. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [17] [18]

(3)9F N + ~BF

Дифференцируя производящую функцию F [обозначается как Fι(<∕i, Qi, t)], можно, в частности, получить как старые, так и но­вые канонические импульсы

(4)__ BFi _ BFi

Рг Bqi ’ BQi

Формулы (1) и (3) связаны друг другом соотношениями (4). Про­изводящая функция Fj в общем случае зависит от одной старой и одной новой переменной в фазовом пространстве, и так как имеется две старые переменные Q и Р, и соответственно две новые Q и Р, то всего имеется четыре следующие производящие функции:

F = Fj(G,Q,T), (5а)

F = F2(Q,P,T)-∑QiPi, (56)

F = F3(P,Q,T) + Qipi, (5в)

F = F4 (р, P,T) + QiPi QiPi (5г)

Соотношения (4) демонстрируют способ получения с помощью частных производных от производящей функции соответствующей переменной фазового пространства. Другим примером служат со­отношения

(6)Dp2 П — Pi Bqi BPi

В данном случае производящая функция Fi = QiQi осуществляет замену координат на импульсы, т. е. Pi = Qi, Qi = —Pi, тогда как производящая функция F2 = QiPi совершает тождественное пре­образование Qi = Qi и Pi = Pi.

3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ Осциллятор

Используя каноническое преобразование С производящей функци­ей Fi, можно установить интересную особенность гармонического осциллятора:

F ⅛, Q) = — TOtJg2CtgQ.

При этом гамильтониан одномерного гармонического осциллятора N2 Kq2

(7)

p,e∕ω t
e∕ω q
q

Рис. 5.1. Зависимость от времени координаты Q (а) И импульса р (6) про­стого гармонического осциллятора с гамильтонианом (8). На рис. В изо­бражена фазовая диаграмма РQ. Соответствующие графики в преобра­зованной системе координат, полученные с использованием производя­щей функции FI(Q,Q) по уравнению (7), представлены на рис. Г, д, е.

С К = Тощ2 преобразуется в новый гамильтониан

К = ωP, (9)

Где новый импульс P = Eω оказывается постоянным, E энер­гия, а новая координата Q линейно зависит от времени

Q Ljt + δ. (Ю)

Этот подход приводит к следующей зависимости исходных коорди­наты и импульса от времени:

Q = (2E∕mω2yl/2 sin(ωi + <5), (11)

Р = (2toS)1/2 Cos(ωt + <5). (12)

Приведенные выражения, безусловно, легче получить, используя элементарные методы. Графики, соответствующие выражениям (9)—(12) на рис. 5.1, иллюстрируют оба способа описания характера движения простого гармонического осциллятора.

4. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ

Уравнение Гамильтона—Якоби получается при использовании про­изводящей функции Fi (Q, P, T) для канонического преобразования в систему, где новый гамильтониан тождественно равен нулю: К = 0. Из (2) видно, что в новой системе производные по времени от коор­динат и импульсов исчезают, т. е. Qi = 0 и Pi = 0, и, следовательно, новые координаты и импульсы являются интегралами движения, которые обозначим соответственно как α⅛ и βi.

PiAi, Qiβι

(13)

Выражение для Pi (6)

∂F2

Qi

(14)

Можно подставить в гамильтониан H.(Qi,Pi,T) (3), что приводит к уравнению Гамильтона—-Якоби

*l’⅛t

Jp

T

= 0,

(15)

Где мы, как принято, записали S* вместо F2 в так называемой глав­ной функции Гамильтона. Если, как это часто бывает, гамильтониан не зависит явно от времени, то можно написать

S*(qi, ai, ty) = S(qi, ai) — Et, (16)

И уравнение Гамильтона—Якоби приобретает не зависящий от вре­мени вид

7∕(,i. g.<)=⅛ (17)

Где S,(¾,cκi) называют характеристической функцией Гамильтона, а постоянная E представляет собой полную энергию системы.

В качестве примера запишем уравнение Гамильтона—Якоби для одномерного гармонического осциллятора (8)

⅛ (Sf) +5w,2 = ∙e — <1«>

Интеграл от главной функции Гамильтона имеет простой вид

S* = (2m)1/2 ʃ[Е — ∣mω2<∕2]e⅛ — Et. (19)

Из этого выражения мы можем получить соответственно форму­лы (11) и (12), характеризующие зависимость от времени исходных координаты Q и импульса Р (см. Goldstein, 1980, р. 443-444).

5. СЛУЧАЙ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ

Периодические движения можно рассмотреть с использованием производящей функции F2(Q,P). В этом случае преобразованный импульс P обычно называется действием J и определяется инте­гралом

По замкнутой области фазового пространства. Этот интеграл пред­ставляет собой площадь, ограниченную кривыми Q, Р в двумерном фазовом пространстве, и постоянен во времени. Он имеет размер­ность момента импульса. Переменная Q, сопряженная J, называет­ся угловой переменной и обозначается W,

Q

Q = W = —F2(Q,P). (21)

Гамильтониан TZ(Jr) зависит только от J, так что уравнение Гамиль­тона имеет вид

W = Atz(J) = P(J), (22)

Где р — частота, зависящая только от J, и уравнение (22) имеет непосредственное решение

W = PZ + β, (23)

Где β фазовая постоянная.

Можно показать, что угловая переменная W изменяется на еди­ницу

W = 1 = рт (24)

За время т, являющееся периодом изменения Q, а это означает, что р= 1/т — величина, обратная периоду. Преимущество этого метода состоит в том, что он дает частоту периодического движения без необходимости решения проблемы.

Примером целесообразного подхода, основанного на использо­вании переменных действие—угол, является случай одномерного гармонического осциллятора, гамильтониан которого (8) можно за­писать в виде

Переменную действия J

J = (2m)1/2

e mω
2
2q2dq(26)

(27)Можно определить непосредственно интегрированием, что дает 2πE

?

ω

jω
2л
∂h _ ω ∂j 2π⅛(⅛mιz2(28)
(29)
Так что

В результате получаем

Q = (Jπmω)1/2 sin2πw, (30)

Р = (mJω∕7r)1/2 cos2πw. (31)

В соответствии с формулами (23) и (28) полученные результаты согласуются с ранее известными из формул (11) и (12) с δ = 2πβ.

6. СКОБКИ ПУАССОНА

Еще один из используемых в механике методов основан на скоб­ках Пуассона. Скобки Пуассона двух функций U,V и сопряженных канонических переменных Qi,Pi определяются как

. . _ ди ∂υ Ди Bv

U, V ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

(32)

Легко показать, что

[Qi,qj} = [Pi,Pj} = 0,

(33)

[?ЦРу] = — [Рг, ¾] = &ij-

(34)

Уравнение движения для случая функции /, записанное с помощью скобок Пуассона, имеет вид

(35)

Где H гамильтониан. В частности, для координаты Х

υx =x = [x, H}.

(36)

Скобки Пуассона являются классическим аналогом коммутаторов

В квантовой механике.

Можно показать, что для моментов импульса Li

[Li, Lj} = εijkL∣c,

(37)

[Pi, Lj] = Pk,

(38)

Где безразмерные коэффициенты Леви—Чивита ɛŋ* равны нулю, если любые два индекса совпадают; +1 — для случая циклической перестановки индексов Ijk и —1 — для случая нециклической пе­рестановки. Таким образом, например

£123 = £231 = +1,

£213 = £i32 = —1, (39)

£цз = £232 = 0.

Коэффициенты Леви—Чивита также называют перестановочными коэффициентами, тензором перестановок или изотропным тензором третьего ранга.

ГЛАВА6

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *