ПОСТОЯННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе рассматриваются вопросы электростатистики и маг — нитостатистики, или, другими словами, не зависящие от времени стационарные электрические и магнитные явления. Основное вни­мание уделено общим принципам, тогда как более конкретные во­просы, а именно электрические и магнитные мультиполи будут об­суждаться в следующей главе. Всюду далее используются единицы СИ.

Изложение начинается с рассмотрения некоторых представле­ний о природе электрических и магнитных полей. Затем зависи­мость от времени вводится в связи с уравнениями Максвелла, после чего мы вновь возвращаемся к обсуждению вопросов электростати­ки и магнитостатики.

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Рассмотрим область свободного пространства, в которой одновре­менно присутствует и электрическое поле Е, и магнитное поле В. На одиночный заряд Q, движущийся в этой области со скоростью V, действует сила Лоренца

F = g(E + v×B). (1)

Напряженность электрического поля E можно определить как си­лу, действующую на единичный заряд, а магнитную индукцию В — как силу, действующую на единичный элемент тока. Эти два по­ля могут быть измерены на опыте и служат основными понятиями теории электромагнетизма. C полями E и В связаны поля, обозна­чаемые DhHh называемые электрическим смещением и напря­женностью магнитного поля, соответственно. Вакуум, как известно,

Характеризуется электрической постоянной eŋ и магнитной посто­янной Po5 так что в пустом пространстве поля DnH определяются соотношениями

D — еоЕ, (2)

H = B∕p0. (3)

Материальная среда характеризуется абсолютной диэлектрической проницаемостью ε > εo и абсолютной магнитной проницаемостью μ > Po, так что для электрического и магнитного полей в среде справедливы соотношения

D = εE, (4)

В = pH. (5)

В более общем случае среда может быть анизотропной, и компонен­ты векторов DnB определяются выражениями

Dj = £Jj Ej, (6)

Bj = Pjj Hj, (7)

Где суммирование производится по пространственным координатам J = X,Y,Z. Сказанное означает, что в анизотропной среде направ­ления векторов DnE могут не совпадать; то же относится и к векторам В и Н. Далее будут рассматриваться только изотропные среды.

Если среда обладает диэлектрической поляризацией Р, Опреде­ляемой как электрический дипольный момент единицы объема, и кроме того намагниченностью М, определяемой как магнитный ди­польный момент единицы объема, то поля будут связаны соотно­шениями

D — εoE + P — εoE(l + χe), (8)

B = μ0(H + M) = μ0H(l + χ), (9)

Где χe = Pε<)E и у = М/Н — безразмерные диэлектрическая и магнитная восприимчивости, соответственно.

3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Электрические и магнитные поля, рассмотренные в предыдущем разделе, связаны между собой уравнениями Максвелла. Первая па­ра уравнений Максвелла, содержит явную зависимость от времени и выражает вихревой характер полей

VxH-^=J, (10)

VxE+®=0, (11)

Где J — плотность тока; поскольку пока нас будут интересовать только статические поля, из этих уравнений можно исключить за­висимость от времени

VxH = J, (12)

VxE = O. (13)

Вторая пара уравнений Максвелла даже в общем случае не содер­жит зависимости от времени и характеризует источники

V-B = O, (14)

V∙D = p, (15)

Где Р обозначает плотность электрических зарядов. Уравнения (12) и (15) для статических полей можно записать в виде уравнений для полей В И Е, Используя соотношения (4 и 5)

V х В = μj, (16)

V-E = p∕ε; (17)

При выводе этих соотношений среда считалась однородной и изо­топной, т. е магнитная проницаемость μ и диэлектрическая прони­цаемость ε не зависели от координат. Плотность энергии электри­ческого и магнитного полей дается выражениями

Πβ = iE∙D, Hm = IB-H (18)

Соответственно.

C формальной точки зрения E и В Являются векторными поля­ми, поскольку их величины и направления изменяются в простран­стве от точки к точке. Тем не менее далее мы будем говорить о них просто как о векторах.

4. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Электрические и магнитные поля удобно выражать через их потен­циалы. Как видно из уравнения Максвелла (14), магнитное поле В Не имеет лоточников, VB = 0; это означает, что В Является соле — ноидальным полем и, таким образом, может быть выражено через ротор векторного потенциала А

B = VxA. (19)

C Другой стороны, из уравнения (13) следует, что статическое элек­трическое поле является безвихревым, V × E = 0, и, следовательно, может быть введено через скалярный потенциал Ф:

E = — V0. (20)

Для нестационарных полей вместо уравнения (13) придется исполь­зовать уравнение (11), и временная зависимость электрического по­ля E Будет определяться в том числе и через векторный потенциал

Ял

E = — V0-^. (21)

Плотность заряда Ф и плотность тока J Могут рассматриваться как источники электрического и магнитного полей, поскольку они по­рождают соответствующие поля.

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ПОСТОЯННЫЕ

Электрическая постоянная ɛo и магнитная постоянная μo характе­ризуют величину скорости света в вакууме:

(μ0ε0)-ιz2 = с = 2,9979 ■ 108m∕c ≈ 3 ∙ 108m∕c. (22)

Монохроматический свет представляет собой электромагнитную волну, в которой векторы E И H Электрического и магнитно­го полей взаимно ортогональны и осциллируют с частотой ω в плоскости, перпендикулярной направлению распространения вол­ны. Плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга ExH. Плотность и энергии μH2 и ∣εE2, запасенной в электри­ческом и магнитном полях (18), равны между собой

±μH2 = ~εE2, (23)

Откуда для импеданса следует

Е/Н = (μ∕ε)ιz2. (24)

Импеданс вакуума составляет

(z^o/ɛo)ɪ^2 = 120π Ом.

Часто удобно использовать безразмерные относительную диэлек­трическую проницаемость εεoTΛ относительную магнитную прони­цаемость м/цо — В оптике используется следующее выражение для показателя преломления среды:

П = (e∕ε0)ιz2∙ (28)

В оптике, как правило, считается, что μ = μo, и показатель пре­ломления равен отношению скорости света в вакууме с к скорости света в среде υ:

П = c∕υ. (29)

6. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА СРЕД

В отсутствие поверхностных электрических зарядов и токов нор­мальные компоненты векторов DhBh тангенциальные составля­ющие векторов E и H Не должны испытывать разрывов при перехо­де через границу раздела сред, как показано на рис. 10.1. Наличие поверхностных зарядов с плотностью σ или поверхностных токов с плотностью К приводит к возникновению разрывов нормальной со-

N∙(B2-B1) = 0, (30а)

N×(E2-Eι) = 0, (306)

N-(D2D1) = σ, (ЗОв)

MX(H2-Hi)=K. (ЗОг)

Отметим, что поверхностные токи К текут параллельно границе раздела и перпендикулярно вектору H на поверхности. Плотность поверхностного заряда измеряется в кулонах на кв. метр (Кл/м2), а плотность поверхностного тока К — в амперах на метр (А/м).

7. ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Перейдем к изучению членов Р и J, Описывающих соответственно источники полей E и В В уравнениях (16) и (17). Рассмотрим снача­ла электрическое поле. Проинтегрировав уравнение (17) по объему, полностью включающему в себя область где расположены заряды р, получим

ʃ V ∙ Ecfo = — ʃ Pdυ. (31)

Преобразуя интеграл в левой части к поверхностному и замечая, что второй интеграл дает просто полный заряд (ə, приходим к ре­зультату

E ∙ = (ə/ɛ, (32)

Известному как закон Гаусса.

Пусть заряд Q точечный, а поверхность — сфера радиусом г; учитывая, что в силу симметрии величина E на поверхности сферы всюду одинакова, с помощью закона Гаусса (32) получим

E = 2 (вне сферы). (33)

Если заряд Q положителен, то векдор E направлен от заряда, где П —радиально направленный единичный вектор. Полный поток электрического поля, который можно найти интегрированием урав­нения (32) по любой поверхности, заключающей внутри себя все заряды, всегда равен Qε.

Плотность заряда, равномерно распределенного по объему сфе­ры радиусом R, есть

= 3G
PπR3

Поле внутри равномерно заряженной сферы на расстоянии г от ее центра

Е = 47геДЗ (внутри сферы) (35)

В силу того, что полный заряд в выделенном объеме равен 4πr3p∕3, а влияние зарядов, находящихся на большем удалении от центра, взаимно компенсируется. Таким образом, поле E сначала растет внутри сферы пропорционально расстоянию Г от центра, а затем спадает как l∕r2 за ее пределами.

Силовые линии электрического поля начинаются на положи­тельных зарядах и кончаются на отрицательных. Если в некоторой области пространства заключено одинаковое число положительных и отрицательных зарядов, то все силовые линии будут начинаться и заканчиваться в этой области, хотя некоторые из них могут уда­ляться на значительные расстояния.

8. ИСТОЧНИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Обсудим теперь роль электрического тока как источника магнитно­го поля. Пусть ток пронизывает некоторую поверхность. Величину тока можно определить, проинтегрировав скалярное произведение J по рассматриваемой поверхности ( элемент этой поверх­ности). Используя уравнение Максвелла (16), получим

(V × В) = μ ʃ J. (36)

Правая часть этого уравнения представляет собой полный ток I, Тогда как левая может быть преобразована к интегралу по замк­нутому контуру (на который опирается поверхность); в результате для пустого пространства имеем

J>Bdt = μ0I. (37)

Если ток течет вдоль прямой, то силовые линии магнитного поля В Представляют собой окружности с центром на линии тока и распо­ложенные в плоскости, перпендикулярной этой линии, как показано на рис. 10.2; в этом случае интеграл (37) дает

В = μol∕2πr (вне проводника), (38)

Где 1—радиус окружности.

Если отставленный большой палец правой руки направить по току, то в соответствии с первым правилом правой руки сжатые в

Рис. 10.2. Силовая линия магнитного поля прямолинейного проводника током I.

Рис. 10.3. Магнитное поле В внутри и снаружи проводника с током; ра диус проводника R=I см. График построен в предположении, что плот ность тока постоянна в сечении проводника. J = J∕πβ2.

Кулак остальные четыре пальца будут указывать направление си­ловых линий магнитного поля В.

Если плотность тока постоянна в сечении проводника радиусом R J = I∕~ R2, (39)

То из выражений (34) — (35) следует, что внутри проводника В = (ВНУТРИ проводника).

Таким образом, поле В внутри проводника линейно возрастает с увеличением расстояния Г от центра проводника, а вне проводника спадает как 1/г, что видно из рис. 10.3.

9. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Мы познакомились с тем, что заряды и электрические токи игра­ют роль источников электрических и, соответственно, магнитных полей; обратимся теперь к более подробному рассмотрению задач электростатики. Сила, действующая на электрический заряд Q, по­мещенный в электрическое поле Е, Определяется формулой (1)

F = qE. (41)

Подставляя сюда равенство (35), приходим к закону Кулона, опре­деляющему силу взаимодействия двух зарядов Q и Q‘∙.

ɪ 4πε0r2 ’ (42)

Причем для одноименных зарядов это сила отталкивания, а для разноименных— притяжение. Плотность заряда Р создает в пустом пространстве в точке Г поле, величина которого дается интегралом

ɪ ∕>(R‘)(RR‘)

4πε0 J

Нетрудно показать, что скалярный потенциал ζ⅛(r) дается выраже­нием

1 Г ,J∙,’

D3R‘.

Работа W, связанная с перемещением заряда Q из точки А в точку В, равна & &

W=- [ FDl = —Q[ E ∙ M = Q{φA — фв) (47) Ja Ja

И, таким образом, не зависит от пути от А до В.

Объединение уравнений E = — V≠ и V ∙ E Pε приводит к уравнению Пуассона

V = — p∕ε, (48)

Для которого мы уже нашли общее решение (46). В отсутствие заря­дов это уравнение превращается в однородное уравнение Лапласа

V2ζ⅛ = 0. (49)

Многие задачи электростатики сводятся к решению этих уравнений при заданных граничных условиях.

10. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

C Помощью уравнения Лапласа обычно решаются задачи о рас­пределении электрического поля внутри замкнутой области при за­данных значениях поля на поверхности, ограничивающей данную область, или при заданных значениях потенциала на этой поверх­ности. Если граничная поверхность является хорошим проводни­ком, то из (306) и (ЗОв) следует, что тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности отсутствует, а нормальная со­ставляющая равна

= σ∕ε = Дф/дп, (50)

Где σ поверхностная плотность заряда, а Дф/дп— нормальная производная потенциала на поверхности [см. (45)]. Задание на по­верхности , или Дф/дп, отвечает краевой задаче Неймана. Если заряды неподвижно закреплены на поверхности, то потенциал при­нимает значения, согласующиеся с характером распределения за­рядов.

В краевой задаче Дирихле, напротив, вместо плотности зарядов задается распределение потенциала на поверхности. Задание такого распределения на проводящей поверхности приводит к перераспре­делению зарядов в соответствии с видом потенциала. Краевая зада­ча Коши при одновременном задании потенциала Ф и его нормаль­ной производной Дф/дп может, вообще говоря, не иметь решения. Тем не менее возможно использование смешанных краевых уело — вий, если Ф задать на некотором участке поверхности, a φ∕∂NНа оставшейся ее части.

11. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Решение краевой задачи Неймана (Gjv) и краевой задачи Дирихле (Gd) для уравнения Пуассона (48), полученные методом функций Грина, имеют вид

0(r) = F P(R)GN(R,R‘)D3R + ɪ ʃ ∣^Gjv(r, r’)dα’, (51)

<МН = У/(г)С°(г’г’^3г’ — ⅛/

Этому методу посвящен разд. 10 гл. 28.

Другой подход к решению задач состоит в использовании мето­да изображений. Этот метод состоит в том, что для удовлетворе­ния граничных условий вне рассматриваемой области пространства размещаются один или несколько зарядов, подобранных по величи­не и знаку; такие заряды называют мнимыми. Наличие симметрии может упростить выбор конфигурации мнимых зарядов.

Третий подход к решению краевых задач состоит в использова­нии метода Фурье, позволяющего определить коэффициенты раз­ложения исходя из граничных условий. Подробности этого метода обсуждаются в разд. 9 гл. 27.

Один из наиболее общих подходов к решению краевых задач состоит в использовании известных решений дифференциальных уравнений, получаемых, например, методом разделения перемен­ных в уравнении Лапласа, о чем говорится в разд. 4 гл 28. В де­картовой системе координат наряду с периодическими решения­ми вида Sinfcx и Cosfcx могут существовать растущие и убываю­щие решения shκx и chκx. В экспоненциальной форме эти реше­ния записываются в виде Е±гкх и E±κx, соответственно. В цилин­дрической системе координат решения, как правило, имеют гар­моническую зависимость от угловой переменной φ вида sinm<p и cosmφ; по осевой переменной Z решениеможет быть экспоненци­ально растущим (или убывающим) вида sh κz или периодическим (sinfcz), а по радиальной переменной Р оно дается функциями Бес­селя,7n(fcρ) или Неймана Nn(~). В сферической системе координат угловая зависимость решений определяется тессеральными гармо­никами представляющими собой линейные комбинации

Пары сферических гармоник с теми же L и M. Поскольку тессе-
ральные гармоники являются вещественными функциями, их ис­пользование предпочтительно по сравнению с комплексными сфе­рическими функциями. Согласно разд. 4 гл. 28, решение уравнения Лапласа хотя бы по одной переменной должно быть гармоническим и хотя бы по одной переменной растущим или убывающим.

12. ТЕССЕРАЛЬНЫЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ

Тессеральные гармоники Zj^J(β, <р) представляют собой веществен­ную часть сферических гармоник

× (cos 0)EiMv (53)

И Выражаются в виде линейных комбинаций [YLM(θ,φ) ± Yl — м (.θ,ψ)}∕V2, о чем говорится в разд. 7 гл. 28. Поскольку по­тенциал в задачах электростатики должен быть вещественным, тессеральные гармоники дают нужные решения в цилиндрической системе координат. Они определяются выражениями в которых M должно быть положительным, и Zlo = Ylo при M=O. Если использовать соображения симметрии при решении практических задач, как правило, удается исключить либо функ­ции (546), либо (54в). Если же для решения электростатических задач используются сферические гармоники, как это рекомендует­ся в некоторых руководствах, то для получения вещественного ре­зультата они должны быть сгруппированы таким образом, чтобы получились тессеральные гармоники. Тессеральные и сферические гармоники обладают общими со сферическими гармониками свой­ствами ортогональности, полноты, а также подчиняются правилам суммирования. Например,

I = ⅛Σ ΣΣ⅛i⅛¾*½<M∙ (55)

Тессеральные гармоники низших порядков без учета нормиро­вочных коэффициентов могут легко быть получены из соответству­ющих сферических функций с помощью таблицы разд. 7 гл. 28:

Z00 = 1 (с учетом нормировки Z00 = l∕2χ∕τr), (56)

Zi0 = Z R = cos 0,

Z° = χ∕r = sin# cos <р, (57)

Zf1 = У Г = sin θ sin φ,

Z20 = (3z2 — r2)∕r2 = 3cos# — 1,

Z21 = (zxR2)R2 = cos # sin# cos <р,

Zf1 = {yzR2)R2 = cos# sin# sin ⅛2, (58)

Z⅛2 = (x2 — y2)∕r2 = sin2#(cos2 φ — sin2 <p),

Zf2 = Xy∕r2 = sin2 0cos<psin⅛9.

Для удобства здесь использованы обе формы записи в декартовых и сферических координатах. Нормированные тессеральные гармо­ники для L = 0,1, 2,3 приведены в гл. 28, табл. 7.

13. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

После изложения основ электростатики уместно рассмотреть посто­янное магнитное поле. Уравнения Максвелла (14) и (16) дают

VxB = μ0J, V-B = O.

Поскольку ротор имеет нулевую дивергенцию, то

V-J = O; (60)

Это соотношение можно также вывести из уравнения непрерывности

V∙J+⅛ = O, (61)

В котором производная P∕∂T обращается в нуль в статическом случае.

Рис. 10.4. Система координат, использованная при вычислении магнит­ного поля в точке P на расстоянии R от проводника с током I. Интегри­рование по углу θ выполняется в пределах от θ = 0 до θ = π.

Как следует из соотношения (38), прямолинейный проводник с током I создает магнитное поле μol∕2πr. Обобщением этого соот­ношения является закон Био-Савара, согласно которому элемент проводника длиной Dx с током I создает магнитное поле dB

μ0 Idx х Г

UJJ — Q

4π rɔ

Для нахождения магнитного поля В, Вычислим интеграл

Где, согласно рис. 10.4, Х — R ctg θ, Dx = Rdθ sin2 G; в результате приходим к выражению

R — μ°1 В ~ 2πR

Совпадающему с полученным ранее результатом (38).

Если элемент dx содержит заряд Q, движущийся со скоростью V, то произведение Idx в (62) можно приравнять Qv, так что для магнитного поля В, Создаваемого движущимся зарядом, получится

= μ0Tqvxr
4π г3

Если заменить Idx на Jd3 Г’ и проинтегрировать по объему, полу­чится выражение для магнитного поля В(г), Создаваемого в точке г током J(г):

До Г J(R‘) х R‘) 3 J |г — R3

Это выражение аналогично выражению (43) для электрического по­ля Е, Создаваемого объемным распределением зарядов. По анало­гии с формулой (44) последнее выражение можно записать в виде

Bw=Sv’ × ∕ j⅛⅛v∙ <67>

Где оператор Vr х действует на компоненты Х, у, Z вектора г. По­скольку поле В Может быть представлено как ротор векторного потенциала А, Последнему можно сопоставить интеграл в (67): этот результат является аналогом соотношения (46) для скалярного потенциала ς⅛(r).

В заключение приведем выражения для силы F и момента силы N, Действующих на элемент среды с объемной плотностью тока J со стороны магнитного поля В:

F(r) = I J(r’) х B(r’)d3r’, (69)

N(R) = [ τ х (J х B)D3R‘. (70)

14. ЗАКОН ФАРАДЕЯ

До сих пор рассматривались случаи, в которых отсутствовала яв­ная зависимость физических величин от времени. В заключение этой главы скажем несколько слов о законе индукции Фарадея, в котором речь идет об изменении магнитного потока со временем.

Рассмотрим поверхность S, опирающуюся на замкнутый про­водящий контур; обозначим через П Единичный вектор нормали к Этой Поверхности. Если контур помещен в магнитное поле В, То магнитный поток Ф через этот контур определяется как поверх­ностный интеграт

φ= I В NdA. (71)

Закон Фарадея гласит, что изменение магнитного потока индуци­рует в контуре электродвижущую силу (эдс)

Знак минус в этом выражении обусловлен законом Ленца, согласно которому индуцированный (обусловленный наведенной эдс) в кон­туре ток будет протекать в направлении, препятствующем измене­нию магнитного потока. Эдс в проводнике определяется как кон­турный интеграл от электрического поля Е.

Эдс = у> E ■ Dt. (73)

Электрический генератор представляет собой устройство, превра­щающее механическую энергию в электрическую. Механическая энергия используется для перемещения проводящего контура в маг­нитном поле, а наведенная в контуре эдс создает ток, который со­вершает полезную работу.

ГЛАВА 11

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *