ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

227. Функции комплексного переменного. В гл. III мы опре­делили комплексное переменное’)

Z = х 4- Iy

называли отношениегде p (z) и q (z) — многочлены, „дробноИ рассмотрели ряд простых свойств некоторых классов выражений, содержащих Z, как, например, многочленов P (z). Естественно назы­вать такие выражения Функциями, от Z, и мы действительно уже P (Z) Рациональной функцией". Однако мы еще не дали общего опреде­ления того, что называется функцией от Z.

Естественно было бы определить функцию от Z таким же обра­зом, как мы определяли функцию от действительного переменного х, т. е. говорить, что Z является функцией от Z, если существует некоторое соотношение между Z и Z, в силу которого то или иное значение, или те или иные значения Z соответствуют некото­рым или всем значениям Z. Но более внимательное рассмотрение этого определения показывает, что оно непригодно. Действительно, если Z дано, то даны Х и У, и наоборот, если Х и У даны, то дано и Z задать значение Z это то же самое, что задать пару значе­ний переменных Х и У. Таким образом, по предлагаемому определе­нию, „функция от Z является просто Комплексно-значной функцией

/(*> Y} + [96]S(X, У)

От двух действительных переменных х и у. Например,

Х — Iy, ху, Z=-∕Xi-[-Yi, am г ɪ arc tg∙ ɪ

Являются такими „функциями от Z“. Это определение, хотя оно и является вполне допустимым, бесполезно, так как оно фактически не определяет никакого нового понятия.

Поэтому представляется более удобным применять выражение „функция комплексного переменного Z в более узком смысле, или, другими словами, выбрать из общего класса комплексно-значных функций от двух действительных переменных Х и У некоторый спе­циальный класс и применять это выражение только к функциям этого класса. Разъяснение того, как этот специальный класс определяется, и каковы характеристические свойства функций, входящих в него, вывело бы нас далеко за рамки настоящей книги. Поэтому мы не будем приводить здесь никаких общих определений, а ограничимся только изучением некоторых специальных функций, каждая из кото­рых будет определена непосредственно.

228. Мы уже определили Многочлены относительно Z (см. п. 39), Дробно-рациональные функции от Z (см. п. 46) и Корни из Z (см. п. 47). Не представляет никакого труда распространить на комплексное переменное определения Алгебраических функций, явных и неявных, которые мы сформулировали в случае действительного переменного Х (см. п. 26—27). Во всех этих случаях мы будем называть комплек­сное число Z аргументом рассматриваемой функции F{Z). Задача, которую мы ставим себе в этой главе, состоит в том, чтобы дать определения и установить основные свойства логарифмической, пока­зательной и тригонометрических или круговых функций от Z. Эти функции были до сих пор определены только для действительных значений Z, а логарифмическая функция даже только для положи­тельных значений.

Начнем с логарифмической функции. Естественно попытаться определить ее с помощью некоторого обобщения определения

X

Iux = J -у (х>0);

1

Для этого необходимо вкратце рассмотреть некоторые обобщения понятия интеграла.

229. Действительные и комплексные криволинейные интегралы. Пусть AB является jιyroft C некоторой кривой, определенной ура­внениями

X = Cf(T), Y = 6(T),

Где φ и ψ— функции от T, имеющие непрерывные производные φ’ и ψ’. Предположим, что когда T изменяется от Ta до Il, точка (х, у) Движется вдоль кривой в одном и том же направлении от А к В.

Тогда мы определяем Криволинейный интеграл

(вʃU (*> У) Dx + H (х, Y)Dy}, с

Где G и H—-непрерывные функции от Х и У, как обычный опреде­ленный интеграл, получаемый-в результате формальных подстановок x = φ(O> V-⅛(T), т. е. как

H

ʃ K(?. Φ)φ’ + H (φ, Ψ) ψ,} Dt.

Дугу C мы называем Путем интегрирования.

Допустим теперь, что

Z = X÷Z>=φ(O + zψ(∕)

И что Z описывает дугу C на диаграмме Аргана, когда T изменяется от £„ до Tl. Допустим, далее, что

F(Z)≈ULriv

с

является многочленом относительно Z или дробно-рациональной функцией от Z. Тогда мы определяем

(2)

Как

И — J — ) {Dx — J — zzfy), С

Что, в свою очередь, определяется как

ʃ {UdxVdy) — J — z ʃ (Ydχ~Udy).

C C

230. Определение Ln ζ. Пусть ζ = ξ-J-zη—любое комплексное число, отличное от нуля. Мы определяем Ln ζ, общий логарифм (нату­ральный) от ζ, равенством

L∏C = ⅛,

C z

Где C кривая, соединяющая точку 1 с точкой ζ и не проходящая через начало координат. Так (фиг. 50), пути (а), (Ь), (с) являются такими путями, которые имеются в виду в определении. Зна­чение Ln ζ, таким образом, определено, если выбран путь интегриро­вания. Но пока неясно, как значение Ln ζ зависит от выбранного пути. Допустим, например, что ζ действительно и положительно, скажем равно ξ. Тогда одним из возможных путей интегрирования является •отрезок прямой между 1 и ξ, который мы можем задать уравнениями χ =√, у = 0. В этом случае, при этом частном выборе пути,

Е

1

Так что LnJ равен Jnis логарифму натуральному от ξ, определенному в предыдущей главе. Таким образом, одним из значе­ний Ln ξ, когда ξ дейст­вительно и положительно, во всяком случае являет­ся In ξ. Нов этом случае, как и в общем случае, путь интегрирования мо­жет быть выдран беско­нечным числом различ­ных способов. Ничто не указывает на то, что

Каждое значение Ln ξ равно In £, и мы увидим, что это в действи­тельности не имеет места. Поэтому мы и применяем обозначение Ln ζ, Ln ξ вместо In ζ, In ξ[97]). Функция Ln ξ может оказаться много­значной, причем In ξ может быть лишь одним из ее значений. В общем случае, по крайней мере в свете того, что мы пока знаем, могут представиться три возможности, а именно:

(1) мы можем всегда получать одно и то же значение Ln ζ, неза­висимо от того пути, по которому мы интегрируем от 1 до С,

(2) мы можем получать различные значения для различных путей,

(3) мы можем иметь некоторое число различных значений, каж­дому из которых” соответствует целый класс путей.

Из нашего определения никак не следует, какой из этих трех случаев действительно имеет место.

231. Значения Ln ζ. Пусть р и φ будут полярными координатами точки Z = ζ, так что

ζ = р (cos φ — j — I sin φ).

Предположим пока, что —π<^φ<^π, тогда как р может иметь лю­бое положительное значение. Таким образом, ζ может иметь любое значение, отличное от нуля и действительного отрицательного числа.

на пути l являются функциями также являются функциями от t.*0Координаты (х, у) любой точки от T и полярные координаты гиб Далее,

Lnζ= f⅛=

J Г J Х + Zy C C

В силу определений п. 229. Но x = rcosθ, y = rsinθ, и

⅛+zf=(cθsθS-rsinθS)+z'(siπ6S+rcosθS)=

= (cosθ + isinθ) (J + ⅛θ),

Так что

T ti

Ln C = ʃɪ I ʃ J D-t^ [In г] — К [0],

Где [In г] означает разность значений In г в точках, соответствую^ щих T = Ti и TTQ, и [0] имеет аналогичный смысл.

Ясно, что

[In Г] — Inp — In 1 =Inp,

Но значение [0] требует более внимательного рассмотрения. Предпо­ложим сперва, что путь интегрирования является прямолинейным отрезком от 1 до С. Исходным значением 0 является амплитуда 1

или, точнее, одна из амплитуд 1, т. е. 2 Ar, где А — любое целое

Число. Допустим, что исходное значение 0 равно 2Aπ. Из фиг. 51 ясно, что с изменением T значение 0 возрастает от 2Aπ до 2 Aπ-[-φ.. Таким образом,

[0] = (2 — j — ψ) — 2 Aπ = φ

И, следовательно, когда путем интегрирования является прямолиней­ный отрезок,

Ln ζ = In р—}— z<φ.

Это частное значение Ln C мы будем называть Главны# значением. Когда C— действительное положительное число, C = ρ и φ = 0, так что главным значением Ln ζ является обычный натуральный логарифм от C, InC. Поэтому целесообразно и в общем случае обозначать, главное значение LnC через InC. Таким образом,

In C = Jnp-t-z®,

И главное значение характеризуется тем, что его мнимая часть за­ключена между —~ и π.

Далее рассмотрим любой путь, обладающий тем свойством, что область, заключенная между ним и прямолинейным отрезком от 1 до ζ, не содержит начала координат; два таких пути показаны на фиг. 52. Легко видеть, что вдоль такого пути [θ] попрежнему равно φ. Например, вдоль пути, показанного на фигуре непрерывной линией, б, в исходной точке равное 2Aπ, сначала убывает до зна­чения

2Aπ- ХОР,

А затем возрастает опять, принимая вновь значение 2Aπ в точке Q, до 2Aπ-j-ψ. В случае пути, обозначенного пунктиром, прямолиней­ный отрезок и кривая ограничивают две области, ни одна из кото­рых не содержит начала координат; этот случай, хотя и несколько «ложнее, но вполне аналогичен предыдущему. Таким образом, Если, путь интегрирования таков, что замкнутая кривая, образованная им и прямолинейным отрезком от 1 До ζ, не содержит βVtnρu себя начало координат, то

Ln ζ = In ζ = In р — ф — z’φ.

C другой стороны, очень легко построить пути интегрирования, для которых [θ] не равно φ. Рассмот­рим, например, кривую, изображен­ную на фиг. 53 непрерывной ли­нией. Если исходное значение θ равно 2Aπ, то оно увеличится на 2π, когда мы придем в точку Р,

И на 4π, когда мы придем в точку Q; конечным значением S будет 2 Aπ -)- 4π — j — φ, так что [δ] = 4π — f — φ и

Ln ζ — In р -}- I (4π — j — φ).

В этом случае путь интегрирования дважды обходит начало ко­ординат в положительном направлении. Если бы мы выбрали путь, обходящий K раз начало координат, то аналогично нашли бы, что [θ] =. 2 Атс -|- φ и

Ln ζ — In p ʌ z (2 Aπ ( φ).

Здесь А положительно. Если путь обходит начало координат в отри­цательном направлении (как, например, путь, изображенный на фиг. 53 пунктирной линией), то мы получили бы аналогичный ряд значений, для которых K отрицательно. Так как jζ∣ = ρ и углы 2Aπ-∣-φ яв­ляются разными значениями am ζ, то мы заключаем, что каждое зна­чение In ∣ζ∣-{-iamζ является значением Lnζ; из предшествующего рассмотрения ясно также, что любое значение Ln ζ имеет этот вид.

Таким образом, MfJ приходим к следующему заключению: Общее значение Ln ζ Равно

In I ζ I-L I am ζ — In р — j — I (2feπ — j — φ),

Где K— любое целое число. Значение k определяется путем ин­тегрирования. Если этот путь является прямолинейным отрез­ком, то &’=0 и

Ln ζ = In ζ = In р -{- I а.

Мы обозначили через ζ аргумент функции Ln ζ, и через ξ, η и ρ, φ — координаты точки ζ. Обозначения Z, х, у, г, Θ применялись нами для произвольной точки пути интегрирования и ее координат. Однако теперь нет оснований отказываться от более естественных обозначений, в которых Z является аргументом функции Ln Z, и в дальнейшем мы возвращаемся к этим обозначениям.

Примеры XCIV. 1. В предыдущих рассмотрениях мы предполагали, что — π < θ < π, так что мы исключили Действительные отрицательные Значения z. В этом случае прямолинейный отрезок от 1 до Z проходит через начало координат, и поэтому недопустим как путь интегрирования. И —■ г. и Г. являются значениями am Z,A θ равно одному из них; кроме того, Г = — г. Значениями Ln z являются попрежнему значения in ∣ z ∣-J-Zam г, а именно,

Ln(-z) + (2⅛ + l)πi, где K целое число. Значения

In (— Z)-ISτ.ι и In (— г) — Г. I

Соответствуют путям от 1 до г, лежащим полностью над и полностью под действительной осью. Каждое из них может быть взято в качестве главного значения Lnz, смотря по тому, какое представляется более удобным. Мы выберем в качестве главного значения In(-z) — j-π∣, что соответствует первому пути.

2. Действительные и мнимые части любого значения Ln z являются не­прерывными функциями от Х и У, если только Х и У не равны одновре­менно нулю.

3. Функциональное уравнение для Ln z. Функция Ln z удовлетворяет уравнению

Lnz1za = Ln Z1 — j — Ln Z2 (1)

В том смысле, что каждое значение одной из его частей является одним из значений другой части. Это сразу следует из результата настоящего пункта, «сли_мы положим

Z1 = R1 (cos O1 — j-1 sin θ1), zs = Ri (cos O2 + I sin θ2).

Однако уравнение

In z1z2 = In z1 -{- in z2 (2)

Яе всегда выполняется. Если, например,

ɪ / ____________ ʌ 2 2

Z1 = Z2= i L+!√^3 J = COS ɪ Т:-j-I sin — g-π,

То In Z1 = In Z2 = у ~I, и Inzi-J-Inz8= ɪiɪf, что является одним из зна­чений Ln ZiZaj но не является главным значением. Действительно,

, 2 .

In ZiZ8 = — — g-πι.

Уравнения такого типа как (1), в которых каждое значение одной и» частей является одним из значений другой, мы будем называть Полнима Или Полностью верными.

4. Уравнение Ln Zm = M Lnz, где Т— целое число, не полностью верно, так как хотя каждое значение правой части является одним нз значений, левой части, но обратное неверно.

5. Уравнение Ln — =—Lnz полностью верно. Верно также и то,

Что In ɪ = — Inz, за исключением того случая, когда z —действительное отри­цательное число.

6. Уравнение

In = In (г — α) — In (z — ⅛)

Верно, если z лежит вне области, ограниченной отрезком прямой, соединяю­щим точки ZA и ZB, и полупрямыми, исходящими из этих точек парал­лельно действительной оси в отрицательном направлении.

7. Уравнение верно, если z лежит вне треугольника с вершинами в точках 0, А, Ь.

in- '=in 1 — in 1

8. Нарисовать график функции Im (Ln Х) от действительного перемен­ного Х.

[График состоит из положительных полупрямых У= 2⅛π и отрицатель­ных полупрямых У = (2А — J — 1) π.]

9. Функция F (х) от действительного переменного Х, определенная ра­венством

Z∕(x) = pπ-J-(9-p)ɪm (InХ),

Равна Р, когда Х положительно, и равна Q, когда Х отрицательно.

10. Функция F (х), определенная равенством

π∕(x)=pπ + ⅛-р) Jm {ln{x- 1) } + (/■ — ?)ɪm (Inx),

Равна Р, когда х>1, равна Q, когда 0<x<l, и равна г, когда х<0.

11. Для каких значений z 1° Inz и 2° любое значение Lnz (а) действи­тельно и (Ь) чисто мнимо?

12. Если z = x-J-Zy, то

Ln Ln z = In R -J — Z (θ — J — 2⅛⅛), где

^ = (inr)s-J-(θ-J-2⅛π)s

И θ является наименьшим положительным углом, определенным уравне­ниями

„ α Inr. „ θ-)-2⅛π

COS θ = , Sin θ = L■■——— .

V (In г)’ — J — (О — J- 2ftπ)a Y (In r)s — J — (θ — J — 2⅛π)a

Наметить бесконечное множество значений Ln Ln (1-{-[98] 3), и указать,

Какие из них являются значениями In Ln (1 ф — I у 3) и какие — значения­ми Ln In (1 -∣- I У 3).

232. Показательная функция. В Гл. IX мы определили функ­цию Ey от действительного переменного У как функцию, обратную функции у —Inx. Естественно, что мы должны теперь определить функцию комплексного переменного Z, которая является обратной функции LnZ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если какое-либо значение Ln 2 Равно ζ, То мы называем Z экспоненциалом от ζ*) И пишем

Г —expζ.

Таким образом, Z exp ζ, если ζ = Ln Z. Мы знаем, что любому данному значению Z соответствует бесконечно много различных значений ζ. На первый взгляд нельзя сразу отбросить возможность того, что каждому данному значению ζ соответствует бесконечно много значений Z, или, иначе говоря, что exp ζ является бесконечно­значной функцией от ζ. Однако, как видно из следующей теоремы, это не так.

ТЕОРЕМА. Показательная функция exp ζ Является однозначной функцией от ζ.

Действительно, пусть

Z∖ — О (∞s θɪ + ‘l sɪn θι), 2a — ra (cos θ8 -ф — I sin O2) И Оба эти числа являются значениями exp ζ. Тогда

ζ = Ln 21 = Ln Zi

И, Следовательно,

In Rl ф — I (θ1 -ф- 2∕raπ) = 1 n ra —j— I (62 — ф — 2лл), где Т и П — целые числа. Отсюда следует, что

In r1 = In Ri, O1 -ф — 2∕nπ = O2 -ф- 2∕zπ,

Т. е. Rl=Ri и разность O1 — O2 кратна 2π. Это означает, что Z1Zi.

СЛЕДСТВИЕ. Если ζ — действительное число, то Exp ζ = e,>

Т. е. равен действительной показательной функции от ζ, Определен­ной в гл. IX.

Это следует из того, что если z = e∖ то In Z = C, т. е. одно из значений Ln Z есть ζ. Следовательно Z exp ζ.

233. Значение Expζ. Пусть ζ — ξ -[- z’η и

Z exp ζ = г (cos θ — J — z sin θ).

Тогда

ξ-J — z’η = Ln Z = In Г-J — z (θ -J — 2∞π),

Где Т — целое число. Следовательно, ξ = lnr, η = 0-j-2wzπ, или

R=e?, θ = η — 2zzzπ

И,’ соответственно,

Exp (ξ — J — zη) = e⅞ (cos η — J — z’ sin η).

Если η = 0, то expξ = eζ как мы уже видели в п. 232. Очевид­но, что действительная и мнимая части exp(ξ-J-z’η) являются непре­рывными функциями от ξ и η для всех значений ξ и η.

234. Функциональное уравнение для Expζ. Пусть Cl = H — z"γin **2 = ^2 + z’γl2∙

Тогда

Exp C1 ∙ exp C2 = eb (cos η1 — J — I sin η1) ∙ eξs (cos η2 — J — z’ sin η2) =

= Eb+B{(C0S (η1 — J — η2) — J — Z sin (η1 — J — η2)} = exp (C1 + C2).

Показательная функция удовлетворяет, таким образом, функциональ­ному уравнению /(C1-J-C2)=∕(C1)∕(C2). В случае действительных значений C1 и C2 мы это уже доказали раньше (см. п. 213).

235. Общая показательная функция αζ. Так как expζ = ec, когда C действительно, то казалось бы естественным применять то же обозначение и в случае комплексного C и совершенно отка­заться от обозначения exp С. Однако мы так не поступим, потому что в дальнейшем припишем символу некоторый более общий смысл. Мы увидим, что ei∙ представляет бесконечно-значную функцию, одним из значений которой является ехрС.

Мы уже определили αc в значительном числе случаев. Этот сим­вол определяется в элементарной алгебре в тех случаях, когда А — Действительное положительное число и C рационально, или когда А — действительное отрицательное число и C — рациональное число с нечетным знаменателем. По определениям элементарной алгебры, аС может иметь не более двух значений. В гл. III мы распростра­нили наши определения на тот случай, когда А — любое действи­тельное или комплексное число, a ζ — любое рациональное число

; наконец, в гл. IX мы дали новое определение с помощью ра­

Венства

αC-eζlnαj

Которое применимо для всех действительных ζ и всех действитель ных и положительных А.

Итак, мы тем или иным образом приписали определенные зна­чения таким выражениям, как

31⅞ (—l)V3, (3,5)i+∕2-

Но мы еще не имеем определений, в силу которых можно было бы приписать определенные значения

(1 + z)Jλγ, 2г, (3 +2i)’2+4

Мы дадим теперь общее определение αζ, которое применимо ко всем значениям А и ζ как действительным, так и комплексным, за един­ственным исключением А = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Az∙ определяется соотношением αC = exp(ζ Ln А),

Где Ln А обозначает любое значение логарифма а.

Мы должны убедиться в том, что это определение не противо­речит нашим предыдущим определениям и содержит их все как частные случаи.

(1) Если А положительно и ζ∙—действительное число, то одно — из значений ζ Ln А, а именно, ζ In А, действительно, и exp (ζ In А) = eζ что совпадает с определением в гл. IX. Как мы там видели, опре­деление из гл, IX не противоречит определениям, даваемым в элемен­тарной алгебре. Следовательно, и наше новое определение также не противоречит им.

(2) Если А = (cos ψ —f — г sin ψ), то

Ln А = τ — J — I (ψ — J — 2 mπ),

Exp ~ Ln α j = epτ"7Cis (ψ — J — 2zκπ)∣,

Где Т — любое целое число. Легко видеть, что когда Т принимает всевозможные целочисленные значения, это выражение принимает Q И только Q различных значений, которые как раз являются значе­ниями AP⅛, найденными в п. 48. Таким образом, наше определение не противоречит и определению из гл. IIL

236. Общее значение А>. Пусть

ζ = £ — J — Ztj, А = о (cos ψ — J — z sin ψ),

Где —κ<^ψ≤π, так что, в обозначениях п. 235, o = eτ или τ = lnσ. Тогда

ζ Ln A ≈ (£ — J — z’η) Jln o-J — I (ψ — J- 2zzzπ)} = L-J — IM1 Где

L = ξlno — η (ψ-J-2zzzπ), M = η Inо-J-ζ(ψ-J-4Mτi}, И

Ax∙ == exp (ζ Ln А) — EL (cos M — J — I sin Λl).

Таким образом, общим значением а- является E` ι∏σ — ,J (Φ+2m, t) [cos {∙η In о —∈ (ψ —2mπ)[ -{-

—[—zsin {ηlnσ-φS(ψ-}^2∞π)}].

В общем случае α∙— бесконечно-значная функция. Действительно, I a’ I eilm — Tj (ф + 2mх)

Имеет различные значения для каждого значения Т, если η ≠ 0. Если же η = 0, то модули веек различных значений αζ равны между собой. Но любые два значения будут все же отличаться друг от друга, если их амплитуды не равны или их разность не кратна 2π. Для того чтобы два таких значения совпадали, нужно чтобы S(ψ-f-2wπ) и ξ(ψ —{—2∕z-st), где Т и П—Целые числа, Тфп, отли­чались друг от друга на кратное 2π. Но если

S (ф —J — 2/яя) — ξ (ψ —|— 2ππ) = T2,

То S = —*—■ должно быть рациональным. Мы видим, что αζ Беско — т — а

■Яечно-значно, если ζ Не является действительным рациональным числом. C другой стороны, мы действительно видели, что при ζ действительном и рациональном A` имеет только конечное число значений.

Главным значением O‘ = exp (ζLnα) является то, которое получается при главном значении Lna, т. е. при т = 0в общей формуле. Таким обра­зом, главное значение αζ равно

E’ln σ — 1Jψ [cos (ηln σ — ф Sψ) — ф/ sin (η In σ-ф Sψ)}.

Следующие два частных случая представляют особый интерес. Если А Действительной положительно и ζ действительно, то σ=a, ψ = 0, ξ = ζ, η = 0, и главное значение aζ равно β-lna, что совпадает со значением, определенным в гл. IX. Если | А ] = 1 и ζ действительно, то σ = 1, S = ζ, η = 0, и главное значение (cos ψ — ф ɪ sin ψ)t∙ равно cos ζ ψ — ф» sin ζψ. Это является дальнейшим обобщением теоремы Муавра (см. пп. 45, 49).

Примеры XCV. 1. Найти все значения I,.

[По определению,

Ii = exp (Z Ln г).

1 , . . 1
г = cos ɪ "-ф ( sm ɪ π, lnι ■■
Но

2t+⅛

Где KЛюбое целое число. Следовательно,

F Lκ , ɪ ʌ 1 ■ -<2ft + ½)π. гг = ехр|— ^2⅛ + j | = е

Таким образом, все значения Ii действительны и положительны.]

2. Все значения at∙ лежат ца диаграмме Аргана в вершинах ломаной, вписанной в логарифмическую спираль, последовательные звенья которой

Образуют друг с другом равные углы, причем форма спирали не зависит от А,

(Экз. 1899 Г.)

[Если

Ci’ = r (cos O +I sin θ),

То мы имеем

R=∕.∣nσ-η(φ+2mκ)j β≈η,na + ξ(6+2mπ)j И Все эти точки лежат на спирали

R _ 3 + η2∕ς e-ηVS.]

3. Функция E‘∙ Если мы положим А — е в общей формуле, так что lns=l, ψ = 0, то получим

Et =∙~ 2M»4 {cos (η + 2nιπξ) + I sin (η -)- 2nιπξ)}.

Главным значением Г’ является eζ (cos η -}-t’ sin τ1), что равио exp С(см. п. 233). В Частности, если ζ действительно, то η = 0, и общее значение будет равно

E` (cos 2nιπζ -)- I sin 2nιπζ),

А главное значение будет E`, где eζ обозначает положительное значение экспоненциала, определенное в гл. IX.

4. Показать, что

Ln Ex∙= (1 2M~I) ζ -(- 2Nr.I,

Где Т и л — произвольные целые числа, и что в общем случае LnaC имеет ∞2 значений*).

5. Уравнение

Полностью верно (см. пример XCIV. 3); оно выполняется также и для глав­ных значений.

6. Уравнение

αζ ∙ Bx∙- (ab’p

Полностью верно, но для главных значений оно может не иметь места.

7. Уравнение

Aζ∙aζ’ = aζ + ζ’

Ке является полным, но для главных значений оно имеет место.

{Каждое значение правой части является одним из значений левой части,

Но общее значение ac∙ac’, а именно,

Exp {ζ (1п А 2.I)- ζ, (In А —2N~Z)},

Как правило не является значением aζ + i∙’ , если ТуЬп.}

8. Каковы соответствующие результаты для уравнений

Ln a’= ζ Ln a, (at∙)ζ’ = (at∙’ )t∙ = ai∙j∙’?

9. Для того чтобы все значения aζ были действительными, необходимо и достаточно, чтобы

2ξ и ɪ (η In 1 А 1 -{- ξama),

δ) Т. е. что эти значения зависят от двух параметров, принимающих каждый бесконечное число (целочисленных) значений. (Прим, перев.)

30 Г. Харди

Где am а обозначает любое значение амплитуды, были оба целочисленны. Каковы соответствующие условия для того, чтобы все значения имел» модуль, равный 1?

10. Общим значением ∣xi4^x^,’∣, где. v >■ 0, является

E~(MN)τ. {ch 2 4- П) π + cos (2 InХ)}.

11. Найти ошибку в следующем рассуждении: так как

G2mπi _ f,2∏πi _ ɪ,

Где Т и П — любые целые числа, то возводя каждую часть этого равенства в степень Z, найдем, что

E — 2mπ _ E7п~ _

12. При каких условиях некоторые из значений Xх, где Х — действи­тельное число, будут действительными?

[Если Х > 0, то

где первый множитель действителен. главное значение, для которого т = 0, всегда действительно.
p
или когда х иррационально»

когда х — рациональное число вида = exp Ln Х) ~ exp In Х) Cis 2Mπx,

2? +1

То другого действительного значения нет. Но если Х — рациональное числа Р

Вида, то имеется еще одно действительное значение, а именно, — exp (xlnx)⅛

Соответствующее Т = Q.

Если Х = — В < 0, то

Хх = ехр {—ξ Ln (— ς)} = ехр (—ξ In ς) Cis { — (2M + 1) πξ}.

; в этом случае при m = q мы полу-Единственным случаем, в котором это выражение может иметь действи — ɑ P

Тельное значение, является ς = ∙^~ ,

2«Р

Чаем действительное значение

Ехр (— В In ξ) Cis (— ρτ.) == (— 1)p ξ ~ε.

Эти результаты иллюстрируются следующими примерами:

(br (-ip1=r bp- p

13. Логарифмы при любом основании. Мы можем определить ξ = Log Аг Двумя способами. Мы можем, во-первых, положить ζ = Log0Z, если Главное- значение O равно z, или мы можем, во-вторых, положить ζ = Logαz, если. Некоторое значение a` равно г.

Так, если А — е. то, по первому определению, ζ = Logez, если главное значение в’ равно z, т. е. если ехр ζ = z; таким образом, Logf, z совпадает: с Lnz. Но, по второму определению, ζ = Logez, если

P = ехр (ζ Lne) = г, ZLne=Lnz

тельно.ln z ln е

, причем логарифмы могут иметь любые значения. Следова­

c — logez =Inlzi-I — (am z — ф 2ιn~} 1

L+2NI

Так что C является многозначной функцией от z с со2 значениями. По этому определению мы имеем, вообще,

τ Ln z

14.

Т, 2wπz’ (2zn-φl)πt

L°ge 1 — ɪ _4_ 2NrJ , Bogf, ( ŋ ~ 1 + 2.I

Где Т и П — любые целые числа.

237. Выражения синуса й косинуса через показательную функ­цию. Из формулы

Ехр (ξ -(-zη) = exp ξ (cos η-ф- I sin η)

Мы можем вывести много важных следствий. Полагая Ii = 0, мы получаем exp(zη)-cosη∙φ-zsinη; заменяя здесь η на—η, получаем, также ехр(—zη) = cosη— isinη. Следовательно,

Cos η = ɪ {exp (zη) — f — exp (— zη)},
z \

Sin η = — ɪ I {exp (zη) — ехр (— z’τ∣)}.

Соответствующие выражения через exp (zη) мы можем получить, конечно, и для других тригонометрических функций от η.

238. Определение Sin C й cos C Для всех значений C. В преды­дущем пункте мы видели, что если C действительно, то

CosC = l{eχp(zC) + exp(-zC)}, (la>

Sinζ = —yz{exp(z’C) — ехр (—z’C)}. (Ib)

Левые части этих равенств определены, в силу известных геометри­ческих определений элементарной тригонометрии, только’ для дей­ствительных значений C. Но правые части были определены для всех значений С, действительных или комплексных. Таким образом, мы, естественно, приходим к Определениям cos C и sin C для всех значений C с помощью формул (1). В силу результатов п. 237, эти определения совпадают для действительных значений C с известными элементарными определениями.

sin ζ cos ζ ’
cos ζ sin ζ ’
sec c = cosec c = ==.
sm ζ

Определив, таким образом, cos C и sin С, мы определяем другие тригонометрические функции соотношениями

ясно, что cos ζ и secζ являются четными функциями от ζ, a sinζ, tgζ, ctg ζ и cosec ζ — нечетными функциями. далее, если exp (zζ) — t, то мы имеем

cosζ = yfz4—ɪ-ɔ, siπζ = —

Cos4 + si∏4=∣{(∕+4)i-(t-iy} = l. (3)

Более того, мы можем выразить тригонометрические функции ■от ζ-)—ζ, через тригонометрические функции от ζ и C с помощью тех же самых формул, которые имеют место в элементарной три­гонометрии. Действительно, если exρ(zζ) = t, exp (zζ,) 1′, то мы имеем

Cos(ζ+Q = + (/’ + !) +

-J-[T -ɪ-j [T ɪj I = cos ζ cos ζ’ — sin ζsin ζ’, (4)

И Аналогично мы можем доказать, что

Sin (ζ + ζ’) = sin ζ cos ζ’ cos ζ sin ζ’. (5)

В частности,

Cos (ζ + y ffj = — sinC, sin^ζ-j-i πj = cosζ. (6)

Все общеизвестные формулы элементарной тригонометрии являются алгебраическими следствиями уравнений (2) — (6), и, сле­довательно, все эти формулы имеют место и для обобщенных три­гонометрических функций, определенных в этом пункте.

239. Обобщенные гиперболические функции. В примере LXXXVIII. 2С мы определили ch ζ и sh ζ для действительных значений ζ уравнениями

Chζ = γ^expζ+exp(-ζ)^, shζ = — i(expζ-exp(-ζ)). (1)

Мы можем теперь распространить это определение на комплексные значе­ния переменного, т. е. мы можем условиться считать уравнения (1) опре­деляющими ‘ch ζ и sh ζ для всех значений ζ, как действительных, так и ком­плексных. Читатель легко проверит, что

Cos I ζ = ch ζ, sin Z ζ = I sh ζ, ch I ζ = cos ζ, sh I ζ = I sin ζ.

Мы видели, что любая элементарная тригонометрическая формула как, например, cos2ζ = cos2ζ— sin2ζ, остается в силе и в том случае, когда для ζ допускаются комплексные значения. Следовательно, она остается в силе, если мы заменим в ней cosζ на coszζ, sinζ Hasinzζ и cos2ζ на cos2Zζ, т. е. если мы заменим cosζ на ch ζ, sin ζ на z-shζ и cos2ζ на ch2ζ Таким образом,

Ch 2ζ = ch2 ζ + sh2 ζ.

Аналогичное преобразование применимо к любому тригонометрическому тождеству. Это объясняет то соответствие, которое было отмечено нами в примере LXXXVIII. 22 между формулами для гиперболических и для обыкновенных тригонометрических функций.

240. формулы для cos(b+zη), sin (b +zt,) и т. д. из формул сложения следует, что
cos (в -j- i'<,) = cos в cos zη — sin в sin zη = cos в ch η — z sin в sh η, sin (в + zη) = sin bcθszη + cos bsi∏zη = sinbch η + z cos в sh η.
эти формулы имеют место для всех значений в и η. интересным случаем является тот, в котором в и η действительны. в этом случае они дают выражения для действительной и мнимой частей косинуса и синуса от комплексного аргумента.
примеры xcvi. 1. определить значения ζ, для которых cosζ и sin ζ 1° действительны, 2° чисто мнимы.
[например, cos в действителен, когда η = 0 или когда в кратно ".]
i cos (в + zτ1) i — y cos2 в + sh2 η = ^j∕^ ɪ (ch 2η + cos 2ξ),
i sin (в + zη) 1 = y sin2b + sh2η = j∕y (ch 2η — cos2в). [использовать, например, равенство
,3.
tg(ξ + zη): [например,
,i cos (в + zη) i — j+cos (в + zη) cos (в — zη).],sin 2в + z sh 2η,, ctg (в+ zt1) =,ch 2η + cos 2в
sin (b +zτ,) cos (в — zη)
,tg(s+i∖) cos (b + zη) cos (в — zη) что приводит к указанному результату.]

cosec (в + zτ,) =Sin В ch η — Z COS в sh η -ɪ- (ch 2η — cos 2В)

5. Если I cos (B +Zτ,) j = lj то sin2B = sh⅛ а если ∣ sin (B + Zη) | = 1, то cos2 В = sh2η.

6. Если I cos (В + Zτ,) J = I, то

Sin {am cos (В + Zη)} — ± sin2 В — ± sh2 η.

7. Доказать, что Lncos (В + Zτ1) = A +ZB, где

А = ɪ1П {∑ ^ch 2η + c°s 2⅛ ’ И В — любой угол, для которого

Cos В ___ sin В _______ 1

Cos В ch т sin В sh т -. Г ι

У y(ch2η + cos2B)

Найти аналогичную формулу для Ln sin (В + Zt1).

8. Решение уравнения Cos B = а, Где а— действительное число. Пола­гая ζ = ξ-j-Zη и приравнивая действительные и мнимые части, мы получим:

Cos ξ ch η = α, SinBshvj = O.

Отсюда следует, что либо η = 0, либо В кратно Если (1) η = 0, то cos B = а, что возможно только в том случае, когда —l≤a≤l. Это предположение приводит к решению

C = 2⅛~ ± arc cos а,

Где arc cos а заключено между О и -ɪ-r. Если (2) ξ = ιn~, то chη = (—l)ma,

Так что либо βΞ≥l и Т— четное число, либо a≤—1 и Т нечетно. Если А— ± 1, то η = 0, и мы возвращаемся к первому случаю. Если I A j > 1, то ch η = I а I, и мы приходим к решениям

ζ = 2kr. ± i In {а + jΛ2^ΠΓ } (5t > ŋ, ζ = (2⅛+l)π±tln{- a+ ∕a^2-l}(a<-l).

5

Например, общим решением уравнения cos ζ = — ɪ является ζ = (2K + 1) Г. ;h I In 3.

Решить аналогично уравнение sin ζ = а.

Э. Решение уравнения Cosζ =a ɪz’ɜ, Где 3≠0. Мы можем предполо­жить, что β > 0, так как решение В Случае β < О может быть получено простым изменением знака при z. В данном случае

Cosξchη = a, si∏Bshη =— β (1)

И

A2 S2

__ ___ u p -ɪ:ɪ.

Ch2 η sh2 η

Если мы положим ch2η = .v, то найдем, что

Х-— (l + a2 + β2)x + 32 = 0

Или .г = (∕11 — Js zls,)2, где

Л = ɪ lΛ≈+l)2 + β2, А = | /(≈-l)2+β2∙

Допустим, что А > 0. Тогда A1 > A2 > О и chη = zl1-Lzls,. Далее, а так как chη>cosξ, то мы должны положить

Ch η = zl1 -(-Zl2, cos ξ = zl1—A2.

Общими решениями этих уравнений являются

В = 2K~ Jz arc cos М, η = Jz In {L -∣- ]zrA2 — 1}, (2)

~ де L = zl1 — f — A2, M=At—A2, и arc cos M заключен между О и ɪr.

Таким образом, полученные значения η и В являются, однако, не только решениями уравнений (1), но и уравнений

Cos В ch η = a, sin В sh η = β, (3)

Так как мы использовали второе из уравнений (1) после возведения его в квадрат. Для того чтобы отделить эти две системы решений друг от друга.

Заметим, что знак sin ξ совпадает со знаком, выбранным в первом из урав­нений (2), а знак sh η — со знаком, выбранным во втором из этих уравнений. Так как β > 0, то эти знаки должны быть противоположными. Таким обра­зом, искомым общим решением является

ζ = 2k~ ± [arc cos M I In {Z. — j — ∣∕^Λ2 —1}].

Разобрать аналогично случаи, в которых α<0 и α = 0.

10. Если β = 0, то

^∙ = ^2∣ct+li + ^2∣α 1I и jW = ɪ I ≈ + 1 i———————— 2~l≈ — 1∣∙

Проверить, что эти результаты совпадают с результатами примера 8.

11. Показать, что если А и β положительны, то общим решением уравне­

Ния sinζ = α + r3 является

ζ = Kr. + (— 1)6 [arc sin M + iln{L + YLɪɪl)],

Где arc sin M заключен между О и ɪ Г.. Найти решение в остальных слу­

Чаях.

12. Решить уравнение tgζ==α, где ≈ — действительное число. [Все корни этого уравнения действительны.]

13. Показать, что общим решением уравнения tg⅛ = α — J-Ф, где 3≠0, является

= ⅛- + -2 <

+ τZin

≈8 + (l+β)2 α2 + (l — З)’2

Где θ — наименьший по абсолютной величине угол, для которого

Cos θ —

-JA (l-α3-jj2)2ψ4αs

Sin θ —

VW-

-as-{ι2)a-{-4a2

14. Доказать, что

I exp exp (ξ + rη) | — exp (exp ξ cos η),

Re {cos cos (ξ — j-rη)} == cos (cos ξ ch η) ch (sin ζ sh η),

Im {sin sin (ς -)- fτl)} =χ cos (sin ξ ch rt) sh (cos ξ sh τ1).

15. Доказать, что ∣ exp ζ 1 стремится к ∞, когда ζ стремится к бесконеч­ности вдоль любого луча, исходящего из начала координат и образующего С Действительной осью угол, меньший ɪ ^, и стремится к 0, когда ζ стре­мится к бесконечности вдоль такого же луча, но образующего с действи­тельной осью угол, заключенный между у ~ и

16. Доказать, что ∣ cos ζ | и [sinζ[ стремятся к со, когда ζ стремится К Бесконечности вдоль любого луча, исходящего из начала координат и не совпадающего ни с одной из действительных полуосей.

17. Доказать, что tg ζ стремится к —Z или к г, когда ζ стремится к бес­конечности вдоль любого из лучей, указанных в примере 16, причем преде­лом будет —г, если этот луч проходит над действительной осью, и г, если он проходит под действительной осью.

241. Связь между логарифмической и обратными тригонометриче­скими функциями. В гл. Vl мы видели, что интеграл от дробно-рациональ­ной или алгебраической функции Y(X, A, β, …), где A, β, … — постоянные

Часто принимает различные формы, в зависимости от значений a, β,…; иногда он выражается через логарифмы, а иногда — через обратные тригоно­метрические функции. Так, например,

Dx 1

Если А > 0, но

<’ Dx 1

J x2 + α — 2/ɪɪ

. Х

Arc tg,

[/ а

Х — У— A i

Х — J — У— а,

О)

(2>

Если А < 0. Эти формулы указывают на то, что должна существовать ка­кая то функциональная зависимость между логарифмической и обратным» тригонометрическими функциями. Что такая зависимость действительна существует, можно видеть из того, что, как мы уже видели, тригонометрические функции от ζ выражаются через expι’ζ и’что логарифм является функцией обратной показательной функции.

Рассмотрим внимательнее соотношение

J

Dx _______ 1 l Х — а

Xτ-α- ~ 2α П x + а ’
которое имеет место, если А действительно и ɪɪpɪ положительно. Если б га
мы могли в этом уравнении заменить а на ɪɑ, то пришли, бы к формуле
. х 1 х — iα

Arc tg — = — In ■—_- — U (3>

Ь а 2г XJ— ɪɑ 1 R

Где C постоянная, и поскольку мы уже определили логарифм от комплекс­ного числа, то возникает вопрос, справедливо ли это соотношение или нет.

По предыдущему (см. п. 231),

Ln ± Ia) = ɪ In (х2 4- α2) ÷ /’ (φ -]R 2⅛π),

Где й —целое число и æ-наименьший по абсолютной величине угол, дли которого где I — целое число, а это последнее выражение действительно, отличаете®

cos φ =
уx2 ÷ a2
∣Λx2
таким образом,
1 , x — ia
-t^ln 
2l x -u ɪa
■ φ — ∕π,

От любого значения arc tg — только на постоянное слагаемое.

Основной формулой, связывающей логарифмическую и обратные триго­нометрические функции, является следующая:

1 , l+ι’x ,, V

Arctgx = -κL∏1^.χ, (4>

Где Х действительно. Эту формулу лег. че всего проверить, полагая в не& x=tgj>, причем правая часть сведется к выражению

τ% ln (exp 2ιy) -y-∖-k-,ɪ Ln c0sL’ + ‘siπL’ 2ι cos УI sin У

Где K любое целое число. Таким образом, уравнение (4) „полностью" верна (см. пример XCIV. 3). Читателю предлагается также проверить формулы

Arc cos X = I Ln ± I ∣∕1 — Xs}, arc sin Х = — г Ln {Ix ± У1 — х2), (5)«

Где —l≤x≤l. Каждая из этих формул также „полностью” верна.

Пример. Решая относительно У уравнение

Coszr = X= y(-v + y)* где Y = exp (Iu), мы получим:

У = X±I}∕RL х2.

Таким образом,

И = I LnУ = I Ln (х ± г j∕r 1 — х2),

Что эквивалентно первому из уравнений (5). Получить так же уравнение (4)∙ и второе уравнение (5).

242. Степенной ряд для Expz1b В п. 219 мы видели, что если; Z действительно, то 2

Exp2=l+2 + ∣p+… . (1>-

B п. 198 мы также видели, что ряд в правой части остается сходя­щимся (и даже абсолютно), когда Z—■ комплексное число. Есте­ственно предположить, что уравнение (1) также остается в силе, и* мы теперь докажем, что это действительно так.

Пусть сумма ряда (1) обозначена через F (Z}. Так как ряд абсо­лютно сходится, то непосредственным перемножением (как в при­мере LXXXL 7) мы убедимся, что F (Z) удовлетворяет функциональ­ному уравнению

F (2 + Λ) = F (Z) F (й), (2>

И, в частности, что

F {X-↑-Iy} = F (X}F {Iy).

Но

F(x)=l+x + ^ + … = Λ

И

∕7(σ)=l-⅛+⅛ — ∙∙∙ +IYɪ+ …)== COSJ-j-zsiɪiʃ. Следовательно,

F {Z) = Ex (cos У -)- I sin У) — exp Z,

Если Z — х — i- Iy.

Имеется еще другое доказательство, которое представляет инте­рес, в силу того, что оно не использует степенные ряды для cosy и siny

Если F(Ty)=F(Y), то F(YK)=F(Y)F(K~) и

/(Y+⅛)-∕(y) = ʃw /(⅛)- 1 =

=⅛pω{ι+ ⅛+-¾2÷.∙∙}=∕∕ω(i+p).

ɪ) Теперь удобнее обозначать аргумент показательной функции через Z,. А Не через ζ.

Где

I P I ≤ ^2! i——— 3! I — ∙ ∙ ∙ ≤ (« — 2) 1 K I

Для малых K, так что р стремится к 0 при ⅛→0. Следовательно, J (у) дифференцируема и

∕’ (V) = (ZO)-

Отсюда следует, что

G О) =/0) (ɑɑs У — I si∏ У)

Дифференцируема *). Далее,

G О) = (ZO) (cosV — I siny) F{Y} (siny + I cosy) — О, так что G(Y) постоянна. Следовательно,

G(Y)-G (O) = ɪ

,, x 1 cosy+ г Siny, . .

F(У) ———————— ———— ————————- r-r∙∙∙ — = COS у -г I Sin у.

7 vz’ cosy—≈sιny cos2y-(-sιn2y ∙7 [99] ∙7

Наконец,

F (Jy) = /(у) = cosy — j — z sin у и

F(x jriy) = F (х) F (iy) = ex (cosУ -{- I siny).

243. Степенные ряды для Cos Z и Sin г. Из результатов преды­дущего пункта и уравнений (1) п. 238 следует, что

C0S2=l-5+⅛-∙∙∙, si∏2 = 2- ⅛+⅛-…

Для всех значений Z.

Примеры XCVII. 1. Доказать, что

I cos Z j ≤ ch ‘ Z [, I sin Z j ≤ sh ∣ Z |.

2. Доказать, что если ∣ Z | < 1, то ∣ cos Z | < 2 и ∣ sin Z ∣ < ɪ | Г |.

3. Так как sin22 = 2si∏2cosz, то

(2г)3 (2г)5,3!,5!
(2г)
∙∙∙ = 2-3t + ∙∙∙
zl

Доказать перемножением рядов в правой части (см. п. 202) и сравнением коэффициентов (см. п. 201), что

(27ι)÷(2%+,)÷-+eti>-

Проверить результат с помощью биномиальной теоремы. Вывести аналогич­ные тождества из уравнений

Cos2z-j-sin2z = 1, cos2z = 2cos2z— 1 = 1—2 sin2 г.

4. Показать, что

Exp {(1 +г) z} = 2 2n,»,exp ( N-i’j — .

5. Разложить cos z ch г по степеням z.

[Мы имеем

Cosz ch г — I sin zsh z = cos (1 — j-Z)z= ɪ [exP {(1 +0«} + exP {— (1 +0 ∙z}] = = τ∑2^[l+(-ir}eχp(τ^j—p

К аналогично

Cos Z ch ZJ~T sin Z sh Z cos (1 —Z) Z =

1 ∞ ∕ i ` Z

= 7∑2"’∙{‘+(-D"!≈p(-1-"=i⅛.

Следовательно,

1 ∞ 1 ~П O2*i 24z[100]

C = exp (cos z) cos (sin z), S = exp (cos z) sin (sin z).] 8. Просуммировать ряды

A cos z, a2 cos 2z, asinz , β2sin2z,

= exp {exp (tz)} = exp (cos z) {cos (sin z) -[— f sin (sin z)}, и аналогично
c — ts = exp {exp (—iz)} = exp (cosz) {cos (sin z) —i sin (sinz)}. следовательно,
11 2!
2! 1!

cos z ch z = у 2 2"∕s {1 + (— 1)"} cos Nτ. — = 1 — ɪ + ɪ —…

9. просуммировать ряды
, cos 2z , cos 4г
,2!,4!,cos z cos зг l h 3! l^∙>∙∙,10. показать, что . cos 42 cos 82 ,
t 4Γ~ h 8!— +' • •
,{cos (cos 2) ch (sin 2) -j- cos (sin z) ch (cos z)}.

11. Показать, что разложения cos(x-)-⅛) и sin (x — J- ħ) по степеням ħ, Найденные в (1) п. 152, имеют место для всехх и ħ как действительных, так и комплексных.

244. Логарифмический ряд. В н. 220 Мы нашли, что

Ln(l+z) = z-∙iz2 + yzs-… , (1>

Где Z действительно и по модулю меньше 1. Ряд в правой части сходится, и даже абсолютно, когда Z имеет любое комплексное зна­чение, по модулю меньшее 1. Естественно ожидать, что уравнение (1) остается в силе для всех таких комплексных значений Z. Что это действительно так, может быть доказано с помощью рассужде­ния, аналогичного приведенному в п. 220. Мы докажем даже больше, а именно, что (1) имеет место для всех значений г, для которых Z ∣≤1, за единственным исключение. м Z =—1.

Читатель вспомнит, что ln(l-f-z) является главным значением Ln (1 — j — Z) и что

⅛(.+z)≈∫⅛,

C

Где C—Прямолинейный отрезок, соединяющий точки 1 и 1-j-2 в плоскости комплексного переменного И. Мы можем предположить, что Z не является действительным числом, так как формула (1) была уже доказана для действительных значений Z.

Если мы положим

Z = г (cos 6 —∕ si п β) = ζr,

Так что j г j≤ 1, и

А = 1 С/,

То а описывает путь С, когда T возрастает от О до Г. Кроме того,

Г Da _ P ζdt __

,) и — J 1 + Zt ~

C о

∫{c—ς⅛ — j- ζ⅜2 —-… — j- (_i )∞-iζ*⅛*≈-ι. о

(^)2 , (И3 , t 1λm-lGr)m

5*7/

П-1 2

= ζf(-1)"rr,• + (-i)'~∖~ rrrr(2)

‰ = (-D"c"*’∫⅛

О

где
(3)

Из неравенства (1) п. 170 следует, что

1 г,tmdt.
∣ι+^t
(4)

Но ∣l + tt∣ или I И j никогда не меньше ω—длины перпендикуляра, опущенного из 0 на прямую C [101]). Следовательно,

1
(т -f- i) ω ’
1 p ∙√7t+l

И, Таким образом, Rm → 0 при Т →- оо. Из (2) теперь следует, что l∏(l-∣-2) = 2-ɪ 2[102] + ∣2[103]-… . (5)

В процессе доказательства мы показали, что ряд сходится; однако, это было доказано раньше (см. пример LXXX. 4). В дей­ствительности ряд сходится абсолютно при J Z ∣ <≤ 1 и условно при ∣2∣ = 1.

Заменяя Z на — Z, мы получаем

Lnɪɪ = — 1∏(1-2) = 2-j—∣224-y23+… (6)

Для Z ∣≤ 1, Z ≠ 1.

245. Далее,

In (1 -|- г) = In { (1 J — г cos 6) Ir sin 6} =

= 4 ɪn (ɪ + 2r COS 8 + ?) + г arc ⅛ 1-CS!⅛i.

Здесь следует взять то значение арктангенса, которое заключено между— и ɪ π. ъ самом деле, так как 1г является вектором,

Представляемым отрезком от — 1 до Z, то главное значение am (1 — J-г) всегда заключено между этими пределами, когда Z лежит внутри круга I Z) = 1 2).

Так как ZmRm (cos — j — I sin Mb), то, приравнивая действитель­

Ные и мнимые части в уравнении (5) п. 244, мы получаем

ɪ In (1 — j-2r cosθ-j~r2) = rcos 6 — ɪ r2 cos 26 — j — ɪ r3 cos 36 — … ,

Arc ⅛ i fsin9~^ = г sin θ — — у s’n 26 4- -ɪ- r3 sin 36 —…. b 1 + г cos θ 2 i 3

При O ≤ Г ≤ 1 эти уравнения имеют место для всех значений 6, за исключением того случая, когда г=1 и 6 равно нечетному крат­ному π. Нетрудно видеть, что они также имеют место при — 1 ≤ Г ≤ О, за исключением того случая, когда Г — —1 и 6 равно четному кратному π.

Особенно интересным является тот случай, когда R—1. В этом случае мы имеем

In (1 +2) = ln(l 4-Cis 6) = ɪ In (2 4-2 cos θ) + zarctg =

= ɪ In 4 cos’2 ~ θ J ɪ гб, если —π<4θ≤π, и, следовательно,

Cos 6 — -ɪ cos 26 —-ɪ- cos 36 —.. . = ɪ In (4 eos^ɪθ),

Sin 6—— ɪ- sin 26 — j — ɪ sin 36 — … = ɪ 6.

Для других значений 6 суммы этих рядов легко находятся в силу того, что они являются периодическими функциями от 6 с перио­дом 2~. Так, сумма ряда косинусов равна

ɪln ^4 cos2 ɪ θj

Для всех значений 6, кроме нечетных кратных π (для этих зна­чений ряд расходится), а сумма ряда синусов равна ɪ (6 — 2⅛π),

Если (2⅛—1) π 6 (2⅛-}-1)те, и равна 0, если 6 равно нечетному

Кратному График функции, представленной рядом синусов, изо­бражен на фиг. 54. Эта функция разрывна при θ = (2⅛-j-l)π.

Если мы в (5) заменим Iz на Iz и вычтем полученное соотно­шение из исходного, то мы найдем, что

, + ⅛*5

1 1 1 + Iz = Itl, : —

Ii 1—ιz

Если Z действительно и по модулю меньше 1, то, в силу результатоа п. 241, мы приходим к формуле

Х 1 3 I 1 ʒ

Arc tg Z = z ɜ- Zi — J — ɪ Z" — … ,

Уже Доказанной другим способом в п. 221.

Примеры XCVIH. 1. Доказать, что в любом треугольнике, в кото­ром А > Ъ,

Inc = Ina—ɪeosɑ————- 1,-cos 2С— … .

A λai

(Экз. 1915 г.)>

[Применить формулу

n 1
- π < 9 < — г, то
In e = i In (a3 + ⅛2 — 2a⅛ cos C).j

2. Доказать что, если — 1 < г < 1 и

Γsi∏29—i-r2sin46+-j-r3sin6θ- … =θ-arctg∣ j-~√g6 |,

между -π иуя. определить-
in (1 + iz) и in (1 — iz) по степе-
Причем значение арктангенса заключено

Сумму ряда для других значений б.

3. Доказать, рассматривая разложения

Ням z, что если — 1 < r< 1, то

rsinθ + y r2 cos 29— ɪr3 sin3θ- r cos 9 + ɪ r2 sin 26 — ɪ r3 cos 39 —
г sin б — ɪ r3 sin 39+
ɪ Ri cos 49 + … = ɪ In (1 + 2r sin б+г2),.

1 « ∙ XO I. г cos 9

Ri sɪn 49 + … — arc tg,———— —,

4 sl-rsιnθ

_ 1 1 + 2r sin 9 + r2

4

г cos б 5- r3 cos 3 6+ . . . :
о
,1 , 2rcos9
ɪaretg-ɪɪ^

W 1 — 2rsin6+r2′

1 1

Где значения арктангенсов заключены между — ɪ π и ɪ —

4. Доказать, что

Cos θ cos 9 — ɪ cos 29 cos2 θ + ɪ cos 39 Cos3 б— … =-∣4π(l +3 Cos2 9), sin9sin 9 ɪ- sin 29 sin2 9 + ɪ sin 36 sin3 θ — .. .= arc ctg(l + ctgθ+ctg2f

Тде значение арккотангенса заключено между — -ɪ π и ɪ Г.. Найти анало­гичные выражения для сумм рядов

Cos Ssin 9 —ɪ cos 29 sin2 9, sin θ cos 9 — ysin2θcos2θ~(- ….

246. Некоторые приложения логарифмического ряда. Пусть Z— Любое комплексное число, a H— действительное число, достаточно малое для того, чтобы ∣∕zz∣<^l. Тогда

In (1 — j — Hz) — Hz~ {Hz)I у (Hz)’I — … , Ад, следовательно,

-AJL-! = z + φ(A, 2), еде

φ(A, Z) = — ∙∣A⅛4 + … ,

Lφ(A, 2)∣≤∣A^∣(1 + ∣A2∣ + ]AV∣+ .∙∙) = 1lfe^l ,

Я-ак что φ(H, Z} →0 при ⅛→∙0. Отсюда следует, что

iim ln<1 + fe>,⅞→ll,если мы, в частности, положим h ахелое число, то найдем, что
iim п in f 1 -4- — ʌ n→∞ \ ' « /
,■и, следовательно,
: z.
(1)
, где п — положительное

Iim (1 — j- ɪʌ "= Iim exp ∕ П In (1 — j-ɪʌ } = exp Z. (2)

Это соотношение является обобщением результата, доказанного в п. 215 для действительных значений Z.

, Из равенства (1) мы можем вывести некоторые другие резуль­таты, которые понадобятся нам в п. 247. Если T и H действи­тельны и H достаточно мало, то

Ln(l + zf2 + fe)^∙lπ(l + Zz) _ 1 1и (λ , Hz \ H ^~ Λ П \ ‘ 1 + zz∕ ’

-что стремится к пределуt⅛πp∏ h0. следовательно,

Нам потребуется также формула для производной от (1 -↑-Tz}M По T, где Т — любое действительное или комплексное число. Заме­тим сначала, что если φ (T) = ψ (Z) — j- Zχ (Z) — комплексно-значная функ­ция от Z, действительная и мнимая части ψ (Z) и χ(Z) которой диф­ференцируемы, то

~(expφ) = ≤∣ (cosχ+∕sinχ)expψ} =

= {(ɑɑs Z + I sin χ)√ + (•— sin χ + I cos χ) χ’} exp ψ = = (ψ’ + ⅛’) (cθs Z + i siπ Z) θxP ψ =

= (ψ’÷ zZ) exP (ψ +*z)=<p’eχp 5P,

Так что правило дифференцирования expφ остается тем же, что и в случае действительного φ. Следовательно,

Dt (1+fe)m = ⅛eχp{zrein(1 + ^)} =

= p^jexp j ∕relπ(l-j-fe) ∣≈=∕re2(l-J-Z2)ot~1.

Здесь под (l-j-Zz)m и (1 -1-Tz)M~I подразумеваются их главные зна­чения.

247. Общая форма биномиальной теоремы. Мы уже доказали (см. и. 222), что сумма ряда

ɪ+( Тр+( 2)^+ •••

Равна (1 Z)M = Exp {/reɪn(l -}-z)} для всех действительных значе­ний Т и всех действительных значений Z между—1 и 1. Если Ап Обозначает коэффициент при 2”, то

I ¾±11 _ 1 от — Я I 1

I «„ |— п+1

Независимо от того, действительно Т или комплексно. Следова­тельно (см. пример LXXX. 3), ряд сходится для всех Z по модулю меньших 1, и мы докажем теперь, что его сумма попрежнему равна exp {∕relπ (1-j~2) }> τ∙ e∙ главному значению (l-j-z)m.

Из п. 246 следует, что если Z действительно, то /(1+Z2r = ^(l+Z2r-1,

Где Z и Т могут иметь любые действительные или комплексные значения, и в правой и в левой части имеются в виду главные зна­чения. Следовательно, если φ(Z) = (1 — j-Tz}M, то мы имеем:

φl") (Z) = Т (т — 1)… (т — я — J- 1) Zn (1 — j — Tz‘)M~N.

31 Г. Харяи

Эта формула справедлива и при T = 0, так что

φtπθ) — ∕ffi∖√y
П! \ и)

Из соотношений (1) и (2) п. 167 следует (если мы вспомним замечание, сделанное в конце п. 170), что

φ (1) = φ (0) ÷ φ’ (0) — J — ɪɪ — J — … — J — ÷

Где

1

ɪ)fʃ (1 — О”-1 φw(0 Dt. О

Положим

Z = г (cos θ — J — I sin θ), /n=p-{-∕v,

И найдем верхнюю грань для Rn.

C одной стороны, мы имеем

∣l+^j<2,

А с другой стороны

[ 1 — J- J = j/ L-2Tr cos θ + Tir2 Ξ⅛ 1 — Tr ≥= 1 — г, причем — π≤ am (1 ~J-fc)≤π. Далее,

I (1 4- Tz)M~L J =ехр {(р— l)ln) 1 Tz — vam (1 — J — Tz) } —

— 11 _J_ Tz JB-1 EЧ am (1 +fc).

Первый множитель в этом выражении не превосходит 2μ∙-1, если py⅛ 1, или (1 — f)μ∙-1, если p<Jl, а второй не превосходит eltlv∣. Следо­вательно, I (1 — J — Tz)M^~’1 J имеет верхнюю грань R1 не зависящую от T От л); таким образом,

I ¾ f= 121« х

■кx∣∫(i + fer.- (⅛⅛)-т (т — 1) ... (т — п 1) j(л-1)!
наконец, 1—∕rjj>l—t, так что
ноdt∖'∙∫(⅛Γ-i n i ,x i т (т — 1) ... (т — п + ɪ) ∣ j, _ _
ɪ a,n к ʌ пг=тй f — ?п-
(л-1)!
pn+ι _\т — п' pn п
г-+г,

И, следовательно (см. пример XXVII. 6), ρn→-0. Отсюда следует, что Rn→~Q, и мы приходим к следующей теореме.

ТЕОРЕМА. Сумма биномиального ряда

ɪ+^)2+^)2[104] + •••

Равна ехр {/я In (I-J-2) Ь г^е n°^ логарифмом следует понимать его главное значение, для всех значений т как действительных, так и комплексных, и для всех значений z, для которых [ z∣≤J 1‘).

Примеры XCIX. Предположим, что Т действительно. Тогда, так как
In (1 + г) = ɪ In (1 + 2r cos θ + r2) + I arc tg pjpɪθ ,

Мы получаем

∑ ( я ) =exp {⅛ m hl (1 + 2r cos θ + Р)} cis {"’ arc tg ⅛7⅛y}=

О

= (1 + 2r cos S + r2) m’z2Cis |яг arc tg,

1 1

Где значения всех арктангенсов заключены между —ɪ π и ɪɪr. В частно­сти, если мы положим θ = ~ π, Z = Ir и приравняем действительные и мни­мые части, то мы найдем, что

1 — ) fS ÷ ( 4 ) r4 -… = (1 ÷ r’)m/2 cαs(∕∕ι arc tg г),

J г — ɑɜ j r3 + ɑʒ j r5 —… = (1 4- R-)m^ sin (яг arc tg г),

2. Доказать, что если O≤r<l, то

1 l∙3r8 i 1∙3∙5∙7 . ..-,/FT++2+!

G.4 ^r2∙4∙6∙8 У 2(1+ г2)’

1 1-3.5 1 • 3 ■ 5 • 7 • 9+T+P^-^T

2 2∙4∙6 ^2.4∙6∙8∙10 ——— У 2(1 +r2) —

[Положить In = — ɪ в последней формуле из примера 1.]

3. Доказать, что если —r~<θ<-√~, то

4 4

Cos Т 9 = cosm θ {l — ( 2 tgsθ + ) ⅛4 θ- • • •},

Sin Т θ≈ cosm θ tgθ — j tgsθ-(- ∙ J

Для всех действительных значений Т.

[Эти результаты сразу следуют из уравнений

Cos Т 9 + г sin Т θ = (cosθ -)- I sin θ)m = cosmΘ(l -)- i tgθ)m.[

4. Мы доказали (см. пример LXXXL 6) непосредственным перемножением рядов, что

F(M, =

Где J Z I < 1, удовлетворяет функциональному уравнению F(M,Z}F (M‘, Z) = F(M + M‘, г).

Методом, аналогичным использованному в п. 223, и не опираясь на общий результат, приведенный на стр. 483, доказать, что если от действительно и рационально, то

/(от, z)= ехр {от in (l-∣-,z)}.

5. Если Z и р. действительны и — 1 < z< 1, то

2 (∏,)zn=cos ln ɑ+z^+i sin in ɑ+’

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. X

1.

e(4fe +1) πv8 cos jɪ (4⅛ +1) π i n 2j,

Показать, что действительная часты’1п([105] —равна где K любое целое число.

2. Если A cos θ — J — Ь sin 9 С = 0, где А, B и С действительны и c2 > a2 + Bi, то

[ + ]Λc2 — A2 — ⅛2

}∕γa2+⅛2

Где от — любое нечетное или любое четное целое нисло, в зависимости от того, положительно ли с или отрицательно, а а — угол, косинус которого

А Ь

Равен ■ , а синус которого равен ■ •.

}Za2+62 f ∕ }∕α2+⅛2

3. Доказать, что если z = ∕√9 и Г <1, то мнимая часть

In (1 +∕z) — In (1 — Iz)

1 —r[106]

arc tg -(экз. 1916 г.)(где имеются в виду главные значения логарифмов) равна тому значению. 2r cos θ

4. Показать, что если Х действительно и A = AIb, то

I- exo Ax A exo Ах.

Вывести результаты примера LXXXVI1I. 5.

5. Показать, что если я>0, то

OO

ʃ Ехр {— (А + Ib) X} Dx=- ~-+Ibι О

И вывести результаты примера LXXXVIII. 6.

6. Дан эллипс

Пусть / (х, у) обозначает члены высшей размерности в уравнении некоторой алгебраической кривой. Назовем эксцентрическим углом пересечения эллипса и этой кривой угол А, для которого

/ (я cos A, b sin а) + … = 0.

Тогда сумма эксцентрических углов отличается на кратное 2π от — Z{ln∕(β, Ib) — Nf (A,-Ib)}.

[Для эксцентрических углов

Где ι∕ = expzα, и ∑α равна одному из значений — ι LnP, где P равно произ­ведению корней этого уравнения.]

7. Определить число и приблизительное положение корней уравнения tg2 = a2, где А действительно.

[Мы уже знаем (см. пример XVIL 4), что это уравнение имеет бесконечно много действительных корней. Пусть теперь ZXIy. Приравняем дей­ствительные и мнимые части. Тогда мы найдем, что

SɪN ______ sh 2у ______

Cos 2x + ch 2Y Ax cos 2X + ch 2Y

Если ни Х, ни У не равно нулю, то отсюда следует, что sin sh

2х 2у ’

Но это невозможно, так как выражение в левой части по модулю меньше 1, а выражение в правой части по модулю больше 1. Следовательно, либо х = 0, либо_у = 0. Если У= 0, то мы получаем известные уже действитель­ные корни уравнения. Если Х~ 0, то Thy = σy. Легко видеть, что это урав­нение не имеет действительных корней, кроме 0, если A ≤ О или o≥I, и что оно имеет два действительных корня, отличных от нуля, если 0<o< 1. Таким образом, существуют два чисто мнимых корня, если 0<я<1.В про­тивном случае все корни действительны.]

8. Уравнение Tgz = Az-}-B, где А и B действительны и ⅛≠0, ие имеет комплексных корней, если A ≤ 0. Если я > 0, то действительные части всех

2яКомплексных корней по абсолютному значению больше

9. Уравнение tg2= a-, где А действительно, не имеет комплексных кор­ней, но имеет два чисто мнимых корня, если а < 0.

10. Уравнение tga — Athcz, где о и с действительны, имеет бесконечно много действительных и чисто мнимых корней, но не имеет комплексных корней.

11. Показать, что если Х действительно, то

Eax cos Ьх = ɪ Jan (2 ) + (4 ) 0"1 ~~ "’} ’

О

Где скобки содержат ɪ (л + 1) или ɪ (∕z + 2) членов. Найти аналогичный ряд для eoxsin⅞.v.

12. Если nφ{a, N}→-Z при л—>∞, то

{1 + <P(A ∕z)}n → ехр 2.

13. Если φ (^) — комплексно-значная функция действительного перемен­ного T, то

I Использовать формулы

:<Ь + i χ, In φ = ɪ In(ψs+∙∕s);+ гаге tg ɪ .J

14. Отображения. В гл. III (см. примеры XXI. 21 и сл., Разные примеры, 22 и сл.) мы рассмотрели некоторые простые примеры геометрических соотношений между фигурами в плоскостях комплексных переменных Г и Z, Связанных соотношением Z=F(Z). Рассмотрим теперь несколько случаев, в которых это соотношение содержит логарифмическую, показательную или тригонометрические функции.

Предположим сначала, что

Z ,, а,

Z = ехр —, Z — —— Ln Z, R А ’ К ’

Где А положительно. Каждому значению Z соответствует только одно зна­чение Zy но каждому значению Z соответствует бесконечно много значений Z. Если Х, у, г, 9— координаты Z, а X, Y, R, Θ — координаты Z, то мы имеем следующие соотношения:

τXAY ~.χja πY

Х —е Cos — , у = Е SɪN ɪ,

aq,+ 2ka,
in г,

Где K любое целое число. Если мы предположим, что — — < O ≤ — и что Ln Z Принимает главное значение In г, то Jfe = О, и Z должно лежать в полосе, параллельной оси OX и простирающейся на расстояние А с каждой стороны от нее, причем каждой точке этой полосы соответствует одна точка пло­скости Z и каждой точке плоскости Z соответствует одна точка полосы. Выбирая значение Lna, отличное от главного, мы получим аналогичное соотношение между плоскостью Z и другой полосой ширины 2α в плоскости Z.

Прямым в плоскости Z, для которых X или Y постоянны, соответствуют окружности и лучи, для которых Z или 9 постоянны. Каждому лучу соответ­
ствует вся прямая, параллельная ОХ, но окружности, для которой Г постоянно, соответствует только часть длины прямой, параллельной OY. Для того чтобы Z описало всю такую прямую, Г должно неограниченное число раз описывать окружность в одном и том же направлении.

15. Показать, что прямой линии в плоскости Z соответствует логариф­мическая спираль в плоскости Z.

в частности,T. Z

16. Рассмотреть аналогично отображение Z = Cch~ и,

Показать, что всей плоскости Z соответствует любая из бесконечного числа полос в плоскости Z, параллельных OX и имеющих ширину 2а. Показать также, что прямой X = X0 соответствует эллипс и что эти эллипсы образуют для разных значений X0 софокусную систему; кроме того, показать, что прямым Y=Y0 соответствует система гипербол, софокусная этим эллипсам. Проследить движение Z, когда Z описывает всю прямую X = X0 или Y=Y0. Как движется Z, когда Z описывает вырожден­ный эллипс и вырожденную гиперболу, состоящие из отрезка оси между фокусами и два дополнительных к нему отрезка?

z х ' ∖cch⅛ у,а
|’ +

17. Проверить, что результаты примера 16 согласуются с результатами примера 14 и примера 26 из Разных примеров к гл. III.

[Отображение а прямым Y=Y0 ортогональный пучок соосных окружностей.

:сг*’ 2ι=4⅜+⅛

может рассматриваться как состоящее из отображений πz,«р-.]
:eth^
а
,18. рассмотреть аналогично отображение z прямым x=x0 соответствует пучок соосных окружностей ( х — с cth,2π%0ιs , . s ,.s2π¾
 1 +ys = cscschs- 
α j а
и показать, что

19. Стереографическая проекция и проекция Меркатора. Точки

Единичной сферы, центр которой расположен в начале координат, проекти­руются из южного полюса (координатами которого являются 0, 0, — 1) на касательную плоскость к сфере в северном полюсе О. Координаты точки на сфере обозначим через ξ, η, ζ, а декартовы координаты в касательной пло­скости выберем так, чтобы оси OX и OY были параллельны осям ξ и η. Показать, что координатами проекций точки ξ, η, ζ являются

2£ 2η

У _______ -___ V—————— ——— —

L+ζ, 1 +ζ,

И что Х + zy=2 tgɪ 0 Cis о, где φ — долгота (измеряемая от плоскости η = 0),

А 0 — широта точки, измеряемая от северного полюса.

Эта проекция дает карту сферы, называемую Стереографической проек­

Цией. Если мы введем новое комплексное переменное

Z = X + iY = — Z In ~- Z = I in ɪ (Х + iy),

Так что JV = <p, Г= In ctg γ θ, то получим другую карту в плоскости Z,

Называемую обычно Проекцией Меркатора. На этой карте параллели широты и меридианы представляются прямыми линиями, параллельными осям X и, соответственно, У.

20. Рассмотреть отображение и показать, что прямые линии x = const., и ʃ = const., соответствуют двум ортогональным связкам окружностей в плоскости Z.

21. Рассмотреть отображение и показать, что прямые Х — const, и У = const, соответствуют системам софокусных эллипсов и гипербол с фокусами, расположенными в точках Z = A и Z = B.

2 = l∏,^∣∕^z-a + ]Λz-⅛
yb~^a^

1Мы имеем

]ΛZ — α + ^∣∕Z — B = YbA exp -(-Iy),

YZ — а — Y Z— B~Yb— аехр (—Х—Iy),

А отсюда можно вывести, что

∣ Z — α∣ + ∣Z — B = B α∣ch 2X, Z — а | — ZB=B α∣cos 2у.]

22. Отображение Г = Zi. Если Г = Zi, где под мнимыми степенями понимаются их главные значения, то мы имеем

Exp(1р Г + й) = Z = exp (t In Z) = exp (Z InZ?- θ),

Так что lnr = —Θ, θ = In Z? -J — 2., где K— целое число. Так как все зна­чения K дают одну и ту же точку Г, то мы можем предложить A = O; в этом случае

Inr = -θ, Θ = 1∏Z?. (1)

Вся плоскость Z покрывается, когда Z? пробегает все положительные значения, a Θ — все значения от — π до к; тогда г изменяется в пределах от ехр (— к) до exp π, а 6 пробегает все действительные значения. Таким образом, вся плоскость Z соответствует кольцу, ограниченному окружно­стями r=exp(—π), r = expπ, но это кольцо покрывается бесконечно много раз. Но если θ изменяется только в пределах от —к до к, так что кольцо покрывается только один раз, то Z? может изменяться только от ехр(—π) до exp ‰ так что изменение, Z ограничено кольцом, во всех отношениях подобным тому, в котором изменяется Г. В каждом из этих колец следует, кроме того, представить себе барьер вдоль отрезка отрицательной действи­тельной оси, который точка Г (или Z) не должна переходить, так как ее амплитуда не должна выходить за пределы —π и π.

Таким образом, мы получаем соответствие между двумя кольцами, которое задается уравнениями

Z=Zi,Z^Z~I,

Где имеются в виду главные значения степеней. Окружностям в одной плоскости с центром в начале соответствуют в другой плоскости прямые, проходящие через начало.

23. Проследить движение Z, когда Z, исходя из точки ехр к, движется вдоль большей окружности в положительном направлении к точке — expπ, затем вдоль барьера, затем в отрицательном направлении вдоль малой окружности, обратно вдоль барьера и, наконец, вдоль оставшейся половины большой окружности к исходному положению.

24. Если ZZi, причем допускается любое значение степени, и Z дви­жется вдоль логарифмической спирали с полюсом в начале, то Z также движется вдоль логарифмической спирали с полюсом в начале.

25. Как ведет себя Z = Zai, где А—Действительное число, когда г прибли­жается к началу координат вдоль действительной оси?

[Точка Z описывает неограниченное число раз окружность с центром в начале (причем эта окружность — единичная, если имеет главное зна­чение), так что и действительная и мнимая части Z ограниченно колеблются.]

26. Показать, что областью сходимости рядов вида

Anznai,

OO

Где А действительно, является угол, т. е. область, определенная неравен­ствами θ0 < am Z < Q1.

[Этот угол может свестись к одной прямой или покрыть всю плоскость.]

27. Линии уровня. Если F (г) — функция комплексного переменного Z, То кривые, вдоль которых J F (Z) | постоянен, называются Линиями уровня F (г). Нарисовать линии уровня следующих функций:

Z — а (концентрические окружности),

(Z — а) (г — Ь) (овалы Кассини),

——у (связка окружностей) Ехрл (прямые).

28. Набросать вид линий уровня функции (г — а) (г — B)(Z~C).

29. Набросать вид линий уровня функций 1) лехрл, 2) sin л.

[См. фиг. 55, иа которой изображены линии уровня функции sin Z. Кривые, отмеченные номерами I — VIII, соответствуют значениям[107]! K = 0,35; 0,50; 0,71; 1,00; 1,41; 2,00; 2,83; 4,00.]

30. Набросать вид линий уровня функции ехрл — с, где С — действитель­ная постоянная.

[На фиг. 56 изображены линии уровня функции exp Z 1, причем кри­вые I — VII соответствуют значениям K, для которых InA = —1,00; —0,20; —0,05; 0,00; 0,05; 0,20; 1,00.]

31. Линии уровня функции sin Z — с, где с — положительная постоянная, изображены на фиг. 57 и 58.

[Характер кривых зависит от того, будет ли C< I или > 1. На фиг. 57 мы взяли С = 0,5 и кривые I — VIII соответствуют значениям А = 0,29; 0,37; 0,50; 0,87; 1,50; 2,60; 4,50; 7,79. На фиг. 58 С = 2 и кривые I — VII соответ­ствуют значениям А = 0,58; 1,00; 1,73; 3,00; 5,20;9,00; 15,59. Для с = !кривые имеют тот же вид, что и на фиг. 55, за исключением того, что начало координат сдвинуто и масштаб изменен.]

32. Доказать, что если 0<Θ<π, до

Cos Q ɪ- cos 3θ -∣- ɪ cos 5Q +… = ɪ in ctg2 ɪ Q, siπθ+ -ɪ- sin 39 + ɪ sin 5Q +… = ɪ

И определить суммы этих рядов для всех других значений 9, для которых они сходятся.

[Использовать равенство

. 1 . , 1 . . 1,1+2′

Z + 3^ z ÷ 5 +—————- 2 n 1 — Г ’

Где Г — cosO + (‘ sinΘ. Когда 0 увеличивается на π, то сумма каждого из этих рядов меняет свой знак. Мы заключаем, что первая формула имеет место для всех значений 0, кроме значений, кратных к (для которых ряд расхо­дится), тогда как сумма второго ряда равна -^∙ π, если

2⅛π<θ<(2⅛ + 1)к,

1

—- j-κ, если

4

(2⅛ + l)π<θ<(2⅛ + 2)κ,

О, если θ кратно к.]

33. Доказать, что

Чему равен этот интеграл, если β < 0?

38. Доказать, что если мнимые части корней уравнения

Ax* + 2Bx+C = 0

Имеют обратные знаки, то

isinno -⅛+Γ⅛]
1
для всех действительных
(экз. 1932 г.)
34. доказать, что если то
cos 9 — ɪ cos 39 + — cos50-
sinθ—5- sin 30 + -ɪ- sin 50— .. .= — in(sec 9 + tg 0)’, о о 4
и определить суммы этих рядов для всех других значений 0, для которых они сходятся.
35. доказать, что
cos 0 cos а + ɪ cos 20 cos 2a + ɪ cos 30 cos за + ... =
2 о
= —in ∣4 (cos 9 — cos α)sj,
если ии 0 — а, ни 0+а не кратны 2π.
36. доказать, что если ни а, ни ь не являются действительными числами, то
(ix, 1п(—с)— in (— ь)
(х — а)(х— ь) а — ь
где имеются в виду главные значения логарифмов. проверить результат в том случае, когда a = ci, ь — —ci, где с положительно. рассмотреть также случаи, когда а и ь, или оба эти числа, действительны и отрицательны.
37. доказать, что если а и β действительны и β>0, то
dx,-(a + zβ)2
2(a+∕β) •
х‘ •
dx,гл,ax2 + 2bx+c уbs-ac
где знак j bt — ac должен быть выбран так, чтобы действительная часть
lΛfis-яд
ai

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Неравенства Гёльдера и Минковского

Три неравенства играют особенно важную роль в анализе. Это — теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом и неравенствах Гёль­дера и Минковского. Теорема о среднем арифметическом и среднем геоме­трическом нужна в несколько более общей форме, чем та, которая при­ведена на стр. 39; неравенства Гёльдера и Минковского могут быть тогда выведены из нее.

В дальнейшем все буквы обозначают строго положительные числа. Так же как на стр. 39*), мы можем доказать, что

^ + ^ + ∙∙∙+-⅜.>(aιa2…an) 1/Д> (1)

Если не все А равны между собой (в этом случае оба средних равны). Если мы предположим, что числа А распадаются на Т групп, равных между собой, причем Pl из них равны Al, р« равны α8 и т. д., так что

Pi + Ps + ∙ ∙ ∙ +Pm — n∣ то неравенство (1) принимает вид

Qfli 4^ Qiai + ∙ ∙ ∙ + Qmflm > βflβf 5∙ •• ’ (2)

Где

Pi+Ps + ∙ ∙ ∙+Pm ’ ɑ

Так что

Qi + Qi + ∙ ∙ ∙ + Qm 1∙ (T)

Здесь неравенство также обращается в равенство, когда все А равны друг другу.

Обратно, если’^ь Qi,..T Qm—Любые положительные рациональные числа с суммой равной 1, то мы можем привести их к общему знаменателю и записать в форме (3), и тогда (2) сведется к частному случаю неравен­ства (1).

Докажем теперь, что неравенство (2) имеет место (если не все А равны) для любых действительных Q с суммой, равной 1. Иначе говоря, мы отбро­сим условие, что Q рациональны. Мы будем называть эту теорему, общей теоремой о средних" и ссылаться на нее как на теорему Gm, или просто G. Доказательство не зависит от предыдущих рассмотрений.

ɪ) В действвтельностя мы этого не доказали, но наши рассуждения требуют лишь небольших изменений. Эти изменения незачем приводить здесь во всех подробностях, так как (1) содержится в (2), а мы даем неза — висимое доказательство (2).

qi + qt + ∙ ∙ ∙ + qm _ 1 — q,
q + qm-^>
Мы можем свести доказательство к доказательству частного случая Gi. Действительно, допустим, что ;«>2и что G⅛ доказано для К —2, 3,…, Т — 1. Пусть

Так что и положим

qiqiQm — 1

так что
тогда
Q ’ ‘ ’‘ " M — ‘ Q Qi + Qi + ∙+-QMι~X

Lm-ι a^^(aqι…aq’m-Λq a9m

≤⅛T ɑʧɪ- ∙ ‘am"L↑ ɪj 4^⅞,mαm ≤

≤ ⅛,(⅛, Jfl1 Qm-Iflm — O ^)^ Qmflm

= Qfll + Qflt + ∙ ∙ ∙ + Qmflm>

По G2 и Gm-ɪ. Во второй строке имеет место знак неравенства, если <⅛∙∙∙βm⅛≠a""

А в третьей, если не все Ai, α2,…, Ат —, равны. Следовательно, по крайней мере в одном ме те должен стоять знак неравенства, если HeBceab Ai,…, AmL, Ат равны. Следовательно, Gfe имеет место для К = т, и поэтому справедливо для всех К.

Остается доказать G2. Изменяя обозначения, мы можем записать G2 в виде неравенства

AFlbi~^ α<αα-}-(l—a)⅛ (0<a<l) (5)

(если a≠⅛). Не ограничивая общности, мы можем, очевидно, предположить, что B>A. Тогда (5) может быть записано в виде

Bx~a-A1^β<(l-a) (b — a)a~a. (6)

Но, Но теореме о среднем значении (см. стр. 238),

⅞1~3-β1~a = (l-a) (BA}ζ~A,

Где А < ξ < Ь, а это дает (6), так как — a < 0 и, следовательно, ξ ~ a < A ~ AТаким образом, G2 и общая теорема о средних доказаны.

Мы можем записать и общее неравенство Gm в форме, аналогичной (5), а именно,

Aab9<∞+βb + … + U, <7)

Где ∏4^P4^… + λ = l.

У читателя может возникнуть следующий вопрос: не можем ли мы вывести общую теорему предельным переходом из ее частного случая, в котором Q рациональны? Мы можем аппроксимировать каждое Q,J последова­тельностью рациональных чисел таким образом, что

<r>+ <‘U∙..+½>=ι

Дли каждого Г п что Tj(PQ, ɪɪpɪɪ г -» ∞ для каждого `z. Тогда

o<,),4^ai + q'ζtai +... + q^am>d[i сп2 ... a∏n,<∏n

Для каждого Г, и обе части неравенства (8) стремятся к соответствующим частям неравенства (2) при г— оо.

Это рассуждение было бы достаточным, если бы мы удовлетворились доказательством неравенства (2) в менее строгой форме, в которой знак »>’ заменен на В самом деле, при Г—са знак „>• вырождается в,2≥":

Из Xt^ → х, YWY и x^>jz^ следует только, что x⅛y, и нельзя утвер­ждать, что всегда Х>у. Это затруднение может быть обойдено с помощью одного искусстаениого приема (см. Неравенства, стр. 31), но мы предпочи­таем здесь более прямое доказательство.

Неравенство (6) является одним из доказанных в п. 74, с ограничением, что А рационально. Рекомендуем читателю показать, что все неравенства п. 74 справедливы для всех, а не только для рациональных, показателей. Этого, очевидно, нельзя было сделать в п. 74, так как xα ие было определено для иррациональных А до п. 214.

Существует еще одна интересная трактовка неравенства G2. Так как

inx =D2

Dx2

То функция Inx Вогнута, т. е. ее график имеет всюду отрицательную кри­визну, и все хорды кривой jz = lπx лежат под ней. Если P—Точка (а, In а), a Q точка (B, In B}, то точка R, которая делит PQ так, что

A. PR≈(A)RQ,

Имеет абсциссу αa-}-(l— A)B и ординату σlnα + (l—a)ln⅛. Следовательно,
aln А + (1 — о) In B <; In {Aa — J-(1 — α) B},

Что и является неравенством (5).

Неравенство Гёльдера (H)

Если ⅛>1 И Maκ 4,no ⅛’>1 и

и a,, ʤ,..., ап и bi, bi,..., bn — две последовательности положительных чисел, то

Причем знак равенства имеет место в том и только том случае, когда

Последовательности (а) и (Ь) пропорциональны, т. е. когда ~ не зависит Ьщ

От т.

Это неравенство является следствием неравенства (5). Так как каждая часть неравенства (10) однородна (со степенью 1) относительно А и отно­сительно Ь, то мы можем, не ограничивая общности, предположить, что ∑α=l, B=L. (11)

Если мы, кроме того, будем писать А вместо ɪ и (3 вместо, так что β+ (3=1, и заменим А и B на Aa и ⅛3, то (10) превратится в

^α⅛3≤(∑α)a(∑⅛)3∙ (12)

Но, по неравенству (5),

Aab^ 2(аа + (36) = ≈ + (S = 1 = (ɪαf (∑B↑.

Равенство имеет место в том и только том случае, когда CLm-=∙Bm для всех ///,

А, значит, если мы отбросим условия (11), когда — не зависит от Т.

σM

Вообще, имеет место следующее неравенство:

2 Λ∖.. Zλ<(∑ A)a(∑bf… (∑ /)\ (13)

Если

A + (3 + … + λ = l (14)

И последовательности (a), (⅛),…, (Z) не пропорциональны. Это может быть выведено из (7) так же, как мы вывели (12) из (5), или же индукцией непосредственно из (12).

Неравенство Минковского (M)

Если ⅛>1 И A1, α2,…, Ап и Bi, B1,…, Bn-∂βe последовательности положительных чисел, то

( I С. + ⅛y-),’^ ≤ (∑ „*)v* + ⅛ Г с=)

Im=I J ∖m=l ∕ Vm=I J

Равенство имеет место в том и только том случае, когда (а) И (Ь) пропорциональны.

Это неравенство может быть выведено из (10). Положим

S = { Σ (am + ⅛m)fe}vfe≈{∑(a + Wzft

Lm=1 J

(опуская индексы). Тогда

Sk = ∑a(a + b)k~1 + ∑b(a + bKi.

Применяя неравенство (10) к каждому члену в правой части и замечая, что (⅛ — 1)⅛’=⅛, мы получим:

Sfc ≤(∑ a⅛)17fe { ∑(A + B)K}υk‘ + (£ ⅛*)}Vfe {∑(A + ⅛)√Z4‘ =

= {QX)V⅛ + {∑Bkfk} SkK‘,

И (15) следует отсюда делением на Sk^K‘. Равенство имеет место в том и только том случае, когда (а) и (6) пропорциональны (а + Ь), т. е. когда (а) и (6) пропорциональны.

Имеет также место весьма полезное обратное неравенство. Допустим, что А + B ~ 1. Тогда А < 1, B < 1 и, следовательно (так как K > 1), Ak < а, Ak + Bk < а + B = 1 = + B)K.

Так как обе части окончательного неравенства однородны (со степенью К), То это неравенство справедливо и без того ограничения, что α+⅛ = l. Отсюда следует, что

∑(α + ⅛)ft>∑αft + ,∑⅛*. (17)

Равенство здесь не может иметь места, если (как мы все время предполагаем) все А и Ь строго положительны.

Разные замечания по поводу неравенств Когда К — 2, К’ = 2 и (77) сводится к

(∑Ab)-<∑A-∑B

Т. е. к неравенству Коши (стр. 39). Если мы предположим, что ⅛ = 2h «=3 в (M), и возьмем в качестве (а) и (B) X1, Y1, Z1 и xs, Y2, Z2, то неравенство Минковского принимает вид

V (X1 + x2)2 + (Y1 + y2)2 + (Z1 + Z2)2 < УX^ +jz21 + Z`I +]∕^X +Y + Zri.

Это неравенство выражает, что длина одной стороны треугольника, вершины которого находятся в точках (0,0,0), (X1, Y1, Z1) и (—Xi, —Yi, —Zs), меньше суммы длин двух других сторон. Неравенство превращается в равенство, когда X1, Y1, Z1 пропорциональны Xs, Yi, Zi, т. е. когда треугольник выро­ждается в отрезок прямой. В общем случае (M) является обобщением, неравенства треугольника" на пространство П измерений, в котором рас­стояние между двумя точками P1 и P2 определено как

(I Xi XT Ift + Iy 1 —Ун Ife + 1 Z1 zs ∣ft -f-.. .)lχfe.

Неравенство (7) на стр. 39 является следствием из (H), так как

(∑a)fe = (∑a ‘ 1)fe<∑afe (∑l)fezft’ = nft-1∑afc∙

Но неравенство (6) на стр. 39 не может быть выведено ни из одного из неравенств, приведенных здесь; оно в действительности является частным случаем неравенства другого типа, а именно, неравенства Чебышева (см. Неравенства, стр. 59).

Когда К рационально, (H) и (M) являются Алгебраическими теоремами и представляется желательным, чтобы их доказательства были также алгебраическими, т. е. чтобы они не использовали никаких предельных переходов. Такие доказательства читатель найдет в гл. II Неравенств (где рассматривается также большое число аналогов и обобщений этих теорем). Если К иррационально, то x⅛ не является алгебраической функцией, и тогда вопрос о чисто алгебраическом доказательстве отпадает. В настоящей книге, например, χft было определено как exp(⅛lπ Х), и поэтому естественно, что доказательства должны опираться на теорию логарифмической и пока­зательной функций, и использовать методы дифференциального исчисления.

ПРИЛОЖЕНИЕ H

Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по
крайней мере один корень

Теорема о том, что „всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень", обычно называется „основной теоремой алгебры", но она по существу скорее принадлежит к анализу, так как ее нельзя доказать, не применяя где-нибудь понятия непрерывности. Представляется целесо­образным привести здесь два из наиболее известных доказательств этой теоремы.

(А) Первое из них является естественным развитием идей, изложенных в гл. III и X. Пусть

Z=F(Z) = Aazn + Alzn~[108] + …+ ап

— многочлен относительно Z с действительными или комплексными коэф­фициентами. Мы можем предположить, что αo≠O.

Предположим, что Z описывает замкнутый путь γ в плоскости Г; факти­чески γ всегда будет квадратом, стороны которого параллельны осям, пробегаемым в положительном направлении. Тогда Z описывает замкнутый путь Г в плоскости Z. Мы можем предположить, что Г не проходит через начало координат, так как в противном случае справедливость теоремы была бы очевидной.

Каждому значению Z соответствует бесконечно много значений anιZ, отличающихся друг от друга на кратные 2~, и каждое из этих значений непрерывно изменяется* когда Z описывает Г[109]. Выберем какое-нибудь определенное значение am Z (скажем, значение, для которого — π < am Z ≤ г), соответствующее исходному значению Z, н проследим его изменение вдоль Г. Таким образом, мы определили значение am Z (которое мы и будем обозначать через am Z), соответствующее каждому Z иа Г.

Когда Z возвращается к исходному положению, am Z может также возвратиться к исходному значению или может отличаться от него иа крат­ное 2*. Так, если Г не содержит начало, как путь (а) на фиг. В, то am Z остается без изменений; но если Г один раз обходит начало в положитель­ном направлении, как путь (Ь), то am Z увеличивается на 2- Обозначим изменение am Z, когда Z описывает γ, через Δ (γ).

Допустим сначала, что γ является квадратом S со стороной 27?, состоя­щим из отрезков прямых х = ±/?, X= ±/?. Тогда [2(≤⅛∕? на S. Мы можем выбрать /? настолько большим, что

ɪaɪl I 1Q31 , , 1 An J 1

I а» !Я^t^ |а«1 Я8ɪ ‘ ‘ ∙ ɪ ∣a0!Λ>π 2 ’

И тогда

Z=’^(ι+≤+’∙∙+5τ)="≠<ι+⅛

Где I η I < ɪ для всех точек S. Амплитуда 1 + η, очевидно, останется без

Изменений, когда Г опишет S, а амплитуда Zn увеличится на 2nπ. Следова­тельно, амплитуда Z увеличится на 2nπ, так что Δ (S) = 2п~. Все, что нам в действительности нужно знать—это то, что Δ(S)≠0.

Разобьем квадрат S осями координат на четыре равных квадрата S<4 sσ>, sω sφ

Со стороной /?. Мы можем взять любой из них в качестве γ и предположить опять, что соответствующий путь Г не проходит через начало координат. Тогда

ʌ (S) = Δ (S<jj>) + Δ (S<js>) + Δ (S<’>) + ∆ (S¾. (1)

В самом деле, когда точка Z описывает по очереди каждый из квадратов sɑ), •. ■ (см. фиг. А), то она один раз опишет каждую сторону S; что же ка­сается сторон I меньших квадратов, которые не являются частями сторон S, то она опишет каждую такую сторону Z два раза в разных направлениях, и слагаемые в сумме (1), соответствующие таким сторонам, взаимно уни­чтожатся. Так как Δ(S)≠0, то по крайней мере одно из Δ(Sf^),… отлично от нуля. Первый из таких квадратов обозначим через Sj. Тогда Δ(S1)≠0.

Разобьем теперь S1 иа четыре равных квадрата прямыми, параллель­ными осям, и повторим наше рассуждение, в результате чего мы найдем квадрат S2 со стороной ɪ R, для которого Δ(S2)≠0. Продолжая этот процесс, мы получим последовательность квадратов S, S1, S2,…, Sn,… со сторонами 27?, R, ɪ /?,…, 2 ~ n +1 /?,…, из которых каждый лежит внутри

Предыдущего, таких, что Δ(Sn)≠0 для каждого я.

Если юго-западной и северо-восточной вершинами Sn являются точки <XN, Уп) и (XN, YN), так что

Х‘п XN~YN Уп=%

τo(xn) и (у„) являются возрастающими последовательностями, a (ɪɔn(ʃɔ — убывающими; Хп и Х’п стремятся к общему пределу X0, а Уп и /„ стремятся К Общему пределу Ув. Точка (x0, у0) или P лежит внутри или на границе каждого Sn,). Если дано любое положительное число 5, то мы можем выбрать я так, что расстояние любой точки Sn от точки P будет меньше 5. Следовательно, P обладает тем свойством, что как бы мало ни было 5, найдется такой квадрат Sn, содержащий Р, что все его точки находятся от P на расстоянии, меньшем 5, и что для него Δ(Sπ)≠0.

Мы можем теперь доказать, что

/(*⅛)=Z(∙¾ + (V0) = O-

В самом деле, допустим, что F(Za) = C, где 1 С | = р > 0. Так как /(x0 + (V0) является непрерывной функцией от Xa и Ya, то мы можем выбрать я настолько большим, что

ɪ/(z)-/(z0)∣<yp

Во всех точках Sn. Тогда

Z=∕(Z) = C+ σ = E(T +η),

Где ∣σ)<yp, I η [ < ɪ во всех точках Sn. Отсюда следует, что am Z не

Меняется, когда z описывает Sn, и мы приходим к противоречию. Следова­тельно, ∕ (z0) — Os).

(В) Наше второе доказательство использует обобщения результатов jin. 103 и сл. на функции нескольких переменных.

Как и в п. 103, мы определяем верхнюю и нижнюю грани функции F (х, у) в области D, ограниченной квадратом типа S. Мы можем доказать (в основном так же, как в последней части п. 105a^), что непрерывная функ­ция достигает своих точных верхней и нижней граней во всякой такой области D.

Пусть

F(x, jz) = !∕(x + iy) I = IZ(Z) I = I Z.

Тогда F(X,Y) непрерывна и неотрицательна; таким образом, она имеет неотрицательную точную нижнюю грань Т в D, которая достигается в некоторой точке Z0 из D. Легко видеть, что если /? достаточно велико, то Z0 лежит внутри D[110] [111] [112]).

Допустим, что zn>O. Если мы положим z = z0-}-ζ и разложим ∕ (z) по степеням ζ, то получим:

/(z)=∕(z0) + A1Z + AsZi +■■■ + Anzn,

Где A1, A3,…, An не зависят от ζ. Пусть Ak будет первым из этих коэф­фициентов, который отличен от нуля, и положим

∕ (Za) = Meφ, Ak = Aeιn, ζ = pc1’φ.

Мы можем предположить, что р настолько мало, что Аре < т и

Mfc + ɪ £* ‘^ + • • • + I < ɪ AVk∙

Тогда

/ (г) = Metμ + Apb Et+ + G,

Где ∣g∙]< -^∙aρfe. Выберем ⅞ так, что

A + ⅛φ = р. + (2)

Тогда

F (z) = el<i { тApe + ge~ιv-} ,

F(z) = M-apk^t — ge~ιv^ ≤ иApk + [ g< т — ɪ βpft ,

Что противоречит определению Т. Таким образом, Т должно быть равно 0, τ∙ е. F (Za) = Q.

Когда мы выбираем φ так, чтобы выполнялось (2), мы фактически решаем уравнение

ζfc=-pV⅛~≈).

Другими словами, мы используем тот факт, что уравнение специального вида

ZnC = 0 (3)

Всегда имеет корень, т. е. что „основная теорема” справедлива для двучлен­ных уравнений. Мы уже знаем, конечно, что уравнение (3) имеет в действи­тельности П корней (см. п. 48 и наши дальнейшие строгие рассмотрения триго­нометрических и показательной функций).

C логической точки зрения интересно, однако, найти доказательство тео­ремы, не зависящее от теории тригонометрических функций. Наше рассужде­ние дает такое доказательство, если известно, что теорема верна для уравнений вида (3), и Литтльвуд (J. Е. Littlewood, Journal Of The London Mathemati­Cal Society, vol. 16) показал, как можно закончить доказательство, применяя „метод нижней грани” к функции

F(Z) = Zn— с, (4)

Где С = A — f — Ib ≠. 0.

Мы знаем (см. пример XXI. 14), что любое квадратное уравнение и, в частности, уравнение Г2 = с, имеет корни. Эти корни, равны

± j/ɪ + ≈)±IjR-^ (↑∕+~Tfb2 — а),

Причем знаки следует брать одинаковыми, если Ь > 0, и разными, если Ь < 0. Следовательно, если N = SΣ,N, где N—Нечетное число, то мы можем, решив V квадратных уравнений, свести решение уравнения (3) к решению уравнения ZN—-D = 0. Поэтому мы можем предположить, что П нечетно.

Теперь мы рассуждаем как выше, но применительно к специальной функ­ции (4). Имеются две возможности: либо 2⅛≠0, либо ¾=0. Если’20 ≠0, то

F(Za + Z)=F(Za) + Nzan-1L + …=F(Za)+A⅛+ …,

Где A1≠0, так что ⅛≈1. Окончание доказательства тогда зависит только от решения Линейного- уравнения. Если же Za = 0, то

/(z)=∕(ζ) = ζ"-c.

Если мы придадим ζ четыре значения ± р, ± Zp, где р мало, то (так как П Нечетно) /(ζ) принимает четыре значения

— с ± о”, — С ± Zδn.

Другими словами, если P является точкой F (z0) или — с, на диаграмме Аргана, то четыре точки, представляющие F (г) в этих четырех случаях, получаются из P небольшими смещениями в четырех возможных направле­ниях, параллельных осям. По крайней мере одно из них переносит P ближе к началу1), и если ζ имеет соответствующее значение, то F(Z) I < l∕¼) IТаким образом, мы получаем противоречие, требуемое для завершения дока­зательства. Основные идеи доказательства могут быть найдены у Коши (Cauchy, Exerdces De MatħDmatiques, t. 4, стр. 65—128), хотя и в менее четкой форме. Это доказательство приведено также в гл. II книги Todhun- ter, Theory Of Equations.

Из большого числа известных доказательств „основной теоремы” наиболее удовлетворительным с алгебраической точки зрения является, вероятно, так называемое „второе доказательство Гаусса” (в одной из его упрощенных форм, принадлежащих позднейшим авторам). См. Gauss, Werke, voɪ. III, стр. 33—56 или Perron, Algebra, vol. I, стр. 258 — 266. Эти доказательства, однако, значительно длиннее;

ПРИМЕРЫ К ПРИЛОЖЕНИЮ II

1. Показать, что число корней уравнения /(г) = О, лежащих внутри замкнутого контура, не проходящего ни через один корень, равно изме­нению

2⅛lnm

Когда Z описывает контур.

2. Показать, что если R—Любое число, удовлетворяющее условию то все корни уравнения

i ⅜1
rn
< 1.

Zn + A1Zn~I + … + An = 0

По модулю меньше R. В частности, показать, что все корни уравнения ∙z5-13z — 7 = 0 по модулю меньше 2 θγ.

3. Определить число корней уравнения

Z~P 4- Az + b = О,

Где А и B действительны и Р нечетно, имеющих положительные и отрица­тельные действительные части. Показать, что если α>0, S>0, то числа эти равны Р — 1 и р + 1; если α<0, S>0, то они равны р + 1 и Р — 1; а если B < 0, то они равны р и р. Рассмотреть частные случаи А = 0 или S = O. Проверить результаты для Р — 1.

[Проследить изменение аш (ZiP + Az + B), когда Z описывает контур, образованный большим полукругом радиуса R с центром в начале и его диаметром, лежащим на мнимой оси.]

ɪ) Оставляя ординату неизменной и уменьшая абсолютную величину абсциссы, или. наоборот.

4. Рассмотреть аналогично уравнения

214 + B2+⅛=0, 219-* + H2 + ⅛=0, 21?+1 + H2+⅛=0.

5. Показать, что если а и β действительны, то числа корней уравнения

22Л ψ c⅛2∏-1 βS _ 0,

Имеющих положительную и отрицательную действительную часть, равны П — 1 и И +1 или и и и в зависимости от того, нечетно ли и или четно.

(Экз. 1891 г.)

6. Точки Zl, Z2, Zs образуют треугольник в комплексной плоскости, при­чем внутренность треугольника лежит слева от стороны, идущей от Z1 к Z2. Показать, что если Z движется вдоль прямой, соединяющей точки 2 = 2, и Z = Z2, от некоторой точки вблизи г, к некоторой точке вблизи Z2, то изме­нение

Am O-→—L — + — U

Z-zl Z-Z2 Z-Z2/

Почти равно Т,.

7. Контур, содержащий три точки Z = Zl, Z = Z2, 2 = 23, определен частями сторон треугольника, образованного 2„ Z2, Z2 н внешними по отно­шению к треугольнику частями трех малых окружностей с центрами в этих же точках. Показать, что когда г описывает этот контур, то изменение

Am (-!- + -!-+ɪʌ

\2— 2, 2 — Z2 Z-Z2′

Равно — 2^.

8. Показать, что любой замкнутый овал, окружающий все корни куби­ческого уравнения F (г) = 0, окружает также н оба корня производного урав­нения F (2) = O.

[Использовать тождество

ΓM=Γ<√7⅛+7⅛-T⅛∙

Где г„ Z2, Z2 корни уравнения /(2) = O, и результат примера 7.]

9. Показать, что корни уравнения F (2) = O являются фокусами эллипса, который касается сторон треугольника (г„ Z2, Z2) в их серединах.

[См. Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа и исчи­сление бесконечно малых.]

10. Распространить результат примера 8 на уравнения любой степени.

И. Если F(Z) н φ(2)-два многочлена относительно Z, γ — контур, не

Проходящий ни через одни корень F (2), и ( φ (2) ∣ < ∣ F(Z) [ во всех точках γ, то уравнения

/(2) = 0, /(2) + φ(2)∙=0,

Имеют внутри γ одно и то же число корней.

12. Показать, что уравнения

Ez = Az, Ez = Az2, Ez =.Az‘,

Где А > Е, имеют, соответственно, одни положительный корень, один поло­жительный н один отрицательный корень, один положительный н два ком­плексных корня внутри круга 1 Z I = 1,

(Экз. 1910 г.)

ПРИЛОЖЕНИЕ III

Замечание о задачах, содержащих двойной предельный переход

В гл. IX и X мы встретились с некоторыми частными случаями одной общей задачи, играющей очень важную роль в анализе.

В п. 220 мы доказали, что

In (1 + х) = х — ɪ x2 + ɪ xs — ….

Где — l<x≤l, путем интегрирования уравнения -⅛r=1-‘ + <∙—

В пределах от 0 до х. Мы доказали фактически следующее равенство:

x ххх
.f⅛=j∙→"+∙f
t4i-

Т. е. что Интеграл от суммы бесконечного ряда T + Ti-…

В пределах от Q до х равен сумме интегралов от его членов, взятых в тех же пределах. Другими словами, это означает, что операции суммиро­вания от 0 до ∞ и интегрирования от 0 до х Перестановочны в применении к функции (— )NTn, т. е. что порядок, в котором они производятся, не играет роли.

Далее, в п. 223 мы доказали, что производная показательной функции

Exp X == 1 + -∩- + -∣γ + … сама равна ехр х или что

Dx( + ^ + ^ + ..^ = DxX + Dx-^ + Dx^ + …,

Т. е. что Производная суммы ряда равна сумме производных его членов, Или что операции суммирования от 0 до со н дифференцирования по х перестановочны в применении к ɪɪ-.

Между прочим, мы в том же пункте доказали, что ехр х является непре­рывной функцией от х, т. е. иначе говоря, что

‘→≈ (1+TT + ⅛ + ∙"W+T!+∑! +∙∙∙ =

= Iim 1 + Iim x->; x→;

Или что предел суммы ряда равен сумме пределов его членов, или что сумма ряда непрерывна прн x = ξ, нли что операции суммирования от 0 до оо и перехода к пределу при Х—Ч перестановочны в применении к ɪɪ-.

В каждом из этих случаев мы давали специальное доказательство спра­ведливости результата. Мы не доказали никакой общей теоремы, нз кото­рой справедливость любого из этих результатов следовала бы сразу. В при­мере XXXVlI. 1 мы видели, что сумма конечного числа непрерывных членов сама непрерывна, а в п. 114 — что производная суммы конечного числа членов равна сумме их производных. В п. 165 мы установили соответствующую теорему для определенных интегралов. Таким образом, мы доказали, что в некоторых условиях операции, символически обозначаемые

Ь

Iim…, Dx ..., 1 … Dx, X->i J

А

Перестановочны с операцией суммирования конечного числа членов. Есте­ственно предположить, что в некоторых условиях, которые можно точно сформулировать, эти операции будут перестановочны также и с операцией суммирования бесконечного числа членов. Естественно предполагать, что это будет так; но большего мы пока ничего сказать не можем.

Несколько дальнейших примеров перестановочных и неперестановочных операций помогут нам разъяснить этот вопрос.

(1) Умножение на 2 н умножение на 3 всегда перестановочны, так как

2 х 3 х x = 3 X 2 х Х

Для всех значений Х.

(2) Операция образования действительной части Z никогда не перестано­вочна с умножением на /, если 2≠0; в самом деле,

IχRe(x + <y)=⅛ Re {I X (XSR Iy) } = — у.

(3) операции перехода к пределу при х или у стремящихся к нулю в применении к функции f(x, у) могут быть как перестановочными, так и неперестановочными. так,,iim { iim (% + >) }= ∏m .v = 0, iim { hm (х+» }= iim у —q1,x→ 0 у → о
тогда как
,x→0,у →0,(4) операции,hm { hm -χl' i= hm — = 1, j→0l→0x+>'∣ x→∣)x,х—у,}■,hm,—у,iim ∙j hm . -
y→o 1 x→o χjry ) y→o у

ɪ …,Hm…

1 х-1

Могут быть как перестановочными, так и неперестановочиыми. Так если Х— 1 слева, то

hm
.t→ 1

iim x —* 1 (- υn~1
in 2;

= Hm in(1 + Х) = 1∏2, x→l

Но, с другой стороны,

Iim I 2 (∙vn~1 — х") }= Iim { (1 — х) + (ʌ’ — х2) +∙∙∙}= Hm 1=1, x-÷ι I 1 ‘ x→ι 1 1 XI

= 0 + 0+ ... =0.

Эти примеры показывают, что имеются три возможности в связи с пере­становочностью двух данных операций, а именно: (1) операции могут быть всегда перестановочными, (2) они могут никогда не быть перестановочными, за исключением отдельных, очень частных случаев, и (3) они могут быть перестановочными в большинстве случаев, обычно встречающихся в анализе.

Действительно важным случаем (как показывают примеры, цитированные нами из гл. IX) является тот, в котором каждая операция содержит переход к пределу (как, например, операции дифференцирования или суммирования бесконечного ряда); такие операции мы будем назыйать Предельными. Вопрос о том, являются ли две данные предельные операции перестановоч­ными или нет, принадлежит к числу наиболее важных в математике. Но попытка ответить на этот вопрос в форме некоторых общих теорем вывела бы нас далеко за пределы этой книги.

Мы можем, однако, заметить, что характер ’ ответа на поставленный общий вопрос можно предугадать нз приведенных выше примеров. Если L и L‘ — две предельные операции, то величины LLZ и LLz не будут, Вообще говоря, равны друг другу, если понимать слова „вообще говоря* в строгом смысле. Мы всегда сможем подобрать такое’ Z, что LL1Z и L1Lz будут от­личны друг от друга. Но в общем случае они будут равны, если мы прида­дим словам „общий случай" более „практический" смысл и будем понимать их как означающие „в подавляющем большинстве встречающихся на практике случаев". В математической практике результат, полученный в предположе­нии, что две предельные операции перестановочны, рассматривается как Вероятно верный; во всяком случае, он дает ценное указание относительно характера решения рассматриваемой задачи. Но таким образом полученный результат, если он не следует нз какой-либо общей теоремы илн не подтвер­ждается специальным исследонанием данного вопроса (как мы это, например, сделали в п. 220), должен рассматриваться только как предполагаемый и не может рассматриваться как доказанный.

ПРИЛОЖЕНИЕ IV

Бесконечное в анализе и в геометрии

Некоторые, хотя и не все, системы аналитической геометрии содержат, бесконечные* элементы, бесконечно удаленную прямую, круговые точки в бесконечности и т. п. Цель настоящей краткой заметки состоит в том, чтобы показать, что эти понятия никоим образом не зависят от аналитиче­ской теории пределов.

В дисциплине, которую можно назвать „обычной декартовой геометрией*, Точка является Парой действительных чисел (х, у), прямая—классом точек, удовлетворяющих линейному соотношению Ах 4- Ьу 4- С = 0, в кото­ром А и Ь не равны одновременно нулю. Здесь нет бесконечных элементов, две прямые могут не иметь ни одной общей точки.

В системе действительной однородной геометрии точка является Классом троек действительных чисел (х, у, г), не равных одновременно нулю, при­чем две тройки относятся к одному классу, если их элементы пропорцио­нальны. Прямая является классом точек, которые удовлетворяют линейному соотношению Ах — f — By-{- Cz =0, где А, Ь, с не равны одновременно нулю. В некоторых системах каждая точка или прямая совершенно равноправна другой точке или прямой. В других системах некоторые „специальные* точки н прямые рассматриваются как каким-то образом отличные от других, и в соответствующей теории особый акцент делается на отношении этих специальных элементов к другим. Так, в дисциплине, которую можно назвать „действительной однородной декартовой геометрией*, специальными являются те точки, для которых 2 = 0, а единственной специальной прямой является 2 = 0. Эта специальная прямая называется „бесконечно удаленной*.

Настоящая книга не является монографией, по геометрии, и здесь не место подробно останавливаться на этом вопросе. Важным является следую­щее обстоятельство. Бесконечное в анализе является „предельным*, а не „актуальным* бесконечным. Символ „оо* рассматривался на протяжении всей книги как „неполный символ*, т. е. символ, которому не приписывается какое-либо самостоятельное значение, хотя некоторым фразам, содержащим его, приписывается определенный смысл. Но Бесконечное в геометрии является актуальным, а не предельным бесконечным. „Бесконечно удален­ная прямая* — это прямая точно в таком же смысле, в каком всякая другая прямая есть прямая.

Можно установить соотношение между „однородной* и „обычной* де­картовой геометрией, при котором каждый элемент первой системы, За исклю­чением специальных элементов, имеет соответствующий ему элемент во вторбй системе. Например, прямой

Ах By — j- Cz = 0

Соответствует прямая

Ах 4- Ьу 4- с = 0.

Каждая точка первой прямой имеет соответствующую ей точку на второй, за исключением одной точки, а именно, той, для которой 2=0. Когда (х, у, г) пробегает первую прямую таким образом, что эта точка стремится к специальной точке, для которой z = 0, то соответствующая точка на вто­рой прямой меняет свое положение так, что ее расстояние от начала коор­динат стремится к бесконечности. Это соотношение важно с исторической точки зрения, так как оно является источником нашей терминологии в дан­ном вопросе; оно часто также оказывается полезным для иллюстративных целей. Однако оно является не более как иллюстрацией, и никакое рацио­нальное разъяснение геометрической бесконечности не может быть осно­вано на нем. Недостаточно ясное понимание этих вопросов, столь часто встречающееся у студентов, происходит от того, что в распространенных учебниках аналитической геометрии эта иллюстрация иногда принимается за реальность.

Читателям, заинтересованным в соотношениях между анализом и гео­метрией, можно рекомендовать следующие книги:

Д. Гильберт, Основания геометрии, ГТТИ, М.—Л., 1948.

C. W. O’Hara’and D. R. Ward, An introduction to projective geometry,

Oxford, 1937;

Q. de B. Robinson, The foundations of geometry, Toronto, 1940;

O. Veblen and J. W. Young, Projective geometry, vol. 1, New York, 1910,

И статью автора, What is geometry?", Mathematical Gazette, vol. 15, 1925, cτp. 309—316.

Является еще лучшим приближением, и что ошибки этих двух при­

6. Разложить sin2z и sin3 z по степеням z.

[Применить формулы

Sin2 z = ɪ (1 — cos 2z), sin3 z = ɪ (3 sin z — sin 3z).

Ясно, что этот метод применим и к разложениям cosnz и sinnz, где П— Любое целое число.]

7. Просуммировать ряд

„ 1 l Cosz l cos 2z l cos 3z, o sinz ∣ sin2z l sin3z,

C~1÷T√ + 2! ^"* 3! 1-"’j 6 7^~^^iΓ÷"2F"’ 3Γ÷∙∙, ‘

[1]) Предположение, что это возможно, равносильно принятию так назы­ваемой аксиомы Архимеда.

[2] Имеется в виду уравнение из примера II. 3. (Прим, перев.)

Ближений будут разных знаков. Применить этот результат к продолжению ряда приближений, приведенных в предыдущем примере.

[4] Если Х и У—Два приближения к )/" 2, соответственно с недостатком и с избытком, и 2—х3 <3, у2 * 4 5—2<3, то У — x<δ.

[5] Уравнение x3 = 4 удовлетворяется прих = 2. Проверить, в какой мере рассуждения предыдущих пунктов применимы к этому уравнению (в этих рассуждениях число 2 надо всюду заменить на 4). [Если мы опре­делим классы L, R по предыдущему, то они не содержат Всех рациональных чисел. Рациональное число 2 является исключением, так как 22 не меньше и не больше четырех.]

ɪ) Рассуждение, к которому мы приступаем, во многом похоже на про­веденное в п. б. Мы не пытались избежать некоторых повторений. Идея, сечения", впервые выдвинутая Дедекиндом в его знаменитой брошюре Непрерывность и иррациональные числа, должна быть усвоена каждым читателем этой книги, даже если он предпочел пропустить рассмотрение понятия иррационального числа, содержащееся в пп. 6—12.

[7]) В п. 6 мы имели три случая.

,) В lɪ. 6 мы этого утверждать не могли.

[9]) Вряд ли читатель нуждается в особом напоминании, что мы прибегаем к этому исключительно в целях удобства изложения.

А) Эта оговорка, конечно, не нужна, если ξ само не принадлежит к S.

‘*’s} Книга переведена на русский язык (Москва, 1948). (Прим, ред.)

[12] В дальнейшем автор приводит много задач, фигурировавших на экзаменах повышенной трудности в Кэмбриджском университете (так назы­ваемых Mathematical Tripos), которые сдаются студентами, претендующими на диплом с отличием. По всему университетскому курсу анализа про­водится обычно три таких экзамена. Для каждой задачи в книге указы­вается год, в котором она фигурировала на этих экзаменах. (Прим, перев.)

’) Точный смысл этрй фразы будет разъяснен в гл, ]V и V,

[14]) Определения тригонометрических функций из элементарной тригоно­метрии предполагают, что любому сектору круга может быть сопоставлено определенное число, называемое его площадью. Каким образом это предпо­ложение оправдывается, будет видно в гл. VII и IX.

[15] Эта поверхность является частью так называемого однополостного гиперболоида вращения. (Прим, перев.)

[16]) Вряд ли необходимо предупреждать читателя о том, чтобы он не смешивал этого применения символа [х] с его применением в гл. II (см. примеры XVI и Разные примеры, 20).

[17]) Строго говоря, мы должны были бы с помощью какого-либо анало­гичного различия в обозначениях отличать длину Х от числа Х, измеряю­щего ее. Читатель, быть может, будет склонен рассматривать такие разли­чия как излишний педантизм. Но с накоплением математического опыта он убедится в чрезвычайной важности ясного различия между объектами, которые хотя и весьма тесно связаны друг с другом, но все же не тожде­ственны.

*) Т. е. лежат на одной прямой. (Прим, перев.)

[19]) Последние два примера взяты из книги Willard Gibbs, Vector ana­Lysis.

[20]) Мы будем ивогда писать X--iy вместо х+уг.

[21]) См. Приложение J,

[22]) Очевидно, что Z совпадает с полярной координатой Г точки P И что другая полярная координата О является одним из значений am 2. Это значение не обязательно является Главным значением, которое опреде­лено дальше в тексте, так как, по п. 22, полярная координата заключена между 0sh 2π, тогда как главное значение заключено между —π и π.

[23] Мы предполагаем, что при обходе треугольника в направлении ABC Он остается слева.

[24] См. также Адлер, Теория геометрических построений, Учпедгиз, Л., 1940, Где даны другие построения, (Прим — Neρeβ,)

[25] Нормальным счетом при игре в крикет может считаться стс-двест^ пробегов. {Прим, Nepeβ.} ~ “

[26] Jifnes — пд;датыни предел, (Прим, перев.}

[27]) Эта фраза содержит некоторую двусмысленность, которую читателю следует разобрать. Когда говорят, что „такая то теорема почти очевидна’, могут иметь в виду одно из следующих двух обстоятельств. Могут иметь в виду, что „трудно сомневаться в справедливости этой теоремы", что „теорема такова, что здравый смысл с ней интуитивно соглашается", как он соглашается, например, со справедливостью следующих предложений: „2 + 2 = 4", или „углы при основании равнобедренного треугольника равны". Что теорема „очевидна" в этом смысле, еще не доказывает ее справедли­вости, так как даже наиболее уверенные из интуитивных суждений здравого смысла часто оказываются ошибочными. А если теорема и верна, то тот факт, что она „очевидна", не является основанием не доказывать ее, если доказательство может быть найдено. Предметом математики является дока­зательство того, что из некоторых предпосылок следуют некоторые выводы; то обстоятельство, что эти выводы могут быть столь же очевидными, как и предпосылки, никогда не избавляет нас от необходимости доказательства и не уменьшает его интереса.

Но иногда (как в данном случае) фраза „это почти очевидно* означает нечто совершенно отличное. Здесь мы имеем в виду, что „минутное раз­мышление не только должно убедить читателя в справедливости утвержде­ния, но и показать ему пути к строгому доказательству". Поэтому часто, когда утверждение „очевидно" в этом смысле, мы можем опустить доказа­тельство, но не потому, что доказательство излишне, а потому, что его проведение было бы ненужной тратой времени, так как читатель может легко провести его сам.

Эти замечания были сообщены мне много лет назад проф. Литтльвудом.

[28]I Мы, конечно, предполагаем, что ни Ай, ни δ0 не равно 0,

PQ

[30]J Это заведомо будет иметь место, коль скоро -~÷<δ.

[31]) Эти примеры особенно важны, и некоторые из них применяются дальше в тексте. Поэтому они должны быть внимательно изучены,

[32]) Читатель должен быть предупрежден, что термины „расходящийся" И „колеблющийся" применяются разными авторами в разных смыслах. [В рус­ской литературе иод расходящимся рядом, как правило, понимают ряд, который не является сходящимся; расходящийся ряд в том смысле, в кото­ром этот термин определен в тексте, иногда называют собственно расходя­щимся.— Прим, перев.]

[33]) Все результаты примеров XXIX могут быть обобщены, с соотвеТ’ Ствующими изменениями, на двоичные, троичные и т. п. дроби,

[34]) Бесконечная совокупность чисел может не содержать наименьшего члена. Например, совокупность, состоящая из чисел не имеет наименьшего члена,

[35]) Несколько простых доказательств этого результата читатель найдет в следующей работе: Hardy and Littlewood, ,Some problems of Diophantine approximation”, Acta mathematica, voɪ. XXXVII.

‘) Несколько доказательств из гл. VIII упрощаются в результате при­менения общего принципа.

[37] Так называемое необходимое и достаточное условие Коши. (Прим, перев.)

[38] Примеры 8—11 взяты из книги Bromwich, Infinite series.

[39]) Мы можем, вообще, сказать, что ® (х) порядка малости Т, если суще­ствуют такие положительные постоянные А, В, что

А I Х .m ≤ (φ (х) I ≤ ВI Х [m,

Но определение, данное в тексте, является достаточно общим для наших целей.

[40] Здесь и в дальнейшем подразумевается, конечно, непрерывность в замкнутом интервале α≤x≤⅛. (Прим, перев)

[41]) Если β = Ь, то мы должны в следующем рассуждении заменить этот

Интервал интервалом (3-*-η, β), а число β-(-η-числом β.

[43] В теоремах I и II опять подразумевается непрерывность в Замкну­том интервале (а, Ь). (Прим, перев.)

[44] Функции, обладающие этим свойством, называются равномерно непре­рывными. Утверждение теоремы II состоит в том, что функция, непрерывная в замкнутом интервале, равномерно непрерывна в нем. {Прим, ред.)

[45] Читателю рекомендуется нарисовать фигуру, иллюстрирующую это определение.

Мы отбрасываем особый случай (который нам еще предстоит рас­смотреть), в котором кривая имеет касательную, перпендикулярную к ОХ; Если исключить эту возможность, то эти две постановки вопроса эквива­лентны.

14 Г. Хзрди

[47]) Доказательства во многих руководствах (как и в первых трех изда­ниях этой книги) недостаточно строги. См. заметку проф. Карслоу (H. S. Car — slow) в Bulletin of the American Math. Soc., XXIX.

[48]) Ошибка нестрогих доказательств заключается в том, что эта возмож­

Ность не учитывается.

[50] В русской литературе это символическое обозначение совершенно не применяется. (Прим, перев.)

[51]) Не обязательно минимум в строгом смысле; см., однако, предпоследний абзац в п. 123.

16 Г. Харди

[52] Часто употребляется также термин, первообразная’ или „примитивная". Однако мы все же придерживаемся терминологии автора. (Прим, пер ев.)

[53]) По поводу определения знака см. п. 120.

[54] См. книгу автора, Интегрирование элементарных функций", ОНТИ, 1935. В практике интегрирования это случается довольно редко.

[55]) См. книгу автора, цитированную на стр. 248.

[56] Подинтегральная функция в примере 12 называется биномиальным дифференциалом. Теорема о том, что перечисленные в примере 11 случаи являются единственными, в которых интеграл от биномиального дифферен­циала выражается в конечном виде через элементарные функции, принад­лежит П. Л. Чебышеву. (Прим, перев.)

[57] По поводу 9tqγq обозначения см. стр. 217. (Прим. Nepee, j

[58]) Или QPl 2| (A) = G ‘n a-1 (A) G O1 s) (0) = HG (n (9Л) > 0, по теореме

О среднем.

[60]) Изменяя знак перед δ в определении G (h).

[61]) Ибо в противном случае левая часть соотношения (2) теряла бы смысл для бесконечного множества малых значений х.

W) Это предложение часто называется правилом Лопиталя. (Прим, перев.)

[62] См. также Э. Гурса, Курс математического анализа, т. 1, гл. X, ГТТИ, 1933. (Прим, перед.)

[63] Если F" (ξ) ≠0, то такая точка называется точкой перегиба. (Прим, перев.)

ɪ) Значительно более полное изложение теории кривизны читатель най­дет в книге Фоулера, цитированной на стр. 293. [См. также, например, П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, гл. III, 1938, ГОНТИ. (Прим, перев.)}

[65] Строго говоря, эти утверждения относятся только к полукругу, так как ηs имеет разные знаки на верхней и иижней полуокружности; абсолютная величина кривизны постоянна для всего круга. (Прим, перев.)

‘) Новые моменты, возникающие при рассмотрении функций от несколь­ких переменных, достаточно хорошо выявляются на примере двух независи­мых переменных. Мы не будем отдельно формулировать обобщения наших теорем на случай трех н большего числа переменных.

[66] Или по сравнению с ∣δx∣ + ∣δy∣ или j∕^δxs + Sy*.

[67] f’a — F’x (a> δ)∙ f’b —?у (a> δ)∙ (Прим, перев.)

[68] Соответствующее неравенство для действительных интегралов было доказано в примере LXV. 12.

[69]) Несущественно, записываем ли мы ряд в виде M1 -)- И. г .. (как в гл. IV) или в виде и„-∣-M1-|-… (как здесь). В настоящей главе мы будем дальше рассматривать ряды вида β0-)-α1x + βs, x2 + …, а для этих рядов принятое здесь обозначение, очевидно, более удобно. Поэтому мы примем это обо­значение в качестве основного. Но мы не будем применять его всегда, и будем иногда, когда это представляется более удобным, считать, что M1 является первым членом ряда. Так, например, при рассмотрении ряда

I+-Q — + ^q+••• УД°биее положить Un=,— так что ряд начинается с M1,

Zo П ‘

Чем мп = — q~ — (когда ряд начинается с u0)

В частности, к примеру LXVIIL 4.

[70]) Здесь и в дальнейшем „положительны"

Равны нулю".

[71]) Теорема эта была, повидимому, впервые ясно сформулирована Ди­рихле в 1837 г. Несомненно, что она была известна и более ранним авто­рам, в частности, Коши.

1) Пять членов достаточны, чтобы получить сумму ряда ∑∕r^t2 с точ­ностью до 7 знаков, тогда как в случае ряда ∑n-s для такой же точности надо взять 10 000 000 членов. Большое количество числовых результатов этого типа читатель найдет в приложении (составленном Дж. Джексоном (J. Jackson) к монографии автора Orders of infinity (Gambridge math, tracts, No. 12).

2) Эта теорема была найдена Абелем, но затем забыта. Впоследствии она была вновь найдена Прингсхеймом.

[73] Этот признак был найден Маклореном и затем вновь открыт Коши, которому он часто приписывается.

[74] „Бесконечный интеграл" является точным переводом английского термина и означает несобственный интеграл; обычный интеграл автор обо значает термином „конечный интеграл”. Смысл замечания 4° становится по нятным только в связи с английской терминологией. (Прим’перев.)

[75] Мы поменяли местами F и φ.

[76] Такие ряды называются также неабсолютно сходящимися. (Прим., перев.)

[77] Эта теорема иногда называется теоремой Лейбница о знакочередую­щихся рядах. (Прим, перев.)

[78]) Случаи 2=1 И 2 = —I рассмотрены в п. 222. Полное рассмотрение

Читатель найдет в книгах: Bromwich, Infinite series, 2nd edition, стр. 287 и сл., Hobson, Plane trigonometry, 5th edition, стр. 268 и сл.

[80] J —— • дх сходится, и притом абсолютно, если 1 С S < 3.

[81] The Scale of relation of the series.

1! Такое доказательство читатель найдет в книге автора, цитированной на стр. 248. √

[83] Автор называет эту функцию просто логарифмом от х и обозначает ее через Iogx. Ниже в тексте вводятся, обыкновенные* логарифмы, ив том. числе логарифмы десятичные, которые автор обозначает через Iogaх и IogioX 3™ последние мы обозначаем через Iogx. (Прим, перев.)

1) Более полные сведения о ,шкалах порядкой роста” читатель найдет в монографии автора, цитированной на стр. 349.

[85] Т. е. что неполнота логарифмической шкалы не может быть устране­на добавлением какого бы то ни было числа функций, (Прим, Neρee,}

[86] Натуральные логарифмы обычно определяются, как логарифмы прн основании Е. Здесь же число Е определяется через натуральный логарифм, причем сам натуральный логарифм был определен через интеграл (см. п. 205). {Прим, перев.)

[87] Показательная функция была — введена обращением соотношения V = In Х в Х = еУ, и потому мы при рассмотрении ее свойств до сих пор обозначали через у независимую, а через Х~ зависимую переменную. Мы переходим теперь к более обычному обозначению независимой переменной через Х, за исключением тех случаев, когда приходится рассматривать одновременно пару соотношений вида У = ln%, Х = еУ или когда для этого имеются некоторые другие особые причины.

[88] „Арэасинус гиперболический" s—площадь, синус гиперболический которой равен s (area — площадь). См. цитированное в предыдущей сноске место в курсе В. И. Смирнова. (Прим, перев.)

27*

[89] Утверждение ,весьма большой’ не следует здесь, конечно, понимать в смысле, разъясненном в гл. IV. Оно означает просто, гораздо больший, чем корни уравнений, обычно встречающихся в элементарной математике’. Аналогично следует понимать выражение ,немного больший’.

[90]) См. сноску на стр. 349.

[91] В русской литературе этот термин не принят. (Прим, перев.)

[92]J Дальнейшие замечания по этому поводу читатель найдет в Прило­

Жении II.

[94]) Некоторые из этих примеров взяты из книги Bromwich, Infinite series.

[95]

[96]) В настоящей главе иногда удобнее писать Х -}- iy вместо Х — f-yι.

[97] Автор применяет во всей книге ободначения log вместо In, что также широко принято. Соответственно этому он пишет Log вместо Ln. (Прим, перев.)

[98] Или показательной функцией. (Прим, перев.)

[99]) Следующее в тексте рассуждение содержало в предыдущих изданиях одну любопытную ошибку. Приведенное здесь окончание доказательства предложено Лявом (Love).

[Здесь

С+ZS = 1 + — g⅞fet. + — eχPg⅛). +,.. =

[101]) Так как Z не лежит на действительной оси, то продолжение C не

Проходит через О. Читателю рекомендуется нарисовать фигуру, иллюстри­рующую рассуждение в тексте.

S) См. предыдущую сноску.

[104] Более полное рассмотрение биномиального ряда, включая и более трудный случай, в котором ∣ Z | = 1, читатель найдет в книге Bromwich, Infinite series (2-nd edition), стр. 287 и сл.

[105] 1

Которое заключено между —g-π и ɪ π∙

[107] А = [/ (г) (. (Прим, перев.)

[108]) В этом месте нам нужно предположение о том, что Г не проходит через начало.

32 Г. Харди

[110]) В предшествующих рассуждениях пока ничто не указывало на то, что эта точка не может лежать на границе S, хотя ниже мы увидим, что это действительно не может иметь места.

S) Таким образом, в частности, Z0 не может лежать на S, так как Z велико во всех точках S.

[112]) Первое доказательство п. 105 использует сечение Дедекинда и не имеет аналога в двух измерениях.

*) В самом деле, допустим (выражая явно зависимость S, D, Т0 и Z0 от /?), что zn0(∕?) и Za(P) соответствуют S(R) и D(P). Тогда Za(R) могло бы (насколько это видно из определения) лежать на S (R). Но если Rt дано, то мы можем выбрать Rs так, что ∣Z∣ превосходит у ∣ Aa Rn l а, значит, заве­домо и M(P1), во всех точках на и вне S(Rs). Тогда Za(R) лежит внутри S(Rs), а, значит, заведомо и внутри S(R) для R^ Rs. В действительности Т(R) и Za(R), начиная с некоторого R, не зависят от R.

32»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *