Парабола

Определение 6. Параболой называется множество то­чек плоскости, равноудаленных от данной точки, называ­емой Фокусом, и данной прямой, называемой Директри­сой.

Каноническое уравнение параболы имеет вид Y2 ≈ 2рх, р > 0.

Определение 7. ЧислоР называется Параметром пара­болы. Начало координат 0(0; 0) — ее Вершина, а ось Ox — ось симметрии параболы.

, О I — Фокус параболы, прямая Х =

Директриса параболы.

Уравнение касательной к параболе У2 = 2рх в точке Mq(Xq∙, у0) имеет вид Yy0 = P(X + х0).

Пример 26- Дана парабола Y2 = Qx. Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.

Решение.

Сравнивая данное уравнение с каноническим уравне­нием параболы, видим, что 2P = Q,P = 3. Так как уравне­ние директрисы имеет уравнение Х = — , а фокус — ко-

Z

Ординаты — и 0, то для рассматриваемого случая Z

Получим уравнение директрисы Х =

Пример 27. Составить уравнение параболы, симметрич­ной относительно оси Ох, с вершиной — в начале коорди­нат, если длина некоторой хорды этой параболы, пер­пендикулярной оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Решение.

Так как известны длина хорды и расстояние ее от вер­шины, то, следовательно, известны координаты конца этой хорды — точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид У2 = 2рх; полагая в нем Х = 6, У = 8,

32

Находим 82 = • 6, откуда = — . Итак, уравнение ис — 3

Пример 28. Составить уравнение параболы, вершина ко­торой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена симметрично относительно оси Ox и проходит через точку А(9; 6);

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку C(l; 1).

Решение.

1) Так как точка А(9; 6) лежит на параболе Y2 = 2рх, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы, а потому имеем 62 = • 9, или = 4. Следовательно, искомое уравнение параболы имеет вид У2 = 4х.

Ответ: у2 = 4х.

2) Так как парабола симметрична относительно оси Оу, То ее уравнение — X2 = +2Py. Точка C(l; 1) лежит на дан­ной параболе, значит, координаты этой точки удовлетво­ряют уравнению параболы: 1 = +2P • 1, или = +1;

Следовательно, уравнение искомой параболы Х2 = у.

Ответ: х2 = у.

Пример 29. Установить, какие линии определяются сле­дующими уравнениями:

L)y = +2√x ,∙2)y = +√^χ .

Решение. 1) Область опреде­ления функции У = 2л/х есть Х > 0, при этом У > 0. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим У2 = 4х и У ≥ 0. Следо­вательно, это есть часть парабо­лы У2 = 4х, расположенная в первом координатном углу.

Ответ: часть параболы У2 = 4х, расположенная в первом координатном углу.

2) Область определения функции У = + √- х есть > 0,

Или Х < 0. Кроме того, √x ≥ 0, значит, У > 0. Возведем обе час­ти уравнения У = + V — JC в квад­рат, получим У2 = — х и У > 0. Следовательно, это есть часть параболы У2 = — х, расположен­ная во втором координатном углу.

Ответ: часть параболы У2 — Ром координатном углу.

Пример 30. Дана парабола У2 = Зх. Найти точки парабо­лы, расстояние от которых до фокуса равно 1. Решение.

P 3

Так как = 3, то = ~ и фокус параболы находится

4U TC

Так как касательная параллельна прямой + 2у — 3 «= О, то их угловые коэффициенты равны, т. е.

Уо Уо Уо

Отсюда находим У0‘= -4. Из уравнения параболы У2 = 8х найдем вторую координату точки касания M0(X0, Y0):

(-4)2 = 8×0; X0 = _ = 2 , Mo(2; -4).

О

Тогда уравнение касательной будет Yy0 = 4x + 4X0, или У. (-4) = 4χ + 4.2, т. е. У = — х — 2, или Х + у + 2 == 0.

Ответ: х + у + 2 = 0.

Уравнения кривых второго порядка
в смещенной системе координат

Выведем формулы параллельного переноса осей коор­динат в точку M0(x0; У0). Пусть система координат Х’О’у’ Получена из системы прямоугольных декартовых коорди­нат ХОу параллельным переносом на вектор Ra = {xθ; Y0}.

По правилу треугольника для векторов R, = {X‘; у’}, F0 = {X0; Y0} и Г = {х; у} имеем: г = RR0, или в координат­ной форме: ] , °’ — формулы перехода от коорди-

=YY0,,

Натной системы ХОу к координатной системе Х’О’у’.

Пусть эллипс имеет в качестве большой и малой осей соответственно и 26.

Л_ * c_________ 2. п = _£о. _1

∑1 b2 α2 Ь2 А2 Ь2

Очевидно, для гиперболы AC < 0. Справедливо и обрат­ное.

Уравнение параболы в смещенной системе координат.

Аналогично, получим (у — Y0)2 = 2P(X xθ).

Раскрывая скобки, получим Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = Q, Где C = 1, D = -2P, E = -2Y0, F = у 2 + 2Px0.

Очевидно, для параболы AC = 0 (так как А = 0). Спра­ведливо и обратное.

Если оси координат Ox тя. Oy поменять ролями, то по­лучим уравнение параболы с осью симметрии Oy в виде: Ax2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. И вновь, для параболы AC = 0 (так как C = O).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *