ПОХОДНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ БЕЗ ФОРМУЛ И ТАБЛИЦ

Вычисление синуса

В этой главе будет показано, как можно вычислять сто­роны треугольника с точностью до 2θ∕0 и углы с точностью до 1°, пользуясь одним лишь понятием синуса и не прибегая ни к таблицам, ни к формулам. Такая упрощенная тригоно­метрия может пригодиться во время загородной прогулки, когда таблиц под рукой нет, а формулы полузабыты. Робин­зон на своем острове мог бы успешно пользоваться такой тригонометрией.

Итак, вообразите, что вы еще не проходили тригономет­рии или же забыли ее без остатка,— состояние, которое иным из читателей, вероятно, нетрудно себе представить. Начнем знакомиться с ней сызнова. Что такое синус острого угла? Это — отношение противолежащего катета к гипотенузе в том треугольнике, который отсекается от угла перпендикуляром к одной из его сторон. Например, синус угла А (рис. 88)

BC

Есть

Или

Или

DEADr

Или

B,C

ACf

Легко видеть, что

Вследствие подобия образовавшихся здесь треугольников все эти отношения равны одно другому.

Чему же равны синусы различных углов от 1 до 90°? Как узнать это, не имея под рукой таблиц? Весьма просто: надо составить таблицу синусоз самому. Этим мы сейчас и займемся.

Начнем с тех углов, синусы которых нам известны из геометрии. Это, прежде всего, угол в 90°, синус которого, очевидно, равен 1. Затем угол в 45°, синус которого легко

∣∕r2^

Вычислить по Пифагоровой теоремз; он равен -ɪ-, т. е.

рис. 88. что такое синус острого угла?,в

0,707, Далее нам известен синус 30°; так как катет, лежа­щий против такого угла, равен половине гипотенузы, то си­нус 30o = 1∕2.

Итак, мы знаем синусы (или, как принято обозначать, sin) трех углоз

Sin 30°= 0,5, sin 45° = 0,707, sɪn 90°= 1.

Этого, конечно, недостаточно; необходимо знать синусы и всех промежуточных углов по крайней мере через каждый градус. Для очень малых углов можно при вычислении синуса вместо отношения катета к гипотенузе брать без большой погрешности отношение дуги к радиусу: из рис. 88 (справа)

BC BD

Видно, что отношение мало отличается от отношения. Последнее же легко вычислить. Например, для угла в 1° дуга ДД> = ^^ и, следовательно, sin 1° можно принять равным

2π∕? я
360tf 180
,= 0,0175.

Таким же образом находим:

Sin 2°= 0,0349, Sin 3°=0,0524, sin 4°=0,0698, sin 5°= 0,0873.

это чересчур грубо даже для нетребовательной походной три-гонометрии. чтобы найти гра-ницу, до которой позволительно вести вычисление синусов по указанному приближенному спо-собу, постараемся найти точным приемом sin 15°. для этого воспользуемся следующим не особенно замысловатым построениемab'Но надо убедиться, как далеко можно продолжать эту табличку, не делая большой погрешности. Если бы мы вычис­лили по такому способу sin 30°, то получили бы 0,524 вместо 0,500; разница была бы уже во второй значащей цифре, И Погрешность составляла бы ~ , т. е. около 5°/„.

продолжим bc на рав-(рис. 89). Пусть sin 15°= ное расстояние до точки D‘, соединим А с D1 тогда получим два равных треугольника: ADC и АВС, и угол BAD, рав­ный 30э. Опустим на AD перпендикуляр BE-, образуется пря­моугольный треугольник BAE с углом 30° «ВАЕ), тогда BE=^-1 Далее вычисляем AE из треугольника ABE по теореме Пифагора:

A E2=A B2 (~ Y = ɪ AB2′,

ЛД /3=0,866 ЛВ.

Значит, ED = ADAE=ABО,866ЛД=О,134ЛД. Те­перь из Треугольника BED вычисляем BD:

BD2 = BE2 + ED2 = (ɪ)* + (0,134ЛД)2 = 0,268½β2i
BD = У0.268ЛД2 = 0,518ЛД.

sin 15°=^ = θ¾^=0,259.

ab

Половина BD, т. е. ВС, равна 0,259/Ш, следовательно, иско­мый синус

Это — табличное значение sin 15°, если ограничиться тремя знаками. Приближенное же значение его, которое мы нашли бы по прежнему способу, равно 0,262. Сопоставляя обозна­чения

0,259 и 0,262,

Видим, что, ограничиваясь двумя значащими цифрами, мы получаем:

0,26 и 0,26,

Т. е. тождественные результаты. Ошибка при замене более точного значения (0,259) приближенным (0,26) составляет ɪɪθ ,

Т. е. около 0,40∕0. Это погрешность, позволительная для по­ходных расчетов, и следовательно, синусы углов от 1 до 15° мы вправе вычислить по нашему приближенному способу.

Для промежутка от 15 до 30° мы можем вычислять синусы при помощи пропорций. Будем рассуждать так. Разница между sin 30° и sin 15° равна 0,50—0,26 = 0,24. Значит,— можем мы допустить, — при увеличении угла на каждый гра­дус синус его возрастает примерно на ɪ этой разницы, т. е.

На -+=0,016. Строго говоря, это, конечно, не так, но от­ступление от указанного правила обнаруживается только в третьей значащей цифре, которую мы все равно отбрасываем. Итак, прибавляя последовательно по 0,016 к sin 15°, получим синусы 16°, 17°, 18° и т. д.:

Sin 16° = 0,26 + 0,016 = 0,28, sin 17° = 0,26 + 0,032=0,29, si∏ 18° = 0,26 + 0,048 = 0,31,

Sin 25°=0,26 + 0,16 = 0,42 и т. д.

Все эти синусы верны в первых двух десятичных знаках, т. е. с достаточною для наших целей точностью: они отли­чаются от истинных синусов менее чем на половину единицы последней цифры.

Таким же способом поступают при вычислении углов в про­межутках между 30 и 45°. Разность sin 45° — sin 30°= = 0,707—0,5 = 0,207. Разделив ее на 15, имеем 0,014. Эту величину будем прибавлять последовательно к синусу 30°; тогда получим;

Siπ31°=0,5-J — 0,014 = 0,51, sin 32°=0,5 4- 0,028 = 0,53,

Sin 40° = 0,5-J-0,14 = 0,64 и т. д.

Остается найти синусы острых углов больше 45°. В этом поможет нам Пифагорова теорема. Пусть, например, мы же­лаем найти sin 53°, т. е. (рис. 90)

BC о

Отношение Так как угол B =

= 37°, то синус его мы можем вы­числить по предыдущему: он равен 0,5-J-7×0,014 = 0,6. C другой • в АС

Стороны, мы знаем, что smβ=-ξg.

Итак, ~ = 0,6, откуда AC=

= 0,6 × АВ. Зная АС, легко вычис­лить ВС. Этот отрезок равен

УAtfSAC2 = V AB2 (0,6∕β)2— Рис. 90. К вычислению, r синуса угла, большего

ABVl — 0,36 = 0,8ΛB. 45°.

Расчет в общем нетруден; надо только уметь вычислять квадратные корни.

Извлечение квадратного корня

Указываемый в курсах алгебры способ извлечения квадрат­ных к рней легко забывается. Но можно обойтись и без него В моих учебных книгах по геометрии приведен древний упро­щенны i способ вычисления квадратных корней по способу деления. Здесь сообщу другой старинный способ, также более просто:!, нежели рассматриваемый в курсах алгебры.

Пусть надо вычислить V13. Он заключается между 3 и 4 и, следовательно, равен 3 Е Дробью, которую обозначим через Х.

Итак,

∣∕r13 = 3 — J — Х, откуда 13 = 96л: —ɪ—va.

Квадрат дроби Х есть малая дробь, которою в первом приближении можно пренебречь; тогда имеем;

13 = 9-J-6х, откуда 6λγ=4 и jc= —=0,67.

Значит, приближенно PrI3 = 3,67. Если мы хотим оп­ределить значение корня еще точнее, напишем уравнение

Kl3 = 32∕s+j, где У—Небольшая дробь, положительная 121 22

Или отрицательная. Отсюда 13=-g—]~’yJ 4~J2∙ Отбросив ʃ2, находим, что У приближенно равен—ɜɜ = -0,06. Следова­тельно, во втором приближении pr13 = 3,67 — 0,06 = 3,61. Третье приближение находим тем же приемом и т. д.

Обычным, указываемым в курсах алгебры способом мы нашли бы |Лз с точностью до 0,01—также 3,61.

Найти угол по синусу

Итак, мы имеем возможность вычислить синус любого угла от 0 до 90° Е Двумя десятичными знаками. Надобность в го­товой таблице отпадает; для приближенных вычислений мы всегда можем сами составить ее, если пожелаем.

Но для решения тригонометрических задач нужно уметь и обратно — вычислять углы по данному синусу. Это тоже несложно. Пусть требуется найти угол, синус которого ра­вен 0,38. Так как данный синус меньше 0,5, то искомый угол меньше 30°. Но он больше 15°, так как sin 15°, мы знаем, равен 0,26. Чтобы найти этот угол, заключающийся в промежутке между 15 и 30°, поступаем как объяснено на стр. 130;

0,38 — 0,26=0,12,

Jθɪɪɪ ___ у СО

0,016 ~ ’

15°-J-7,5°=22,5°.

Итак, искомый угол приближенно равен 22,5°. Другой пример: найти угол, синус которого 0,62.

0,62 — 0,50=0,12,

0,12 __ „

0,014 ’ ’

30°-}-8,6° = 38,6°.

рис. 91. к вычи-слению острого угла по его синусу.Искомый угол приближенно равен 38,6°.

Наконец, третий пример: найти угол, синус которого 0,91, Так как данный синус заключается между 0,71 и 1, т> искомый угол лежит в промежутке между 45° и 90°. На рис. 91 BC есть синус угла А, если BA = I.

Зная BCf легко найти синус угла В:

AC2= 1 —ВС2= 1 —0,912 =

= 1—0,83 = 0,17,

ЛС = }/0Д7=0,42.

Теперь найдем величину угла В, синус которого равен 0,42; после этого легко будет найти угол Л, равный 90°—В. Так как 0,42 заключается между 0,26 и 0,5, то угол В лежит в промежутке между 15° и 30°, Он определяется так:

0,42 — 0,26 = 0,16,

0,16
= 10°,,0,016
b= 15° +10° = 25°.

И, значит, угол Л = 90° — 23=90° — 25° = 65°.

Мы вполне вооружены теперь для того, чтобы прибли­женно решать тригонометрические задачи, так как умеем на­ходить синусы по углам и углы по синусам C точностью, достаточной для походных целей.

Но достаточно ли для этого одного только синуса? Разве не понадобятся нам остальные тригонометрические функции — косинус, тангенс и т. д.? Сейчас покажем на ряде примеров, что для нашей упрощенной тригонометрии можно вполне обой­тись одним только синусом.

Высота Солнца Задача

Тень BC (рис. 92) от отвесного шеста AB высотою 4,2 М Имеет 6,5 М длины. Какова в этот момент высота Солнца над, горизонтом, т. е. как

∖U∕/

ɔ с. велик угол С?

Решение

Г

S

Г

7

/

X

S

/

/

А

В

рис. 92. определить высоту солнца над горизонтом.Легко сообразить, что синус угла C ра­вен. Но AC

= K∕B3 + 5C2 = ^/4,22-J-6,52= 7,74. Поэтому искомый синус равен ^£=0,55. По

ствующий угол: 33°. высота солнца —Указанному ранее спо­собу находим соответ — 33° с точностью до 1∕2°.

Расстояние до острова

Задача

Бродя с компасом (буссолью) возле реки, вы заметили на ней (рис. 93) островок А и желаете определить его расстояние от точки В на берегу. Для этого вы определяете по компасу величину угла ABN, составленного с направлением север — юг (NS) прямой BA. Затем измеряете прямую линию BC и определяете величину угла NBC между нею и NS. Наконец, то же самое делаете в точке C для прямой АС. Допустим, что вы получили следующие данные:

Направление AB отклоняется от NS к востоку на 52°

» BC » » NS » * »110°

» CA » * NS » западу » 27°

Длина BC= 1S7 М.

Как по этим данным вычислить расстояние BAI134 —

В треугольнике ABC нам известна сторона ВС. Угол ΛβC≈=110o — 52° = 58°; угол ACB = 180° — 1 lθɔ- 27°= = 43°. Опустим в этом треугольнике (рис. 93, направо) вы — соту BD: Имеем: sin C = sin 430 = ~^. Вычисляя ранее ука­занным способом sin430, получаем: 0,68. Значит,

BD= 187 XO,68= 127.

Теперь в треугольнике ABD нам известен катет BD

рис. 93. как вычислить расстояние до острова?
угол a=180α— (58° + 43°) = 79° и угол abd = 90°— — 79° = hofc синус 11° мы можем вычислить: он равен 0,19.,следовательно,,ad
ab
,= 0,19.,c другой,стороны,,по теореме,пифагора
ab2 = bd2 + ad2.

Подставляя 0,19 AB вместо ADt а вместо BD число 127, имеем:

AB2= 1272 +(0,19АВ)2, откуда AB ≈ 128.

Итак, искомое расстояние до острова окэло 128 М. Читатель не затруднился бы, думаю, вычислить и сто­

Рону ACt если бы это понадобилось.

Ширина озера
Задача

Чтобы определить ширину AB озера (рис. 94), вы нашли по компасу^ что прямая AG уклоняется к западу на 21°, a BC—К йостоку на 22°. Длина BC=68M, 35 М.

Вычислить по этим данным ширину озера.

Решение

В треугольнике ABC нам известны угод 43° и длины заключающих его сторон — 68 М и 35 М. Опускаем (рис. 94

Рис. 94. Вычисление ширины озера»

Направо) высоту AD имеем: sin430=-4⅞. Вычисляем, неза­висимо от этого, sin 43° и получаем: 0,68. Значит, 4?= 0,68, XD=0,68 × 35 = 24. Затем вычисляем CD:

CD2=AC2AD2=352 — 243 ≈649; CD = 25,5; BD=BGCD=68.-25,5 = 42,5.

Теперь из треугольника Л^П^имеем:

AB2 = AD2 — J — BD2=242 — J — 42,52 = 2380;

AB == 49.

Итак, искомая ширина озера около 49 М.

Если бы в треугольнике ABC нужно было вычислить и другие два угла, то, найдя AB ≈≈ 49, поступаем далее так)

Sin Z?==0,49, отсюда β = 29t∖

Третий угол C найдем, вычитая из 180° сумму углов 29° и 43°; он равен 108°.

Может случиться, что в рас­сматриваемом случае решения треугольника (по двум сторонам и углу между ними) данный угол не острый, а тупой. Если, например, в треугольнике ABC (рис. 95) известны тупой угол Л и две стороны, AB и АС, То ход вычисления остальных

Его элементов таков. Опустив высоту BD, определяют BD И AD из треугольника BDA^, затем, зная £)Л-[~ЛС, находят BC и sɪn С, вычислив отношение.

Треугольный участок
Задача

рис. 96. найти углы этого тре- у сольника: 1) вычислением, 2) при йбмощи транспортира.Во время экскурсии мы измерили шагами стороны треуголь­ного участка и нашли, что они равны 43, 60 и 54 шагам. Каковы углы этого треуголь­ника?

Решение

Это — наиболее сложный случай решения треугольника по трем сторонам. ОдпакО и с ним можно справиться, не обращаясь к другим функциям, кроме синуса.

Опустив (рис. 96) высоту BD На длиннейшую сторону АС, Имеем:

откудаBD2 = 432- AD2, BD2 = 542- DC2,

432 — AD2 = 542 -DC2,

DC2AD2 = 542 — 432 = 1070.

DC2 — AD2 = (DC+AD) (DC — AD) = 60 (DC — AD). Следовательно,

60 (DC-AD) = 1070 и DCAD=17,8.

Из двух уравнений

DCAD=V7,8 и DC+AD=GQ

Получаем:

ZDC = 77,8, т. е. DC= 38,9.

Теперь легко вычислить высоту:

BD = ∕542 — 38,92 = 37,4,

Откуда находим:

. .__ BD___ 37,4___ .

Sin Л—=-~-=0,87; А = около 60 .

. уо___ ED ___ 37,4 л лл zn_________________ Л λq

SιnC=-S7τ = -~R = Q,GQ; C=Около 44°.

Третий угол β=180 — (A-J-C) = 76o

Если бы мы в данном случае вычисляли при помощи таб­

Лиц, по всем правилам «настоящей» тригонометрии, то полу­чили бы углы, выраженные в градусах и минутах. Но эти минуты были бы заведомо ошибочны, так как стороны, измеренные шагами, заключают погрешность не менее 2—30∕0. Значит, чтобы не обманывать самого себя, следовало бы полу­ченные «точные» величины углов округлить по крайней мере до целых градусов. И тогда у нас получился бы тот же са­мый результат, к которому мы пришли, прибегнув к упрощен­ным приемам. Польза нашей «походной» тригонометрии высту­пает здесь очень наглядно.

Определение величины данного угла без всяких
измерений

Для измерения углов на местности нам нужен хотя бы компас, а иной раз достаточно и собственных пальцев или спичечной коробки. Но может возникнуть необходимость из­мерить угол, нанесенный на бумагу, на план или на карту.

Разумеется, если есть под руками транспортир, то вопрос решается просто. А если транспортира нет, например в поход­ных условиях? Геометр не должен растеряться и в этом слу­чае. Как бы вы решили следующую задачу:

Задача.

рис. 97. как определить величину изображенного угла aob, пользуясь только циркулем?Изображен угол ЛОВ (рис. 97), меньший 180°. Определить его величину без измерений.

Решение

Можно было бы из произвольной точки стороны ВО опу­стить перпендикуляр на сторону АО, в получившемся прямо­угольном треугольнике измерить катеты и гипотенузу, найти синус угла, а затем и величину самого угла (см. стр. 132). Но такое решение задачи не

Соответствовало бы жестко­му условию — ничего не из­мерять!

Воспользуемся решением, предложенным в 1946 Г.

3. Рупейка из Каунаса.

Из вершины О, как из центра, произвольным рас­твором циркуля построим полную окружность. Точки C и D ее пересечения со сторонами угла соединим от­резком прямой.

откладывать последовательно при помощи циркуля хорду cd в одном и том же направлении до тех пор, пока ножка циркуля опять совпадет с исходной точкой с.
откладывая хорды, мы должны считать, гсколько раз за это время будет обойдена окружность и сколько раз будет отложена хорда.
допустим, что окружность мы обошли п раз и за это время s раз отложили хорду cd. тогда искомый угол будет равен
^aob =
действительно, пусть данный угол содержит х°; отложив на окружности хорду cd s раз, мы как бы увеличили угол х° в 5 раз, но так как окружность при этом оказалась пройденной я раз, то этот угол составит 360°-я, т. е. х°*5=360°-я;

Теперь от начальной точ­ки C на окружности будем

Отсюда

360°.П
S

Для угла, изображенного на чертеже, я = 3, S= 20 (про­верьте!); следовательно, Z AOB = 54°. При отсутствии цир­куля окружность можно описать при помощи булавки и полоски бумаги; хорду откладывать тоже можно при помощи той же бумажной полоски.

Задача

Определите указанным способом углы треугольника на рис. 96.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *