Показательная форма записи комплексных чисел

Представим комплексное число Г в тригонометричес­кой форме:

2 = r(cos φ + I sin φ).

По формуле Эйлера cos φ + I sin φ = e’φ. Следовательно, всякое комплексное число Z можно представить в форме, которая называется показательной:

Z = reiφ, (*)

Где Г — модуль комплексного числа, φ — аргумент комплек­сного числа.

Пример 1. Представить в показательной форме следую щие числа: а) 1; б) Г; в) -2; г) — г.

Решение.

А) 1 = cos 2⅛π + I sin 2 = e2*πi;

. π

J[ 7t i—

Б) I = cos — + I sin — = Е 2 ;

В) -2 = 2(cos π + i sin π) = 2 eπ,;

(

(

Л. 1

Г) -i = cos

Г 2J

+ i sin

.’5J

= е 2 .

Пример 2. Из формулы (*) получаем формулу для извле­чения корня л-й степени из числа z:

.φ+2⅛π .

Lire** = Vre1 n , K = 0, 1, 2, П-1.

Пример 3. Данные числа Z1 и Z2 представить в показатель­ной форме и выполнить указанные действия над ними

Z,22> ~, если Z1 = 2 л/з — 2/, Z2 = 3 — 3 7з I. Z2

Решение.

Представим в показательной форме числа Z1 и Z2. Z1 = 2Y3 -2I,X1 = 2>3,Yl = -2, R1 = Vxι + Ух ~ Vl2 + 4 = 4.

X1 2-Уз 7з

Cos φ = —- =——- = —, sin φ

Г 4 2

Cosφ2 =

Тогда Z2 = r2 e,φ2 = 6 Е 3

∕ —i —Z

Найдем Z1Z2 = 4 е 6 ∙6e 3 = 24e 2 j21a2 = 24e 2

Задания для самостоятельного решения

1. Представить в показательной форме следующие ком-

7 + 24Z

Плексные числа: а) —-— ; б) 5 — 12Z; в) -3 — 4i; г) 1 + i; 5

Д) 1 — г.

2. Данные числа Zl и Z2 представить в показательной форме и выполнить указанные над ними действия

Если Z1 = -λ∕2 + i V2 , z2 Y8 IJs ,

3. Какая линия плоскости комплексного определяется уравнением Z = e’f, -π < φ ≤ π?

4. Вычислить значения функции W = ег, где

A) z1 = 2 + г — ; б) z2 = 2πi; в) z3 = πni, л = 0, 1,2,

О

Ответы:

Tarc⅛r — Iarctg

1. а)5е 7;б)13е

J

2. 16е 4 , 2е ‘2 .

3. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *