ОПТИКА

Крон и флинт, которая разлагает свет на отдельные цвета, не от­клоняя световой пучок, и ахроматическая призма, в которой от­клонение светового пучка не сопровождается дисперсией, т. е. про­исходит без разложения на цвета.

3. ЛИНЗЫ

Тонкая собирающая (положительная) линза фокусирует свет, па­дающий параллельно ее оси, в фокальной точке /, как показано на рис. 14.1. Формула линзы

1

S

Позволяет вычислить расстояние до изображения S при данном рас­стоянии до предмета s. Если и s, и s’ больше /, то изображение является действительным (т. е. расстояние s’ положительно) и пе­ревернутым, как показано на рис. 14.1, причем линейное (попереч­ное) увеличение Т дается выражением

Т = —S‘[S, (2)

Где отрицательный знак указывает на то, что изображение пере­вернуто. Если расстояние до предмета меньше фокусного расстоя­ния (s < /), то величина s’ отрицательна и превышает фокусное расстояние, так что изображение оказывается мнимым, прямым и увеличенным (рис. 14.2).

Рис. 14.2. Тонкая собирающая линза из рис. 14.1 формирует изображе­ние I предмета О (расположенного перед линзой в пределах фокусного расстояния, s < /), которое является мнимым, прямым, увеличенным и расположено на расстоянии s’ слева от линзы.

У рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно, а поскольку расстояние до предмета положительно и справедлива формула линзы, то расстояние S должно быть отрицательным и меньше S. Отрицательное значение S означает, что изображение мнимое, а из формулы (2) имеем 0 < Т < 1, и, следовательно, изображение вертикально, а увеличение меньше 1 (рис. 14.3.)

Поскольку в формулу линзы входят обратные величины, оптики считают удобным измерять расстояния в обратных метрах, т. е. в диоптриях. Линзы характеризуют оптической силой, выраженной

Рис. 14.3. Тонкая рассеивающая линза формирует изображение I пред­мета О (расположенного слева от линзы на расстоянии s от нее), которое является мнимым, прямым и расположено на расстоянии S слева (уве­личение Т < 1).

В диоптриях, т. е. величиной, обратной фокусному расстоянию в метрах.

Для тонких линз фокусное расстояние определяется формулой здесь rɪ — радиус кривизны первой поверхности линзы по отноше­нию к падающему лучу света; выпуклым поверхностям соответ­ствуют положительные значения rj∙, а вогнутым — отрицательные Tj. У типичной собирающей линзы величина rɪ положительна, ∏2 — отрицательна. У плоских поверхностей Tj равен бесконечности, а LRj = 0.

В случае комбинации тонких линз две линзы располагаются друг за другом. Формула линзы (1) применяется последовательно к каждой линзе, причем изображение, создаваемое первой линзой, выполняет роль предмета для второй.

Рассмотрим предмет, находящийся в среде с показателем прело­мления П и расположенный на расстоянии S от выпуклой поверх­ности с радиусом кривизны г, за которой показатель преломления среды П’. Изображение формируется на расстоянии S от поверх­ности, причем

Таким образом, если вторая среда оптически более плотная (n’ > п), то в ней за выпуклой поверхностью образуется действи­тельное изображение.

4. ЗЕРКАЛА

Фокусное расстояние / сферического зеркала радиусом г

F ≈ 4 (5)

И формула зеркала имеет тот же вид, что и формула (1) линзы:

→⅛=∣∙ (ð)

S SJ

Расстояния до предмета s и до изображения S положительны, если предмет и изображение расположены слева от зеркала, что соответ­ствует действительному изображению. Принято считать, что зерка­ло, повернутое своей вогнутой стороной к предмету, имеет положи­тельное фокусное расстояние и отрицательный радиус кривизны,

И в случае S > F образуется действительное перевернутое изобра­жение.

Такое зеркало фокусирует падающий на него параллельный пу­чок света (s = оо) на расстоянии S‘ = F перед зеркалом. У выпукло­го зеркала фокусное расстояние отрицательно, и в нем всегда обра­зуется мнимое прямое изображение уменьшенных размеров. Увели­чение Т обоих зеркал дается выражением

Т = —S‘/S. (7)

Фокусное расстояние плоского зеркала равно бесконечности, и из формулы (6) Следует, что S = —s’, т. е. изображение мнимое и того же размера, что и предмет.

5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ

После краткого обзора геометрической оптики рассмотрим некото­рые разделы физической оптики. Оптические эксперименты, как правило, проводятся с узкими пучками плоских волн, у которых вектор Е,

E = Eo Exp[i(k • Гωt + φ)] (8)

Обладает по возможности постоянной поляризацией, монохрома­тичностью, амплитудой и фазой φ. C разработкой более усовер­шенствованных лазеров все эти характеристики значительно улуч­шились в последние годы.

Поляризация электромагнитной волны, распространяющейся в направлении Z, зависит от относительных амплитуд и фаз составля­ющих Ex и Ey, соответственно А и В, ее электрического поля Е:

E = [Л exp(iφ2,)i + В Exp(Iφy)J}E^Kz‘>~ωt. (9)

Обычно бывает удобно положить фазу т-составляющей А равной нулю, а ^-составляющую В записать в виде Elψ, где ψ = φyφxРазность фаз между Х- и ^-составляющими вектора Е. В обозна­чении Джонса

(Ю)

Причем амплитуды нормированы на единицу:

A2 +B2 = 1. (11)

Для случая линейной поляризации φ = 0 направление вектора E Задается углом θ`.

В случае круговой поляризации A = B = \/2, фаза φ = ±π∕2, e≈π∕2 _ ʤ и мы имеем

Для случая эллиптической поляризации соответственно имеем

(14)

Примеры линейной и круговой поляризаций представлены на рис. 14.4.

~t~

0° -+ ,

+

45° ⅛

+

90°—————-

13 5® _

1 80° -—|—

+

225° ^)-

+

2 7 0° —I—

+

315°

360° —|—

Рис. 14.4.

Изменение величины и направления электрического вектора E

В течение периода для случаев линейной (слева) и круговой (справа) поляризаций.

В гл. 13 мы видели, что если неполяризованный свет падает На Диэлектрическую среду под углом, равным углу Брюстера ⅛, определяемому как

Tgiβ=n, (15)

То отраженный пучок обладает 100%-ной линейной поляризацией перпендикулярно плоскости падения. Это удобный способ получе­ния линейно поляризованного света.

6. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ

Явления интерференции и дифракции иллюстрируют волновую природу света. Обсудим каждое из них в отдельности. Два пуч­ка света, пересекая друг друга, выходят из области перекрытия Без Каких-либо изменений. Однако в области их перекрытия амплитуды электрического и магнитного полей представляют собой суперпозиции полей двух пучков; это явление называется интерференцией. Когда световая волна проходит через отвер­Стие Или вблизи края препятствия, она претерпевает некоторое изменение и это изменение влияет на ее распространение в соседних областях пространства. В этом случае говорят, что волна испытывает дифракцию.

Чаще всего проводятся два типа дифракционных экспери­ментов. В дифракции Фраунгофера источник света и экран, на котором наблюдается дифракционная картина, располага­ются на больших расстояниях от области дифракции. Для получения параллельного пучка и его фокусировки на экране могут использоваться линзы. При дифракции Френеля либо источник света, либо экран, либо и то и другое находятся на небольших расстояниях от аппертуры пучка, так что в линзах нет необходимости. Дифракцию Френеля обычно проще наблю­дать, а дифракцию Фраунгофера легче интерпретировать. К последней мы вернемся позже при рассмотрении дифракции на широкой щели. Механизм интерференции и дифракции можно проанализировать на основе принципа Гюйгенса, согласно ко­торому каждую точку волнового фронта можно рассматривать как источник новых элементарных волн. Последующие поло­жения волнового фронта можно начертить в виде огибающей небольших полусфер или в двумерном случае небольших по­луокружностей, радиусы которых располагаются вдоль фронта И Пропорциональны локальной скорости света и = с/n в данной

Рис. 14.5. Пример построения волновых фронтов Гюйгенса при дифрак­ции на многих щелях. Случаи dsiɪɪ θ = nλ показаны для П = 1 и П = 2. (Из книги: J. P. McKelvey, H. Grotch1 Physics for Science and Engineering, Harper and Row, New York, 1978, Fig. 26. 34.)

Точке. Если фронт плоской волны падает на вторую среду под некоторым углом, полусферы Гюйгенса будут иметь разные радиусы в обеих средах, чем и объясняется изгиб волнового фронта на границе раздела. Излучение волн Гюйгенса служит причиной, по которой волна попадает в область тени от препятствия и отклоняется на его краях. Такова природа ди­фракции. На рис. 14.5 приведены два примера построения волн Гюйгенса при дифракции на большом числе щелей.

7. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

Примером возникновения интерференции может служить отраже­ние света от верхней и нижней поверхностей стеклянной пластин­ки, при котором происходит наложение обоих отраженных пуч­ков света. Мы предполагаем, что свет монохроматичен и падает на пластинку под прямым углом. Интерференция возникает благо­даря разности фаз, приобретаемой одним из пучков при прохожде­нии пластинки. Кроме того, необходимо учитывать дополнитель­ный сдвиг фазы на π, который возникает, когда волна, распростра­няющаяся в среде с показателем преломления nɪ, отражается от среды с показателем преломления П2 > ∏ι и претерпевает измене­ние знака в соответствии с выражением [см. формулу (22), гл. 13]:

Eotp = (16)

Tll + П-2

Условие конструктивной интерференции (максимума интенсивно­Сти) Имеет вид

Где 2d —длина полного пути света (туда и обратно) в стеклянной пластинке, \/п — длина световой волны в стекле и множитель | учитывает изменение фазы согласно (16). Примером такой интер­ференции служат кольца Ньютона.

В интерферометре Майкельсона световой пучок расщепляется на два, каждый из которых затем отражается зеркалом и после прохождения ими соизмеримого расстояния вновь объединяются. Небольшой регулировкой положения зеркал удается изменять от­носительные длины путей двух пучков, в результате чего интерфе­ренционные полосы оказываются либо светлыми, либо темными.

8. ЯВЛЕНИЯ, ПРОИСХОДЯЩИЕ НА ОДНОЙ,

ДВУХ И БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ ЩЕЛЕЙ

Рассмотрим плоскую световую волну, падающую под прямым углом на непрозрачный экран, в котором имеются две щели Si и Si шири­ной А, расположенные на расстоянии D друг от друга. Каждая щель служит источником света и оба испускаемых пучка могут интер­ферировать друг с другом. Кроме того, при прохождении каждой щели падающий пучок будет дифрагировать. Вследствие этих двух явлений на экране, удаленном от щелей на расстояние D, возникает картина из светлых и темных полос. Чтобы объяснить наблюдае­мую картину, рассмотрим сначала случай очень узких щелей, когда α ≪ d, так что дифракцией на отдельных щелях можно пренебречь. Затем исследуем дифракцию на одной щели и, наконец, опишем об­щую картину, возникающую с учетом обоих факторов.

На рис. 14.6 схематически показан эксперимент Юнга, в кото­ром пучки от двух щелей приходят в точку Р, расположенную на экране на расстоянии Х от средней точки Po — Из рисунка видно, что разность хода от двух щелей до точки P удовлетворяет выражению sin0 = mλ∕d, (18)

А расстояние Х вдоль экрана определяется как

Tgθ = XD. (19)

Поскольку в этом эксперименте г ≪ D, то угол θ мал и, следова­тельно, sin# можно приравнять Tgθ и тогда

X = MDD (максимум), (20)

Где Т — целое число. Это условие конструктивной интерференции. Светлые полосы означают, что поля E от двух щелей находятся в

Рис. 14.6. Схематическое изображение эксперимента Юнга. Показаны две щели на расстоянии D в непрозрачном экране слева. Пучки света от каж­дой щели встречаются в точке P на экране, расположенном на расстоя­нии D справа.

Фазе и складываются. Аналогичное рассуждение приводит к вы­ражению которое является условием деструктивной интерференции и воз­никновения темных полос.

После того как мы рассмотрим интерференционные эффекты, возникающие при прохождении света через две узкие щели, уместно обратиться к дифракции на одной щели. Рассмотрим щель, доста­точно широкую для того, чтобы свет от различных ее участков мог интерферировать и создавать на экране картину максимумов и ми­нимумов. Используется параллельный пучок падающего света, как и в случае двух щелей, и экран удален от щели на большое расстоя­ние, так что выполняются условия дифракции Фраунгофера. Если угол дифракции θ таков, что разность хода от одного и другого кон­цов щели до точки наблюдения P составляет одну длину волны, то на экране возникнет равномерное распределение всех фаз, которые В Половине случаев соответствуют положительной ориентации век­тора Е, а в остальном — отрицательной ориентации вектора Е, что приводит к деструктивной интерференции и минимуму освещенно­сти. Таким образом, условие минимума в дифракции Фраунгофера иа широкой щели совпадает с условием максимума в случае интер­ференции на двух щелях, и мы имеем для m-го минимума

Х = MλD / а (минимум). (22)

Максимумы расположены при

Х = fnτ+ ɪ J DA (максимум), (23)

Где Т — целое число. Интенсивность I в максимуме зависит от ве­личины Т (см. любой учебник по оптике)

2

∕ Sin П 1

I = I0 причем β дается выражением πα sin θ

= ( т + — ) π (максимум);

Здесь использованы выражения (23) и приближение sin# ≈ tg# ≈ Х/D, как в случае интерференции на двойной щели. При θβ = 0

Расположено центральное яркое пятно интенсивностью Io, а интен­сивности последующих максимумов даются выражением

(27)

Которое описывает огибающую на рис. 14.7.

Из выражений (20) и (23) следует, что для случаев двух щелей и

Одной широкой щели расстояния между полосами на экране равны

Соответственно

∆τ = XD D двойная щель, (28)

∆τ = XDfa одна широкая щель. (29)

Картина полос в случае двух широких щелей представляет собой сочетание двух дифракционных картин, причем распределение ин­тенсивности, определяемое выражением (27), представляет собой огибающую интерференционной картины от двух более тесно рас­положенных щелей, поскольку по определению А < D. На рис. 14.7 представлен пример такой комбинированной дифракционной кар­тины для случая, когда расстояние между щелями D = 3,5α.

При большом числе находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга щелей получается дифракционная решетка. Чем боль­ше число щелей, тем уже полосы. В случае нормального падения света на решетку (г = π∕2) главный максимум отвечает углу ди­фракции θ, определяемому выражением

Dsin0 = ТХ. (30)

При падении света под любым другим углом Г уравнение дифрак­ционной решетки записывается следующим образом:

D(sin θ + sin г) — тХ. (31)

В случае пропускающей дифракционной решетки штрихи наносят­ся на плоскую стеклянную поверхность, а штрихи отражательной дифракционной решетки — на полированное зеркало.

ГЛАВА 15

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *