ПРОЦЕССЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

1. ВВЕДЕНИЕ

В начале этой главы изложен общий подход к процессам излучения распределенных зарядов и токов, а затем рассмотрены некоторые примеры излучения движущихся зарядов. В конце главы обсужда­ются излучение зарядов, ускоренных до релятивистских энергий, излучение Черенкова и переходное излучение.

2. ИЗЛУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ И ТОКОВ

Рассмотрим нерелятивистскую задачу об излучении гармонически колеблющихся локализованных зарядов и токов

P(r’,ŋɪp(r’)e^, (1)

J(r’,ŋ = J(r’)e-iωt. (2)

Такие источники излучения хорошо известны и связаны друг с дру­гом уравнением непрерывности

V∙j + ∣ = 0, (3)

Которое в нашем случае имеем вид

V-J = iωp. (4)

Колебания плотности тока служат источником вектор-потенциала

∣r — г I

Который путем интегрирования позволяет найти магнитное поле излучения

Используя уравнение Максвелла

VxH= ɪ = — iωε0E, (7)

Можно найти выражение ротора (6) и (с учетом μoεo = 1/с2) полу­чить электрическое поле излучения

E=-VxB, (8)

К

Где величины В И Е, Вычисленные на основе уравнений (5), (6) и (8), Относятся к области пространства вне источника, в котором J = O. Таким образом, интеграл (5) по плотности тока позволяет определить электрическое и магнитное поля излучения.

3. ЗОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

Особый интерес представляет случай, когда излучающие токи и за­ряды локализованы в малой области с характерным размером D, Который значительно меньше длины волны излучения, d « А. Та­кое ограничение позволяет использовать некоторые приближения, упрощающие вычисление интеграла (5) по распределению источ­ников. Можно выделить три зоны расстояний Г от источника, в каждой из которых можно рассчитать картину полей:

D≪r ≪ А ближняя, или статическая зона (9а)

D ≪ г ≈ А промежуточная, или зона индукции (96)

D <⅛C λ Г дальняя, или зона излучения (9в)

Поскольку К = 2π∕λ, условие (9а) для ближней зоны можно запи­сать в виде К ■ г <ξC 1 и, следовательно, экспоненциальный член в интеграле (5) положить равным единице. C другой стороны, член |г — R~1 Можно разложить в ряд по тессеральным гармоникам ме­тодом, описанным в гл. 28, после чего выражение (5) для вектор — потенциала принимает вид

(θ‘,φ‘)Rltdirl. (10)

Ближнее поле носит статический характер и испытывает гармони­ческие колебания; его принято называть квазистационарным. Нали­чие члена г£+1 в знаменателе приводит к тому, что основную роль играют неисчезающие моменты низшего порядка.

В промежуточной зоне, или зоне индукции, где λ ~ Г и Кг ~ 2π, В Разложении должны присутствовать все степени К • г, В резуль­тате чего задача значительно осложняется. В этом случае можно

Использовать мультипольное разложение, однако мы не будем рас­сматривать решение для этой зоны, поскольку она не представляет большого практического интереса.

Зона излучения является наиболее важной. В этой зоне λ « г (и. следовательно, К • г 3> 1), что соответствует быстрым колебаниям показателя экспоненты. Поскольку в этой зоне R <≤C Г, можно поло­жить Г = Nr и использовать в показателе экспоненты приближение ∣r-r’∣ ≈r-nτ’, (11)

Позволяющее вынести член Егкг из-под знака интеграла, а также заменить |г —г’| В знаменателе на г. Поскольку K• г’ ≪ 1, экспоненту Eikflτ можно разложить в быстро сходящийся степенной ряд и в результате получить окончательное выражение

А(г)

Демонстрирующее, что излучение обусловлено главным образом первым отличным от нуля членом степенного разложения.

4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ

Для излучения электрического диполя П = 0 и мы можем, исполь­зуя уравнение (4), проинтегрировать уравнение (12) по частям и вычислить вектор-потенциал А(г) В виде интеграла от плотности дипольного момента P{X‘,Y‘, Z,‘)τ‘, Что дает

U∩ Eikr

A(r) = -^ikcp————- . (13)

Г

Подставляя результат в (6) и (8), получим поля излучения в яв­ном виде:

B = ¾2c(nxp)-, (14)

4π Г

Е = “4^/(йХр)Хй5Г’ (‘5)

Если ввести сферическую систему координат с осью Z, направлен­ной вдоль дипольного момента Р, То полученные выражения при­обретают вид (рис. 15.1)

В = -^-K2Cpsmθ-—F>O, (16)

4π Г

1 Eikr ^

E = — ——- fc2psi∏0—— Θq.

4πεo Т

Рис. 15.1. Поля Б И В излучения осциллирующего электрического диполя (расположен в центре и вытянут вдоль оси Z) в сферических координатах В и φ (приведены соответствующие единичные векторы).

На рис. 15.1 показано также направление единичных векторов θɑ и фо- Легко показать, что вектор Пойнтинга

P2 Sl∏2 θ

ExH = (const)——п (18)

В Зоне излучения спадает с расстоянием пропорционально 1 / г 2, ак­сиально симметричен (т. е. не зависит от </?), зависит от угла как sin2 θ и максимален в плоскости (х, у), перпендикулярной оси ди­поля.

В зоне излучения магнитный дипольный момент μ, определяе­мый выражением (31) гл. 11, равен

μ= i ʃ Г’ Х J(R‘)D3R‘, (19)

А соответствующий вектор-потенциал

Ип Eikr

А(г) = — —-(Ikn Х μ)———————————— (20)

Г

Совпадает по виду с магнитным полем В Электрического диполя (14) с заменой n х р на n × μ. Поэтому магнитное поле излучения В Магнитного диполя совпадает по виду с электрическим полем излучения E Электрического диполя.

5. ИЗЛУЧЕНИЕ

РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА

Электрическое и магнитное поля равномерно движущегося заряда просто увлекаются им вдоль траектории движения, тогда как при ускоренном движении заряда возникает излучение. В этом разделе мы рассмотрим поля, связанные с равномерно движущимся заря­дом, а в следующих — излучение ускоренных зарядов.

Пусть заряд Q движется по прямой в направлении Z, Z‘, как пока­зано на рис. 15.2. Наблюдателю в точке Р, находящейся на расстоя­нии Ь от оси Z в направлении У, заряд виден под углом θ к оси Z. Для наблюдателя движение начинается при Z — — оо и 0 = 0 и заканчи­вается при Z = +oo, θ = π. В качестве T 0 можно принять момент максимального сближения заряда с наблюдателем, что соответству­ет углу θ = π∕2. В системе покоя заряда в любой момент времени в

Рис. 15.2. Система координат, используемая при расчете электрического и магнитного полей в точке P при равномерном движении заряда Q со скоростью V в направлении Z. Приведены декартовы координаты в лабо­раторной системе (ж, У, Z) и в системе покоя частицы (X‘, Yl, Z‘).

E‘ = E1 Cosθ =

При этом линии напряженности электрического поля концентриру­ются вблизи направления, перпендикулярного направлению движе­ния, а линии напряженности магнитного поля В образуют замкну­тые окружности вокруг траектории заряда (рис. 15.3).

6. ИЗЛУЧЕНИЕ УСКОРЕННОГО ЗАРЯДА

Использование теории относительности для расчета излучения бы­стро движущегося заряда приводит к модификации нерелятивист­ских потенциалов при замене покоящихся зарядов движущимися
зарядами ev. Кроме того, необходимо учитывать, что потенциалы в точке пространства г в момент времени T соответствуют поло­жению заряда в более ранний момент времени T‘, т. е. учитывать время запаздывания

TT = |г — r’∣∕c. (26)

Эти преобразования приводят к выражениям (см. J. P. Jackson, Classical Electrodynamics, 1975, ch. 14)

4π [(I — βH)R

Где R расстояние от наблюдателя до заряда, ап — единичный век­тор в направлении R. После довольно сложных вычислений для электрического и магнитного полей получаются выражения

Е(М 2πε0 (72(l-∕3∙‰03aπ +

+ E (Iιx ((Ft~3) ×FtΛ

4лцс \ (1 — β n)3-R /

\ / зап

B = ⅛×E]3aπ. (30)

С

Первый член в (29), который описывает поле, связанное с движе­нием заряда с постоянной скоростью, спадает с расстоянием про­порционально 1/Д2 и не создает излучения; однако второй член (связанный с наличием ускорения) спадает пропорционально 1/Л, что характерно для поля излучения.

7. ИЗЛУЧЕНИЕ УСКОРЕННОГО ЗАРЯДА В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ОБЛАСТИ

При ускорении медленно движущегося заряда (/3 <⅞C 1) второй член в правой части формулы (29), описывающий поле излучения, при­нимает более простой вид

E(r, t)≈

Абсолютная величина поля E(r, t)

Где θ угол между вектором β и направлением излучения, ность, излучаемая в единичный телесный угол, составляет

DP _ E2β2 sin2 θ DPl 167r2ε0c

После интегрирования полная мощность излучения есть

6πεoc’

Этот результат был получен Дж. Лармором.

8. ИЗЛУЧЕНИЕ УСКОРЕННОГО ЗАРЯДА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ОБЛАСТИ

Приближение Лармора (33) неприменимо к зарядам, движущимся с релятивистскими скоростями. Если ускорение занимает настолько короткий промежуток времени, что векторы β и β остаются посто­янными по величине и направлению, а наблюдение осуществляется Из Удаленной точки, так что значения П И R в процессе ускорении изменяются незначительно, то для мощности излучения можно на­писать выражение

DP = β2 |п х {(N-∕3) х ∕3}2 CZΩ 16π2εoc (1 — β ■ п)5

Мы рассмотрим по отдельности случаи продольного и поперечного ускорения.

При продольном ускорении векторы β и β параллельны, и (35) принимает вид

DP E2β2 Sin2 θ DΓl 16π2εoc (1 — β п)5′

В Пределе β —> 1 знаменатель дроби стремится к нулю, и в распре­делении излучения появляется пик при угле

#тах ≈ 2^∙ (37)

Таким образом, излучение в основном концентрируется в узком конусе вдоль направления движения частицы, как показано на рис. 15.4. Полная мощность излучения равна

Р = β2∕3276 = Е2 р2 6πεoc 6πεoc3 Т2 ’

В случае равномерного кругового движения, при котором ускоре­ние перпендикулярно направлению движения заряженной частицы, наблюдается так называемое синхротронное излучение с угловым распределением

DP _ Е2___________ β2

DQ. 16π2εoc (1 — ∕3cos0)3

Это излучение максимально в направлении вперед {θ = 0), затем спадает до нуля, после чего достигает вторичного максимума. Излу­чение сосредоточено в плоскости орбиты. Сечение пучка напомина­ет овал или эллипс, главная ось которого совпадает с направлением оси орбиты (⅛j = ∣7r, угловая ширина ≈ 2/7), а малая ось лежит в плоскости вращения {φ = 0, а угловая ширина ≈ I/7), как показано на рис. 15.4. Полная мощность излучения равна

E2Ff274 _ E2 P272 6πε∩c 6πεoc3 m2

Сравнивая выражения для мощности излучения при ускорении в продольном и поперечном направлениях, можно отметить, что при одном и том же значении Р (т. е. одинаковой приложенной силе) излучение при поперечном ускорении оказывается в 72 раз интен­сивнее, чем при продольном. Однако в случае постоянного значения β излучение в 72 раз интенсивнее при продольном ускорении. Это легко объяснить различием в величине производных от импульса Р = ∙γmυ в указанных случаях:

Р = 73mr при линейном движении, Р — ‘> при круговом движении,

Что легко проверить простым дифференцированием с учетом по­стоянства величины (1 — v2∕c2)-1/2 при круговом движении.

Излучение электронов регистрируется в плоскости орбиты в ви­де серии последовательных импульсов, по одному за оборот. При β ≈ 1 угловой раствор пучка излучения θ ≈ I/7 возникает при прохождении электроном по орбите расстояния , где Р — радиус орбиты. Импульсы длительностью ∆i

∆t≈ p∕273c (42)

Возникают с периодом Jo

J10 = 2πpC, (43)

Где 2πp~ длина круговой орбиты. Детали приведены на рис. 15.5. Фурье-разложение импульса показывает, что пучок оказывается

Рис. 15.5. Импульсы излучения длительностью ∆t = P∕2Y3C, испускае­мые с периодом То = 2-р/с при равномерном движении релятивистского заряда со скоростью V ~ с по круговой орбите радиусом Р.

Рис. 15.6. Угловое распределение синхротронного излучения в случаях, когда частота ω значительно больше, сравнима и значительно меньше критической частоты ωc.

Широким и малоинтенсивным в области низких частот, узким и по — прежнему малоинтенсивным в области высоких частот, а основная доля интенсивности излучения <βlDwdQ, сосредоточена в окрест­ностях критической частоты ωc (рис. 15.6)

ωc = 3y3c∕ Р, (44)

Которая близка к обратной ширине (длительности) импульса At (42).

Ультрарелятивистские заряды, испытывая кратковременное произвольное ускорение, испускают синхротронное излучение, срав­нимое по интенсивности с излучением заряда, движущегося непре­рывно с постоянной скоростью по круговой орбите.

9. ЧЕРЕНКОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Еще один тип излучения быстро движущихся частиц наблюдается при движении частиц в среде со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, которая равна С/п = c∕[ε(ω)∕εo]1/2, где П — Показатель преломления. Качественная картина волновых фронтов излучения показана на рис. 15.7. Если скорость частицы V меньше С/п, то волновые фронты полей E и В всегда опережают части­цу, как показано на рис. 15.7,а, и излучение не возникает. Однако

Если скорость частицы превышает скорость света в данной среде, частица опережает фронт распространения волны, как показано на рис. 15.7,5. В этом случае существует угол θc, под которым распро­страняется фронт волн. Угол θc называется углом черенковского излучения, а его величина определяется соотношением

(45)

C°sθc /3[ε(ω)∕ε0]1/2′

Из которого следует

Излучение испускается под углом θc, поэтому, измеряя этот угол и зная величину диэлектрической проницаемости ε данного веще­ства, можно определить скорость электрона. Поскольку диэлектри­ческая проницаемость представляет собой функцию частоты ε(ω), свет различной частоты излучается под несколько различающими­ся углами. Излучение легко наблюдать в виде слабого свечения во­ды, окружающей активную зону ядерного реактора. Излучение ли­нейно поляризовано в плоскости, образуемой траекторией частицы и направлением наблюдения.

10. ПЕРЕХОДНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Мы уже показали, что заряженная частица, движущаяся с большой скоростью в среде, увлекает за собой электрическое и магнитное поля, характер которых зависит от скорости частицы и от свойств среды. Когда частица внезапно переходит из одной среды в другую, то при подходе к границе раздела сред и после пересечения этой границы поля перестраиваются. На определенном отрезке траекто­рии D (его называют глубиной формирования) поля, возникающие в различных точках траектории, интерферируют, в результате чего возникает излучение (в основном в области углов θ < 1/7). Глуби­на формирования равна

D ≈ ^Icωp ≈ 7λp∕27r, (47)

А спектр излучения содержит частоты вплоть до ωωp, где ωpПлазменная частота, a Xp —- плазменная длина волны.

ГЛАВА 16

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *