Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение 1. Функция F(X) называется Непрерывной в точке X= а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку, и при этом

Iim Дх) = Iim Дх) = Да). x→α-0 XA+0

Функция называется Непрерывной на промежутке, Если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Тонки разрыва и их типы

Определение 2. Точка х = А называется точкой Устра­нимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена.

Определение 3. Точка х = А называется точкой Разры­ва первого рода, если в этой точке функция имеет конеч­ные, но различные односторонние пределы. При этом раз­ность

F(A + О) — F(A — О)

Называется скачком функции в точке х = А.

Определение 4. Точка х = А называется точкой Разры­ва второго рода, если хотя бы один из односторонних пре­делов не существует или равен ∞.

Теорема 1. Если функции Дх) и G(X) непрерывны в точ — Дх)

Ке х = а, то функции F(X) ± G(X), F(X) ∙ G(X), ——, где §(х)

G(A) ≠ 0 также непрерывны в этой точке.

Теорема 2. Если функция Дх) непрерывна в точке х = А, А функция G{Y) непрерывна в точке Y = B,B = F(A), то слож­ная функция G(F(X)) непрерывна в точке х = А.

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Пример 1. Исследовать на непрерывность и разрывы

Х +1

Ai

1

2;

Решение.

В силу теорем 1-3 функция Дх) непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением, быть может, точек X = ± 1.

«-1-0) = —;

Поскольку по условию /(-1) = -—,τox = — l — точка

Непрерывности.

2) X = 1:

X→l+O X[16]-I О следовательно, х = 1- точка разрыва 2-го рода.

Ответ: функция /(х) непрерывна во всех точках чис­ловой оси, кроме х=1- точки разрыва 2-го рода. Пример 2. Исследовать на непрерывность и разрывы ɪ

2x -1

Функцию /(х) = ———— .

Iim —— x→0-0 д

-1;

2х +1

1

Iim —————

X→0 + 0 Л

2х +1

= Iim

X-)0+0 ɪ 2х

ɪ

ɪ

ɪ

Ответ: функция F(X) непрерывна во всех точках чис­ловой оси, кроме х = 0- точки разрыва 1-го рода. Пример 3. При каких значениях AnB функция π

-2sinx, x≤—,

2

Asinx + В, — < Х < —,

2 2 . π

COSX, х> —

2

Решение.

π π

Функция F(X} непрерывна при X<-~Zi~~Z<X< И 2

F(x)

Исследуем точки х = ± — Л

1>χ-^2′

Iim "2 sin х = 2;

Iim (-ʌ sin х + B} = — А + В;

X→—+0

2

Непрерывна?

В ∣<N

-Ξ∣=≈ 2, следовательно, условие непрерывности 2

π

Функции в точке х = имеет вид: — А + В = 2.

2) Х

Iim (Ах + В) = А + В;

—о

Iim cos х = 0; π 2

π Л x→-÷0

/1^1=0, следовательно, A + B = 0.

Получаем следующую систему:

-Λ + B = 2, A + B = O

<=> ■

A = —If B = I.

Искомая функция имеет вид:

F(x) =

2 sin х, х ≤ — —,

2

4 π π

Sin х + 1, — < х < —,

2 2

COSX,

Ответ: А = -1; B = I.

Задания для самостоятельного решения

Исследовать функции на непрерывность и разрывы

О, х ≤ О,

1- У =

2. У

Xi 2x, О < х ≤ 2, 1, х > 2.

2х2 — х-1

X2 + х — 2

Х+ —

3. t∕=3 *.

X÷-

5. У

X

4. у =3 *.

6. У = [х].

7. При каких значениях параметров Ли В функция

Ln(x2 +1), х ≤ О, A sin х + В, О < х ≤

-2,

Ответы:

1. х = 2 — точка разрыва 1-го рода;

2. х = 1 — точка устранимого разрыва; х = -2 — точка разрыва 2-го рода;

3. х = О — точка разрыва 2-го рода;

4. х = О — точка разрыва 2-го рода;

5. х = 0 — точка устранимого разрыва;

6. точки вида X = П, п е Z, являются точками разрыва 1-го рода;

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *