Производные функций, заданных параметрически и неявно

X = x(f),

У = Y(T), где X(T) и α < T < β;

G(T} — дифференцируемые функции, и при этом X‘(T) ≠ О,

Определяет однозначную функцию У(х), производная ко­

Теорема 6. Если дифференцируемая функция У ≈ у(х) Удовлетворяет уравнению F(X; у) — 0, то производная Y, = Y,{X) этой неявной функции имеет вид:

F

√w = -≠∙

Подробный комментарий выражений F и F относит­ся к понятию частных производных функций двух пере­менных. При решении примеров попытаемся избежать этих понятий, рассматривая функцию F(X; у) = 0, как сложную функцию переменной Х: F(X; Y(X}) = 0.

Пример 6. Найти производные функций, заданных пара­метрически:

А) Х = а ∙ cos T; у == Ъ sin T; а > 0; Ъ > 0;

Б) Х = YLYft ; у — Vl-VF •

Решение.

А) Воспользуемся теоремой 5:

Ч i∕(0 (bsiɪif)’ ðeos* Ь L∕(X) “ ɪ = Z т; = г— —-ctg T; Tπn, NeZ.

Х (О (α cos O A Sinf А Б) Аналогично:

Ответ: а) — ctg T; б) ,————-

α Il

П-t3 — Vi

Пример 7. Найти производные функций, заданных в не­явном виде:

A) X2 + 2ху — у2== 2х; б) sin(2х + у) = у.

Решение.

А) Дифференцируем обе части исходного выражения, считая У(х) — неизвестной функцией, зависящей от х:

(х2 + 2Xy{X) — Y2{X)}’ = (2х)’;

2x + 2 ∙ (jz(x) + х ∙ Y‘{X)) — 2Y{X) ∙ YX} ≈ 2;

2Xy‘ — 2у • у — 2 — 2х — 2у;

, 1-х-у

У = ————— .

X-JZ

Б) sin (2x + Y(X)} = y(x); (sin(2x + y(x))’ = /(х); cos(2x + ɪz) • (2 + /) = У’-,

У’ ■ cos(2x + Y)- Y, = -2 ∙ cos(2x + У);

2cos(2x + ι∕)

1 — cos(2x + У) ’

Производные и дифференциалы
высших порядков

Определение 5. Пусть функция F(X) определена на про­межутке И в каждой точке промежутка имеет производ­ную F‘(X), тогда производная функции F(X), если она су­ществует, называется Второй производной функции Дх).

Обозначение: F‘(X); Д2)(х).

Аналогично, вводятся производные ∕t’0(x) любого по­рядка.

Определение 6. Дифференциал от первого дифферен­циала в некоторой точке А называется Вторым дифферен­циалом функции в этой точке.

Обозначение: D2y(a); d2f(a); d2y d2f.

Аналогично, вводятся дифференциалы любого поряд­ка: Dny = D(Dn~1Y).

Если х — независимая переменная, то

D2Y(A} — F"(A) ∙ Dx2; Dny(A) = Fn(A) ∙ Dxn, гее N.

Производные высших порядков некоторых
элементарных функций

1) (хр)(п) = Р • (р — 1) •… • (р — п + l)xp^n; Р R;

(-l)n^1 • (п -1)!

2) (In х)(п) =——————— ; х > 0;

(Log Х)(п) = —————— (In х)(п); А > 0; A 1; Х > 0.

In А

3) (а*)(п) = Ax Inn а; А > 0; A 1; (ejc)<n> — nπ

5) (cos x)(n) = cos x +

6) (ch x)<2a> = ch X; (ch x)<2*+1> = sh X; k N;

7) (sh x)<2*> = sh X; (sh x)(2A+1) = ch X; k N.

Свойства производных и дифференциалов
высших порядков

1) (f(χ)i g(x))M = FaKχ)i ginKχ);

2) Формула Лейбница: (F(X) ∙ G(X))(A) =

П

= χ⅛ ∙ FkKx) ∙ G^AKKx)> где F0) = F(X)’> G<0Kx) = G(X)I

Fe=0

A kl(n-k)↑,

2′) (C ∙ g(x))<n> — C ∙ g00(x); C const.

Аналогичные соотношения для дифференциалов име­ют вид:

1) Dn(f(x) ± g(x)) = dnf(x) ± dng(x);

2) D"(f(x) ∙ g(x)) = ∑Ckn ∙ d*f(x) ∙ d"→g(x); <P∕(x) — F(x); d0g(x) = g(x);

2′) Dn(C F(x)) = C ∙ dnf(x); C const.

Пример 8. Найти производные и дифференциалы второго порядка следующих функций: A) Y = esinx; б) У = X3 In Х. Решение.

А) у Esinx; Y, = (Esinx)’ = esinjc ∙ (sin X)’ — esinx ∙ cos Х;

Dy = esinx ∙ cos х ∙ dx;

У" = (УУ = (csin x ‘ cθs χ)’ = (esin x)’ * cos х +

+ esinx ∙ (cos X)’ = (esinx) ∙ (sin x)’ ∙ cos х + e3inx ∙ (-sin х) =

_ gsin Х (cos2 χ — gɪn χ),

D2y — gsin Х (cos2 χ — sjn χ) Jχ2.

Б) ι/ = x3 ∙ In х; У’ = (х3 ∙ In x)’ = 3×2 ∙ In х + x3 ∙ ɪ =

= X2 (3 In х + 1);

Dy = X2 (3 In х + L)dx;

3

У" = (уУ = 2х • (3 In х + 1) + X2 • — = х (6 In х + 5); D2Y = x(6 In х + 5) Dx2.

Ответ: a) esinx (cos2 х — sin χ); esinx (cos2 х — sin х) Dx2. Б) х (6 In х + 5); x(6 In х + 5) Dx2.

Пример 9. Найти производную n-го порядка следующих функций:

А) У = X2Ex‘, 6} у — X2 ` sin х; в) У = —.

Xz-l

Решение.

А) Воспользуемся формулой Лейбница, учитывая, что (x2)<n> = О при П > 3:

(χ2ex)(n) = С0. χ2 . (ex)(n) + cl. (χ2)’ . (ex)(n-1) +

+ Cj√x2)»∙(ex)<n-2>;

Cj = 1; Cj = n; C2 = n(”2 ŋ J (ex)<n> = (ex)<"-ι> = (е*у«-2) = ex;

N(n 1)

(x2 e*)(n) = x2 ∙ ex + 2x ∙ n ` ex + —————- • 2 * Ех =

= Ex (x2 + 2Nx + n(n-l)).

Б) Поскольку (х2)(п> — О при П > 3, то

(x2 ∙ sin х)(п> = Cj, X2 * (sin x)(n) + C J, (х2)’ ∙ (sin x)<n-n +

+ Cj, (x2)" ` (sin x)<n^2>;

= —cos


X + ⅛-2)

= — sin

π

Х + — П

I 2 J

I 2 J

(sin x)(n_2) =≈ sin

(x2 ∙ sin x)<n> = (x2 N(n 1)) sin

— 2Nx ∙ cos

В) Разложим дробь на сумму простейших:

2 _ 1 1

( 2

(п)

κ 1

(п)

F 1 4

X2-l

Х + 1

< √

X2-I х-1 х + 1 . Следовательно,

Так как ((х — 1)_1)(п) — (-1) • (-2) • … ∙ (-n) • (х — l)’ln =
(-L)NWl
(x-l)n+1 ;

((x + l)1)<n> — (-1) • (-2) • … ∙ (-n) ♦ (х + l)-ι-" —
(-1)" ∙

(х + 1)

П+1 »

\(п)

ТО

XIj

= (-l)nn!

(X-I)

Л+1

Ответ: a) Ex (x2 + 2nx + n(n-l));

(х + 1)

П+1

Б) (x2 — n(n — 1)) sin

2nx ∙ cos

В) (-l)n — п!

(XI)

Л+1

(х + 1)

Производные высших порядков от функций,
заданных параметрически и неявно

1. Если функция У(х) задана параметрически

Если существуют производные X"(T) и Y"(T), то

‘y'(t)’

{χf(t)jt

Y"(χ) = (y'<χ))’x =

■t’ =

Y'(t) ■ χ∖t} — y,{t} ∙ x'{t)

χT) (√(f))3

Аналогичным образом можно рассчитать производные более высокого порядка.

2. Если функция У(х) задана неявно F(X; у) = 0, то

F:

Y‘(X)≈-

F

Следовательно, Y'(x) = f(x; у), τp, e f(x; y) = ~ x

У’‘(X) = F(X‘, у(х» = TX + К ‘ у’ = + К F

Аналогичным образом находятся производные более высокого порядка.

Пример 10. Найти производные до третьего порядка включительно функции У(х), заданной параметричес-

X(t) = 2t-t3, Ки:

Y(t) = 3t-t.

Решение.

Находим первую производную:

Y‘(T} 3-3f2 [2

Строго говоря, здесь нет явно выраженной производ­ной функции У(х), а есть ее параметрическое представле­ние:

У Ift = O~⅛>

2-Зг

X(T) = 2TT3.

Поэтому вторая производная находится аналогично первой:

6⅛ • (2 — ЗГ) — (3 — ЗГ) ♦ (-6Q
(2 — 3T2)2 • (2 — 3⅛2)

-12T + 18T3 + 18T-18T3

(2-3T2}3 ’

Т. е. получена вторая производная в параметрической форме

Qt

X(T) = 2TT3.

Находим третью производную:

Пример 11. Найти первую и вторую производные функ­ции, заданной неявно, Ех» + у — 3 = 0.

Решение.

Дифференцируем обе части исходного выражения, рас­сматривая У как функцию от Х:

(е*. »(*) + У(х) — 3)’ = 0; Ex∙у(х> • (х Y(X)Y + Y,(X) = θ; Ех • У ’ (у + х • у’) + у’ = 0; ExYXY‘ + Y‘≈-ExY^ у;

_ Iog2X-I 3’y~ Iog5 х + 1

_ 5XTgx &’У 5X + ctg х 7.YE~Vi.

9. У = Vln2 х + 1 .

11. У = arctg (з — Vcos х).

13. У = (arcsin х) arccos<

Найти производные функций, заданных параметричес­ки:

14. X = e,∙fy≈tg t;

15. х = Vl — T2 » У ~ cos t’

Найти производные функций, заданных неявно:

16. х + У — Exy = 0.

17. sin (xz — У) — у2 = 0.

18. Доказать, что уравнение У = х5 + Зх определяет од­нозначную функцию х = х(у) и найти ее производную.

Найти дифференциалы функций:

19. У = tfχZ ∙ in(l — 5х).

Sin Зх +1

20. У =————- .

Cos 5x -1

Найти производные и дифференциалы второго порядка fiʌ

21. У = arcsin — .

Iх;

22. У = 2~c⅛*.

Найти первую и вторую производные функций, задан­ных параметрически:

23. х = T sin T; У = 5‘.

З

24. х = T 4 ; z/ = log 3t.

Найти первую и вторую производные неявно заданных функций:

25. cos (х + У) — х + У — 0.

26. ln(x + 2у) — у + 1 = 0.

Ответы:

1. a) IOx +

О Л Q

-⅜=j6)-3x 2 -|х 5 ; 2√x 5

13

Ч 2 -ɪ 9 1ft м

В)—— X 5+—— X lθ+-X °———— X

5 10 5 2

3 "б 1

2. 6x — cos х — 3×2 sin х

InlO

2(2x ∙ cos х — Sin х)

3.

In2∙ln5∙x∙log^(5x)2 ’

. arcsin х arctg х 4. __+ ð •

1 + х‘

VT

(5x ∙ In 5 — cos~2 Х) • (5* + ctg Х) — (5* — tg Х) • (5* ∙ In5 — sin^2 Х)

6. -50(4 — 5х)9;

(5x + ctg х)2

1

7.-3

8. 3sin2 х ∙ cos х ∙ cos2 Зх — 3sin3 х ∙ sin 6х; 2 In х

9.

7x ∙V(ln2x+ I)6

10.

Vx2 + K

11

12

2 Vcos х (lθ — β7cos х + cosx)

. (sin x)8in* ∙ cos х ∙ (In sin х + 1);

13. (arcsin х)

Vl-X5

Arccos х arcsin х

— Inarcsinx ;

14.

Е ■ cos T

15.

5 sin T

V(l — ?2)4

16.

ХУ + У

18.

I-х2- ху

1

5х4 + 3 *

17.

19.

2x ∙ cos(x2 — У) Cos(x2 — У) 12у ’

∕ .rɪʌ

3 ln(l — 5х) _ 5 ∙ Vx2" 4∙Vx 1-5х

Dx

3 Cos 2х — 3 Cos Зх + 5 Sin 5X + 2 Sin Зх Sin
(cos 5x -1)2

Л, 1 Dx 2×2-l

M I _ .1 « _ ■■■■■ ■ I ■— ■ ■ — ∙ *

XVx2 -1 хл/х2 -1 X2(X2L)Yχ2 -1

2×2-1

X2(X2-I)Zx2-Idxi

2-ctgx 2"ctsχ 1 — sin 2х

22. —«— 1п2; —a— ln2 ∙ Dx; 2~c⅛* • 1п2 • —~~4——— ;

Sυrx sin х sιn4 Х

1 — sin 2x

2-c⅛x. jn2—— ——— Dx;

Sin х

23.

Sin T + t∙ cos T

5t ∙ In5(ln5 ∙ (sinf + T ∙ cost) — 2cosf + TSinf)

31n3 ’ 31n3

1 + sin(x + Y) . 4 cos(x + Y)

1 — sin(x + Y) ’ (i _ sin(χ + Y))3 ’ 1 X+ 2y

X + 2y-2′ (x+2y-2)3

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *