НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА И ХАОС

1. ВВЕДЕНИЕ

Выше мы уже рассматривали интегрируемые задачи, в случае ко­торых можно проинтегрировать уравнения движения и получить решения в квадратурах. Для задачи двух тел, взаимодействующих обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, ре­шения описывают движение по эллиптическим, параболическим и гиперболическим траекториям, причем лишь первые представляют собой замкнутые орбиты. Однако даже в задаче двух тел существу­ет множество потенциалов взаимодействия, для которых уравнения движения не интегрируются. В этой главе мы исследуем, что проис­ходит с системой при отсутствии регулярных решений. Начнем рас­смотрение со случаев, когда неинтегрируемость уравнений движе­ния возникает из-за возмущений основных взаимодействий, и пока­жем, что траектории движения при малых возмущениях остаются близки к исходным. Однако при достаточно сильных возмущениях движение может стать хаотическим. Далее мы обсудим некоторые характерные особенности возникающего хаоса и даже определим области, в пределах которых системы ведут себя «нормально» сре­ди окружающего хаоса. Мы рассмотрим также логистическое урав­нение и ряд других физических и математических систем, эволюция которых демонстрирует возникновение хаотического поведения.

2. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Теория возмущений часто используется в задачах, где основ­ное взаимодействие соответствует интегрируемому гамильтониану 7∕o(Pι 9)1 для которого решение известно, а дополнительное взаимо-

Действие можно учесть, добавив член ∆7∕(p, д) в полный гамиль­тониан системы H(P,Q)

H = Ti0+ ΔH. (1)

Обычный способ решения связан с использованием производящей функции S{Q,Po,T) = F2(Q,P,T), которая преобразует основной га­мильтониан H0(P,Q). При этом координаты фазового пространства Р Nq преобразуются в новые координаты Po и Qo гамильтониана — K"o(Q, P), который тождественно равен нулю:

P0(QcP0) = O. (2)

эк ∂p0Аналогично подходу Гамильтона—Якоби. Уравнения Гамильтона

Ж, т

Q0 ° (3)

Для K = O дают новые координаты и импульсы Qo и Po, которые являются интегралами движения

Q = Qo P = P0 (4)

Индексы указывают, что эти постоянные относятся к гамильтониа­ну нулевого порядка без учета возмущения ΔP.

Применяя аналогичное преобразование к полному гамильто­ниану

P(-Po, Qo) = Po(Po1Qo)+ ΔP(Po, Q0), (5)

мы получим преобразованный гамильтониан Δa"o(pι, qi), который можно использовать для нахождения поправок первого порядка к производным по времени от координат и импульсов∂Δk0— qi∂ΔΛ'0= -л.(6)∂pι 451 ∂q1
эти выражения можно проинтегрировать, что дает первое прибли- жение для qi и pi
∂Δpf0
qi= [
p'4 sq
др ∂Δk0dt,
dt.
(7)
(ɛ)
в результате мы получаем новую производящую функцию 5(qo,pι,q и, следовательно, новый возмущенный гамильтониан Δp1(q2,p2), который можно использовать для нахождения величин q2 и р2 в следующем порядке. процесс представляет собой систематическую итерационную процедуру вычисления все более точных приближений к решению, если известен вид возмущения Δp.

3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В гл. 1 было показано, как циклические координаты можно свя­зать с сопряженными импульсами, которые представляют собой интегралы движения. Если ни одна из координат не является ци­клической, то можно применить одно или последовательность ка­нонических преобразований к новым переменным Qi, являющим­ся циклическими, в результате чего гамильтониан примет вид 7∕(P1,P2,… ,Pn). Сначала мы рассмотрим только невозмущенные системы, азатем обсудим результат введения возмущения. Для пре­образованного к циклическим переменным гамильтониана уравне­ния Гамильтона

ДН

(9)

∂Pi,

ДН

(Ю)

∂Qi

Имеют решения для всех N переменных

Qi(t)=ωit + Qi(0), (11)

Pi(t) = Pi(O) + Ei∕ωi, (12)

Где принято Pi(O) = 0, a Pi — сохраняющаяся энергия.

Пока мы рассматриваем случай N 1, а в следующем разделе

Перейдем к обсуждению более высоких значений N. При N = I ре­шение для гармонического осциллятора было получено выше [гл. 5, формулы (11) и (12)]. Используя уравнение (9) из гл. 5, мы можем сразу записать хорошо известные выражения для исходных пере­менных Р’ и Q‘:

Q‘ = (2P∕mω)1^2 sinωZ, (13)

P‘ — (2MPω)1^2 Cosωt. (14)

Движение в плоскости Q‘, P ограничено эллипсом, а движение в си­стеме безразмерных нормированных координат Q ир, имеющих вид Q = Q‘∕{2P)1/2 P = P {2MPω)X , (15)

Представляет собой равномерное вращение по окружности единич­ного радиуса.

4. ТРАЕКТОРИИ СИСТЕМЫ НА TV-МЕРНОМ ТОРЕ

При N = 2 в четырехмерном фазовом пространстве (Q1,P1,Q2,P2) Существует два простых гармонических решения. Для нормиро­ванных переменных первому решению соответствует вращение по окружности в плоскости (qi, Pi), а второму — в плоскости (<72,P2)∙ Для наглядности будем считать, что радиус первой окружности больше, а частота вращения по ней uɪ меньше, чем соответству­ющая частота другого осциллятора. Движение в плоскости (<72,P2) соответствует вращению по окружности, центр которой перемеща­ется вдоль первой окружности и которая ориентирована под пря­мым углом относительно первой. Таким образом, траектория дви­жения всей системы в целом представляет собой спираль, которая как бы «навивается» на окружность в плоскости (91,p1) (рис. 6.1).

Если частота И? кратна uɪ, то точка, изображающая систему, воспроизводит одну и ту же спираль, образуя замкнутую траекто­рию. Если отношение щг/сщ является рациональной дробью, т. е. отношением целых чисел, то траектория остается замкнутой, но при этом образует несколько спиралей вокруг исходной окружности в плоскости (<7ι,pι)∙ Таким образом, соизмеримость частот приво­дит к замкнутым траекториям. Однако если частоты несоизмери­мы, т. е. их отношение <χ⅛∕ωι выражается иррациональным числом, то спираль будет покрывать поверхность тора, никогда не проходя дважды через одну и ту же точку (однако в конечном счете она будет проходить сколь угодно близко к каждой из точек на поверх­ности тора). Таким образом, мы получаем финитную траекторию, ограниченную поверхностью тора, но не являющуюся замкнутой.

pi,рис. 6.1. траектория точки, изображающей систему двух гармонических осцилляторов, в фазовом пространстве (pɪ,gɪ и p2,g2) для случая ui <⅜c u2∙ движение системы в целом описывается образующей тор спиралью, навитой на окружность, которая соответствует траектории первого осциллятора.

Предложенный анализ легко обобщается на случай N = 3, при котором траектория движения ограничена трехмерной поверхно­стью, называемой трехмерным тором в шестимерном фазовом про­странстве переменных ,Q2,<}3,,P2,P3- Для больших значений TV аналогично получим TV-мерный тор в 2ТУ-мерном фазовом про­странстве.

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЗМУЩЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ И ПЕРЕХОД К ХАОСУ

Рассмотрим интегрируемую механическую систему, которая при на­ложении небольшого возмущения перестает быть интегрируемой. При этом возникает вопрос, будет ли возмущенное решение устой­чивым и останутся ли траектории системы близки к невозмущен­ным достаточно долго. Теорема Колмогорова—Арнольда—Мозера (так называемая КАМ-теорема) утверждает, что если вызывающее неинтегрируемость возмущение достаточно мало (а) и частоты Ад Невозмущенного движения некоррелированы (б), то движение сис­темы будет ограничено поверхностью TV-мерного тора и возмущен­ные траектории останутся устойчивыми и локализованными в той же области, что и невозмущенные. Теорема также утверждает, что в случае N > 2 может существовать сколь угодно малый набор на­чальных условий, приводящих к блужданию системы по энергети­ческой поверхности. TV-мерные торы называют также КАМ-торами или КАМ-кривыми (при изображении сечений поверхности).

КАМ-теорема применима лишь в случае малых возмущений. При достаточно больших возмущениях поведение системы может стать хаотическим, для которого последовательные траектории мо­гут все больше удаляться от невозмущенных. Степень удаления может фактически экспоненциально нарастать с числом итераций. Рассмотрим эти области возникновения хаотического поведения.

Примером резкого различия между линейным и хаотическим движениями может служить турбулентность потока воды. При ла­минарном течении две соседние частицы жидкости достаточно дол­го остаются вблизи друг друга, но при возникновении турбулент­ности те же частицы могут быстро удаляться друг от друга. Дру­гим примером может служить движение космического корабля на околоземной орбите. Кратковременным включением ракетного дви­гателя можно слегка изменить орбиту, тогда как мощный импульс позволяет резко изменить орбиту или даже направить корабль в космическое пространство.

Хаотические явления характеризуются тремя основными свой­ствами, включая перемешивание тесно расположенных периодиче­ских орбит и чувствительность к начальным условиям.

1. Перемешивание в фазовом пространстве означает, что если мы выделим два произвольно малых интервала (или области) I1 и I2, то орбита, начавшаяся в области I1, рано или поздно пройдет через область. Выше уже говорилось о том, что несоизмери­мые орбиты проходят сколь угодно близко к любой точке на поверхности тора.

2. Плотные периодические орбиты — это орбиты, многократно проходящие очень близко к одной и той же области. Например, Луна движется вокруг Земли почти по одной и той же орби­те, несмотря на возмущения, вызываемые Солнцем и другими планетами.

3. Чувствительность системы к начальным условиям можно, на­пример, охарактеризовать скоростью, с которой следующие друг за другом орбиты расходятся на поверхности тора.

6. ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ИЛИ КВАДРАТИЧНЫЙ ИТЕРАТОР

Для понимания природы хаоса полезно проанализировать про­стой математический пример, демонстрирующий как регулярность обычного повторяющегося поведения системы, так и нарушения ре­гулярности при хаотическом поведении. В качестве такого примера можно использовать логистическое уравнение, которое иногда на­зывают квадратичным итератором

τn+ι = Axn(l arn) (16)

В интервале

О ≤ Х < 1 (17)

При положительном управляющем параметре А. Поведение итера­ций этого уравнения изменяется от сходимости к хаотическому раз-

Таблица 6.1. Сходимость итераций Хп логистического уравнения для трех различных начальных значений Хо при управляющем параметре А = 2.

П

%п

П

Xn

П

Xn

~0

0,2000

О~ ~

0,3000

6

0,9000

1

0,3200

1

0,4200

1

0,1800

2

0,4352

2

0,4872

2

0,2952

3

0,4916

3

0,4997

3

0,4161

4

0,4999

4

0,5000

4

0,4899

5

0,5000

5

0,5000

5

0,4996

25

0,5000

25

0,5000

25

0,5

Бросу вблизи значения А = 3,67, вследствие чего обычно это урав­нение исследуют в области значений управляющего параметра

О < А < 4. (18)

Чтобы продемонстрировать, как итерации уравнения сходятся к единому решению T00 (при котором τn+ι — хп независимо от на­чального значения То) при П —> оо, рассмотрим случай А = 2 с тремя различными начальными значениями то = 0,2000, 0,3000 и 0,9000, результаты последовательных итераций для которых приведены в табл. 6.1. Кроме того, результаты для двух из них представлены на рис. 6.2. Действительно, для всех начальных значений т в ин­тервале (17) последовательные итерации при больших П сходятся к одному и тому же значению т„ = 0,5, т. е. значения τn+ι при последовательных итерациях стремятся к величине τ00 = 0,5. Это предельное значение τ00 при П -> оо называют аттрактором.

Для демонстрации возможности существования значительно большего числа решений возьмем в качестве управляющего пара­метра величину А = 3, 2 и проследим поведение итераций при пре­дыдущем начальном значении τ∩ = 0,3000. Последовательные ите­рации приведены в табл. 6.2 и на рис. 6.2. Легко заметить, что в этом случае сходимость оказывается значительно более медленной и после достаточно большого числа итераций величины Х череду­ются между двумя значениями аттрактора

Хп = 0,5141, τn-j-ι = 0,7994.

t 1 г
1,0
0,8
0,6
xn xgΦΦΦΦΦΦ
ɪ о
о
0,4
0,2

10 15 20

П

Рис. 6.2. Значения Хп, получаемые при последовательных итерациях ло­гистического уравнения (с циклом N = 1 и управляющим параметром а = 2) для начальных значений Хо — 0, 2 (о) и 0,3 (х), а также для начального значения Хо = 0, 3 (•) С циклом N = 2 и управляющим пара­метром А = 3,2. Можно отметить быструю сходимость цикла с N = 1 и значительно более медленную сходимость цикла с N 2.

Таблица 6.2. Сходимость последовательных итераций логистического уравнения (16) к двум различным пределам Х = 0,5131 и Х = 0,7994 при значении управляющего параметра А = 3, 2.

П

П

Xn

6

0,3000

11

0,5950

1

0,6720

12

0,7711

2

0,7053

13

0,5647

3

0,6651

14

0,7866

4

0,7128

15

0,5372

5

0,6551

6

0,7230

7

0,6408

8

0,7365

24

0,7994

9

0,6210

25

0,5131

10

0,7531

х б,0,4105

Рис. 6.3. Диаграммы Фейгенбаума (зависимость Х от А) для логистиче­ского уравнения в диапазоне значений 1 ≤α<4πθ≤ι≤ 1 (а). На рис. Б-г показаны участки этой диаграммы в увеличенном масштабе для первой (Δ = 0,68, ∆a: = 0,46), второй (∆α = 0,14, Да: = 0,18) и третьей (Да = 0,03, ∆a: = 0,07) бифуркаций. (Из книги: Peitgen О. Et al., Chaos and Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1992, р. 589.)

Легко показать, что при значении управляющего параметра А = 3,5 возникает четырехкратный цикл с четырьмя аттракторами

Хп — 0,501,

⅛÷I=0,875, X∏+2 = 0,383, тп+з = 0,827.

При значениях А, равных 3,55 и 3,567, возникают восьмикратный и шестнадцатикратный циклы.

На рис. 6.3 показана последовательность так называемых диа­грамм Фейгенбаума, представляющих собой зависимость предель­ного значения Хп (при П —> оо) от управляющего параметра А. Из диаграмм видно, что с ростом А система испытывает последователь­ные бифуркации, при каждой из которых число решений логисти­ческого уравнения удваивается. Процесс удвоения числа решений продолжается до тех пор, пока значение управляющего парамет­ра А не достигнет критической величины αoo ~ 3, 5699 (возникаю­щая при этом ситуация более подробно рассматривается в следу­ющем разделе). При значениях А, превышающих это критическое значение aoo, поведение системы становится хаотическим, т. е. ге­нерируемые значения Хп становятся похожи на последовательность случайных чисел. Достаточно взять в качестве управляющего па-

Таблица 6.3. Генерация случайных чисел при последовательных итера­циях логистического уравнения для значения управляющего параметра ɑ > ɑ 00 ‘

П

Xn

П

Xn

О

0,3000

О

0,3100

1

0,8400

1

0,8556

2

0,5376

2

0,4942

3

0,9943

3

0,9999

4

0,0225

4

0,0005

5

0,0879

5

0,0020

6

0,3208

6

0,0086

7

0,8716

7

0,0340

8

0,4476

8

0,1318

9

0,9890

9

0,4576

10

0,0434

10

0,9928

11

0,1661

11

0,0029

12

0,5542

12

0,1109

13

0,7034

13

0,3945

Раметра α = 4,0, (α > αoo) и два достаточно близких начальных значения zθ, например zθ = 3,000 и ¾ = 3,100. Данные расчетов, приведенные в табл. 6.3, показывают, что только результаты пер­вых итераций Хп близки друг к другу, но очень скоро всякая связь между ними исчезает. Чем ближе друг к другу начальные значения, тем позже теряется корреляция между последовательными итера­циями.

7. ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПОСТОЯННЫЕ ХАОСА

Анализ результатов предыдущего раздела показывает, что логисти­ческое уравнение демонстрирует три характерные особенности ха­отических систем, упоминавшихся выше:

1. Происходит перемешивание, поскольку если выделить доста­точно малый интервал (например, от Х ■= 0,366 до Х = 0,367) и начать процесс при управляющем параметре А > Aoo с лю­бого значения iŋ, то последовательность итераций X2,X3,X4,… Окажется достаточно случайной, так что рано или поздно мы получим значение Хп внутри выделенного интервала, т. е. 0,366 < Хп < 0,367.

2. Система обладает плотными периодическими орбитами, что означает очень плотное расположение точек, соответствующих последовательным итерациям Хп при стремлении к аттрактору.

3. Чувствительность к выбору начальных условий демонстрирует­ся поведением итераций при выборе различных начальных зна­чений zθ.

Диаграммы Фейгенбаума, представленные на рис. 6,3, характери­зуют последовательность бифуркаций, при каждой из которых чис­ло аттракторов А удваивается (1,2,4,8,…), пока управляющий па­раметр А не достигает значения

Aoo = 3,5699456… , (21)

После чего величины Хп в последовательных итерациях становятся случайными и мы можем говорить о хаотическом поведении сис­темы. При увеличении масштаба в области, прилегающей к каж­дой бифуркации, видно, что бифуркации выглядят подобными друг другу при условии последовательного увеличения масштаба. От­ношение интервалов между последовательными бифуркациями по

i i i i i 1 i i i i i i ∣-t-∣ i i i i i i i i τ^τ-∣ т~|
3,828 3,84 a 3,85 3,857t—i—i—i—i—i 1 1—i 1—i—i 1—i—i—i—i—i—i—i—i 
3,848 3,849 3,8498
рис. 6.4. увеличенные изображения участков диаграммы фейгенбаума (зависимость х от а), соответствующих области перехода к хаосу αoo ≤ a ≤ 4 (а), первой бифуркации (б) и второй бифуркации (е), вкрапленных в зону хаоса вблизи значения управляющего параметра q = 3, 84. (из книги: peitgen о. et al., chaos and fractals, springer-verlag, berlin, 1992, р. 637.)

Горизонтали при П —> оо сходится к пределу, называемому числом Фейгенбаума δ, которое вычислено с высокой точностью

∂ = Iim — ^-α-1 = 4,6692016 … (22)

N→∞ an+1 — Ап

Расстояние между последовательными бифуркациями по вертика­ли (его обычно обозначают ∆n) с ростом П также уменьшается, и при N → оо последовательность отношений ∆n∕∆n-ι вертикальных отрезков сходится к пределу А, равному

А = Iim ʌ- = 2,50290787… (23)

∆n+ι

Число Фейгенбаума <5 является универсальной постоянной и про­является во многих хаотических системах, однако значения точки Фейгенбаума Aoo и числа А характерны для логистического урав­нения.

Удивительно, что за пределом Фейгенбаума aoo имеются интер­валы значений управляющего параметра (эти интервалы выделены на рис. 6.3 и 6.4 белым цветом), которым внутри зоны хаотического поведения системы соответствуют вкрапленные в них области упо­рядоченности с удвоением аттракторов и периода. На рис. 6.4 по­казана такая область упорядоченности вблизи a = 3,84 и приведено увеличенное изображение расположенных там двух бифуркаций.

Удвоение периода столь же типично для многих хаотических систем, как и универсальная постоянная Фейгенбаума. Это число измерялось экспериментально на ряде физических систем, демон­стрирующих удвоение периода и возникновение хаоса. Такие систе­мы известны в гидродинамике (ЩО, Не, Hg), электронике (диоды, транзисторы), лазерной технике, физике твердого тела (джозефсо — новские переходы) и акустике (Не).

8. ХАОС В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ

До сих пор мы говорили о хаосе применительно к одномерному логистическому уравнению. Однако существует множество других систем с хаотическим поведением, и мы кратко рассмотрим неко­торые из них.

В качестве первого примера рассмотрим систему связанных гар­монических осцилляторов Хеннона—Хейла, безразмерный гамиль­тониан которой имеет вид

У у

А б

Рис. 6.5. Отображения Пуанкаре, получаемые сечением энергетической поверхности Хеннона—Хейла плоскостью Y,Py для трех значений энер­гии: E = 1∕12 (область нормального поведения системы), E = 1∕8 (вблизи перехода к хаосу) и E 1∕β (область хаотического поведения). Каж­дая точка на рисунках слева соответствует траектории, пересекающей плоскость У, ру. На рисунках справа представлены траектории, вычислен­ные по теории возмущений. В области нормального поведения системы точки ложатся на регулярные траектории, вычисленные по теории воз­мущений, а в области хаотического поведения наблюдается значитель­ная неупорядоченность системы. (Gustavson F., Astron. J., 71,1996, 670; Moser J., Amer. Math. Soc. 81, 1968; Creswiek R. J., Farach H. A., Poole C. P., Introduction to Renormalization Group Methods in Physics, Wiley, New York, 1992, p. 36.)

Рис. 6.6. Аттрактор Рёсслера. Траектория системы сначала соответству­ет плотно прилегающим спиральным орбитам в плоскости Х, у, а затем — значительно более разреженным орбитам вдоль оси г, образующим «вы­бросы» с последующим возвращением в исходную плоскость. (Из книги: Peitgen О. Et al., Chaos and Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1992, р. 688.)

Где первый член соответствует обычному двумерному гармониче­скому осциллятору, а второй "Wcbh3 = ж2 — y2∕3 может рассматри­ваться в качестве возмущения, величину которого следует вычис­лить. Интерес к гамильтониану такого типа обусловлен тем, что астрономы используют его при моделировании движения звезды в цилиндрически симметричном потенциале галактического диска.

Энергия является интегралом движения, вследствие чего орби­ты лежат на трехмерной гиперповерхности постоянной энергии в четырехмерном фазовом пространствеPx,Py,X,Y. На рис. 6.5 пред­ставлены разрезы такой энергетической поверхности плоскостью Py (так называемые отображения Пуанкаре) при трех значениях безразмерной энергии E = 1∕l2j ɪ/в И 1∕6. Отображения Пуанка­ре (б) в правой части рисунка, рассчитанные по обычной теории возмущений, показывают, каким образом поверхность постоянной энергии пересекается плоскостью ,Y. Такие расчеты по теории возмущений вообще не учитывают возможность хаотического по­ведения системы. Более реалистическое численное моделирование на ЭВМ (левая часть рис. 6.5, а) воспроизводит нормальное пове­дение системы при низшей энергии E = 1∕12 и всеобщий хаос при высшей энергии E = 1∕E Промежуточной энергии E = ɪ/g соот­ветствует область, соседствующая с хаосом. Аналогичные отобра­жения Пуанкаре для плоскости Px,X (не приведенные на рисунке) соответствуют орбитам, отличающимся от орбит в плоскости Ру, у, Из-за отсутствия симметрии у члена 7/СВЯз, однако зависимость сте­пени хаоса от энергии сохраняется.

Некоторые системы связанных уравнений тоже описывают пе­реход к хаосу. Рёсслер предложил следующую систему уравнений, которые мы для удобства представляем в виде функций времени:

χW = -[Y(T) + *№],

Y‘(T) = X(T) + Ay{T), (25)

Z‘(T) = Ь + z(t)[τ(t) — с].

Типичные трехмерные траектории, отвечающие этой системе, пока­заны на рис. 6.6. Большую часть времени система движется вблизи своего аттрактора в плоскости Х, у, где она удаляется от аттрактора по спирали, пока не достигает порогового значения, после которого траектория «взмывает» вверх вдоль оси Z к максимальному зна­чению. Затем траектория снижается и вновь попадает в область плотных орбит вблизи плоскости Х, у, чтобы вновь начать движе­ние по спирали от аттрактора. Последовательность таких подъемов по спирали и спусков в область плотных орбит, непрерывно повто­ряясь, создает изображенную на рисунке картину.

На рис. 6.7 диаграмма Фейгенбаума для системы Рёсслера пред­ставлена в виде зависимости минимальных значений |ж| от парамет­ра с в диапазоне 2, 5 < с < 10 при фиксированных значениях двух других параметров А = B = 0,2. Минимальному значению с отвеча­ет единственное значение |т|, отчего движение системы представля­ет собой виток спирали в плоскости Х, у с последующим подъемом вдоль оси z, затем еще один виток спирали и т. д. После одной би­фуркации на диаграмме Фейгенбаума (для примера при с = 3, 5) система совершает два витка спирали в плоскости Х, у перед подъ­емом вдоль оси Z и т. д. На рис. 6.8 показана траектория системы

3 4 5 6 7 8 9

C

Рис. 6.7. Диаграмма Фейгенбаума (зависимость Х от с) для модели Рёсслера с параметрами А = Ь = 0, 2 в уравнении (25) при значениях 2, 5 < с < 10. При с = 8 видно пять значений ∣rc∣, соответствующих пяти спиралям на рис. 6.8. (Из книги: Peitgen О. Et al., Chaos and Fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1992, р. 692.)

С пятью витками спирали в плоскости Х, у и последующим подъ­емом вдоль оси Z, возникающая при с = 8, что соответствует пяти значениям |х|, как видно из рис. 6.7.

Аналогичную систему уравнений предложил Э. Лоренц. Без учета зависимости от времени эта система имеет вид

Х’ = σ(X + у), Y‘ — Rx — у — XZ, ‘ = —Bz + ху.

Рис. 6.8. Периодическая орбита, связанная с аттрактором Рёсслера для значений а = Ь = 0,2ис = 8. Каждому выбросу вдоль оси Z соответствует пять витков спирали в плоскости Х, у, что связано с пятью значениями |х| при с = 8 на диаграмме Фейгенбаума, рис. 6.7. (Из книги: Peitgen О. Et al., Chaos and FYactals, Springer-Verlag, Berlin, 1992, р. 693.)

x,рис. 6.9. два листа спиральных траекторий для аттрактора лоренца. траектория точки, изображающей систему, представляет собой разворачивающуюся спираль на одном листе, которая затем «перескакивает» во внутреннюю область второго листа, после чего развертывание спирали с последующим перескоком повторяется и т. д. (из книги: peitgen о. et al., chaos and fyactals, springer-verlag, berlin, 1992, р. 698.)

Для трех безразмерных параметров в этих уравнениях Лоренц за­фиксировал следующие значения:

σ = 10, В = 8/3, Я = 28. (27)

Траектории такой системы, показанные на рис. 6.9, представляют собой спирали, располагающиеся на двух листах, в каждом из кото­рых спираль раскручивается до тех пор, пока не достигнет порога. Затем происходит перескок траектории во внутреннюю часть второ­го листа, после чего спираль вновь раскручивается. Такое спираль­ное движение наружу с перескоком во внутреннюю часть другого листа повторяется непрерывно.

ГЛАВА7

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *