КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

34. Смещения вдоль линии и на плоскости. „Действительное число” Х, с которым мы имели дело в двух предыдущих главах, может рассматриваться со многих точек зрения. Оно может рассматри­ваться просто как число, лишенное какого бы то ни было геоме­трического смысла, или такой геометрический смысл может быть ему приписан по крайней мере тремя различными способами. Оно может рассматриваться как Мера длины, а именно, длины A9P вдоль прямой А Из гл. I. Оно может рассматриваться как Значок точки, А именно, точки Р, расстояние которой от A0 равно Х. Или, наконец, оно может рассматриваться как Мера смещения, или Изменения положения на прямой А. На этой третьей точке зрения мы и со­средоточим наше внимание.

Представим себе небольшую частицу, расположенную в точке P На прямой А И затем перенесенную в Q. Мы будем называть то смещение, или изменение положения, которое необходимо для пере­несения частицы из P в Q, смещением PQ. Для полного задания смещения необходимы три данных: его Величина, его Ориентация Вдоль прямой, и то, что можно назвать его Точкой приложения, Т. е. исходное положение P частицы. Но когда мы говорим только об изменении положения, произведенном смещением, как таковом, естественно не принимать во внимание точку приложения и рас­сматривать все смещения с равными длинами и одинаковой ориен­тацией как эквивалентные. Тогда смещение полностью задается длиной PQ= х, причем ориентация его определяется знаком Х. Мы можем поэтому говорить о Смещении [х][16] [17]) и писать PQ = [х].

Мы применяем квадратные скобки для того, чтобы отличить смещение [х] от длины или числа xa). Если А является координатой
точки Р,_ то координатой Q будет AJ~X. Смещение [х], следова­тельно, переносит частицу из точки А в точку A~X.

Переходим теперь к рассмотрению Смещений на плоскости. Мы

Можем определить смещение PQ так же, как это было сделано выше. Но теперь требуется больше данных для полного задания смещения. Мы должны знать: 1) Величину смещения, т. е. длину отрезка PQ, 2) Направление смещения, которое определяется углом между PQ и некоторой фиксированной прямой на плоскости,

(3) Ориентацию смещения и (4) его Точку приложения. От этого последнего требования мы можем отказаться, если условимся рассматривать два смещения одина­ковой величины и одного и того же направления и смысла как экви­валентные. Другими слонами, если PQ и RS равны и параллельны и смысл движения от P к Q тот же, что и от R к S, мы считаем смеще­ния PQ и эквивалентными и пишем PQ = RS.

бы тем же, что и от p к q. тогда pq и oa — эквивалентные смещения. пусть х и у будут координатами а. тогда, очевидно, oa полностью определено, если х и у заданы. мы будем называть oa смещением [х, у] и писать

Возьмем теперь какую-либо си­стему координат на плоскости (как, например, OX, OY на фиг. 17). Проведем отрезок OA, рав­ный и параллельный PQ так, чтобы смысл движения от О к Л был

OA=PQ = RS=[x, у].

35. Эквивалентность смещений. Умножение смещений на числа. Если ξ И η являются координатами точки Р, а ξ’ и η’ — коор­динатами точки Q, то, очевидно,

X = V-ξ, y = η’—η.

Смещение из (ξ, η) в (V, η’) будет поэтому

[V—V η’-η].

Ясно, что два смещения [х, у], [x’, у’] эквивалентны тогда и только тогда, когда X = X‘, у= у’. Таким образом, [х, yj = [X‘, у’] в том И Только в том случае, когда

(1)#=*’, y=y’,

Обратным смещением QP будет [ξ — ξ’, η—>η’], и естественно условиться, что

{ξ-V, VJ-√] ==-[Г-ξ, η’-ηj,

QP = —PQ.

Эти соотношения в действительности являются определениями сим­волов — (ξ’—ξ, η’—vj] и PQ. Положив, таким образом,

_ [χ, у] = [_X, —у], Естественно, далее, условиться в том, что

α[x, y] = I<xx, αy], (2)

Где а—-любое действительное число (положительное или отрица­тельное). Так, например, если OS —ɪ OA (см. фиг. 17), то

0B=-⅛0A≈-±X,Yi≈[—~X, —∣j].

Уравнения (1) и (2) определяют два первых важных понятия, связанных со смещениями, а именно: Эквивалентность смещений и Умножение смещений на числа.

36. Сложение смещений. Мы еще пока не дали определения, в силу которого выражениям

PQ+PrQ‘, l*,∕4-l*’./1

Был бы приписан определенный смысл. Интуиция сразу нам под­сказывает, что мы должны определить сумму двух смещений как смещение, являющееся результатом последовательного осуществления двух данных смещений. Другими словами, если QQ1 равно по дли­ной ПарАллельно PQ‘, то в результате последовательных смещений PQ, P1Q1 частица переносится из точки P сначала в точку Q, а затем в Q1, так что мы должны определить сумму PQ и P1Q1 как PQ1. Если мы, стало быть, проведем OA, равное по длине и парал­лельное PQ, и OB, равное по длине и параллельное P,Q‘, и достроим параллелограм OACB, то будем иметь

PQIrPrQ‘=0AJr6B = 0C

(фиг. 18).

Рассмотрим следствия из этого определения. Если х’, у’ — коор­динаты точки В, то координатами середины отрезка AB будут Y -(- X‘), ɪ(,v-f-ʃ’), и, следовательно, C будут иметь координаты X-}-X,, у у’. Таким образом,

(3)[х, у] + Ix‘, /] = [X +x’, у 4-/1,

Что может рассматриваться как символическое определение сложе­ния смещений. Заметим, что

[x’, у’J + [х, у] = [х’ + х, У +yl = [х + Х’, У+у’] =

= [*, V] + k’, У].

Другими словами, Сложение смещений подчиняется закону комму­тативности, выражаемому в обычной алгебре равенством AB~ =,BA. Этот закон выражает очевидный геометрический факт, что если мы движемся из P сначала по отрезку PQi, равному по длине и параллельному PQ,, а затем по отрезку, равному по длине и

Фиг. 18

ПараллельномуPQ, то мы придем н ту же самую точку Q1, что и прежде.

В частности,

(х, y] = [x, 0]-J-[0, у]. (4)

Здесь [х, 0] означает смещение на расстояние Х в направлении, параллельном ОХ. Это то смещение, которое мы обозначали через [х], когда рассматривали смещения только вдоль прямой. Мы назы­ваем [х, OJ и [0, У] компонентами [х, у], а [х, у] — их Результи­рующей.

После того как мы определили сложение двух смещений, не представляет уже труда определение суммы любого числа смещений.

Так, по определению,

К, JVl + [χ‘, У] + к", У"] = ([χ, у] + к’, У]) + [χ", У’] =

= [х -(- Х’, у -)~У J -)- [х", У’1 = [х -)- χ -)-х", У У У У У"]-

Мы определяем Вычитание смещений уравнением

[х, JVl — ‘, YI = Ix, у] У (— [x’, У1), (5)

Что ничем не отличается от [х, у] У [—х’, •—У’] или от [х—У:’, V—У]. В частности,

Ix, У1 — [х, У] = [0, 0].

Смещение [0, OJ оставляет частицу на прежнем месте; оно является Нулевым смещением, и мы будем писать вместо [0, 0] просто 0.

Примеры XX. 1. Доказать, что

(1) A [βx, βyj = Э [ах, Ay] fα β х, A βy].

(2) ([X, у] + [X,, y’J) + [χ", У"] = [X, у] + ([χ’, У’1 + [X", у»]).

(3) [х, у] + [χ’, у’1 = [χ’, у’1 + [х, у]-

(4) (a + P)[x, y] = ≈[x, y]+∏x, у].

(5) ɑ {[X, у] — J — [X’, у’]} = σ [X, у] — J — ɑ [x’, У’].

[Мы уже доказали (3). Остальные соотношения так же легко следуют из определений. Читателю рекомендуется в каждом случае рассмотреть геоме­трическое толкование уравнения, как мы это проделали выше в случае (3).]

2. Если М — середина PQ, то OM (OP-[- OQ). Вообще, если M Делит PQ в отношении μ: λ, то

OM—

λ — J-р-

OP-

λ+μ

OQ.

3. Если G — центр тяжести материальных точек P1, P2,…, Pn с равными массами, то

∞=∣ (0Pι + 0P2 + .∙-+ OPn).

4. Если P, Q, р — три точки, лежащие на одной прямой, то существуют три действительные числа a, β, ■[, не все равные нулю и такие, что

AOP + p OQ + γθP = 0.

Обратное предложение также справедливо. [Это представляет собой лишь перефразировку примера 2.]

5. Если AB и AC — два смещения, не лежащие на одной прямой, и

A∑B + βAC = SAB+&AC,

То a = γ и (3 = δ.

[Возьмем AB1 = a А В, AC1=βAC. Достроим параллелограм AB1P1C1. Тогда AP1 = аАВ — J-P АС. Очевидно, что AP1 может быть выражено в таком виде только одним способом, откуда следует теорема.

6. Пусть ABCD — параллелограм. Через точку Q, лежащую внутри параллелограма, проведены параллельно сторонам отрезки PQS и TQU. Показать, что RU и TS пересекаются на AC (фиг. 19).

[Обозначим отношения AT: АВ, AR: AD соответственно через А и β Тогда

AT=aAB, AR = βAD,

AU = aAB + АО,

AS= AB+β AD.

Пусть RU пересекает AC в точке Р. Так как точки R, £Л, Рколлинеарны*), то мы имеем:

λ

AP=

AR-

-AU,

λ +p∙ λ + р — где p√λ— отношение, в котором P делит RU. Другими словами,

AP =

AY-AB + ^Ab.

λ + μ

λ + P-

Но так как P лежит на АС,

AP = к AC = к AB+ k AD,

Где К — некоторое число. Следовательно (пример 5), αμ. = βλ -[- P — = (λ + р.) К,

Откуда мы заключаем, что

^≈+P-ι •

Симметрия полученного выраже­ния показывает, что аналогичное рассуждение должно привести к соотношению

AP’

АС,

A + 0-

Если P’ является точкой пересе­чения TS и АС. Следовательно, точки P и P’ совпадают.]

R 7. Пусть ABCD—■ параллелограм и M — середина АВ. Показать, что MD делит AC в отношении 1:3 и что AC делит MD в том же отношении[18] [19]).

37. Умножение смещений. До сих пор мы не делали попыток придать какой-либо смысл понятию произведения двух смещений. Единственным видом умножения, который мы рассматривали, являлось умножение смещения на число. Выражение

K, ʃl [*’, /1

Пока ничего не означает, и мы можем определить его как пожелаем.

Наш выбор определения обусловливается следующими принципами. Ясно, во-первых, что произведение двух смещений должно быть также смещением. Далее, мы определили а [х, у], где a — действительное число, как [ах, ау]; но а можно рассматривать как смещение [а, 0]. Следовательно, изменяя наши обозначения, мы видим, что, во-вторых, в силу нашего определения, должно быть

[х, 0] [x’, Y’] = [xx’, Ху’].

Наконец, в-третьих, наше определение должно подчиняться обычным законам умножения, а именно, переместительности, распределитель­ности и сочетательности, так что

[%, у] [x’, ∕] = [x’, У] [х, У],

(1х, У ÷ [χ’, У]) [У’. У"] = [х, У [χ", У’1 + Ix’, У’] lχ", У’], [х, у (tx’, У] + У’]) = [х, У [χ’, У’] + [х, У I*», У’1

И [х, Yl ([χ’, У] [χ", y,]) = ([χ, Yl [χ’, У1) Ix», У’]- Таким образом,

[х, У k’, У’} = [χχ’, Уу’]

Не будет подходящим определением, так как оно дало бы [х, 0] [x’, у’] [xx’, 0],

Что противоречит нашему второму требованию.

38. К нужному определению нас приводят следующие соображе­

Ния. Мы знаем, что если OAB ViOCD — два подобных треугольника с равными углами в вершинах, соответственно, О, А и С, В и D, то

OB _ OD OA~^OC

Или OB ∙ OC=OA ∙ OD (фиг. 20). Это наводит нас на мысль попы­таться определить умножение и деление смещений так, чтобы

-21 =23, OB — OC = OA — OD.

OA ОС

Пусть теперь

OB=[X, у], OC=Ix‘, у’], OD=[X, Г]. _

Предположим, что А является точкой (1,0), так что OA = [1,0]. Тогда

ОЛ-О£ = [1, 0] [X, Г] = [X, У], И, следовательно,

[х, У lχ’, У’] = И, Л-

Произведение OB • ОС должно быть поэтому определено как OD, где точка D получается построением на ОС треугольника, подобного треугольнику OAB. Чтобы избавиться от двузначности этого опре­деления, заметим, что на ОС мы можем построить Два таких тре­угольника, OCD и OCD (см. фиг. 20). Мы выбираем тот, для кото­рого угол COD равен углу AOB не только по величине, но и по знаку. Мы будем говорить, что такие два треугольника Подобны и одинаково ориентированы.

6 Г. Харди

Если полярные координаты точек В и C суть, соответственно, (р, θ) и (σ, φ), так что

X = р cos О, У = р sin θ, Х’ = ocosφ, y = σsinφ,

То точка D будет иметь полярные координаты (pσ, θ-(-φ). Сле­довательно,

X = pσ cos (θ —φ) = Хх’ —уу’,

Y = pσ sin (θ 4- φ) = Xy’ -)-yχ’.

Требуемым определением будет поэтому следующее:

[х, ʃ] [x’, ∕] = [xx’ -yy’, xy’ +.У*’]. (6)

Мы видим, во-первых, что, если У = О, то X = xx’, Y = xy’, как мы требовали; во-вторых, что правая часть не изменится, если мы поменяем местами х и х’, и У и У’, Так что

[х, ʃ] [x’, ∕] = [x’> У] [χ, У;

И, в-третьих, что

{[*, >,] + k. /]}[*"> /’] = [x+x’, .У+У] [x», У»] = — [(χy-χ,)χ"— Су 4~У)У’» (χ~rχ’)y" + Су УУ)х"]= = [xx" —уу", ху" +jμχ"] + [х’х" —у’у", χ’y"+Ух"] =

= [*, У] [*", У’] + [+ y][χ’r, у’].

Аналогично мы можем проверить, что удовлетворяются все соот­ношения, приведенные в конце п. 37. Таким образом, определение (6) удовлетворяет всем требованиям, которые мы предъявляли к нему в п. 37.

Пример. Показать непосредственно из приведенного выше геометричес­кого определения, что умножение смещений подчиняется вереместитель — ному и распределительному законам. [Возьмем, например, закон перемести­тельности. Произведение OB • ОС равно OD (см. фиг. 20), причем COD Подобен AOB. Для построения произведения ОС ■ OB мы доАкны построить на OB треугольник BODi, подобный AOC; таким образом, нужно только доказать, что точки D и D1 совпадают или что треугольники BOD и AOC Подобны. Но это —простая задача элементарной геометрии.]

39. Комплексные числа. Точно так же, как смещению [х] вдоль OX соответствует точка (х) или действительное число х, так и сме­щению [х, у] на плоскости соответствует точка (х, У) или Пара действительных чисел х, у.

Оказывается удобным обозначить эту пару действительных чисел х, У символом

Х -j-yi.

Почему выбирается именно такое обозначение, выяснится дальше. Пока читатель должен рассматривать x-j-jpz’ Просто как другой способ записи символа [х, у]. Символ X-~yi называется Комплексным числом.

Мы переходим теперь к определению Эквивалентности, сложения И Умножения комплексных чисел. Каждому комплексному числу соответствует смещение. Два комплексных числа эквивалентны, если эквивалентны соответствующие им смещения. Суммой и произведе­нием двух комплексных чисел являются комплексные числа, соответ­ствующие сумме и произведению соответствующих смещений. Таким образом,

χθryi-x’ Jry’ι (1)

Тогда И Только тогда, когда X==x’, y=y’;

+yi) + (x, — j-ʃ’θ = (х + х’) + +/) /, (2)

(х 4-y∕) (x’ +y∕) = xx’ — yy’ — j — (χy’ 4-Yχ’) L (3)

В качестве частных случаев из (2) И (3) мы получаем:

Х 4*У = (х 4- θθ + (θ +У)>

(х 4- Oi) (χ’ — j-УО=χχ’ 4- χy’c

И эти соотношения показывают, что мы не должны опасаться недо­разумений, когда, имея дело с комплексными числами, мы пишем х вместо х — J — Oi и Yi вместо 0 -↑-yi.

Читатель легко проверит сам, что сложение и умножение ком­плексных чисел подчиняется законам алгебры, выражаемым следую­щими соотношениями:

(х 4* Yi) 4* (X -y’i)=(χ’ -↑-y’t) + (χ +У)>

{(x -yi) — J — (χ’ +У 9} + (χ" +У,9 — (х У У) У

У {(χ 4~y’0 У (χ" 4-y"ty}>

«•

84 Гласа трет’ь’Л

‘{x + yi) (x, +y, i) = (x’ (х — j-ʃð,

(х — f-ʃz) {(x, -)-ʃ’z) + (x" +У’/)} = (х+У) (x’ + Y, i) +

4~ (х 4-У) (x" -{-y"f),

{{x +yt) + (х* 4-y∕)} (x" +ʃ»ŋ — (х +yi) (х" 4-У’/) +

4- (χ, 4-y∕) (χ" 4^^y,0>

(х 4-У) {(x’ 4-Уо (х” 4-У’/)} = {(χ+У) (χ’ +y∕)} (χ» +y"ε),

Доказательства которых фактически тождественны доказательствах^ соответствующих соотношений между смещениями.

Вычитание и деление комплексных чисел определяются как в обыч­ной алгебре. Так, мы определяем (х4~у) — (x’-j-УО как

(х 4-У) 4- {— (x’ +Y,I)} =X-]-Yi 4- (— х’ — YI) =

= (x-x’)4-Cv-ʃ’)z,

Или, что то же самое, как такое число $4~У, 4τθ (x, 4-У0 4- (ξ 4- η∕) = х 4-у.

Наконец, (XYyι)(X‘-Yι) определяется как комплексное число 54-у>ДЛя которого

(x’ -try’i) (ξ 4- ηz) = х — j~y,

Или

χ’ξ —-Уη 4- (x’η 4-Уξ) I = х 4-У,

Или

Х’С—jp’η = x, X’∙tι--y’l=y. (4)

Решая эти уравнения относительно ξ и η, мы получаем:

E XX1 + yy’ Ух’ — ху’

ε X^jry∙i > γι ^s^44√r •

Это решение теряет смысл, когда х’ и У’ оба равны нулю, т. е. когда X’ -↑-y’i = 0. Таким образом, вычитание всегда возможно; деление всегда возможно, за исключением того случая, когда делитель равен нулю.

Мы можем теперь определить целые положительные степени комплексного числа X—yi, полиномы от х4~У и рациональные функции от х 4~У) как в обычной алгебре.

__ _ Примеры. (1) C Геометрической точки зрения задача деления смещения

OD на смещение ОС состоит в определении точки В так, чтобы треуголь­ники COD и AOB были подобны, и это, очевидно, возможно (и решение единственно), если C не совпадает с О, т. е. если ОС ≠ 0.

(2) Комплексные числа X-f~yi, Х—Yi называются Сопряженными. Проверить, что

(х +> 0 (х ~Yi}-Xi +у*,

Так что произведением двух сопряженных чисел является действительное число, и что

X~Vyi (X~Vyi)(X‘—у’Г) Хх’ Vyy‘ + (х’У — Xy‘) I

X’ -~Vy’i (χ’~Vy’ty(χ’~y’h x’2~Vy"i

40. Одно из наиболее важных свойств действительных чисел содер­жится в следующей теореме: Произведение двух чисел не может быть равно нулю, если ни одно из них не равно нулю. Для того чтобы показать, что эта теорема остается в силе и для комплексных чисел, положим х = 0, _у = 0 в уравнениях (4) предыдущего пункта. Тогда

Х’Ь— jp’η = O, x’η Д-уТ= 0.

Из этих уравнений следует, что ξ = 0, η = 0, т. е. что

ξ Д- ηz = 0,

Если не имеют места равенства: X’= Q и Y’ = 0, τ. е. X’ —-y’i = 0. Таким образом, X--yi не может быть равно нулю без того, чтобы одно из чисел Х’ -)—y7 или ξ Д — γiz’ не обращалось в нуль.

41. Уравнение Xi =—1. Мы условились упрощать наши обо­значения, записывая Х вместо Х Д — Oi и Yi вместо 0 -(-yi. В частности, комплексное число Ii мы обозначаем просто через I. Это — число, соответствующее единичному смещению вдоль ОТ. Мы имеем также:

P = H = (0+ li) (0+1/)= (0-0 — 1 • 1)Д-(0 • 1 Д-1 ∙0)i = — 1.

Аналогично, (-г)2 = -—1. Таким образом, комплексные числа г и I удовлетворяют уравнению Xi =—1.

Читатель теперь легко убедится в том, что правила сложения и умножения комплексных чисел сводятся просто к тому, что Действия над комплексными числами производятся в точности так же, как над действительными числами, причем символ I тоже рассматри­вается как число, но произведение U = P заменяется на — 1 Всюду, где оно встречается. Так, например,

(х Д-Yi^} (x’ Д — Y’i) =хх Д — Xy’i -}-yx’i -{-yy’ii =

= (xx’ —уу) Д — (xy’Д-Yx’) i.

42. Геометрическое толкование умножения на L Так как

(X-{-Y[)I = — Y-(-Xi,

Мы видим, что если X-(-Yi соответствует OP и OQ, равное OP, про­ведено так, что POQ положительный прямой угол, то (хД-уг)/ соответствует OQ. Другими словами, Умножение комплексного числа, на I поворачивает соответствующее смещение на прямой угол.

Мы могли бы развить всю теорию комплексных чисел с этой точки зрения. Исходя из представления Х, как смещения ОХ, и из г, как символа операции, эквивалентной повороту У на прямой угол,

Глава третья

Мы пришли бы к представлению об Yi, как смещении величины У Вдоль OY. Далее было бы естественным определить X--yi, как в пп. 36 и 39, и (x-lryι) 1 представляло бы смещение, полученное поворотом X--yi на прямой угол, т. е. Y-srxi. Наконец, мы определили бы (x-^yi)x’ как Xx’-{-yx’i, (х -yi)y’i как —уу’

-J — Xy’i и

(х — J-Yi) (x’ — j-y’i)

Как сумму этих смещений, т. е. как

χχ’ —Yy’ — J — (χy’ -{-yχ’) I.’

43. Уравнения Z2-)-l = 0, Az* -J — 4bz — J — С = 0. Не существует действительного числа Z такого, что Z2-J-I = O; мы говорим, что это уравнение Не имеет действительных корней. Но, как мы видели, комплексные числа Z и —Z удовлетворяют этому уравнению. Мы говорим, что это уравнение имеет Два комплексных корня Z и — Z. Так как Z удовлетворяет уравнению Z2 = —1, его иногда записывают в виде —1.

Комплексные числа иногда называются Мнимыми ɪ). Этот термин не очень удачен, но он прочно вошел в употребление и должен быть принят. Но „мнимое число" не более „мнимо", в обычном смысле этого слова, чем „действительное" число или любое другое математическое понятие.

Действительное число не является числом в том же смысле, в каком понимается рациональное число, и комплексное число τaκaie не является числом в том же смысле, в каком понимается действи­тельное число. Комплексное число является, как читателю должно быть ясно из предыдущих рассмотрений, парой чисел (х, У), симво­лически объединенных в целях удобства оперирования с ними в форму X--yi. Так,

Z = 0 —J— IZ

Пишется вместо пары чисел (0, 1) и геометрически может быть представлено точкой или смещением [0, 1]. И когда мы говорим, что Z является корнем уравнения Z2-J-I=O, под этим понимается только то, что мы определили метод комбинирования таких пар чисел (или смещений), который мы называем „умножением" и который при комбинировании им пары (0, 1) с самой собой дает пару (-1. 0).

Рассмотрим теперь более общее уравнение Az* — J — T2Bz — J — С = 0,

Где А, Ь, с — действительные числа. Если 62JJ>αc, то обычные методы решения дают два действительных корня

~ I — Ь -<-]/ bi — ɑeʃ.

‘) Выражение „действительное число" было введено как противопостав — де4ие?„мчимому числу",

Если же B[20]<^ac, то уравнение не имеет действительных корней. Оно может быть записано в виде

Что имеет место тогда, когда г-)-~ является любым из двух ком — 1 /”1 H

Плексных чисел -+- г I/ — (асBi) . Мы говорим, что уравнение имеет Два комплексных корня

Ь +iV Ас —У

А а

Если мы условимся говорить, что в случае Ь* = ас когда уравне­ние удовлетворяется только Одним значением Х, а именно, —ɪj урав­нение имеет Два одинаковых корня, то тогда Квадратное уравне­ние с действительными коэффициентами имеет два корня во всех случаях, а именно: либо два различных действительных корня, либо два одинаковых действительных корня, либо два различных комплексных корня.

Естественно возникает вопрос, не может ли квадратное уравне­ние, поскольку комплексные корни допускаются, иметь более двух корней. Легко видеть, что это невозможно. Доказательство может быть проведено с помощью тех же рассуждений, которые приме­няются в элементарной алгебре при доказательстве того, что урав­нение степени П не может иметь более П действительных корней. Обозначим комплексное число %-j-yπ одной буквой Z, т. е. будем писать Z = x-{-yi. Пусть F{z) означает любой полином от Z с дей­ствительными или комплексными коэффициентами. Тогда мы после­довательно доказываем,

(1) что остаток от деления/(г) наг — а, где а — любое действи­тельное или комплексное число, равен /(а);

(2) что если А является корнем уравнения /(г) = 0, то F(z) Делится на г — А без остатка;

(3) что если F(z)— полином степени П и F(z)~ 0 имеет П коцней ɑi. <⅛, …, А„, то

F (z) = A (z— a1)(z-ai)…(z-an),

Где А — действительная или комплексная постоянная, а именно, коэф­фициент при Zn в F(z). Из этого последнего результата и из теоремы п. 40 следует, что F(z) не может иметь более П корней.

Мы видим, что квадратное уравнение с действительными коэф­фициентами имеет в точности два корня. Дальше мы увидим, что аналогичная теорема имеет место для уравнения любой степени с дей-

Глава третья

Ствительными или комплексными коэффициентами: Уравнение степени п имеет в точности п корней. Единственным трудным местом до­казательства является доказательство того, что любое уравнение должно иметь По крайней мере один корень. Доказательство этого положения мы должны пока отложить *). Можно, однако, сразу же отметить одно очень интересное следствие из этой теоремы. В теории действительныхчиселмыисходим из положительных целыхчисел и из по­нятий сложения и умножения и обратных действий — вычитания и деле­ния. Мы находим, что эти действия не всегда выполнимы, если не ввести некоторый новый вид чисел. Можно приписать определенное значе­ние разности 3—7, если ввести Отрицательные числа, или отноше­нию ɪ, если ввести Рациональные числа. Если мы расширим сово­купность арифметических действий тем, что включим в нее извлечение корней и решение уравнений, то найдем, что некоторые из этих действий, как, например, извлечение квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом, станет невозможным, если мы не расширим наше понятие о числе и не введем иррациональные числа, как в гл. I.

Другие действия, как, например, извлечение квадратного корня из —1, остаются и при этом невозможными, если мы не пойдем еще дальше и не введем комплексные числа, как это сделано в на­стоящей главе. Естественно предположить, что когда мы будем рас­сматривать уравнения высших степеней, то некоторые из них могут оказаться неразрешимыми даже в терминах комплексных чисел, и что мы, таким образом, столкнемся с необходимостью ввести числа еще других типов. Тот факт, что корнями любого алгебраического урав­нения являются обычные комплексные числа, показывает, что это не так.

Все теоремы элементарной алгебры, которые доказываются при­менением только правил сложения и умножения, остаются в силе, Независимо от того, являются ли числа, встречающиеся в них, действительными или комплексными, так как эти правила применимы к комплексным’ числам так же, как и к действительным. Например, если мы знаем, что а и β являются корнями уравнения

Az[21] — J — 26z — J-C=O, то

Id 2й A С

α+β =———— , αβ = -.

‘ r a r А

Аналогично, если α, β, γ—корни уравнения

Az3 — J — Sbzi — J — Scz — J — D = О, то

α+β + T = -ɪ. βγ + γα + αβ = y, αβγ = -≤s

Все такие теоремы справедливы, независимо от того, являются ли A, b, …, α, β,… комплексными или действительными числами.

44. Диаграмма Аргана. Пусть P (фиг. 21)—точка (х, У), г обозначает длину OP и θ—угол ХОР, так что

Х = rcos O, jy = rsinθ, Г— F х?-)- У2, tgθɪɪɪ.

Как в п. 43, мы обозначаем комплексное число XYl через Z И называем Z комплексным переменным. Мы называем, далее, P точкой Z, или точкой, соответствующей 2; Z называется Аргументом * Р, х — действительной частью, у — мнимой частью, г—модулем И θ — Амплитудой Г. Мы будем писать

Х = Re(2), Y= Im(2), R=Z, θ = am2.

Если У = 0, мы говорим, что 2 Действительно, если х = 0,— что 2 Чисто мнимо. Два числа X-[22]Ryiκx—Yi, которые отличаются только знаком их мнимой части,

фиг. 21Называются Сопряженными. Сле­дует отметить, что сумма. двух сопряженных чисел 2х и их про­изведение x"-RYi оба действи­тельны и что модули сопряжен­ных чисел равны между собой и равны ∣/Xi -j-У1, так что их^про- изведение равно квадрату моду­ля каждого из них. Корни ква­дратного уравнения с действи­тельными коэффициентами, напри­мер, являются сопряженными чи­слами, если они не действительны.

Заметим, что θ или am 2 является многозначной функцией от х и У, имеющей бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на целые кратные *). Прямая, совпадающая с ОХ, будучи повернута на любой из этих углов, примет положение OP. Мы назовем тот из этих углов, который заключен между —π и π, Главным зна­чением амплитуды 2. Это определение однозначно во всех случаях, кроме того, когда одно из значений равно π, так как в этом слу­чае —■ π также является одним из значений. В этом случае мы должны сделать специальную оговорку о том, какое из этих двух значений считается главным. В дальнейшем, говоря об амплитуде Z, мы будем, как правило, иметь в виду ее главное значение.

Фиг. 22 обычно называется диаграммой Аргана.

45. Теорема Муавра. Следующие предложения непосредственно следуют из определений сложения и умножения.

(1) Действительная (или мнимая) часть суммы двух комплексных чисел равна сумме их действительных (или мнимых) частей.

(2) Модуль произведения двух комплексных чисел равен произ­ведению их модулей.

(3) Амплитуда произведения двух комплексных чисел либо равна сумме их амплитуд, либо отличается от нее на 2π.

Следует отметить, что главное значение ат(гг’) не всегда равно сумме главных значений am г и am г’. Например, если Z = Z‘ = — 1 -(-г, то главное

ɜ

Значение амплитуды гиг’ равноɪb Но Zz‘ = -2I, и главное значение

, n 1 3

Am (zz’) равно —ане-^-г.

Последние две теоремы могут быть выражены равенством

Г (cos θ + I sin θ) ∙ р (cos φ -)- I sin φ) — rp [cos (6 — j- φ) — J-I sin (θ — j — φ)],

Которое сразу доказывается раскрытием скобок в левой части и при­менением известных тригонометрических формул для cos(θ-J—<р) и sin (0—φ). Вообще,

R1 (cos θ1 -ф — г sin θ1) ∙ r2 (cos Ga — j- г sin Ga)… (cos θn-j — i sin θn) =

= RιrvRn {cos (θι + θ<j + ∙.. —J— θn) —H г sin (θι + θa + . ∙. + θn)}. Особенно интересным является тот случай, когда

Rl = Ri~… = Rn=, θι = θ3 = … = θn = θ.

Мы получаем тогда соотношение

(cos θ —j— I sin θ)n = cos П θ — J — I sin П θ,

Где П — любое положительное целое число. Этот результат известен как Теорема Муавра *).

Далее, если

Z = г (cos θ -(- I sin θ), то

ɪ = ɪ (cos θ — Zsin θ).

1) В целях краткости обозначений иногда будет удобно писать CisS вместо cos S-J-г sin S. В этих обозначениях, предложенных проф. Харкнессом и проф. Морлеем, теорема Муавра примет вид: (Cis θ)re = Cis лО. [Это обозначение в русской литературе, и почти нигде в иностранной литературе, не применяется. —Лрим. Neρeβ.}

Таким образом, модуль числа, обратного Z, равен величине, обратной модулю Z, а амплитуда числа, обратного Z, равна амплитуде Z, взятой с обратным знаком. Мы можем теперь сформулировать теоремы для отношения чисел, соответствующие теоремам (2) и (3).

(4) Модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению их модулей.

(5) Амплитуда отношения двух комплексных чисел либо равна разности их амплитуд, либо отличается от нее на 2π.

Следовательно,

(cos θ —г sin θ)-π = (cos θ — I sin θ)" = {cos (— θ) —г s i n (— θ)}" =

= COS (— Л0) — ‘l sɪn (— Λθ)∙

Теорема Myaepa справедлива, таким образом, для всех целочислен­ных значений п, как положительных, так и отрицательных.

К теоремам (1) — (5) мы можем добавить еще следующую теорему, которая также весьма важна.

Фаг. 22

(6) Модуль суммы любого числа комплексных чисел не превосхо­дит суммы их модулей.

Пусть OP, OP‘, … —Смещения, соответствующие некоторым комплексным числам. Проведем PQ равным и параллельным OP’, QP равным и параллельным OP" и т. д. В результате всех этих построений мы достигнем некоторой точки i/ такой, что

0u=0P+0Pi + 0Pr’ +…

Длина OU является модулем суммы комплексных чисел, соответ­ствующих смещениям OP, OP’ тогда сумма их модулей равна

Длине всей ломаной ОPQP… U, которая не меньше OU (фигЛ22).

Чисто арифметическое доказательство этой теоремы приведено в общих чертах в примере XXI. 1.

46. Приведем некоторые теоремы о рациональных функциях от комплексных чисел. Рациональная функция от комплексного пере­менного Z определяется так же, как и рациональная функция от дей­ствительного переменного Х, а именно, как отношение двух полиномов от Z.

ТЕОРЕМА 1. Всякая рациональная функция P (z) может быть приведена к виду X — J — Yit Где X и Y— рациональные функции от хаус действительными коэффициентами.

(х -)-ʃz)

__ p(χ + yt) q (x +yijВ первую очередь ясно, что любой полином P(x-)-yi} может быть приведен, в силу определений сложения и умножения, к виду A--Bi, где А и В — полиномы от Х и У с действительными коэф­фициентами. Аналогично, Q(x--yi) может быть приведено к виду C--Di. Следовательно, может быть представлено в виде

A+Bi _ (A+Bi)(C-Di) _AC + BD, BC — AD. C + Di~~ (C + Di)(C-Di) ~ σ+Dt ÷ C2 + T>2 t,

Что доказывает нашу теорему.

ТЕОРЕМА 2. Если P (x+-yi) = X-)- Yi, где Р, как и выше, обо­значает рациональную функцию, но с действительными Коэф­фициентами, то

P(x-yi) = X-Yi.

Утверждение легко проверяется для степени (x4^-Vz)π непо­средственным вычислением. Отсюда мы убеждаемся в справедливости теоремы для любого полинома с действительными коэффициентами. Следовательно, применяя принятые выше обозначения,

P . ■’.A — Bi _AC+J3D BC — AD. yl>~C-Di C* + D* Ci + D* l,

Причем приведение к указанному виду проводится так же, как и в предыдущей теореме, но с той разницей, что знак I всюду изменен на обратный.

Очевидно, что результаты, аналогичные утверждениям теорем 1 и 2, имеют место для функций от любого числа комплексных переменных.

ТЕОРЕМА 3. Если уравнение

Aizn ⅛ alzn~14- … 4- = О,

Коэффициенты которого действительны, имеет комплексные корни, то они могут быть сгруппированы в пары сопряженных.

Ибо из теоремы 2 следует, что если X-j-yi является корнем, то и Х—Yi также является корнем. Частным случаем этой теоремы является тот факт (п. 43), что корни квадратного уравнения с дей­ствительными коэффициентами либо действительны, либо сопряжены.

Эта теорема иногда формулируется следующим образом: в урав­нении с действительными коэффициентами комплексные корни могут встретиться только в сопряженных парах1).

Примеры XXI. 1. Доказать теорему 6 п. 45 непосредственно из опреде­лений и без помощи геометрических рассмотрений.

[Во-первых, для того чтобы доказать неравенство ∣ Z — J — Z’ [ ≤ ∣ z | + I Z’ [, Нужно показать, что

Vr(x + x’)2 + (y+y’)2 ≤ j∕∑2 +y2 + )Λx’2+y’2.

Дальше теорема легко распространяется на общий случай. Теорема является частным случаем „неравенства Минковского*: см. Харди, Литтльвуд и Полна, Неравенства, гл. II, п. 2.11].

2. Единственным случаем, в котором

И + Z’ 1 +.. .= ∣z + z’ + … |,

Является тот, когда все числа Z, z’, … имеют одинаковую амплитуду. Доказать это геометрически и аналитически.

3. Доказать, что

∣z-z’∣≥⅛∣[z[-∣z’∣∣.

4. Если и сумма и произведение двух комплексных чисел действительны, то эти числа либо сами действительны, либо сопряжены.

5. Если

A + ⅛∣∕^2 + (c + <∕y^2)Z = ^ + B∣<2 + (C + Z>∣∕’2)z, где А, Ь, с, D, А, В, С, 23 —действительные рациональные числа, то

А— А, Ь—В, C= C, d = D.

6. (ɪ + о2.lii
l — z
Представить следующие числа в виде AJBi, где А и В — действи­тельные числа:

λ — μz λ + tj∙z'λ -J — {xz* Z λ ɪʃz λ — μz’ ’ ∖ λ — (J. Z

λ и μ обозначают действительные числа.

7. Представить следующие функции от Z = x--yi в виде X-J-Yi, где X и Г— действительные функции от Х и У: z2, Z3, zn, — L, Z + -ɪ-, °^Lfe, где

α, β, 7, δ — действительные числа.

8. Найти модули чисел и функций в двух предыдущих примерах.

9. Прямые, соединяющие точки Z = A, Z = B и Z = С, Z = D, будут перпендикулярными, если

(а — B , π

AmU-d)~ — 2 ’

’) Числа α + yr⅛ и о—^^B, где А и Ъ рациональны, иногда также называются „сопряженными*.

Т. е. если чисто мнимо. Каково условие параллельности этих прямых?

10. Пусть вершинами треугольника являются Z = A, z = β, z = γ, где A, β, γ — комплексные числа. Доказать следующие предложения:

(1) Центр тяжести находится в точке 2 = y(g + β + γ);

(2) Центр описанной окружности определяется соотношениями

\z — α∣ = ∣2-β∣ = ∣2-γ∣;

(3) Три перпендикуляра, опущенные из вершин на противолежащие стороны, пересекаются в точке, определенной соотношениями

re,= re,= re,= 0;,v —у/ \т— ai ∖≈-pj
(4) внутри треугольника существует такая точка р, что < свр— <.аср = <.вар = ш

Ctg ω = Ctg Л + Ctg В + Ctg С.

[Для доказательства предложения (3) заметим, что если А, В, C — Вершины треугольника и P — любая точка Z, то условием перпендикуляр­ности AP и BC является (см. пример 9) то, что

P-T

Чисто мнимо или что

Re (г — a) Re (β — у) + Im (z a) Im (β — γ) =⅛ 0.

Это уравнение и два аналогичных уравнения, получаемых из него цикли­ческой перестановкой A, β, γ, удовлетворяются одним и тем же значением Z; Это следует из того, что сумма левых частей этих трех уравнений равна нулю.

Для доказательства предложения (4) возьмем BC параллельным и направленным вдоль оси Х. Тогда ɪ)

γ — β-a, a — γ = — Ь Cis(— C), β — А = — CisВ.

Мы должны определить Z и ω из уравнений

(г —G)(β0G0) = (г —β)(Уо —βo) _ (г —Y)(A0γ0) _r 9 (20-⅝)(β-ɑ) ([23]«—βo)(T-β) (20 — γ0) (g — γ) ‘

где z0, g0, β0, γ0 обозначают складывая числители и
нимая во внимание, что
Числа, сопряженные с Z, A, β, γ.

 1 -j-cis 2ω
- i-cis 2ω,
zctg

знаменатели этих трех равных дробей и при­мы получим:

I Ctg ш = ~ V ɪə + (У — (То — GO) + (а — β) («о — ⅜) Fro—βoτ + γg0-yog + ⅛o-⅝β

Отсюда легко выводится, что ctgω равен ɪ(а2 + Bi -(-с2), где Δ-площадь треугольника. А это эквивалентно нашему утверждению.

Для определения Z сложим числители и знаменатели Трех Равных дробей, предварительно умножив каждый из них соответственно на

То βO GO — То ¾ ⅞

Р —а ’ т —Э ’ а —T

Из полученной таким образом новой дроби мы найдем, что

__ Az Cis A -∣- ⅝ Cis Jg — cγ Cis C

A Cis A -J-b Cis 5cj — С Cis C

11. а, ь, с и х, у, z, подобны,Два треугольника с вершинами в точках

Если

= 0.

Х V Z ______

Rπ, й AB XY ,,

[Требуемое условие состоит в равенстве — т==- —-==- (большие буквы обозначают точки, аргументы которых обозначены соответствующими малыми буквами) или -—~a~z—— > 4τθ совпадает с данным условием.]

12. Вывести из предыдущего примера, что если точки Х, у, Z лежат на одной прямой, то можно найти такие Действительные числа α, β, γ, что g + β + T = θ и g∙v + ⅛y + T2 = θ; обратное предложение также имеет место (см. пример XX. 4). [Использовать то обстоятельство, что в данном случае треугольник с вершинами в Х, у, Z подобен некоторому вырожденному в отрезок прямой треугольнику с вершинами на оси ОХ, и применить результат предыдущего примера.]

13. Общее линейное уравнение с комплексными коэффициентами.

Уравнение α2-J-β = 0 имеет единственное решение Z =—, еслиа^О. Если мы положим

A = a-J-Ai, β = b-J-Bi, z = x-J-yi

И приравняем действительные и мнимые части, то получим два уравне­ния для определения двух действительных чисел Хну. Наше уравнение будет иметь действительный корень, если у = 0, что дает Ax-J-b = 0, Ax-J-B = O, условием же совместности этих двух уравнений является ра­венство

АВ — ЬА = 0.

14. Общее квадратное уравнение с комплексными коэффициентами Это уравнение имеет вид

-j- √4 z) Z2 -|- 2 Jb -}- Biy z -[- Jc -[- Ciy = 0.

Если а и Л не равны одновременно нулю, можно разделить уравнение на A-J-Ai. Поэтому можно рассматривать

Z2-J-2 Jb-J-Bi) Z-J-(с-J- Ciy = O (1)

Как каноническую форму нашего уравнения. Полагая Z = x-J-yi н при­равнивая действительные и мнимые части, мы получаем систему двух уравнений для Х и У, а именно:

X2—y2 -J-ZJbx-Byy-J-c = O, 2xy-J-2 Jby-J-BxJ-J-C = O.

Если мы положим

X-J-b = ξ, у -J-B =rl, b2 — B2 — C = h, 2ЬВ — C = k, Эти уравнения принимают вид: ξ2—η2 = ⅛, 2ξη = ⅛.

Возводя их в квадрат и складывая, находим:

S2 + η2 = }Γh* + P, ξ = ± У -ɪ- (y^j⅛V+P’+ Я

η = ±∣∕^∙∣ (l∕^Λ2"+A2-Л).

Знаки мы должны выбрать так, чтобы ςη имело знак K, т. е. если А поло­жительно, мы должны брать перед корнями одинаковые знаки, а если А отрицательно, — разные.

Условия равенства корней. Корни могут быть равны в том и только в том случае, когда оба фигурирующих выше квадратных корня обращаются в нуль, т. е. когда Λ = 0, A = O, или, что то же самое, когда C = A2—В2, C = 2ЬВ. Эти условия эквивалентны единственному условию с + Ci = (b + Bz’)2, которое выражает тот факт, что левая часть уравнения (1) является точным квадратом.

Условие существования действительного корня. Если x2 + 2(A + Bz’)x + (c+ Cz’) = O,

Где Х — действительное число, то. v2 — J — 2Ах + с = 0, 2Bx -(-C = O. Исключая Х, Мы находим искомое условие в виде

С2—4ABC + 4cB2=0.

Условие существования чисто мнимого корня. Как легко найти, оно имеет вид

С2 —4АВС —4A2c = 0.

Условие существования пары сопряженных комплексных корней. Так как сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел действи­тельны, то A-j-Bz’ и с+Ci должны быть оба действительны, т. е. должно быть B = O и С = 0. Таким образом, уравнение (1) может иметь пару сопря­женных комплексных корней только в том случае, когда его коэффициенты действительны. Читателю следует проверить это заключение рассмотрением явных выражений для корней. Если, кроме того, A2 S≥ С, то тогда корни будут также действительными. Таким образом, для пары сопряженных корней должно быть B = 0, C = 0, A2 < С.

15. Кубическое уравнение. Рассмотрим кубическое уравнение 23 + 3∕⅛+G = 0,

Где G и H—комплексные числа, причем известно, что уравнение имеет

(а) действительный корень, (Ь) чисто мнимый корень, (с) пару сопряженных корней. Полагая H = λ -(- +, G = ρ + σi, мы находим следующие условия.

(a) Условия существования действительного корня. Если μ не равно

Нулю, то действительным корнем является———— ɪ и σ3 + 27λμ2σ— 27μ3p = 0.

C другой стороны, если ∣j∙ = 0, то должно быть также и σ = 0, так что коэф­фициенты уравнения действительны. В этом случае все три корня могут быть действительными.

(b) Условия существования чисто мнимого корня. Если jχ не равно

Нулю, то чисто мнимым корнем является и р3— 27λp2p — 27μ3σ = 0. Если

(* = 0, то должно быть также р = 0, и если Yi есть корень, то У опреде­ляется из уравнения у3 — 3λy — σ = 0, которое имеет действительные коэф­фициенты. В этом случае все три корня могут быть чисто мнимыми.

(c) Условия существования пары сопряженных комплексных корней. Пусть эти корни будут x+yz’ и Х—Yi. Тогда, так как сумма всех трех кор­ней равна нулю, третий корень должен быть равен — 2х. Из соотношений

Между коэффициентами и корнями уравнения мы выводим, что Y*~-3x* = 3H, 2.v(x2+_y2) = G.

Следовательно GsH должны быть оба действительны.

В каждом случае мы можем либо найти корень (причем тогда уравне­ние может быть сведено к квадратному делением на известный множитель), либо мы можем свести решение уравнения к решению кубического урав­нения с действительными коэффициентами.

16. Пусть кубическое уравнение x3 -)- Alx2 -(- A,X — j — As 0, где A1 = = A1LRA1I, …, Имеет пару сопряженных комплексных корней. Доказать,

∙^ια3 , ,

Что третий корень равен——i—, если √43≠0. Исследовать случай √43 = 0.

17. Доказать, что если Z3 ψ -(- G =0 имеет два сопряженных комплексных кор­ня, то уравнение

8α3 + GaHG = 0

Имеет один действительный корень А, Яв­ляющийся действительной частью ком­плексных корней исходного уравнения, а также, что А одного знака с G.

18. Уравнение любого порядка с ком­плексными коэффициентами, вообще говоря, не имеет ни действительных корней, ни пар сопряженных комплексных корней.

Сколько условий должно удовлетворяться коэффициентами для того, чтобы уравне­ние имело (а) действительный корень,

(Ь) пару сопряженных комплексных корней?

19. Пучок окружностей. Пусть А, Ь, Z Являются аргументами точек F А, В, 1P (фиг. 23). Тогда

Am = < APB, z—a

p, p1, p1 и <,apb.,то легко видеть, что,am,z'-,z' — а,am,z,-b
am -,zi-b
-∏ + f

если в левой части выбрано главное значение амплитуды. Если окружности,

Геометрическое место, определенное уравнением

Z — B o Am = θ,

Где θ постоянно, является дугой APB. Заменяя Q на it—θ, —0, —τt-)-Θs получаем три остальные дуги окружностей.

7 Г. Харди

Система уравнений, получаемых в предположении, что Θ является пара­метром, изменяющимся от — к до π, представляет Систему окружностей, которые могут быть проведены через точки AuB. Следует, однако, отметить, что каждая окружность должна быть разделена на две части, которым соответствуют разные значения 9.

20. Рассмотрим теперь уравнение

Где λ — константа, не равная 1.

Пусть К будет точкой, в которой касательная к окружности ABP В точке P пересекается с АВ. Тогда треугольники KPA и KBP подобны и, следовательно,

AP __РК _КА _ 1 PB~BK ~KP ~ λ ‘

Отсюда мы видим, что 77⅛ = — A-> и, таким образом, точка К—Одна и та же LTs к

Для всех положений Р, удовлетворяющих уравнению (1). Кроме того KP2 = KA ∙ KB и, следовательно, является константой. Поэтому Геометри­ческим местом точек P является окружность с центром в К.

Система уравнений, получаемых при изменении λ, представляет систему окружностей, причем каждая окружность этой системы пересекает каждую окружность системы примера 19 под прямым углом. Когда λ=I, окруж­ность превращается в прямую линию.

Система окружностей примера 19 называется Эллиптическим пучком окружностей. Система примера 20 называется Гиперболическим пучком окружностей, причем А и В называются Предельными точками этого пучка. Если λ очень велико или очень мало, то соответствующие окруж­ности очень малы и содержат внутри себя А или, соответственно, В.

21. Дробно-линейные преобразования. Рассмотрим уравнение

2 = Z+α, (1)

Где Z = x--yi и Z = X+ Yi-Два комплексных переменных, которые мы предположим представленными на двух плоскостях Хоу, XOY. Каждому значению Z соответствует одно значение Z, и наоборот. Если α = α-j-βZ, то

Х — X + A,

И точке (х, у) соответствует точка (X, Г). Когдд (х, у) описывает какую — либо кривую в плоскости Хоу, (X, Y) описывает кривую в плоскости XOY. Таким образом, каждой фигуре в одной плоскости соответствует фигура в другой плоскости. Переход такого рода от фигуры в плоскости Хоу К фигуре в плоскости XOY с помощью соотношения типа (1) называется Преобразованием. В данном случае соотношение между соответствующими фигурами определяется очень легко. Фигура в плоскости XOY совпадает по размерам, форме и ориентации с фигурой в плоскости Хоу, но она сдвинута на расстояние А влево и на расстояние (5 вниз. Такое преобразование назы­вается параллельным Переносом.

Рассмотрим теперь уравнение

2 = pZ, (2)

Где р положительно. Это дает Х=$Х, у = $Y. Фигуры подобны друг другу н подобно расположены относительно соответствующих начал координат, но масштаб фигуры в плоскости Хоу изменен в р раз по сравнению с мас­штабом фигуры в плоскости XOY. Такое преобразование называется Подобием. Далее рассмотрим уравнение

(3)Z — (cos φ —)- Z sin φ) Z.

Ясно, что I Z I==I Z И что одно из значений ашг равно amZ-)-φ, так что фигуры отличаются друг от друга только тем, что фигура в плоскости Хоу Повернута относительно фигуры в плоскости XOY на угол φ в положи­тельном направлении. Такое преобразование называется Вращением.

Общее линейное преобразование

Z — AZ + b (4)

Является комбинацией трех преобразований (I), (2), (3). Ибо, если | А | = р и am я =If1 мы можем заменить (4) тремя уравнениями:

Z = z’ — J — B, z’ = pZ’, Z’ = (cos φ + I sin φ) Z.

Таким образом, Общее линейное преобразование эквивалентно комбинации параллельного переноса, подобия и вращения.

Рассмотрим, далее, преобразование

Z — ^2, ∙ (ð)

Если Z=R и amZ= Θ,То,21 = ɪи amz=-θ, т. е. для перехода от Н.

Фигуры в плоскости Хоу к фигуре в плоскости XOYmu должны произвести инверсию первой из них в единичной окружности с центром в начале О И затем зеркально отразить полученную фигуру относительно оси Ох (т. е. построить симметричную фигуру по другую сторону от Ох).

Рассмотрим, наконец, преобразование

(ɑ)αZ+⅛ CZ + d

Оно эквивалентно комбинации преобразований

z=^ + (bc- -ad)- -,, z' = cz+d,

Т. е. некоторой комбинации преобразований рассмотренных выше типов. Преобразование (6) называется Общим дробно-линейным преобразо­

Ванием. Решая его относительно Z, находим:

2__ Dz — B

CZ-а’

Общее дробно-линейное преобразование является наиболее общим типом преобразования, при котором одно н только одно значение Z соответствует каждому значению Z, и наоборот.

22. Общее дробно-линейное преобразование преобразует окружности в окружности. Это может быть доказано многими способами. Мы можем сослаться на известную геометрическую теорему, что инверсия преобразует окружности в окружности (которые, в частности, могут быть, конечно, и прямыми). Или же мы можем использовать результаты примеров 19 и 20. Если, например, окружность в плоскости Хоу имеет уравнение

1*-р.

= λ',

∣z-p'
где

то подставляя вместо Z его выражение через Z, мы получаем: IZ-σ’

А — рс \а — ас,

7*

23. Рассмотреть преобразования

1 1 +Z

Z~ Z ’ Z~ I-Z

И начертить в плоскости XOY кривые, соответствующие (1) окружностям с центрами в начале, (2) прямым линиям, проходящим через начало.

24. Условием того, что при преобразовании

___ AZ+b

CZ+d

Окружности x2+j∕2=l соответствует прямая линия в плоскости XOY, Является I А [ = [ с (.

25. Двойные отношения. Двойное отношение (z1, zi>; z3, Zi) определяется как

(zɪ — *») (⅞ — г«)

(z1-z4) (г8 —¾)’

Если четыре точки лежат на одной прямой, это определение совпадает с определением, известным из элементарной геометрии. Перестановкой индексов из Z1, zi, zs, zi может быть образовано 24 двойных отношения. Они состоят из шести групп по четыре равных двойных отношения в каждой. Если одно отношение равно λ, то шестью различными двойными отноше-

, 1 , 1 1 λ-1 λ

Ниями являются λ, 1 —λ, , 4———— г, —-—, 7——— г. Четыре точки иазы-

λ ɪ Л Л Л — 1

Ваются Гармоническими или Находящимися в гармоническом отношении, Если одно из этих двойных отношений равно — I. В этом случае шестью отношениями являются —1, 2, —1, ɪ, 2, ɪ.

(z1- z3)(zi- zi)

amЕсли одно из двойных отношений является действительным числом, то все шесть отношений действительны, и данные четыре точки лежат на одной окружности. Ибо в этом случае

z3)
0, те, так что
am(z1- Zi) (zi- Должна иметь одно из трех значений — те,

am —z— должны либо быть равны, либо отличаться на те (см. пример 19).,zi- zi
если (z1, zi∖ z3, z4) =—1, мы имеем два уравнения
,am •,z1-zi
'z1-zi
,■ ± те-j- am,zi-,z3- zi,zi,четыре точки √41, ∕la, a3, ai лежат на одной окружности, причем между
. , , . .. a1a3 a. a3
a1 и √4s лежат a3 и ai. кроме того, ~ ■
√lι√l4
z3z4. уравнение
(z1 — z3) (z, — zi) ɪ
(z1-zi)(zi-z3) может быть записано в виде
(zɪ + zi) (z3 + zi)-2 (z1z3 + z3z4),
,√42√44
1
,пусть о — середина,или, что то же самое, в виде

{Z1-у (z3 + z4) Zi-У (z3 + z4) I = | (z3-~zi) |2

Но это эквивалентно соотношению OA1 • OAa= ОЛ’= OA4. Следовательно, OA1H OA2 образуют равные углы с AsAi, и OA1 ■ OA2=OAl = OA21. Заметим, Что соотношение между парами A1, A2 и As, Ai симметрично. Следова­тельно, если О’ —середина A1A2, то O1A3 и O1Ai равнонаклонены к A1A2, И θ’A3- θ’Ai = θ’A31 = θ’As2.

26. Если точки A1, A2 заданы уравнением Azt = 2bz А- с = 0, а точки A3, Ai — уравнением A’zi — J — 2b’z -J — Cl = 0, О — середина A3Ai и Ас’ — J — А’с — — 2bb, = 0, то OA1, OA2 равнонаклонены к ASAi и OA1 ∙ OA2 = OA3s = OA3i.

(Экз. 1901 г.)

27. Пусть АВ, CD-JSMt пересекающиеся прямые на диаграмме Аргана и P и Q — их середины. Доказать, что если AB является биссектрисой угла CPD и PAi =PBi =PC ∙ PD, то CjD является биссектрисой угла AQB и

QC2 = QD2 = QA ■ QB. (Экз. 1909 г.)

28. Условие того, что четыре точки лежат иа окружности. Доста­точным условием является то, что одно, а следовательно, и все двойные отношения действительны (пример 25). Это условие является также и необхо­димым. Другой формой этого условия является возможность выбора действи­тельных чисел A, β, γ так, что

z1z4 -f za23 z2z4 h- z3z1 z3z4 -f z1z2,[для доказательства заметим, что преобразование z-,эквива-,2 — zi
лентно инверсии относительно точки zi, соединенной с некоторым зеркальным отображением (пример 21). если z1, z2, z3 лежат на окружности, проходящей через zi, то соответствующие точки z1=- -, z2
,-zi,z2-zi ’
z3- zi,лежат иа одной прямой. следовательно (см. пример 12), мы,можем найти действительные числа a,, ∣3', γ' так, что α' -j-β' -j-γ'= 0 и

0,
z1-z4 z2~ zi

И легко показать, что это соотношение эквивалентно приведенному условию.]

29. Доказать следующий аналог теоремы Муавра для действительных чисел: если φ1,φs,φ3, … — последовательность положительных острых углов

Таких, что

Tg ⅛+l = tg ‰ sec φ1 + sec φm tg φ1, τ0 tg φm+π = tg φm sec φn + See φm tg φn,

Sec φzra+n = sec φm sec φn — J — tg φm tg φn

И tgφm + secφm=(tgψι+secφ1)m.

[Применить метод математической индукции.]

30. Преобразование Z = Zm. В этом случае R= Rm, и 0 и яг© отли­чаются на целочисленное кратное 2π. Если Z описывает окружность, с цен­тром в начале, то г описывает Т раз окружность с центром в начале.

Вся плоскость (х, у) соответствует любому из Т секторов в плоскости (A, К), угол каждого из которых равен Каждой точке в плоскости (х, у) Соответствует Т точек в плоскости (X, У),

31. Комплексные функции действительного переменного. Если F (t), «(/)— две действительные функции действительного переменного T, опреде­ленные в некоторой области значений T, мы называем

Z=∕(0+M9 (1)

Комплексной функцией от Л Мы можем графически представить ее, про­ведя кривую

X=fW, y≈<rV).

Если Z является полиномом от T или рациональной функцией от T с ком­плексными коэффициентами, мы можем представить Z в форме (1) и так определить кривую, представленную этой функцией.

(1) Пусть

Z = a-j-(b— A)t,

Где А и B— комплексные числа. Если A~a--a’i, b ==β-∣-β’Z, то X = α + (β-A)t, y = a’-j-(β’-a,)f.

Кривая в данном случае является прямой, соединяющей точки г== а и f== Ь. Отрезок между этими точками соответствует интервалу значений Z от 0 до 1. Найти значения T, соответствующие двум остальным (бесконеч­ным) отрезкам прямой.

(2) Если где р положительно, то кривая является окружностью радиуса р с цен­тром в С. Когда T пробегает все действительные значения, точка Z описывает окружность один раз.

(3) В общем случае уравнение

__ а Ы

Z~T+Jt

Представляет окружность. Это может быть доказано вычислением Х и У и исключением T, но ведет к весьма громоздким выкладкам. Более простой метод заключается в применении результата примера 22. Пусть

_a-±bZ 7__f ~ + dZt z-~t

Когда T изменяется, Z описывает прямую линию, а именно, ось X. Следо­вательно, Z описывает окружность.

(4) Уравнение

Z = a + 2« + Cti

Представляет в общем случае параболу. Когда — у — действительно, оно пред­ставляет прямую.

(5) Уравнение

А Ibt 4- Cti Z~ a + 2β∕ + γZ2 ’

Где ≈> β, 7 действительны, представляет коническое сечение.

[Исключить T из соотношений

V._ А + 2Bt + Cti A’ + 2B’t + Ct1

Х a-]-2β^ + γ^ ’ У~ a+2β∕ + γjt2 ’

Гд ‘. A-j-A’i = a, B-~B’i==b, C-f-C’ι = c,)

47. Корни из комплексных чисел. До Сих пор мы не припи­сывали никакого смысла таким символам, как У A, AmN , Где а — комплексное число, а Т и П—-целые числа. Представляется, однако, естественным принять определения, которые даются в элементарной

Алгебре для действительных значений А. Таким образом, мы опре — П

Деляем У а или а1/", где П — положительное целое число, как число Z, удовлетворяющее уравнению Zn = A, и AmN, где Т— це­лое число, как (ɑ1/")’". Эти определения не предрешают вопроса о том, существуют ли вообще корни этого уравнения.

48. Решение уравнения Zn = A. Пусть

A р (cos φ -J — г sin φ),

Где р положительно и φ— угол, для которого —π<^φ≤π. Если мы положим Z = г (cos O-J-г sin θ), то уравнение примет вид

τn (cos П θ — J — I sin П θ) = р (cos φ — J — I sin φ),

Так что

R" = p, cos∕zθ = cosφ, sin∕zθ = sinφ. (1)

Единственным возможным значением для г является j/p, обычный арифметический корень л-ой степени из р; а для того чтобы два последних уравнения удовлетворялись, необходимо и достаточно, чтобы nθ = φ-)-2Aπ, где K целое число, или чтобы

θ__ У -⅜-2Feπ

«

Если K==Pn-{-Q, где Р и Q— целые числа и 0≤<f<^, то значе­нием θ является 2τc∕7 —J—⅞ , и здесь безразлично, какое зна­

Чение имеет Р. Следовательно, Уравнение

Zn = а — р (cos φ — J-1 sin φ)

Имеет в точности п корней, даваемых выражением Z=г (cos O-J-ZsinO), Где

•=7р.
{,q — 0, 1, 2,..
1).

Что эти П корней различны, легко видеть, нанеся их на диаграмму Аргана. Корень

V P (cos J-J-Zsin j)

Пг —

Называется Главным значением у A. t

Случай, когда A~l, p=l, φ = 0, представляет особый интерес;

П корней уравнения Xn=l могут быть записаны в следующем виде:

Cos 1 sin ɪ (⅞f = 0, 1, 2, …,л — 1).

Эти числа называются корнями л-ой степени из единицы; главным 2~

Значением является сама единица. Если мы обозначим Cos—4-

-(-1 sin ɪ через ωπ, то корни л-ой степени из единицы могут быть записаны в виде

. 2 П—1

1, ωn> …, β)n •

Примеры XXll. 1. Двумя квадратными корнями из единицы являются 1 и —1; три кубических корня из единицы суть 1, -ɪ-(—1 -(-/ ^[∕3) и

-ɪ -(—1 —Z]∕λ3); четыре корня четвертой степени из единицы суть 1, I, —I, I, и пять корней пятой степени из единицы суть

1, 4 W ɪ + i / Ю + 2/5}, ɪ {- /5 — 1 + I / Ю-2/f

L{-∕5-l-// 10-2/5}, i{V5-l-Z∕lO+2∕5}.

2. Доказать, что

1 + ωre + ωn + • • • + шя 1 = 0∙

3. Доказать, что

(X +yω3 4- Zu>L) (X +y<uf + 2ω3) = X2 +y2 -)- Z2 — У Z ZX — ху.

4. Корни л-ой степени из А являются произведениями корней л-ой сте­

Лу—

Пени из единицы на главное значение У а.

5. Из примера XXI. 14, следует, что корнями уравнения

Z2 = а -)- βZ

Являются числа

±∣∕∣ (∕*W+≈)±z∣A (∕≈47F-≈)>

Причем одинаковые или разные знаки надо брать в зависимости от того, является ли β положительным или отрицательным числом. Показать, что этот результат совпадает с результатом из п. 48.

6. Показать, что

χ2m- A2m
X2 — а2

Равно

{X22Ax cos ʌ 4- O2Vx — — 2Ax cos ~ 4- o2∖.. (χ22Ax cos ŋ * + A2 .

[Делителями X2MA2M являются

{X а}, (х AA2M),Am2M )> •••» (χ — αω2m V Делитель Х — аш™т есть X-}-A. Произведение делителей (XAu^~S}N (х — eω^wj) дает делитель Х2 — 2Ax cos — 4-∙ А2.]

7. Аналогичным образом разложить на множители

λ-2ot+i _ β2m+ι> χ2m azm χ2ιn+ι a2m+ι.

8. Показать, что X2n—2xnan cos θ + A2n равно

- 2xa cosХ[24]2xa cos ɪ -)- A2 ∏ Xs —

.. Jx2 — 2xa cos -θ + 2("-∑Jλπ + β j.

[Применить формулу

Х2и — 2xπαn cos 6 A2n {xn — An (cos θ Z si и Θ)} {xn An (cos 8 — t sin 6)}

И разложить каждое из двух последних выражений на П множителей.]

9. Найти все корни уравнения

Xβ-2×8 + 2-0. (Экз. 1910 г.)

10. Задача представления значения ωre в форме, содержащей только квадратные корни, как в формуле ω3 = y(—l-j-Zyr3), является алгебраи­ческим аналогом следующей геометрической задачи: вписать правиль­ный я-угольиик в окружность единичного радиуса эвклидовыми методами, т. е. только с помощью линейки и циркуля. Ибо это построение будет воз­можно в том и только в том случае, если мы умеем строить длины, изме-

2π . 2π

Ряемые eosɪ и sɪnɪ; a это возможно в том и только в том случае, когда

Эти числа могут быть представлены в форме, содержащей только квадрат­ные корни (см. гл. II, Разные примеры, 22).

Эвклид дает построение для л = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 15. Очевидно, что построение возможно для любого значения я, которое равно одному из при­веденных значений, умноженному на какую-либо степень 2. Существуют другие частные значения я, для которых такое построение возможно. Наи­более интересным из них является я = 17.

Гаусс доказал, что построение возможно, если я имеет вид 2zfe-j-l

И является простым числом. Числа 3, 5, 17, 257 и 65 537, соответствующие значениям K — 0, 1, 2, 3 и 4, — простые, и построение, следовательно, воз­можно. Но K = 5, 6, 7 И 8 дают значения л, не являющиеся простыми, и неизвестно, существуют ли другие простые значения, представимые в этой форме.

Простейшее построение семнадцатиугольиика, данное Ричмондом, приве­дено в книгах: H. P. Hudson, Ruler and compasses, стр. 34, F. and F. V. Morley, Inversive Geometry, cτp. 167, и в книге Клейна, упомянутой на стр. 27*).

49. Общая форма теоремы Муавра. Из результатов предыду­щего пункта следует, что если Q положительное число, то Од­Ним из значений (cos θ —г sin θ)1×^ является

8 … 8 cos H г Sin — .

Q i Я

возводя каждое из этих выражений в степень р (где р — любое целое число, положительное или отрицательное), мы получаем, что одним из значений (cos θ —{—z sin θ)p∕⅛ является cos у+/sinили что если а — любое рациональное число, то одним из значений
(cos θ —j— г sin θ)a
является
,. cos αθ -∖-i sin aθ.
это и есть обобщенная форма теоремы муавра (и. 45).
разные примеры к главе iii 1. условием равносторонности треугольника xyz является
x2+y2 + 22-уг— zx — ху—0.
[пусть треугольник будет xyz. смещение zx является смещением yz, 2
,повернутым на угол,-π в положительном или отрицательном направлении.,так как cis^-t = ω8, cisf—ɪ,ɪ
ω3
,= ωf, мы имеем х — z = (z—у) ω8r или
х — z = (z—у)<о». следовательно, х +yω3 + = θ или x+yωj + zω8 = 0.
утверждение следует из примера xxll 3.]
2. если xyz, x'y'z' — два треугольника и
yz-yrz = zx- zx = xy- xiy', то оба треугольника — равносторонние. [из уравнений
(у — г)(y' — z') = (z-x)(z' — x') = (x-y) (x' — у’) = ft2
= 0 или ∑x'2 — ∑y'z' = 0. затем используем,мы заключаем, что у ,
xj у' — z'
результат предыдущего примера.]
3. на сторонах треугольника abc построены подобные треугольники bcx, cay, abz. доказать, что центры тяжести abc и xy7. совпадают.
[мы имеем —λ∙ выразить ɪ (х + у + г) через
а, ь, с.]
4. если x, y, z—точки на сторонах треугольника abc такие, что
cy
ya
,az
~zb~r,
xc'

И если ABC, XYZ подобны, то либо г = 1, либо оба треугольника — равно­сторонние.

5. Если А, В, C, D четыре точки на плоскости, то ADBC^BDCA + CD ■ АВ.

[Пусть Z1, Zi, Z8, Zi комплексные числа, соответствующие А, В, C, D. Тогда имеет место тождество

(Z1Zi) (Z, — Zs) + (z2 — z4) (z8 Z1) + (z8 — Zi) (Z1 — z2) = 0.

Отсюда

I (zι — Zi) (zi — z8): = I (z2 — Zi) (z8 — z1) + (z8 — Zi) (z1 — z2) I ≤

≤ I (¾ — ZYt {zt Zι)! +1 (z3 + zi) (zιZS) !•]

6. Вывести теорему Птолемея о четырехугольнике, вписанном в окруж­ность, из того факта, что двойные отношения четырех точек, лежащих на одной окружности, действительны. [Использовать тождество предыдущего примера.]

7. Если 22-j-2,2 = l, то точки Г и Г’ являются концами сопряженных диаметров некоторого эллипса с фокусами в точках 1,—1. [Если CP и CjD — сопряженные полудиаметры эллипса с фокусами в S и 77, то CD параллельно внешней биссектрисе угла SPH, и SP ■ HP = CjD2.]

8. Доказать, что ∣α+⅛]2-]-,α — Ь ∣2 = 2 {j A ∣2 4* ∣ B j2}. [Это соотноше­ние является аналитическим аналогом геометрической теоремы о том, что если M — середина PQ, то OP2 + OQ2 = 2OM2 ψ 2МР2.]

9. Вывести из примера 8, что

I А + )∕^α2 — ⅛21 + I А — Va2 — ⅛21= ] А + b ∣ +1 А — B [.

[Если A — j-j∕А2 — B2 = zli а — ^fa2 — B2-z2, то мы имеем: μιl2 + l∙¾ I2= 11 *1 + ¾l3 + lɪɪ-⅞ {2 = 2A2 + 2A2-b2,

И, следовательно,

(I 21∣+l22∣)2 = 2{iβ∣2 + ∣a2-⅛2l + ∣⅛12} = ]α + ⅛l2 +

+ lα—⅛∣2 + 21a2-⅛2∣.

Иначе этот результат можно сформулировать так: если Z1 и ¾ являются корнями уравнения

Az2 4- 2βz -]- γ = 0,

То _

L≈l(i21∣ + l⅜ l) = ∣β+l<^l + !β-l^∣.]

10. Показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы оба корня уравнения Z2 + az 4- B = 0 имели модуль, равный единице, является выполнение следующих соотношений:

I A J ≤ 2, I B I = 1, am⅛ = 2amα.

[Под амплитудами здесь понимаются ие обязательно их главные зна­чения.]

11. Если уравнение X1 4^ 4a1xs -j — 6й2х2 + 4a3x -]- ai = 0 с действительными коэффициентами имеет два действительных и два комплексных корня, лежа­щих на одной окружности на диаграмме Аргана, то

Al + Й4й4 -]- й2 — й2й4 — 2й2й2й3 = 0.

12. Четыре корня уравнения A0xi-C 4aix3-C 6a2xs 4-4a3x-f-ai-0 нахо­дятся в гармоническом отношении, если

Йой3 —[- й4й4 ■*[“ ^2 U3a2ai 2a1asa3 0.

[Выразить Д2з,14 £31,24 £i2,3i> где

£23,14 — (zι — Z2) (zs — Zi) 4^ (z1 z3) (z2 Zi)

И Z1, zi, z3, zi — корни уравнения, через коэффициенты.]

13. Мнимые точки и прямые линии. Пусть уравнение Ах 4- By ÷c = 0 имеет комплексные коэффициенты. Если мы придадим Х любое действитель­ное или комплексное значение, мы можем найти соответствующее значение у. Совокупность пар действительных или комплексных значений Х и У, удо­влетворяющих такому уравнению, называется Мнимой прямой; сами пары значений называются Мнимыми точками, и мы говорим, что они Лежат на прямой. Значения Х и У называются Координатами точки (х, у). Когда Х и у действительны, точка называется Действительной точкой-, когда А, Й и с действительны (или могут быть сделаны действительными делением уравнения на некоторое число), прямая называется Действительной пря­мой. Точки X — a-j-fii, у —γ-∣-δz и X= а—Fiz, y = γ—о/ называются Сопряженными; сопряженными называются также прямые

(Л + А Ч) х + (В — J — B’i)y — J — C + Ci = 0,

(Л — Л 7) Х (В — B’i)y — J — C Ci = 0.

Проверить следующие утверждения: каждая действительная прямая со­держит бесконечно много пар сопряженных мнимых точек; мнимая прямая содержит, вообще говоря, одну и только одну действительную точку; мни­мая прямая не может содержать пару сопряженных мнимых точек. Найти также условия для того, чтобы (а) прямая, соединяющая две данные мни­мые точки, была бы действительной, и (й) точка пересечения двух мнимых прямых была бы действительной. *

14. Доказать тождества:

+ʃ + г) (х +У<»з + 2<“з) (х +У<»1 + 2<“з) Xs +ʃ3 + г3 — Зхуг,

(X+Y + 2)(X +∙Vu⅛ + 2ωs) +Yu,T + г“’) (х + Yu,I + *%) (х + У<4 + 2<⅛) =
= x3 — J-y5 г3 — 5X3Yz — j — 5XyZ2.

15. Решить уравнения

X3 3ax-j-(a3 — J-1) = 0, х3 — 5αx8 — J — 5a2x4-(ar∙ -J — 1) = 0.

16. Если F (х) = α0 — J — A1x — J-… — J — Aftχb, то

ɪ {/ (х) +f (,°x) + ∙ ∙ ∙ +/(ωn-⅛)} = «о + a∏χn + + • • — + aλnxλn,

Где ω означает любой корень (кроме единицы) уравиеиия Xπ= 1, и Хи является наибольшим кратным и, содержащимся в K. Найти аналогичную формулу для Aμ + aμ+nxn + all + 2n х2Л + …, где 0 < ∣λ < П.

17. Если (1 — J — X)N =PaP1X -J — p2χ2 — J-…, где я — положительное целое число, то

Pd- Pi + Pi — •••= 2n’2cos-^-, P1-ρ3 + p6- … = 2nz2sin^.

18. Просуммировать

2!(∕z~2)! ɪs,'(w-5)! ^r 8!(∕z~8)! "r-∙ ‘ (я —1)! ’

Где и кратно 3. (Экз. 1899 г.)

19. Если T—■ такое комплексное число, что ] T1 = 1, то точка

At — J — Ь

X= т!— T — с

Описывает окружность, когда T изменяется, за исключением того случая, когда ∣cj=l — В этом случае точка описывает прямую.

20. Когда T изменяется как в предыдущем примере, точка

Описывает в общем случае эллипс, фокусы которого определены уравне­нием X2 = АЬ и оси которого равны ∣ A ∣ + I Ъ | И а | — | Ь |. Но если | А | = = J Ь то х описывает отрезок прямой, соединяющий точки —|Лайи ^∣∕"Ab∙

21. Доказать, что если T— действительное число и

Z = t-~ 1

То, при Ti <. 1, Z представляет точку, лежащую иа окружности Х- — J-y2 + -∣~,r = 0. Предполагая, что при Ti >1 под ^j∕7i— Ti понимается положитель­ный квадратный корень из Ii—∙ts, рассмотреть движение точки, представ­ляемой Z, когда T уменьшается от больших положительных значений к боль­шим отрицательным значениям.

(Экз. 1912 г.)

22. Пусть коэффициенты преобразования

Z = A2 + ~ CZ + D

подчинены условию ad — bc = l. показать, что если c≠0, то существуют две неподвижные точки а и β, т. е. такие точки, которые переходят при преобразовании сами в себя; если же, кроме того, (α-j-cf)2 = 4, то существует только одна такая точка я. в этих двух случаях преобразование может быть представлено, соответственно, в виде,z — а
г—?
,z—
z-?
,или —,+- к.

Показать, далее, что если с = 0, то имеется одна неподвижная точка я при условии, что A + D, и что в этом случае преобразование может быть пред­ставлено в виде

Г — я = К (Z — а).

Если же с = 0 и α = d, то преобразование может быть представлено в виде
Z = Z + K.

Наконец, если A, b, с, D принимают положительные целочисленные зна­чения (включая нуль), показать, что единственными преобразованиями менее чем с двумя неподвижными точками являются преобразования

I = i-J-7<, Z = Z + K. (Эка. 1911г.)

23. Показать, что соотношение

I+ Zi

Z~ Z + i

Преобразует часть оси Х между точками 2=1 и 2 = — 1 в полуокружность, проходящую через точки Z=I и Z=— 1. Найти все фигуры, которые могут быть получены из указанной части оси Х последовательным приме­нением данного преобразования. . (Экз. 1912 г.)

24. Доказать, что преобразование

2 = (cos θ I sin 6) ——,

1 — A Z

Где А—Любое комплексное число с модулем, не равным единице, и А Означает сопряженное к А число, а 9 — действительное число, преобразует внутренность единичной окружности плоскости Z во внутренность или внеш­ность единичной окружности в плоскости Z. Найти также условия для каждого из этих случаев. (Экз. 1933 г.)

25. Если Z-2Z+Z∙, то окружности ∣ ZJ = I соответствует кардиоида в плоскости Z.

26. Рассмотреть преобразование 1

соответствуют со-Z~ 2

И, в частности, показать, что окружностям X2-[-F2 = α2 фокусные эллипсы

<-2 „а

½(≈+÷)f {⅛f4)},= 1.

27. Если (г1 )2 = ~2^, то единичной окружности в плоскости Z соот­ветствует парабола 7?cos2-^-0 = l в плоскости Z, и внутренности

Окружности соответствует область, внешняя относительно параболы.

28. Показать, что преобразование

‘Z-j-a Z — а

Где А — действительное число, преобразует верхнюю полуплоскость Г в полукруг в плоскости Z. (Экз. 1919 г.)

29. Если г = Z2—1, то когда Z описывает окружность ∣2∣ = ∙x, две соответствующих точки Z описывают каждая овал Кассини p1p2 = Y., Где р,, р2 означают расстояния от Z до точек — 1, 1. Начертить эти овалы для различных значений ч.

30. Рассмотрим соотношение

Й22 4- 2HzZ,+ BZi + 2Gz + 2/Z + с = 0.

Показать, что существуют два значения Z, для которых соответствую­щие значения Г равны, и наоборот. Мы называем эти точки Точками вет­вления в плоскости Z и, соответственно, в плоскости Г. Показать, что если 2 описывает эллипс с фокусами в точках ветвления, то и Z описывает эллипс с фокусами в точках ветвления.

[Мы можем без ограничения общности предположить, что данное соот­ношение имеет вид

Г2 -[- 2zZ cos A>-j-Z—l;

Читателю предлагается самому убедиться в этом. Точками ветвления в каждой плоскости будут тогда cosec ω и —cosec <о. Эллипс указанного типа пред­ставляется тогда соотношением

I г + cosec ω I — f — J г — cosec ω | = С,

Где C—Константа. Это соотношение эквивалентно (пример 9) следующему:

I 2 + ^]∕r z1 — cosecs ω [ — j — ∣ Z —- ~]∕~ Z2 — cosec2 ω [ = С.

Подставить сюда выражение Z через Z. J

31. Если 2 = AZm -)- BZnt где Т и « — положительные целые числа и А, B—Действительные числа, то когда Z описывает единичную окружность, Z Описывает гипо — или эпициклоиду.

32. Показать, что преобразование

_ (й + Di) Z -}- b

CZ — (а — Di) ,

Где А, Ь, с, D—Действительные числа и a-‘ + d2 — J — Be > O, a Z обозначает число, сопряженное с Z, эквивалентно инверсии относительно окружности

С (x2 +у2) — 2ах — 2Dy 6 = 0.

Какова геометрическая интерпретация преобразования, когда

A8 + Di — J — < О?

33. Преобразование

-zt-ZC ι+z~u+z; ’

Где С рационально и 0 < С < 1, преобразует окружность ∣ Z | = 1 в границу π

Круговой луночки с углом —.

34. Доказать, что преобразование

Z (Z ®) _ *7

02—1 ’

Где А действительно и О < А < 1, преобразует внутренность единичного круга в плоскости Z в дважды взятую внутренность единичного круга в плоско­сти Z. (Экз. 1933 г.)

ГЛАВА IV

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *