ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО

50. Функции от положительного целочисленного переменного.

В гл. II мы рассмотрели понятие функции от действительного пере­менного Х и привели большое число примеров таких функций. Чита­тель вспомнит, что мы встретились там с одним очень важным обстоятельством: некоторые из этих функций были определены для Всех значений Х, некоторые—-только для Рациональных значений, некоторые — только для Целочисленных значений и т. д.

Рассмотрим, например, следующие функции: (1) Х, (2) ∣∕rХ, (3) знаме­натель Х, (4) корень квадратный из произведения числителя и знаменателях,

(5) наибольший простой делитель Х, (6) произведение j/Х и наибольшего простого делителя Х, (7) х-ое простое число, (8) измеренный в дюймах рост заключенного номер х в Дартмурской тюрьме.

Тогда совокупности значений х, для которых эти функции определены, или, как говорят, Области определения этих функций, состоят из (1) Всех Значений х, (2) Всех положительных значений х, (3) Всех рациональных Значений х, (4) Всех положительных рациональных значений х, (5) Всех целочисленных значений х, (6), (7) Всех положительных целочисленных Значений х, (8) некоторого числа положительных целочисленных значений х, а именно, 1, 2,…, N, где N—Число всех заключенных в Дартмурской тюрьме в данный момент времени1).

Рассмотрим теперь такую функцию, как, например, функция примера (7), которая определена для всех положительных целочис­ленных значений х и ни для каких других. Такая функция может рассматриваться с двух, слегка отличающихся друг от друга, точек зрения. Мы можем рассматривать ее, как мы это делали до сих пор, как функцию действительного переменного Х, определенную только

*) В этом последнем случае N зависит от времени, а заключенный номер х, где х имеет определенное значение, представляется разными лицами в разные моменты времени. Таким образом, если мы будем рас­сматривать разные моменты времени, то получим простой пример функ­ции y = 5(x, 7) от двух переменных, определенной для некоторой области значений T, а именно, с момента открытия Дартмурской тюрьмы до момента ее закрытия, и для Некоторого числа положительных целочисленных зна­чений х, причем это число изменяется со временем.

Пределы функций от целочисленного переменного 113

Для некоторых значений Х, а именно, положительных и целочислен­ных, и считать, что для всех остальных значений Х данное опреде­ление непригодно. Или же мы можем вообще исключить из рассмотре­ния все значения Х, отличные от положительных целочисленных, и рассматривать нашу функцию как функцию от Положительного целочисленного переменного п, значениями которого являются поло­жительные целые числа

1, 2, 3, 4, … .

В этом случае мы можем писать

Y = φ(∕z)

И уже рассматривать У как функцию от П, определенную для всех значений П.

Очевидно, что всякая функция от Х, определенная для всех зна­чений Х, порождает функцию от П, определенную для всех значений П. Так, из функции Y=χi мы получаем функцию У — п2 простым исключением из рассмотрения всех значений Х, отличных от поло­жительных целых чисел, и соответствующих значений У. C Другой стороны, из любой функции от П мы можем вывести любое число функций от Х, приписывая произвольным образом значения У, соот­ветствующие значениям Х, отличным от положительных целых чисел.

51. Интерполяция. Задача определения функции от Х, которая должна принимать для всех положительных целочисленных значений Х значения, равные соответствующим значениям некоторой данной функции от П, играет весьма важную роль в высшей математике. Она называется Задачей функ­циональной интерполяции.

Если бы задача состояла только в том, чтобы найти Какую-нибудь Функцию от Х, удовлетворяющую поставленным условиям, то ее решение не представляло бы никаких трудностей. Мы могли бы, как уже было ука­зано, просто заполнить недостающие значения каким угодно образом; мы могли бы даже просто рассматривать данные значения функции от я как Все значения функции от Х, и сказать, что определение этой последней функции непригодно для всех остальных значений Х. Но такие решения, конечно, не представляют интереса. В качестве решения обычно требуется некоторая Формула (возможно более простого вида), содержащая Х и при­нимающая данные значения при Х—1, 2, … .

В некоторых случаях, в особенности тогда, когда сама функция от П Определена с помощью формулы, имеется очевидное решение. Если, напри­мер, У = φ (я), где φ (я) — такая функция от П, которая (как,-например, я* или cos Пп) сохраняет смысл и для П, отличных от положительных целых чисел, то мы, естественно, берем в качестве решения функцию У = φ {X). Но даже в этом очень простом случае легко написать другие, почти оди­наково очевидные решения задачи. Например,

У = φ (х) — ф sin χπ

Принимает значения φ(n) при Х — я, так как sin як = 0.

В других случаях φ (я) может быть определена формулой, как, напри­мер, (—1)”, теряющей смысл при некоторых значениях Х (в данной примере для рациональных значений Х с четными знаменателями и для иррацио­нальных значений). Но может оказаться возможным преобразовать фор-

8 Г. Харди

Мулу таким образом, что она станет применима для всех значений Х. В рас­смотренном случае, например,

(—l)n≈ cos Пп,

Если П — целое число, и задача интерполяции решается функцией cosxπ.

В других случаях φ(x) может быть определена для некоторых значений Х, отличных от положительных целых чисел, но не для всех таких значений. Так, от Y = Tιn мы приходим к У — Xх. Это выражение имеет смысл только для некоторых из остающихся значений Х. Если мы для простоты ограни­чимся только положительными значениями Х, то имеет смысл для всех рациональных значений Х, в силу определений дробных степеней, принятых в элементарной алгебре. Но когда Х иррационально, Xх (по крайней мере с той точки зрения, которой мы придерживаемся в настоящий момент) не имеет никакого смысла. Мы приходим, таким образом, к вопросу о таком расши­рении наших определений, чтобы выражение Хх имело бы смысл и в том случае, когда Х иррационально. Дальше мы увидим, как такое расширение может быть осуществлено.

Рассмотрим, наконец, случай, когда

У — 1.2 … П — я!

Здесь не существует очевидной формулы от Х, которая сводилась бы к «1 при Х = п, так как Х\ ничего не означает для значений Х, отличных от положительных целых чисел. Это — один из тех случаев, в которых попытки решить задачу интерполяции привели к важным открытиям в математике. Математикам удалось найти такую функцию (так называемую гамма-функ­цию), которая обладает требуемым свойством и целым рядом других важ­ных и интересных свойств.

52. Конечные и бесконечные классы. Прежде чем итти дальше, необходимо сделать несколько замечаний О Некоторых абстрактных понятиях, постоянно встречающихся в чистой математике.

В первую очередь, читатель, вероятно, знаком с понятием Класса. Нет необходимости рассматривать здесь какие-либо логические труд­ности, обязанные с понятием класса; грубо говоря, мы можем считать, что класс — это совокупность понятий или предметов, обладающих некоторым свойством, которое может быть простым или сложным. Так, мы имеем классы британских подданных, членов парламента, положительных целых чисел или действительных чисел.

Болес того, читатель имеет, вероятно, также и представление о том, что понимается под Конечным или Бесконечным классом. Так, класс Британских подданных—Конечный класс: совокупность всех британских подданных, в прошлом, настоящем и будущем, состоит из конечного числа П элементов, хотя мы, конечно, в настоящий момент не в состоянии указать значение этого числа П. C Другой стороны, класс Британских подданных в настоящий момент состоит из числа элементов, которое мы могли бы установить путем счета, если бы методы переписи были достаточно эффективными.

Класс положительных целых чисел бесконечен. Более точно это можно выразить следующим образом. Если я — любое положитель­ное целое число, как, например, 1 ООО, 1 000 ООО, или любое другое число, которое мы зададим, то существует более я положительных

Пределы функций, Oni целдЧйсЛенндгд переменного IlS

Целых чисел. Так, если мы задали число 1 000 ООО, то, очевидно, существует но крайней мере 1 000 001 положительное целое число. Бесконечными являются и классы рациональных или действительных чисел. Это удобно выразить следующими словами: Существует бес­конечное число положительных целых чисел или рациональных чисел, или действительных чисел. Но читатель должен всегда помнить, что под этим мы понимаем просто то, что число элементов рассматри­ваемого класса не является конечным числом, как 1 000 или 1 000 000.

53. Свойства, которыми обладает функция от П для больших Значений я. Мы можем теперь вернуться к „функциям от я“, кото­рые мы рассматривали в пп. 50—51. Они во многом отличаются от функций от Х, рассмотренных нами в гл. II. Но имеется один основ­ной момент, общий обоим классам функций: Значения переменного, для которых они определены, образуют бесконечный класс. Это обстоятельство лежит в основе всех дальнейших рассмотрений, кото­рые, как мы увидим, переносятся и на функции от Х.

Допустим, что φ(n) — любая функция от я и что P любое свойство, которым φ (я) может обладать или нет, как, например, свойство быть положительным целым числом или быть большим 1. Рассмотрим для каждого из значений я=1, 2, 3, …, обладает ли φ (я) свойством P или нет. Могут представиться три случая:

(a) φ (я) может обладать свойством P для Всех значений я или для всех значений я, кроме конечного числа N значений;

(b) <р(я) может не обладать свойством P ни для одного значе­ния я или только для конечного числа N значений;

(c) ни (а), ни (Ь) может не иметь места.

Если имеет место случай (Ь), значения я, для которых φ (я) обла­дает данным свойством, образуют конечный класс. В случае (а) значения я, для которых ψ(∏) не обладает данным свойством, обра­зуют конечный класс. В третьем случае (с) ни один из этих классов не конечен. Рассмотрим несколько примеров.

(1) Пусть φ(π) = n и P означает свойство быть положительным целым числом. Тогда φ (я) обладает свойством P для всех значений я.

C другой стороны, если P означает свойство быть положительным целым числом, большим или равным 1 000, то φ (я) обладает этим свойством для всех я, кроме конечного числа значений П, а именно, 1, 2, 3, …, 999. В обоих случаях имеет место (а).

(2) Если φ (я) = я и P является свойством быть меньше, чем 1 000, то имеет место (Ь).

(3) Если φ (я) = я и P является свойством быть нечетным, то имеет место случай (с). Ибо φ(π) нечетно, если я нечетно, и четно, если я четно, а классы нечетных и четных значений я оба бесконечны.

Примеры. В каждом из последующих примеров установить, какой из трех случаев (а), (Ь) или (с) имеет место:

(1) φ (я) = я, P — свойство быть точным квадратом;

(2) φ(n)=p4, где Р„ обозначает я-ое простое число, P — свойство быть нечетным;

8*

(3) φ(n)=≤pn, P свойство быть чгтным;

(4) φ («)=/>„, Р — свойство φ(π)>π;

(5) φ (я) = ɪ — (—-1)” ɪ, P свойство φ (п )< 1;

(6) φ (∏) = 1 — (—1)” ɪ, Р —свойство φ(π)<2;

(7) φ(n) = 1000 {I +(— 1)"} ɪ, P свойство φ(π)<l;

(8) φ(n) = -^-, P свойство φ (п) < 0,001;

(9) о (я) = (— I)" ɪ, P свойство ∣φ(я) | < 0,001;

(10) у (п) — ɪθ θθθ, или (—1)” ɪθ θθɑ, р—0дн0 H3 свойств φ (я) <0,001 или I φ (я) I < 0,001;

(11) ?(«) = —ψy> P свойство 1 — φ (я) <0,0001.

54.Предположим теперь, что утверждение (а) имеет место для рассматриваемых φ (я) и P, т. е. что φ (я) обладает свойством Р, Если не для всех значений я, то во всяком случае для всех значе­ний, кроме конечного числа N этих значений. Обозначим эти исклю­ченные значения через

Йр й^,. • • > Tt∙N .

Конечно, нет никаких оснований ожидать, что эти N значений будут Первыми N значениями 1, 2 N, хотя, как показывают преды­

Дущие примеры, это часто бывает именно так. Но, так или иначе, мы знаем, что Ср(п) обладает свойством Р, если N^>nχ. Так, я-ое простое число нечетно, если я 2, так как я = 2 является единствен­ным исключением из утверждения; ɪ <^0,001, если я^>1 000, а первые 1 000 значений я являются исключениями;

I 000{l+(-l)π}i<l,

Если я 2 000, причем исключенными значениями являются 2,4, 6, … , 2 000. Это означает, что в каждом из рассмотренных случаев φ (я) обладает соответствующим свойством Для всех значений, п, начиная с некоторого.

Это утверждение мы будем часто выражать словами: φ (я) обла­дает данным свойством для Больших, или Очень больших, или Всех достаточно больших значений я. Таким образом, когда мы говорим, что φ (я) Обладает свойством P (которое обычно будет выражаться некоторым соотношением или неравенством) Для больших значений я, то имеем в виду, что можно найти некоторое определенное число я0 такое, что φ (я) обладает свойством P для всех значений я, больших или равных я„. В примерах, рассмотренных выше, это число я„ может быть взято равным любому числу, большему чем Nχ, наибольшему из исключенных значений; естественнее всего положить я„ = -(- 1.

Таким образом, мы можем сказать, что „все большие простые числа нечетны" или что меньше чем 0,001 для больших значе­ний я". Читатель должен освоиться с употреблением слова Большие В утверждениях такого рода. Слово Большой само по себе не имеет в математике, как и в обыденной жизни, абсолютного смысла. Обще­известно, что числа, рассматриваемые в одной связи как большие, могут в другой связи рассматриваться как малые; 6 голов — это боль­шой счет в футбольном матче, но 6 пробегов в крикетном матче — это небольшой счет; 400 пробегов — это уже большой счет, но доход в 400 фунтов стерлингов в год—небольшой доход[25]). Конечно, и в математике Большой обычно означает Достаточно большой, и что является большим для одной цели, может оказаться недостаточно большим для другой.

Мы знаем теперь, что понимают под утверждением „<р (я) обла­дает свойством P для больших значений Я". Утверждениями этого типа мы будем заниматься на протяжении всей настоящей главы.

55. Выражение „п стремится к бесконечности". Существует еще несколько иная точка зрения на рассматриваемый вопрос, кото­рую удобно принять. Допустим, что П принимает последовательно значения 1, 2, 3,… . Слово „последовательно", естественно, вызы­вает представление о последовательности во времени, и мы можем, если угодно, предположить, что П принимает эти значения в после­довательные моменты времени (например, в начале каждой секунды). Тогда с течением времени П становится все большим и большим, и не существует предела его возрастания. Какое бы большое число мы ни задали, наступит момент, когда П станет большим, чем это число.

Удобно иметь более короткую фразу для выражения этого бес­конечного возрастания П, и мы будем говорить, что П стремится к бесконечности или П →- оо, причем этот последний символ обычно применяется как сокращение слова „бесконечность". Слово „стре­мится к", так же как и слово „последовательно", вызывает пред­ставление об изменении во времени, и иногда бывает удобно пред­ставлять себе изменение П совершающимся во времени описанным выше образом. Однако это лишь вопрос удобства, так как измене­ние П, как правило, ничего общего со временем не имеет.

Читатель не может переоценить важности полного понимания того, что когда мы говорим „я Стремится к со", мы имеем в виду только то, что я принимает ряд значений, которые неограниченно воз­растают. Не существует числа „бесконечность"Такое равенство как

П = оо

Само по себе Бессмысленно’, число П не может быть равно со, так как „равно оо“ ничего не означает. До сих пор символ ∞ сам по себе ничего не означал, он имел смысл только в одной фразе „стремится к оо“, который мы разъяснили выше. Ниже мы покажем, какой смысл следует придавать другим фразам, содержащим сим­вол со, но читатель должен всегда иметь в виду, что

(1) символ оо Сам по себе ничего не означает, хотя Фразы, содержащие его, иногда имеют определенный смысл, и

(2) в каждом случае, когда фраза, содержащая символ оо, что — либо означает, это происходит потому, что с помрщью специаль­ного определения этой фразе предварительно был придан определен­ный смысл.

Теперь ясно, что если φ(∕z) обладает свойством P для больших значений я, или для „я стремящегося к оо“ в том смысле, который был нами только что разъяснен, то я, в конце концов будет прини­мать значения, достаточно большие для того, чтобы обеспечить функции ψ (я) свойство Р. Таким образом, вопрос: „какими свой­ствами обладает 9(я) для достаточно больших значений я?“, можно сформулировать и так: „как ведет себя <р(я), когда я стремится к бесконечности?".

56.Поведение функции от Я, Когда Я Стремится к беско­нечности. Мы переходим теперь к рассмотрению, в свете замечаний, сделанных в предыдущих пунктах, некоторых предложений, кото­рые постоянно встречаются в высшей математике. Рассмотрим, например, следующие два предложения: (а) ~ Мало для больших

Значений я, (b) 1——— Почти равно 1 Для больших значений я.

Несмотря на то, что они могут представиться весьма очевидными, в них содержится многое, заслуживающее пристального внимания читателя. Рассмотрим сперва (а) как несколько более простое предло­жение.

Мы уже рассматривали утверждение „— Меньше чем 0,001 Для больших значений п“. Это, как мы видели, означает, что неравен­ство -ɪ- <Г 0,001 имеет место для всех значений я, больших некото — рого определенного значения, в данном случае ббльших 1 000. Ана­логично имеет место и следующее утверждение:, ɪМеньше чем 0,0001

Для больших значений Nu, t действительно, ~≤ 0,0001, если я 10 000.

Вместо 0,001 или 0,0001 мы можем взять 0,00001 или 0,000001, или какое угодно положительное число.

Очевидно, что было бы удобно иметь краткое выражение для того факта, что имеет место Любое утверждение типа Меньше

Чем 0,001 Для больших значений П“, где вместо 0,001 мы можем подставить любое меньшее число, как, например, 0,0001 или 0,00001, или любое другое еще меньшее положительное число. Ясно, что это утверждение мы можем выразить так: „как бы мало ни было δ (если оно, конечно, положительно), Ля достаточно больших зна­

Чений п“. Очевидно, это верно. Ибо -^-<Γδ, если ПI, так что наши все „достаточно большие" значения П должны быть только больше чем ɪ . Утверждение это, однако, весьма сложно, так как

В действительности оно содержит целый класс утверждений, которые мы получим, придавая δ частные значения, как, например, 0,001. Чем меньше δ, и, следовательно, чем больше ɪ , тем больше должно быть,

Конечно, наименьшее из тех „достаточно больших* значений, для которых соответствующее утверждение имеет место, причем значения, которые являются достаточно большими для одного значения δ, мо­гут оказаться неподходящими для другого, меньшего значения.

Последнее утверждение, приведенное курсивом, обычно и пони­мают под утверждением (а), что ɪ Мало, когда п велико. Подобным

Образом, (Ь) в действительности означает, что Если φ(∕z) = l—-ɪʒ

То утверждение 1—φ(∕z)<^δ Для достаточно больших значе­ний п имеет место, какое бы положительное значение (как, напри­мер, 0,001 или 0,0001) Мы ни приписали δ. Что утверждение (Ь) Справедливо, очевидно ввиду того, что 1—φ(∕j) = -.

Существует еще другой способ выражения фактов, содержащихся в утверждениях (а) и (Ь) и подсказываемый п. 55. Вместо того чтобы сказать „— мало для больших значений zz“, мы скажем,ɪ стремится к 0, когда П стремится к ∞ (или при П стремящемся к ∞)*. Аналогично, мы будем говорить „1 — ɪ стремится к 1 при П стре­мящемся к со*. Эти утверждения следует рассматривать как строго эквивалентные утверждениям (а) и (Ь). Таким образом, утверждения

„ мало, когда П велико*,

„ ɪ- стремится к 0 при П стремящемся к оо*

Эквивалентны друг другу и более формальному предложению:

„если δ—любое как угодно малое положительное число, то y≤δ для достаточно больших значений ∕z*,

Или еще более формальному предложению:

„если δ — любое как угодно малое положительное число, то мы

Можем найти такое число я„, что для всех значений/г, боль­

Ших или равных яп“.

Число /г0, которое встречается в последнем предложении, является, конечно, функцией от 8. Иногда мы будем подчеркивать это обстоятель­ство записью ПЛ (8) вместо я„.

Читатель должен представить себя лицом к лицу с оппонентом, который подвергает сомнению справедливость утверждения. Он будет называть все меньшие и меньшие числа. Он может начать с 0,001. Читатель ответит, что ~<Z 0,001, как только ∕z^>1000. Оппонент

Должен будет признать это, но предпримет новую попытку с каким — либо меньшим числом, например 0,0000001. Читатель ответит, что ɪ ^0,0000001, как только я 10 000 000, и так далее. В этом

Простом случае ясно, что читатель выйдет победителем в споре.

Мы теперь введем еще один способ выражения рассматриваемого

Свойства функции ɪ. Мы будем говорить, что „предел ɪ , Когда я

Стремится к ∞ (или при п стремящемся к ∞), равен 0“; это утверждение мы символически записываем в виде[26])

Или просто Iim ɪ = 0. Мы будем иногда также писать ~→∙ 0 при я → со,

Что можно читать так: ,ɪ стремится к 0 при я стремящемся к со“,

Или просто ±∙→-0u. Аналогично, мы будем писать

Iim fl— -ɪ-ʌ) = 1, Iimfl—————— -ʌ) = 1,

R,→a> \ «У \ я/

, 1

Или 1——- → 1.

Я

57. Рассмотрим теперь другой пример: <p(n) = rii. Тогда „я2 Ве­лико, когда п велико". Это предложение эквивалентно следующим более формальным предложениям:

„если Δ — сколь угодно большое положительное число, то rii Δ для достаточно больших значений я*,

„мы можем найти такое число ЯО(Л), что π2^>∆ для всех я, боль­ших или равных Hθ(∆)u. В этом случае естественно говорить, что „я2 стремится к ∞ при я стремящемся к со“, или „я2 стремится к со вместе с я“, и писать:

Я2 → со.

Рассмотрим, наконец, функцию φ (л) = — л2. В этом случае φ (л) велика, но отрицательна, когда л велико, и мы будем говорить, что „—л2 Стремится к —∞ при л стремящемся к со“, и писать

— л2 → — ∞.

Употребление символа — ∞ в этом смысле влечет за собой удобную в некоторых случаях запись: fi2→-j-∞ вместо Ni→-∞. Вообще, в целях единообразия обозначений представляется иногда удобным применять символ -j — ∞ вместо ∞.

Однако мы должны еще раз подчеркнуть, что во всех этих утверждениях символы ∞, — j-∞, ■—∞ сами по себе ничего не озна­чают и приобретают определенный смысл только в том случае, когда они встречаются в определенном контексте, и тогда их смысл определен приведенными выше разъяснениями.

58. Определение предела. После всех проведенных рассмотрений читатель должен быть в состоянии усвоить общее понятие Предела. Грубо говоря, φ (л) Стремится к пределу I при N→-co, если ер (п) почти равно I, когда п велико. Но хотя смысл этого утверждения должен быть уже достаточно ясен после всего сказанного выше, все же он не является еще, в том виде, в котором мы его сформу­лировали, достаточно точным для строгого математического опреде­ления. Фактически приведенное утверждение эквивалентно целому классу утверждений типа „для достаточно больших значений п ер (п) отличается от I меньше чем на 8“. Это утверждение должно, иметь место для 8 = 0,001 или 0,0001, или для любого положитель­ного числа, причем для каждого такого значения 8 Оно должно иметь место для Всех значений л, начиная с некоторого определенного значения л0 (8), хотя чем меньше значение 8, тем больше, как правило, будет соответствующее значение л0 (8).

Таким образом, мы можем теперь сформулировать следующее окончательное определение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Функция ер (п) стремится к пределу Inpu п стремящемся к оо, Если, как бы мало ни было положительное число 8, φ (л) Отличается от I меньше чем на 8 Для достаточно больших значений п\ это означает, что как бы мало ни было положитель­ное число 8, Мы можем найти такое число л0 (8), Соответствую­щее этому 8, Что ер (л) Отличается от I меньше чем на 8 Для всех значений п, больших или равных л0 (8).

Положительную разность между Ер (п) и / принято обозначать через ∣φ(π)∙—√∣. Она равна положительному из двух чисел Ер(п) — I, I — φ (л) И совпадает с определение, м .модуля ер (п) — I, данным в гл. III, хотя в настоящий момент мы рассматриваем только действительные, положительные или отрицательные, значения.

Применяя это обозначение, мы можем сформулировать наше опре­деление короче следующим образом: Если дано любое как угодно малое положительное число δ, И можно указать такое Nn (δ), Что I φ («) — 11 ≤ δ Для N^na (δ), То говорят, что φ (л) Стремится к пределу I при п стремящемся к со, и пишут

Iim φ (л) = I. N→∞

Иногда мы будем опускать „я — ∞β; для краткости иногда удобно писать также φ (я) —I.

Читателю будет полезно подсчитать в некоторых простых случаях явное выражение я0 как функции от δ. Так, если φ (я) — ,1 = 0, и условие сво­дится к — <δ для что удовлетворяется, если я0 = 1-f-

У,

4

1 I I 1 J

Б г г J ЛО X

Фиг. 24

Существует один и только один случай, когда Одно и то же п0 годно для Всех значений δ. Если, начиная с некоторого значения N, для всех значений я φ (я) постоянна, скажем, равна С, то очевидно, что <р(я) — C = O для Ny^N, Так что неравенство ∣ φ (я) — C ∣ < δ удовлетворяется для я 5⅛ N и всех по­ложительных значений δ. C другой стороны, если |<р(я) — 11 < δ для ∏Ξ⅛∕√ и всех положительных значений δ, то очевидно, что φ(∏) = Z для ∏Ξ≡=ΛΓ, так что φ (я) постоянна для всех таких значений я.

59. Определение предела может быть геометрически проиллюстри­ровано следующим образом. График ф(я) состоит из ряда точек, соответствующих значениям П = 1, 2, 3,… .

Проведем прямую У = I (фиг. 24) и параллельные ей прямые У = I—δ, У = I-(- δ на расстояниях δ от нее. Тогда

Iim φ (я) = I, N→∞

Если, после того, как эти прямые проведены, мы можем провести прямую X = na (подобно проведенной на фиг. 24) так, что точка графика, лежащая на этой прямой, и все точки справа от нее будут

ɪ) Здесь и в дальнейшем мы применяем символ [х] в смысле гл. II, т, е, для обозначения наибольшего целого числа, не превосходящего Х.

Лежать между ними. Мы увидим, что это геометрическое толкова­ние нашего определения особенно полезно при рассмотрении функ­ций, определенных для всех значений действительного переменного, а не только для положительных целочисленных значений.

60. Сказанного выше достаточно для функций от П стремящихся к пределу при П → оо. Мы должны теперь перейти к соответствую­щим определениям для функций, которые, как л2 или— л2, стремятся к положительной или отрицательной бесконечности. Следующее опре­деление не должно теперь вызвать у читателя никаких затруднений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II. Функция φ(∕z) Стремится к -)-∞ (положи­тельной бесконечности) вместе с п, если, как бы велико ни было задан­ное число Δ, Можно указать такое Na(∆), что φ(∕z)^>∆ Для всех N^nll(∆); это означает, что, как бы велико ни было Δ, φ(∕z)^>∆ Для достаточно больших значений п.

Вот другая менее точная формулировка: „если мы можем сде­лать φ(∕z) Как угодно большой для достаточно больших, п“. Эта формулировка недостаточно подчеркивает основной пункт опреде­ления, а именно, что φ («) должно быть больше чем Δ для Всех Значений П таких, что л^л„(Л), а не только для Некоторых таких значений. Но мы можем применять и эту форму выражения, если мы отдаем себе ясный отчет в том, что оно означает.

Когда φ (л) стремится к -(- ∞> мы пишем φ (л) —► ∞.

Мы можем предоставить читателю формулировку соответствующего определения для функций, которые стремятся к отрицательной бес­конечности.

61. Некоторые замечания по поводу определений. Читатель должен обратить внимание на следующее:

(1) Очевидно, что мы можем изменять значения φ (л) каким угодно образом для любого конечного числа значений л, не влияя никоим образом на поведение φ (л) при л стремящемся к оо. Например, — стремится к 0 при л стремящемся к со. Мы можем составить

Из ɪ любое число новых функций, изменяя конечное число ее зна­чений. Так, мы можем рассмотреть функцию ®(л), равную 3 для л=1, 2, 7, 11, 101, 107, 109, 237, и равную ɪ для всех остальных значений л. Для этой функции, так же как и для исходной функ­ции ~ , Iim φ (л) = 0. Аналогично, для функции φ (л), которая рав­на 3 для л = 1, 2, 7, И, 101, 107, 109, 237, и равна л2 для BCCX Остальных значений л, Мы Имеем: φ(fi)→-∣-oo,

(2) C другой стороны, мы не можем, как правило, изменить Бесконечное число значений φ(n), не изменив при этом радикально ее поведения при П стремящемся к оо. Если, например, изменить функцию ɪ , положив ее значения равными 1 всякий раз, когда П

Кратно 100, то соотношение Iim φ (я) = 0 уже не будет иметь места. Пока мы изменяли только конечное число значений, мы всегда могли выбрать число я„, встречающееся в определениях, так, чтобы оно было больше наибольшего значения я, для которого φ (я) было изменено. В приведенных выше примерах мы всегда могли выбрать я0^>237, и в действительности мы даже должны были бы так сделать, если наш воображаемый оппонент (п. 56) задал бы значе­ние 8, меньшее 3 (в первом примере) и значение Δ большее, чем 3 (во втором примере). Но теперь, Как бы велико ни было па, всегда найдутся еще большие значения я, при которых φ (я) была изменена.

(3) Применяя признак определения I, существенно проверить,

Что неравенство ∣φ(n) — Z[≤8 выполняется не только для я = я0, но и для я^>я0, т. е. Для па и всех больших значений я. Ясно, например, что если Ср(п)— функция, рассмотренная в (2), то по заданному 8 мы можем найти я„ так, что ∣ φ (п) 8 при я = я(|:

Для этого нужно только выбрать я0 достаточно большим и не крат­ным 100. Но если я0 так выбрано, то неравенство ∣ φ (п) J 8 имеет место не для всех я5гяв; а именно, значения я, кратные 100 и боль­шие я0, являются исключениями, если δ≤l.

(4) Если φ (я) всегда больше чем Z, то мы можем просто заменить J «р (я) — ZI на φ (я) — Z. Так, признаком того, что ɪ стремится к пределу 0 при я стремящемся к оо, является просто справедли­вость неравенства ɪ ≤ 8 для я ≥= я0. Если, однако, φ (я) = (— 1)" —,

То Z попрежнему равно 0, но φ (я) — Z иногда положительно, а иногда отрицательно. В таком случае мы должны сформулировать условие в виде I φ (я) — ZI 8, а в данном случае, в частности, в виде ∣ φ (я) ∣ 8.

(5)

функции при я стремящемся к ∞ равен 0 и принимается функцией для бесконечного числа значений я, а именно, для всех значений кратных 100.
c другой стороны, предел не обязан быть (а в общем случае и не будет) одним из значений, принимаемых функцией для

Предел I сам может быть одним из значений, принимае­мых <р(я). Так, если ср(я) = О для всех значений я, то очевидно, что и Iim φ (я) = 0. Другой пример: если бы мы, как в (2) и (3), изменили значение функции для всех значений я, кратных 100, но не на 1, а на 0, мы получили бы функцию φ (я), которая равна 0 для я, кратных 100, и равна ɪ для остальных значений Я. Предел этой Ццкого-либд знамения я, Это достаточно ясно в случае φ (я) =

Пределы функций От ЦеЛочиелёНного переменного 125

Здесь предел равен 0, но функция не равна 0 ни для какого значе­ния П.

Читатель не может переоценить важности этих фактов. Предел не является значением функции’, он иногда отличен от этих значе­ний, хотя определен ими, и, возможно, равен одному из них. Для функций

φ (я) = 0 или 1

Предел равен Всем значениям функции φ(n); для

φw=i, (-i)∙i, I + 1, i + (_i)”l

Он не равен Ни одному из значений функции; для

.1 .1

Sin τy-rtJt Sin-у ZlJt

φ («) = —. 1 H n————

(пределы которых при И стремящемся к ∞, как легко видеть, равны соответственно 0 и 1, так как sin—яя по модулю никогда не пре­восходит 1) предел равен значению, которое φ (я) принимает для всех четных значений я, но значения, принимаемые функцией для нечетных значений я, все отличны от предела и друг от друга.

(6) Функция может быть по мбдулю очень велика, когда И очень велико, но не стремиться ни к -)-∞, ни κ—∞. Достаточной иллю­страцией этого обстоятельства является функция φ (я) = (—• 1)“«. Функ­ция может стремиться к -(- ∞ или к — ∞ только в том случае, когда она, начиная с некоторого значения П, сохраняет знак.

Примеры XXIII. Рассмотреть поведение следующих функций от я при я стремящемся к оо:

1. φ(n) = nft, где ⅛ — положительное или отрицательное целое число, или рациональная дробь. Если ⅛ положительно, то Nk стремится к -)-∞ вместе с я. Если ⅛ отрицательно, то Iimnft = O. Если ⅛=0, то nft=l для всех значений я, и, следовательно, Iimnft = I.

Читателю полезно для себя записать, даже в этих простых случаях, формальное доказательство того, что условия наших определений выполнены. Возьмем, например, случай ⅛>0. Пусть Д —любое заданное положитель­ное число. Мы должны найти такое n0, что nft > Д при я ≥s я0. Для этого доста-

Ь

Точно взять Zi0 большим, чем У Д. Так, например, если ⅛ = 4, то П* > 10000, если я >5 11, я4 > 100000000, если nΞ>Wl и т. д.

2. φ(n) = pn, где Рп есть я-ое простое число. Если бы существовало только конечное число простых чисел, то φ(n) была бы определена только для конечного числа значений я. Существует, однако, как впервые было доказано Эвклидом, бесконечно много простых чисел. Доказательство Эвклида ведется следующим образом. Пусть 2, 3,5, …, Р\-— первые AT простых чисел, и пусть P= (2, 3, 5,… , pjv)+l. Тогда P не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5. …,∕>λγ. Следовательно, либо P само простое, либо делится на простое число, большее ∕>λγ. В обоих случаях существует, следовательно, простое число, большее PN, а, значит, и бесконечно много простых чисел.

Так как φ (я) > П, то ?(«) ~→ OO.

3. Пусть φ (я) обозначает число простых чисел, меньших чем я. Тогда φ (я) — ∞∙

4. ср(я)=[ая], где а — любое положительное число. Здесь

<t(n) = 0 (θ≤n< ɪk φ(rt) = i (y≤n<-∣)

И т. д.; следовательно, φ(n)-→-p∞.

5. Если φ (я) =—— -—, то hm φ (я) =0; а если ф (я) — ɪɑɑɑθθθ > т°

Ф(я)—+сю. На эти заключения никоим образом не влияет то обстоятель­ство, что φ (я) для я < 1000 000 больше чем I>(n).

6. φ (я) = (-ʃɪɔ-, я1)”, Я {1 — (—l)n}. Первая функция стре­мится к 0, вторая — к — j-oo, а третья не стремится ни к конечному пределу, ни к — р оо.

7. φ (я) = — П n θ’^ . где 0 — любое действительное число. Здесь

‘ я ’

I φ (я) I < ɪ , так как ∣ sin я θ~ J ≤ 1, и Iim φ (я) = 0.

O, „ sin я θπ (a cos’ я θ 4- B sin’ я θ) , ,

8. φ(n)=——— или ——————— 1———— где А и я —любые деи-

У п N

Ствительные числа.

9. φ (я) = sin я Θπ. Если θ — целое число, то ср(я) = О для всех значений я и, следовательно, Iim φ (я) = 0.

Пусть, далее, θ рационально, θ — ɪ , где • Р и Q — положительные

Целые числа. Пусть N = aq Ь, где А — частное, а B — остаток от деле­ния я на Q. Тогда

Sin-—- — (—l)aisin-^b* . Q q

Допустим, например, что Р — четное; тогда, когда я возрастает отОдо^ — 1, φ (я) принимает значения

О, sin

Sin

2pπ

Sin

Когда я возрастает от Q до 2q—1, эти значения повторяются; они вновь повторяются, когда я пробегает значения от 2q до Sq— 1, от Sq до 4q — 1 и т. д. Таким образом, значения φ (я) циклически повторяются и состоят из конечного числа различных значений. Очевидно, что когда имеет место такое положение, ср(я) не может стремиться ни к конечному пределу, ни к — рос, ни к —оо.

Случай, когда О иррационально, несколько более сложен. Он будет рас­смотрен в следующем списке примеров.

62. Колеблющиеся функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Когда φ (я) Не стре­мится ни к конечному пределу, ни к ∙ -{- Оо, Ни к — оо При п стремящемся к со, мы говорим, что φ (я) Колеблется при я Стре­мящемся к со.

Функция φ (я) наверно колеблется, если, как в последнем из рассмотренных примеров, ее значения образуют циклически повторяю­щуюся систему из конечного числа различных чисел; но, конечно,

Она может колебаться, и не обладая этим специальным свойством. Определение колеблющейся функции основано на отрицании: функ­ция колеблется, если она не ведет себя некоторым другим образом.

Простейшим примером колеблющейся функции является EP («) = (— If,

Которая равна -}-1, когда П четно, и —1, когда П нечетно. В этом случае значения повторяются циклически. Но рассмотрим

?(«)=(—l)n + ⅛ ,

Значения которой суть

-1 + 1. ι + ⅛. -1+|. 1+4- -1 + 4

Когда П велико, каждое значение почти равно -ф-1 или — 1, и ясно, что φ(∕z) не стремится ни к конечному пределу, ни к ф-оо, ни к

— оо, и поэтому колеблется; но ее значения не повторяются цикли­чески. Следует заметить, что в этом случае каждое значение φ(∕z) по модулю меньше или равно ɪ. Аналогично

φ (я) = (—If 100 +

Колеблется. Когда П велико, каждое значение почти равно 100 или

— 100. Наибольшим по модулю значением является 900 (для я = 1). Рассмотрим теперь φ(n) = (—1)"я, значения которой суть —1, 2,

— 3, 4, — 5,… . Эта функция колеблется, так как она не стремится ни к бесконечному пределу, ни к -(- ∞, ни — оо; но в этом случае мы не можем указать границы, выше которой модули ее значений не возра­стают. Различие между этими двумя примерами приводит нас к сле­дующему дальнейшему определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если ср(п) колеблется при п стремящемся к оо, То мы будем говорить, что φ (я) Колеблется ограниченно Или Неограниченно, В зависимости от того, существует или нет такое число К, что все значения φ (я) По модулю будут меньшими чем К, т, е. ∣ φ (я) ∣ ≤ К для всех значений п.

Эти определения, а также и определения, содержащиеся в пп. 58 и 60, иллюстрируются следующими примерами.

Примеры XXIV. Рассмотреть поведение при я стремящемся к ∞ следующих функций:

!•(—If, 5 + 3 (- If, —θθ°θ0 + (- If, 1 000 000 (- If + ɪ .

2. (— If П, 1 000 000 + (— If я.

3. 1 000000 — я, (— If (1 000000 — я).

4. я {1 + (—я)"}. В этом случае значениями φ (л) являются О, 4, 0, 8, О, 12, О, 16,… .

Нечетные члены все равны О, а четные стремятся к +∞; φ (я) колеблется неограниченно.

5. я2 + (—L)n2n. Второе слагаемое колеблется неограниченно, но пер­вое значительно больше второго при больших Я. Действительно,φ (я) Пг—2п, А я2 — 2n-(n — I)2 — 1 больше чем любое заданное значение Δ, если π>l + ∣∕^∆ + l. Следовательно, φ(n)-→-(-∞. Следует заметить, что в этом случае φ (2⅛ -(- 1) всегда меньше чем φ(2⅛), так что функция стре­мится к бесконечности, то возрастая, то убывая. Однако она не колеблется, в смысле данного нами определения этого понятия.

6. я2 {1 + (— l)n}; (— l)n л2 + я; я3 + (— l)n я2.

7. sin я θ~. Мы уже видели (примеры XXIII. 9), что φ (я) ограниченно колеблется, если 6 рационально, но не равно целому числу; в этом послед­нем случае ср (я) = 0 и φ(π)-→0.

Случай иррационального 6 несколько более сложен, но мы все же сможем доказать, что φ (я) ограниченно колеблется. Не ограничивая общно­сти, мы можем предположить, что 0<θ<l.

Во-первых, так как [ φ (я) | < 1, φ (л) либо ограниченно колеблется, либо стремится к пределу.

Но если бы si∏Hθ—Z, то

0π∙ sin ɪ Θ~ — sin (я + 1) 0* — sin Я θ π —- О

И, следовательно, cos θπ~*θ∙ Отсюда следовало бы, что где Kn — целое число н ⅛-→0, а отсюда

6 = Kn — fen — 1 4- εn — εn _ ɪ = Ln 4~ ηn,

Где In целое число и ⅞-÷0. Это же, очевидно, невозможно, так как θ — постоянная и заключена между 0 и 1.

Доказать подобным же образом, что cos я 6~ ограниченно колеблется, если 0 не является четным целым числом.

8. Если 0 — нецелое, невозможно, чтобы sinπθπ и cosnθ~ были бы почти равны для всех больших я то одному, то другому из двух значений А и Ъ. [Это можно показать рассуждениями, аналогичными, но несколько более сложными, чем приведенные в примере 7.]

9. sin я θπ∙ — j — я, sin я θ~ -(- ɪ , (— l)n sin П θ π.

10. A cos я 6′ -b sin П θπ, sin2nθr, A cos2 я 6Г. Ь sin2 я 6к.

11. я siπn6π. Если 6 —целое, то ф(я) = 0, φ(n)—0. Если же 6 — рацио­нальное, но не целое число, или иррациональное, то φ (я) неограниченно колеблется.

12. я (я cos2 я θ^ + B sin2 я 6л). В этом случае <р(я) стремится к +∞, если А и Ъ оба положительны, и к —оо, если оба они отрицательны. Рас­смотреть частные случаи я=0, ⅛>0; a>0, ⅛ = 0; А = 0, B = 0. Если А и Ь Имеют разные знаки, то φ (я), вообще говоря, неограниченно колеблется. Установить и рассмотреть исключительные случаи.

13. siπnlθπ. Если θ имеет рациональное значение = , то П! О заведомо

Целочисленно для всех значений П, ббльших или равных Q. Следовательно, φ(ft)-0. Случай, когда θ иррационально, требует для своего рассмотрения значительно более сложных вспомогательных средств.

14. Ап—[⅛ft], (—L)n(an—[⅛rt]).

15. Hаименыиий простой делитель «.Когда П — простое число, φ(n)=rt. Когда П — четное число, ср(я) —2. Следовательно, ср(я) неограниченно колеблется.

16. Наибольший простой делитель п.

Yl. Число дней в п-ом году н. э.

Примеры XXV. 1. Если ср(я)— + сои Ф (+Ξ≥’γ (я) для всех значений П, То ф (Я) —► + ∞.

2. Если φ(ft)-→0 и ∣ψ(ft) I ≤ I ср (я) 1 для всех значений П, то φ(π)-→0.

3. Если Iim | ср (я) | =0, то limψ(n) = 0.

4. Если φ (я) стремится к пределу или ограниченно колеблется и | ф (я) ∣ ≤ ≤ [ φ (я) I для я Ξ≥= я„, то ф (я) стремится к пределу или ограниченно колеблется.

5. Если ср (я) стремится к -(-∞ или к —Со, или неограниченно колеблется и 1Ф («) I Ξ≥= I cp («) | для яДйя0, то ф(я) стремится к +∞ или к —∞ или неограниченно колеблется.

6. „Если φ (я) колеблется и, как бы велико ни было я0, мы можем найти значения я, большие я0, для которых ф (я) < ср (я), и значения я, большие я„, для которых ψ (п) > ср (я), то ф (я) колеблется”. Справедливо ли это предло­жение? Если нет, привести противоречащий пример.

7. Если cp(∏)-→Z при N-→∞, то также и φ («+/>)—*■ А где Р — любое фиксированное целое число. [Это следует непосредственно из определения. Аналогично мы заключаем, что если ср(я) стремится к + ∞ или к—∞ или колеблется, то ср (я + Р) ведет себя таким же образом.]

8. Те же заключения остаются в силе (кроме случая, когда ср (я) колеблется), если Р изменяется вместе с я, но остается по модулю меньше фиксированного положительного числа ЛГ; или же если Р изменяется с я каким угодно образом, но остается всегда положительным.

9. Определить наименьшее значение n0, для которого

(a) Ni + 2я > 999 999 (я ≥⅛ я„); (Ь) я2 + 2я > 1 000 000 (я ≥≥ я„).

10. Определить наименьшее значение я0, для которого

(а) я + (— 1)^ > 1 000 (я ≥⅛ я0); (Ь) я + (—l)n > 1 000000 (я я(1).

11. Определить наименьшее значение Пй, для которого

(a) Ni + 2я > Δ (я 7 — я0), (b) П + (— l)n > Δ (я ‘⅛ я„),

Где Δ— любое положительное число.

[(а) я„ — (V^Δ+T] ; (Ь) «0 = 1+ [Δ], или 2 + [Δ], в зависимости от того, будет ли [Δ] нечетным или четным, т. е.

π0=l+[Δ]+∣ {l+(-1)l*l} .]

12. Определить наименьшее значение я„, для которого

(a) -⅛<(W1; (Ь) "+¾-< o, oooooι

При я J≥ я0. [Рассмотрим последний случай. В первую очередь,

ɪ I (-l)n^+l П ‘ я2 ‘ П* ’

9 Г. Харди

И легко видеть, что наименьшим значением n0, Для которого < 0,000001

При s⅛ntl, будет 1 000 002. Но требуемое неравенство удовлетворяется при П = 1000 001, и это и является искомым значением rt0∙]

63. Некоторые общие теоремы о пределах.

А. Поведение суммы двух функций, поведение которых известно.

ТЕОРЕМА I. Если φ (я) и ψ (я) стремятся к пределам а и Ъ соответственно, то φ (я) 4~ ψ (я) стремится к пределу a-{-b.

Это почти очевидно[27]). Рассуждение, которое должно сразу же притти в голову читателю, примерно следующее: „когда П велико, ф(я) почти равно А и ψ(β) почти равно Ь, и поэтому их сумма почти равна α-j-⅛κ. Однако уместно провести рассуждение во всей полноте.

Пусть 8 — любое заданное положительное число (например, 0,001, 0,000001, …). Мы должны показать, что может быть найдено такое число П0, что

Iφ(«)-f-Ф («) — A ft∣<δ (1)

При β≥βθ. Но, по предложению, доказанному в гл. III (даже
в более общем виде,_ чем это требуется в данном случае), модуль
суммы двух чисел меньше или равен сумме их модулей. Следовательно,
I<Р («) + ψ («) — « — B I ≤ I φ (я) — A I +1 ψ (я) — B |.

Таким образом, требуемое условие будет наверно выполнено, если можно будет найти Па такое, что

∣φ(∕z)-α J-J-J ф (я) — B ∣<δ (2)

При ∕Z≥⅛∕Z0∙

Если задано любое положительное число δ’, мы можем найти Ni Так, что I φ (я)— A ∣ ≤ о’ для N^Y^Nx. Возьмем δ’ = ɪ δ, так что ] φ (я) — α∣<^yδ при я^=яР Аналогично, мы можем найти я2 так, что I ф (я)— ⅛∣<^yδ при я>=я2. Возьмем теперь в качестве я„ Большее из двух чисел я1 И Ni Тогда j φ (я) — A ∣ ≤ -ɪ- δ и

J ψ (я) — й J <JJ ɪ δ при я Па, а, следовательно, (2), удовлетворяется, и теорема доказана.

Это рассуждение может быть кратко сформулировано так: из Iim φ (п) — а И lim⅛(n) = ⅛ следует, что мы можем найти n1 и Ni такие, что

1 φ(я) — A I < ɪs (n≥≥ni), |ф(я) —B eɪs (n≥ л2),

А тогда, если я не меньше чем N1 и я2,

I? (я) + Ф (я) — a ~ й! ≤ I φ (я) — a 14^∣ ψ (я) — й I < δ,

А следовательно,

Iim {φ (я) Ф (я)} = a--b.

64. Предложения, дополняющие теорему I. Читатель без труда докажет следующие предложения.

1. Если φ(N) стремится к конечному пределу, а ф(я) Стре­мится к — J — оо Или к — ∞ или колеблется (ограниченно или не­ограниченно), то φ (я)ψ (я) Ведет себя так же, как ф(я).

2. Если φ (я) → оо И ф (я) → — ф — со, Или ограниченно колеблется, то φ (я) — J- ф (я) → — J — оо.

В этом утверждении мы, очевидно, можем всюду заменить — J — оо на —-оо.

3. Если φ (я) → -J — оо И ф(я) → — оо, То <р(я)4-ф(я) Может либо стремиться к конечному пределу,-либо к — ф — оо, Либо к — оо, Либо ограниченно или неограниченно колебаться.

Эти пять возможностей могут быть проиллюстрированы, соответственно, следующими примерами: (1) Ср(я) = я, ф(я) =— П, (2) φ (п) = Я2, ф(я) =— П, (3) ?(я) = я, Ф(л) = — я2, (4) <р(я) = я + (—L)Ra, Ф(я) = —я, (5) <р(л) = = я2 + (— 1)" П, ф(я) =— я2.

4. Если φ (я) → — J — оо И (я) Неограниченно колеблется, то φ (я) — J — ф (я) Может стремиться к — J — оо Или неограниченно коле­баться, но не может стремиться ни к конечному пределу, ни к —со, Ни ограниченно колебаться.

Ибо φ(n) = {φ(π)-(-ψ(zι)}— о (п), и если бы ф(я) + ф(я) стремилась к пределу или к — ∞ или ограниченно колебалась, то отсюда следовало бы, по предыдущим результатам, что ф(я)—►— со, тогда как ф («), по предполо­жению, неограниченно колеблется. Примерами двух возможных случаев могут служить: (1) φ(n) = n2, φ(n) = (—l)razt, (2) φ(n)==zt, φ(zt) = (-I)razt2. Здесь знаки -∣-∞ и —∞ также могут быть всюду изменены на обратные.

5. Если φ(N) и ф (я) Обе ограниченно колеблются, то φ (я) — f — ψ (я) Должно либо также ограниченно колебаться, либо стремиться к пределу.

Примеры: (1) φ(zt) = (—l)ra, φ(n) = (—l)ra + 1, (2) φ (zz) = ф (я) — (—l)ra.

6. Если φ (я) Колеблется ограниченно, A ψ (я) Колеблется неограниченно, то φ (я) -ф — ψ (я) Колеблется неограниченно.

Действительно, φ(n) по модулю всегда меньше некоторой постоянной К. C другой стороны, ф (zɪ), так как она колеблется неограниченно, должна принимать значения по модулю большие любого заданного числа (напри­мер, 10 К, ЮОАГ, •••)• Следовательно, ®(я)4~ф(я) должна принимать значе­ния по модулю большие любого заданного числа (например, 9 К, 999/С, Следовательно, φ(n)4~φ(n) должна либо стремиться к — j-co, либо к —со, либо неограниченно колебаться. Но если бы она стремилась к -φ-∞, то

Ф (Zt) = {<£> (Zt) + ф (Я)} — φ (П)

Также стремилась бы к +∞, в силу предшествующих результатов. Следова­тельно, φ(π)-∣-φ(zt) не может стремиться к ф-co, а, в — СИЛУ аналогичных рассуждений, не может стремиться ик—оз; таким образом, она должна неограниченно колебаться.

7. Если φ(N) и ф (я) Обе неограниченно колеблются, то Ф(я) + ф(я) Может либо стремиться к пределу, либо к +∞, либо к —OQ, либо ограниченно или неограниченно колебаться.

Допустим, например, что φ(zt) = (—1)” П, A φ(n) — одна из следующих функций: (—l)ra + 1n, {l+(—L)N + 1}N, —{!+(—1)га}я, (—ɪ/1 + 1 (« + ɪ), (— L)N П. Мы получаем примеры всех пяти возможностей.

Предложения 1 — 7 покрывают все существенно различные случаи. Прежде чем перейти к рассмотрению произведения двух функций, отметим, что утверждение теоремы I может быть непосредственно распространено на сумму трех и большего числа функций, стремя­щихся к пределу при я → оо.

65. В. Поведение произведения двух функций, поведение которых известно. Мы можем теперь доказать аналогичную систему теорем, относящихся к произведению двух функций. Основным предложением является следующее.

ТЕОРЕМА II. Если Iim φ (п) = А и Iim ф (я) — Ь, то Iim φ (я)ф (я) = ай.

Пусть

9(я) = а + <И(я), Φ(λ)=≈⅛ + Φi(λ),

Так что limφ1(fl) = 0 и Iim ψ1 (я) = 0. Тогда

φ (я) ф (я) = Ab + A φ1 (я) + B φ1 (я) + φ1 (я) ψ1 (я).

Следовательно, модуль разности φ (я) ф (я) — Ab не больше чем
сумма модулей A φ1 (я), B φ1 (я), φ1 (л) φ1 (л). Отсюда следует, что
Iim {ф(я)ф(я)—Ab} = 0,

И теорема доказана.

Подробнее последняя часть доказательства проводится следующим об­разом. Мы имеем

I? («) Ψ (п) — Ab J ≤ A ψ1 (n) ∣ +1 B φx (n) ∣ +1 <p1 (n) 11 φ1 (п),;

Допуская, что ни А, ни B не равны 0, мы можем предположить, что δ<3ja I I B |, и выбрать Пй так, что

Leɪ(n)leɪ, lΨx(")l<3⅛

Для я ≥⅛ я0; но тогда

I? (я) ф («)— a⅛∣<g-δ + yδ + g∣yp∣^⅞J < δ∙

Итак, мы можем выбрать n0 так, что ∣φ(n)φ(n)— a⅛j<δπpH ft≥n0, и теорема доказана. Читателю предлагается провести доказательство в том случае, когда по крайней мере одно из А и B равно 0.

Эта теорема, как и теорема I, может быть, конечно, сразу обобщена на произведение любого числа функций от я. Имеет место также и ряд дополнительных предложений, аналогичных сформули­рованным в п. 64 для сумм. Теперь мы должны различать Шесть Случаев в поведении с (я) при я стремящемся к ∞. Она может

(1) стремиться к пределу, Отличному от нуля, (2) стремиться к нулю, (За) стремиться к -)-∞, (ЗЬ) стремиться к — оо, (4) ограниченно колебаться и (5) неограниченно колебаться. Как правило, нет необхо­димости в отдельном рассмотрении случаев (За) и (ЗЬ), так как результат в одном случае может быть выведен из результата в другом простым изменением знака.

Подробное изложение этих дополнительных предложений заняло бы слишком много места. Приведем здесь только два из них в качестве примеров, оставляя их доказательство читателю. Весьма полезным упражнением для него будет также формулировка некоторых из остальных предложений.

(1) Если φ(n)-+ ∞ ы Ф(я) Ограниченно колеблется, то φ(n)φ(w) Должна стремиться к +∞ или к —со или неограниченно колебаться.

Примеры для этих трех случаев могут быть получены, если положить ψ(n) = n, a φ(n) = 2 + (-If; —2 — (^lf; (—If.

(2) Если φ (я) И ф(п) Ограниченно колеблются, то φ(n)ψ(n) Должна или стремиться к пределу (который может быть равен нулю), илц ограниченно колебаться.

В качестве примеров возьмем следующие:

(a) φ(n) = ψ(n) = (- If,

(b) ψ («) = 1 + (- If, ф (я) = 1 — (- If,

1 1

(c) φ (я) = COS у П π, ф (и) = sin ɜ- П π.

Важным частным случаем теоремы II является тот, в котором ф(л) постоянна. Теорема тогда утверждает, что Iim ⅛φ (и) =Ka, Если Iim φ (я) — а. К этому мы можем добавить, что если φ (я) →- оо, то K Ер (п) —► -)- оо, или Aφ^)→ — оо, в зависимости от того, положительно K или отрицательно. При K = Oφ(N) = 0 для всех я, и Hm ⅛φ (я) = 0. Если же о (я) ограниченно или неограниченно колеблется, то так же ведет себя и K φ {N), если ⅛ ≠ 0.

66. С. Поведение разности и отношения двух функций, пове­дение которых известно. Имеется, конечно, аналогичная система теорем для разности двух данных функций, являющихся очевидными следствиями из предыдущих результатов. Прежде чем рассмотреть отношение

У («) Ф(я) ’

Докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 111. Если Iim φ (я) =S= А И а отлично от нуля, то

.. 1 1

Hm -τ-r≈- .

Пусть

Ср (я) = й4-ср1 (л),

Так что limφ1 (я)==0. Тогда

; _2_ ɪ I____ ⅛ 091_

|У(/;) A I ∣βj ∣a+φ1(π)∣ ’

И так как limφ1^) = 0, то очевидно, что мы можем найти такое я#, что это выражение будет меньше любого заданного положительного числа δ для л^л#.

Из теорем II и III мы можем тотчас же вывести основную теорему для отношения двух функций.

ТЕОРЕМА IV. Если Iim φ (я) = А и Iim ψ (я) ===== 6 И B отлично от нуля, то

Читателю рекомендуется сформулировать, доказать и проиллю­стрировать примерами некоторые из „дополнительных теорем" к теоремам III и IV.

67. ТЕОРЕМА V. Если R{⅛(N), ф(я),…, / (я)} — Любая рацио­нальная функция от φ (л), ψ (л),…, χ (л), Т. е. любая функция вида

№>■ (")}

Q {У («), Ψ(«).••■» >.(«)} ’

Где PaQ обозначают полиномы, от φ (я), ψ (я),…, χ (я),…, и Если

Iim φ (я) = α, Iim ψ (я) = B,…, Iim/(я) = с и

Q (A, B,…, c,)≠0, То

Iim ∕? {φ (я), ψ (я),…, /(я)} =7? (а, Ь,…, с).

В самом деле, P является суммой конечного числа слагаемых вида

Л{<р(я)ИП(я)г…{Х(я)};

Где А — постоянная, а Р, Q,…, г—Положительные целые числа. По теореме II (точнее, по ее обобщению на любое число сомножи­телей), это слагаемое стремится к пределу Aapb9.. .Cr и, следова­тельно, P стремится к пределу P (а, Ь,…, с), согласно аналогич­ному обобщению теоремы I. Таким же образом Q стремится к Q (а, Ь,…, с), и утверждение следует из теоремы IV.

68. Предыдущая общая теорема может быть применена к решению следующего очень важного частного вопроса: Каково поведение наиболее общей рациональной функции от п, а именно,

С (n∖ __ A0np + ajUp~[28] + … + Up ‘ ‘ Baιι4 bing~1 ++ ЬЧ

При Я —> OQ 1J ?

Для применения теоремы преобразуем S (я) к виду

°∙+¾+-+⅞i

⅛+⅜+∙∙∙+¾!

Функция в фигурных скобках имеет вид 7? {^(я)}, где Q>{N}=-,

И, следовательно, стремится при я —► оо к пределу 7? (O) = ~ .

Но Np~G→-0, если P<Zq, Np~9 = L и, значит, np-f→l, если P = Q, и Np~9→ ==∞, если P~^> Q Поэтому, по теореме II, ‘

Пт£(я) = 0 (P<Zq),

Iim S(я) {ρ = Q), S(N)→--∞ (p>V> а~ Положительно

S(N)→ — ∞ (P^>Q, у- отрицательно

Примеры XXVL 1. Каково поведение функций

(4-η2 ±±ι ,ιr⅛2

1 L> N + ιj ’ п > { > П

При л — ∞?

2. Установить, стремятся ли следующие функции к пределу при л —оо: 1 1

L^cos2 ɪ л~-(- л sin2 2^ Nτzj

. 1 , . ,1

Cos2 ɪ N~ — уп sin 2 я —

П cos2 ɪ л “ + sιπa у л π Л ^COSs -ɪ Л” 4~ П sins τ:

3. Обозначая через S (л) произвольную рациональную функцию от П, Рассмотренную выше, показать, что

5(л + 1) 1

s(n)s (л)Iitn —⅛ , ` = 1, Iitn

69. Функции от П, монотонно возрастающие вместе с л.

Частным, но особенно важным классом функций от л, является класс таких функций, которые изменяются при возрастании П только в одном направлении, т. е. которые все время возрастают (или убы­вают), когда П возрастает. Так как —φ (л) всегда возрастает, если φ (л) всегда убывает, нет необходимости рассматривать каждый тип функций в отдельности; теоремы, доказанные для одного типа, тотчас же переносятся на другой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция о (л) Называется монотонно возра­стающей вместе с п, или возрастающей функцией от п, если φ [п -ф — L)≥φ(β) Для всех значений п.

Следует заметить, что мы не исключаем случая, когда φ (л) имеет Одно и то же значение для нескольких значений л; мы исключаем лишь возможность Убывания. Так, функция

φ (л) = 2лl)n,

Значения которой для л = О, 1, 2, 3, 4,… равны соответственно 1, 1, 5, 5, 9, 9,…,

Возрастает вместе с л. Наше определение включает даже функции, которые остаются постоянными, начиная с некоторого значении л; так, φ (л) = 1 монотонно возрастает.

Если φ (л — J- l)^>φ (л) для всех л, то мы говорим, что о (л) Строго возрастает.

Для функций этого класса имеет место следующая очень важная теорема.

ТЕОРЕМА. Если φ(∕z) Монотонно возрастает вместе с п, то либо (1) φ (я) Стремится к пределу при п стремящемся к со, либо (2) φ (я) → — j — оо.

Это означает, что из Пяти возможных случаев поведения для функций этого типа могут иметь место только Два.

Эта теорема является простым следствием теоремы Дедекинда (см. п. 17). Разобьем действительные числа ξ на два класса £ и ⅛ относя ξ к L или к 7?, в зависимости от того, имеет место неравенство φ (я) ɛ для некоторого значения П (и тогда, конечно, для всех больших значений) или неравенство φ (я)<^ξ для всех зна­чений П.

Класс L заведомо существует; класс R может и не существовать. Если он не существует, то как бы велико ни было заданное число Δ, φ (я) > Δ для всех достаточно больших значений П и, следовательно,

φ (я) → -}- ∞.

Если, с другой стороны, R существует, то классы LaR обра­зуют сечение в области действительных чисел в смысле п. 17. Пусть а — число, соответствующее этому сечению, и 8 — любое поло­жительное число. Тогда ф(я)<^а-|-8 для всех значений я, откуда, в силу произвольности 8, следует, что φ^)≤α. C другой стороны, 9(я)^>а—-8 для некоторого значения я, а значит, и для всех достаточно больших значений я. Таким образом,

А — 8 φ (N)S^ а

Для всех достаточно больших значений я, т. е.

φ(H)→fl.

Следует заметить, что, вообще говоря, φ(n)<a для всех значений Я, ибо если бы φ (я) была равна А для некоторого значения П, то она должна была бы равняться А и для всех больших значений П. Следовательно, φ(n) не может принять значения А, если только не все значения φ (я), начиная с некоторого, равны А. В этом последнем случае А является наибольшим числом в L; в других случаях L не имеет наибольшего числа.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если φ (я) Монотонно возрастает вместе с п, то она будет стремиться к пределу или к ψ∞, В зависимости от того, возможно или нет найти такое число К, что Y(N)<^K для всех значений я.

Мы увидим, что это следствие очень полезно в приложениях.

СЛЕДСТВИЕ 2. Если 9(я) Монотонно возрастает вместе с П и 9 (я) <C Ar Для βcex значений я, То φ (я) Стремится к пределу, и этот предел не превосходит К.

Следует отметить, что предел может быть равен К’, если, напри­мер, о(я)=;3 — ɪ, то каждое значение <р(я) меньше 3, но предел т(я) равен 3»

СЛЕДСТВИЕ 3. Если q(ri) монотонно возрастает вместе с п и стремится к пределу, то

φ(Λ)≤limφ(∕z)

Для всех значений п.

Читателю предлагается сформулировать соответствующие теоремы и следствия для случая, когда φ (я) Убывает при возрастании п.

70. Важность этих теорем обусловливается тем обстоятельством, что они дают нам возможность (которой мы не имели до сих пор) во многих случаях решить, стремится ли данная функция от я к не­которому пределу при я-—∞ или нет, Не предугадывая значения этого предела. Если мы знаем, чему должен быть равен предел, в случае его существования, то мы можем применить признак

|ф(я) —Z∣<δ ("≡≥⅝)∙

Это положение имеет место, например, в случае φ (я) ~ ɪ, где,

Очевидно, пределом может быть только 0. Но допустим, что мы должны определить, стремится ли

ψw=(ι÷⅛)n

К пределу. В этом случае совсем не очевидно, чему будет равен предел, если он существует, и ясно, что предыдущий признак, содер­жащий Z, не может быть применен (во всяком случае непосредственно) к решению вопроса о том, существует I или нет.

Этот признак может быть, конечно, иногда применен косвенно для доказательства того, что / Не существует, путем приведения к противоре­чию. Если, например, φ(n) = (—l)ra, то ясно, что I должно было бы быть как 1, так и — 1, что явно невозможно.

71. Другое доказательство теоремы Вейерштрасса из П. 19. Резуль­таты п. 69 позволяют нам дать другое доказательство важной теоремы, уже доказанной в п. 19.

Если мы разделим интервал PQ на две равные части, то по крайней мере одна из них должна содержать бесконечно много точек S. Выберем ту часть, которая содержит бесконечно много точек S, или, если этим свой­ством обладают обе части, то выберем левую. Эту выбранную половину обозначим через P1Q1 (фиг. 25). Если P1Q1 левая половина, то P1 это Точка Р.

Аналогично, если мы разделим P1Q1 на две половины, то по крайней мере одна из них должна содержать бесконечно много точек S. Выберем половину P11Qi, которая удовлетворяет этому условию, или, если этому условию удовлетворяют обе половины, то выберем левую. Продолжая таким образом, мы получим последовательность интервалов

PQ, PtQ1, P2Q,, P2Q3, ,

Каждый из которых является половиной предшествующего интервала И Содержит бесконечно много точек 5.

Точки P, P1, Pst, … лежат каждая правее предыдущей, и, следовательно, Pn стремится к предельному положению Т. Аналогично, Qn стремится к предельному положению T‘. Но TT‘, очевидно, меньше чем PnQn при

PQ

Любом значении л; а так как PnQn равно, то PnQn-→∂. Следовательно, T[29] [30] совпадает с Т, и Pn и Qn обе стремятся к Т.

P3 Q3

Pf

T

Qf .

P

P2

Q3

Q

P* Qi

Фиг. 25

Тогда T является точкой накопления S. Ибо, полагая, что ξ является ее координатой, рассмотрим любой интервал типа (ξ—δ, ξ + δ). Если л доста­точно велико, то PnQn будет целиком лежать внутри этого интервала1). Следовательно, интервал (ξ — δ, ξ-(-δ) содержит бесконечно много точек S.

72. Предел Х" Прй П стремящемся к Оо. Применим результаты п. 69 к особо важному случаю <р(я) = х". Если Х = 1, то φ (я) = 1, Iim φ (я) = 1, и если х = 0, то φ(w) = 0, Iim φ (п)~ 0, так что эти частные случаи можно исключить из рассмотрения.

Допустим сначала, что Х положительно. Тогда, так как φ-J — 1) = = xφ(Λ), <р(я) возрастает вместе с П, если xj^>l, и убывает при возрастании П, если х<^1.

Если xJJ>l, то х" должно стремиться либо к конечному пределу (который должен быть, очевидно, большим 1), либо к — J-оо. Пусть х" стремится к пределу I. Тогда, согласно примеру XXV. 7, Iim φ (я — J — 1) = = Iim φ (я) —1‘, но

Iim φ (я — J — 1) = Iim х φ (я) = х Iim φ (я) = Xl,

И, значит, LXl однако это невозможно, так как хи / оба больше 1. Следовательно,

Хп —► — J — ∞ (х 1).

Пример. Читатель может дать другое доказательство, показав, что, по биному Ньютона, Xn > 1 — J — nδ, если δ положительно и Х — 1 -(- δ, откуда

Xn→-)-co.

C другой стороны, xn является убывающей функцией, если х<Д, и поэтому Хп стремится либо к конечному пределу, либо к — со. Так как

Xn положительно, вторая возможность отпадает. Таким образом, Iimxn= Zj
А так как попрежнему L=Xl, то I должно быть нулем. Следовательно,
Iimxn==O (0<≤x<4).

Пример. Доказать, как в предыдущем примере, что стремится

К +оо, если 0<x< 1, и вывести отсюда, что Хп стремится к 0.

Наконец, мы должны рассмотреть отрицательные Х. Если

— l<^x≤O и Х = —у, так 4τoO<^y∕≤ 1,тоиз предыдущего следует, что Iimyzn = O, и поэтому Iimxn = O. Если х =— 1, то очевидно, что xn колеблется, принимая поочередно значения—1 и 1. Если же x≤—1 и X = —У, так 4τoyz^>l, то Уп стремится κ-)-∞, и по­этому xn принимает значения, поочередно положительные и отрица­тельные и по модулю превосходящие любое наперед заданное число. Следовательно, xn неограниченно колеблется. Таким образом,

φ (л) = xn -→ — J — со (х> 1),

Iim φ (я) = 1 (х=1),

Iim φ (л) = О (—l<x<l), φ (я) Ограниченно колеблется (х=—1), φ (я) Неограниченно колеблется (х ≤ — 1).

Примеры XXVII[31]). !.Если <р (я) положительно и φ (я +1) >; Arφ (я), где К > 1, то φ (я) → + ∞∙

[Ибо

φ (и) — — Ky (л — 1) Ξ⅛ Ka φ (п — 2) ≥s… ≥- Kn~L φ (1),

Откуда следует утверждение, так как Kn —÷ оо.]

2. Тот же результат остается в силе, если условия удовлетворяются только при я ≥s П0.

3. Если <р(я) положительно и φ (я-J-1) ≤∕<φ (я), где O<AΓ<1, то Iim φ (я) = 0. Результат остается в силе, если условия удовлетворяются только при N^Na.

4. Если ) φ (я +1) I ≤AΓ∣ <?(л) I при/г>-я(| и 0<Ar< 1, то Iitn <f> (я) = О,

5. Если о» (я) положительно и ɪimɪ-ʒt-= ∕> ɪ, то ®(я)—>-+∞.

φ(л) ‘ .

.. ср (Я +1) .. ,

мер 1.]
б. если
[Ибо мы можем определить я0 так, что -ʒ-~~ >д> 1 при n^⅛n0; для этого можно, например, взять К равным ɪ (1 -[-1). Дальше применить при­

-k∕<1,Ф(л + 1) ,

Lɪm τ .‘ — I,

Ч(п)

То Iim φ (л) = 0. [Это следует из примера 4 так же, как пример 5 следует из примера 1.]

7. Исследовать поведение при П — ∞ функции φ (N) = Nr Xn,

Где Г—Любое положительное целое число.

[Если X = 0, то φ(n) = 0 для всех значений я, и φ(n)-→0. Во всех дру­

Гих случаях

У (И +1) = М + 1 φ (и) \ Я

Допустим сперва, что Х положительно. Тогда φ (я) —оо, если Х > 1 (см. пример 5), и φ(n)-→0, если х<1 (см. пример 6). Если х=1, то φ (я) = nr-→+∞. Предположим, далее, что Х отрицательно. Тогда ∣ φ (я) | = = Nr I Х ∣n стремится к + со, если | Х | Да 1, и к 0, если | Х ( < 1. Следовательно, А(п) неограниченно колеблется, если Х≤—1, πφ(n)-►О, если—l≤x<0.J

8. Аналогично исследовать Rrrxn. [Результаты — те же, кроме того, что φ (я)—. О при Х—1 или —1.]

9. Составить таблицу, показывающую поведение Nk Xn при П—► ∞ для всех действительных значений Х и всех положительных и отрицательных цело­численных значений А.

[Читатель заметит, что значение А несущественно, кроме тех частных случаев, когда Х—1 или — 1. Так как

iimFt

= 1,

Независимо от того, положительно А или отрицательно, предел отношения

ɪ^ɪ(ff) ŋ зависит только от Х, и поведение φ (я) определяется в общем

Случае множителем Хп. Множитель я* играет роль только в том случае, когда Х равно 1 или —■ 1.]

Я,—

10. Доказать, что если Х положительно, то У х —► 1 при я= со. [Допу-

За­стим, например, что х>1. Тогда Х, у х, ух, … является убывающей по-

П___________________________________ п__

Следовательностью, и У х > 1 для всех значений я. Следовательно, ^[∕ Х —► I,

Где 1. Но если бы Z было больше 1, то мы могли бы найти сколь угодно
Л _

Большие значения я, для которых J∕^x>Z или Х > Ln; а так как Ln —► + ∞ При я -→ со, то это невозможно.]

11. Уп—>1. [Ибо |Ля+1< К если(я+1)п<яп+1 или ɑ-f—ɪɔ < Я,

Что наверно выполняется для h(2≥3 (см. доказательство в п. 73). Таким л _ П

Образом, У я убывает при я возрастающем от 3, а так как |/ я всегда боль­ше 1, то он стремится к некоторому пределу, большему или равному LHo

П—

Если бы 1/я—Z, где Z> 1, то мы имели бы N>Ln, что во всяком случае Zn

Неверно для достаточно больших значений я, так как————— .-[-со вместе с я

(примеры 7, 8).]

.N Xn N , — Xn +L х

12. —, —<■ 0 для всех значений Х. [Если Un= —r. то —— == —π , что

Я! 1 я! ’ Ип я -[-1 ’

Стремится к нулю при я—.со, так что Ип стремится к нулю (пример 6).]

Л .__

13. )Λz!-÷ + со. [Ибо я! > Xn для достаточно больших я, как бы велико ни было Х (пример 12).]

14. Показать, что если —l<x<l, то

„ _ т (In — 1)… — я + 1) ~n Ип— я! Х — е„х

Стремится к нулю при я—>оо.

[Если Т — положительное целое число, то κπ = 0 для я>тя. Если, же Itt Не есть положительное целое число, то

-х,
я-f- 1

1 \пКроме того случая, когда X==O.]

73. Предел F I-J-i ∙ θθ∙,ιee трудная задача, которая может

(*+÷Γ=ι+’∙4+

1.2-» ∖*-√) (ɪʒ

быть решена с помощью п. 69, возникает, когда φ (я) = ( 1 -j- —,применяя формулу ньютона, получаем:,я (я — 1) 1,1-2,я (я—!)• • • (я—я-|-1) 1 ,= ι + ι+⅛(ι-∣,1-2...я
2
,я",1-2-3,1-τj + ∙∙∙ +
я— 1

В этом разложении (/? <— 1)-ь*й член имеет вид

Ra⅛(1-i->l1

... 1

Он положителен и является возрастающей функцией от П. Число Z 1 \ П

Членов суммы также возрастает с я. Следовательно, I 1 — j — — j воз­растает с я и поэтому либо стремится к пределу, либо к — J — оо, когда я—-∞.

Но

.1+⅛) <1 + 1+⅛+τ⅛+∙∙∙+K2⅛ττz<

< 1 — J — 1 — J-у-J- 2^—J — . . — +-FjHTT ≤3.

(

ɪ \ П

1 ) не может стремиться кЦ-оо, а следовательно,

Iim (l+∣)"=e, N→∞ ` U /

Где Е — некоторое число такое, что 2<JJe≤3.

Пример. Найти предел

74. несколько алгебраических лемм. здесь уместно доказать несколько элементарных неравенств, которые нам понадобятся и дальнейшем.
(1) если а>1 и г—положительное целое число, то очевидно, что
rar > ar→ + α'∙-2 +,.. + 1.
умножая обе части неравенства на а—1, получим:
rar(a- l)>σr- 1;
прибавляя к каждой части r(ar-1) и деля на r(r-f-l), получим:
г+1
аналогично докажем, что
1 — sr÷ι
,сб+‘ —i ar_i
>-—(σ> 1).
,(ɪ),(2),r+l г
огсюда следует, что если г и s — положительные целые числа и r>s,
то
ctr-i
(3)
(0<β<l).

Здесь O<β<l<a. В частности, при s = l, мы имеем:

Ad~>Bc. Если мы положим a = γ6≈, то неравенство примет вид

*tCLCl ɪ __ ɪ

——- >’L- —

(4)

(2) неравенства (3) и (4) были доказаны в предположении, что г и s — положительные целые числа. но легко видеть, что они остаются в силе и при более общих предпосылках, когда г и s — любые положительные рациональные числа. рассмотрим, например, первое из неравенств (3). пусть
где а, ь, с, d — положительные целые числа, причем
r=y,s =
ad
be

ar — 1 > Г (a — 1), l-βr<r(l-β).

А это нами уже доказано. Аналогичные рассуждения применимы и к другим неравенствам; подобным же образом можно, очевидно, доказать, что

Cti-l <s(a-l), 1—βi>s(l-β), (5)

Где s — положительное рациональное число, меньшее 1.

(3) В дальнейшем мы предполагаем, что Все буквы обозначают поло­

Жительные числа, что п и S рациональны, и что а и г больше 1, A β И s Меньше 1. Заменяя в неравенствах (4) а на ɪ и β на— j мы получим:

Ctr—1 <rctrl(ct-1), 1— βr>rβr-1(l — β). (6)

Аналогично, из (5) выводим:

Ai-1 >sai→(a-1), 1 — βi < sβs→ (1 — β). (7)

Сочетая (4) и (6), мы видим, что

Г/1 (а — 1) > Ar 1 > Г (а — 1). (8)

заменяя а на — у(9)Мы получим:

Rxr^1 (х — у) > XrYr> Ryr~L (х —у),

Если X>Y>Q. Аналогичное рассуждение, примененное к (5) и (7), приво­дит к неравенству

Sxs~1 (.V — — у) < XsYs < Sys~L (х —у). (10)

Примеры XXVIII. 1. Проверить неравенство (9) для Г— 2, 3 и неравен­ство (10) для s = ɪ, -ɜ- •

2. Показать, что (9) и (10) остаются в силе, если_у>х>0.

3. Показать, что (9) остается в силе при Г < 0.

[Значительно более полное рассмотрение неравенств (9) и (10) может быть найдено в книге Г. Харди, Дж. Литтльвуд и Г. Полна, Неравенства, гл. II. Там же см. Добавление I.]

4. Если φ (и) → I, где Z > 0, и А рационально, то φfc —Ik.

[В силу теоремы III и. 66, мы можем предположить, что А>0; мы мо­жем также предположить, что ɪ / < φ < 2/, что имеет место, начиная с неко­торого значения П. Если А > 1, то

A’ffe^’ (φ — Z) > φ* — Z* > A∕*→ (φ — Z),

Или

AZft (Z-Cf) >Z⅛~φ*>Aφfc-1(Z-φ),

В зависимости от того, будет φ>Z или φ<Z. Отсюда следует, что /1 ∖ k~1

Отношение величин ] ср*._ Z* | и ∣ φ — Z | лежит между А ( ɪ ZI и A (2Z)⅛-1.

В случае 0 < А < 1 доказательство аналогично. Результат остается в силе при Z = O, если А > 0.]

5. Распространить результаты примеров XXVII. 7, 8, 9 на случай, когда г и А — любые рациональные числа.

75. Предел N(Vrx-1). В первом из неравенств (3) и. 74 положим R~ _ ɪ, S = — . Тогда мы получим:

"7- я/-

(я —1) ()А-1)>я(У ɑ-l).

П__

Если α>l. Таким образом, если г(я) = я(|/а— 1), то φ(n) монотонно убы­вает при возрастании П. Кроме того, φ (я) всегда положительна. Следова­тельно, φ (я) стремится к некоторому пределу Z при я—со, причем Z ≥⅛0.

Если, далее, в первом из неравенств (7) п. 74 мы положим s = — j то най­дем, что

NRN‘-T 1 ʌ 1

∏(∕α-l)>y «(!—) >l~γ •

Таким образом, Z≥: 1 —ɪ- > 0. Следовательно, если α> 1, то мы имеем:

Iim П (Уа — 1) = / (а), я —* со

Причем /(α)>0.

Пусть теперь β < 1, и положим 8 = -^- ; тогда а

«ΦT~ 1) = — я "у а — 1) ∙ ɪ •

Уа

Но n(jʌɑ — l)→∕(α), и (см. пример XXVII. 10) п

∣∕α-→l.

Следовательно, если β = ɪ < 1, мы имеем:

« ∏∕β^-l)→-/(“)• П

Наконец, если x = l, Топ (ух—1) = 0 для всех значений П.

Таким образом, мы получаем следующий результат: Предел

П__

Iim я (у х— 1)

Определяет функцию от х для всех положительных значений х. Эта фун^ ция F (х) обладает следующими свойствами:

/(ɪ) =-∙f(χ)> /(,)=°;

Она положительна для х>1 к Отрицательна для x<l. В дальнейшем мы увидим, что эта функция совпадает с Натуральным логарифмом от Х.

Пример. Доказать, что F(Xy)=Tf(X)-{-F (у). [Использовать соотношения F (ХУ) = Ijm n (∕^ ХУ ~~ 1) = ɪ`m {N (Yr Х — 1) У У + я Fl∕^Y — 1)}.]

76. Бесконечные ряды. Предположим, что И (п) — любая функ — ция от я, определенная для всех значений П. Если мы сложим зна­чения к(ч) для ч—1, 2, …, П, то получим другую функцию от П, А именно,

S (я) = и (1) + И (2) +… — J — И (п),

Также определенную для всех значений П. Здесь удобно несколько изменить наши обозначения и записать последнее равенство в форме

SN—— uI + ¾ + . ∙ ∙ + an>

Или, короче,

П

V=L

Если мы теперь предположим, что Sn стремится к пределу s при П → ∞, то имеем

Iim

V=l

Это соотношение обычно записывается в одной из следующих форм:

Со

K, = S, K1 — J- K2 — J — K3 ≈ S,

V=I

10 Г. Харди

146 Глава четвертая

Причем точки обозначают, что последовательность слагаемых κv бес­конечна.

Смысл этих равенств, грубо говоря, заключается в том, что, скла­дывая все большее и большее число слагаемых и-,, мы получаем числа, все менее и менее отличающиеся от предела s. Точнее, если задано любое. сколь угодно малое положительное число δ, мы можем найти такое я0 (δ), что сумма первых /г0 (δ) или любого боль­шего числа слагаемых заключена между 5 — δ и s —δ, т. е.

5 — δ<Jsπ<Js-J-δ,

Если П • (δ). В этих условиях мы будем называть ряд

«1+ «а + • ••

Сходящимся бесконечным рядом и будем говорить, что 5 является Сум­мой ряда или Суммой всех членов ряда.

Таким образом, когда мы говорим, что ряд κ1-J-zz2-J-… Схо­дится и имеет сумму S, или Сходится к сумме s, или просто Схо­дится к 5, мы утверждаем только то, что сумма

SN — М1 Tt2 ⅛∙ ∙ ∙ ∙ HАП

Первых П членов ряда стремится к пределу s при к—-оо, так чтс рассмотрение таких бесконечных рядов не требует введения ника­ких новых понятий, кроме тех, с которыми читатель уже позна­комился в первых пунктах настоящей главы. Действительно, сумма является просто некоторой функцией φ(κ), представленной особым образом. Любая функция φ (к) может быть представлена таким обра­зом, а именно,

φ (K) = φ (1) + { φ (2) — φ (1) } — J — . . . — J — { φ (й) — φ (Я — 1};

Поэтому иногда бывает удобно говорить, что φ (к) Сходится (вместо йстремится“) к пределу I при П — оо.

Если sπ—>—j-∞ или sn — — оо, то мы говорим, что ряд κι HЙ2 — J — • • • Расходится, или что он Расходится λt-J-∞ или, со­ответственно, к — Со. Эти термины могут быть применены к любой функции φ (к); так, если φ (к) — — J — оо, то мы можем сказать, что φ (к) Расходится к -J — Со. Если sn не стремится ни к конечному пределу, ни к — J — ∞, ни к — ∞, то тогда sn ограниченно или неограниченно колеблется; в этом случае мы говорим, что ряд, соответственно, ограниченно или неограниченно колеблется[32]).

77. Общие теоремы о бесконечных рядах. При рассмотрени. вопросов, связанных с бесконечными рядами, мы должны будем по етоянно пользоваться следующими общими теоремами.

(1) Если κ1-+ Ui -+… сходится и имеет сумму s, то к+-K1-J — J-Ha-)-… также сходится и имеет сумму α+-s. Аналогично, A JB -)- с -)-…-)- K -)- U1 — j — H2 -+… сходится и имеет сумму α -J — 6 — J-

J — C.∙.-(- k — J — 5.

(2) Eckhk1-J-K2-J-… сходится и имеет сумму s, то κm+ι4~wm+a4^∙∙∙ сходится и имеет сумму

S — κ1 — K2 —… — Ит.

(3) Если какой-либо из рядоз, рассмотренных в (1) и (2), расхо­дится или колеблется, то так же ведут себя и остальные из рассмо­тренных рядов.

(4) Если H1 -)-κ2 -J-… сходится и имеет сумму 5, то Ku1 — J-⅛κ2 — J-… сходится и имеет сумму Ks.

(5) Если первый ряд из рассмотренных в (4) расходится Или колеблется, то так же ведет себя и второй, если K≠0.

(6) Если κ1 — J — κa — J-… и V1 — J — ∙π2 — J-… оба сходятся, то ряд (ιι1 -J — ∙∏1) — J- (κ2 — J — Vi) — J-… также сходится, и его сумма равна сумме двух первых рядов.

Все эти теоремы почти очевидны и могут быть доказаны непо­средственно из определений или же применением результатов пп.63— бб к сумме 5„ = κ1 — J — κ2 — J-… — J — Ип. Следующие теоремы носят уже несколько иной характер.

(7) Если κ1 — J — κ2 — J — … Сходится, то Hm Ип = 0.

Ибо κn = sn-sn-1, a sπ и Sn_T имеют один и тот же предел s. Следовательно, Iim κn=s— S = 0.

Читателю может показаться, что и обратная теорема справедлива, т. е. что если Iim κn = 0, то ряд Ul + κ2 + … должен быть сходящимся. Что это не так, легко убедиться на примере. Возьмем так называемый гармони­ческий ряд

1+τ+⅛+τ+-∙

Для которого И„ —~ . Сумма его первых четырех членов

, . 1 . 1 , 1 ,,1,1 ɪ ÷ 2 + 3 + 4 > ɪ ÷ 2 ÷ 2 ‘

Г . 1,1,1,14 1

Сумма следующих четырех членов —+-c-+ v+ </> ɪ = ʒv ; сумма еле-

ð О ∕ О О Z

8 1

Дующих восьми членов больше чем ɪθ = ɪ и т. д. Таким образом, сумма первых

4 + 4 +8 + 16 + . .. + 2" = 2n+1

Членов больше, чем

2+++++++ ••• ++=+("+3),

A это стремится к + ∞ вместе с л, а значит, ряд расходится к +∞.

10«

(8) Если Ul — J — Ui — J — K3 — J- ..Сходится, то будет сходиться и лю­бой ряд, составленный из данного произвольным объединением в скобки его членов так, что выражение в каждых скобках обра­зует член нового ряда. Сумма каждого из таким образом состав­ленных рядов равна сумме исходного ряда.

Читатель сможет самостоятельно доказать эту теорему. Обратная тео­рема здесь также неверна. Так, 1—1 + 1—l-f-… колеблется, тогда как

(l-l) + {l-l) + ∙.. или 0 4- O — J — 0 — J — … сходится к нулю.

(9) Если каждый член Un положителен (или равен нулю), то ряд 2 Un либо сходится, либо расходится к — J — ∞. Если он схо­дится, то его сумма должна быть положительна (кроме того слу­чая, когда все члены равны нулю; в этом случае его сумма, конечно, также равна нулю).

Действительно, sn, по определению п. 69, является возрастающей функцией от я, и мы можем применить результаты этого пункта к Sn.

(10) Если каждый член Un положителен (или равен нулю), то необходимым и достаточным условием сходимости ряда κn Являет­ся существование такого числа К, что сумма любого числа членов ряда будет меньше чем К; если такое К может быть найдено, то сумма ряда не превосходит К.

Это также непосредственно следует из п. 69. Вряд ли нужно особо отмечать, что теорема становится неверной, если отбросить условие о положительности Ип. Например,

1 — 1-J-1 — 1-J-…

Явно колеблется, так как Sn поочередно равно 1 и 0.

(11) Если K1-J-K2-J-…, v1 — J — v2-J-… — Два ряда с положи­тельными (или равными нулю) членами, причем второй ряд схо­дится и для всех значений п Un^,Kvn, где К—постоянная, то первый ряд также сходится, и его сумма не превосходит умно­женную на К сумму второго ряда. Ибо если v1 — J — v2 — J-… = £ то v1 — J — v2 -J — … — J — vπ ≤ £ для всех значений П и, следовательно, K1-J-K2-J- -J-… — J — κn ≤ Kt; что и доказывает теорему.

Обратно, если "∑IUn расходится и Vn^Kun, где К)>0, то LVn также расходится.

78. Бесконечная геометрическая прогрессия. Рассмотрим те­перь бесконечный ряд с общим членом Un = Rn~1. Этот ряд назы­вается „бесконечной геометрической прогрессией". В этом случае

⅞=l+» + ‘a + ∙∙∙ + r"’* = J≡^>

Если Г ≠ 1; при Г =s 1

Sn S=I-J-I-J-…-J-I=K.

В последнем случае sπ—J-∞. ® общем случае Sn стремится к ко — нечному пределу тогда и только тогда, когда Rn стремится к конеч­ному пределу. Обращаясь к результатам п. 72, мы видим, что Ряд 1 -(- Г — j — Rt .. сходится и имеет сумму ɪ—— Тогда и только тогда, когда — L<^R<^ 1.

Если r≥l, то Sn^C^N И Sn<∙-j-∞> τ∙ e∙ РЯД расходится к — j-∞. Если г=— 1, то Sn = 1 или Sn = 0, в зависимости от того, нечетно П Или четно, т. е. Sn ограниченно колеблется. Если r<^—1, то Sn Неограниченно колеблется.

Итак, ряд 1 — j — г-J — г4, — J — … расходится к-[-со, если 1, cxo∙

Дится к ɪ—r, если.— l<^r<^l, ограниченно колеблется, если

Г = — 1, и неограниченно колеблется, если — 1.

Примеры XXIX. 1. Периодические десятичные дроби. Самым рас­пространенным примером бесконечной геометрической прогрессии являются периодические десятичные дроби. Рассмотрим, например, десятичную дробь 0,217 (13), По правилам арифметики это равно

2, 1,7,1, 3,1,3, _ 217 , IO5 _ 2 687

10 ʃ IO2 ʃ IO3 ɪ IO1 + IO5 ʃ 10β ʃ IO7 ^, 1000+______ Il 12 375 ’

10*

Читатель должен разобрать, в каком месте и какая из общих теорем и. 77 Применялась в этом вычислении.

2. Показать, что вообще

0αa A Iia а 1 —Aιaa ∙ ∙ ∙ ⅛ Aιaι-∙AN~ AIAa ∙.-Am О, α1α2… Am (a1a2… Ап) 99… 900 . 0 ’

Где знаменатель содержит я девяток и Т нулей.

3. Показать, что чисто периодическая десятичная дробь всегда равна дроби, знаменатель которой не делится ни на 2, ни на 5.

4. Десятичная дробь с Т знаками до периода и с я знаками в периоде равна дроби, знаменатель которой делится на 2m и 5M, но ие делится ни на какую высшую степень 2 и 5.

5. Имеют место также утверждения, обратные утверждениям в приме­

Рах 3 и 4. Пусть r=y∙ > и допустим, что Q взаимно просто с 10. Если мы будем делить все степени 10 на Q, то получим не более Q различных остат­ков. Поэтому можно найти два числа Nl и я2, где Nl>N2, так что IO"1 и 10n2 дают одини тотже остаток. Следовательно, lθ"j —lθ"a= lθ"2(lθ"1 "2 — 1)

Делится на Q, а следовательно, и 10" — 1, где N = Nl я2, делится на Q. Следовательно, Г может быть представлено в виде -ɪθ- ɪ или

10" 1 IO2’1

Т, е. как чисто периодическая десятичная дробь с я знаками в пе­риоде. Пусть, с другой стороны, 0 = 2a5^ Q, где Q взаимно просто с Ю, и пусть Т — наибольшее из чисел А и β; тогда 10mr имеет знамена­тель, взаимно простой с 10, и может быть представлено в виде суммы Целого числа и чисто периодической десятичной дроби. Однако это уже Неверно в отношении ЮР-г, гдер.<от; следовательно, наша десятичная Дробь ддя Г имеет в точцорти от знаков до периода,

6. К результатам примеров 2—5 мы должны добавить еще результат примера I. 3. Наконец, замечая, что мы видим, что всякая конечная десятичная дробь может быть представлена В Виде смешанной периодической десятичной дроби с 9 в периоде. Напри­мер, 0,217 = 0,216(9). Таким образом, всякая дробь может быть представлена в виде смешанной периодической десятичной дроби, и наоборот.

’10 [33] IO2 ‘ IO3

0, (9) = ∙... = 1,

7. Общие десятичные дроби. Представление иррациональных чисел в виде непериодических десятичных дробей. Каждая десятичная дробь, как периодическая, так и непериодическая, соответствует определенному числу между 0 и 1. Ибо десятичная дробь 0,αjα2α3α1 … обозначает беско­нечный ряд

⅛ I ¾ I {⅛ 1

10 — t" IO2 ʃ lθ3 ɪ ‘ ‘" *

Так как каждое Ar положительно или равно нулю, то сумма sn первых П членов этого ряда возрастает вместе сии при этом не превосходит 0, (9), т. е. 1. Следовательно, Sn стремится к пределу, заключенному между 0 и 1.

Более того, никакие две десятичные дроби не могут соответствовать одному И Тому же числу (кроме тех случаев, которые отмечены в при­мере 6). Ибо допустим, что 0,α1α2a3 …, 0,⅞1⅛2⅛3 …—две десятичные дро­би, совпадающие до знаков αr.1, Br_It ио что Ar>Br. Тогда AreZbr-(- 1 > Br, Br±IBr+2 • ■ • (если только не все ⅛r+1, ⅛r+2,… равны 9), и следо­вательно,

θ,ɑɪ A1.. .ar ar+l… >0, Blb2. ■. Br Br+L… ■

и . m 2а 79
ioj ’ \10 ’ ioj ’ ’ \10»
если оно лежит между ɪ г и ~ (r-)-l), то первым знаком будет г. подразделяя этот интервал на 10 частей, мы можем аналогично определить второй знак и т. д. но (примеры 3, 4) полученная десятичная дробь не может быть периодической. так, например, десятичная дробь 1,414 ..., полу
,0,

Таким образом, выражения рациональных дробей в виде периодических десятичных (примеры 2—6) однозначны. Далее мы заключаем, что каждая десятичная дробь, которая не обрывается и не является периодической, представляет некоторое иррациональное число между 0 и 1. Обратно, вся­кое такое число может быть представлено в виде такой десятичной дроби, В самом деле, оно должно лежать в одйом из интервалов чаемая с помощью обычного алгорифма извлечения [Л 2, не может быть периодической.

8. Десятичные дроби 0,1010010001000010… и 0,2020020002000020…, в ко­торых число нулей между единицами и двойками с каждым шагом увели­чивается на единицу, представляют иррациональные числа.

9. Десятичная дробь 0,11101010001010…, в которой и-ый знак есть 1, если и— простое число, и 0, если и — непростое, представляет простое число. [Так как число простых чисел бесконечно, эта десятичная дробь не обрывается. Она не может быть и периодической; действительно, если бы она была периодической, то мы могли бы определить Т и Р так, что Т, Mρ, M-2ρ, M-3ρ были бы все простые числа, а это невозможно, так как эта последовательность содержит Т4-тр1].]

Примеры XXX. 1. Ряд Rm — J- rm+1 — J — … сходится, если — 1 < r< 1, и его сумма равна у—у. — ɪ — Г — … — Rm~1 (см. (2) п. 77).

2. Ряд Tm-J-Cml + … сходится, если —∙l<r<l, и его сумма равна

——- (см. (4) п. 77). Проверить, что результаты примеров 1 и 2 совпадают.

3. Доказать, что ряд 1-J-2r-J-2r2-J-… сходится и что его сумма равна 1 + г

(1) записывая его в виде
— 1-j-2(1-j-г + r2-j-...),
(2) записывая его в виде
l + 2(r+r2 + ...),
(3) складывая два ряда 1 -j- г+ г2 -j- ... и г-j-r2-j-... в каждом случае указать те теоремы из п. 77, которые применяются при доказательстве.
4. доказать, что арифметическая прогрессия

1 Г’

« + (« + *) + (<* + 2⅛) + …

Всегда расходится, кроме того случая, когда А и Ь оба равны нулю. Пока­зать, что если Ь отлично от нуля, то ряд расходится к -)-∞ или к —оо, в зависимости от знака Ь, и что если ⅛ = 0, то он расходится к — J-∞ или к —со, в зависимости от знака А.

5. Чему равна сумма ряда

(1 — Г) + (г — r2) + (r2 — г3) + …,

Если этот ряд сходится? [Ряд сходится тогда и только тогда, когда — Г < 1 ≤ 1. Его сумма равна 1, если r≠l, и равна 0 при г = 1.]

6. Найти сумму ряда r2 + ɪ-^ — J — + • • • •

[Этот ряд всегда сходится. Если r≠0, его сумма равна I-J-г2, а при Г = 0 его сумма равна 0.]

7. Если предположить, что 1 — J — Г — J- r2-J-… сходится, то можно доказать с помощью теорем(1) и (4) п. 77, что сумма этого ряда равна ɪ ɪ у. Ибо если 1 — J — Г —J — r2 -J — … = s, то

S = 1 -J — г (1 — J — Г — J — R2 + …) = 1 + Rs.

8. Найти сумму ряда Г — J — утру ⅛^ ɑzpʒɔs ⅛^ ∙ ∙ ∙ в τex слУчаях, когда он

1, т. е. если г< —2 илиСходится. [Ряд сходится, если — 1 < r>0, а его сумма равна 1 — J- Г. Он также сходится при г = 0, ив этом случае его сумма равна 0.]

9. Найти суммы следующих рядов в тех случаях, когда они сходятся:

Г *• «• *»

l + rτ(l -j-г)
г , [ г
1 — г 1 (1 — r)s1 + -,+ • ■ •»

1 -гι + r ιu + r; ••

10. Рассмотреть сходимость рядов

(1 + Г) + (г2 + г3) + …, (1 — J — г-J-r2) — J — (r3 -J — r1 — J — r3)-J- …,

ɪ — 2r-J — R2-J — r3 — 2Ri — J — r5-J-…, (1 — 2∕∙-J — r2)-∣-(r3 — 2r4 — J — r5) — J- …, и найти их суммы в тех случаях, когда они сходятря,

11. Если О ≤fl⅛ ≤ 1, то ряд zzŋ + Alr + A2R + … сходится для O ≤ Г < 1,

И его сумма не превосходит ɪ————- .

12. Если, кроме того, ряд zz0+zz1 + zzs+ … сходится, то ряд A0 + zz1r + — J — zz2rs — J — … сходится для O ≤ Г ≤ 1, и его сумма не превосходит меньшее из двух чисел: Ae — j — zz1 — J- α2 — J-… и сходится тогда и только тогда, когда И„ стремится к пределу при П — со.

13. ряд 1 +,1∙2 1 1•2•3
сходится. [так как 5—ɪ ≤sΛr •]
1 • 2 ... я 2 ^
14. ряды l+j1+1-yiyπ + . сходятся.
15. общий гармонический ряд
4-+ 1 ■
,a -j- ь r a -j- tib
1∙2∙3 ' 1∙2∙3∙4∙5
где а и b положительны, расходится к -j-оо. 1 1,[ибо un a + nι, >n(a~i-b) 16. показать, что ряд,. теперь сравнить с рядом 1 -j- ɪ+ɜ- + ••••],(«о — hi) + (zz1 — zz2) + (us — zz3) +...

17. Если uɪ + zz3+zz3+… расходится, то будет расходиться и любой ряд, составленный из него произвольным объединением его членов в скобки так, что выражение в каждых скобках образует член нового ряда.

18. Всякий ряд, составленный из части членов сходящегося ряда с поло­жительными членами, будет сам сходящимся.

> 79. Представление функций непрерывного действительного переменного с помощью пределов. В Предыдущих пунктах мы часто рассматривали пределы типа

Iim φn(x)

N→<x>

И Такие ряды как

Zzɪ (х) + ZZ2 (х) 4-… = Iim {zz1 (х) + zz2 (х) 4——————- 4- И„ (х)},

Λ→CO

В которых функции от П, пределы которых мы ищем, содержат кроме П еще другое переменное х. В таких случаях предел являет­ся, конечно, функцией от х. Так, в п. 75 мы встретились с функ­цией

/(x) = Iim П (У х — 1);

∕ι→oo

Сумма геометрической прогрессии 1-∣-x+ x2 4^ ■ • • также является функцией от х, а именно, функцией, которая равна -ɪ ʌ , если `—1<+<^1, и не определена для остальных значений ,у,

примеры xxxl. 1. yn(x) = x. здесь п вовсе не входит в выражение для уп (х), и φ (х) = iim (х) = х для всех значений х.
x
2. φn (х) = — . здесь φ (х) = iim φn (х) = 0 для всех значений х.
3. уп (х) = ях. если х > 0, то φ,, (х) — со; если х < 0, то φ,, (х) — — со. только когда x = o, φn(x) имеет конечный предел, а именно, 0, при n->∞. таким образом, γ(χ)-0 при х=0 и не определена ни для каких других значений х.

Многие из рассмотренных в гл. II функций, которые на первый взгляд представляются весьма „неестественными", имеют очень про­стое представление рассматриваемого типа, как читатель увидит из следующих примеров.

. . . 1 ях

• Tf≈(∙r) nχ,

5. φn(x)=xπ. Здесь φ(χ) = 0 (—l<x<l); φ(х) = 1 (х = 1); φ(x)He определена ни для каких других значений х.

6. сря(х) = х”(1 — х). Здесь φ(x) отличается от φ(x) примера 5 только тем, что она имеет значение 0прих=1.

χFi

7. φ,, (х) = — . Здесь φ (х) отличается от φ (х) примера б только тем, что она имеет значение 0 как при х = 1, так и при х =—1.

(х< — 1 или х>

1); и φ(x) не определена при х =—1.] п , . _ х" 1 1 1 1
tn и) — ΛΛ-p χn i j. χn~ι> χn i x-n >χn~x-n ‘ χn 1
10. доказать, что если х>0, то функция ɪɪ 1 стремится к пределу x' 1

8∙ τn(χ) = — Jφ-1 ∙ [τ(χ) = θ (-1<X<1); φ(χ) = y (х=1);φ(χ)=i

При λ-→co и что предел имеет три различных значения в следующих трех случаях: х<1, х=1 и х>1. (Зкз. 1935 гу

Рассмотреть также функции

Ях” — 1 Хп — я ях” 1 ’ Xn я

11. Построить пример, в котором φ(x) = l (∣x]>l), φ(χ)≈-1

(I х I < 1) Hif(X) = O(X=Iax = — I).

IO ,V., Xin1? Я

• 1 ) x i_ J у Г Xn _|_ χN^,N

13. φ,w=≤⅛1∣iW.

[Здесь φ (х) =∕(x) ( I X I > 1); φ (X) = ⅛(X) ( I X I < 1); φ (X) =≈-g∙{Z(X}+G (*)} (х = 1), и φ (х) не определена при x = -1.]

1M,,(x) =Aarctg (ях). [φ(x) = l (х> 0); φ (x) = 0 (x = 0); φ(x) = — 1

(х<0), Эта функция играет важную роль в теории чисел и обычно обозна­чается символом sign х.]

15. φn (х) = sin япх. [φ(x) = 0, если х — целое число; φ(x) не определена Для остальных значений х (см. пример XXIV. 7).]

16. Если φn(x) = si∏fl! xπ, то φ(x) = 0 для всех рациональных значе­ний х (см. пример XXIV. 13). [Рассмотрение иррациональных значений Г; Представляет брдьшие трудности,]

17. ¾ (х) = (cos2 χπ)ra. [φ(x) = 0, за исключением того случая, когда Х Целочисленно, а в этом случае о (х) = 1.]

18. Если Λr≤⅛l 753, то число дней в JV-ом году н. э. разно

Iim {зб5 + (cos3 ɪ Nr.)- — (cos3 ɪ Nr.)- + (cos3 ɪ JVπ)"} .

80. Грани ограниченной совокупности. Пусть S — любая система или совокупность действительных чисел s. Если супцествует такое число К, что s ≤ К для каждого s из 5, то мы будем говорить, что S Ограничена сверху. Если существует такое число К, что s≥⅛A для каждого s, то мы будем говорить, что S Ограничена снизу. Если S ограничена сверху и снизу, то мы будем просто говорить, что S Ограничена.

Предположим сначала, что S ограничена сверху (но не обязательно сни­зу). Тогда существует бесконечно много чисел, обладающих свойством числа К", Например, все числа, большие К, наверно, обладают этим свойством. Мы докажем, что Среди этих чисел имеется наименьшее[34]), которое мы обозна­чим через ЛТ. Ни одно число из S не превосходит этого числа М, но для каждого числа, меньшего М, в S найдется, по крайней мере, одно число, которое его превосходит.

Разобьем действительные числа ξ на два класса LuR, относя ξ к L Или к R, в зависимости от того, найдется ли в S число, превосходящее его, или нет. Тогда каждое ξ будет принадлежать одному и только одному из классов LuR. Каждый класс существует, так как любое число, мень­шее какого-либо члена S, принадлежит к L, тогда как К принадлежит к R. Наконец, каждое число из L меньше одного из членов S и, следовательно, меньше любого числа из R. Таким образом, все три условия теоремы Деде — кинда (см. п. 17) выполнены, и существует число М, разделяющее эти классы.

Это число M и является тем числом, существование которого мы должны были доказать. Прежде всего, ни один член S не превосходит М, Так как если бы такое s из S существовало, то мы могли бы положить s MF- η, где η положительно, и тогда число Λ4 -J-ɪ 7I принадлежало

Бы к L, в силу того, что оно меньше s, и принадлежало бы к R, в силу того, что оно больше Л4; но это невозможно. C другой стороны, любое число меньшее М, принадлежит к L, и поэтому в S найдется, по крайней мере, один член, превосходящий его. Таким образом, M действительно обла­дает всеми требуемыми свойствами.

Это число M мы называем Точной верхней гранью S, и можем теперь сформулировать следующую теорему. Любая ограниченная сверху совокуп­ность S имеет точную верхнюю грань М. Никакое число из S не прево­сходит М; но для любого числа, меньшего М, можно найти такое число из S, которое его превосходит.

Точно таким же образом мы можем доказать соответствующую теорему для совокупности, ограниченной снизу (но не обязательно сверху). Любая ограниченная снизу совокупность S имеет точную Нижнюю грань т. Никакое число из S не меньше чем т; но для любого числа, большего т, можно найти такое число из S, которое меньше его.

Следует отметить, что если S ограничено сверху, то M ≤ К, а если S ограничено снизу, то zn≥⅛∙ Если S ограничено, то A≤zπ≤Λ4≤∕f.

81. Грани ограниченной функции. Пусть ф(я)— функция положитель­ного целочисленного переменного П. Совокупность всех значений ср(я) опре­деляет множество S, к которому применимы рассуждения п. 80. Если S ограничено сверху, или ограничено снизу, или ограничено, то мы соответ­ственно говорим, что φ(я) ограничена сверху или ограничена снизу, или ограничена. Если φ(π) ограничена сверху, т. е. если существует такое число К, что φ (я) ≤ К для всех значений П, то существует число М, обла­дающее следующими свойствами:

(1) φ(zz)≤Λ4 Для всех значений п;

(2) Если 8— любое положительное число, то у(я)> M8 по крайней мере для одного значения п.

Это число M мы называем Точной верхней гранью φ (и). Аналогично, если φ(∏) ограничена снизу, т. е. если существует такое число К, что о (и) ^—½ к всех значений Я, То существует число Т, обладающее следующими свойствами:

(1) ψ(B)-≥m Для всех значений я;

(2) Если S — Любое положительное число, то <s (я) < Т -)- S По крайней мере для одного значения п.

Это число Т мы называем Точной нижней гранью у(п).

Если К существует, то M ≤ К’, если К существует, то Т^к; если К и К существуют, то

К ≤ т ≤ M ≤ К-

82. Верхний и нижний пределы ограниченной функции. Предположим, что φ (я) — ограниченная функция, и что M и Т — ее точные верхняя и нижняя грани. Возьмем любое действительное число ξ и рассмотрим, какие неравенства могут иметь место между ξ и значениями, принимаемыми φ (я) при Больших я. Мы имеем здесь следующие три взаимно исключающих друг друга возможности:

(1) ς^. jφ(n) для всех достаточно больших значений я;

(2) ξ≤φ (я) для всех достаточно больших значений я;

(3) S < о (я) для бесконечно многих значений я и S > φ (я) также для бесконечно многих значений я.

В случае (1) мы будем называть ξ Верхним числом, в случае (2) — Ниж­ним числом, а в случае (3) — Промежуточным числом. Ясно, что никакое верхнее число не может быть меньше Т и что никакое нижнее число не может быть больше М.

Рассмотрим совокупность всех верхних чисел. Она ограничена снизу, так как ни один из ее членов не меньше Т, и поэтому имеет точную ниж­нюю грань, которую мы обозначим через А. Аналогично, совокупность всех нижних чисел имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через X.

Числа А и λ называются, соответственно, Верхним и нижним преде­лом φ (я) При п стремящемся к бесконечности’, мы будем также писать:

А = Iim φ (я), λ = Iim φ (я).

Эти числа обладают следующими свойствами:

(1) m≤λ≤Λ≤Λf;

(2) А и λ являются, соответственно, точными верхней и нижней гранями совокупности промежуточных чисел, если таковые существуют;

(3) если S — любое положительное число, то φ (я) < А -}- S для всех доста­точно больших значений я и φ(n)>Λ-S для бесконечной совокупности значений я;

. (4) аналогично, о(я)>Х —δ для всех достаточно больших значений я ц ¥ (π)<λ + δ для бесконечной совокупности значений я;

(5) необходимым и достаточным условием для того чтобы φ(∕z) стреми­лась к пределу, является равенство А = X, и если это условие выполнено, то общее значение I чисел А и λ и является пределом φ (я).

Из этих свойств (1) является непосредственным следствием опреде­лений; (2) мы можем доказать следующим образом. Если A = X = Z, то суще­ствует не более одного промежуточного числа, а именно, I, и доказывать нечего. Допустим, поэтому, что А > λ. Любое промежуточное число ξ меньше любого верхнего и больше любого нижнего числа, так что X ≤ ξ ≤ А. Но если λ < ξ < А, то ξ, очевидно, должно быть промежуточным числом, так как оно не может быть ни верхним, ни нижним. Следовательно, промежу­точные числа найдутся как угодно близко и к λ и к А.

Для доказательства свойства (3) заметим, что Λ +S является верхним, A А — S — промежуточным или нижним числом. Утверждение является теперь непосредственным следствием определений; доказательство (4) проводится аналогично.

Наконец, докажем (5). Если А = X — I, то Z- δ<φ(n)<Z + δ

Для любого положительного значения S и всех достаточно больших значе­ний П, так что φ (я) — Z. Обратно, если φ(n)→Z, то написанные выше нера­венства имеют место для всех достаточно больших значений П. Следова­тельно, Z-S является нижним, a Z — f — S — верхним числом, так что

X≥sZ-δ, A≤Z + δ,

Откуда A λ≤2δ. Но так как A λ≥0, то это возможно только в том случае, когда А = X.

Примеры XXXII. 1. Ни А, ни λ не изменяются при изменении любого конечного числа значений φ (я).

2. Если ср(я) = я для всех значений П, то M = X = A = M = а.

3. Если φ (я) = ɪ, то M = X = A = O и M = 1,

4. Если φ (я) = (— 1)”, то M = X=-I и А = M = 1.

5. Если φ (я) = (— l)n ɪ , то м = —1, λ = A = 0, M = ɪ .

6. Если φ (я) = (— 1)”^ 1 + -ɪɔ , τo Nt — 2, X=-I, A = l, AI = -^-.

7. Пусть φ (я) = sin яОтт, где 9 > 0. Если θ — целое число, то

M = X = A = AI = O.

если θ — рациональное, но нецелое число, то возникает целый ряд случаев.
предположим, например, что 9 = , где р и q положительны, нечетны и
взаимно просты, причем q> 1. тогда φ(я) принимает в циклическом порядке значения
,, sin,(2q- l)ρπ
<1
,sin,2gp~
q ’ ■" '
,нетрудно видеть, что наибольшим и наименьшим из этих значений являются
π π
cos =- и — cos —, так что 2? 2q,
,m = λ = — cos ɪ, а = at = cos 2^ •
читатель мози&т ацалргичцо разобрать случаи, когда р и це оба цечетньь

Случай иррационального 9 более сложен. Можно показать, что в этом случае /∕z = λ = -1 и A = M= 1. Можно также показать, что значения φ (я) так распределены в интервале (—1, 1), что если Z —любое число из этого интервала, то существует последовательность ∕¾, я2, … такая, что φ (¾)-→ ξ при ½-∞[35]).

Подобные же результаты получаются и в случае, когда φ(n) является дробной частью я9.

83. Общий принцип сходимости для ограниченной функции.

Результаты предыдущих пунктов позволят нам доказать одно очень важное необходимое и достаточное условие для того, чтобы ограниченная функция φ(л) стремилась к пределу. Это условие обычно называют Общим принципом сходимости к пределу.

ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием для. того, чтобы ограниченная функция φ (п) стремилась к пределу, является существование такого числа пй (8), Что для любого заданного положительного 8 Неравенство

∣Φ(∕⅛)- φ(¾)∣<8

Выполняется для всех значений Nl и п2 таких, что Я3>я15гя0 (8).

Во-первых, условие Необходимо. Ибо если φ (я) → I, то мы можем найти такое я0, что

∕~±δ<φ(,0<z + ±8

Для П^пй, и, таким образом,

∣φ("s)-яр (ʃzɪ) 1 < δ,

Если Nl~^N0 и n2≥¾.

Во-вторых, условие Достаточно. Для доказательства достаточно только показать, что из этого условия следует λ = А. Но если λ А, то существует, как бы мало ни было 8, бесконечно много значений П, Для которых φ (я) λ — р 8, и бесконечно много значений я, для которых φ(κ)^>A— 8; поэтому мы можем найти такие значения я1 и Ni, каждое больше любого заданного числа я0, что

1P («а)—9 (N1) > А — λ — 28,

Что больше ɪ (A — λ), если 8 достаточно мало. Это же, очевидно,

Противоречит неравенству (1). Следовательно, λ = A, и φ (я) стре­мится к пределу.

84. Неограниченные функции. До сих пор мы рассматривали только ограниченные функции; но общий принцип сходимости

Остается в силе и для неограниченных функций, так что слово „ограниченная" может быть опущено в формулировке теоремы 1.

Во-первых, если φ (л) стремится к пределу /, то она заведомо ограничена, так как для всех, кроме конечного числа, значений П Ее значения заключены между I—8 и Z —8.

Во-вторых, если условие теоремы 1 выполняется, то мы имеем: ∣φ(∏s)-φ(n1)∣<δ,

Коль скоро m.25≥m0 и ∕z1τ⅛∕z0. Зафиксируем какое-либо значение N1, Большее м0. Тогда

φ(n1)-δ<φ(β2)<φ(Λ1) + δ

Для Ni^N,L. Следовательно, φ(π) ограничена, и применимо доказа­тельство достаточности условия из предыдущего пункта.

Важность общего принципа сходимости вряд ли может быть переоценена. Как и теоремы п. 69, он дает нам возможность опре­делить, стремится ли функция φ («) к пределу или нет, не делая никаких предположений относительно возможного значения этого предела; вместе с тем, он не содержит тех ограничительных предположений, которые являются неотъемлемой частью таких специальных теорем, как теоремы п. 69. Но в элементарных рассмотрениях, как правило, можно обойтись без него и ограни­читься только этими специальными • теоремами. Читатель увидит, что, несмотря на важность этого принципа, мы фактически не при­меняем его в дальнейших главах этой книги1). Заметим только, что если положить

1P (я) = ∙sn = ∙κ1 + «г + • • • + «я,

То мы тотчас же получим необходимое и достаточное условие сходимости бесконечного ряда, а именно[36] [37]):

ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием сходимости ряда Ul Ui — f — … Является существование такого числа пй, что для любого заданного положительного числа 8 Неравенство

I UN1Jrl -(- ⅛+2 — J — … -[- Mns l<δ Выполняется для всех значений Nl и Ni таких, что

Ni↑>nl≥zna.

85. Пределы комплексных функции и рядов с комплексными членами. В настоящей главе мы до сих пор рассматривали только действительные функции от П и ряды с действительными членами. Однако не представляет труда распространить наши понятия и определения и на тот случай, когда значения функции или члены ряда — комплексные числа.

Допустим, что φ(я) комплексна и равна р (я)-J-«(я),

Где р (я), σ (я) — действительные функции от я. Тогда Если р(п) и Q (я) Стремятся, соответственно, к пределам г и S при N→~Oo, то мы будем говорить, что φ(N) стремится к пределу I = RTIs, И писать

Iim φ (я) = I.

Аналогично, если Un комплексные числа, равные Vn-}-Iwn, то мы будем говорить, что Ряд

U1 -J — Ui — J — U3 — J — . . .

Сходится и имеет сумму I = R-}-Is, если ряды,

τ — J^^ 7A — J^^ τ,3 + ∙ ∙ ∙ > "wι ^^f~ "w4 ~J^^ W3 — f — • • •

Сходятся и имеют, соответственно, суммы г и S.

Утверждение, что ιι1 — J — Ui — J — U3 — J — … сходится и имеет сумму /,

Эквивалентно, конечно, утверждению, что сумма

SNLlι ~Ь κa+ ∙ ∙ ∙ + UN — Cυz — i ⅛^ ∙ ∙ ∙ + v∏) ⅛^

+ * (wI + W∙2 + ∙ ∙ ∙ + WП)

Сходится к пределу I при я—‰ со.

В случае действительных функций и рядов мы определили также

Расходящиеся и Ограниченно и Неограниченно колеблющиеся функ­ции и ряды. Но при исследовании комплексных функций и рядов, где мы должны одновременно рассматривать поведение р (я) и σ (я), число случаев настолько велико, что не имеет смысла их перечислять. Когда нам понадобятся более подробные рассмотрения этого типа, мы будем просто в отдельности изучать действительную и мнимую части.

86. Читатель без труда докажет приведенные ниже теоремы, которые являются очевидными обобщениями теорем, уже доказан­ных нами, в случае действительных функций и рядов.

(1) Если Iim φ (Ri) = L, то Iim С?(п^-р)=1 для любого фиксиро­ванного значения Р.

(2) Если ряд M1-J-ZZ2-J-… сходится и имеет сумму I, то A — J- й-{- C-J-… — J- K — J — zz1 -J — zz2 — J — … также сходится и имеет сумму A -J — B — J- С — J — … — J-A — J-1 и яр+1-J-zzp+2-J-… также сходится и имеет сумму IUlUi — … — ир.

(3) Если Iim φ (я) = I и Iim ψ (я) = Т, то

ɪ im {φ (я ) — f — ψ (я)} == I-J- Т.

(4) Если Iim φ (я) = Z, то Iim Aφ (я) = AZ.

(5) Если Iim φ (я) = Z и Iim ψ (я) = Т, то Iim φ (я) ψ (я) = 1т.

(6) Если B1-J-K2-J-… сходится к сумме I и ∙υ1-∣-∙υ2-J-.. схо — дится к сумме /я, то (zz1 — J — ∙υ1) — J — (κ2 — J — ∙κ2) — J — … сходится к сумме Z — J — /я.

(7) Если κ1-J-K2-J-• • • сходится к сумме I, то Ak1-J-Ak2-J-… сходится к сумме AZ.

(8) Если K1-J-K2-J-K3-J-… сходится, то Iimzzn=O.

(9) Если κ1 — J — K8 — J — κ3 -J — … сходится, то будет сходиться и любой ряд, составленный из данного объединением в скобки его членов, и суммы всех таких рядов будут равны сумме исходного ряда.

В качестве примера докажем теорему (5). Пусть φ (я) = р (Я) — J — Zs (я), ψ (я) = р’ (я) — J — Zs’ (я), Z = Г — J — Is, MR‘-Is‘;

Тогда

ρ (я) —* ∕^, C(N)-S, p'(n)-ʧ’, T,(N)→S‘.

Но

φ (я) ф (я) = рр’ — ss’ — J — V (ps’ — J — p’s),

И

Рр’ — ss’ — Rr ss’, ps’ — J — p’s —- Rs — J- RS,

Так что

φ (я) ф (Я) -→ ГR — SS’ — J — Z (rs’ — J — r’s),

Т. е.

φ (я) ф (я) —> (г Ц — zs) (r, — J — Is‘) = Im.

Следующие теоремы имеют несколько иной характер.

(10) Для того чтобы φ (я) = р (я)-J-Aj (я) Сходилась к нулю при я → сю, Необходимо и достаточно, чтобы

I φ (я) J =/Jp (я)}2-J-{σ (я)}2

Сходилась к нулю.

Если р (я) и в (я) обе сходятся к нулю, то очевидно, что и ∕p2-f-β2 сходится к нулю. Обратное предложение следует из того, что | р | и | О | не могут превосходить j∕ρ2 -J — s2.

(11) Вообще, для того чтобы <р(п) сходилась к пределу I, Необходимо и достаточно, чтобы

|ф(л) —1\

Сходилась к нулю.

Ибо тогда γ(N) — Z сходится к нулю, и мы можем применить теорему (10).

(12) Теоремы 1 к 2 яя. 83 к 84 Остаются в силе и для ком­плексных ер (я) к Ип.

Мы должны показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы φ (я) стремилась к пределу I, является выполнение неравенства

I φ (K2) — φ (я1) I < S

ДЛЯ /?2 /Zq∙

Если φ(n)-→∕, то р(я) —г и с (я) —»S, я мы можем найти числа NU и NL, Зависящие от δ, и такие, что

I P (n2) P (n1) I < ɪ s> I « (Яа) — о (βι) I < ɪ δ,

Причем первое неравенство имеет место, когда π3>n1≥nθ, а второе,— когда ffs>Λ1≥Λ3. Следовательно,

I<р(Я2)- φ (nɪ)I ≤ J р(яа)- P(Nl)I + ∣σ(∕⅛)-3(¾)∣<S,

Когда яа > «1 ≥ Яв, где я0 — большее из чисел N‘0 и я’й. Таким образом, усло­вие (1) Необходимо. Для доказательства его Достаточности мы должны только заметить, что

I P (яа) — P (яа) 1 ≤ I φ (яа) — φ (Ях) 1 < S

При na>n1Ξ⅛nβ. Следовательно, р (я) стремится к пределу, и таким же путем мы убедимся, что <з(п) стремится к пределу.

87. Предел Zn при b→∞, где г —любое комплексное число.

Рассмотрим важный случай, когда φ(n) = zβ. Этот вопрос уже рассматривался нами для действительных значений Z в п. 72.

Если zn→Z, то zβ+*→Z (по (1) п. 86). Но (по (4) п. 86) 2β+1=ZZβ→zZ,

И, следовательно, L = Zl, что возможно только, если (a) Z==O или (b) Z= 1. Если Z= 1, то Umzn=I. За исключением этого частного случая, предел, если он существует, должен быть равен 0.

Но если Z = г (cos θ — J-Z sin θ), где Г положительно, то Zn = Rtl (cos я θ —f~ г sin я θ),

Так что Zn = Rn. Следовательно, ∣zβj стремится к 0 в том и только в том случае, когда r≤l, и из (10) п. 86 следует, что Iim Zn = 0

Тогда и только тогда, когда Γ≤l. Ни в каких других случаях Zn Не стремится к пределу, не считая рассмотренного уже случая z = 1.

88. Геометрическая прогрессия 1 ■ IZR ZtlR… С комплекс­ным Z. Так как

^ = ι + ^+^ + ∙∙∙ + 2β-1≈⅛">

Кроме того случая, когда Z = L и SnN, мы получаем, что Ряд 1■ сходится тогда и только тогда, когда jz∣∙≤l. Сумма этого ряда в случае его сходимости равна ɪ-ʃ .

Таким образом, если Z = r(cosθ —f—Zsin 6) = Z Cis θ и r<≤l, то мы имеем

ι + z+z24-…= i^ɪɑiɪθ

11 Г. Харди

или
1 —г cis θ -}~r3 ɑɪs
1 — Г cos θ + Ir sin 9 1—rCisθ- 1—2rcos0 + r2

Отделяя действительную и мнимую части, мы получаем:

, , о I -> no I 1 —г cos θ

Г sin θ-f~ r2 sin 20-[- • • • =-

1 — 2 cos Q 4- г2

г sɪn i

1 -{- Г cos θ r’cos 2θ +———————- ɪ 2rcosθ + rs ’

При условии, что r∙≤l. Если мы заменим θ на 6-]-π, то увидим, что эти результаты остаются в силе и для отрицательных значений Г, По модулю меньших чем 1. Итак, они справедливы для—l<+∙≤∏.

Примеры XXXIII. 1. Доказать непосредственно, что φ(n) = rncosnθ схо­дится к 0, когда г<1, и к 1, когда г=1 и θ равно целому кратному 2π. Доказать, далее, что если r= 1 и 9 не кратно 2π, то о (л) ограниченно колеб­лется; что если г>1 и 9 кратно 2π, то φ(n)-→ + ∞, а если г>1 и 9 не кратно 2~, то φ (и) неограниченно колеблется.

2. Установить соответствующие результаты для φ (и) = Rn sin Л9.

3. Доказать, что

Zm

Zm + Zm+’ +

2m + 2am+1 + 2zm+a+ …

Тогда и только тогда, когда ∣ Z | < 1. Какие из теорем п. 86 применяются при доказательстве?

1 — г2

I — 2r cos О + г2

4. Доказать, что если — 1 < г < 1, то

I + 2r cos 9 -j^^ 2r2 cos 29 4- • • •

5. Ряд

L+zj

сходится к сумме ■■ 1 + z, если <1. показать, что это

Г+1

Условие эквивалентно тому, что действительная часть г больше

89. Символы О, В заключение этой главы мы приве­

Дем несколько определений, которые нам понадобятся лишь позже, но логически место которых здесь.

Пусть /(и) и φ (л)—-две функции от л, определенные для всех достаточно больших значений П, скажем для лу^л,,; пусть, далее, φ(β) положительна и монотонно возрастает или убывает при воз­растании л, так что <р(л) стремится либо к нулю, либо к поло­жительному пределу, либо к бесконечности, κoπa∕ι→∞.B боль­шинстве случаев φ (л) будет какой-либо простой функцией, как, на-

1 , ŋ

Пример, ~n I, л. В этих условиях мы вводим следующие опреде­ления.

(I) Если существует такая постоянная К, что [∕∣≤∕Cφ

∕=o(φ).
.0
Для всех N>=Nll, то мы пишем

(2) Если

∕=θ(φ).
<?
∕~ zφ
/=o(i)
При N→- ∞, то мы пишем

(3) Если

Где Lφθ, то мы пишем

И говорим: F эквивалентно φ. В частности,

Означает, что F ограничена (так что она либо стремится к конеч­ному пределу, либо ограниченно колеблется), и

∕=0(l)

Означает, что ∕→ 0.

sin п 6π = o (1), sin п 6π = о (я), n-{-sinnftπ<-'~'nНапример,

П — О (Ni)1 I OOni + I OOOn — О {Ni)1 N = O (Jιi)1 I OOni -J — I OOOn = о (N3)1

Й + 1-ой, IOOni +1 OOOn~ IOOni1

A0nf,+ a, nP-1 + …+ap

60n9 + M91 + .∙∙ + ⅛9 ⅛0 ’

Если A0 ≠ O, Ba ≠ 0.

Добавим одно замечание, предостерегающее против возможного недо­разумения. Когда пишут,∕=0(φ)∖ то имеют в виду утверждение, которое часто выражают так: ,порядок величины F не выше порядка величины φ*, которое вполне допускает, что порядок / ниже порядка φ (как в первом из приведенных выше примеров).

Пока мы определили только такие соотношения, как „/(я) = 0(1)“, или „/() = о (я)“, но не определили в отдельности символов „О (1)“, или „о(я)“. Мы можем, однако, сделать наши определения более гибкими. Мы можем договориться о том, что О (φ) или О (φ) будут

11«

Обозначать Некоторые неопределенные /такие, что / — О (у) или F=O (φ); и мы сможем тогда, например, записать, что

O(l)+O(l)=O(l)=θ(fl),

И понимать под этим, что „если /=O(I) и ^ = 0(1), то /-)-^5r- -θ(ŋ и тем более FGO{. Или же мы сможем написать, что

Σ O(I) = O(ZJ),

Г=1

Понимая под этим, что сумма П членов, каждый из которых по абсолютной величине меньше некоторой постоянной, не превосходит постоянного кратного П.

Читатель заметит, что формулы, содержащие О и о, вообще говоря, необратимы. Так, „ o(l) = 0(l)α, т. е. „если /=о(1), то /=0(1)“—верное утверждение, тогда как „О(1) = о(1)“— неверно.

Легко сформулировать несколько общих свойств наших симво­лов, как, например,

(1) O(φ) + O(ψ) = O(φ+φ),

(2) O(φ)O(φ) = O(φφ),

(3) O(φ)o(ψ) = o(φψ),

(4) если ∕~φ, то /-}-o(φ)~φ. ■

Такие теоремы являются непосредственными следствиями из определений.

Полезность этих определений и соответствующих им определе­ний для функций от непрерывного переменного станет ясной чита­телю в дальнейших главах.

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ IV

1. Функция φ(n) принимает значения 1, О, О, О, 1, О, О, О, 1, …, когда я = О, 1, 2, …. Найти выражение длящ(я) в виде формулы, не содержащей тригонометрических функций.

[φ (л) = I {1 + (- 1)л+In + (- 0"}-J

2. Если φ (л) Монотонно возрастает, а ф(я) монотонно убывает при П Стремящемся к oɔ, и если ф (я) > φ (л) для всех значений я, то φ (я) и ф (я) обе стремятся к пределам, и Iim φ (я) ≤lim ф(я). [Это — непосредственное следствие из результатов п. 69.)

3. Доказать, что если

<?(«)= (l+|f Φ(n)=(l-⅛f",

То φ (я + 1) >φ (я) и ф (я + 1) < ф (я). [Первый результат был уже доказан в п. 73.]

4. Доказать также, что ф (я) > φ (я) для всех значений я, и вывести (используя предыдущие примеры), что φ (я) и ψ (я) обе стремятся к пределам при я —- оо1).

Ч В гл. IX мы докажем, что Iim {ф (я) — φ (я)} — О и что, следовательно, каждая из этих функций стремится к пределу Е.

5. Обозначим среднее арифметическое произведений всех различных пар положительных целых чисел с суммой П через Sn. Показать, что

(Экз. 1903 г.)

6. Если X1, Xs, …, х„ положительны, Xr = N, не все Xr равны 1, а Т Рационально и больше 1, то

(Экз. 1934 г.)

[Использовать неравенство Хт—1>лг(х—1), справедливое для всех положительных, отличных от I, Х (п. 74).]

7. Если φ (л) — Положительное целое число для всех значений я и стре­мится к со вместе с я, то стремится к нулю, если 0<x<l, и к +∞, если Х> 1. Исследовать поведение при я—-со для других значений Х,

8[38]). Если Ап монотонно возрастает или убывает с возрастающим я, то так же ведет себя и

Aι ~H as + • • • AN
я

9. Функция F(X) возрастает и непрерывна (см. гл. V) для всех значений Х И последовательность X1, Xs, х3, … определена соотношением Xn+1 —F(Xn). Исследовать графически вопрос о стремлении Х„ к корню уравнения X=F(X). Рассмотреть, в частности, случай, в котором это уравнение имеет только один корень, различая случаи, когда кривая Y=F(χ) пересекает прямую У = х сверху вниз и снизу вверх.

K

10. Если Xn4Rl ————- , где K и X1 положительны, то из последователь-

ɪ + ХП

Ностей X1, Xs, Xs, … и Xs, Xi, Xs, … одна возрастает, а другая убывает, причем каждая стремится к пределу А, являющемуся положительным кор­нем уравнения x2 + x = ⅛.

И. Если Xn+ι=YrkjrXι> где K и X1 положительны, то последова­тельность X1, Xs, Xs, … — возрастающая или убывающая, в зависимости от того, будет X1 меньше или больше А, положительного корня уравнения X2 = х4-K; и в каждом случае Х„—-а при я—-∞.

12. Последовательность чисел Х„ определена соотношениями

X1 = h, xn+l = xn + k,

Где 0 < K < — — И H заключено между корнями а и 6 уравнения X2 ■— х + K = 0.

Доказать, что.

А < xn+ι < Xn < B

И определить предел Хп.

(Экз. 1931 г.)

13. Доказать, что если

*ι=⅛+4b x*=⅛+⅛}

И Т. д., где Х и А положительны, то Iim Xn = }∕A.

[можно’ показать, что ——= —ɪ-ʌ . | l xn+∣Λ4 χ+↑∕A-‘ J

14. Последовательность Un определена соотношениями

U1 = α + β, uzi = α+3—i — (я>1),

“Л-1

Где А > β > 0. Показать, что

σN + l ——— ЧЛ + 1

U —- _______ L___

П пЯ_ W ,

A H

И определить предел Ип при я —-оо.

Исследовать случай α = β>O.

(Экз. 1933 г.)

15. Если x1, X2 положительны и

XN + ι ɪ (xn 4^^ XN-ι)>

То из последовательностей Xl, Xs, X5, … и X2, Xi, х„, … одна убывает, а другая возрастает, и обе они стремятся к общему пределу —- (Xi + 2X2).

16. Если Iim S„ = I, то

N→<x>

ιimA+⅝+∙∙∙+⅛-^z.

Zι→co Я

[Пусть Sn = I + Tn. Тогда мы должны доказать, что — 4; • 4~

П

Стремится к нулю, если Tn стремится к нулю.

Разобьем числа I1, T2, …, Tn на дв. а множества: Tl, T2, …, Fp и Zp+1,

^p+s> ∙∙∙, Tn Предположим, что Р является функцией от я, которая стре­мится к ∞ при П—-оо, но Медленнее чем П, так что Р—>∞ и ^-→0. Ha-

Я

Пример, мы можем взять в качестве Р целую часть ∣∕"П.

Пусть δ — любое положительное числе. Как бы мало ни было δ, мы

Всегда можем найти такое я„, что все числа ∕p+1, будут по модулю

Меньше чем γ δ, если я ≥ я0, и, следовательно,

I ⅛r⅛is + ∙,∙∙⅛ I < ɪ δ Δ- P. < 1 δ.

I Я I 2 я 2

Но если А обозначает наибольший из модулей всех чисел ∕1, T2, …, То мы имеем:

I 4~ ∕2 + ∙ ∙ ∙ + I Pd I n I я ’

И это также будет меньше чем -ɪ δ при л≥∕∑0, если я0 достаточно велико,

Так как 0 при я -→ Оо. Таким образом,

I4- 4- • • • 4- I, ec-I Λ 4~∙^ 4~ • • • 4-^pI 1 ∣^p+1 ÷^p + 2 + ∙.∙+M

I N I I Я I ^1^L Я I

При я. з>я0, что и доказывает теорему.

Если читатель хочет добиться достаточно глубокого понимания вопро­

Сов, связанных с пределами, то ои должен весьма тщательно продумать изложенное выше рассуждение. При доказательстве того, что предел неко — τoporς> выражения равен нулю, часто бывает необходимо разбить его на

Xln sin ~x -[- X2
?« + 1

1

I я sɪɪi2 ~х

две части, стремление которых в отдельности к нулю должно доказываться разными путями. в таких случаях доказательство никогда не бывает очень простым.
τ. ∕, 4-t° 4- • • • 4^ i n
идея доказательства следующая: нам нужно доказать, что -lj—— !—-
мало, когда п велико, причем нам дано, что tn малы, когда их номер велик. мы разбиваем сумму в числителе на две части. слагаемые в первой части не все малы, но их число мало по сравнению с п. число слагаемых во второй части не мало в сравнении с п, но сами слагаемые все малы, а так как их число во всяком случае меньше п, то их сумма мала по сравнению с п. поэтому каждая из частей, на которые мы разбили ^b',' ~⅛ ,
чала, когда п велико.]
17. если φ(n)-®(я— 1)^/ при я—-оо, то
[если æ (я) = s1 + s2 +... + sn, то φ(n)-φ(n— l) = sn, и теорема сводится к теореме предыдущего примера.]
18. если sn=-g-{l-(—l)n}, τaκ что sn равно 1 или 0, в зависимости
,от того, нечетно я или четно, то
sɪ + sa + • • ∙ + sn
я
,1
ɪ при я
,оо.
20. последовательность уп определена с помощью последовательности хп соотношениями
ya = x<t, уп = χn~aχn-ι (я>0),
где [а] < 1. выразить хп через yn и доказать, что если yn -→ i, то xn-- ɪ .
(экз. 1932 г.)
21. начертить график функции у, определенной соотношением
у = iim
Λ→∞
(экз. 1901 г.)
22. функция
у = iim n→∞

Равна 0, если х отлично от целого числа, и равна 1, если х — целое число. Функция

Y-iira Ψ(-Y) + ^(-V)SinilπV ʃ n→∞ l+nsin2πx

Равна φ(x), если х не равно целому числу, и равна д(х), если Х— целое число.

23. Показать, что график функции

„ _ Iim -v"? (-r) + *^"⅛(-0

-r^^→∞ χ"+χ-n

Состоит из частей графиков φ (х) и ψ (х) и еще (как правило) двух изоли­рованных точек. Определено ли У (а) при x= 1, (Ь) при Х~ — 1, (с) при х = 0?

24. Доказать, что функция У, равная 0 для рациональных значений х и 1 для иррациональных значений х, может быть представлена в виде

У = Iim sign {sina(zzz!πχ)}, MOo

Где

2

Sign X = Iim — arc tg (их), n→∞ 1c

Как в примере XXXI. 14. [Если х рационально, то sina(m!πχ), а следова­тельно, и sign {sina (∞!πx)} равно нулю для всех значений Т, начиная с некоторого; если х иррационально, то sina(m!~x) всегда положительно, и следовательно, sign {sina (m⅛χ)} = 1.]

Доказать, что У может быть также представлено в виде

1 — Iim [ɪim {cos (zn!πχ)}2n]. M→∞N→∞

25. Просуммировать ряды

oo
у l_
v(v + l)'
1
ɪ 'ψ+1)∙∙∙('> + ⅛) '
[так как

V(v + l)…(v + A) K b(v + l)…(v+A-l) (v + l)(v + 2)…(v+A)

Мы имеем:

Jl

k (1∙2...a(n + l)(n+2)...(π + a)j ’ɪ V (V + 1 )Т. (7+ А)

И, следовательно,

1
v(v+ 1)... (v + а)
1
a(at)
,•]

⅛=-⅜(1 + τ+5 + ∙∙∙)>

а если ∣zl > ∣αj, то26« Если [г| < ∣α∣, то

—i-=-zfι + — + — + .. V

Z-a z ɪ Z У

Az I В

27. Разложение ——— —∣———- по степеням Z. Пусть а и β суть корни

Azi -[- 2йг С

Уравнения Azi-2Bzс = 0, так что Azl + CIbz -[- с = A (Z а) (г — β). Мы предполагаем, что А, В, а, Ь, с все действительны и что А и β не равны. Тогда нетрудно проверить, Что

Az* -(- 2Bz + с

az + b_ ɪ TAa + B _ Λβ-}-G ^α(α-β)∖ ZA Z β

Следует различать два случая: Ь* > ас и Ь* < ас.

(1) Если B*Z>Ac, то корни A, β действительны и различны. Если Fz

Меньше ∣β∣ и [β∣, то мы можем разложить -—- и -ɪ^ по возрастающим

Степеням Z (пример 26). Если ∣z∣ больше чем ∣a∣ и ∣β∣, то мы должны раз­лагать по убывающим степеням Z. Если же ]z∣ заключен между ja∣ и Jβ∣, то одна дробь должна быть разложена по возрастающим, а другая—по убывающим степеням Z. Читателю предлагается записать соответствующие формулы. Если ∣z∣ равен |о| или ∣β∣, то разложение невозможно.

(2) Если Ь* < ас, то корни комплексно сопряжены (гл. III, п. 43), и мы можем положить

A = P Cis φ, β = pCis(-φ),

A = aβ = -, р cos φ —

Ъ*

Где Pn-(—A)NB~N~* {(п1) аВ — NbA}, и, найти соответствующее разложе­ние по убывающим степеням z, которое имеет место, если ∣az∣>∣⅛j.

31∙ Если y+⅛^=1+^+^2 + ∙∙∙’ то

где р' так что cos φ :
l/i-ɪ г ас
sin φ ■
если ∣zj < р, то каждая дробь может быть разложена по возрастающим степеням z. коэффициентом при zn будет
ap sin nγ + в sin {(k-j- 1) φ}
aρ"+1sinφ
если ∣z∣>p, то мы найдем аналогичное разложение по убывающим степеням, тогда как при ∣z∖ = р разложение невозможно.
28. показать, что если ∣z∣< 1, то
1+2z+3z2 + ...+ (n+l)zn+... ɪ
,(i-?)2
nzn "1 1-z j,^сумма первых п членов равна ɑ ^2
29. разложить , - ɪ vs по степеням z — возрастающим, если ∣zl < ∣α∣, и
,(z— а)2 убывающим, если ∣z∣>∣α∣.
30. показать, что если b∙~ac и ∣az∣ < ∣⅛∣, то azarb “ .
я + cz а— cz  са 
о2 — (⅛2 — 2ac)z-∣-c2z2
ɪ + z>h=+plz2 + ...
(экз. 1900 г.)
32. если siιι2"q~-→/ при ∙n-→∞, то z = o и 0 — рациональное число, знаменатель которого является степенью 2.
[очевидно, что
,2"0 = pn'+c'+ηn,

Где Р„ — целое число, С — постоянная и ¾→0; следовательно,

Pn+ι — %Рп — C + ‘⅛+ι — 2ηn — 0.

Так как ρn+L — 2р„ — целое число, это возможно только в тех случаях, когда либо (1) с = 0, так что / = 0,либо (2)ря+1 = 2/?„ и ηn+l =2ηn, начиная с некоторого значения я, скажем, для П J⅛ я„. Но тогда

2 VIn0 = ¼20 + V " ɑ

При ч—оо, а это возможно только в том случае, когда ηno=0, так что

=Pna

Поучительно рассмотреть sin Anθ~, где а — целое число, большее 2.

Тогда возможно, что I ≠0; так, например, sin9nθπ-→l, когда Θ = ~.J

33. Если P (я) — многочлен от я степени Т с целочисленными коэффи­циентами и sin {Р(я)0-} — 0, то S рационально.

[Лучше всего доказывать больше1), а именно, что если

P (п) 0 = Kn + An -)- Zn, (1)

Где’ Kn целое число, Ап может принимать конечное число значений и εn→0, то 0 рационально.

В первую очередь, если мы в (1) заменим я на я + I, вычтем и заметим, что Р(я-|- 1)—P (я) — многочлен степени Т — 1 и что αn+1 — Ап может принимать только конечное число значений, то мы получаем индукцию от яг — 1 к яг. Задача, таким образом, сведена к случаю яг ≈ I, P(N) = An— В. В этом случае (1) дает

Л0 = (⅛n+1 —Kn) -[- (an+1 — а„) -)- (επ+1 — εn).

Это возможно только, если εn+1 — εn = 0 для ∏Ξ⅛π0, а тогда

АП — ANa ÷ Ln ÷ — по) А®>

Где In—целое число, ∏2⅛nβ. Так как Ап может принимать только конечное число значений, то и 7„+яЛ0 принимает только конечное число значений, а, следовательно, 0 рационально.]

Ч Это рассуждение принадлежит Ингаму.

ГЛАВА V

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *