Линейное (векторное) пространство

Определение 1. Совокупность л действительных чисел x1, X2,…, Хп, заданных в определенном порядке, называ­ется П-мерным вектором. Числа x1, Х2, … , хп называют­ся координатами вектора.

Над л-мерными векторами вводятся следующие опера­ции.

Сложение: если х = (x1, х2,…, хп), у = (y1, У2,…, уп), то * + 0 = (x1 + Y1, X2+ у2, … , Xn + уп).

Умножение на число: если λ — действительное число и Х = (x1, х2, … , хл) — вектор, то λx = (λx1, λx2,… , λxπ).

Определение 2. Два вектора называются Равными, если Равны их соответствующие координаты

(X1, X2, … , Xn) ^2’ ’ Уп) ~ ^1’ %2 = У2> •” ’ Хп =

= вп­ереди л-мерных векторов есть вектор, нейтральный от­

Носительно операции сложения. Это вектор с нулевыми координатами. Его называют нулевым вектором и обозна­чают через 0:

0 = (0, 0, …, 0).

Каждый вектор Х имеет противоположный; его обозна­чают — х, причем

Х ( Xi» Хг» ••• » x∏)∙

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число обладают восемью свойствами:

1) х + У = у + х;

2) (х + У) + 2 = х + + г);

3) х + 0 = 0;

4) х + (—х) = 0;

5) λ(μx) = (λμ)x;

6) λ(x + у) = λx + λy;

7) (λ + μ) = λx + μx;

8) 1 • х = х.

Определение 3. Множество всех л-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умноже­ния на число, называется П-мерным векторным (линей­ным ) пространством Rn.

Определение 4. Система л-мерных векторов {x1, х2,…, Xn} Называется Линейно зависимой, если найдутся числа λ1, λ2, … , λg, не равные одновременно нулю, такие, что

λ1×1 + λ2×2 + … + λsxs = 0.

В противном случае эта система называется Линейно независимой.

Определение 5. Пусть Q произвольное множество л — мерных векторов пространства Rn. Система векторов В = = {E1, е2, … , Ea} называется Базисом в Q, если выполняют­ся следующие условия:

1) Ek Q, k = 1, 2,…, s;

2) система В = {e1, Е2, … , Eg} линейно независима;

3) для любого вектора Хе Q найдутся числа λ1, λ2,…,

8

λβ такие, что Х = .

⅛=ι

Определение 6. Формула Х = У, λ⅛eft называется разло — ⅛=ι

Жением вектора Х по базису В = (e1, е2,… , eg). Коэффици­енты λ1, λ2, … , λs однозначно определяются вектором Х и называются координатами этого вектора в базисе В.

Справедливы следующие утверждения:

1) Всякая система векторов Qe R11 имеет по меньшей мере один базис; при этом все базисы этой системы состо­ят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q, и обозначаются r(Q).

2) Ранг всего пространства Rn равен П и называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базиса Rn можно взять следующую систему:

E1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), е3 = (0, 0, 1, 0, …, 0), Еп = (0, 0, 0, … 0, 1).

Этот базис принято называть каноническим.

Зафиксируем произвольный базис В = (e1, е2, … , en) в пространстве Rn. Тогда всякому вектору Х можно поста­вить во взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е.

Х = x1e1 + X2e2 + + xnen =

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *