления этого интеграла положим

.. _ + v г + 1 ’

Где р и ч выбраны таким образом, чтобы выполнялись условия ярч +й(р + ч) + с = О, Лрч + Д (р + ч) + C = O,

Так что р и ч являются корнями уравнения

(аВ — ЬА) ξ2 — (сА — аС) ξ + (ЬС — сВ) = 0.

Это уравнение имеет действительные корни, так как оно совпадает с урав­нением (1) примера XLVI. 13. Поэтому искомые р и ч имеют действительные значения.

Делая подстановку, мы найдем, что интеграл (5) принимает вид

H Г Tdt + jz f Dt «■

J (a, ti + β) ∣∕^γZ2 + δ J (α∕s + ^i) ]∕^γ^2+δ’ ‘

Второй из этих интегралов рационализируется подстановкой T

■—R— — — = и,

Что дает

ʃ

Dt _ Г Du

(aZ≈>+β) lΛ≠^+δ — J Fi +(∞-?7) «2′

Наконец, если в первом из интегралов (б) мы положим Z = — i-j то он пре­образуется в интеграл второго типа и, следовательно, может быть вычислен только что указанным образом, а именно, подстановкой

]Λγ + δas

т. е.1

ιΛ^s, Tδ

Примеры L. 1. Вычислить

JDx _____________ о

Xl∕x2 + 2x+3 ’ J 2. Доказать, что

Г ^ι∕rχ—ч

J (х — Р) ^]∕R(XP)(X~Q) Ч~Р У Х—р*

3. Если Agi ACh? —— v<0, то

— 1) ∣Λxs + 1 ’ J (х + 1) Y^L +2x-^xs’*

Dx 2

1 ɪ αxx0 -4- Ь (х 4- х0) + С

— arc te——- ——-—!t—,

Г<> * Yz9

dx dx
τ∙∫,
dx,4. показать, что,(лх -у g) ~у axs с
dx
,(х — x0) у
представлен в одном из следующих двух видов:
,-ɪaretg ⅛±5.
у v ch — agx
где уг = axi -)-2Λx + с, может быть
 l ιn i axx<> + л u + xp) + c + дуо i
до i x-x0 i

В зависимости от того, будет ли Ax% -)- 2Bxa — J — С положительно (в этом слу­чае мы обозначаем это выражение через У$) или отрицательно (в этом слу­чае это выражение обозначается через — Zsa).

5. Показать с помощью подстановки

, ]∕^axt -)- 2Лх + с

Что

Dx

(Xρ)^AxaR2BxC J ^∣∕rλy4—р-’

Где λ = Aρi -{-.2 с, у. = ас — Ь\ [Этот метод вычисления весьма изящен, но он не столь прямолинеен, как метод, изложенный в п. 142.]

6. Показать, что интеграл

Dx

l+y∙Х У Зх* + 2х — 1 рационализируется подстановкой

З—у*

Х — (Экз. 1911 г.)

ɪ) Изложенный метод интегрирования не применим в том случае, когда А Ь

Но в этом случае интеграл вычисляется подстановкой αx-J-Л = T.

Дальнейшие сведения по интегрированию алгебраических функций читатель найдет в следующих книгах: Stolz, GrundzUge Der Differential Und InteGralrecħNung, т. 1, стр. 331 и сл., или Bromwich, Elementary Integrals, Стр. 253. Другой метод вычисления был дан Гринхиллом: см. Qreenhill, A Chapter In The Integral Calculus, стр. 12 и Сл.; См. также книгу автора, цитированную на стр. 248.

17 Г. Харли

7. Вычислить

8. Вычислить

(ʃ-j- 1) Ax

ʃ,

(xa + 4) jΛ—s + 9 ‘ Dx

(5xs + 12x + 8) /,5.v2 + 2х — 7 *

^Применить метод п. 142. Уравнением, которому удовлетворяют р и э,

Является ξ2 -(- 3ξ -)- 2 = 0, так что р = — 2, v = — 1, и соответствующей под­становкой будет

2Z + 1

X T + L *

В результате этой подстановки интеграл приводится к

______ Dt_______ р T Dt

(4T∙+L) +Tj+Ξj~J

-4 J (4Ts+L)↑∕W1-4′ Первый из этих интегралов рационализируется подстановкой

T

А второй — подстановкой

9. Вычислить

(x+ 1) Dx

J (2xs-

(2xs-2x + l) jΛ3xs-2x +

]∕r9Z2—4

1

J∕9Z2~4^

τ∙ ʃ,

(х— 1) Dx

(2×2 — 6х 4- 5) У 7×2 — 22х 4- 19 ’ (Экз. 1911 г.)

10. Показать, что интеграл ʃ 7? (х, У) Dx, где Yi = ах* — J — 2⅛x4* с> рацио­нализируется подстановкой

Х—р Y^Q

Где (р, Q) является любой точкой на коническом сечении Уг = Axi + 2Bx + с.

Х—р

[Этот интеграл, конечно, рационализируется и подстановкой Z = _ — .

См. п. 137.]

143. Трансцендентные функции. Благодаря большому разнооб­разию классов трансцендентных функций, теория их интегрирования значительно менее систематична, чем теория интегрирования дробно­рациональных или алгебраических функций. Мы рассмотрим здесь несколько классов трансцендентных функций, интегралы от которых могут быть всегда найдены.

144. Многочлены относительно косинуса й синуса от аргу­ментов кратных Х. Мы всегда можем найти интеграл от любой функции, которая является суммой конечного числа слагаемых вида

A cos’" ах sinm’ах cos” bx sin" bx…,

Где Tn, M‘, п, п’,… — положительные целые числа, a A, B,… —
Любые действительные числа. В самом деле, такое выражение может
быть представлено в виде суммы конечного числа слагаемых видов
α cos {(Pa -{- Qb X}, β sin {(PaQbSR…) X},

А интегралы от этих выражений могут быть сразу записаны.

Примеры LI. 1. Проинтегрировать sinaxcos22x. В этом случае мы при­меняем формулы

Sin’ Х = -ɪ- (3 sin Х — sin Зх), cos2 2x = ɪ (1 -)- cos 4χ).

Перемножая эти два выражения и заменяя, например, sinxcos4x выраже­нием γ (sin 5х — sin Зх), находим, что

ɪ ʃ (7 sin х — 5 sin Зх -)- 3 sin 5х — sin 7x) Dx =

7 , 5 о 3 _ , 1

= — тё cos ∙t т, о cos Зх — cos 5х -4- ττs cos 7х.

Io 48 80 IlZ

Sin’ х cos* 2x Dx

Этот интеграл может быть, Конечно, вычислен и другими методами, причем результаты получатся в различных формах. Например,

(4 cos4x — 4 cos2 х1) (1 —cos2 х) sinxdx, что после подстановки cosx=√ приводится к виду

ʃ (4/’— 8∕4 + 5^2-}Dt = ~ cos’x — ɪCOSsX-)- ɪ cos’x — cosx.

Нетрудно проверить, что это выражение отличается от полученного выше только аддитивной постоянной.

2. Проинтегрировать любым методом cosαxcos⅛x, sinαxsin⅛x, cos Ах sin Bx, cos* х, sin’ х, cos4 х, cos х cos 2x cos Зх, cos’ 2x sin23x, cos6 х sin7 х. [Во многих из таких случаев бывает удобным применить рекуррентные формулы (см. пример 55 на стр. 277).]

145. Интегралы Jxn cos xrfx, ^Xnsinxdx и подобные йм.

Метод интегрирования по частям дает нам возможность обобщить предыдущие результаты. В самом деле, так как

ʃXn Cosx Dx = Xn sin Х — п ʃXn~1 sin х Dx,

эти интегралы могут быть вычислены при целочисленном положительном п повторным применением этих формул. таким образом,

Jxn Sin х Dx = —Xn cos х — J — N^Xn~1 cos х Dx,

лены, если п
17»
Интегралы JxnCosaxrfx и ʃ Xnsinαxrfx могут быть всегда вычис — положительное целое число. Следовательно, методом,

Подобным тому, который был применен в предыдущем пункте, мы можем вычислить

, Cos Ах, sin Ах, cos Bx, sin Bx,…) Dx, Где P—- любой многочлен.

Примеры Ul.!.Проинтегрировать х sin Х, x2 cosx, x2cos2x, x4sin2x siπ2 2х, X siπ2 х cos4 х, X3 siπ∙ ɪ х.

2. Найти такие многочлены PnQ, что

ʃ {(Зх— 1) cos х 4- (1 — 2x) sinx} Dx = Pcosx-j — Q sinx.

3. Доказать, что

ʃXncosx Dx =Pn cos х + Qn sinx, где

Pn = Nxn~I — п(п — 1) (п — 2) Xя-* +…, Qnχn — п(п — 1) Xn ~I +….

146. Дробно-рациональные функции от Cosx и S, inx. Инте­грал от любой дробно-рациональной функции от cosx и sinx может быть вычислен подстановкой tgɪ = /. Действительно,

1— Ti. 2t dx 2

COSx — 1-ps, smx— ιψ^2, dt — 1ψz2 ,

TaK что интеграл приводится к интегралу от дробно-рациональной функции от T. Но иногда более удобными являются другие подста­новки.

Примеры LUI. 1. Доказать, что

ʃ Secxdx = ln ∣ secx + tgx∣, ʃ Cosec х dx= In J tgɪ J.

являетсяДругой формой первого интеграла является In j tg -)- ɪj J; третьей

1 . IIJ — sin Х I

2 П 1 — sin х ! ’

?. j*tgxdx =— In I cos х ∣, ʃ Ctgxdx=In ∣sinx∣, ∫sec4xdx=tgx, ʃ Cosec4 x dx = — ctg x, ʃ Tg x sec x dx = sec x,

ʃ Ctg x cosec x dx = — cosec x.

(Эти интегралы являются частными случаями общего вида интегралов Дробно-рациональных функций от cosx и siπx, но для их вычисления не нужна подстановка, так как результаты сразу следуют из п. 120 и уравне­ния (5) п. 133.]

3. Показать, что интеграл от ——- γ~L—— . где А-4B положительно,

R а + B cos Х ’ 1

Может быть выражен в одной из следующих двух форм:

____ 2_____ ʃ L∕"ΞΞll 1 l^∕’⅞ + A+∕^∕’⅛-а

Y^A8∑∑⅞A ЗГС G Pr A + 6J, [Y^⅛ + Λ-∕Y^⅛-а ’

Где T= tgɪ, причем первое выражение имеет место, если α2 > B2, а второе — если a2<⅛*. Если At = Bt, то интеграл приводится либо к интегралу от sec2 γ , либо к интегралу от cosec2 ɪ, и может быть вычислен сразу. Вывести

Выражения для этого интеграла в том случае, когда A B отрицательно.

4. Показать, что если У определено, как функция от Х, соотношением

(а й cos Х)(а — B Cosy) — а* — Bi,

Где А, положительно н a2 > й2, то когда Х изменяется от О до я, одно и значений, У также изменяется от О до Показать также, что

___ ___ ]∕^a2—⅛2siny sinx Dx________________ sinʃ

А — Bcosy , a+⅛cosx Dy a— bcosy

Н вывести, что если 0<x<π, то

Dx 1 ∕acosx + ⅛∖

A + ⅛cosx pra,__________ й2 ^a + ⅛cosxy

Показать, что этот результат совпадает с результатом примера 3.

5. Показать, как можно вычислить интеграл от

__________ 1________

А + B Cosx С siπx ’

[Выразить B cos х С sin х в виде ~TfbiCt Cos (х — а),]

6. Проинтегрировать

А + B cos х с sin х Ос Jβ cos х -]- γ sin х ’

[Определить λ, р, ч так, чтобы имело место соотношение а + й cos х + с sin х = λ + р (α+ β cos х — j — γ sin х) + э (— β sin х + γ cos х).

Тогда интеграл равен

J

DX

α + βcosx + γsmx ʌ

7. Проинтегрировать

A cos2 x-f — 2 B cos xsinx+ с sin2x’

∣⅛τo выражение может быть представлено в виде

Л +В cos2x-f — C sin2x ’

Где А = ɪ (а с), В— -ɪ-(a— С), CB. Но интеграл может быть вычислен, проще подстановкой tg. r = /, с помощью которой мы находим, что

Seca Х DX ______________ Г______ Di_____ 1

Л + 2⅛ tg Х + С Tg* X-J A+2bt+ci" J

147. jarc sin х dx —х arc sin хИнтегралы от функций, содержащих Arc sin Х, Arc Tgx и In Х. Интегралы от arc sin Х, arctgx и Inx могут быть легко вычислены интегрированием по частям. Действительно,

Г 5⅛V=xarc sinx4~yr 1 —X*, J/1-х’ ‘

Jarctgxdx = Xarctgx— ʃ ɪɪp =xarctgx — — Jj-In(I-J-X2)1 ʃ InxdxХ Inx Jdx = х (In х — 1).

Вообще мы можем проинтегрировать функцию φ(x), обратную /(х), если мы знаем интеграл от /(х), так как подстановкаYF(X) Дает:

(у) Dy = Jx/’ (х) Dx = Xf (х) — J∕(X) Dx.

Интегралы вида

JP (х, Arc Sin х)Dx, J P (х, In х) Dx,

Где P—Многочлен, всегда могут быть вычислены. В первом случае, например, мы должны вычислить несколько интегралов вида

jxm (arc sin х)" dx.

Делая подстановку X=Sinyr, получаем:

J Yn sinm У cosyr Dy,

А этот интеграл может быть вычислен методом, изложенным в п. 145. Во втором случае мы должны вычислить ряд интегралов вида

J Xm (In X)N Dx.

Интегрируя по частям, находим, что

Jχm (Jn X)» Dx = — —I J Xго (In X)N.-1 Dx,

И вычисление может быть доведено до конца повторным примене­нием этой формулы.

Пример, Проидтегрирев^тг, χπJnx, χnlπ(l-J-x), x8arctgx8 hx~"1∏x∙ (Экз. 1924, 1929, 1934 ГГ-)

148. Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми. Одним из наиболее важных приложений процессов интегрирования, изложен­ных в предыдущих пунктах, является вычисление Площадей фигур, ограниченных плоскими кривыми. Допустим, что P0PP’ (фнг. 41) представляет собой график непрерывной функции У — φ (х) и что он целиком лежит над осью Х. Пусть P — точка (х, у) и P’— точка (XH, YK), где H может быть и положительным и отри­цательным (на чертеже H

Положительно). Задача со­стоит в вычислении площа­ди ONPPn.

Понятие „площади” тре­бует весьма тщательного рассмотрения, и мы вернем­ся к нему еще в гл. VII. По­ка же будем считать его известным. Будем предпо­лагать, что всякой такой области как ONPPn может быть поставлено в соот­ветствие некоторое поло­жительное число, которое мы будем обозначать через (ONPPl^ и называть площадью, при­чем эти числа обладают некоторыми очевидными свойствами, под­сказываемыми нашей геометрической интуицией, например:

(PRP) 4- (NNRP) = (NNP’P), (N1NPR1) < (ONPPn)

И т. д.

Ясно, что если мы все это предположим, то площадь фигуры ONPPn будет функцией от Х\ обозначим эту функцию через Ф (х). Ф(х) Является Непрерывной функцией. В самом деле,

Ф 4- H) — Ф (%) = (NNP‘ Р) =

= (NNRP) 4- (PPP’) = H Ср) 4- (PRR).

Из чертежа видно, что площадь PRP меньше чем Hk. Это, однако, не всегда будет иметь место (см., например, фиг. 41а), потому что дуга РР’ может не быть монотонно возрастающей или убывающей от P к P Но площадь PRP булят всегда меньше чем ∣ H ∣ λ (H), Где λ (H) обозначает наибольшее расстояние любой точки дуги PPОт PR. ɑ Другой стороны, так как φ (х) — непрерывная функция;

(ft)-Г0 при ft-*0. Таким образом,

Ф (-V 4- H)- Ф (X) = H {? (Jf) 4- F Wb

Где I Jj-(Л) I ≤ λ (Л) и λ(½)-►О при H->O. Отсюда следует, что Ф(х) непрерывна. Более того,

Φ‘(x) = lim ιim ( φ(χ)4-μ(ft)}=φ(x).

Ft→O n Λ→O

Таким образом, Ордината кривой равна производной площади, а площадь является интегралом от ординаты.

Теперь мы можем сформулировать следующее правило для нахож­дения площади ONPPa. Вычислим Ф (х)— Интеграл от ср(х), При­чем произвольную постоянную выдерем так, чтобы Ф (0) = 0. Тогда Ф (х) И является искомой площадью.

Если бы требовалось вычислить площадь N1NPP11 то мы должны были бы определить произвольную постоянную так, чтобы Φ(x1) = 0, где Xl есть абсцисса точки P1. Если кривая лежит под осью Х, то Ф(х) отрицательна, н площадь будет равна абсолютной величине Ф (х).

149. Длины плоских кривых. Понятие Длины также требует весьма тщательного рассмотрения. Оно значительно сложнее поня­тия площади. В действительности, предположение, что дуга PaP (см. фиг. 41) имеет определенную длину, которую мы обозначим через 5 (х), недостаточно для нашей цели, тогда как соответствующее предположение относительно площади оказалось достаточным. Мы даже не можем, исходя из него, доказать, что 5 (х) непрерывна, т. е. что

Iim {S(P1)-S(P)} = 0.

Это кажется достаточно очевидным на большей фигуре, но уже менее очевидно в случае, изображенном на меньшей фигуре. Мы не можем, таким образом, продолжать наши рассмотрения с какой бы то ни было степенью строгости без подробного анализа того, чтб следует понимать под длиной кривой.

Однако легко видеть, чтд должна представлять собой Оконча­тельная формула. Предположим, что кривая имеет в каждой точке касательную, направление которой непрерывно изменяется, т. е. что φ’ (х) непрерывна. Тогда предположение, что кривая обладает длиной, ведет к соотношению

S(x + Λ)-S(x) _{РР’}_РР’ {PP‘} H ~ H HPP‘ ’

Где {PP,} обозначает длину дуги, стягиваемой хордой PP‘. Но

PP‘ = /PT?2+ AjFi = Zz + -^ и

⅛=φ(χ+⅛)- cp(x) = ⅛φ’ (ξ), где ξ лежит между х и х + H. Следовательно,

Iim ɪ = 1 /1 + {φ’ (I)P = /1 + {φ'(χ)Ta.

Если мы далее предположим, что

{pp'} 1
pp' ’
iim

То получим следующий результат:

S‘ (х) =Iim5⅛⅛-∙s(x) = ∕l + {φ’ (х)р. и, таким образом,

5(х) = ʃ/ɪ + {φ’ (x)}2 Dx.

Примеры LlV. 1. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого от параболы У = — прямой x = ξ, а также длину дуги, ограничивающей его.

показать, что площадь эллипса ajtjs =1 равна r.ab.
площадь, заключенная между кривой x=ya(l—х) и прямой x= 1, π. (экз. 1926 г.)
начертить кривую (1-j-x2)y2 = x2(l —-х2) и доказать, что площадь 1 ,
Г." υ2

3.

Равна

4.

Петли

(Экз. 1934 г.)

5. Начертить кривую π*y8 = x5(2Λ— Х) и показать, что площадь фигуры, ограниченной этой кривой, равна — As.

(Экз, 1923 г.)

6. Доказать, что площадь между кривой

Н отрезком (— А, а) оси х равна -ð- Ab ,

(Экз. 1930 г.)

7. Найти площадь, ограниченную кривой У = sin Х и отрезком оси х от х=0 до x=2π. [Здесь Ф(х) = — cosx, а разность между значениями

— Cosx при х=0и при x=2π равна 0. Это объясняется, конечно, тем, что между x=π’и x = 2π кривая лежит под осью х и соответствующая часть площади входит со знаком минус. Площадь от х=0 до x = π равна

— cos т: + cos 0 = 2, а вся искомая площадь, если каждая ее часть считается положительной, равна 4.}

8. Предположим, что координаты любой точки некоторой кривой даны, как функции параметра T, уравнениями х = φ (T), у = ψ (T), где φ и ф — функ­ции от T с непрерывными производными. Доказать, что если х монотонно возрастает, когда T изменяется oτ∣ T0 до Tl, то площадь области, ограничен­ной соответствующей дугой кривой, осью х и двумя ординатами, соответ­ствующими Ta и Tl, равна абсолютной величине разности A (T,) — A (T0), где

A (T) = J ψ(T)φ'(T)dT= Jy JdT.

9. Предположим, что С —замкнутая самонепересекающаяся кривая, обладающая тем свойством, что любая прямая, параллельная одной из осей координат, пересекает ее не более чем в двух точках. Предположим, далее, что координаты любой точки P на кривой могут быть выражены, как в при­мере 8, через параметр T и что когда T изменяется от Ta до ∕l, P движется

В одном и том же направлении вдоль кривой и возвращается после одного полного обхода в исходное положение. Показать, что площадь, ограниченная кривой, равна абсолютной величине разности начального и конечного зна­чений любого из интегралов

-P⅛dz* Sχ⅛dt>

10. Применить результат примера 9 к определению площадей, ограни­ченных кривыми:

‘l + *i ’

2t
''l+ti :
10.
2°. х — a cos8t, у = b siπ3t.

11. Найти площадь петли кривой Xa-}-Ys = Saxy. [Полагая Y = tx, по­лучим:

Sat Sati

i+/3 •Х = —У =

Когда T изменяется от О до со, точка один раз описывает петлю. Далее,

dx
,di
v'=4p⅛⅛)'"=-⅛∫ 9α⅜2 _ за2
(1 -(-∕3)2<w- од-/3)»

Что стремится к нулю при / — со. Следовательно, площадь петли равна

12. Найти площадь петли кривой x6 +y5 = 5Axiyi.

13. Площадь кривой

Х = a cos T — j — Ь sin T — j — С, у = a’ cos T — j — B’ sin T -)- c’,

Где Ab, A, b>O, равна π(ab’— а‘Ь).

(Экз. 1927 г.)

14. Доказать, что площадь петли кривой X = A sin 2/, У =A sin T равна

(Экз. 1908 г.)

15. Начертить кривую

Х = cos 2/, У = sin St

И найти площадь петли. Найти уравнение кривой в декартовых координатах и объяснить, почему график, соответствующий этому уравнению, отли­чается от первоначального.

(Экз. 1928 г.)

[В обычной теории кривых, заданных уравнениями в параметрической форме, предполагается, что x'(∕) н Y‘(T) не обращаются одновременно в нуль; значению /, прн котором обе этн производные обращаются в нуль, соответствует некоторая особенность кривой. В данном случае х’ (T) и Y‘ (T) Обращаются в О при T=±-⅛, когда Х = —1, Y = Т 1. Если, например, T

Возрастает от О до ɪ, точка (х, у) движется вдоль первого графика от

(1, 0) до (— 1, — 1), но затем поворачивает обратно н возвращается по прой­денному пути.

Уравнение в декартовых координатах получается исключением τ==sin∕ из уравнений. r=l—2τ*, У =S-— 4τ3, и только та часть второго Rpaφκa Для Которой J τ I 1, Принадлежит первому Графику.}

16. Дуга эллипса, заданного уравнениями x = А сов/, У = B sin/, между Точками T~Ti и ITt имеет длину, равную F(ta)— F(t1), где

F(t)≈α I — Et sintt dt

И Е — эксцентриситет эллипса. [Этот интеграл не может быть выражен через функции, которые нами рассматривались.]

17. Координаты точки на циклоиде даются уравнениями

Х = A {T + sɪn T}, у = а (1 -ɪ- cos T).

Обозначим через PnQ точки, которым соответствуют значения параметра T——-⅜- и T = ʌ .Вычислить площадь, ограниченную дугой PQ циклоиды и прямыми OP, OQ.

(Экз. 1934 г.)

18. Полярные координаты. Показать, что площадь, ограниченная кривой r=∕(θ), где/(0)— однозначная функция от 0, и лучами θ = 01, θ = θ8, равна Λ(θjt)-F(0x), где

∕7(0) = ⅛∫ ‘∙8<*θ∙

Показать также, что длина соответствующей дуги равна Φ(θ8)— Φ(θx), где φ,., = ∫∕^ + (t)∙Λ

C Помощью этих формул определить (1) площадь и периметр круга ɪ θ

Г — 2A sin 0; (2) площадь между параболой г = ɪ I sec* ɪ и хордой, проходя­щей через ее фокус перпендикулярно ее оси, а также длину соответствую­щей дуги параболы; (3) площадь, ограниченную крнвой r=Λ-+-⅛cosθ в слу­чаях A>B, A = B и A<B; (4) площади эллипсов

= a cos* 6 + 2h cos 0 sin 0 -∣- B sin* 0 и

I , ,

— = 1 -4- Е cos 0.

Г 1

[В последнем случае мы приходим к интегралу

Г <й J (1 + Е cos 0)* ’

Который может быть вычислен с помощью подстановки (см. пример LIll. 4)
(1 -)- Е cos θ) (1 — Е cos φ) = 1 — в*.]

19.

(м 1900 г,)

Начертить кривую 2θ≈=-^- + — y н показать, что площадь, ограничен­ная лучом θ = β и двумя ветвями кривой, касающимися друг друга в точке Γ==9l δ = l, равна ɪ a*(β*- 1)3/2,

20. Начертить кривую ио уравнению

ГЧ a2 + ⅛2 tg8 — g-l = Λ4,

Где А > B > 0, н доказать, что площадь, ограниченная ею, равна.

(Экз. 1932 г.)

21. Кривая задана уравнением ρ = F (г), где Г—Радиус-вектор, а Р — длина перпендикуляра, опущенного нз полюса на касательную. Показать, что вычисление площади области, ограниченной дугой кривой и двумя лучами, исходящими из полюса, сводится к вычислению интеграла

1 Г Prdr

2 J Yl^pi’ ‘

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. VI

1. Функция F(X) определена следующим образом: она равна l-j-x для Х ≤ 0, равна Х для 0 < Х < 1, равна 2 — Х для 1 ≤ Х ≤ 2 н равна Зх — X1 Для Х >2. Исследовать непрерывность F(X) и существование н непрерыв­ность F‘(X) при х = 0, х=1 н х=2.

(Экз. 1908 г.)

2. Обозначая а, Ах + B, Axi -]- 2Bx с, … через U0, U1, Ui, … , Пока­зать, что

Ui0Ui — 3u0u1α2 — J — 2«? и йоц, — 4U1Ui -)- 3Ui

Не зависят от х.

3. Если λ0, A1, …, Ain — постоянные и

Ur = (a<i, ɑɪ, , αr $ х, l)r[57]J, то

U0Uin 2nU1Uin-1 + 2,1 У UiUin~i + UinU0 Не зависит от х.

(Экз. 1896 г.)

[Продифференцировать и использовать соотношение Ur‘= RUr.1.]

4. Первые три производные от функции arc sin (⅛ sin х) — х, гдер>1,

Положительны для 0 ≤ х ≤ .

5. Элементы некоторого определителя являются функциями от х. Пока­зать, что производная этого определителя равна сумме определителей, обра­зованных из исходного определителя дифференцированием одной строки.

6. Если ∕1, Fi, Fi, Fi многочлены степени не выше четвертой, то

Zi Za Zs Zi

Zl F’i Zi Zi1

Zi’ Zi’ Zi’ Zi’

Zi" Zi" Zi" Zi"

Также является многочленом степени не выше четвертой. [Продифференци­ровать пять раз, применяя результат примера 5 и отбрасывая определители, равные нулю.]

То

7. Если JZ= 1 и Yr = ɪ Drχy, Zs = ɪ Dsxz,

Z

Zs

_ 1

I Уз

Уз

Zl

Za

Zt

Тл

У

I Уз

Vi

Zi

Zt

Zi

8. Если

(Экз. 1905 г.)

У

У’

У"

Z

Z,

Z,’

И

И’

И"

W (у, Z, и)

Где штрихи обозначают дифференцирования по Х, то

9. Если

То

Ψ(J, Z, H)=JLF(L, У, уР

Ax2 + 2hxy 4- By2 + 2gx + 2fy + С = 0,

Dy__ Ax-↑-hy —-g d2y__________ Abc + 2fgh — я/2 — ⅛2 — Ch2

~ hx + by+f, dx2~ (hx + by+fγ

Ур + Zyx + 2×8 = О,

Dx

10. Если

То

Х2 (1 + x3)j» — yXj’ +j = 0.

11. Проверить,, что дифференциальное уравнение j = φ{ψ(j1)}+φ{x-ψ(jι)},

(Экз. 1903 г.)

Где J1 обозначает производную от У, а ф — функцию, обратную φ’, удовлет­воряется функциями J≈φ(c) + φ(x— С) И J = 2φ^y»

12. Проверить, что дифференциальное уравнение

⅜(Λ)

φ{ψθ,ι)}

(в обозначениях примера 11) удовлетворяется функциями У = cφ

J=+, где JJ =

.tp(≈)

И А является любым корнем уравнения φ (а) — αφ’ (а) == 0.

13. Если Ах + By + с = 0, то Y1Q (индексы обозначают дифференци­рования по Х). Это означает, что Общим дифференциальным уравнением всех прямых линий является J2 = 0. Найти общее дифференциальное урав­нение (1) всех окружностей с центрами на оси Х, (2) всех парабол, ось которых совпадает с осью Х, (3) всех парабол с осями, параллельными оси У, (4) всех окружностей, (5) всех парабол, (6) всех конических сечений.

[Соответствующие уравнения имеют вид: (1) 1 +J2 +JJa = θ> (2) У* + +jj2 = 0, (3) js = 0, (4) (1+j!)j, = 3j1jJ, (5) 5j1=3jsj4, (6) 9j2y6- — 45j⅜yaj1 + 40jj⅛ = 0.

В каждом случае мы должны сначала написать общее уравнение рас* сматриваемых кривых и дифференцировать его до тех пор, пока мы получим достаточно уравнений для исключения произвольных постоянных.]

14. Показать, что общие дифференциальные уравнения всех парабол и всех конических сечений могут быть записаны, соответственно, в следующем виде:

D2(Yi~T⅛) = Q, D3χ(YC¼) = 0.

[Уравнение конического сечения может быть записано в виде У = ах B ± (F рXs + г.

Отсюда мы выводим, что

Л = ± (PrQ-) (Px3 + 2Qx + R)~

Для параболы р=0.]

D2y

1 D*y

ɪ &У.

DXi

Зт г?*

41 Dxi

D2x

1 Dzx

ɪ ⅛⅛

^dy*>

ЗГ Фу3’

4! Dyi

15. Обозначая

Dx,

Через T, а, Ь, с, … и Dx Dy

Через Ч, A, β, χ, …, показать, что

4ac-5⅛8 = 4aγ « — а?

Вывести аналогичные формулы для выражений

α2d — Зайс — 263, (1 + <a)⅛-ЧаЧ, 2ct-5ab.

16. Если Y = cos arc sin. г), и У„ обозначает я-ую производную от У, то

(1 — χi)Y∏+2 — (2я + 1) xyn+, + (я»2 — ∏3)Yn = 0.

(Экз. 1930 г.)

[Доказать сначала для случая я = 0 и затем я раз продифференцировать, применяя теорему Лейбница.]

17. Доказать формулу

VDxu = Dnx (Uv)-NDnx~1 (UDχv)+Dnx ~ 2 (UD2XV) -…,

Где П — любое положительное целое число. [Применить метод индукции.]

18. Показать, что

Z D In sin Х 2я! t c. r. . . ,

Wy ~=ʃ s2"^*c°s x ~ Csn s,π ХЪ

Где Can (χ) и Ss∏-ι (х) определены как в примере XLVl. 5.

(Экз. 1936 г.)

19. Доказать, что

(⅛) c°s*4 x=⅛⅛* 2 (Г) № —2r)2n c°s 2 — r)x’

Г =0

(Экз. 1928 г.)

тоOn V arc sɪn Х π . π

20. Если У = —r∙==r, где — 1 < Х < 1 и — — < arc sin Х < -7- У 1 — X2 4 2

(1 — xs)yn+1 — (2я H-1) Xyn — u‰ = О,

Причем индексы обозначают производные по Х.

(Экз. 1933 г.)

21. Если Y = (arc sinx)2, то

(1 — X3)yn+l — (2« — 1) Xyn-{∏- lj‰ = 0.

Найти отсюда значения всех производных от У при х = 0.

(Экз. 1930 г.)

22. Кривая задана уравнениями

Х = а (2 cos T + cos 2Z), У — а (2 sin T — sin 2T).

Доказать, что (1) уравнения касательной и иормали в точке P кривой, которой соответствует значение параметра T, имеют вид

zt,х sin ɪ -j-y cos ɪ = a sin у, ,veosɪ—у sin ɪ = za cos,zt

(2) касательная в точке P пересекает кривую в точках QnP, которым соответствуют значения параметра —ɪ и π—ɪ; (3) QPIa; (4) касатель­ные в точках Q и P взаимно перпендикулярны и пересекаются на окруж­ности %s+y = αs; (5) нормали в точках P, Q и P проходят через одну точку, лежащую на окружности X3 -(~Ys = 9A∙; (6) уравнение кривой может быть записано в виде

(X3 +Y3 + 12αx + 9A3)3 = 4α (2х + За)3.

Начертить эту кривую.

23. Показать, что уравнения, определяющие кривую в примере 22, могут быть заменены следующими:

L = 2α + -⅛, ⅛ = ~ + U3, А * и3 A И 1

Где ζ = XJYt, η = x—Yi, u = CisZ. Показать, что уравнения касательной и нормали к кривой в точке и имеют вид

Usξ — uη = a(u8 — 1), usξ + uη=3a(u84-1).

И вывести отсюда свойства (2) — (5) кривой из примера 22.

24. Показать, что условие равенства корней уравнения

Xi + 4px8 — Qx1 = 0 может быть записано в виде

(Р + 7)2/3— (P-7)2z3 = 1-

(Экз. 1898 г.)

25. Пусть A, β, γ — корни кубического уравнения F (х) — 0, расположен­ные в возрастающем порядке. Показать, что если (a, β) и (β, γ) разделены каждый на шесть равных частей, то корни уравнения/'(х) = О будут лежать в четвертых по счету подинтервалах справа и слева от β. Каково будет кубическое уравнение в тех случаях, когда один из корней уравнения ∕,(x) = 0 Попадает в точку деления?

(Экз. 1907 г.)

26. Если φ(x)— многочлен и λ—действительное число, то между кажДоЙ парой корней уравнения φ (х) = 0 лежит по крайней мере один корень уравнения

ψ'(x) + λφ (х) = 0.

[Рассуждать, как в примере XLI. 10.]

27. Если А н Ji— два следующих друг за другом корня уравнения φ = 0, то число корней уравнения φ’-)-λφ = O (с учетом их кратности) между А и Ji Нечетно.

Если все корни уравнения <р = 0 действительны, то и все корни уравне­ния φ’-(-λφ=O действительны, и если все корни первого из этих уравне­ний— простые, то такими же будут все корни второго.

(Экз. 1933 г.)

28. Вывести из примера 27, что

(⅛)"<-Г

Имеет П простых корней, которые все лежат между —1 и 1.

(Экз. 1933 г.)

29. Исследовать на максимумы и минимумы функцию F(X) и найти дей­ствительные корни уравнения /(x) = 0, если /(х) — одна из функций

А

Х— Sinx — tg ɑ (1 — cosx), х — Sinx — (а — sin а) — tg ɪ (cos а — cosx)

И а—угол между Онг. Показать, что в первом случае условием двойного корня является то, чтобы tga — а было кратным π.

30. Показать, что можно найти такое отношение λtp∙, что корни уравнения

λ (αx2 + 2Bx + с) + p∙ (α’x2 -]- 2⅛’x — ф — С’) = 0

Будут действительными и разность их будет равна любому заданному числу, за исключением того случая, когда корни этих квадратных трехчленов дей­ствительны и перемежаются, и что в этом случае корни всегда действи­тельны, но существует нижняя грань для модуля их разности.

(Экз. 1895 г.}

[Рассмотреть график функции

αx2 -|- 26х с AXt + 2⅛’x С’:

См. пример XLVI. 13 и сл.]

31. sin πx
ʃ(l-ɪ)
s≤4Доказать, что для 0 < х < 1, и построить график этой функции.

32. Построить график функции

T 1 1

π ctg πx—————- — r∙.

8 х х — 1

33. Установить общий вид графика функции У, если дано, что

Dy__ (6xs-J-x—l)(x — l)2(x+l)8

Dx X* ~~*

(Экз. 1908 г.)

34. Прямоугольный лист бумаги сложен так, что один из его углов лежит на противоположной стороне. Показать, как должна быть сложена бумага, чтобы длина сгиба была наибольшей.

35. Наибольший острый угол, под которым эллипс

≤ 4/ А- ‘ Z>s

Может пересекаться с концентрической окружностью, равен βa-⅛a

Arcts2α⅛-∙

(Экз. 1900 г.)

36. Даны площадь Δ и полупериметр s треугольника. Показать, что максимум или минимум одной из его сторон является корнем уравнения s (х—s)xa4-4Δs = 0, Исследовать вещественность корней этого уравнения и установить, дают ли они максимум или минимум длины стороны.

[Уравнения А — J — B с — 2s, s (s — a) (s — B)(SC)=∆3 определяют А и B Как функции от С. Продифференцируем по с н положим 0. Тогда мы

Найдем, что о = с, s—⅛ = s— с = -^-, откуда следует, что S (а — s) A3 -J — 4∆a = 0.

Это уравнение имеет три действительных корня, если s4 > 27∆a, и одни, — если S4 < 27∆a. Для равностороннего треугольника (для которого периметр при данной площади — наименьший) s4 = 27∆a. Таким образом, неравенство S4 < 27 ∆a невозможно. Следовательно, полученное уравнение для А имеет три действительных корня, а так как их сумма положительна, а произве­дение отрицательно, то два из них положительны, а третий отрицателен. Из двух положительных корней один соответствует максимуму, а другой — минимуму.]

37. Площадь наибольшего равностороннего треугольника, стороны которого проходят через три данные точки А, В, С, равна

2δ+⅛⅛

2/3

Где A, B, с стороны, a Δ — площадь треугольника А ВС.

(Экз. 1899 г.)

38. Если Δ и Δ’ обозначают площади двух наибольших равнобедренных треугольников с вершинами в начале координат и основаниями, вписанными в кардиоиду r = α (1 ψcosθ), то

256ΔΔ’ = 25fl4∕S

(Экз. 1907 г.)

39. Найти предельные значения, к которым стремится

Xa — 4y ψ 8 _/>_6% + 3 ’

Когда точка (х, у) стремится к точке (2,3) вдоль кривой Xay 4xa — 4Xy — j-y>a 16% — 2у — 7 = 0.

(Экз. 1903 г.)

[Если мы перенесем начало координат в точку (2,3), то уравнение кривой принимает вид ξaη — ξa-(-ηa = O, а данная функция преобразуется в

ξ3 + 4ξ-4η ηa + 6η-6ς •

Полагая η = ⅛, найдем, что

18 Г. Xapna

кривая имеет петлю с двойной точкой в начале координат, которой соответствуют значения z = — 1 н/=1. выражая данную функцию через t и устремляя t к — 1и к 1, получим, что искомые предельные значения j 3 2т
равны 2 и — ^3 ∙ j
,40. если,/(%) =,^sinx— sinα (х—α) cos а ’,то,da,{ iim f(x)} — iim f' (х) = ɪ seca а — ∣-,. sec а. х — а х →a 4 lz∙,41. показать, что если,(экз. 1896 г.)

Cf(X):

то

φ(n)(χ)-^ ^χgy,+1,

Где Qn (х) — многочлен степени П. Показать также, что 1° Qπ + ι=G + *a)<¾-2(∕ι+l)xQn,

Qn + 2 H" (« + 2) XQn ψ 1 + (« + 2) (« J — 1) (1 -)- Х3) Qn = 0, 3° (L+X*)QnNxQN + N(N+L)Qn = 0,

4° <3п = (— 1)" «! {(« + 1) Xn— ⅛1Ffi"~1) χN-* + … I,

S0 все корни уравнения On = O действительны и перемежаются с кор­нями уравнения 0∏-ι = θ∙

42. /(α) φ (а) ф (а) f(b) φ(⅛) φ(⅛) /'«) ?'«) ψ'<6)

= 0.

Если F(X}, <р (х) и ф(х) удовлетворяют условиям пп. 126—8 в отно­шении непрерывности и дифференцируемости, то существует такое значение ξ между А и Ь, что

[Рассмотреть функцию, образованную заменой элементов последней строки этого определителя иа F (х), ∞ (х), Φ(x)∙ Эта теорема сводится к тео­реме о среднем значении (см. п. 126) в случае φ(χ) = x и ψ(x)=l.]

43. Из результата примера 42 вывести теорему п. ‘ 128. [Положить φ(x)=x.]

44. Если <р (х) и ф(х) удовлетворяют условиям п. 128 и φ'(x) никогда не обращается в нуль, то

φ(ξ)-φ(a) _φ,(?)

ΦW-Φ(S) ψ'(ξ)

Для некоторого ξ в (а, Ь). (Экз. 1928 г.)

[Применить теорему Ролля к функции {φ(x)—φ (а) } { ф (Ь)— φ(x)}.)

45. Если <р (х) непрерывна для α≤x≤⅛, <p»(x) существует и положи­тельна дли А < х < Ь, то

<Р(*) —у(а)

Х — а

46. Пусть функции F (х) и G(X) непрерывны для O≤x≤β и диффе­ренцируемы в интервале O<x<α, причем /(O) = O и G(O) = O; пусть, далее, /’ (х) и Gl (х) положительны. Доказать, что тогда

/(х)

1° если F‘(X) возрастает с возрастанием X, то и ɪʌ- ■■ возрастает с воз­

с возрастанием х, то ивозрастает с воз-1 — cosxх — sin х ’

Растанием Х,

F (х)

2° если ʌ, возрастает

Растанием Х.

Доказать, что функции

Возрастают в интервале 0<х<-

(Зхз. 1934 г.)

[См. Г. Харди, Дж. Литтльвуд и Г. Полна, Неравенства, стр. 130.]

47. Пусть функция F(X) имеет дифференциальный коэффициент F (?) при

X = ξ. Доказать, что

<p (λ,⅛)=+ — /’ (?)

Стремится к нулю, когда А и А стремятся независимо друг от друга к нулю, принимая положительные значения.

Доказать также, что если F‘(X) непрерывна в некотором интервале, содержащем ξ, то мы можем отбросить условие, что ft и А положительны, и предположить только, что Λ-j-A≠O.

Наконец, доказать на примере функции

/(0) = 0, /(χ) = -∣γ (x≠0),

[xiJ

Что мы не можем отбросить это условие в общем случае.

(.9×3. 1923 г.)

[Для доказательства первого утверждения использовать тождество

φ(⅛,A) =

/(ξ+⅛)-∕(?)

H

-Z'(?)}-

K F(ξ~K) Λ-φ^ А 1

•/(?)

И неравенства ħ<,HK, K<ħ-K. Доказательство второго утверждения проводится с помощью теоремы о среднем значении. Для доказателвства третьего утверждения положить

ξ = 0, A= (я—у K = —N~1’*,

Где я — положительное целое число.]

48. Если φ'(x)-А при Х—оо и α≠0, то <p(x)~αx. Если α = 0, то φ(x) = o(x). Если Y‘(X)-Oo, то φ(x)-→∞. [Применить теорему о среднем значении.]

49. Если φ(x)- А при Х — оо, то φ'(х) не может стремиться ни к какому другому пределу, кроме 0.

50. Если φ (х) — f — φ’ (х) — а при Х— оо, то φ(x)-→ А и φ'(x)-→0.

[Пусть φ (х) = А -[- ф (х), так что φ(x)-)-φ'(x)—0. Если ф'(х) не меняет

Знака, скажем положительна для всех достаточно больших значений х, то ф (х) монотонно возрастает и должна стремиться либо к некоторому конечному пределу I, либо к оо. Если ф (х) — Оо, то ψ, (х) — — оо, что противоречит нашей 18*

Предпосылке. Если ψ (X) —»1, то ф’ (х)-~ —I, а это невозможно (см. пример 49), если ∕≠0. Аналогичный результат мы получаем и в предположении, что ф’ (х) отрицательна для достаточно больших Х. Если ф’ (х) меняет знак для сколь угодно больших Х, то ф (х) имеет максимумы и минимумы правее любого сколь угодно большого значения Х. Пусть Х—Достаточно большое значение, соответствующее максимуму или минимуму ψ (х); тогда ψ(x)y ф'(х) мало, a ψ,(x)=0, так что ф(х) мало. Другие значения ф(х) тем более малы по абсолютной величине, когда х достаточно велико.]

51. Показать, как преобразовать Г 7?|х, 1/ —ʃɪtʌ 1/ ^⅛≤l^x

J I Г MxJN Г тх + п )

В интеграл от дробно-рациональной функции. [Положить Mx-}-N = ~ и при­менить результат примера XLIX. 13.]

52. Вычислить Интегралы

Xdx

У1+х—У1+х

5cθ^+θ———— dx> ʃ

. ʃ ∣∕r A*+^]∕r bi+ ⅛dx,

Dx

2 cos х-]-sin х у 3 J (2 — siπs х) (2 у sin х — sinsx) ’ ʃ Cosec х У Sec 2x Dx,

Dx Cxysinx C J С/ ■ >Sj

—^=========±====e, I τ~τ————- Dx, ∣arcsecxαx, ∣ (arc sι∏x)2dx,

/(1 + sinx) (2 у sinx) J 1+cosx J ’ Jv 7

, , . Cxarcsinx.

Х Arc Sin Х Dx, Dx

53. Вычислить

J У1 — X2

Arc Ig х
(1 у xa)3»s

Dx

Dx,

Ln(αs+β8χa)

Dx,

Х— 1 __________________

*+~f ∕x(xa + x + l)

C помощью подстановки И* = х у 1 У

54. Доказать, что

Dx , 1 • 3… (2я —1) [1 1 —УГ

(Экз. 1931 г.)

Yι-

2 • 4… 2«

J-Lyliy У2-!.^2”-2) — Llyi^l

Ix8 + 3 X4 ʃ ’ ʃɜ ∙5…(2n — l)x2n] и x J’

Dx

X2

2 • 4… 2л

3∙5…(2∏yi)

{⅛ +

1-3… (2л — 1) 1

2 X3 1 ’ ’’ 1 2 • 4 .. . 2л

Где л—положительное целое число.

IУ1 — Xs,

(Экз. 1931 г.)

55. Рекуррентные формулы. (1) Показать, что Dx

I P") S (X,+Px + Q)N

^+(2n~3)∫ йх

(X*+Px+Q)N

{X* + PX+QYl1

[Положить x÷γp-∕, Q -~P^-λ; тогда Dt _ 1 Г Dt If

(∕s + λ)n — λ J ^ + λ)n~1 λ J I

Dt

Tadt

ʃ (∕a + λ)n λ J (Za-H)"-* λ J (za-∏y≈

-ɪr di, 1 PHf 1 п

“ λ J (Za + λ)"→ ^1^ 2λ(я— I) J τDt{ (Za + λ)"→ ʃ τ,

Отсюда получаем искомый результат интегрированием по частям.

Формула такого типа называется Рекуррентной. Она чрезвычайно

Полезна, когда «— целое положительное число. Тогда мы можем выразить

F Dx P Dx *

J (X>+Px+Gy через J (χ8+∙+YPπ- и, таким образом, вычислить

Этот интеграл для каждого значения и.]

(2) Показать, что если

Ip, Q ʃ χP(L + X)4Dx,

ТО

⅛ + ‰ = (1 + *)*-⅛+ι, QU

И вывести аналогичную формулу, связывающую /р> q с Zp_i, g+1. C помощью у

Подстановки Х = —, , — показать также, что

(3) Если

1+у

Ip, q = (- l)p+1 ʃYp (1 +y)-p^’a Dy.

То

“”=Ь

Dx

(xs-J-l)n,

(2« — 2) И„ — (2« — 3) цп_! = х (xa — J-l)-<"-1).

То

То

(4) Если

1,n-∫

Xm Dx (X*+Iγl

(Экз. 1935 г.)

2 (« — 1) Zm, „ = — х"-* (xa + 1)-) + _ I) Jm_it . (5) Если

(6) Если

То

In = ʃ Xn cos $Х Dx и Jn = ʃ Xn sin Fix dx,
bln = χnsiafix
NJn_it °Jn = х" cos β х — J — NI∏-ι∙
In-cosnxdx
и Jn = ^sinnxdx,

П1„ = M∏x cos”"»х4- (п — 1) /я_г, Njn = — fos хsiπ"-*x — J — {/? — I) Jn-,,

(7) Если

ZN = ʃ ⅛"x dx>

ТО

(я— 1) (/„ + In-i)= tgn~1x.

(8) Если

Irtlt N ■== ʃCosm Х sin" Х Dx, То

+ я) Imt =— cosm+1 Х sin"-* Х + (я — 1) Irrtt „_2 =

= cosm-1 Х sin"+1 X-j-(m 1) Im~stt „.

[Мы имеем

(и + 1) /от> „ ʃ Sin"-1 Х ~ (cosm+1x) Dx =

= — cosm+1 Х sin"-* X-j-(n 1) ʃCosm+s Х sin"-’ Х Dx =s
— _ cosm+1xsin"-1 Х + (я— 1) (Irrti Imi „),

Что приводит к первой рекуррентной формуле.]

(9) Найти формулу, связывающую

ʃm, ∏ — ʃ Siamx sin Nx dx

С Im-i, n — (Экз. 1897 г.)

(10) Если

Irrit rt = ʃ χm cosec" Х Dx, То

(n— 1) (и 2) Irrtt Tt = (N 2)a Irrtt NTt -]^ Ft 1) 7/я-2, п-2 Xm~1 Cosec"-1 Х { т sin Х + (л — 2) Х cos Х }.

(Экз. 1896 г.)

(11) Если

I„ = ʃ (a — J — Ь cos X)^^n dxt

(п 1) (α2 — ⅛2) Itt = B sin Х B cos X)~ l-π~1’1 + (2я — 3) Alπ~l —(п 2)/и_8.

(12) Если

N ≈= ʃ (A CQS3X + 2Λ cos Х sin Х -]- B sin2 X)~N Dx, То

(N + 1) (Ab⅛2) /„+2 — 2« (2я + 1) + Ь) Irt+L + 4∏3In=-^".

(13) если(Экз. 1898 г.)

тоFm,∏ = ʃ Xm(Htx)NDx,

+ 1) Iηt, Rt = xm+1 (1п х)"— Imt η,ι.

56. Если « — положительное целое число, то Xm (In X)N Dx=

_ vm+l ∫ О"*)” _ W0NY)N~1 , «(« — ɪ)(ɪn А-)" 2 _

I Т + 1 (« + I)8 ^*" (∕n-(-I)3

. (-1)*nl I
ɪ(/zz + !)"+1 ʃ*

57. Площадь, ограниченная кривой, заданной уравнениями

х = cos φsin a sin φ 1 —cos2αsin2 φ ’у = sin φπ (1 -j- sin a)a 2 sin аSin a cos φ
1 — cos2 a sin* φ ’

Где А—положительный острый угол, равна (Экз. 1904 г.)

58. Проекция хорды окружности радиуса А на фиксированный диаметр имеет постоянную длину 2A cos β. Показать, что геометрическое место середин таких хорд состоит из двух петель и что площадь каждой петли равна αs(⅛— cos β sin р).

(Экз. 1903 г.)

59.

(экз. 1911 г.)
a2 + a⅛ + bs а + b
равна

Показать, что длина квадранта кривой

60. Точка А находится пнутри окружности радиуса А на расстоянии B От центра окружности. Показать, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из А на касательные к окружности, ограни­чивает площадь π ^a2 + ɪ ⅛2^ .

(Экз. 1909 г.)

61. Доказать, что если

Axa -(- 2hxy -(- by — + 2gx + 2fy + с == О

Есть уравнение некоторого конического сечения, то

Г Ах ↑ pτ , 0

J (lx + my + n)(ħx + by+f) n PT’

Где PT, PT означают длины перпендикуляров, опущенных из точки P этого конического сечения с координатами Х и У на касательные в концах хорды LxSτ ту SR N = Q, а А и β — постоянные.

(Экз. 1902 г.)

62. Показать, что

C Axi 4- ⅛>X + c r1
J (Ax* + 2Bx+ Х

Является рациональной функцией от Х в том и только том случае, когда одно из выражений AC—В- и ACCA—2ЬВ равно нулю1.)

ɪ) См. книгу автора, цитированную на стр. 248.

63. Показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы

J {∕=∙(x)Γ ax’

Где / и F—Многочлены, причем F имеет только простые кории, был рациональной функцией от Х, является делимость FF‘—FF" на F.

(Экз. 1910 г.)

64. Показать, что

ʃ

A cos Х -}- β sin Х γ j (1 —ccosx)2 x

Является рациональной функцией от cos Х и sin Х в том и только том случае, когда αe-j-γ = O; вычислить интеграл в этом случае.

(Экз. 1910 г.)

ГЛАВА VII

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *