ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

90. Пределы при Х стремящемся к ∞. Возвратимся теперь к функциям от непрерывного действительного переменного. Мы огра­ничимся исключительно Однозначными функциями *) и будем обозна­чать такие функции через φ (х). Мы предполагаем, что Х принимает последовательно все значения, соответствующие точкам нашей основ­ной прямой линии А, Начиная с некоторой определенной точки на ней и двигаясь все время вправо. В этих условиях мы будем гово­рить, что Х стремится к бесконечности, или к ∞, и писать x→∞. Единственным отличием этого „стремления Х к оо“ от рассмотрен­ного в предыдущей главе „стремления я к со’ является то, что Х Принимает все значения при своем стремлении к оо, т. е. что точка Р, Соответствующая Х, совпадает по очереди с каждой точкой прямой Л, расположенной правее исходного положения Р, тогда как П стре­мится к бесконечности скачками. Мы выражаем это отличие, говоря, что Х непрерывно стремится к ∞.

Как уже было разъяснено в начале предыдущей главы, суще­ствует весьма тесная связь между функциями от Х и функциями от П. Каждая функция от П может рассматриваться как выбор части значений некоторой функции от Х. В предыдущей главе мы рас­смотрели особенности поведения функции φ(∕z) при П стремящемся к оо. Теперь мы займемся той же задачей для функций φ(x). Опре­деления и теоремы, к которым мы здесь приходим, по существу являются повторениями соответствующих определений и теорем пре­дыдущей главы. Так, соответственно определению I п. 58, мы имеем:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция φ(x) Стремится к пределу I при х стремящемся к со, если для любого сколь угодно малого задан­ного положительного числа 8 Можно найти такое число хй (8), Что для всех значений х, больших или равных x0 (8), φ (х) будет

1) Так, УХ означает в этой главе однозначную функцию -(-}∕^x, а не Двузначную функцию, значения которой суть -}-∣∕^x и — у"х (как в п. 26).

Отличаться от I меньше чем на 8, Т. е.

∣φ(x)-Z∣<δ

При χ ≥ х0 (8).

Если это имеет место, то мы пишем Iim φ(x) = Z,

X → ∞

Или, когда это не может вызвать недоразумений, просто Iim φ (jc) = I Или φ(x)→Z. Аналогично мы имеем:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция φ (jc) Стремится к ∞ вместе с х, если для любого сколь угодно большого заданного числа Δ Мы можем найти такое число X0 (Δ), Что

φ (χ) > Δ

При xy≥xrt(∆).

Тогда мы пишем

φ (х) → ∞.

Аналогично определяется φ(x)→ — оо *). Наконец, мы имеем:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если не выполнены условия ни одного из преды­дущих определений, то говорят, Что φ (х) Колеблется при х стре­мящемся к со. Если при этом ) φ (х) | Остается меньше некоторой постоянной К при всех x’⅛x05i, То говорят, что φ(x) Ограни­ченно колеблется, в противном случае — что φ (х) Неограниченно колеблется.

Читатель помнит, что в предыдущей главе мы очень подробно рассматривали различные менее формальные выражения утверждений, представленных формулами φ (л) I, φ (л) → оо. Подобные же спо­собы выражения применяются, конечно, и в рассматриваемом нами сейчас случае. Так, мы можем сказать, что φ(x) мала или почти равна Z, или велика, когда х велико, употребляя слова „мала", „почти", „велика" в смысле, аналогичном тому, в котором они упо­треблялись в гл. IV.

Примеры XXXlV. 1. Рассмотреть поведение следующих функций при x-¼∞∙.

1, l + i, Xa-, Xk, [х], х-[х], W + √^ςγM∙

1) Иногда будет удобно писать +∞, x→- + ∞, φ(x)→ + ∞ вместо оо, х →∙ оо, φ (х) —> со.

2) В соответствующих определениях п. 62 мы требовали, чтобы ∣ψ(я)| > К Для всех значений л, а не только для N>; N0. Но в том случае эти два условия были эквивалентны, так как если <F(N)<K для лу>л0, то |<р(л)| ≤ К’ Для всех л, где К’ обозначает наибольшее из чисел ∣φ(l);, ∣φ(2)∣,…, |<р(л„—1)| и К. Здесь же дело обстоит сложнее, так как существует бесконечно мцог<} значений х, меньших X0,

Пределы, функций от непрерианого переменного 1?3

Первые четыре функции в точности соответствуют функциям от л, подробно разобранным в гл. IV. Графики последних трех функций были построены в гл. II (примеры XVI. 1, 2, 4), и читатель сразу увидит, что [х] —>со, Х— [х] ограниченно колеблется и [х] + }∕^x — [х] → оо.

Сделаем здесь одно простое замечание. Функция <p(x) = x-[х] коле­блется между 0 и 1, как видно из ее графика. Она равна нулю при цело­численном х, так что функция φ (п), соответствующая ей, всегда равна нулю и, следовательно, стремится к нулю. То же имеет место и для функции

φ(χ) = si∏χπ, где φ(n)-sin∏π = 0.

Очевидно, что <p(x)-►/ или <p(x)→∞, или φ(x)→ — ∞ влечет за собой соответствующее свойство для φ (я), но обратное предложение часто не­верно.

2. Рассмотреть таким же образом функции

Sirc*’^ , хsinχjr, (xsinχiτ)2, tgx~, αcos2xπ-}-⅛sιn2xπ

И проиллюстрировать результаты рассмотрений на графиках этих функций.

3. Дать геометрическое разъяснение определения 1, аналогичное данному в гл. IV, п. 59.

4. Если φ(x)-*■/ и I отлично от нуля, то <p(x)cosχπ и <p(x)sinχπ огра­ниченно колеблются. Если <p(x)-→-oo или φ(x)→- — ∞, то они колеблются неограниченно. График каждой из этих функций представляет собой вол­нистую кривую, колеблющуюся между кривыми Y = φ (х) и У = — <р (х).

5. Рассмотреть поведение при x-¼∞ функции

Y=F(χ) cos2 χπ -{- F(X) sin2 χπ,

Где F(X) н F(X)- две какие-либо простые функции (как, например, х их2).

[Графиком У является кривая, колеблющаяся между кривыми У =F(X), Y = F(X)]

91. Пределы при Х стремящемся к —-оо. Читатель без труда сформулирует сам определения смысла утверждений „х стремится к Cou, или „х—►— Cou, и

Iim φ(χ) = ζ φ(x)→∞, φ(x)→- — Оо.

X со

Действительно, если Х — —у и φ(χ)=φ(—У)(у), то у стре­мится к Со, когда x→-—Со и вопрос о поведении φ(x) при Х Стремящемся к —-оо, равносилен вопросу о поведении ф(_у) при У Стремящемся к Оо.

92. Теоремы, соответствующие теоремам пп. 63—69, гл. IV. Теоремы, относящиеся к суммам, произведениям и отношениям функций, которые были доказаны в гл. IV, остаются в силе (с очевидными изменениями отдельных слов, которые читатель легко сформулирует сам) для функций от непрерыв­ного переменного х. При этом остаются в силе не только формулировки этих теорем, но, в основном, и их доказательства.

Определение, соответствующее данному в п. 69, читается так: Функ­ция о (х) Называется монотонно возрастающей вместе с х, если C? (∙*⅛) ⅛i T (ʌ’ɪ) Для всех x2>x1. Во многих случаях это условие удовлетво­ряется, только начиная с некоторого определенного значения х, т. е. для χA >x1≥≈x0∙ В теореме п. 69 нужно лишь заменить П на х; ее доказательство остается но существу тем же.

Если φ (x2) > φ (λ∙i), причем равенство исключается при Xi~> X1, то φ(x) называется Строго возрастающей. Мы увидим, что эго различие часто играет важную роль (см. пп. 109—110).

Читателю предлагается рассмотреть, являются ли следующие функции возрастающими вместе с Х (нли хотя бы возрастающими, начиная с некото­рого значения х): X2 — х, х — J — sin х, х — J — 2 siπx, [χ], [х] — J-sinx, [х] — J — ~ψ~Х—[х]. Все эти функции стремятся к ∞ при x→∞.

93. Пределы при Х стремящемся к 0. Пусть φ (х) будет функ­цией от Х, для которой Iim φ(χ) = Z, и пусть у=-1-. Положим

Х → ∞ X

TP W=φ(y)=ΨO)∙

Когда Х стремится к со, у стремится к пределу 0, и ψ (у) стремится к пределу I.

Исключим теперь из рассмотрения Х и будем считать ψ (у) просто функцией от у. Мы имеем дело только с такими значениями у, которые соответствуют большим положительным значениям Х, т. е. с малыми положительными значениями у. Функция ф (у) обладает тем свойством, что ее значения могут быть сделаны сколь угодно мало отличающимися от Z, если у достаточно мало. Точнее это предло­жение можно сформулировать так: утверждение limφ(x) = Z озна­чает, что для любого сколь угодно малого заданного положитель­ного числа δ можно найти такое х0, что ∣φ(x) — Z ∣ δ для всех значений Х, больших или равных xβ; но это означает, что мы можем

Выбрать y0 = i так, что (ф (у) — Z∣<fδ для всех положительных xθ

Значений У, меньших или равных ʃŋ.

Таким образом, мы приходим к следующим определениям:

A. Если, для любого сколь угодно малого заданного положи — тельного числа δ Можно найти такое yβ(δ), Что

∣φω-∕∣<Λ

Если 0<y≤yβ(δ), То мы говорим, что φ(y) Стремится к пре­делу I при у стремящемся к 0, Принимая только положительные значения (справа), и пишем

Iim φ (у) = I.

У → + o

B. Если для любого сколь угодно большого заданного числа Δ Можно найти такое y0 (Δ), Что

φθ)>4

φ(y)→∞.Если 0 <^у ≤yβ(∆), То мы говорим, что φ(y) Стремится к со При у стремящемся к 0, Принимая только положительные значе­ния (справа), и пишем:

Пределы функций от непрерывного переменного 1?3

Аналогично мы определяем смысл фразы: nφ(_у) стремится к пре­делу I при У стремящемся к 0, принимая только отрицательные

Значения (слева)", или яПтф(у) = / при Y→—————- 0“. Мы должны для

Этого только заменить в определении А неравенства θ≤J’=¾y0(δ) неравенствами —y0 (8) ≤У <C θ ^bl имеем> конечно, соответствую­щий аналог определения В и подобные определения для

φ (у) → — оо

При у →—J-0 или y→- — Со.

Если Iim φ(y) = Z и Iim φ(y) = Z, то мы просто пишем

J→+0 У-* —О

Iim φ(y) = Z.

X→0

Этот случай настолько важен, что целесообразно сформулировать для него отдельное определение.

Если, для любого сколь угодно малого заданного положитель­ного числа 8 Можно найти такое у0 (8), Что для всех значений у, отличных от нуля и по модулю не превосходящих у0 (8), Значе­ния φ (у) Отличаются от I меньше чем на 8, То мы говорим, что φ (у) Стремится к пределу I при у стремящемся к 0, и пишем:

Iim φ (у) = Z.

∫→o

Точно так же, если φ(y)→∞ как при у →—J-О, так и при y→— 0, то мы говорим, что φ(y)→∞ при y→0. Аналогично определяется утверждение φ(y)→— ∞ при y→-0.

Наконец, если φ (у) не стремится ни к конечному пределу, ни к оо, ник —∞ при у →—J-0, то мы говбрим, что φ (у) колеблется (огра­ниченно или неограниченно, в зависимости от обстоятельств) при У→ — J-O; аналогично определяется утверждение; ^φ(y) колеблется при у—> 0“.

Предыдущие определения были сформулированы в терминах пере­менного, обозначенного через у; однако ясно, что обозначение пере­менного не играет никакой роли, и мы можем предположить, что во всех этих определениях буква у заменена на Х.

94. Пределы при Х стремящемся к А. Предположим теперь, что φ(y)→Z при y→∙0, и положим

У — х — а, φ(y)=φ(x-α) = ψ(jc).

Если y→0, то X→-A и ψ(x)-¼Z, и мы, естественно, приходим к записи

Iim ψ (х) = Z, Х А

Или просто Iim ψ (х) = I, или ψ(x)→Z, означающей, что ф (х) Стре­мится к пределу I при х стремящемся к а. Формальное опреде-

Ление-‘ этого утверждения следующее: Если, для любого данного 8 Мы можем найти е (δ) Такое, что

∣φW-∕∣<8 При O <≤ (Х — A I ≤ g (δ), То

Iim φ (х) — I. х А

Ограничиваясь значениями Х, ббльшими чем А, т. е. заменяя не­равенства 0≤∣x — A I ≤ s (δ) Неравенствами A х ≤ a — f — ε (δ), мы получим определение утверждения j,φ(x) стремится к I при Х стре­мящемся к А справа", которое мы можем записать в виде

Iim φ (х) = I.

Х → a — j-0

Таким же образом мы определяем соотношение Iim φ (х) = Z.

Х А — О

Следовательно, утверждение Iim φ (х) = I эквивалентно двум утверж — Х А

Дениям:

Iim φ(x) = Z, Iim φ(jv)=Z. x→α4-0 x→a-О

Мы можем также дать аналогичные определения, относящиеся к случаям, в которых φ(.c)→co или φ(x)→—∞ при Х стремя­щемся к а и принимающем значения, большие, соответственно, меньшие, с; но теперь уже нет необходимости подробнее останав­ливаться на этих определениях, так как они вполне аналогичны определениям, сформулированным выше для частного случая A = О и мы всегда можем исследовать поведение φ (х) при X→-a, полагая Х — а—у и считая, 4τoy→0.

95. Монотонно возрастающие иля убывающие функции. Если Существует такое число ε, что φ (x’) ≤φ (х"), если А—ε<^x,<^ <x" a — j — s, то говорят, что φ(x) Монотонно возрастает в окре­стности х — A. ɪ

Предположим сначала, что X<^a, и положим У = -—Тогда

У → ∞ При X→a — 0, и φ (χ) = ψ (_у) является монотонно возра­стающей функцией от У, никогда не превосходящей φ (а). Из п. 92 Следует, что φ (х) стремится к пределу, не превосходящему φ (а). Мы будем писать:

Iim φ (χ) = φ (а -ф — 0) *). Х → а + 0

1) Читатель, конечно, поймет, что <p (a -J — 0) не означает ничего другого, кроме предела в левой части, сокращенПым обозначением которого оно является. Можно применять символы φ(a + 0) и φ(a — 0) всякий раз, когда пределы, определяющие их, существуют; но, вообще говоря, они не будут удовлетворять неравенствам, приведенным дальше в тексте.

Аналогично определим φ (а — 0). Ясно, что

φ (а — 0) ≤ φ (а) ≤ φ (а -J — 0)

И что аналогичные соображения применимы к убывающим функциям.

Если φ(x’)<^φ(x") при А — s ≤X, <≤J Х" <JJ A — J — е, причем равен­ство исключается, то φ (х) называется Строго возрастающей в окрест*

Ности X = а.

96. Верхний и нижний пределы и принцип сходимости. Все

Рассмотрения пп. 80—84 могут быть перенесены на функции от не­прерывного переменного Х, стремящегося к пределу А. В частности, если φ(x) Ограничена в некотором интервале, содержащем А (т. е. если мы можем найти s, H и AT так, что Λr<JJ φ (х) ≤ К при А — e≤ ≤x≤α-J-s1)), то мы можем определить λ и А, верхний и нижний пределы φ(x) при X→-A и доказать, что λ = A = Z является необходимым и достаточным условием для того, чтобы φ (х) стре­милась к I. Мы можем также установить аналогичный принцип схо­димости, т. е, доказать, что Необходимым и достаточным условием для того чтобы φ (х) Стремилась к пределу, является существо* вание для любого δ Такого числа s(δ), Что ∣φ(xa)— ψ(Xι)∣∙≤δ, Если 0<Jx2 — A J J Xl — а , <JJ ε (δ). Подобным же образом, Необ* ходимым и достаточным условием для того чтобы φ (х) Стреми* лась к пределу при x→-∞, Является выполнение неравенства I φ (X2) — φ(Xι)I<δ> Если x2>x1 ≥≈AΓ(δ).

Примеры XXXV. 1. Если ψ(x)→∕, ψ(x)→-Z’ при X→-a, то

ΨW + ⅛W→∕ + Λ φ(x)ψ(X)→∕Z’, если в последнем случае L’ ≠ 0.

[В п. 92 мы видели, что теоремы гл. IV, п, 63 и сл. имеют место и дЛя функций от х, когда x→∞ или x→∙— оо. Полагая Х = — i∙,мы можем рас­пространить их иа функции от У при У —► 0, а полагая У = z — а, — и на функ­ции от Z при Z —► а.

Читателю предлагается доказать их также непосредственно из формаль­ных определений. Так, для того чтобы получить прямое доказательство первого результата, нужно только взять доказательство теоремы I изп. 63 и заменить в нем П на Х, со на А и ∏2⅛n0 на 0<|х— α∣≤ε.]

2. Если Т— положительное целое число, то Xm →-0 при x-→-0.

3. Если Т— отрицательное целое число, то Xm→—{-oo при χ→∙-J-0 И Xm → —- оо или Xm —► — J — ∞ при Х —>— 0, в зависимости от того, будет ли Т Нечетным или четным. Если Т = 0, то Xm=l и, значит, Xm-→-l.

4. Iim + Ъх — J — cx2 — J-. . . — j-⅛xm) — а. X→0

ɪ) См. п. 103. 12 Г. Харди

„ ,. а 4- Bx 4-. . . +⅛xm А

5∙ lɪɪɪɪ i⅛—г—————- г—Т = ^~ >

XO A + e∙v + ∙ ∙ ∙ +ʧ a

Кроме того случая, когда α = 0. Если α = 0 и rz≠O, β=∕∑0, то рассматривав» мая функция стремится при Х—>-)-0 к — j-∞ или к —со, в зависимости от того, будут ли знаки А н β одинаковыми или противоположными; утвержде­ния меняются местами, если X→- 0. Случай, когда и а и а равны нулю, рассмотрен в примере XXXVL5. Исследовать случай, когда a≠0 и не­сколько первых коэффициентов в знаменателе равны нулю.

6. Iim Xm = Am, если Т — любое положительное или отрицательное целое Λ∙→α

Число, кроме того случая, когда А = 0 и Т отрицательно. [Если Т > 0, поло­жить х=у+я и применить пример 4. Когда Т < 0, результат следует из примера 1. Мы сразу получаем отсюда, что IimP(X) = P(я), если ∕5(x)— многочлен.]

7. Iim P (х) = Р (а), если P обозначает любую рациональную функцию XA

И я не является корнем знаменателя.

8. Показать, что Iim Xm = Am для всех рациональных значений Т, кроме

XA

Того случая, когда я = 0 и Т отрицательно. [Для положительных А это сразу следует из неравенств (9) или (10) п. 74. Ибо ∣ XmAm<,HX а |, где H Обозначает большее из абсолютных значений Mxm~1 и Mam^1 (см. при­мер XXVIIL 4). Если я отрицательно, положим X = —У и я = — Ь.

Тогда

Iim Xm = Iim (— L)mym = (— L)m bm = ат.

97. Читатель, вероятно, не будет видеть необходимости доказа­тельств таких результатов, как утверждения в примерах 4, 5, 6, 7, 8, приведенных выше. Он может спросить: „почему просто не поло­жить Х = 0 или X= я? Ясно,’что мы тогда получим a,-^∙,am, Р(я),

P (а)“. Очень важно, чтобы он усмотрел заключающуюся здесь ошибку. Поэтому прежде чем перейти к дальнейшим примерам, мы подробно остановимся на этом вопросе.

Утверждение

Hm φ (χ) = I

Х → 0

Относится к значениям φ (х), когда Х имеет любое значение, Не Равное нулю, но мало отличающееся от нуля Ч. Оно Не является утверждением о Значении ф(х) при х = 0, но имеется в виду, что когда Х почти равно нулю, φ (х) почти равно I. Мы ничего не утверждаем относительно того, что произойдет, когда х В точности Равно нулю. Мы даже не знаем, определена ли вообще φ (х) при х=0; если же φ(x) и определена при х = 0, то ее значение, вообще говоря, может быть отличным от I. Рассмотрим, например, функ­цию, определенную для всех значений х уравнением φ (х) = 0. Тогда, очевидно,

Limφ(x) = 0. (1)

*) Так, утверждение, содержащееся в определении А п. 93, относится к таким значениям у, для которых 0<y≤y0, причем первое неравенство приводится специально для того, чтобы исключить значение У = 0.

Теперь рассмотрим функцию ф(х), которая отличается от φ(x) только тем, что φ(x)=l, когда х = 0. Тогда

(2)Iim ф (х) = О,

Ибо когда Х почти равно нулю, ф (х) не только почти, но даже в точности равна нулю. Но ф (O)=I. График этой функции состоит из оси Х с выключенной точкой Х = 0 и одной изолированной точки, а именно, (0,1). Соотношение (2) выражает тот факт, что если мы движемся вдоль графика по направлению к оси У с любой стороны, то ордината кривой, будучи всегда равной нулю, стремится к пределу нуль. Положение изолированной точки (0,1) не оказы­вает на этот факт никакого влияния.

Читатель может возразить, что этот пример слишком искусствен­ней; однако легко написать простые формулы, представляющие функции, которые ведут себя точно таким образом вблизи Х = 0. Одной из таких функций является

φ(χ)=[l-xη

Где [1 — Х’] обозначает, как обычно, наибольшее целое число, не превосходящее 1—Xi. В самом деле, если Х— 0, то ψ(x) = [1] = 1, тогда как если 0<4 или — 1 Х0, то ψ(х) = [ 1 — X2] = 0.

Или же рассмотрим функцию уже исследованную в гл. II, п. 24 (2). Эта функция равна 1 для Всех значений, кроме Х = 0. Она Не равна 1, когда х = 0; она вообще не определена при Х — 0. Ибо когда мы говорим, что φ(x) определена при х = 0, то имеем в виду, что (как было разъяснено в указанном месте гл. И) мы можем вычислить ее значение при X= 0 Подстановкой Х = 0 в формулу, определяющую φ (х). В данном слу­чае мы этого сделать не можем. Когда мы подставим Х — 0 в φ (х), то получим, что не имеет смысла. Читатель может предложить „разделить числитель и знаменатель на Х“, но и это невозможно при Х = 0. Таким образом, Y = ½ является функцией, которая отли­чается от У=1 только тем, что она не определена при Х = 0. Тем не менее,

Так как — равно 1, если Х отлично от нуля, как бы мало Х ни

Отличалось от нуля.

Аналогично,

X

Пока Х не равно нулю, но φ(x) не определена при х = 0. Тем Не Менее, Iim φ (х) = 2.

C другой стороны, ничто, конечно, не мешает тому, чтобы в дру­гих случаях предел У(х) при Х, стремящемся к нулю, равнялся φ (0), значению φ(x) при х = 0. Так, если φ(x) = x, то φ (O) = O И Limφ (х) = 0.

Примеры XXXVL 1. Iim

-2а.

2. Iim Z——— Z

XA XCL

Mam~1, если Т — любое целое число (включая нуль).,

3. Доказать, что результат примера 2 остается справедливым для всех рациональных значений Т, если только А положительно. [Это следует сразу из неравенств (9) и (10) п. 74.]

Х^ — — I ɪ

4. Iim ɪ 3xa"ψ’2 = ɪ* [^ислитель и знаменатель делятся иа Х — 1.]

5. Исследовать поведение Anxm + a⅛x, n+1 + . . . + afexnt+fe

~baxn + ⅛1Xn + 1 + ∙ ∙ ∙ + Blxn+ι

Cf(X):

Где O0 ≠ О, ⅛o≠O при х, стремящемся к нулю справа или слева.

[Если Т>п, то Iimφ(х) = 0. Если Т—п, то lim<p(x):

⅛o

Если M<,N

Та. п—т четно, то <p(x)→-∣-∞ или <p(x)→- — оо, в зависимости от того,

Будет ли =->0 или -^≥-<0. Если M<,N и П — т нечетно, то φ(x)→ + oo O0 O0

При X-⅛-)-0 И φ(x) →—————— OO при X→- О ИЛИ φ(x)→- — ∞ При X→-[-0 И

φ(χ)→—∣-co при x→ — 0, в зависимости от того, будет ли -ɪ- > 0 или O0

6. Если А И B положительны, то

Jim ^μi=A, ɪim ±rrμo. x→ + 0a LxJ a *→+o X La J

Как ведут себЯ эти функции, когда x→0 слева?

71). Iim Pr 1 +х =Iim У1 — х = 1. [Положить 1 JX=Y илн 1 — х =у

И Применить результат примера XXXV. 8.]

V^T+X7 — У 1 — х

8. Iim-

Д.

[Умножить числитель и знаменатель на prl-[-x J-У 1 —х.] 9. Рассмотреть поведение

Yrι + xnt — }ZΓ

-X"

Xn

При Х—>0, где Т и П — положительные целые числа. 10. Iim ɪ { }<1 + x + xs — l}≈γ.

1) В следующих примерах предполагается, что ищутся пределы при х—>0, если (как в примерах 19, 22) ничего другого явно не оговорено.

11. Iim

Y^l+x — Vl+.

Vl-;

■■ 1.

12. Нарисовать график функции

1 ,1

Х~2

Х-4

Х—-

1

χ-3

1

Х~4

Стремится ли она к пределу при X→- 0? [Здесь _у = 1, за исключением зна­чений X=Ij-J-, -ɜ, ɪ; при этих значениях функция не определена;^ →-1

При X→- 0.]

,. siπx

13. Iim——— = 1.

Х

[Это может быть выведено из определения тригонометрических функций. Когда Х положительно и меньше чем — g-π1), то

Sinx <x< tgх,

Или

Sιnx, cos х <————— < 1,

X

Или

0<l∙

Но

Следовательно,

Sinx, . . „ X

—— <1 — cos х = 2 sιn9 -ɪ-.

Х 2

2sW⅞<2⅛Λ

Ilm U-!!li‰0,

Sinx

Hm Х → + О x

А,

А так как

Sin х

14. Hm

15. Hm

16. Hm

1-

X→ + 0 1

— функция четная, то получаем искомый результат.] Cosx 1

X2

Sin Ах х ~

Arc sin х

2 ‘

А. Справедливо ли это, если α=0?

= 1.

ι∙7 ,∙ tgax,∙ arctgax

17. Iim ——— = a, Hm— ≥— ■■

Х х

„„ ,. cosecx — ctgx 1

18. Iim——————————

19. Hm x→l

Х 2

1 + COS πx ____ 1

Tg2 πx — 2

1) Доказательство применяемых неравенств основано на некоторых свойствах „площади” сектора круга, которые обычно принимаются за гео­метрически очевидные, как, например, что площадь сектора больше площади треугольника, вписанного в него. Обоснование этих предположений мы должны отложить до гл, γil,

20. Как ведут себя функции sin —, —sin —, xsiπ— при x→0?

X X X х

[Первая функция колеблется ограниченно, вторая — неограниченно, третья стремится к пределу 0. Ни одна из ннх не определена при х = 0. (См. при меры XV. 6, 7, 8).]

21. Стремится ли функция

. 1

Sin —

X

К пределу при x→0? [Нет. Функция равна 1, кроме тех случаев, когда

-1A 11 1 1

Sin — = 0, т. е. когда Х — — , —≈-,. . . Для этих значе-

X π zπ π

Ний формула для У принимает вид -θ- и теряет смысл, так что У не опре­делено для бесконечного числа значений Х, лежащих вблизи х = 0.]

22. Доказать, что если Т — любое целое число, то [x]→m и Х — [x]→0 при Х —► т 0, и что [х] —► Т — 1, Х — [х] —► 1 прн Х —► т — 0.

98. Символы О, о, ʌ.: порядок малости и порядок роста.

Определения п. 89 могут быть распространены, с очевидными изме­нениями, на функции от непрерывного переменного, стремящегося к бесконечности или к какому-нибудь конечному пределу. Так,/=O (φ) при Х → ∞ означает, что ∣∕∣ <≤ Л’ф для х T⅛ X0 ;/= о (φ) означает, что ψ→0 и ∕~ Zφ, где Z≠0, 4τo^-→Z. Аналогично ∕=O(φ), когда

X→-A, означает, что ∣∕∣<≤Λ⅛ для всех Х, отличных от а, но доста­точно близких к А.

Так,

Х — J — х4 — О (х4), х = о (х4), х — J- x4 ~ X4,
siπx = O(l), х δ=o(1)

При x→ Оо и

Х — J — X4 = О (х), X4 = о (х), х — J — X4 ~ х, sin ɪ = 0(1), χ7s= о (Г),

Когда х → 0.

Допустим, для определенности, что x→0. Функции х, х4, х3, …

Образуют шкалу, в которой каждый член стремится к нулю быстрее предыдущего, так как

Xm = о (xm^1), Xm+1 = о (xm)

Для каждого положительного целого числа Т. Естественно поэтому применять их в качестве меры „порядка малости" любой функции, стремящейся к нулю вместе с х. Если

φ (х) — Lxm,

Где I ф О, при Х →∙ О, то мы говорим, Что φ (х) порядка малости Т, Когда Х мало [39]>.

7/

Эта шкала, конечно, ни в коэй степени неполна. Так, φ(x)=x стремится к нулю быстрее чем Х, но медленнее чем Хъ. Мы могли бы попытаться сделать эту шкалу более полной, включив в нее

Дробные порядки малости; мы могли бы, например, сказать, что х/s 7

Порядка малости ɪ. В главе IX мы, однако, увидим, что даже тогда наша шкала будет весьма неполна.

Аналогично определим порядок роста. Так, мы говорим, что φ(х) имеет порядок роста Т, если = xmφ (х) стремится к пределу Z,

Отличному от нуля, при x→0.

Эти Определения относятся к случаю, в котором х → 0. Имеются, естественно, соответствующие определения, когда х → ∞ или х → а. Так, если xmφ(x) стремится к пределу, отличному от нуля, при x→-∞, то мы говорим, 4τoφ(x) порядка малости/и для больших х; а если (х-—α)mφ(x) стремится к пределу, отличному от нуля, когда х—»-а, То мы говорим, что φ(x) имеет порядок роста Т для х, близких к А.

Многие из результатов последнего списка примеров могут быть

Сформулированы на языке этого пункта. Так,

. 1 4 ,1 sin ax ʌ. ах, 1 — cos х ʌ- ɪ х, cosec х — ctgx~yx;

При этом вторая функция второго порядка малости, а остальные — первого.

99. Непрерывные функции действительного переменного.

Читатель, несомненно, имеет, представление о том, что понимают под Непрерывной кривой. Так, он назовет кривую C на фиг. 26 непрерывной, а кривую C —• вообще непрерывной, но разрывной при Х— ξ’ и X =

Каждая из этих кривых может рассматриваться как график неко­торой функции φ (х). Естественно называть функцию Непрерывной, Если ее график является непрерывной кривой, а в противном случае — разрывной. Примем это в качестве временного предварительного определения и попытаемся разобрать точнее некоторые свойства, которые заключены в этом понятии.

Прежде всего, очевидно, что свойство непрерывности функ­ции Y = ζp(χ), графиком которой является кривая С, состоит из некоторого свойства самой кривой в каждой из ее точек. Для того чтобы определить непрерывность Для всех значений х, мы должны сперва определить непрерывность для Любого частного значения х. Сосредоточим поэтому наше внимание на некотором частном зна­чении Х, скажем, x = ξ, соответствующем точке P графика. Каковы характеристические свойства φ(x), связанные с этим значением х?

Во-первых, φ (х) Определена при X = K. Очевидно, что это суще­ственно. Если бы φ (£) не было определено, то на кривой нехватало бы точки.

Во-вторых, φ(x) Определена для всех значений х, близких к x = ξ, т. е. мы можем найти интервал, содержащий внутри себя точку х — £, для всех точек которого φ (х) определена.

В-третьих, Если х приближается к значению ζ С каждой сто­роны, то φ (х) приближается к пределу φ (ξ).

Перечисленные свойства далеко не исчерпывают всех свойств той фигуры, которую представляет собой кривая с точки зрения здра­вого смысла и которая является обобщением некоторых специальных кривых (например, прямых и окружностей). Но эти свойства являются простейшими и самыми основными; график любой функции, которая ими обладает (если только его можно нарисовать), будет вполне отвечать нашим интуитивным представлениям о том, что должно считаться непрерывной кривой. Поэтому мы выбираем их в качестве свойств, определяющих математическое понятие непрерывности. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция φ (х) Называется непрерывной при х — £, если она стремится к пределу при х, стремящемся к ξ Справа и слева, и если каждый из этих пределов равен φ(ξ).

Таким образом, φ(x) непрерывна при x = ξ, если φ(ξ), φ(ξ∙—0) и φ (£ Ц — 0) существуют и равны между собой.

Мы можем теперь определить Непрерывность в интервале. Функ­ция φ (х) называется непрерывной в некотором интервале значений X, если она непрерывна при всех значениях Х из этого интервала. Она называется Непрерывной всюду, если она непрерывна при каждом значении Х. Так, [xj непрерывна в интервале (s, 1—ε), где ε— любое положительное число, меньшее ɪ > но она не непрерывна при

Х = 0 и при Х==1; она также не является непрерывной нив каком интервале, содержащем хотя бы одну из этих точек. Функции 1 И Х непрерывны всюду.

Если мы обратимся к определению предела, то увидим, что наше определение эквивалентно следующему: nφ (х) Непрерывна при. X = ξ, Если для каждого данного δ Мы можем найти такое ε (8), Что I φ (х) — φ ɑ) ∣ ≤ δ Для 0 ≤ J х — ξ ∣ ≤ ε (8) “.

Нам часто приходится рассматривать функции, определенные только в некотором интервале (a, B). В этом случае удобно сделать небольшое и естественное изменение в нашем определении непре­рывности в точках А к Ь. Мы будем говорить, что φ (х) непре­рывна при X = а, если φ (а-J-O) существует и равно φ(α), и при X = Ь, если φ (й — 0) существует и равно φ (B)-

100. Определение непрерывности, данное в предыдущем пун­кте, геометрически может быть проиллюстрировано следующим образом. Проведем две горизонтальные прямые — y = φ(ξ) — δ и У = = φ(ξ)-j-δ. Тогда неравенство )φ(х) — φ(ξ)∣<^δ означает, что точка

Фиг. 27

Кривой, соответствующая х, лежит между этими прямыми. Анало­гично, Jx-—ξ I ≤ ε означает, что х лежит в интервале (£ — ε, ξ-J-ε). Следовательно, наше определение утверждает, что если мы проведем две как угодно близкие друг к другу горизонтальные прямые, то всегда можно найти такую вертикальную полосу, что та часть кри­вой, которая содержится в этой полосе, проходит между проведен­ными горизонтальными прямыми (фиг. 27). Очевидно, что это спра­ведливо для кривой C (см. фиг. 26), каково бы ни было значение ξ.

Теперь мы перейдем к исследованию непрерывности некоторых специальных типов функций. Некоторые из следующих ниже резуль­татов применялись уже в гл, И,

Примеры XXXVH. 1. Сумма и произведение двух функций, непрерывных в некоторой точке, также непрерывны в этой точке. Их отношение также непрерывно, если значение знаменателя в этой точке отлично от нуля. [Это следует из примера XXXV. 1.]

2. Любой многочлен непрерывен для всех значений Х. Любая дробно­рациональная функция непрерывна для всех значений Х, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в нуль. [Это следует из приме­ров XXXV. 6 и 7.]

3. ]∕^ Х непрерывен для всех положительных значений Х (пример XXXV. 8). Он не определен для Х, меньших нуля, но непрерывен при х = 0, в силу замечания, сделанного в конце п. 99. То же имеет место для xm/", где Т и П — любые положительные целые числа, причем П четно.

4. Функция Xm’n непрерывна для всех значений Х, если П нечетно.

5. ɪ разрывна при х=0. Эта функция не определена при х = 0 И Не стремится ни к какому пределу при x→0. Действительно, -—> + ∞ или

где т→ — со, в зависимости от того, стремится лн Х к нулю справа или слева.

6. Исследовать на непрерывность в точке Х = 0 функцию X~M,N, п — положительные целые числа.

7.

7? (х) р(х)
q(x)

Дробно-рациональная функция

X3 — Зх -[- 2

Разрывна при Х=а, где а —любой корень уравнения Q(x) = θ. Так, X2 + 1

Разрывна при х=1. Следует заметить, что в случае дробно-рациональных функций разрыв всегда связан с (а) непригодностью определения для дан­ного значения Х н (Ь) стремлением функции к + Со или к — ∞ при стрем — лении Х к этому значению с каждой стороны. Такая точка разрыва обычно называется Бесконечностью функции. „Бесконечность” является наиболее часто встречающимся видом разрыва.

8. Исследовать на непрерывность функции

_____________ з———————— 1/ Х A — ж Гх—а

У(х — A) (BX), ]∕(X~A) (BX), У Ь — х’ У T^X

9. Функции sinx и Cosx непрерывны для всех значений х. [Так, например,

Sin (XH) — sin х = 2 sin ɪ Ti ∙ cos f х -)- ɪ Ti

Что по модулю не превосходит Ti.]

10. При каких значениях х функции tgx, ctgx, secx и cosec х непре­рывны и при каких разрывны?

11. Если F(Y) непрерывна при y = η, a φ(x) — непрерывная функция от х, равная η при x = ξ, то F{ φ(x) } непрерывна при x=’ξ.

12. Если о(х) непрерывна при данном значении х, то любой полином от φ(x), А { φ (х) }т… также непрерывен при этом значении х.

13. Исследовать на непрерывность функции

(α COS2 х-)-⅛ si∏2 х)-1, ]∕^2-j-cosχ, }∕^l-j-Sinx1 (1 -(- sin χ) lA∙

14. Функции sin — j xsin— И Хг sin — непрерывны при всех значе­ниях Х, кроме х = 0.

15. Функция, равная xsiπ — для всех х, кроме Х—0, и равная нулю

При х = 0, непрерывна для всех значений х.

16. [х] и х — [х] разрывны при всех целочисленных значениях х.

17. При каких значениях х (если таковые вообще существуют) следую­щие функции разрывны:

[ʃ2], 1Ух], У^Ч*), M + УF-7M, [2x], fχj + [-χ]?

18. Классификация разрывов. Некоторые из предыдущих примеров наводят на мысль о следующей классификации типов разрывов.

(1) Допустим, что φ(x) стремится к пределу при x→α как справа, так и слева. Обозначим эти пределы, как в п. 95, соответственно, через φ(α-0) и φ(α-(-0). Тогда для непрерывности необходимо и достаточно, чтобы φ(x) была определена при Х=а и чтобы

?(« —0) = φ(α) = φ(α + 0).

Разрыв может иметь место при различных обстоятельствах.

(α) φ(α-0) может быть равно φ + 0), но φ(а) может не быть опре­делено или может отличаться от φ(a-0) и φ(a-f-O). Так, если φ(x) = = xsin — и А = 0, то φ (0 — 0) = φ (00) = 0, но φ (х) не определена при

Х = 0. Или, если φ(x)=[l — х2] и а = 0, то φ (0 — 0) = φ (0 — J — 0) = 0, но φ (O) = I.

(Э) φ(а — 0) и φ(α + 0) могут быть неравны. В этом случае φ(а) может быть равно одному или другому из этих значений или может быть вообще не определено. Первый случай имеет место для функции φ(χ)=[x], для которой φ(0-0) = — 1, φ (0-U 0) = φ (0) = 0; второй — для функции ср (х) = = W — [-jcj, ДМ которой ср (0 — 0) = — 1, Ср (0 -(- 0)= 1,ср (0) = 0, и третий — для функции ср (х) = [х] 4- Xsin —} для которой Ср (0 — 0) = — 1, ср (0 — j — 0) = 0, A φ(0) не определено.

В каждом из этих случаев мы будем говорить, что Ср (х) имеет Простой разрыв при X= А*}. К этим случаям мы можем добавить еще те случаи, когда φ(x) определена только по одну сторону от Х=а и φ (а— 0) или/ соответственно, Ср (а -)- 0) существует, но либо не определена прих=а, либо имеет значение, отличное от Ср(е—0) (или cp(a-[-O)).

Из п. 95 следует, что Функция, которая в окрестности х=а моно­тонно возрастает или монотонно. убывает, но не непрерывна в этой точке, может иметь в ней только простой разрыв.

(2) Может случиться, что φ (х) стремится к конечному пределу, или к -[- ∞, или к —со, когда х стремится к а с любой стороны, и что она стремится кфос или к —∞ при х, стремящемся к а по крайней мере с одной из двух сторон. Это, например, имеет место, когда Ср (х) равна — или-^∙j или

Когда она равна -^-для положительных х и равна 0 для отрицательных.

В таких случаях мы будем говорить, что Х—а является Точкой бесконеч­ности функции φ(x). Мы также включаем сюда те случаи, когда φ(x) стре­мится к ∙φ∞ или —∞ с одной стороны от а и φ(x) не определена по дру­Гую сторону.

*) Разрыв, рассмотренный в (а), Часто называют устранимым разрывом, а разрыв, рассмотренный в (β), — разрывом первого рода. {Прим, перев.)

(3) Всякая точка разрыва, которая не является точкой простого разрыв или точкой бесконечности, называется Ючко& колебательного разрыва *}. Например, х=0 является точкой колебательного разрыва для функции

. 1
Sin — .

X

19. Какова природа разрыва в точке Х — 0 функций

• 1

Sin Х r 1 , r η lʌɪ l∕^ ɪ 1 s’n ×

[x]+[-x], cosec х, У У cosec —, ——————————— ɪ-?

Sin —

X

20. Функция, равная 1 для рациональных х и равная 0 для иррациональ­ных х (см. гл. II, пример XVLlO), разрывна при всех значениях х. То же справедливо и в отношений функций, определенных только для рациональ­ных или только для иррациональных значений х.

1+9*

21. Функция, равная х для иррациональных значений х и равная при X= у (см. гл. II, пример XVI.11), разрывна для всех отрицательных и

Положительных рациональных значений х, ио непрерывна для всех положи­тельных иррациональных значений.

22. В каких точках разрывны функции, рассмотренные в гл. IV (при­меры XXXI), и какова природа этих разрывов? [Рассмотрим, например, функцию у = Iim xn (см. пример 5). Здесь у определено только, если — 1 < х ≤ 1; У равно 0 при — 1 < х< 1 и равно 1 при x = 1. Точки X= 1 и X = — 1 являются точками простого разрыва.]

101. Основное свойство непрерывной функции. „Непрерывная KpHBaHtt с точки зрения здравого смысла обладает еще одним харак­теристическим свойством. Пусть А и В — две точки на графике φ (х) с координатами xθ, φ(xθ) и x1, φ(x1) и пусть λ—’Прямая, прохо­дящая между А и В. Тогда представляется очевидным, что если график непрерывен, то Он должен пересечь λ.

Ясно, что если мы рассматриваем это свойство как геометриче­ское свойство, присущее непрерывным кривым, то мы ничего Не Потеряем в общности, предполагая, что λ параллельна оси Х. В этом случае ординаты А и В не могут быть равны; допустим для опре­деленности, что φ(xj)>φ(xo). Пусть λ — прямая y = η, где φ (x0) <≤ η <≤ φ (Xj). Тогда утверждение, что график φ (х) пересекает λ, равносильно утверждению, что между X0 и X1 найдется такое значе­ние х, для которого φ(χ) = η.

Мы заключаем, следовательно, что непрерывная функция φ(x) должна обладать следующим свойством: Если

φ(χ0)=jθ, φ(^ι)=3,ι

И ,v0∙+γi<Cτ∣, то между х0 и X1 существует такое значение х, что φ(χ) = η. Другими словами, когда х изменяется от X0 до x1, φ (х) Должно по крайней мере один раз принять каждое значение между Ye и у 1.

Докажем теперь, что если φ(x)— непрерывная функция от Х В смысле определения п. 99, то она действительно обладает этим свойством. Правее X0 существует некоторый интервал значений Х, Для которых φ(x)<≤η. Действительно, φ(x0)<≤η и, следовательно, φ (х) будет заведомо меньше чем η, если φ (х) — φ (х0) по модулю меньше чем η— φ(x0). τaκ κaκ tτP(∙*∙) непрерывна при x = xθ, это условие выполняется, если х достаточно близко к xθ. Точно так же левее X1 существует некоторый интервал значений х, для кото­рых φ(x)>η.

Разобьем теперь все значения х между X0 и X1 на два класса L И R следующим образом:

(1) к классу L мы отнесем все значения ξ переменного х такие, что φ (х) <≤ η для X‘- ξ и для всех значений х между X0 и ξ;

(2) к классу R мы отнесем все остальные значения х, т. е. все числа ξ, для которых либо φ(ξ)≥≥η, либо существует такое значе­ние X между X0 и ξ, что φ (х) ≥i η.

Тогда очевидно, что эти два класса удовлетворяют всем усло­виям, наложенным на классы L, R в п. 17, и, следовательно, опреде­ляют сечение в области действительных чисел. Пусть ξ0 — число, соответствующее этому сечению.

Предположим сначала, что φ(U^>ηι так что £0 принадлежит к верхнему классу, и пусть φ(ξ0) = η-∣-A. Тогда φ(ξ’)<^η и, зна­чит,

φ(U-ψC’)>a

Для всех значений ξ’, меньших чем ξ0, что противоречит условию непрерывности при χ = ξ0.

Далее предположим, что φ(ξθ) = η— A<η. Тогда, если ξ’ — любое число, большее ξθ, то либо φ (ξ’) ≥≥ η, либо мы можем найти между ξ0 и £’ такое число £", что φ(ξ»)≥⅛η. В каждом случае мы можем найти числа как угодно близкие к ξ0, для которых соответ­ствующие значения φ(x) будут отличаться больше чем на А. А это опять противоречит предположенной непрерывности φ (х) при х = ξ0.

Следовательно, φ (ξθ) — η, и теорема доказана. Следует отметить, что мы доказали больше, чем явно утверждается в теореме; в дей­ствительности мы доказали, что ξ0 является Наименьшим значением х, Для которого φ (х) = η. Между тем совсем не очевидно и, вообще говоря, неверно, что среди значений х, для которых функция при­нимает данное значение, существует наименьшее; однако, как мы видели, для непрерывных функций это так.

Легко видеть, что теорема, обратная только что доказанной, неверна. Так, например, функция, график которой изображен на фиг. 28, очевидно, принимает по крайней мере один раз каждое значение между φ(x0) и φ (xj), а вместе с тем она разрывна. Неверно и то, что функция φ (х) должна быть
непрерывной, если она принимает каждое значение Один и только один раз. Пусть, например, φ (%) определена для Х между 0 и 1 следующим обра­зом: φ(χ) = 0 при Х — 0; φ (%) = 1 — Х для 0 < Х < 1, н φ (%)= 1 при%=1. График этой функции изображен на фиг. 29; он содержит точки О, С, но не содержит точек А, В. Ясно, что когда Х изменяется от 0 до 1, φ(x) прини­мает один и только один раз каждое значение между φ (O) = O и φ(l) = ɪ; но φ(x) разрывна при Х = 0 и х=1.

Кривыел встречающиеся в элементарной математике, обычно состоят из Конечного числа кусков, вдоль каждого из которых у изменяется в одном и том же направлении. Легко показать, что если У = φ (%) изменяется в одном и том же направлении, т. е. либо монотонно возрастает, либо моно­тонно убывает, когда Х пробегает значения от до X1, то оба поня­тия непрерывности действительно совпадают, т. е. функция, принимающая каждое значение между φ (λ⅛) и φ (x1), должна быть непрерывной в смы­сле п. 99. Действительно, пусть ξ — любое значение Х между Х„ и Xt. Когда Х стремится к ξ, пробегая значения, меньшие ξ, φ (%) стремится к пределу φ(ξ-0) (см. п. 95). Аналогично, когда Х стремится к ξ, пробе­гая значения, большие ξ, φ (х) стремится к пределу φ (ξ + 0). Функция бу­дет непрерывной при x = ξ в том и только том случае, когда

φ(ξ-O) = φ(ξ) = φ(ξ + O)∙

Но если какое-либо из этих равенств не имеет места, скажем первое, То φ (%) никогда не может принять ии одного значения, лежащего между φ (ξ—0) и φ (ξ), что противоречит нашим предпосылкам. Следовательно, φ (%) должна быть непрерывной.

102. Дальнейшие свойства непрерывных функций. В этом Н В следующих пунктах мы докажем ряд важных общих теорем.

ТЕОРЕМА!.Допустим, что φ(x) непрерывна при х=Д и что φ(ξ) положительно. Тогда можно найти такое положительное число ε, что φ(x) положительна в интервале (£ — s, ξ-J—е).

Действительно, полагая 8 — ɪ φ (ξ) в основном неравенстве на стр. 185, мы можем выбрать ε так, что

I?([40])—φ(0 I<⅛(0 В интервале (ξ — е, £—{—©), и тогда

φ(χ)≡≥φ(0-φ(∙*0-φ(0 L>(0>°>

Так что φ(x) положительна. Очевидно, что имеет место аналогичная теорема, относящаяся к отрицательным значениям φ(x).

ТЕОРЕМА 2. Если φ (х) Непрерывна при х = ς и φ (х) Обращается в нуль для значений х, расположенных как угодно близко к ξ, Или принимает как угодно близко к ξ Как положительные, так и отрицательные значения, то φ(ξ) = O.

Эта теорема следует сразу из теоремы 1. Если бы φ(ξ) было отлично от нуля, то оно должно было бы быть положительным или отрицательным; если бы, например, оно было положительным, то φ (х) должна была бы быть положительной для всех значений х, достаточно близких к £, что противоречит предпосылкам теоремы.

103. Область значений непрерывной функции. Рассмотрим функцию φ (х), относительно которой мы пока только предположим, что она определена для каждого значения х из некоторого интервала (а, &).

Значения, принимаемые φ (х) для значений х из (α, B}, образуют некоторую совокупность 5, к которой мы можем применить рассу­ждения п. 80 (как мы применили их уже в п. 81 к совокупности значений функции от П). Если существует такое число К, что φ(x)≤Λr для всех рассматриваемых значений х, то мы говорим, что φ (х) Ограничена сверху. В этом случае φ (х) имеет Точную верхнюю грань М, обладающую тем свойством, что ни одно значе­ние φ (х) не превосходит М, но для каждого числа, меньшего М, Существует по крайней мере одно значение φ(x), которое его пре­восходит. Аналогично определяются, в применении к функциям от непрерывного переменного х, термины „ограничена снизу*, „точная нижняя грань*, „ограничена*.

ТЕОРЕМА 1. Если у (х) непрерывна (A, B)*}, то она ограничена в (а, Ь).

Мы можем найти такой интервал (а, $) справа от А, в котором φ (х) ограничена, ибо из непрерывности φ (х) при Х = а следует, что для любого заданного положительного числа δ Мы можем найти

Такой интервал (а, £), в котором значения φ (х) заключены между φ (а) — δ и φ (а) 8, так что φ (х) ограничена в этом интервале.

Разобьем теперь Точки ξ интервала (а, Ь) на два класса LkR, Относя £ к L, если φ (х) ограничена в (A, ξ), и к 7?, если это не имеет места. Из предыдущего следует, что класс L безусловно суще­ствует; мы должны доказать, что R не существует. Допустим, что R существует, и обозначим через β число, соответствующее сечению L1 R. Так как φ (х) непрерывна при х = β, мы можем, как бы мало ни было заданное положительное число 8, найти такой интервал (β—η, β-∣~γl)[41] [42]∖ в котором

φ(β)- δ<9 (∙*O<φ(β)÷8∙

Следовательно, φ (х) ограничена в (βi— η, β -∣- η). Но β —- η принад­лежит к L, и, следовательно, φ(x) ограничена в (α, β—η); поэтому она ограничена и во всем интервале (A, β-j — η). Но β —j— τq принад­лежит к R, и φ (х) не может быть ограничена в (<z, β —j— η). Это противоречие показывает, что R не существует и что, следовательно, φ (х) ограничена в (а, Ь).

ТЕОРЕМА 2. Если, φ (х) Непрерывна в (а, Ь) и M и т обозначают, ее точные верхнюю и нижнюю грани, то φ (х) Принимает в этом интервале каждое из значений M и т по крайней мере один раз.

прерывная функция, и следовательно, ʌɪ "√(^) точке, в которой знаменатель не обращаетсянепрерывна в любой в нуль (при-Действительно, если дано любое положительное число δ, то мы можем найти такое значение х, для которого M φ(x)<^δ или м (х) > у • Следовательно, функция? не ограничена, а поэтому, в силу теоремы 1, и не непрерывна. Но M φ(x)— не­

Знаменатель

Мер XXXVII. 1). Таким образом, должна существовать такая точка, в которой знаменатель обращается в нуль, и в этой точке φ(x) = 7W. Аналогично можно показать, что существует и точка, в которой φ (х) = т.

Ввиду большой важности этой теоремы полезно дать, помимо приведенного непрямого доказательства, и другие методы ее доказа­тельства. Однако удобнее отложить это до п. 105.

Примеры XXXVIH. 1. Если φ(χ) = -^- при x≠0 и φ(x) = 0 при х = 0,

То φ (х) не имеет ни верхней, ни нижней грани ни в одном интервале, заключающем внутри себя точку х = 0 (например, в интервале (—1, — J-I)).

2. Если φ (х) = при x≠0 и φ (х) = 0 при X = 0, то φ (х) имеет в интер­вале (— 1, +1) точную нижнюю грань 0, но не имеет верхней грани.

3. Пусть φ (х) = sin ɪ при Х ≠ О и φ (х) = О при xj= 0. Тогда φ (х) разрыв­на при х = О. В любом интервале (—о, +8) точная нижняя грань этой функ­ции равна — 1, а точная верхняя грань +1, и каждое из этих значений принимается φ (х) бесконечное число раз.

4. Пусть φ (х) = х — [х]. Эга функция разрывна при всех целочислен­ных значениях х. В интервале (0, 1) ее точная нижняя грань равна 0, а ее точная верхняя грань равна 1. Таким образом, эта функция никогда не при­нимает значения, равного ее точной верхней грани.

χ=-P-. Тогда φ (х) в любом интервале (а, Ь) имеет точную нижнюю грань 0, Q

Но не имеет верхней грани. Если же<р(х) = (—1)*,<7, при х=^-, то φ(x) не имеет ни в одном интервале ни верхней, ии нижней грани.

5. Пусть φ(x) = 0, когда х иррационально, и φ(x) = y при рациональном

104. Колебание функции в интервале. Пусть φ(x)—любая функция, ограниченная в интервале (а, Ь), и пусть Ad и Т—Ее точные верхняя и нижняя грани. Мы будем писать M (а, Ь) и Т (а, Ь) Вместо Ad и Т для того, чтобы явно указать зависимость M и Т От а и ⅛; кроме того, положим

О (а, Ь) = (а, Ь) — т (а, Ь).

Это число О (а, Ь), разность между точной верхней и точной нижней гранями φ (х) в (а, Ь), называется Колебанием φ (х) в (а, Ь). Приведем некоторые простейшие свойства функций Al (A, B)I т {а, Ь) И О (а, Ь).

(1) Если а^с^Ь, то M (а, Ь) есть большее из чисел Ad (а, с) и M (с, Ь), а т (а, Ь) — меньшее из чисел т (а, с) и Т (с, Ь).

(2) Al (а, Ь) является возрастающей, т(а, Ь)—убывающей и О (а, Ь) — возрастающей функцией от Ь.

(3) О {A, B)Zζθ(A, с) -{- О (с, &).

Первые две теоремы являются прямыми следствиями наших определений. Пусть и. — большее из чисел Ad (а, с) и Al (с, Ь) и 8 — любое положительное число. Тогда φ (х) ≤ Ji в (а, с) и в (с, Ь), а Следовательно, и в (α, #); кроме того, φ(x)^>p.— 8 для некоторого значения х из (а, с) или из (с, Ь), а, следовательно, для некото­рого значения х из (а, Ь). Таким образом, Ad (A, B) = μ. Утверждение относительно Т доказывается так же. Таким образом, (1) дока­зано, а (2) является его непосредственным следствием.

Допустим теперь, что Ad1 большее, а JH2 — меньшее из чисел Ad (а, с) и Ad (с, Ь) и что M1 меньшее, a Mi большее из чисел Т (а, с) и Т (с, Ь). Тогда, так как С принадлежит к обоим интерва­лам, φ (с) не больше чем Adi и не меньше чем Mi. Следовательно, Ali ≥= Mi, независимо от того, соответствуют ли эти числа одному И Тому же из интервалов (а, с) и, (с, Ь) или нет. Далее,

О {a, b) Ad1 M1^Ad1-j — Adi M1 Mi,

13 Г. Харди

ноО (а, с) — U О (с, b) — Mi — j- √W2 — mi — mi,

Откуда следует (3).

105. Другие доказательства теоремы 2 п. 103. Самым прямым доказа­тельством теоремы 2 п. 103 является следующее. Пусть ξ — любое число из интервала (а, Ь). Функция M (A, ξ) монотонно возрастает вместе с ξ и никогда не превосходит М. Следовательно, мы можем построить сечение чисел ξ, относя ξ к L или к R, в зависимости от того, будет ли M (A, ζ) < M Или Λf (α, ξ) = jW∙ Пусть β— число, соответствующее этому сечению. Если β≤β≤⅞, то мы имеем

M (A, β — η) < М, M (A, β — j — η) = M

Для всех положительных значений η, и, таким образом, ∙M(β-η, β + η) = AΓ,

Согласно утверждению (1) п. 104. Следовательно,φ (х) принимает для значений Х Как угодно близких к β значения как угодно близкие к М, а так как φ (х)- вепрерывна, то φ (р) должно быть равно M

Если β = β, τoΛf (a, a + η) = jW. Если же β = ⅛, то M (а, —η)<jM

И, следовательно, M (о — η, B^) = M. В каждом из этих случаев доказатель­ство может быть закончено так же, как и в первом случае.

Теорема может быть доказана также методом повторных делений интер­валов пополам (см. п. 71). Если M является точной верхней гранью φ (х) в интервале PQ и PQ разделен на две равных части, то можно найти поло­вину P1Q,, в которой точная верхняя грань φ (х) также равна М. Продол­жая так же, как в п. 71, мы построим последовательность интервалов PQ, PtQi, P3Q3> • • •) В каждом из которых точная верхняя грань φ (х) равна Л4. Эти интервалы, как показано в п. 71, сходятся в некоторой точке Т, и легко доказать, что значение φ (х) в этой точке должно равняться jM.

106. Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне — Бореля.

Мы переходим теперь к доказательству некоторых теОрем, относя­щихся к колебанию функции, которые, как мы увидим, играют чрезвычайно важную роль в теории интегрирования. Эти теоремы опираются на одну общую теорему, относящуюся к интервалам на прямой.

Предположим, что дана Система интервалов на прямой линии, т. е. что дана некоторая совокупность, каждым членом которой является некоторый интервал (α, β). Мы не накладываем на эти интервалы никаких ограничений; число их может быть конечным или бесконечным; они могут перекрываться, могут и не перекры­ваться ɪ); любое число этих интервалов может целиком принадлежать некоторым из них.

1-ɪ, 1) можно сказать, что!) Термин „перекрывающиеся интервалы" применяется здесь в очевид­ном смысле: два интервала перекрываются, если они имеют общие точки» отличные от концов каждого из них. Так, интервалы перекрываются. Про пару интервалов О, ɪ ови примыкают друг к другу.

Здесь уместно мимоходом привести несколько примеров таких систем интервалов; к рассмотрению этих систем мы еще вернемся позже.

(1) Если интервал (0, 1) разбит на П равных частей, то полученные Я Интервалов составляют конечную систему неперекрывающихся интервалов, которые покрывают отрезок (0, 1).

(2) Возьмем каждую точку ξ интервала (0, 1) и поставим ей в соот­ветствие интервал (ξ—ε, ξ-J-e), где ε—положительное число, меньшее 1; точке О поставим в соответствие интервал (O, ε), а точке 1—интервал (1—ε, 1), и вообще отбросим часть каждого интервала, выходящую из интервала (0, 1). Таким образом, мы определяем бесконечную систему интервалов, причем очевидно, что многие из них перекрываются друг с другом.

(3) Возьмем рациональные точки — интервала (0, 1) и поставим в

Р

Соответствие точке — интервал

ходят из интервала (0, 1). тогда мы получим бесконечную систему интервалов, которые, очевидно, перекрываются друг с другом, так как в каждом p

где ε положительно и меньше 1. Мы рассматриваем 0 каку, а 1 — как ɪ, ив этих двух случаях отбрасываем те части интервала, которые вы­

интервале, соответствующемСодержится бесконечно много рациональ­ных точек, отличных от — .

Я

ТЕОРЕМА ГЕЙНЕ — БОРЕЛЯ. Допустим, что дан интервал (A,B) и система интервалов I, каждый член которой содержится в (а, Ъ). Предположим, далее, что I обладает следующими свойствами:

(1) Каждая точка интервала (а, Ь), отличная от а и Ь, лежит внутри ɪ) По крайней мере одного из интервалов системы I;

(2) А является левым концом, а B — правым концом по край­ней мере одного интервала из I.

Тогда из системы I можно выбрать конечное число Интерва­лов, которые образуют систему, также обладающую свойствами

(1) и (2).

Мы знаем, что А является левым концом по крайней мере одного из интервалов I, скажем интервала (A, ɑɪ). Мы знаем также, что Ai Лежит внутри по крайней мере одного из интервалов I, скажем, (A[, Ai). Подобным образом я2 лежит внутри некоторого интервала (й2> ¾) из I. Ясно, что это рассуждение можно бесконечно повто­рять, если только после конечного числа шагов Ап не совпадает с Ь.

Если Ап совпадает с B после конечного числа шагов, то больше нечего доказывать, так как мы получаем конечную систему интер-

J) Это значит „внутри, но ни в одном из концов".

18»

Валов, выбранных из I и обладающих требуемыми свойствами. Если Ап никогда не совпадает с Ь, то точки A1, Ai, Ai, … должны стре­миться к некоторому предельному положению, так как каждая из них лежит правее предыдущей; но эта предельная точка может лежать где угодно в (а, Ь).

Допустим теперь, что указанное построение проведено, исходя из А, Всевозможными способами, так что мы получим всевозможные последо­вательности типа A1, A=L, а$ Тогда мы докажем, что Существует

По крайней мере одна такая последовательность, которая дости­гает B после конечного числа шагов.

Имеются две возможности для положения точки $ в (а, Ь). Либо 1° ξ лежит слева от Некоторой точки Ап некоторой последова­тельности, либо 2° это не имеет места. Разобьем точки ξ на два

Й A‘, A, а’г A2 ζ A3 ξι ζa F А Ь

Фиг. 30

Класса L и R, в зависимости от того, справедливо 1° или 2°. Класс L заведомо существует, так как все точки интервала (A, A1) Принадлежат к L. Мы докажем теперь, что класс 7? не суще­ствует, так что каждая точка £ принадлежит к классу L.

Если бы класс R существовал, то L находился бы целиком слева от R, и классы L, R определяли бы сечение в области действитель­ных чисел между А и Ь, которому соответствовало бы некоторое число Точка ξθ лежала бы внутри какого то интервала из I,

Скажем, (ξ’, £"), и £’ принадлежало бы к L и, таким образом, лежало бы левее некоторого члена Ап некоторой последовательности. Но тогда мы могли бы взять интервал (£’, £») в качестве интервала (а„, яп+}), соответствующего Ап в нашем построении последователь­ности A1, A2, а3, …, И все точки слева от ξ" лежали бы слева от An+L. Следовательно, существовали бы точки из L, лежащие справа от ξθ, а это противоречит определению R. Поэтому невозможно, чтобы класс R существовал.

Таким образом, каждая точка ξ принадлежит к L. Пусть теперь B является правым концом интервала (J)1, Ь) из I, и B1 принадлежит к L. Тогда существует такой член Ап последовательности A1, α2,∙<z3,… , что AnJ>B1. Но мы можем взять в качестве интервала (an, αn+1)> соответствующего Ап, интервал (Bl, Ь), и тогда мы получим конеч­ную систему интервалов, обладающую требуемыми свойствами. Тео­рема доказана.

Поучительно рассмотреть в свете этой теоремы примеры, приведенные на стр. 194—5.

(1) Здесь условия теоремы не выполнены; точки —, — , у, … не

Принадлежат ни одному из интервалов из L

(2) Здесь условия теоремы выполнены. Система интервалов

(О, 2ε), (ε, 3ε), (2ε, 4ε), …, (l-2ε, 1),

Соответствующих точкам ε, 2ε, 3ε,…, 1 — ε, обладает требуемыми свойствами.

(3) В этом случае мы можем, применяя теорему, доказать, что для до­статочно малого ε в интервале (0, 1) существуют точки, не принадлежащие

Ни одному из интервалов системы I.

Если бы каждая точка интервала (0,1) лежала внутри некоторого интер­

Вала из I (с очевидными оговорками, относящимися к концам), то мы могли бы найти конечное число интервалов из I, обладающих тем же свойством и имеющих, следовательно, общую длину, превосходящую 1. Но мы имеем следующие интервалы: два интервала общей длины 2ε для Q = 1 и Q 1 интервалов общей длины 2 ε Jjj~ лля Каждого из остальных значений Q.

Общая длина любого конечного числа интервалов из / не может поэтому превосходить произведение 2ε на ряд

ɪ > 1 ɪ 2 ɪ 3 ɪ "г 2s ^r 33 ‘ 43 I • • • ’

Который, как будет показано в гл. VIII, сходится. Следовательно, если ε до­статочно мало, предположение, что каждая точка интервала (0, 1) лежит внутри одного из интервалов системы 1, приводит к противоречию.

Читателю может показаться, что это доказательство излишне сложно и что существование точек в интервале (0, 1), не принадлежащих ни одному из интервалов системы 7, сразу следует из того, что сумма длин этих интер­валов меньше 1. Но теорема, на которую это рассуждение опирается (если система интервалов бесконечна), далеко не очевидна и может быть строго доказана только с помощью теоремы Гейне — Бореля.

107. Колебание непрерывной функции. Применим теперь теорему Гейне — Бореля к доказательству двух важных теорем, относящихся к колебанию непрерывной функции.

ТЕОРЕМА I. Если ер (х) Непрерывна в интервале (а, Ь) [43]), то мы можем разбить (а, Ь) на конечное число частичных интервалов (A, X1), (Xi, х2), …, (х„, Ь), в каждом из которых колебание φ (х) Будет меньше любого заданного положительного числа Ъ.

Пусть ξ — любое число между А и Ъ. Так как φ(x) непрерывна при x = ξ, то мы можем найти такой интервал (ξ — ε, ξ — ф-ε), в кото­ром колебание φ (х) будет меньше чем δ. Таких интервалов будет, конечно, бесконечно много для каждого ξ и каждого δ, ибо, если условие выполнено для некоторого значения δ, то оно тем более будет выполнено для всех меньших значений. Какие значения ε допустимы, зависит, естественно, от $; пока мы не имеем оснований предполагать, что значение ε, допустимое для одного значения ξ, будет допустимым для другого. Назовем таким образом поставлен­ные в соответствие точке ξ интервалы, ^-интервалами для ξ.

Если ξ = α, то мы можем определить интервал {A, α-J-ε) (а сле­довательно, и бесконечно много таких интервалов), обладающий тем же свойством. Эти интервалы мы назовем 8-интервалами для А и аналогично определим 8-интервалы для Ь.

Рассмотрим теперь систему / интервалов, образованную всеми 8-интервалами всех точек из {а, Ь). Эта система, очевидно, удо­влетворяет условиям теоремы Гейне — Бореля: каждая внутренняя точка интервала {а, Ь) является внутренней точкой по крайней мере одного из интервалов системы I, и А и B являются каждая концом по крайней мере одного тако-

………….. ………….. ■ го интервала. Поэтому мы мо-

— жем выбрать такую систему Г

А ——— —— , из конечного числа интервалов

ɪ системы /, которая обладает

Фиг. 31 ’ R

Тем же свойством, что и I.

Интервалы, составляющие систему Г, будут, вообще говоря, перекрываться, например, как на фиг. 31. Но их концы, очевидно, разделят (а, Ь) на конечную систему интервалов /", каждый из которых содержится в некотором интервале из Г и в каждом из. которых колебание φ(x) меньше чем 8. Теорема I, таким образом, доказана.

ТЕОРЕМА II. Если дано любое положительное число 8, То мы можем найти такое число η, Что, при любом разбиении интер­вала (а, Ь) на частичные интервалы длины меньшей чем η, Колеба­ние φ(x) В каждом из них будет меньше чем 8[44]).

Возьмем S1 8 и построим так же, как в теореме I, конечную

Систему частичных интервалов J, в каждом из которых колебание φ(x) меньше чем S1. Пусть η будет длина наименьшего из этих частичных интервалов из у. Если мы теперь разделим {а, Ь) на части длины меньшей чем η, то каждая такая часть должна целиком лежать не более чем в двух следующих друг за другом частичных интервалах из у. Следовательно, в силу (3) п. 104, колебание ψ(x) В Каждой такой части длины меньшей чем η не может превосхо­дить удвоенного наибольшого колебания φ (х) в частичном интервале системы у, и будет, таким образом, меныце 2δ1, т. е. меньше 8.

Эта теорема играет основную роль в теории определенных инте — тралов (см. гл. VII). Без помощи этой или аналогичной теоремы нельзя доказать, что функция, непрерывная в интервале, имеет инте­грал по этому интервалу.

108. Непрерывные функции от нескольких переменных. Поня­Тия непрерывности и разрывности могут быть распространены на функции от нескольких независимых переменных (см. гл. II, п. 31 и сл.). Их применение к таким функциям связано, однако, с значительно более сложными вопросами, чем те, которые мы рас­сматривали в настоящей главе. Мы не можем здесь подробно оста­новиться на этих вопросах, но в дальнейшем мы должны знать, чтб понимается под непрерывной функцией от двух переменных, и мы поэтому дадим здесь соответствующее определение. Оно является прямым обобщением последней формы определения, данного в п. 99.

Функция φ (х, у) от двух переменных х и у называется не­прерывной При X = Z, у = щ, если для любого сколь угодно малого заданного положительного числа δ Можно указать такое ε(δ),

4mo IZ ч Zfc Mxs

М[45]> У) —φ(S, η)l<δ,

Когда O≤jx—ξ)≤ ε(δ) И 0≤∣-y — η∣≤e(δ); Это означает, что мы можем указать квадрат со сторонами длины 2ε(δ), Парал­лельными осям координат, и с центром в точке (ξ, η), Обладаю­щий тем свойством, что в. каждой точке внутри него или на его границе значение φ(x, У) отличается от®(1, η) Меньше чем на δ1).

,При этом, конечно, предполагается, что φ(x, У) определена во всех точках рассматриваемого квадрата и, в частности, в точке ɑ, η). Другая форма определения следующая: φ(x, У) непрерывна Nρux = ξ, Y = Rl, Ecnuφ(X,Y)→-φ(ξ, η), κozAx→-ζ и Y→-R любым образом. Это определение кажется более простым, но оно содержит фразы, точный смысл которых не был еще разъяснен; для разъясне­ния же его необходимы неравенства, аналогичные содержащимся в основном утверждении.

Легко доказать, что суммы, произведения и, в общем случае, Отношения непрерывных функций от двух переменных сами непре­рывны. Многочлен от двух переменных непрерывен для всех значений этих переменных; обычные функции от Х и У, которые встречаются в анализе, также, Вообще говоря, непрерывны, т. е. непрерывны для всех пар значений Х и У, кроме таких, которые связаны некоторыми соотношениями.

Читатель должен особо отметить, что утверждать непрерывность φ(x, y) относительно двух переменных Х и У — это значит утверждать гораздо больше, чем непрерывность относительно каждой переменной, взятой в отдельности.

Ясно, что если φ (х, У) непрерывна относительно Х и У, то она непрерывна относительно Х (или у), когда У (или Х) приписано любое фиксированное значение. Но обратное предложение никоим образом не имеет места. Допу­стим, например, что

2ху

Если ни Х, ни У не равен нулю, и φ(x, у) = О, когда либо Х, либо У равен нулю. Тогда если У имеет любое фиксированное значение, нулевое или не­нулевое, то φ (х, у) является непрерывной функцией от Х, которая, в частно­сти, непрерывна и при Х — 0, так как ее значение при X=O равно 0 и оиа стремится к пределу 0 при х—>0. Подобным же образом мы убеждаемся в том, что φ(x, У) является непрерывной функцией от У. Но φ (х, У) не является непрерывной функцией от х и У при x = 0, у = 0. Ее значение при х = 0, У = 0 равно нулю, но если х И у стремятся к нулю вдоль прямой У =αx, то

Что может иметь любое значение между — 1 и 1.

109. Неявные Функции. В гл. II мы уже встретились с понятием Неяв­ной функции. Так, если хну связаны соотношением

У6 —ху—у —х=0, (1)

То у является „неявной функцией” от х.

Но далеко не очевидно, что такое равенство как (1) действительно определяет функцию у от х или несколько таких функций. В гл. II мы удовлетворились тем, что приняли это за данное. Теперь мы в состоянии рассмотреть, насколько это предположение было оправдано.

Следующая терминология окажется в дальнейшем полезной. Предполо­жим, что вокруг точки (а, Ь) можно построить, как в п. 108, квадрат, в ко­тором выполняется некоторое условие. Такой квадрат мы будем называть Окрестностью {а, Ь) и будем говорить, что условие, о котором идеть речь, выполняется В окрестности (A, B} или Вблизи (а, Ь), понимая под этим нросто то, что можно найти Некоторый квадрат, в котором это условие выпол­няется. Ясно, что аналогичные термины могут применяться и для функций от одного переменного, если только квадрат заменить интервалом на пря­мой линии.

ТЕОРЕМА. Если lo∕(x, у) — Непрерывная функция от х и у в окрест­ности (A, B},

2° /(a,⅛) = 0,

3° /(х> у) Для всех значений х в окрестности точки а является строго возрастающей функцией от у (см. п. 95),

То (1) Существует единственная функция у = φ(x), Которая при под­становке в уравнение F(X, у) = 0 Удовлетворяет ему тождественно для всех значений х в окрестности а,

(2) φ (х) Непрерывна для всех значений х в окрестности а.

На фиг. 32 квадрат представляет „окрестность” (а, Ь), в которой удов­летворены условия 1° и 3°, a P является точкой (а, Ь). Если мы возьмем точки QnR, как указано иа фигуре, то из 3° следует, что F (х, у)положительна в Q и отрицательна в R. Раз это так и поскольку /(х, у) непрерывна в О и в R, то мы можем провести прямые QQ и RR параллельно ОХ, так что RQПараллельно OY и F(X,Y) положительна во всех точках QQ и отрицательна

Во всех точках RR‘. В частности, F(X, у) положительна в Q и отрица­тельна в R и поэтому, в силу 3° и п. 101, обращается в нуль один и только один раз в некоторой точке P на RQ‘. Аналогичное построение даст нам единственную точку, в которой F (х, у) = 0 на каждой ординате между RQ И RQ‘∙ Очевидно также, что подобное построение может быть выполнено слева от RQ. Совокупность таких точек, как P‘, дает нам график искомой функции JT = φ(χ).

Остается доказать, что φ (х) непрерывна. Это проще Bcerυ^* сделать, используя понятия верхнего и нижнего пределов φ (х) при X-→A (см. п. 96). Допустим, что х—-о, И пусть λ и Л будут, соот­

Ветственно, нижний и верхний пределы φ (х) при X-→A. Очевидно, что точки (A, λ) и (а, Л) лежат на QR. Более того, мы можем найти такую по­следовательность значений Х, что φ(x)—λ при x-→o, пробегая значения этой последователь­ности; а так как F{X, φ(x)} = 0 и F(X, у) — Непрерывная функция от Х и У, то мы имеем:

/(α, λ) = 0.

Следовательно, λ = Ь. Аналогично Л = Ь. Таким образом, φ(x) стремится к пределу Ь при х— А И φ(x) непрерывна при Х = а. Очевидно, что точно так же мы можем показать непрерыв­ность φ(x) при любом значении х в окрестно­сти А.

В условии 3° теоремы можно, конечно, заменить слово „возрастающей” словом „убывающей”.

В качестве примера рассмотрим уравнение (1), положив о= О, # = 0. Условия 1° и 2°, очевидно, выполнены. Кроме того,

I /(х, У) — /(х, У’) = (у Yly(Yi +Y3Y‘ +Y*Y‘*+Yy‘3 + у’4 — х—VL)

Имеет, если х, У ну’ достаточно малы, знак обратный знаку У —у’. Следо­вательно, условие 3° (с „убывающей” вместо „возрастающей”) также выпол­нено. Отсюда следует, что существует одна и только одна непрерывная функция У, которая тождественно удовлетворяет уравнению (1) и обра­щается в 0 при х = 0.

Тот же результат имеет место для уравнения у2 — Ху —у — х = 0.

В этом случае функцией У является

? = ɪ (1 ÷ ʃ — l∕^l + 6x + x2),

Где имеется в виду положительное значение корня. Второе значение корня с обратным знаком не удовлетворяет условию равенства 0 при X= 0.

В доказательстве имеется один пункт, на который следует обратить внимание. Мы предполагали, что условия теоремы удовлетворены „в окрест­ности (α, ⅛)*,τ.e. в некотором квадрате а — ε ≤ х ≤ А + ε, B ε≤y≤⅛-j-ε. Утверждение имеет место „в окрестности х = а“, т. е. в некотором интер­вале А — ε1 ≤ х ≤ α -)- ε1. В доказательстве ничто не показывает, что ε1 утверждения совпадает с ε предпосылок, и это, вообще говоря, и не имеет места.’

110. Обратные функции. Предположим, в частности, что F (х, у) имеет вид F (у)— X Тогда мы получаем следующую теорему:

Если F (у) в окрестности у — Ъ— непрерывная строго возрастающая функция от у и F(F) = а, то существует единственная непрерывная функ­ция у = ъ(х), которая равна B при х — а и тождественно удовлетворяет уравнению F(Y) = X в окрестности х — а.

Определенная таким образом функция φ (х) называется функцией Обрат­ной F (у).

Пусть, например, Y3 = X, а — 0, 6 = 0. Тогда все условия теоремы вы­полнены. Обратной функцией является Х = ]Zy.

Если бы мы предположили, что у2 = Х, то условия теоремы не были бы выполнены, так как у2 не является монотонно возрастающей функцией от у ни в каком интервале, содержащем у = 0: эта функция убывает при отри­цательных у и возрастает при положительных у. В этом случае утвержде­ние теоремы не имеет места, так κaκy2 = x определяет Две функции от Х, А именно, у = ^∣∕rx и у = — -∣∕"x, каждая из которых обращается в нуль при х=0и определена только для положительных значений Х. Таким обра­зом, уравнение у2 = Х может иметь иногда два решения, а иногда — ии одного. Читателю предлагается таким же образом рассмотреть более общие уравне­ния

У2п —х, у2л+1 — Х.

Другим интересным примером является уравнение у5 —у — х=0,

Уже рассмотренное в примере XIV. 7.

Уравнение

Siny = х

Имеет в точности одно решение, которое обращается в нуль при х = 0, а именно, значение arc sin х, обращающееся в нуль при х = 0. Существует, само собой разумеется, бесконечно много других решений, соответствующих другим значениям arc sinх (см. пример XV. 10), но они не удовлетворяют этому условию.

До сих пор мы рассматривали поведение функции только в окрестности определенного значения х. Допустим теперь, что F (у) положительна и мо­нотонно возрастает (или убывает) в интервале (а, Ь). Если дана любая точка ξ из (о, 6), то мы можем определить некоторый интервал/,содержащий ξ, и единственную непрерывную обратную функцию φi (х), определенную в нем

Из системы I интервалов / мы можем, по теореме Гейне—Бореля, вы брать конечную подсистему, покрывающую весь интервал (A, Ji). Ясно, чтс конечная система функций φj (х), соответствующих интервалам / выбранной подсистемы, определяет единственную обратную функцию φ (х), непрерыв­ную во всем интервале (о, 6).

Таким образом, мы получаем теорему: Если X = F (у), где F (у) непре­рывна и строго возрастает от А до В, когда у возрастает от а до Ь, то существует единственная обратная функция у = φ (х), Непрерывная и строго возрастающая от а до Ь, когда х возрастает от А до В.

Следует отметить, что эта теорема может быть получена без помощи более трудной теоремы п. 109. Предположим, что X<ξ<β, и рассмотрим класс значений у таких, что 1° A <,Y <,B н 2° ∕∙,(y)≤ξ. Этот класс имеет точную верхнюю грань η, причем E-(η)≤ξ. Если бы F(ι) было меньше & то мы могли бы найти такое значение у, что у >η и ∕7(y)<ξ, и η не могло бы быть точной верхней гранью рассматриваемого класса. Следовательно, Λ(η) = ξ. Уравнение Λ(y)==ξ имеет, таким образом, единственное решение У = η = φ (ξ). Ясно также, что η Монотонно и непрерывно возрастает вместе с ξ, что и доказывает теорему.

«В

= *+⅞(i+η), .

О 0____ ЬА — аВ

А A2

Ax2 — j — Bx-↑-CI Ax2 — J — Bx — J- C

пределы функций от непрерывного переменного разные примеры к главе v,1. показать, что в общем случае
ах?1 -j- bxn~i- -j-... -j- ft
axn + bx"~t-∖-... + k
и η — величина первого порядка малости при
где а
больших х. указать исключительные случаи. 2. определить α, β и γ так, чтобы

Где η — величина первого порядка малости при больших Х. Указать исклю­чительные случаи.

3. Показать, что если Р(х) обозначает многочлен Axrl — J — Bx,L~I — J-… — J- K, Первый коэффициент А которого положителен, то

P — J — ft) — P (х)

P(X + 2H)-2P(X + H) + P(X)

Люнотонно возрастают, начиная с некоторого значения Х.

4. Доказать, что

P — J — Л) — P (х) ʌ- Nhaxn-~L, P — J — 2ft) — 2P — J — ft) — J — P (х)

^N{N 1) Λ2<τxπ-2

При х—э-оо.

5. Показать, что

[Применить формулу ^}∕"x-J-а— Ух — α —— — ι

Lζx÷α-J-∣Aχ j’-

6. Показать, что F х — J- А = ∣ZRХ — J- ɪ Ах 2 (ɪ — J-1]), где η—величина

Первого порядка малости при больших Х.____________________________

7. Найти такие значения а и ⅛ чтобы выражение У Ax2 -J — 2Bx — J — с — Ах —β имело пределом нуль при Х—-со, и доказать, что тогда

Jɪraŋ Х {∣Λ2 + 2Bx + C — ах —β } = .1A

8. Вычислить Jim3 Х^ Уχi + Уχi~τTχF 2

9. Доказать, что secx— tgx→O при х — -∣-π.

10. Доказать, что φ (х) — ɪ — cos (1 — cos Х) — четвертого порядка малости

CP (х)

При малых Х, и наити предел при χ~~ 0.

11. Доказать, что φ(x)-Xsin(Sinx)— sin2x— шестого порядка малости при малых Х, и найти предел "~j∏ при Х — 0.

12. Из точки P на продолжении радиуса OA некоторой окружности проведена касательная PT к этой окружности, касающаяся ее в точке Т, и
перпендикулярно к OA проведено TN. Показать, что ʌp-‘ 1, когда P при­ближается к А.

13. К дуге окружности проведены касательные в ее концах и середине. Пусть Δ — площадь треугольника, образованного хордой дуги и двумя каса­тельными в ее концах, Δ’— площадь треугольника, образованного тремя

Δ

Касательными. Показать, что —- 4, когда длина дуги стремится к нулю,

14. При каких значениях А

стремится (1) к со, (2) к —со при x-→0?
[к оо, если α>l, к —оо, если α<-1; в остальных случаях функция
колеблется].

А + sin — Х

15. Если φ(x) = ^- при x~^ и φ(x) = 0 при иррациональном Х, то

φ(x) непрерывна при всех иррациональных значениях Х и разрывна при всех рациональных значениях Х.

16. Показать, что функция, график которой изображен на фиг. 29, пред­ставляется любой из следующих двух формул:

1—Х — j — [х]— [1—Х], 1—Х— lira (cos2π+1^x)∙ n→∞

17. Показать, что функция φ(x), равная 0 при х=0, равная ɪ—Х

. 11 13 1,

При 0<x≤ɪ, равная ɪ при Х— , равная ɪ — хпри-2<х<1 и

Равная 1 при Х = 1, принимает каждое значение между 0 и 1 один и только один раз, когда Х возрастает от 0 до 1, но имеет разрывы при х = 0, x= ɪ и х = 1. Показать также, что эта функция может быть представ­лена формулой

±_x + — i-[2x]-i[l-2x].

18. Пусть φ(x) = x, когда х рационально, и φ(x)=l—х, когда х ирра­ционально. Показать, что φ(x) принимает каждое значение между 0 и 1 один и только один раз, когда х возрастает от 0 до 1, а вместе с тем φ (х) Разрывна при каждом значении Х, кроме х = -^.

19. Доказать, что функция, которая возрастает в каждой точке интер­вала (о, Ь), является возрастающей функцией в (а, Ь).

Показать также, что функция, которая „возрастает справа" в каждой точке интервала (а, Ь), не обязательно является возрастающей в (а, Ь), но

Что если она непрерывна, то она возрастает в (а, Ь). (Экз. 1926 г.)

[Мы говорим, что »<р (х) возрастает в точке х“, если 1° φ(x’)≥sφ(x) для всех х’ из некоторого интервала справа от Х и 2° φ (x’) ≤ о (х) для всех х’ и некоторого интервала слева от х. Если дано только 1°, то мы гово­рим, что „<р (х) возрастает справа".

Мы должны доказать, что φ (x2) ≥φ (хТ), если o≤x1≤x2 ≤⅛. Разобьем точки ξ интервала (x1, Ь) на два класса LeR, относя ξ к L, если φ(x’)i⅛φ(x1) для всех Х’ из (x1, £), и к/? — в противном случае, и обозначим через β число, соответствующее этому сечению. Утверждение будет дока­зано, если мы покажем, что β = ⅛ (т. е. что класс R не существует).

у = ах -]- βx2 + γx3 + q (xi), ь 2b3 — ас
z,3 ’ t 7,5 .

205Пределы функций от непрерывного переменного

Если β<⅛ и φ(β)≥≈φ (Xi), то, по условию 1°, мы можем найти такой интервал справа от р, что в нем φ (ɪ) ≥= φ (P) ≥= φ (x1), а это противоречит определению Р. Пока мы воспользовались только условием 1°.

Если условие 2° также имеет место, то существуют точки слева от р, в которых φ (х) ≤ φ (р) < φ (Xt), а это опять противоречит определению β, Следовательно, p = ⅛, что и требовалось доказать. То же утверждение имеет место, если дано только 1°, но φ (%) непрерывна, так как тогда φ(x)<φ(x1) для значений Х слева от Р, Но достаточно близких к р.

Пример α = 0, B = 2, /(x)==x для 0≤x< 1, F (х) — х— 1 для 1 ≤x≤2 показывает, что утверждение не следует из одного условия 1°.]

20. Когда Х возрастает от — ɪ π до ɪ π, У = sin Х непрерывна и строго

Возрастает от —1 до I. Вывести существование функции X = arc si∏y, кото­рая является непрерывной и монотонно возрастающей функцией от У, когда У возрастает от —1 до I.

21. Показать, что наименьшее по модулю значение arc Tgy непрерывно для всех значений У и монотонно возрастает от — Д° ɪ π> когда У

Пробегает все действительные значения.

22. Исследовать, определяет ли уравнение

χ+y + P(χ,y)=^

Где P (х, у)— многочлен, не содержащий членов размерности ниже 2, един­ственную функцию, обращающуюся в 0 при Х = 0 и непрерывную в окрест­ности X=Q. (Экз. 1936 г.)

23. Рассмотреть, аналогично тому, как это было сделано в пп. 109—110, решения уравнений

У3 —у — X = Q, у* —Y3X3 = Q, YiYi — J — Xi = 0

В окрестности X = Q, у = 0.

24. Если Ах3 CZbxy + Cy3 + 2Dx — J — 2еу = 0 и ∆ = 2⅛de— Ае3— Cd3, то

Одно значение У дается выражением

•гдеУ = ах — J — βx2 γx3 -]- О (Xi),

Δ (CdBe) Δ

2e5

[Если У — Ax = η, то

— 2eη = Ах3 — ф — 2Z>x (η -]- Ах) — J — ɛ (71 + ≈x)2 = Ax3 — j- 2Bxη -)- Cif.

Очевидно, что η — второго порядка малости, xη — третьего, a η2 — четвертого; далее,

— 2aη =Ax3X3T

Е

С точностью до величин четвертого порядка малости.]

25. Если Х = Ay — J — By3 — j — Cyi, то одно значение у дается выражением

Где α = —, P =

Cl M∙ U-

26. Если X = AyIRByn, где П—Целое число, большее 1, то одно значе­ние У дается выражением

где а =

1ra+ι,' a2∏+l

У = ах -]- Qxn -]- γx2"^1 -]- О (Xsn~I), Ln B Nb3

C∏. Показать, что наименьший положительный корень уравнения xy = sinx является непрерывной функцией от у в интервале (0, 1) и моно­тонно убывает от π до 0, когда у возрастает от 0 до 1. [Эта функция является обратной к применить п. 110.]

28. Наименьший положительный корень уравнения xy = tgx является непрерывной функцией от у в интервале (1, со) и монотонно возрастает от 0 до ɪ ", когда у возрастает от 1 до со.

29. Функция φ (х) называется Непрерывной сверху в точке х, если

φ (x’) < φ (х) + δ

Для каждого положительного δ и всех х’ из некоторого интервала (завися­щего от х и δ) с центром в х. Доказать, что функция, непрерывная сверху во всех точках интервала (о, Ь), имеет точную верхнюю грань, которую она достигает в (а, Ь).

(Экз. 1924 г.)

[Для доказательства существования точной верхней грани Af заменим в доказательстве теоремы 1 п. 103 слово „ограниченная" словами „ограни­ченная сверху". Чтобы доказать, что φ(x) принимает значение Af, нужно только сделать соответствующие изменения в рассуждениях п. 105. Мы най­дем, что φ(x) принимает вблизи 0 значения как угодно близкие к Af, а это противоречит неравенству φ(Λ,)<φ(0)-)-δ, если φ(β)≤Λf и δ достаточно мало.

Мы можем аналогично определить непрерывность снизу неравенством φ (x’) > φ (х) — δ.

Функция, непрерывная снизу, имеет точную нижнюю грань, которой она достигает. Функция, одновременно непрерывная сверху и непрерывная снизу, просто непрерывна.]

ГЛАВА Vl

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *