ОДНОМЕРНЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

1. ВВЕДЕНИЕ

Одномерные системы допускают простое математическое описание и их изучение позволяет осмыслить основные принципы квантовой механики, не увязая в деталях. На примере этих систем удается проиллюстрировать распространение и отражение волн, условия на границе раздела сред, удержание частиц в потенциальной яме, воз­никновение связанных и свободных состояний и т. д. Это помогает прояснить многие принципиальные положения квантовой теории.

2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Уравнение Шредингера [гл. 19, уравнение (1)]

κψ = IhItt (ɪ)

При гармонической зависимости от времени exp[-IEt∕ħ] [гл. 19, уравнение (6)] приводит к уравнению

= . (2)

Если в гамильтониан TL входят кинетическая энергия и одномерный потенциал V (т), то мы получаем

-^+vw’4=∙e’4′ (3> Это уравнение можно представить в более удобной форме ≠" + [ε — U(X)]ψ 0,

Если ввести следующие определения приведенного потенциала U (rzr) и приведенной кинетической энергии ε:

R,

E = -—ε.

В некоторых задачах встречается потенциал, постоянный в преде­лах определенной области пространства, например, в виде прямо­угольной потенциальной ямы, а в некоторых случаях потенциал яв­но зависит от координат, как в случае гармонического осциллятора ∣fcrzr2. Основное внимание в данной главе будет уделяться решению уравнения Шредингера (4) для различных типов потенциала V(rzr). Рассмотрим решения, отвечающие как стоячим, так и бегущим вол­нам, при условии, что полная энергия E превышает потенциальную энергию t∕(rc).

≠(Rr) = Aeikx^Iu,T ,+Be~Ikx~^Iωt ψ(X) = Csin(Arrzr) +Ccos(Arrc), -≠(Ar) = Fsin(Fcre + ⅛?)

Решение в виде бегущей волны (6) отвечает ситуации, когда ча­стица не локализована в ограниченной области пространства и мо­жет двигаться вправо или влево; решения в виде стоячей волны (7) или (8) соответствуют случаю, когда частица не может выхо­дить за пределы ограниченной области пространства. Решения (7) и (8) эквивалентны друг другу при CFcosφ и P = Fsiny?. Ко­эффициенты А, В, C, D, F и угол φ определяются из условия, что волновая функция и ее первая производная (или, эквивалентно, ло­гарифмическая производная ψ‘∕ψ волновой функции) непрерывны в точках Х, где потенциал изменяется скачком.

Если полная энергия E меньше потенциальной энергии частицы, то возникают экспоненциально растущие или затухающие решения ≠(rzr) = Aeκx + Be~κx (9)

Или, эквивалентно,

ψ(X) = csh(xrzr) + D ch(xrzr). (10)

Такие решения описывают проникновение частицы в классически недоступную область.

Если потенциал U(X) = 0, то частица свободна, и решением уравнения (6) служит плоская волна, распространяющаяся впра­во (11) или влево (12):

≠(x) = efc-iωt, (11)

≠(x) = (12)

Полная энергия частицы в этом случае совпадает с кинетической энергией

Е 2т ’

Причем импульс Р Частицы определяется как Р = Ту = fik,

Где К —Волновое число, величина которого К = 2π∕λ.

3. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ СТЕНКИ

Рассмотрим ситуацию, в которой приведенный потенциал имеет по­ложительное значение Ui в области Х < 0 и положительное значе­ние ∏2 в области Х > 0, причем Ui < U2, как показано на рис. 20.1. При ε < Ui не существует решений, имеющих физический смысл, поскольку кинетическая энергия не может быть отрицательной. Та­ким образом, можно рассмотреть только два случая, когда при­веденная кинетическая энергия ε имеет промежуточное значение между Ui и U2 и когда ε больше U%. Первый случай рассматрива­ется в данном разделе, а второй — в следующем.

ε для Kl < К

При Ui < ε < U2 волновая функция в области Х < 0 представ­ляет собой суперпозицию падающей волны Ietkx и отраженной вол­ны Re~Tkx, а в классически недоступной области справа волновая функция экспоненциально затухает как De~κx:

ψ(X) = Ieikx + Re~Ikx х < 0, (15а)

≠(x) = De~κx х > 0. (156)

Из условия непрерывности ≠ и ≠’ в точке Х = 0 находим I+ R = D,

Ik(I — R) = -κD.

Выразив коэффициенты R и D через I, получим

R=⅛±⅛

ιk — κ

Iik

Ik — κ

Соотношение (17) показывает, что отраженная волна имеет ту же амплитуду I, что и падающая волна, но другую фазу.

Для определения длины волны в области слева от потенциаль­ной стенки подставим волновую функцию (15а) в уравнение Шре­дингера (4), что дает

K2εUi = (2π∕λ)2, (19)

Отсюда для длины волны слева от стенки получим

A=_____ ≥_____

(ɛ-[/ɪ)ɪ/2.

Таким образом, в области потенциала Ui длина волны возрастает. Для определения коэффициента затухания κ в области Х > 0

Поставим волновую функцию (156) в уравнение (4):

X=(t∕2-ε)ιz2, (21)

Причем величина 1/х представляет собой расстояние, на котором амплитуда в классически недоступной области спадает в е раз по сравнению со значением в точке Х = 0. Из соотношения (18) вид­но, что при κ к амплитуда D волновой функции быстро спада­ет по величине в классически недоступной области. Напротив, при
κ ≪ К амплитуда волновой функции спадает очень медленно, оста­ваясь большой по величине далеко вглубь классически недоступной области. Оба случая иллюстрируются на рис. 20.2.

4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ

НАД ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ СТЕНКОЙ

Рассмотрим теперь ситуацию, когда полная энергия частицы боль­ше обоих потенциалов, т. е. Ui < U2 < ε. Как и прежде, слева от стенки наряду с падающей волной будет существовать отраженная волна с коэффициентом отражения RΓ, справа же —прошедшая волна с коэффициентом прохождения Т/Г.

ψ(x) = Ieikix + Re-ik’x

Х < 0,

(22а)

ψ(x) = Teik2x

Х > 0.

(226)

Волновые числа находятся из (19):

Fcι = (ɛ — ¼)ιz2 К2 =

— U2)1/2,

(23)

Причем поскольку в рассматриваемом случае Ui < U2, то kɪ > ⅛2 и ʌɪ < Аг — Из условия непрерывности ψ и ψ в точке Х = 0 I+ R = T.

Ikι(I

Выразив коэффициенты R и L R =

T =

Прохождение частицы над иллюстрируется на рис. 20.2,В. Прошедшей волны меньше, падающей волны, поскольку часть энергии уносится отраженной волной.

Квадраты коэффициента I, R и T определяют плотность ве­роятности, отвечающей каждой из волн; при умножении на соот­ветствующие значения скоростей волн получается соотношение для баланса потока вероятности

ViI2 — ViR2 = V2T2,

Рис. 20.2. Схематическое изображение волновых функций в окрестности потенциальной стенки на рис. 20.1 при энергиях частицы ε > Ui Реше­ния уравнения Шредингера представляют собой волну, распространяю­щуюся влево от стенки (х < 0), а вправо от стенки (х > 0) —затуха­ющую экспоненту e^κx [(а) и (б)}, либо волну sin Кх. Эти случаи отве­чают значениям полной энергии ε, близким к Ui (а), значениям полной энергии ε в интервале между Ui и U2 (б) и значениям ε больше U2 (в), Соответственно.

Что приводит к соотношению

I2 = R2 + (⅛2∕⅛i)T2, (27)

Поскольку величина скорости дается выражением Ui = PiM = ħKiM,

Вытекающим из соотношения (14).

5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

Рассмотрим ситуацию, в которой волна падает на барьер высотой Uq > 0 слева от области с Ui = 0, и, проходя через барьер, уходит вправо в область С U? = 0. Барьер изображен на рис. 20.3 и рас­положен в интервале — ∣L < Х < +∣L. Рассмотрим два случая, в которых полная энергия частицы будет меньше и больше высоты барьера Uo В первом случае возникают экспоненциально затухаю­щие решения внутри барьера, а во втором — решения, отвечающие бегущей над барьером волне. В обоих случаях существует волна, проходящая над или под барьером и уходящая вправо в область с нулевым потенциалом. Волновые функции слева и справа от барье­ра имеют вид

Где

κ=(U0-ε)1/2, (33)

Fc = (ε-U0)1/2. (34)

Волновые функции для случаев ε < Uq и ε > Uq изображены на рис. 20.4. Требование непрерывности логарифмической производ­ной волновой функции позволяет определить коэффициент прохож­дения Т. (A. Messiah, Mechanique Quantique, Dunod, Paris, 1964, vol. 1, р. 82)

ε(Uo — ε)

ε(U0 — ε) + ∣U02 sh2 κL ____ ε(εU0)

ε(εU0). + ∣Uθ sin2 KL

На рис. 20.5 показана зависимость T2 от отношения εU0 при усло­вии, что UoL = 40. Осцилляции возникают при ε > U0, поскольку T2 = 1 всякий раз, когда KL = при целом П [см. (36)]. Пунк­тирная линия отвечает выражению (36), в котором sinfcL = 1; она показывает положение локальных минимумов коэффициента про-

Рис. 20.5. Коэффициент прохождения T2 через потенциальный барьер, изображенный на рис. 20.3 в функции отношения энергий ε>- Мак­симального значения T2 = 1 коэффициент прохождения достигает при KL = . Пунктирная кривая проведена через последовательные мини­мумы кривой T(ε), расположенные в точках KL = (п + |) 7Г.(Из книги: A. Messiah, Mechanique Quantique, Dunod, Paris, 1964, vol. 1, р. 82.)

Хождения T и отвечает его реальным значениям только в этих ми­нимумах.

6. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА

Рассмотрим прямоугольную потенциальную яму шириной А и глу­биной Vo- За начало отсчета энергии удобно выбрать дно ямы, а за начало отсчета координат — ее центр, как показано на рис. 20.6. Нас интересуют решения с энергиями E < Vq, расположенными ниже верхнего края ямы; эти решения имеют вид стоячих волн внутри ямы и затухающих экспонент вне ее. Решение данной задачи впол­не аналогично решению задачи о потенциальном барьере в разд. 4 гл. 19 с той, однако, разницей, что теперь за начало отсчета энергии

Выбрано дно. В частности, в данном случае

ιf)(X) = Aeycx х < — |а, (37а)

ψ(X) = В Sin(Kx) + Ccσs(Kx) — ∣α < Х < + |а, (376)

ψ(X) = De~κx + -а < х,, (37в)

К = (е)1/2, (38а)

κ=(V0-ε)1/2, (386)

Где Uq и ε выражены через V0 и E [соотношение (5)]. Для реше­ния внутри ямы вида ψ = sin(fca;) граничные условия приводят к выражению

Fcctg (∣fcα) = — κ отрицательная четность, (39а) а для решений вида ψ = cos(fcrc) — к условию

Fctg(∣fcα)=κ положительная четность. (396)

В общем случае эти трансцендентные уравнения нельзя решить аналитически.

Чтобы найти решение графическим методом, введем угол £

£ = jαfc = jα(ε)1∕21 (40)

Рис. 20.6. Одномерная потенциальная яма; уровни энергии En в яме ко­нечной глубины (показаны сплошными линиями, значения энергий при­ведены справа) лежат ниже аналогичных уровней в яме с бесконечно высокими стенками (показаны пунктиром, значения энергий приведены слева).

Что позволяет с помощью (386) получить

1 Г/1 \ 11/2

-ах = U0 — £2J (41)

И привести оба уравнения к виду

Г 2 т 1/2

—£ctg£= (jα) Uo — £2 Отрицательная четность, (42а)

Г 2 т 1/2

ε tgε = (ja) Uq — £2 Положительная четность. (426)

Решения £ соответствуют точкам пересечения графиков функций r(£) = —£ ctg£ отрицательная четность, (43а)

P(£)=£tg£ положительная четность (436)

С графиком функции

Д(£) = [(⅜a)2 ZT0 — £2]1/2; (44)

Рис. 20.7 иллюстрирует графический метод. Соотношение (44), пе­реписанное в форме

Д2+£2= (ia)2[∕0, (45)

Представляет собой уравнение окружности с радиусом

⅛a√Co (46)

В плоскости Qε, как показано на рис. 20.7. Чтобы найти зна­чение энергии, величину ε в (5) следует выразить через найденное решение £ уравнения (42) с помощью соотношения (40)

E=⅛<2f>2∙ <47>

Из рис. 20.7 видно, что 1) в одномерной яме всегда существует по крайней мере один уровень энергии; 2) низший уровень энергии отвечает четной волновой функции; 3) четные и нечетные состоя­ния чередуются по энергии; 4) при заданном значении величины Uod2 существует только конечное число четных и нечетных состо­яний. Число энергетических уровней увеличивается с ростом Uod2, Поскольку из соотношения (47) видно, что при увеличении шири­ны ямы А расстояние между соседними уровнями уменьшается, а согласно (46) и рис. 20.7 с увеличением Uo растет диапазон разре­шенных значений энергии. Таким образом, безразмерный параметр Uod2 можно рассматривать в качестве характеристики ямы. При

Рис. 20.7. Графики функций (43а) и (436) для одномерной прямоугольной потенциальной ямы. Величины Е, определяющие уровни энергии в соот­ношении (47), находятся по точкам пересечения графика функции (43) с окружностями Р(£), определяемыми уравнением (45). Показаны два корня, отвечающие положительной четности волновой функции, и один корень г (Г), отвечающий отрицательной четности для окружности <∕(f) радиуса ∣α∙∖∕Γo = 4. (Из книги: R. М. Eisberg. Fundamentals of Modern Physics, Wiley, New York, 1961, Figs. 8-15 and 8-16.)

Радиусе окружности (45) ∣α∙√T7o < ∣7r б яме существует только од­но связанное состояние; второе связанное состояние возникает при радиусе AyU0 = ∣π, и соотношение (44) принимает вид

9(£) = [(⅛7r)2 -£2] 7 • (48)

Как видно из (5а), второй уровень в яме возникает при

ħ2π

Ima1

7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА

C БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ

Для решения задачи о потенциальной яме с бесконечно высоки­ми стенками вновь выберем за начало отсчета энергии дно ямы, так что потенциал вне ямы будет принимать бесконечно большие значения. Данная задача аналогична задаче о трехмерной потен­циальной яме с бесконечно высокими стенками, рассмотренной в разд. 5 гл. 19. Поскольку значение κ в соотношениях (37а) и (376) становится бесконечно большим, волновая функция обращается в нуль за пределами ямы. Решение по-прежнему дается выражением (376), однако граничные условия теперь будут иметь вид

Таким образом, существует два типа решений — четные и нечетные (рис. 20.8). Обоим типам волновых функций отвечает одно и то же выражение для энергии, но различные значения П. Поскольку по­тенциальная энергия в яме равна нулю, энергия частицы является чисто кинетической и определяется равенством (13) при условии (50)

-2ħ2N2

Можно определить так называемую энергию основного состояния E0 наименьшую из возможных энергий частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками; эта энергия отвечает (п — 1):

Ы _ π2ft2 θ CIma1

Рис. 20.8. Волновые функции, отвечающие первым четырем уровням энергии (п — 1,2,3,4) в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Энергии первых пяти уровней, выраженные через энергию основного состояния E0, таковы:

Ei = Eo, E2 = 4Ео, Ез 9Eq, Ei = 16Eo, E5 = 25Ец. нечетн. четн. нечетн. четн. нечетн. ‘ ‘

Четность состояний чередуется, как и в случае потенциальной ямы со стенками конечной высоты. Приведенные значения энергии мож­Но Найти с помощью рис. 20.7, если считать, что окружность имеет бесконечно большой радиус. Из рис. 20.6 и 20.7 видно также, что уровни энергии в яме конечной глубины всегда лежат ниже анало­гичных уровней в яме с бесконечно высокими стенками.

ħ2 π2 ,

—Vlψ ‘ 2т

ГЛАВА 21

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *