МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

1. ВВЕДЕНИЕ

Существует несколько способов изложения содержания квантовой механики. Один из них состоит в использовании дифференциаль­ных уравнений, другой основан на операторах. В этой главе мы рассмотрим матричный подход и изложим его, используя матрицы момента импульса.

2. МАТРИЦЫ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

В гл. 3 мы обсуждали некоторые свойства спиновых матриц Пау­ли. Эти матрицы связаны с тремя декартовыми компонентами для частицы со спином 1 / 2′-

Матрицы для спина более высокого порядка образуются с помощью коэффициента [(J =F M)(J ± M + I)]1/2 в выражении (26), гл. 17:

J±M) = [(J ± M)( J =F M + 1)]1/2|М| ± 1). (2)

Этот коэффициент позволяет построить треугольную таблицу, сим­метричную относительно вертикальной оси:

Строка, отвечающая спину J, имеет структуру

√(2J) ∙ (1)√(2J1) ∙ (2)√(2J2) • (3)
√(2
J-3)∙(4)…√(1)∙(2J).

Числа в этом треугольнике представляют собой диагональные эле­менты матрицы J = I и матриц более высокого порядка Jx и Jy, С заменой в матрице Jy единицы на ±I. У.72-матриц по диагонали стоят значения M. Матрицы для J = ɪ,l и заимствованные из Книги C. P. Poole, Jr., H. A. Farach, Theory of Magnetic Resonance (Wiley, New York, 1987), записываются следующим образом:

О 0\

О о 1 0 ’ о V

Эти матрицы эрмитовы, т. е. Mij = Mji, и имеют нулевой след. Кроме того, здесь приведены соответствующие единичные матри­цы, а матрицы для лестничных операторов J+ и J определяются выражениями

J+ 4^ I Jy,

J— Jx iJ, l.

Это вещественные матрицы, получаемые из Jx и Jy матричным сло­жением, как показано в гл. 27, разд. 5, они могут быть также по­строены на основе треугольника (3). Мы видим, что матрица для J2 получается из выражения

J2 = J2X + J2Y+J2Z (6)

С помощью матричного умножения [т. е. J2 = (Jx)(Jx)] и последую­щего матричного сложения (6) И равна единичной матрице, умно­женной на величину J(J+L), которая является собственным значе­нием J2. Матрицы момента удовлетворяют стандартным правилам коммутации

[Ji,Jj] = IJk (I,J,KЦиклическая перестановка), (7)

[J2, Jk] = O (KX,Y,Z), (8)

Что можно доказать, выполняя перемножение матриц.

3. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА

В гл. 17 мы рассмотрели сложение двух моментов:

J = Ji + J2∙

В Матричном представлении оно выполняется с помощью разложе­Ния Прямого произведения, описанного в разд. 5 гл. 27. Например, для любой декартовой компоненты

JxJX + J2X (ɪθ)

Мы Образуем прямые произведения с помощью единичных матриц и U2:

Jx = (J11) х (CZ2) + (CZ1) × (J21); (11)

Здесь Ui — единичная матрица размерности Jc,. Выполняя разло­жение для случая J1 = 1 и J2 = |, имеем

Д, Производя сначала разложение по прямым произведениям, а за — JM Матричное сложение, получим

4. ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА В ВОДОРОДЕ

В Качестве примера использования формализма прямых произведе­Ний Рассмотрим атом водорода в основном электронном состоянии cL = 0hS = ɪ. Кроме того, имеется спин ядра I = | у протона, так что в наших обозначениях мы имеем дело с системой J1 = S = | и J2 = I = |. Запишем гамильтониан для эффекта Зеемана в сильном магнитном поле и будем считать, что квантование спинов происхо­Дит На направление магнитного поля Bz.

Гамильтониан В собственного магнитного момента электрона φμ,GS И собственного магнитного момента ядра Qn^NI в магнит­ном поле В = КВ имеет вид

B = ВSzBGNμNIzB + TSL, (14)

Где в правой части первые два члена являются электронным и ядер — Ьым зеемановскими членами соответственно, причем GμβGμN = 660, A TS I Представляет собой сверхтонкое взаимодействие между электронным и ядерным спинами, которое мы определили в разд. 5
гл. 17. Гамильтониан в виде прямого произведения матриц запи­шется следующим образом:

H=9μB(Sz) × (U)-G^NB(U) × (Jz)+T[(Sx) × (Jx) +

+ (Sy) × (J1,)+ (Sz) × (Jz)]; (5)

Здесь матрицы обозначены скобками, a U — единичная матрица 2×2.

Мы видим, что каждая матрица Si стоит слева в паре прямых про­изведений, а каждая матрица Jj — справа. Если одна из матриц от­сутствует, как в зеемановских членах, то ее, как показано, заменяет единичная матрица. Если вставить фактические матрицы, гамиль­тониан принимает вид

OA Jl OA 1 Jl

× I л 1 " O5jv^jv∙θ

+ ∖o —1√x ко -1

Вычисляя прямые произведения и выполняя сложение матриц по­лучаем 4 × 4-матрицу гамильтониана

^ɑn О О О А

О α22 «32 О

О α23 a33 О

^O О О Q44 у

(«и = Gμi}BGπμNB +

«22 = μBB + ⅜GπμNB |Т;

«23 = |Г;«32 = IJ1;

«зз = — jsμs∙B — ⅛9NμNB — \Т; «44 = -∣gμβB + ±G^NB + |Г),

Которая дает непосредственно два значения энергии, а также 2 х 2-матрицу, эквивалентную квадратному уравнению, относительно двух других значений энергии. Таким образом, имеем

Ei = GμβBGNμjγB + ∣T,

E2 = -∣T + ⅛[(<zμβ + G^NB)2B2 + Г2]1/2, E3 = -|Г — l[(5μβ +5jvμjvβ)2β2 + Г2]1/2, E4 = -⅛GμβB + igjvμjvβ + |Г.

Волновые функции, отвечающие первой и четвертой энергиям, известны точно, в то время как двум другим состояниям отвечают смешанные волновые функции

∣Sι> = IHb

L⅞>=α∣⅛ — ⅛) +7∣-⅛⅛),

(19)

1^з> = У Ii — ⅛> -«* l-⅛⅛> >

∣Sι> = H-½>

C условием нормировки

Аа* + 77* = 1. (20)

Величины а и 7 являются коэффициентами Клебша-Гордана и так­Же Представляют собой элементы унитарной матрицы U, которая

Диагонализует матрицу гамильтониана

На рис. 18.1 и 18.2 показаны зависимости энергий Ei и коэффи­циентов а и 7 от отношения GμgB/Т. Мы видим, что вблизи нуле­вого магнитного поля величины а и 7 принимают значение ʌ/ɪ/2, А в сильном магнитном поле α => 1 и 7 « 1. Для разрешенных прави­лами отбора переходов в электронном спиновом резонансе (ЭСР) в слабом магнитном поле (3 => 4 и 3 => 1) ΔM = ±1, а в сильном поле (3 => 1 и 4 => 2) ∆m⅛ = ±1, ∆m∕ = 0, где M = Ms + mʃ. В случае ядерного магнитного резонанса (ЯМР) правила отбора для разре­шенных переходов (2 => 1 и 3 => 4) таковы: ∆mg = O, ∆m∕ = ±1.

5. ОБЩАЯ МАТРИЦА ГАМИЛЬТОНИАНА

Мы рассмотрели построение матриц гамильтониана с помощью пря­мых произведений. Если необходимо построить такую матрицу в более общем случае, начинают обычно с записи гамильтониана Д в виде основной части Но, для которой уже известны собственные функции φoj = J) и собственные значения Eoj, и добавки к ней H ,
Собственные функции и собственные значения которой необходимо вычислить:

H = H0 + H‘. (22)

В Этом базисе ∣j) основной гамильтониан, или гамильтониан нуле­вого порядка H0 будет диагональным:

(j∣7∕o∣j) = E0J Sij, (23)

И Необходимо вычислить диагональные и недиагональные матрич­ные элементы (i∣7∕’∣J) дополнительного гамильтониана H. Пред­полагая, что в базисном наборе присутствуют лишь четыре чле­на, матрицу полного гамильтониана H можно записать следующим образом:

Здесь Было использовано выражение (23). Эта эрмитова матрица может быть приведена к диагональному виду унитарным преобра­зованием или может быть решена исходя из детерминанта, если обозначить диагональные члены через — А, что эквивалентно реше­нию квадратного уравнения. Для получения приближенного реше­ния можно использовать теорию возмущений, как мы покажем в гл. 22. Для энергий нулевого порядка след обычно равен нулю:

^0I ~ -^θl + Eq2 + ЕОз + E04 = 0; (25)

А для возмущенных членов первого порядка (диагональных) имеем (IHI) = (1∣H’∣1) + (2∣7∕’∣2) + <3∣H’∣3) + <4∣H’∣4) = 0, (26)

Что помогает найти решение. Недиагональные члены (IH∣j) дают Поправки к энергии второго порядка.

ГЛАВА 19

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *