Предел функции

Определение 1. Конечное число А называется Пределом функции у = F(X) в точке Х = А, если для любого ɛ > 0 (сколь угодно малого) существует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех Х, удовлетворяющих условию 0 < |х — α∣ < δ, справедливо неравенство: j∕(x) — A∣ < ɛ.

Обозначение: liɪɪɪ F(X) = A; F(X) → A ^A .

X→α

Определение 2. Функция У = /(х) имеет Бесконечный предел в точке х = А, если для любого ɛ > 0 (сколь угодно большого) существует число δ = δ (ɛ) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |х — α∣ < δ, справед­ливо неравенство: ∣∕(x)∣ > ɛ.

Обозначение: Iim /(x) = ∞; F(X) → ∞ ^A. XA

Аналогично вводятся понятия конечного предела в бес­конечно удаленной точке: Iim F(X) = А < ∞, и понятие

XOo

Бесконечного предела в бесконечно удаленной точке:

Iim /(x) = ∞∙

X→∞

Определение 3. Функция называется бесконечно ма­лой при Х ∙→ А (х —» ∞), если Iim Z(x) = 0.

X→α

(X→oo)

Определение 4. Функция называется бесконечно боль­шой при Х A(X → ∞), если Iim /(x) = ∞.

XA

(*→∞)

Определение 5. Конечное число А называется Пределом слева функции У = /(х) в точке х = А, если для любого ε > 0 (сколь угодно малого) существует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < А — х < δ , выполняется неравенство: F(X) — A∣ < ε.

Обозначение: Iim F(X) = F(A 0).

X→a-0

Определение 6. Конечное число А называется Пределом справа функции У = F(X) в точке х = А, если для любого ɛ > 0 (сколь угодно малого) существует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < х — А < δ , выполняется неравенство: ∣∕(x) — A∣ < ε.

Обозначение: Цщ /(x) = F(A + 0).
x→β+0

Пример 1. Доказать по определению предела функции,

11 + ɛ

Таким образом, для всех значений Х, удовлетворяю­щих условию

О < |х — 2∣ < δ, δ =

Свойства пределов функций

Теорема 1. Если существуют конечные пределы функ­ций F{X} и g(x) в точке х = а, то

1) если существует окрестность точки х = а, в которой F(X) = C; C — const, то Iim /(x) = С;

X→a

2) Iim (f(x) ± g(x)) = Iim F(x) ± Hm G(x);

X→a x→a x→a

3) Iim f(x) ∙ g(x) = lira /(x) ∙ Iim g(x);

X→α X→a x→a

Iim C ∙ f(x) = C ’ Iim /(x), C — const.;

X→a x→a

F(x∖ ɪim F(x)

4) Iim = ; Iim G(x) ≠ 0.

χ→a g(x) Hm G(x) χ→a

X→a

Теорема 2. Если существуют конечные пределы функ­ций F(Y) в точке У = Ъ и G(X) в точке Х = А:

Hm f(y) = В; Hm g(x) = b, g(x) ≠ Ъ при х ≠ а, x→b x→a

Тогда предел сложной функции F(G(X)) в точке х = А так­же существует и равен В.

Пример 2. Вычислить пределы:

; б) Hm ; в) Hm

X→3 X2 _9 χ→ι

Решение.

A) lim½i≤
x→l Х + 2

Х +4

Iimx

X→l

Б)

Iim 9

χ→3 X2 — 9

Iim х + 2 x→l

Iim х + 4 x→3

Iim х x→3

_ 3-1 2

1 + 2_ 3 ’

3 + 4

———— = Оо;

О

В) Iim x→l

:2 — Зх + 2
х + 4

Iim х — 3 Iim х + 2 — o n

X→l I х—>1 1— Б + Δ

Iim х + 4 x→l

0.

Ответ: а) —; б) ∞ ; в) 0.

О

Замечание. Обозначение ∞ является обобщением для +оо и -∞. Если выбор знака является принципиальным, то это должно отражаться в условии задания. Необходимо

Также помнить о том, что выражение

Понимается

Исключительно как арифметический, т. е. неотрицатель­ный корень, а поэтому, в частности, 2YA2K = ∣α∣.

Пример 3. Вычислить пре деды:

YX3X + L+Y2X3+L

A) Iim

4×5-x3+l

В) Iim

2X -1

X—>oo I ɪ

Решение.

Б) Iim

X~>-B

Г) Iim

*→+∞ 5.^χ6 +χ + 2-χ

1

Х + √x

A) Iim

4X5X3 +1

χ→∞ х +1

— I= Iim — ∞ I х—>∞

+ х — 2

X X3+X6

X6 1 +

1. yX3-x + l+y2×3 + l Б) Iim i————————

X^"~ 5∙yx6+x + 2-x

∕ooλ

OO

K J

ХЗ

= Iim x→+∞

,11;

1—— 2-+ 3+*’

X X

5 ∙x2 ∙ Jl + -⅛ + -⅜- — х V X5 X6

= Iim —

X→+∞

¼÷⅛≠⅛

X2

E L 1 2 1

5-Jl 4—н—д——-

V X5 X6 х1/2 к √

0∙l + √2 √2

5 5 ’

Условие положительности переменной х гарантирует

Существование выражения V2x3 +1. Это же обстоятель­ство учтено в преобразовании

Vx6 + х + 2 ≈ х* ∙ Jl +J— + ɪ =

V X5 X®

I г Jt 12I Jt1 2

= X 2 ■ 4/1 + — + —— = χ2 .41 + — +

X5 X6

В) Поведение показательной функции 2х существенно зависит от знака бесконечно удаленной точки:

При х → +∞ 2x → +∞ при х → -∞ 2x → +Q,.

_1

В. 1) lɪɪɪɪ TT — T = χ→+<*>2 +1

/ooʌ

OO

V √

2 l-ɪ

, lim (…………….. у

^2√l+∙1

-1;

1. 2x-1 0-1 в. 2) пт — = -—- = -1.

X→-∞ 2+1 0 + 1

Г) Поскольку Jx2 + х — 2 =∣x∣∙ II + — -— , То рас — 11V х X2

Смотрим два случая

Г. 1) Iim

X + √X2 + X

Iim

X→+∞

L 1 2

Х + Xjl +———— —

= — = 0;

Г. 2) Iim

—- ,. ɪ ■==• = Iim

X ~| J ɪ _ 2 х—

1-

ι+l-

‘ 1

— — J-

V X х

= Iim •

X—>-*<»

Ответ: а) 0; б)

В) 1 при х → +∞; -1 при х → -∞;

Г) 0 при х → +∞; -2 при х —> -∞. Замечание. Неопределенность

Предела

Iim

F(X}

При вычислении

, как правило, означает, что Х — а явля-

X→α G(X)

Ется нулем функций F(X) и G(X). Это обстоятельство мож­но эффективно использовать для раскрытия неопределен­ности. В частности, если F(X) и G(X) — полиномы, то в соответствии с теоремой Везу их можно представить в виде Z(x) = (х — а) F(X); G(X) = (XA)∙ G(X), где F (х) и £(х) — многочлены, получающиеся из исходных делением на

Тт 1∙ f(χ) г (x-a)f(x) f(χ)

Х — а. И тогда Iim —— = Iim ————- ——- = lɪm⅛∑-‘ .

XA G(X} XA (х — A)G(X) XA G(X)

Если неопределенность сохраняется, то эту процедуру

Можно повторять неоднократно.

Процедура деления многочленов уголком проводится

Аналогично делению чисел уголком. C той лишь разни­цей, что роль цифр, отвечающих за разряды числа, в мно­гочленах играют степени переменной х. Чтобы аналогия была полной, советуем в случае деления неполных мно­гочленов, т. е. с отсутствующими степенями х, восстанав­ливать эти степени с коэффициентом 0. В некотором

Смысле, деление многочленов даже проще, чем деление чисел, поскольку очередное слагаемое частного легко под­бирается так, чтобы была «уничтожена» старшая из ос­тавшихся степень делимого.

Пример 4. Вычислить предел: Iim

Решение.

При x = l: Зх3 + х — 4 = X2 — 1 = 0, т. е. имеет место

Fθɔ

Неопределенность I θ .

Поделим Зх3 + х — 4нах — 1:

Х-1

Зх2 + х Зх2 — Зх

__ 4х — 4 4х — 4 ʊ.

Следовательно, 3×3 + х — 4 = (х — l)(3×2 + Зх + 4).

Пример 5. Вычислить предел Iim

X→2

Решение.

Воспользуемся приемом домножения и деления исход­ной дроби на выражение, сопряженное числителю:

√3x-2 -√x+ 2 = f()A _

0 I

≈ητr Ух + 2)(УЗх-2 + Vx + 2) _

X→2 (χ2-4χV3χ-2 + Vx + 2j

A—

‘ 1. logα(l + x) fθʌ 1 .

3) Iim—— 2———- =X= 1; α > O; α ≠ 1;

χ→o х I О I Ina

,. ln(l + x)

Iim———- -=1;

⅛n<[13]÷<-1 =

X—»0 X

χ→o — х

6) Iim Xx=(O0)=I.

X—»0+0

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *