Однородные линейные алгебраические системы

Определенне е. Однородные линейные алгебраические системы составлены из уравнений, у которых правые ча­сти равны нулю:

ɑllɪi ÷ OI2X2 + ∙∙∙ ÷ ɑlnɪra ~ ®» α21^1 α22^2 + ∙∙∙ + O,2Nxn = ®»

AMlxl + am2x2 + + amnxn ~ ®»

αll α12 ∙∙∙ aIra α31 a32 •" a3ra azrel azre2 ∙ ∙ ∙ azrera

— матрица-столбец неизвестных,

_ V NJ

Тогда матричная форма записи системы будет:

AX = O.

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение x1 = O, x2 = О, …, xn = 0 или X = O. Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т. е. чтобы Г = Г(А) < П (при ти = П это условие означает, что det А = 0).

Определение 9. Пусть Q Е Rn множество всех реше­ний однородной системы. Всякий базис в множестве Q Состоит из П — г векторов e1, Е2, …, еп_г. Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов E1, E2,…, Еп_г называется Фундаментальной системой реше­ний.

Общее решение однородной системы имеет вид:

X = C1E1 + C2E2, + + CaREa~R, где c1, С2,…, сп_г — произ­вольные постоянные.

Базисные решения E1, E2, …, Еп_г могут быть получе­ны с помощью элементарных преобразований матрицы системы приведением ее к ступенчатому виду, если неза­висимым неизвестным придавать поочередно значение 1,
полагая остальные равными нулю. Если задана неодно­родная система AX = Ь, то ее общее решение может быть найдено как сумма общего решения соответствующей од­нородной системы AX’ = 0 и произвольного частного реше­ния неоднородной системы.

Пример 11. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений. c1 — x2 + 2×3 — X4 = 0, x1 + X2 — X3 — X4 = 0,

⅛ — X4

Л2

L0

К

2×1 +x3- 2×4 = 0, 2×9 — Зхч — 0.

Найдем фундаментальную систему ре­шений. Так как г(А) = 2, П = 4, то независимых неизвест­ных будет П — г = 2, т. е. фундаментальная система будет состоять из двух векторов.

χ3

X1

X2

Δ.

1

О

1

2

3

2

ɪ

~0~

~г~

1

О

Пример 12. Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы

Xl + 2XzX3=Q,

. Пространство решений данной системы од­номерно и вектор E1 образует его базис.

Ответ: общее решение системы есть C1E1, где E1 =

Образует базис пространства решений системы, C1 — про­извольная постоянная.

Пример 13. Найти общее решение неоднородной системы, используя фундаментальную систему решений соответ­ствующей однородной.

2×1 + x2 — x3 — x4 + x5 = 1,

Xi — X2 + X3 + X4 — 2×5 = О,

3×1 + 3×2 — 3×3 — 3×4 + 4×5 = 2, 4×1 + 5×2 — 5×3 — 5×4 + 7×5 = 3.

Решение.

Составим расширенную матрицу системы

‘2

1

-1

-1

1

F

1

— 1

1

1

-2

О

3

3

-3

-3

4

2

4

5

-5

-5

7

3

V

Ч

-1

1

1

J

-2

2

1

-1

-1

1

3

3

-3

-3

4

4

5

-5

-5

7

(1) θ (2)

1

2

3

(2) — 2(1)

(3) " 3(1)

(4) — 4(1)

О О О

О О О

3

6

9

-1

3

3

3

-2

5

IO

1 -1 О 3 о о о о

-9 -9 15

11-2

-3
-3
-3
1

-3

О О 1 -3 О

О

О

1

-3

5

5

5

-2

5

О

О

-2

5

3(1) + (2)

О] 3 -3 -3

R(A) = r(A ∣ i>) = 2, n = 5, п — г(А) = 3.

3×1 — X5 = 1,

3×2 — 3×3 — 3×4 + 5xδ = 1;

1 1 *1 З + З

1

Xo = + Xo + X Л

И ɜ » 4

Х5.

Получив общее решение неопределенной системы уравнений, найдем частное решение неоднородной систе­мы уравнений:

Х2

Xs

*4

Х5

1

1

О

О

О

3

3

Таким образом, вектор Xq =

3

1

3

О

О

О

— частное решение

Неоднородной линейной системы уравнений. Теперь надо в матрице решенной системы столбец свободных членов заменить нулевыми и найти общее решение однородной системы, а затем — фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы. Это будут векторы ^ι, E2, E3.

R<f

Ro4

1

1

2S1 =

1

, E2

О

»E3

О

1

О

О

О

О

1

Ответ: фундаментальная система решений однород­ной линейной системы уравнений есть

A ʌ

‘0>

"θʌ

1

1

1

,E2 =

О

О

1

О

О

К J

3

_5 3

О о 1

Родной линейной системы уравнений будет X = X0 + + ClEl + C2E2 + C3E3, Cl, C2, C3 произвольные действитель­ные постоянные.

Задания для самостоятельного решения

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом.

2×1 — 3×2 + x3 ^^^^^ θ,
a) <3×1 + x2 -2×3 = 2, б)
2×1 — X2 + X3 = 1;

2. Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом.

2×1 + 3×2 = 9,

4. Является система векторов линейно зависимой или нет?

Х + 2у — 4г = 1,

• 2х + У — 5а = -1,

Х-у — г = -2.

7. Исследовать систему уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

‘3

-1

2

5^

2

-1

-1

2

4

-2

-2

-3

K ɪ,

У

1

1 —

3

Л

2

3

4

If

2

1 —

2

1

Б)

2

3

4

1

12

1

1

1

3

3

4

1

2

13

1

2 —

3

1

4

1

2

3

14

У

У

1

-2

1

1

F

1

1

1

5

1

-2

1

-1

-1

; О

1

-1

1

1

1

-2

1

5

6

1

О

1

3

1

-2

1

5

5

У

8. Исследовать системы уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли и решить их.

А)

В)

Следующих систем:

Х + — 42 = 1,
а) 2х + У — бг ■- -1, б)

X — У — г = -2;

9×1 — 3×2 + 5×3 + 6×4 = 4,

В) 6×1 — 2×2 + 3×3 + 4×4 = 5,

3×1 — x2 + 3×3 + 14×4 = -8;

3×1 + 2×2 + 2×3 + 2×4 = 2,

2×1 + 3×2 + 2×3 + 5×4 = 3,

Г) {9×1 + x2 + 4×3 — 5×4 = 1, д)

2×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 = 5,

7×1 + x2 + 6×3 -х4 =7;

I

X1 + 2×2 + Зх3 — 4,

2×1 + 3×2 + 4×3 = 1, яс)

3×1 + 4×2 + 5×3 = 6;

10. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:

X1 + x2 + 2×3 — X4 = 0, a) 2×1 — x2 — x3 + X4 = О, xi — X2 — x3 + 2×4 = 0;

3×1 +x2- 8×3 + 2×4 +x5 =0,

2×1 — 2×2 — 3×3 — 7×4 + 2×5 = О, x1 + Ilx2 — 12×3 + 34×4 — 5×5 = О, x1 — 5×2 + 2×3 — 16×4 + 3×5 = О;

2×1 — 3×2 +x3 =0, x1 + x2 + X3 = О,

3×1 — 2×2 + 2х = О*

X1 + 2×2 + 4×3 — 3×4 = О,

3×1 + 5×2 + 6×3 — 4×4 = О, 4×1 + 5×2 — 2×3 + 3×4 = О, 3×1 + 8×9 + 24×4 — 19хл = 0.

11. Найти общие решения неоднородных систем, ис­пользуя фундаментальную систему решений соответству­ющих однородных:

Ответы:

3 5 29 λ

1. a) x1 = — , x2 =- —; X3 = ; 6)x1 = 3, x2 = 0; X3 = 6.

2. X1 = 3, x2 = 1.

3. x1 = 0, X2 = -1; x3 = 1, X4 = O; x5 = ~, X6 =

4. а) да; б) нет; в) нет; г) нет;

5. a) D = a1 + a2~ А3; б) D≈ — a1 + 2a2 + 3α3;

В) rf g AI ÷ 2 A2 ɛ α3∙

6. Система имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам x = 22-1,i∕ = 2 + 1, где численные значения Z задаются произвольно.

7. Система несовместна.

8. а) система несовместна; б) x1 = 2, x2 = 1; x3 = 1, x4 = 1; в) система несовместна; г) система совместна, имеет бес-

Конечное множество решений Xl = 3 — Xa, X2 = 3; X3- про­извольная постоянная; д) система совместна, имеет беско­нечное множество решений: Г = 4 — 2х — у, где Хну — про­извольные постоянные.

/91 о ʌ

9. а)

В)

-1 + 2c1
1 + Cj

—13 + 3cj
-7
О

;б)

— + ‘ ‘ ‘ Cl —— Со

11 11 1 11 2

10 5 1

11 11 1 11 2
Cl

Ч

( 6 8

— + — C1
7 7 1

1 13

7

15

( 14+ c1 4I

‘-4 + 3c1 -2√

X

3 — 2c1 + Cn

— 9 — 2c1∙

; ж)

Cl

Cl

Со

< ` z J

θ)

( 1

13 1

— — — j-

— C1

3

3 1

2 _

5

; Д)

3

-C1

3 1

CI

Одного вектора E1 =

( 41 ʌ 8 21 ^ 8 3

^ 8

1

, а общее решение системы

Есть C1E1, где C1 — произвольная постоянная; б) фундаментальная система решений —

’19

F Г

8

8

2

_7

25

_1

8

»E2

8

»E3

2

1

О

О

О

1

О

I θ )

К

1 ,

E1

< 8->

‘-7’

-6

5

1

» E2

О

О

1

V У

К У

В) CiEi + c2E2, Ei

‘2’

1

»E2

О

О

< У

1

< У

C2, C3 произвольные постоянные.

Г) CiEi, Ei =

£

Го>

( θ

‘Г

3

1

1

3

1

5

2

2

6

О

^i =

1

> E2

О

»E3

6

О

О

1

О

О

О

О

О

К У

< У

1

\ У

< У

‘3»

X0 =

Б) Xθ + CiE1 + c2E2 + c3E3 + ciE

X0 =

‘ I

3

1

1

О

F о ʌ

О

3

О

1

О

О

>El =

О

» E 2 ~

О

^4≈

-1

О

О

О

О

О

О

О

1

О

V 7

< √

J

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *