Общая схема анализа свойств функции и построения ее графика

Рекомендуем следующую последовательность анализа свойств функции.

1) Область определения функции; область значений функции (если это возможно).

2) Промежутки положительных и отрицательных зна­чений функции. Координаты точек пересечения с осями Ox и Оу.

3) Исследование функции на четность, нечетность.

4) Исследование функции на периодичность.

5) Исследование функции по первой производной:

— промежутки монотонности;

— точки экстремумов; экстремумы функции.

6) Исследование функции по второй производной:

—промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз;

— точки перегиба.

7) Анализ области непрерывности. Анализ точек раз­рыва. Асимптоты графика функции.

8) Расчет координат дополнительных точек (если это необходимо).

9) Построение графика функции.

Пример 14. Провести полное исследование и построить

График функции У =

Решение.

1) Функция У = № — Vx2 -1 определена при всех Хе R.

Вопрос об области значений отложим до построения графика.

2) а) Пересечение с осью Ох:

У =0»

‰7=⅛xz-l

J∕=o,

ɪo=I

→ график функции ось Ox не пересекает.

Б) Пересечение с осью Оу:

Х = 0, У = 1.

В) Промежутки положительных значений функции:

У > 0; >∕x2^ — ‘Vx2 -1 > 0; л/х2^ > Vx2 -1; x2 > x2 — 1; 0 > -1; х ∈ R.

График функции располагается выше оси Ox при всех х. г) Промежутков отрицательных значений функция не

Имеет.

3) Сравним значения функции в точке х и точке — х:

Y(X) = VF-Vx2 -1 ; Y(-X) = λ∕(-x) — V(~χ)2 -1 = = У(х), следовательно, функция четная.

Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси Оу.

4) Функция непериодична (см. пункт 5: существуют три точки экстремума, что невозможно в случае периоди­ческой функции).

5) Исследование по первой производной:

I(x2 -1)

2

3 ∙2x =

2

33√^^

3⅛(x2 — D2

2^∕(x2 -I)2 — xVx^

3^∕x(x2 -I)2 Критические точки: а) У’ = O; V(x2 -I)2 = Vx* ; (x2 — I)2 = х4;

-2×2 + 1 = 0; X2 = ɪ; x12 = ±

Б) У’ не существует; X1 = 0; х

Все критические точки на рисунке заштрихованы, так как во всех этих точках функция определена.

<τ> ( ⅛

Функция возрастает на промежутках

Точки х = ± — — точки максимума; У 2

1,59.

Точка X = O- точка минимума; y(0) = 1.

6) Исследование по второй производной:

2 5XsVx + V(≈2-L)2 ~3*~ X2V(X2I)2 -4∙ V . V(x2 — D2

Y 9′ (X2-D-V(X2 -I)2-Vx4

Критические точки первой производной:

1) У" = 0; можно показать, что таких точек нет;

2) У" — не существует; x1 = 0; x2 3 = ±1.

Y(χ) R X

Функция выпукла вниз на промежутках (-∞; -1]; [1; +∞), выпукла вверх на промежутках [-1; 0]; [0; 1].

Точки х = ±1 — точки перегиба; YL) = 1.

7) а) Функция определена на всей числовой оси и всю­ду непрерывна; точек разрыва нет, следовательно, нет И Вертикальных асимптот.

Б) Рассмотрим поведение функции при Х —> +∞:

2 ɪ

V Y(χ) к x3-(x2-l)3 А = Iim ɪɪ-= Iim —

Таким образом, прямая У = 0 — горизонтальная асимп­тота при х -⅛ +∞.

; в) В силу четности функции прямая У = 0 является го­ризонтальной асимптотой и при х → -∞.

8) Ограничимся расчетом дополнительных значений

Функции при х = ±2: y(=fc2) = ^4 — >/3 ≈ 0,145.

9) График функции имеет вид:

У

2

Д2

5

Ц~

"Т—

I

I

~—I

I

I

— ⅜—

I

I

<-

I

I

-2

√2

“о

2∕2

"P

2

2 2

Возвращаясь к первому пункту исследования, отме тим, что областью значений функции У = Является полуинтервал (0; >/4].

Задача о наибольшем и наименьшем
значениях функции на промежутке

Случай отрезка [а; Ь].

Наибольшие и наименьшие значения функции, непре­рывной на отрезке, достигаются либо в критических точ­ках, либо на концах отрезка.

Достаточно найти все критические точки, принадле­жащие отрезку, рассчитать значения функции в этих точ­ках, а также в точках а и 6, после чего выбрать наиболь­шее и наименьшее значения.

Случай интервала (а; &).

В отличие от предыдущего пункта, в случае интервала не гарантируется существование наибольшего и наимень­шего значений у функции. После расчета критических то­чек и значений функции в них, необходимо изучить по­ведение функции при Х —» а+0 их—» Ь-0. Сравнивая найденные значения, получают наибольшее и наимень­шее значения функций или обосновывается факт отсут­ствия таких значений.

В случае бесконечных промежутков (A; +∞); [α; +∞)> (-∞; A); (-∞; α]; (-∞; +∞) схемы решения аналогичны.

Пример 15. Найти наибольшие и наименьшие значения функций на промежутках:

А) У = X4 — 2×2 + 5; [-2; 2]; б) У = ⅛c2 — 2х)2 ; (0; 3); 1-х

В) Y = arctg ——; (0; 1].

I + X

Решение.

А) 1) Значения функции в граничных точках отрезка: z∕(÷2) = 16 — 8 + 5 = 13.

2) Критические точки и значения функции в этих точ­ках:

Y, = 4×3 — 4x = 4x(x — l)(x + 1); Y’ = 0; x1 = 0; x23 = ±l.

Все точки принадлежат отрезку [-2; 2]. y(0) = 5; ι∕(±l) = 4.

3) Сравнивая значения y(=÷=2); y(0); ι∕(±l), получаем Унаиб = У(±2) = 13;

Уиаим = l∕(=i=l) = 4.

Б) 1) Находим предельные значения функции на грани­цах интервала:

U(0+0) = Hm (х2 — 2х)з = 0; X→0+0′ >

Y(3-0) = Iim X2 — 2x P = 3[18] = V9 ≈ 2,08.

X→3-0v ‘

Отметим, что этих значений в точках Х = 0 и Х = 3 фун­кция не достигает, поскольку эти точки не принадлежат интервалу (0; 3).

4(XL)
3∙Vx[19]— 2х ’

2) Критические точки и значения функции в этих точ­ках:

У’ = 0; Х = 1;

У’ — не существует; X1 = 0; Хг = 2.

Точки Х = 1; Х = 2 попадают в интервал (0; 3); точка Х = 0 — не принадлежит интервалу, ι∕(l) = 1; У(2) = 0.

3) Сравнивая значения г/(1) = 1; У(2) = 0; y(0+0) =0;

ι∕(3-0) = və , получаем

Укакм = У&) = θ;

Унаив — не существует.

В) 1) Находим предельное значение функции в точке Х 0 и граничное значение в точке Х = 1:

Z∕(0+0) = Iim arctg—- = — ≈ 0,7854;
χ→o+o 1 + х 4

ι∕(l) = arctg 0 = 0.

2) Критические точки и значения функции в этих точ­ках:

F 1 — х^

Arctg——-

1 + xJ

1

‘l-s’

1 + р—^ t1+xJ

2

,1 + x,

-2

Ответ: а) унаи6 = у(±2) = 13; У = ι∕(±l) — 4; б) у„аи6 — не существует; унаим = у(2) = 0; в) у„аиб — не существует;

Г/иа„м = 2∕(1) = θ∙

Задания для самостоятельного решения

1. Вывести уравнения касательной и нормали к кривой

2

У = Е в точке с абсциссой а) 0; б) 1.

2. Вывести уравнения касательной и нормали к кривой У = arctg Х в точке с абсциссой а) 0; б) 1.

3. Под каким углом пересекаются кривые У sin Х и

4. Под каким углом пересекаются кривые У ln(l + х2) и У = ln(l — х2)?

5. Найти ускорение материальной точки, движущейся

По закону Y(X) = tgxjθ≤x< — в момент времени, когда ее скорость равна 2.

6. Масса стержня задается функцией У = 3×3 + sin х.

Какова плотность стержня в точках х = 0 и х = —?

7. Найти приближенные значения выражений a) cos 61°; б) arccos 0,54.

8. Используя правила Лопиталя, найти следующие пределы:

,. In (sin х)

Iim ———— — —

‘ χ→+o ln(sin2x) ’

В) Iim ɪɪ1 ɛɪɪ1Х ; г) Iim Xх; д) Iimctgxtex.

П х x→0+0 x→0

‘-i ln ⅛ 2

9. Разложить функции по формулам Тейлора и Макло — рена в окрестности заданных точек:

A) X3 + Зх2 + х — 6; х = -1;

Б) — ; х = -1; в) tg х; х = 0 (формула 2-го порядка), х

10. Используя разложение в ряд Маклорена, найти cos 10° с точностью до 0,001.

11. Вычислить пределы, используя разложения в ряды Тейлора и Маклорена:

Ln(l + x2)

12. Найти промежутки монотонности следующих фун­кций:

А) У = х + cos х; б) У = x2ex; в) У = х — ln(l + х).

13. Найти экстремумы функций

Sin2 х

4 X2 — Зх + 2

A) ɪ/ = —————- ; б) У = Ex sin х;

X2 + 2x +1

14. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций:

X —ч. 2x 2х—х2

А) У = ———- Х-; б) у = arcsιn——— х-; в) у = е

(1+х)[20] . 1 + х2

15. Найти асимптоты графиков функций:

4×3 + х — 1 —

А) У = ɪ; б) У = (х + 2)ex .

Х — х +1

16. Найти наибольшие и наименьшие значения функ­ций на промежутках:

X2 — х +1

А) У = —2 , ‘ 1’;x e [θi 1B — х +х +1

Б) У = 2tg х — tg2 х; х ∈

Ответы:

Х 1

1. Z/ = 1; х = 0; б) Z/ = е • х; г/ =—— + е + — ;

Е е

Lπl гс

2. а) У = х; У = — х; б) У = — х + — — -; У = -2х + — + 2;

X3 (l + 2sin3cx)

В) Х + — ∙ ʌ——— 1——— 1,0 < с < 1;

3 COS Сх

10. 0,985; 11. а) 5,5; б) — 0,5;

12. а) всюду возрастает; б) возрастает при Х ≤ -2 и Х > 0; убывает при -2 ≤ Х ≤ 0; в) возрастает при Х > 0; убывает при -1 < Х < 0;

<7λ

14. а) точек перегиба нет; функция выпукла вверх при Х < -1; выпукла вниз при х > -1; б) точка перегиба (0; 0);

‘ √2 rʌ

L±-j√e

К √

ɪ √2

При х ≤ 1——— и х > 1 + — ; выпукла вверх при

2 2

√i Ti

1- — ≤x≤l+ —;

2 2

15. а) вертикальных асимптот нет; У = 4х + 4 — наклон­ная асимптота при х →±∞; б) х = 0 — вертикальная асим­птота; У = х — наклонная асимптота при х →±°°;

Fɪʌ

Lθ∙ a) ‰Hβ = Hθ) = 2/(1) = 1; Унаим = У

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *