МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. ТЕНЗОРЫ И МАТРИЦЫ

1. ВВЕДЕНИЕ

В двух заключительных главах мы изложим основы математиче­ского аппарата современной физики и приведем наиболее часто ис­пользуемые математические формулы и уравнения. В данной главе речь идет о векторном анализе, определителях, матрицах, тензорах, конечных и бесконечных рядах, преобразованиях Фурье и инте­гральных преобразованиях, функциях помплексного переменного, теории групп и методе Монте-Карло. Для удобства читателя приве­дены наиболее часто встречающиеся функции, а также некоторые формулы, которые нелегко разыскать в стандартных математиче­ских справочниках. В следующей, заключительной главе изложен дополнительный материал, относящийся к решениям дифференци­альных уравнений и некоторым специальным вопросам, таким как гамма-функция, дельта-функция и функции Грина.

2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Вектор характеризуется величиной и направлением. В этом разде­ле мы будем обозначать векторы прямыми заглавными буквами и выделять их жирным шрифтом. Скаляры, характеризуемые толь­ко величиной, будут обозначаться строчными буквами. Ниже при­ведены некоторые соотношения между векторами, а также между связанными с ними тензорами (T):

AB=BA AxB=-BxA A-(Bxc) = (AxB)-C=-A-(CxB) = -(BxA)-C= =объем параллелепипеда Ax(BxC)=B(AC)-C(AB),

(A×B)∙(C×D)=A∙[B×(C×D)]=(A∙C)(B∙D)-(A∙D)(B∙C), (4)

(A×B)×(C×D)=A[C-B×D)]τB[D∙(A×C)]. (5)

Кроме этого используются операции градиента V, дивергенции V • и ротора вектора V х, причем

Если V-B = O, то B = VxAh В— соленоидальный вектор, (6) если V × В = 0, то В = Vf и В—безвихревой вектор, (7)

V(αb)=αVbTbVα, (8)

V∙(αA)=αV∙A+A∙Vα, (9)

Vx (аА) =αV×A+(Vα)×A, (10)

V-(AxB)=(VxA)B-(VxB)A, (11)

Vx(AxB)=A(V-B)-B(V-A)-(A-V)Bt(B-V)A, (12)

Ax(VxB)=(VB)-A-(A-V)B, (13)

V(A-B)=Ax(VxB)TBx(VxA)T(A-V)Bt(B-V)A, (14)

V-(AB)=(V-A)Bt(A-V)B, (15)

V(aT)=aVTτ(Va)T, где T = тензор. (16)

Последовательное дифференцирование скалярных функций / и векторов А, например, применение оператора Лапласа V2 (лапла­сиана) к скалярной или векторной функции дает

V2/ = V • V/, (17)

V2A = V(V-A)-Vx(VxA), (18)

V х V/ = 0, (19)

V ∙ (V х А) = 0. (20)

Дифференцирование радиуса-вектора г дает

V∙r = 3 Vxr = O, (21)

Vr = τ∕r = I V(l∕r) = —r∕r3, (22)

V2(l∕r) = — V ∙ (r∕r3) = 4τr5(r). (23)

Особое значение имеют приводимые ниже формулы, связывающие интеграл по объему V с интегралом по замкнутой поверхности S,

Ограничивающей этой объем (dS = AdS, где п —единичный вектор, направленный наружу по нормали к поверхности)

IIhfdv=Ihfds’

(24)

∕ ∕ ∕ V ∙ AdV = A — AdS теорема

(25)

,f ,f j ` j Остроградского—Гаусса

О дивергенции

Llh,ιdv=Il ‘vr"s’

(26)

HI VxAdV=Il AxAdS,

(27)

Щ (fV2g-gV2 f)dV=∣∣A-(fVg-gVf)dS теорема Грина

(28)

Ih • (V × (V × В)) — В ∙ (V × (V × A))]dV =

= х (V х А) — А х (V х B)]dS.

(29)

Ряд формул позволяет связать интеграл по незамкнутой поверх­ности S с интегралом по контуру С, который ограничивает эту по-

(30)

Теорема Стокса (31)

Ds, (32)

Ds = — GV FDs. (33)

3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В ортогональной системе криволинейных координат Qι, <j⅛ и Qs (ɛ ортогональными единичными векторами eɪ, A2 и ё3) дифференциал радиуса-вектора есть

Dr = eɪ ∕iιdQι + E2H2Dq2 + e3∕ι3dQ3, (34)

А дифференциалы элемента Ds и элемента объема имеют вид

Ds = [(H1Dqι)2 + (∕ι2⅛)2 + (Мз)2]1/2, (35)

= H1H2H3Dq1Dq2Dq3. (36)

Величины ∕iι, ∕ι2 и ∕ι3 в наиболее распространенных системах ко­ординат равны

∕iι=l Zi2=I Z13=I в декартовых координатах Х, у,Z1 (37а)

Zii=I Zι2=p Z13=I в цилиндрических координатах P,φ,Z, (376)

Zii=1 Λ2=r ∕i3=rsin0 в сферических координатах R,θ,φ. (37в)

В декартовых координатах Х, у, Z дифференциалы записываются в виде

= Idx + Jdy + Kdz, (38)

Ds = [Dx2 + Dy2 + Dz2}V2, (39)

= Dx Dx Dz, (40)

А дифференциальные операторы имеют вид πτ t<9Φ t<9Φ — дФ vφ=j‰+j¾+⅛

V. v=≤i + ⅛ + ⅛

Дх ду Z

ɑ τ ∂2Φ ∂2Φ <92Φ

V2 Ф =———— 1——— 1—-

X2Y2Z2

В цилиндрических координатах (рис. 27.1) соответственно,

Р= (х2 +у2)1’2, ψ = ArctgyX,

Z = Z,

А единичные векторы и дифференциалы Ep = I Cos φ + J Sin φ, Ev = I Sin φ + J Cos φ,

Рис. 27.1. Единичные векторы Ep, Ёр и Ё, Координат.

— к Цилиндрической системы

Рис. 27.2. Единичные векторы ег, координат.

Ев и Eιp сферической системы

ɪ = Ep cos φEιp sin φ, J = Ep Sin φ + cos φ,

Dr = Epdp + Eψpdφ + Kdz, Ds = [Dp2 + P22 + Dz2}12, = Pdpdφdz

Дифференциальные операторы имеют вид

πτ ʌ <9Ф ё, л дФ 1-<9Φ

Ор р OZ

_ 1 Д 1 Vz

V V-^⅛~(PVp) "I——— д—- Ь ^⅛~,

Рдр р φ Oz

(47)

(48)

(49)

(50)

VxV=-

P

P

_9_

Др

V,

P

<ЭФ\

Pe⅛?

_э_

Dtp

PVp

А_

Z

К

PP^∂P)’ P2φ2

1 <92Φ ∂2Vz +

Z2

В полярных координатах (рис. 27.2) выражения для и дифференциалов имеют вид Х = г sin θ cos φ, у = sin θ sin φ,

Z = cos θ,

P= (χ2 +Y2 +22)v2, θ = arccos Z/г,)

φ = ArctζyX,

Er = I Sin θ cos φ + J Sin θ sin φ + k cos θ, Eg = I cos θ cos φ + J Cos θ sin φ — k sin θ, Ev, =I Sin ψ + J Cos θ,

(51)

(52)

(53)

(54)

Векторов

(55)

(56)

Er sin θ sin φ + eg cos θ sin φ + eφ cos φ,

Er cos θ — eg sin θ,

(57)

Dr = erdr + egr dβ + etpr sin θ dφ,

(58)

Ds = [dr2 ÷ R2dθ2 + r2 sin2 θdφ2}1^2,

(59)

Dτ = r2 sin θ dr dθ dφ,

(60)

I = Er sin θ cos φ + eg cos θ cos φ — eψ sin φ,

А дифференциальные операторы

4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (ДЕТЕРМИНАНТЫ)

ɑɪ

Bi

Ci

02

&2

С2

Аз

СЗ

Величину определителя 3×3 можно найти путем разложения на миноры

=αι(b2C3-b3C2)-α2(bιC3-b3Cι)+α3(bιC2-b2Cι)∙ (65)

Величина определителя равна нулю при условии, что:

1) две строки или два столбца совпадают друг с другом;

2) все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю. Величина определителя не изменится, если

1) к элементам одной из строк, умноженным на некоторую посто­янную, добавить соответствующие элементы другой строки;

2) к элементам одного из столбцов, умноженным на некото­рую постоянную, добавить соответствующие элементы дру­гого столбца.

Если все элементы строки (или, соответственно, все элементы столбца) умножить на постоянную, то такая операция эквивалентна умножению величины определителя на эту постоянную.

5. МАТРИЦЫ

Матрице 2×2, записанной в стандартной форме

Fab M={C D

Можно сопоставить транспонированную матрицу M

√> {ас М={ъ D

Комплексно-сопряженную матрицу М*

• Ь*

∙* D*

Эрмитово-сопряженную матрицу

М] = M* =

А также в некоторых случаях обратную матрицу M 1

M~’ = (A B

C D

MM~1=

Которая определяется соотношением MM~1 = M~1 I — единичная матрица

Другими словами, матрица эрмитовой матрицы H равна ис­ходной

RH=RHY (75)

Из (74) следует, что все диагональные элементы эрмитовой матри­цы являются действительными числами и ее собственные значения также действительны. Действительная эрмитова матрица симме­трична.

К матрицам преобразования относятся унитарные матрицы U, Которые обладают следующим свойством: матрица, обратная уни­тарной, совпадает с эрмитово-сопряженной:

U~1 = f∕t, (76)

И-1

Столбцы и строки унитарной матрицы удовлетворяют условиям ор­тогональности

YuijU*K = ∑UjiU*Ki = Ujk (78)

(где К —единичная матрица), откуда можно показать, что

β = ~Y (79)

И, следовательно, унитарная матрица 2×2 U с определителем, рав­ным + 1, имеет вид

T,=(? "ʃ) <8θ>

С условием ортогональности

Tω, + ДО* = 1. (81)

Комплексные числа А и β можно записать в явном виде через дей­ствительные и мнимые части Ej элементов матрицы U

A = E0 + Ie3, (82)

β = E2+Ie1. (83)

Числа Ej, называемые параметрами Эйлера (или параметрами Кей­ли — Клейна) удовлетворяют условию нормировки

⅛ + E21 + E22 + E23 = 1, (84)

Благодаря которому для определения вида матрицы U необходимо задать только три независимых параметра.

Действительная унитарная матрица R называется ортогональ­ной, если ее обратная матрица совпадает с транспонированной, т. е.

R-1 = R, (85)

А столбцы и строки ортогональны и нормированы

57 RijRik = 57 RjiRki = ^Jk (86)

I Г

В качестве примера ортогональной матрицы R можно привести матрицу вращения в трехмерной декартовой системе координат.

При переходе от одной системы координат к другой действи­тельные матрицы M и эрмитовы матрицы R преобразуются в мат­рицы M1 и R при помощи введенных выше унитарных ([/) и ор­тогональных (H) матриц:

RT1MR=M’, (87)

U~l-HU = R’. (88)

Эти преобразования не изменяют величину следа матрицы Tr, т. е. суммы диагональных элементов

TY = ∑Mii = ∑M’i, (89)

TV=57‰ = ∑>H∙ (90)

Которое для рассматриваемой матрицы 2×2 переходит в квадратное уравнение с решениями

λ = |(Яц + H22) ± |[(Яц — H22)2 + 4|Я1212]1/2. (94)

В случае, когда недиагональный элемент Hi2 мал по сравнению с диагональными элементами Нц и H22, а также с их разностью Нц — H22 = Δ, для X = Ei и E2 получаются следующие приближенные значения:

Ei = Нц +Ff122∕∆, (95)

E2 = H22H22/Δ.. (96)

6. МАТРИЦЫ ПАУЛИ И СПИНОРЫ

Спиновые матрицы Паули имеют редкую особенность: они являются и унитарными, и эрмито­выми. Матрицы Паули обладают свойством циклической переста­новки индексов

σiσj = Iσk (98)

И антикоммутативности

σiσj + σjσi = 2Lδij. (99)

Квадрат каждой из этих матриц представляет собой единичную матрицу

σt2 = I. (100)

Матрицы Паули служат представлением вектора спина |, т. е.

S= (S=⅜), (101)

А также представлением 2×2 радиуса-вектора Г

Z х + Iy х — гу Z

Унитарная матрица половинных углов R

ŋ _ ∕ cos0∕2 Is∕2 X ~ г sin 0/2 cos 0/2

Позволяет осуществить преобразование поворота матрицы Mr по­средством преобразования подобия

Ri1MrRi = M1R (104)

В матрицу Mr(X‘, Y‘, Z‘).

Спиноры представляют собой двухкомпонентные комплексные векторы И, VB пространстве 2×2, называемом спинорным простран­ством. При преобразовании координат они преобразуются (подобно векторам) при помощи унитарной матрицы (80), т. е.

-β* V * V {

J A* I V I υ’

β*v, V1 = βu + a*v.

Из выражения (103) следует, что в спинорном пространстве совпа­дение достигается при повороте на 4π (а не на 2π, как обычно), поскольку только при таком повороте восстанавливается исходная конфигурация спиноров. Это означает наличие гомоморфизма, ко­торый в данном случае представляет собой отображения двух уни­тарных матриц 2 × 2 U в одну матрицу 3×3 ортогональных враще­ний R. Другими словами, оба угла {θ и (9 + 2π) матрицы U{θ) (80) и матрицы Rx (103) отображаются углом θ матрицы 3×3 вращения R (3) гл. 3.

Спиноры играют важную роль в задачах квантовой механики, так как две компоненты спинора и V) могут представлять два спи­новых состояния электрона, соответствующих M=+⅛Nm = —1.

7. ТЕНЗОРЫ

Тензоры нулевого, первого и второго рангов называются соответ­ственно скаляром S, вектором V И просто тензором Т. Каждая из этих величин может иметь «псевдоаналог» (псевдоскаляр Sp, псев­довектор Vp, Псевдотензор Tp) В зависимости от поведения при опе­рации пространственной инверсии (х —> —х, у —> —у, Z> — Z). Эта операция P преобразует указанные величины следующим образом:

Аналогичные соотношения можно выписать и для тензоров более высокого ранга. Примером псевдовектора является векторное про­изведение двух обычных векторов.

В декартовых координатах тензор Axx, Axy,… имеет девять компонент и может быть разложен на три разные величины: од­нокомпонентный скаляр S, который представляет собой след

S = Axx + Ayy + Azz, (108)

Трехкомпонентный (псевдо)вектор V, Представляющий собой анти­симметричную часть тензора, с составляющими вида

Vx = AyzAzy (109)

И тензор с нулевым следом и пятью независимыми компонентами типа

Axx и Axy + Ayχ, (110)

Который соответствует симметричной части исходного тензора в де­картовых координатах. Нашесть компонент (110) наложено допол­нительное условие в виде равенства нулю следа, вследствие чего независимы только пять компонент.

Три компоненты вектора V Можно выразить через его абсолют­ное значение

V = (К2 + V2 + V2)1/2 (Ill)

И два полярных угла (θ к ф), задающих направление вектора в про­странстве. Пять компонент тензора второго ранга с нулевым следом можно однозначно задать тремя эйлеровыми углами θ, ф и ψ (ко­торые приводят тензор к диагональному виду), наибольшим диаго­нальным элементом (J1zz) и разностью двух других диагональных элементов (TxxTyy) после диагонизации.

Скалярное произведение двух векторов А И В Означает свертку А • В Контравариантного вектора А И ковариантного вектора В (или наоборот):

A-B=A1 B1+A2 B2TA3B3=BA=B1 Aj +B2A2+B3A3. (112)

Если ковариантные и контравариантные компоненты векторов не совпадают (как в случае декартовых координат), то свертка невоз­можна ни для одной пары ковариантных (ни соответственно кон — травариантных) векторов, так как всегда будут присутствовать пе­рекрестные члены типа A1B3 или A2B1, соответственно. Происхо­ждение перекрестных членов обусловлено тем, что базисные векто­ры в общем случае не будут взаимно ортогональны. Аналогичная проблема возникает и для тензоров более высоких рангов.

При преобразовании системы координат контравариантный век­тор с компонентами V1 = V1, V[32] [33],… в новой системе имеет вид

А ковариантный ⅝ = V1, V2,…

Преобразования контравариантных, смешанных и ковариантных тензоров второго ранга (соответственно T[34]. TJ и Tij), даются сле­дующими формулами:

.., ∕, ∂XIXI ..

Тгз = > ——τ-[35] I T для контравариантных тензоров, (115)

⅛/ XkXtJ

Которые легко обобщаются для тензоров более высокого ранга. Различие между ковариантными и контравариантными величи­

Нами играет существенную роль в ряде конкретных разделов фи­зики.

8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

В этом разделе приведены некоторые соотнбшения и теоремы, от­носящиеся к бесконечным рядам. Рассмотрим частичную сумму

⅛∙l = y‰. (ɪɪ8)

В соответствии с критерием Коши мы будем говорить, что эта сум­ма сходится к пределу S

Iim Sj = S, (119)

Если для каждого ε > 0 существует определенное значение N, для которого

S Sj∣ < ε при I > N. (120)

Особо следует выделить два важных случая: геометрический ряд, который при г < 1 сходится к пределу

∑-

И расходится при Г > 1, и расходящийся гармонический ряд

∑""4 + 5 + 3 + ∙∙∙ <122>

Знакопеременный ряд Ип, для которого сумма 22 Ип сходится, а сум­ма 22 lu∏l расходится, называется условно сходящимся. Ряд (122) сходится условно. Сходящийся ряд 22 M называется абсолютно сходящимся. Более тонким понятием является однородная сходи­мость функционального ряда 22 u∏(a0 на некотором интервале зна­чений аргумента Х.

Важную роль в теории рядов играет постоянная Эйлера — Mac — керони 7, определяемая как предел при П —> оо выражения в котором обе суммы Sn = 22 m~1 и сумма ряда натуральных ло­гарифмов П быстро расходятся; однако ряд, составленный из их разности, сходится.

9. РЯДЫ ФУРЬЕ

Разложение функции ʃ(ʃ) в ряд Фурье имеет вид

/(ʃ) — 2α° + ∑a, m cθs mx ~*~ ∑ s’n тх’

Где Т — последовательность целых чисел, а коэффициенты при три­гонометрических функциях определяются формулами z∙2π

1 Г*

Am = ∕ f(t)cosmtdt, π Jo 1 R2π

Bm = F{t) sir

7r Jo

I sin Mt dt

(125)

(126)

С учетом условия ортогональности

Г27Г

/

F

Jq

J2

Sin Тх sin Рх dx= πδmp

Т ≠ О

Cos Тх cospx dx= πδmp

Т ≠ О

Sin Тх cos Pxdx =0.

Записать в виде

(127)

(128)

Где величины с„ вычисляются по аналогии с (125) — (127), а связь коэффициентов Cn, ап и Bn устанавливается достаточно просто. В

Рис. 27.3. Явление Гиббса— резкие выбросы, возникающие при разложе­нии в ряд Фурье прямоугольного импульса вблизи точки разрыва (ци­фры означают число членов ряда). (Из книги: Arfken G., Weber H. J., Mathematical Methods for Physicists, 4th ed., Academic Press, New York, 1995; имеется перевод: Г. Арфкен. Математические методы в физике.— M., Атомиздат, 1970, стр. 579.)

Таблица 27.1. Примеры разложения некоторых периодических функций в Ряд Фурье1.

Значения

Название функции Т Ряд

Центрированный 1, 2, 3,

Пилообразный

Сигнал

Центрированный 1,3,5,

Треугольный

Сигнал

Центрированный 1,3, 5,

Прямоугольный

Сигнал

«Выпрямленный» 2,4,6,

Синусоидальный

Сигнал

1 И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, Справочник по математике. — M.: Наука, 1964 (10-е изд.)

Большинстве случаев ряды Фурье позволяют получать приближен­ные значения функций с очень высокой точностью, однако вблизи точек разрыва частичные суммы рядов Фурье могут значительно отклоняться от значения функции, образуя своеобразный «выброс», как показано на рис. 27.3 для фурье-разложения прямоугольного импульса. Это поведение в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Ряды Фурье для некоторых функций приведены в табл. 27.1.

10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Ряды Фурье (124) удобны для представления периодических функ­ций /(х) в виде суммы членов типа sinmx и cosmx, где Т — целые числа. Если же функция /(х) не является периодической, то сум­мирование по Т и П в (124) и (128), соответственно, можно заме­нить интегрированием по ω. Для удобства можно воспользоваться выражением (128) с заменой переменной х на T, что приводит к
уравнению для /(f)

1 Г°°

(129)

В котором дискретные коэффициенты с„ для целочисленных значе­ний П в (128) заменены непрерывной функцией F{ω) переменной и, изменяющейся в диапазоне от — оо до +∞. Представление функции /(ʃ) рядом (128) заменяется интегральным преобразованием (129). Можно записать и обратное преобразование

1 7∞

<13°>

Нормировочный коэффициент (2π)1/2 обеспечивает полную взаим­ную симметрию обратного преобразования F{ω) и исходной функ­ции F(T), за исключением знака в экспоненте.

Преобразования (129) и (130) могут использоваться для широ­кого класса непериодических функций. В зависимости от четности исходной функции /(ʃ), т. е. операции F∕(f) = /(—T), имеем

F∕c(t) = Л (С для четных функций,

PfdQ = —Fs(T) для нечетных функций

И экспоненциальные фурье-преобразования (129) — (130) можно за­менить косинус — и синус-преобразованиями Фурье соответственно, имеющими для четных функций вид

Z∙∞

FdQ = (2∕π)1/2 /

Jq

FcH = (2∕π)1/2 /

Jq

А для нечетных

Z∙∞

М) = (2∕π)1/2 /

Jq

Fs(ω) = (2∕π)1/2 /

Jo

Если функция /(t) локализована в интервале Т, то ее фурье-образ F(lj) будет локализован в области Δlj, причем эти области локали­зации связаны между собой соотношением неопределенности

γΔlj≈1, (134)

Аналогичным принципу неопределенности в квантовой механике.

Полезно рассмотреть несколько примеров преобразования Фу­рье. Выбрав в качестве F(ω) в (129) функцию Elωx, мы можем полу­чить (после незначительной перенормировки) фурье-образ дельта­функции δ(T — х)

Дельта-функция δ(T — х) локализована в точке, а ее фурье-образ e-tω(t-a:) полностью делокализован, что соответствует предельному случаю приведенного выше условия неопределенности (134).

В квантовой механике волновая функция Д(р) в пространстве импульсов связана с волновой функцией ψ(X) в координатном про­странстве соотношением типа преобразования Фурье. В качестве примера для основного состояния атома водорода имеем

≠(r) = (l∕πα0)-l72e-rz°θ, (138а)

1 (2ft∕α0)>

2π [p2 + (∕√α0)2]2′

Соотношение неопределенности в данном случае

∆x∆pa, ≈ ħ (139)

Известно под названием соотношения Гейзенберга. Волновой пакет конечной длины (соответствующий N периодам синусоидальной волны) ʃ(ŋ может быть записан в виде

Где Т = ωo. После синус-преобразования Фурье он переходит в

Б

Рис. 27.4. Спектр ядерного магнитного резонанса (ЯМР) липосахарида оболочки клеток Rhizobium: (а) сканирование по частотам; (б) времен­ная развертка. (Из книги: Poole C. P., Farach H. A., Theory of Magnetic Resonance, Wiley, New York, 2nd Ed., 1987, p. 328.)

Картина соответствует дифракции Франунгофера на джозефсонов — ском переходе.

В Спектроскопии часто используется то обстоятельство, что косинус-преобразованием Фурье функции Лоренца 1/(1 + г/2) слу­жит экспонента E~X, как в случае (138). Это в свою очередь озна­чает, что лоренцева форма линии Y(ω) в интервале частот Д<д (с центром при то)

(<д — (До)2 + (ʌ^)2 соответствует колебаниям, затухающим во времени по экспоненци­альному закону E~Tτ. Классический анализ спектра связан с ча­стотным сканированием типа изображенного на рис. 27.4,6. Из ри­сунка видно, что большая часть времени эксперимента затрачивает­ся на сканирование в промежутках между резонансными линиями,
т. е. областей, не содержащих полезной информации. Более эффек­тивно облучать образец последовательными импульсами, содержа­щими широкий спектр частот. В результате удается получить вре­менной спектр типа показанного на рис. 27.4,а. Этот спектр на пер­вый взгляд также не содержит полезной информации, однако после фурье-преобразования он позволяет выделить область частот, пока­занную в нижней части рисунка. При этом значительно возрастает чувствительность, поскольку все время облучения образца затра­чивается на получение информации о спектре. В настоящее время практически вся инфракрасная и ЯМР-спектроскопия основана на фурье-преобразовании.

Сто лет назад основной областью применения фурье-преобразо­вания была кристаллография, что позволяло определять располо­жение атомов в твердом теле, используя это преобразование приме­нительно к измеренным расстояниям между кристаллографически­ми плоскостями. В зонной теории характеристики зон Бриллюэна в импульсном пространстве могут быть найдены фурье-преобразова — нием кристаллографических данных, полученных в координатном пространстве.

11. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Интегральные преобразования связывают уравнением две функции

/(*) и F(t):

F(s}= f F(t)K(s, t)dt, (143)

Где функция /(s) называется (интегральным) образом функции F(T), а функция K(S,T) — ядром преобразования. В рассмотренном выше преобразовании Фурье [(129), (130)] ядром преобразования являлась функция Elst. Другими примерами интегральных преобра­зований могут служить преобразования Лапласа [K(S,T) = est], Меллина [K(s, Z) = s-i] и Ганкеля [K(S,T) = TJn(St}]. Наибольшее распространение получило преобразование Лапласа C{F(T)}, опре­деляемое уравнением

(144)

Список наиболее часто используемых преобразований Лапласа при­водится в табл. 27.2.

Таблица 27.2. Преобразование Лапласа некоторых функций.

Функция-оригинал Функция-изображение

Ограничение

Применения

/(æ)

£№

1.

1

ОД

Особая точка в +0

2.

1

1

S > О

S

3.

П!

Tn

S > 0, П > — 1

Sn+1

4.

1

EKt

S > К

S — к

5.

1

Tekt

S > К

(s-fc)2

6.

S

Chkt

S > К

S2 — к2

7.

К

Shfct

S > К

S2 -к2

8.

S

Cos Kt

S > О

S2 + К2

9.

К

Sin Kt

S > О

S2+к2

10.

S — а

Eat cos Kt

S > А

(s — а)2 + К2

11.

К

Eat sin Kt

S > А

(s — а)2 + К2

S2-к2

T cos Kt

12.

S > О

(s2+k2)2

2ks

13.

T sin Kt

S > О

(s2 + fe2)2

14.

(β2+a2)-V2

Jo (at)

S > О

15.

(s2 — а2)’172

ʃo(at)

S > А

16.

ɪareetg f-ʌ А \а/

Jo(at)

S > О

ɪ ɪɪɪ s + а

17.

S А ɪareeth f-λ)

‘ ɪo(at)

S > А

A ∖a∕ J

18.

(s — <

Sn+l

L∏ (at)

S > О

19.

ɪ ɪn(s + 1)

S

Ins

Eι(x) = — Ei(-x)

-Int-C

S > О

20.

S > О

S

Преобразование Лапласа первой (F'(t) = DFDf) и второй (F"(t) = D2FDt2) производных, можно легко получить, интегри­руя по частям

C{F‘(T)} = SC{F{T)}F(O), (145)

C{F"{t)} = s2C{F(t)} SF(0) F'(0), (146)

Причем производная по T берется справа (со стороны положитель­ных значений). Эти уравнения можно использовать для преобра­зования дифференциальных уравнений второго порядка в алгеб­раические уравнения. Примером может служить преобразование Лапласа /(s) для уравнения гармонического осциллятора. Если X{T} — F{T) и /(s) = C{X(T)}, вместо дифференциального уравнения

D^2

X{T) + Kx(F) = 0 (147) с граничными условиями F(O) = x(0) = Xq и F'(0) = F(O) = 0 получим алгебраическое уравнение

Ms2∫(s) — Msx0 + Kf(S) — 0. (148)

Учитывая, что К = mωθ, можно найти Z0S

S*+ω

Решение исходного уравнения (147) в данном случае можно опреде­лить, просто подобрав в табл. 27.2 обратное преобразование Лапла­са, соответствующее функции (149). Таковым является преобразо­вание У 8 и

X(T) = X0Cosω0T. (150)

Интегральное преобразование в общем виде

(151)

Носит название интегрального уравнения Фредгольма первого рода, если функция /(х) известна, а функция F(f) неизвестна. Аналогич­но можно определить и уравнение Фредгольма второго рода

F(X) = /(x) + λ F F(T)K(X,T)Dt, (152)

J А

Где функция /(х) снова считается известной. Два сходных инте­гральных уравнения представляют собой уравнение Вольтерры пер­вого

/(x) = F F(t)K(x, t)dt Ja

И второго рода

То интегральная формула Коши приобретает вид (при условии что обход контура осуществляется по часовой стрелке)

∕ Γ∑⅛z = 2πiAz°) (160)

ИЛИ

Ф F(Z)Dz2πiaL, (161)

Где вычет a_i в точке Zo равен

ɑ-i = [О — zo)∕(z)]2=2o. (162)

Если контур интегрирования содержит особую точку, то коэффици­ент 2πi в (161) следует заменить на ±πi, обращая особое внимание на выбор знака. Если внутри контура C содержатся и другие особые точки Zq, то можно применить теорему о вычетах

F(Z)Dz = 2πi 52α-ι> (163)

Где каждый из вычетов ArL1 вычисляется согласно формуле (162). В окрестности точки Zq внутри контура C функция /(z) может

Быть представлена в виде разложения в ряд по степеням (z — Zo)N С целочисленными показателями П от нуля до бесконечности

ʃ(z) = 52 α"(z ~ 2°)n’ (lθ4)

П=0

Где каждый коэффициент Ап можно определить либо из П-й произ­водной ∕*-n)(z) в точке Zo, либо в виде интеграла по контуру C

— ,/’-l⅛),2-Γ ⅛-)⅛-

2πi Jc (Z‘ — Znl"+1

Если область аналитичности представляет собой кольцо (с внутрен­ним радиусом rι и внешним радиусом гг), то функция ʃ(z) может быть разложена в ряд Лорана по степеням (z — zɑ)" с суммирова­нием по всем целочисленным П ( — ∞, +оо) в виде

ʃ(z)= 52 αn(z — z0)n, (166)

N=-OO

<167>

A C — произвольный контур интегрирования, охватывающий точку Zo и лежащий внутри кольцевой области ∏ < |z — zo∣ Cn-B пределе rj = 0 ряд Лорана (166) сводится к ряду Тейлора (164).

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО КОНТУРУ

Теорема о вычетах (163) часто используется для вычисления опре­деленных интегралов I вида

I = [ F(X)Dx. (168)

Ja

Для этого подынтегральная функция записывается в виде функции /(г) комплексной переменной, а интегрирование осуществляется по замкнутому контуру, который включает отрезок AB действи­тельной оси Х. Значение интеграла (168) на интервале [А, В] равно умноженной на 2πi сумме вычетов внутри замкнутого контура, из которой следует вычесть значение интеграла вдоль оставшейся ча­сти контура интегрирования. Например, интеграл

I = [ F(X)Dx (169)

J—

Можно переписать в виде

I=I F(X)Dx (170)

JR

С предельным переходом R> оо. Отрезок интегрирования можно замкнуть полуокружностью радиусом R в верхней полуплоскости, как это показано на рис. 27.5. Если функция ʃ(z) спадает на этой полуокружности быстрее, чем IZ2, то интеграл от ʃ(z) вдоль по­луокружности обратится при переходе R -÷ оо в нуль, в результате чего для исходного интеграла по теореме о вычетах (163):

В качестве конкретного примера рассмотрим определенный ин­теграл

ʃɪfʌ (∏2)

JOO ɪ

Заменяя действительную переменную комплексной на всей плос­кости, запишем подынтегральную функцию таким образом, чтобы выделить ее особые точки

Dz

(Z + I)(ZI)

Обе точки лежат на оси У. Особая точка (полюс) У = г лежит в верхней полуплоскости внутри контура интегрирования и в соот­ветствии с (162) ей соответствует вычет ɑ-ɪ = L2I. Другая особая

Точка У = — I лежит вне контура и не влияет на значение интеграла. Для интегрирования вдоль полуокружности используем полярные координаты

Z = Reiθ, Dz = IReiθdθ (O ≤ 0 ≤ тг), (174)

Подставляя которые в (173) и предполагая R ↑%> 1, получим для интеграла по полуокружности выражение

I=^F* Ie~,

Которое обращается в нуль при R —> оо, вследствие чего исходный интеграл (171) равен

/" F(x)dx 2πi(l∕2i) = π. (176)

JOO

Еще один распространенный тип интегралов имеет вид
∕>2π

I= f(sinθ,cosθ)dθ. (177)

Jo

Используя вновь уравнение (174), произведем замену

= —Idz/Z (178)

И проинтегрируем вдоль окружности с радиусом R = 1. Интеграл (177) равен помноженной на 2πi сумме вычетов a_i внутри окруж­
ности единичного круга. Эти вычеты можно вычислить, используя экспоненциальные представления для синуса и косинуса

Elθ E~ г — Z~1

Siτιθ

Cos θ

14. ТЕОРИЯ ГРУПП

Группой называется множество элементов, для которого опреде­лена операция умножения и которое обладает следующими свой­ствами:

1. Множество является замкнутым, т. е. произведение двух любых элементов группы также принадлежит группе, АЪ = с.

2. Операция умножения обладает свойством ассоциативности: A(Bc) = (αδ)c.

3. Группа содержит единичный элемент I такой, что для всех эле­ментов А имеет место Al = Ia — а.

4. Каждому элементу А группы соответствует обратный ему эле­мент а-1 такой, для которого Aa~1 = A~1 а = I.

Абелевы (или коммутативные) группы отличаются тем, что для них операция умножения обладает коммутативностью, АЪ = Ьа для всех элементов группы. Примером служит множество из четырех элементов (1, —1, г, —г), где 1 соответствует единичному элементу, — 1 — ее обратному элементу, а элемент —г является обратным по отношению к г. Эта группа циклическая (обозначается C4), а ее генератором служит элемент I, характеризующийся тем, что

I2 = -1, г3 = I, Ii = 1. (181)

Циклическая группа из П элементов с генератором Д, причем Gn = I, Обозначается через Cn. Для циклической группы четвертого поряд­ка таблица умножения элементов имеет вид

1

-1

I

—i

1

1

-1

I

~i

-1

-1

1

—i

I

I

I

—i

-1

1

—i

—i

I

1

-1

Каждый из элементов группы должен один (и только один) раз входить в состав каждой строки и каждого столбца таблицы.

Подгруппой называется набор элементов более обширной груп­пы, которые образуют собственную группу более низкого порядка. Например, элементы 1 и —1 описанной выше циклической группы С4 образуют подгруппу.

Два элемента А и с принадлежат одному классу, если они свя­заны преобразованием подобия

Aba~1 = с, (182)

И все возможные преобразования подобия разделяют элементы групп на подмножества, называемые классами.

Представлением группы называется множество матриц, удовле­творяющих таблице умножения группы. Неприводимым представ­лением называют такое множество матриц Mj, которое удовлетво­ряет таблице умножения, однако входящим в него матрицам нельзя одновременно всем понизить порядок одним и тем же преобразова­нием подобия U MjU~1, т. е.

Каждая группа порядка H имеет определенное число неприво­димых представлений, образованных матрицами щ × Щ, которые удовлетворяют соотношению

(184)

Где суммирование осуществляется по числу классов. Одномерными представлениями обладают только абелевы группы, все элементы которых коммутируют друг с другом.

Описанные выше свойства групп можно проиллюстрировать на примере свойств симметрии равностороннего треугольника. Такой треугольник имеет шесть элементов симметрии (Л = 6), а именно: преобразование тождественности I, вращения на углы 120° и 240° (jR12° и jR24°) и три плоскости отражения σ<, перпендикулярные плоскости треугольника (рис. 27.6). Операции отражения не ком­мутируют с вращениями. Все элементы можно разделить на три класса:

Класс 1 : 7,

Класс 2: T?120,/?240,

Класс 3 : erɪ, 0% o⅛,

Рис. 27.6. Три плоскости симметрии (σι,σ2 и аз) равностороннего треугольника.

Которые могут быть разбиты на четыре подгруппы: подгруппа 1 :ʃ,ɑɪ, подгруппа 2 подгруппа 3 :ʃ,ɑɜ, подгруппа 4 :I, jR12θ,jR24θ.

При этом имеется два одномерных и одно двумерное представления, вследствие чего (184) принимает вид

I2 + I2 + 22 = 6. (185)

Теория групп играет важную роль в кристаллографии. В табл. 27.3 приведены 11 собственных точечных групп, соответствующих семи кристаллографическим системам-сингониям, а также перечислены 10 производных групп (так называемые коммутанты) и 11 инверс­ных точечных групп, связанных с ними. Большая часть собствен­ных точечных групп принадлежит либо к циклическим группам Cn (с осью симметрии тг-го порядка), либо к диэдрическим группам Dn (с осью симметрии п-го порядка плюс перпендикулярной к ней осью вращения 2-го порядка). Кубическая система имеет тетраэдриче­скую (О) и октаэдрическую собственные точечные группы. Произ­водная точечная группа добавляет к соответствующей собственной

Кристалло­

Графическая

Система

Постоянные решетки и углы

Собственная

Точечная

Группа

Порядок

(п)

Производная

Точечная

Группа (порядка п)

Точечная группа инверсии (порядка 2п)

Триклинная

A ψ Ь ψ С ɑ ≠ β ≠ 7

"cψ]

1

Ci 8>г = Ci [1]

Моноклинная

A ≠ b ψ С а = β 90° ≠ γ

C2[2]

2

Ci ® ст/, = Cs [т]

C2 8) Г = C2h[2∕m]

Орторомбическая

A ≠ b ≠ с А = β = 7 = 90°

D2[222]

4

C2 8) Ctp = C2v[2mm]

D2 ⅛ i = D2h[2∕mmm

Тригональная

А = 6 = с

Сз[3]

3

C3 8) I = C3i [3]

А = β = 7 < 120° ≠ 90°

7⅞[32]

6

C3 (+Стр) = C3p[3m]

D3 8) I ~ СзДЗт]

Тетрагональная

А — b ψ С

C4 [4]

4

C2(+S4) = s4[4]

C4 8) I = C4ft[4∕m]

А = β = ∙y = 90°

D4 [422]

8

C4 (+стр) = C4P [4тт] D2(+σd) = C2d[42m]

D4 8) I ~ Γ⅛[4∕mmm’

Гексагональная

А = 6 ≠ с А = β = 90°

C6[6]

6

C3(+ctλ) = C3fc[6]

Ce 8) I Cβft[6∕m]

7 = 120°

Ce[622]

12

Сб(+Стр) = Сбр[6тт] D3 8) Cs = D3h [6т2]

De 8) I Сбл[6/ттт]

Кубическая

А — b = С

Т[23]

12

T 8) Г = Th [m3]

(изометрическая)

А = β = 7 = 90°

O[432]

24

T(+CTd) = Tj [43т]

О 8) I = Oh [тЗт]

Таблица 27.3. Связь 10 производных точечных групп и 11 точечных групп инверсии, соответствующих 11 собствен­ным точечным группам семи кристаллографических систем. Некоторые из производных групп получены опера­цией прямого перемножения, обозначаемой 8), другие — добавлением элементов симметрии, указанных в скобках после обозначения подгруппы. Для обозначения точечных групп использованы как символы Шенфлиса, так и международные обозначения (в квадратных скобках). Во втором столбце указаны связи между параметрами ре­шетки и углами различных кристаллографических систем. Кроме этого, в литературе используются обозначения: C3 = Cih, Ci = S2,C3I = Se, D2 = V, D2DD2V = Vd, D2H = Vh, D3D = D3L,, кубический = изометрический и т. д.

14. Теория групп 411

Группе горизонтальную (σ⅛), вертикальную (συ) и диагональную (σ<j) плоскости отражения. Использование операции инверсии по отношению к собственной или производной точечной группе созда­ет одну из одиннадцати групп инверсии, перечисленных в край­нем правом столбце табл. 27.3. На рис. 27.7 показано также, каким образом различные группы генерируют друг друга при операциях, связанных с понижением симметрии.

При добавлении операций симметрии с преобразованиями па­раллельного переноса к 32 точечным группам мы получаем 230 про­странственных кристаллографических групп, среди которых мож­но выделить 73 пространственные группы, называемые полупрямы­ми (или симморфическими) произведениями. Такие группы явля­ются производными точечных групп и возникают при добавлении к последним операций симметрии типа чистого переноса. Остальные 157 пространственных групп содержит помимо трансляций плоско­сти скольжения и винтовые оси. В соответствии со строгой клас­сификацией теории групп фактически мы имеем лишь 219 неизо­морфных пространственных групп, поскольку 11 из них представ­ляют собой зеркальные отражения других.

Помимо 32 кристаллографических точечных групп, описываю­щих кристаллические решетки, существуют также некоторые до­полнительные точечные группы, соответствующие симметрии моле­кул. Например, кристаллическая решетка не может обладать осями вращения 5-го порядка (которые соответствуют повороту на 72°), однако молекула ферроцена (C5H5)2Fe включает в себя две пяти­угольные циклические структуры С5Н5, расположенные друг над другом, между которыми находится атом железа. Эти структуры могут вращаться вокруг общей оси, в результате чего возникает операция несобственной симметрии вращения 5-го порядка . Мо­лекулам такого типа соответствует точечная группа

Все рассматриваемые выше группы относятся к конечным груп­пам, однако существуют и бесконечные группы, примером которых может служить множество всех 3 × 3-матриц вращения, образую­щих ортогональную группу третьего порядка, обозначаемую сим­волом 0(3). Множество всех унитарных П × n-матриц образует группу U (п). Особый интерес представляет множество всех унитар­ных 2 х 2-матриц с детерминантом, равным +1 которые образуют специальную, или унимодулярную группу 5,f7(2)1 а также множе­ство всех унитарных 3 × 3-матриц с детерминантом +1, образую­щих специальную унитарную группу SU (3). На использовании этой группы симметрии основан предложенный Гелл-Маном «восьме-

Порядок Порядок

N п (2п)

Кубич.

I Монокл. 1 t

I (2) I—————- 1 С, (C) I I (2)

Трикл.

Рис. 27.7. Соотношения, возникающие при понижении порядка симме­трии, между 32 кристаллографическими точечными группами в синго­ниях (кристаллографических системах). В вытянутых прямоугольниках приводятся обозначения собственных точечных групп инверсии П-го по­рядка (цифры в скобках слева) и соответствующих точечных групп ин­версии (в скобках в правой части прямоугольника). Обозначения про­изводных точечных групп указаны в квадратиках слева от соответству­ющих им присоединенных собственных точечных групп. Порядок соб­ственных и производных групп указывается по шкале слева и справа от рисунка. Линии обычной толщины связывают производные группы (коммутанты) с указанными ниже их подгруппами. Прямоугольники с обозначениями групп одинаковой кристаллографической системы распо­ложены друг под другом и соединены вертикальными жирными линия­ми. Указаны также элементы симметрии, которые необходимо добавить к подгруппам, чтобы преобразовать их в группы, расположенные над ни­ми. Рисунок следует сопоставить с данными табл. 27.3. (Из книги: Misra S. et al., Applied Magnetic Resonance, 11, 1996, 29.)

Ричный путь» классификации элементарных частиц с тремя квар­ками И, D, S (верхний, нижний, странный), приводящей к барион­ным состояниям на рис. 26.5. Другие схемы этого типа (рис. 26.7 и 26.8) основаны на использовании для классификации частиц груп­пы SU(4), возникающей при добавлении четвертого, «очарованно­го» кварка с.

В заключение следует упомянуть алгебры Ли, элементы т, ко­торых обладают следующим свойством: коммутатор двух любых элементов

[τi,τj} = τiτjτjτi (186)

Является линейной комбинацией других элементов, т. е. имеет вид [ʃi, χJ} = ~ICIjτk, (187)

Где суммирование ведется по К элементам, а действительные кон­станты Cjj (которые и определяют данную алгебру) называются структурными константами. Алгебрам Ли соответствуют группы Ли.

15. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Переводят первоначальные наборы (190) в пары случайных чисел (Xi,Yi), соответствующие областям изменения переменных Х и У в рассматриваемой задаче. Далее для каждого значения Xi значение функции F(Xi) сравнивается с соответствующим числом ⅛⅛, после чего подсчитывается количество П случаев, для которых F{Xi) < Yi. Случай F(Xi) = Yi засчитывается как 1∕2∙ Интеграл (188) имеет величину

ʃɪɪ(ð-ɑ)- (192)

Этот метод случайных чисел позволяет найти выражение (188), ко­торое в исходном виде не содержит никаких параметров, носящих случайный характер.

ГЛАВА 28

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *