Полярная система координат

Определение 1. Полярная система координат опреде­ляется заданием некоторой точки О, называемой Полю­сом, луча ОМ, исходящего из этой точки, называемого По­лярной осью, и масштаба для измерения длин. При повороте луча OM вокруг точки О положительным обыч­но считается поворот против часовой стрелки.

Определение 2. Полярными координатами произволь­ной точки M (относительно заданной системы) называют­ся числа Г = OM и φ = ZAOM. Число г называется первой координатой, или полярным радиусом, число φ — второй координатой, или полярным углом точки М.

Значение полярного угла из­меняется в пределах — π < φ < +π.

Зависимость между полярны­ми координатами (г, φ) точки и прямоугольными координатами (х, У) той же точки, если полюс принят за начало координат, а полярная ось за ось Ох, выража­ется формулами:

2.3. Линии второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, опреде­ляемые в декартовых координатах алгебраическими урав­нениями Второй степени. В частности, окружность, эл­липс, гипербола и парабола являются такими линиями.

Этими четырьмя линиями и случаями их вырождения, когда уравнение второй степени определяет пустое мно­жество (мнимая кривая), точку, прямую, пару прямых, исчерпываются все линии, определяемые алгебраически­ми уравнениями второй степени.

Окружность

Определение 1. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (цен­тра).

Если R — радиус окружности, a C(α, Ь) — ее центр, то уравнение окружности имеет вид

(х- а)2 + (у — Ъ)2 = R2. (*)

В частности, если центр окружности совпадает с нача­лом координат, то уравнение окружности (*) примет вид

X2 + Y2 = R2.

Взаимное расположение точки Λf1(x1, y1) и окружнос­ти X2 + Y2 = R2 определяется такими условиями:

Если xf + Yf = R2, то точка M лежит на окружности; если X2 + У? > R2T то точка M лежит вне окружности;

Если Xi + у I < R2, то точка M лежит внутри окружно­сти.

Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 8 с центром в точке С(2; -5).

Решение.

Подставив значения координат точки C и значение радиуса в формулу (1), получим

(х — 2)2 + — (-5))2 = 82 или (х — 2)2 + (у + 5)2 = 82. Ответ: (х — 2)2 + + 5)2 = 82.

Пример 2. Доказать, что уравнение x2 + Y2 + 8x — — 5 = О является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Решение.

Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив полные квадраты относительно Х и У:

X2 + 8х + 16 — 16 + У2 — 4у + 4 — 4 — 5 = 0, или

(х + 4)2 + (у — 2)2 = 52. Это уравнение представляет со­

Бой уравнение окружности с центром С(-4; 2) и радиусом, равным 5.

Ответ: C(-4; 2), R = 5.

Пример 3. Найти координаты центра и радиус окружно­сти 2X2 + 2Y2 — 8х + — 4 = 0.

Решение.

Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены урав — 5

Нения, получим х2 — 4х + У2 + — у = 2. Дополним выра-

£л

Жения X2 — 4х и У2 + — у до полных квадратов, прибавив 22

К первому двучлену 4 и ко второму — —) , одновремен­но к правой части прибавляется сумма этих чисел:

Л, 25

= 2 + 44——- , или

16

11

4 *

Пример 4. Показать, что уравнение x2 + Y2 + 6x — Qy + + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение.

Преобразуем уравнение:

(х2 + 6х + 9) + (у2 — бу + 9) — 9 — 9 + 22 = О,

(х + З)2 + (у- З)2 = -4.

Данное уравнение не определяет никакой линии. Такое уравнение называется уравнением мнимой окружности.

Ответ: 0.

Пример 5. Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно окружности x2 + Y2 = 1 — внутри, вне или на контуре.

Решение.

Подставим координаты точки А(1; -2) в уравнение ок­ружности, получим I2 + (-2)2 = 5 > 1. Следовательно, точ­ка А лежит вне окружности.

Ответ: точка А лежит вне окружности.

Пример 6. Установить, какую линию определяет следую­

Щее уравнение: У = ʌ/ə- x2 ∙

Решение.

По определению арифметического корня четной степе­ни У > 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: У2 = 9 — — х2, или х2’+ У2 = 9 — это уравнение окружности с цент­ром в начале координат радиусом R = 3. Но по условию У > 0. Значит, данное уравнение определяет полуокруж­ность радиуса R = 3 С центром в начале координат, распо­ложенная в верхней полуплоскости.

Ответ: данное уравнение — полуокружность радиуса R = 3 с центром 0(0; 0), расположенная в верхней полу­плоскости.

Пример 7. Окружность задана уравнением в декартовых прямоугольных координатах X3 + у2 = х. Составить уравнение этой окружности в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положи­тельной полуосью Ох, а полюс — с началом координат. Решение.

Связь полярной и декартовой прямоугольной системы координат определяется формулами:

X = p cos φ,

‘.j, = psinφ; -π<f0<+π∙

Ф

О

π

4

π

2

P

1

√2

2

О

Подставим х и У из этих формул в данное уравнение, по­лучим р2 cos2 φ + р2 sin2 φ = р cos φ, или p2 (sin2 φ + cos2 φ) = = р cos φ, или p2 = р cos φ (р > 0). Окончательно, уравне­ние данной окружности в полярной системе координат будет р = cos φ. π

Функция cos φ — четная, поэтому кривая будет симмет­рична относительно полярной оси.

Получим окружность с центром C Ответ: р = cos φ .

Пример 8. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(7; 7) и В (-2; 4), если ее центр лежит на прямой 2х — У — 2 = 0.

Решение.

Уравнение окружности: (х — α)z + — Ь)2 = R3. Так как точки А и В лежат на данной окружности, то координа­ты этих точек будут удовлетворять уравнениям:

(7 A)2 +(7-B)2 = R2,

(-2 — А)2 + (4 — Ь)2 = R2F (центр окружности по усло — 2a — Ъ — 2 = 0;

Вию лежит на прямой).

Раскроем скобки:

49-14α + α2+49-14b + b2 = B2,

• 4 + 4α + α2+16-8b + b2=B2,

2а —Ъ— 2=0.

Вычтем из первого уравнения второе:

18a + 6Ь = 78, (2а — Ь = 2,

Или

(2a-b = 2 ∣3a + b = 13.

Сложим эти уравнения, получим:

5A = 15, a = 3, тогда b = 2a-2 = 2∙3-2 = 4.

Итак, А = 3, Ъ = 4. Из второго уравнения первой сист-

Мы найдем R = 5.

Искомая окружности — (х — З)2 + — 4)2 = 25. Ответ: (х — З)2 + (у — 4)2 = 25.

Эллипс

Определение 2. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых Фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое уравнение эллипса в прямоугольной си — X2 у2

Стеме координат —г + ʒ- = 1, B2 = а2 — с2.
А B

Определение 3. Величины а и & называются соответ­ственно Большой и Малой полуосями эллипса (а > Ь). Фо­кусы эллипса расположены в точках F2(-c; 0), F1(+c; 0), точки A1(-A; 0), Λ2(a; 0), B1(0; — Ь), B2(0; Ь) — Вершины эл­липса, оси координат Ox и Oy оси симметрии, а начало координат 0(0, 0) — центр симметрии эллипса.

С L B

Определение 4. Число е = — = Jl——— Х (0 ≤ Е ≤ 1) называ-

А V А

Ется Эксцентриситетом эллипса, он является мерой «сжа­тости» к оси Ox (при Е = 0 эллипс является окружностью).

MF1 + MF2 = 2A, F1F2 = 2с, А> с.

X2 У2

Уравнение касательной к эллипсу — у + тт =Ib точ — А Ь

Xx0 УУо

Ке M0(X0; Y0) имеет вид: —¾~ + ɪ = 1.

А о

Пример 9. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось а = 5 и эксцентриситет Е = 0,6. Решение.

По условию Е = — — 0,6. Следовательно, С = а • 0,6 = А

= 5 • 0,6 = 3. Но тогда квадрат малой полуоси эллипса Ьг = а2 — с2 = 25 — 9 = 16. Таким образом, искомое кано­ническое уравнение эллипса имеет вид:

Пример 10. Составить каноническое уравнение эллипса, проходяп|его через точку Λf1(2; -3) и имеющего боль­шую полуось а = 4.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса при А = 4 имеет сле­дующий вид:

16 Bi

Этому уравнению должны удовлетворять координаты 22 (-3)2

Точки ΛΓ1(2; -3). Следовательно, ɪg+-^2-‘ ɪ- Найдя

Отсюда Ь2 = 12 и подставив его в уравнение (**), получим искомое каноническое уравнение эллипса:

Х2 У I — + — = 1. 16 12

Пример 11. Составить каноническое уравнение эллипса,

Решение.

2 2 X У

Пусть — + ʒ- = 1 — искомое уравнение эллипса. Это — А о

Му уравнению должны удовлетворять координаты точек. Следовательно,

25 3

— 4α 86z, а*

Отсюда находим α2 = 10, B2 1. Итак, уравнение эллип­са имеет вид:

V2

⅛÷∕-l∙

Ответ: —— + у =1.
10

Пример 12. Составить уравнение касательной к эллипсу 2 2

— + — = Ib точке (3; 1).

12 4

Решение.

Так как уравнение касательной прямой к эллипсу

2 ^.2 Jc JC У У

— + — = 1в точке Λf1(x1; У.) имеет вид: —ɪ + ɪ— = 1, a2 Ь2 а2 Ъ2

То искомое уравнение касательной к данной кривой будет: 3x Iy .

12 4

Х У

Ответ: — + — = 1, или х + У — 4 = 0.

4 4

Пример 13. Дан эллипс 25×2 + 144г/2 = 1. Определить, ле-

( 1 \

На эллипсе, внутри или вне его.

Решение. Подставим координаты точки А в левую часть эллипса.

1 144 9

25 • 1 + 144 • —т = 25 + ~т = 25 + — > 1.

162 162 16

Ответ: вне эллипса.

Пример 14. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку М(6; 0), если фокальное рас­стояние равно 4.

Решение. Подставим координаты точки Λf(6; 0) в кано-

2 2 X У

Ническое уравнение эллипса —— + 2—= 1, получим A2 B2

— = 1, отсюда А2 == 36. Найдем B2 = а2 — с2, где с — поло — А2

Вина фокального расстояния эллипса. По условию С = 2.

Тогда B2 == 36 — 4 = 32. Итак, искомым уравнением эллип-

2 2 X У

Са будет уравнение — + = 1.

Пример 15. Доказать, что уравнение 64×2 + IOOi/2 — — 6400 = 0 является уравнением эллипса. Найти коор­динаты фокусов и фокальное расстояние.

Решение. Разделив обе части уравнения на 6400, полу — 2 2

X У гч

Чим: —— + — = 1. Это уравнение является каноническим

100 64

Уравнением эллипса. Из равенства A2C2B2 следует, что C2 = A2B2 = 100 — 64 = 36 и с = 6. Фокусы эллипса будут находиться в точках F2(-6; ɑ) и θ)∙ Фокальное рас­стояние 2с = 12.

Ответ: Fl(6; 0), F2(-6; 0), 2с = 12.

Пример 16. В эллипс X2 + 4 г/2 = 4 вписан правильный тре­угольник, одна из вершин которого совпадает с концом большой полуоси. Определить координаты двух других вершин треугольника.

Решение. Пусть одна из вершин правильного треуголь­ника совпадает с левым концом большой полуоси. Так как

2 2 X У

Каноническое уравнение эллипса имеет вид — + ɪ- = 1, 4 1

То левым концом большой полуоси будет точка A2(-2, 0). Так как вписанный треугольник равносторонний, то сто­рона, расположенная в верхней полуплоскости, будет на­клонена к положительному направлению оси Ox под уг­лом 30°. Поэтому угловой коэффициент прямой, на которой лежит сторона треугольника, будет равен

K = tg 30’ ≈ ɪ.

√3

Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом

1 1

K = —г= , проходящей через точку A2 будет: У = -τ= + 2).

√3 л/3

Найдем точки пересечения этой прямой с эллипсом.

Подставим в данное уравнение эллипса У = ɪ + 2):

√3

X2 + 4 • — (х + 2)2 = 4, или 3×2 + 4(x2 + 4х + 4) = 12, т. е.

О

(A2(-2; 0)). Таким образом, абсцисса точек пересечения 2

Сторон треугольника равна — —. Найдем соответствующие

Ну равностороннего треугольника возьмем правый конец

Большой полуоси, то получим остальные вершины треу-

( 2 4√3) ( 2 4√3λ

,M2 — •—————

2 7

Пример 17. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, про­ходит через точку M(-4; 721) и имеет эксцентриситет

Е = — . Написать уравнение эллипса.

4

Решение. Каноническое уравнение эллипса:

X2 у2 с 3

-t — __ _ ɪ, c2 _ a2 _ fj2φ ɪɪɑ условию: е == — — —, т. е.

А Ь а 4

С2 9 9 9 7

Iɪ — !б ’или c2 = 16 д2’β2 — b2 = Тб а2‘Отсюда Гб a2 = ь ‘

Так как точка М(-4; 721) принадлежит эллипсу, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса: lθ 21 τr

~2 + ~2 = ɪ’ Для нахождения величины А2 подставим в

7 7

Найдем Ьг = -a2,b2≈ — • 64 = 28.

16 16

2 2

τr X У

Итак, искомое уравнение эллипса есть — + —

64 28

2 2 X У

Ответ: — + —

64 28

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *