Интегралы от тригонометрических функций

Интегралы вида ʃ В (sin Х; cos х)Dx.

При нахождении интегралов от тригонометрических функций применяются следующие подстановки:

F = sin х; T = cos Х; T = Tg х.

Кроме того, существует так называемая Универсальная х

Тригонометрическая замена i = ⅛> у, которая приводит к рациональной функции от T всегда, поскольку sin х =

2T LT2 2Dt

—2 ; cos х = 5 ! х = 2 arctg f; Dx ==

2 , и тогда

L + fz’ 1 + f

ʃ R (sin х; cos X)dx = 2 ʃ J?

Интегралы вида ʃsinm х ∙ cos" х ∙ Dx, т, п — рациональ­ные числа.

2T 1-f

L + f2 ’ l + f2

Dt

Замены вида T = sin Х или T = cos Х сводят данный ин­теграл к ранее рассмотренному интегралу

Л-1

Ftm(LT2)~R Dx.

В частности, если Т или П нечетное целое число, то эффективны подстановки

T = cos χ∙,t = sin Х.

Если Тип- положительны и четны, то можно исполь — 1 — cos

Зовать формулы понижения степени: sιnz Х = —————- ——- ;

Ct

O 1 + cos COSz X = .

2

Интегралы вида ʃ sin Ах ∙ cos βx Dx.

Эти интегралы легко прйводятся к табличным после следующих преобразований:

1

Sin Ах ■ Cos βx = — (sin (α + β)x + sin (а — β)x);

Л

Sin Ах , sin βx = ɪ (cos (а — β)x — cos (а + β)x);

Ct

Cos ах ∙ cos βx = ½ (cos (а + β)x + cos (а — β)x)∙

Интегралы вида ʃ ɛɑ* ∙ cos βx ∙ Dx; ʃ Xneax cos βx ∙ Dx, Пе N.

В результате повторного интегрирования по частям, получаем

I = ʃ Eax ∙ cos βx ∙ Dx =

Eax(β ∙ sin βx + a ∙ cos βx) a2

“ —fl, откуда

Eax (β ∙ sin βx + a ∙ cos βx)

J= _____ + C.

Интеграл ʃ Xneax ∙ cos βx ∙ Dx в результате zi-кратного интегрирования по частям сводится к интегралу ʃ Eax cos βx ∙ Dx, рассмотренному ранее.

Замечание. При интегрировании тригонометрических выражений помимо стандартных подстановок существен­ную роль играют формулы, связывающие различные три­гонометрические функции. К числу таких важнейших формул относятся следующие:

1

Sin2 Х + cos2 Х = 1; 1 + tg2 Х =———- 5— ; 1 + ctg2 Х =

Cos Х

1

. 9 »

Sin X

1 — cos 2x л 1 + cos 2х

Sin2 х = ——- —— ; cos2 х =——————- ;

Ct Ct

1 — cos 2х tgx"T+∞i2x =

2tg∣ l-tg2∣ 2tg∣

= ——— — ; cos x =———— — ; tg x =——— —

ι + Tg2 1 + ⅛2F 1"⅛2

1

COS У ≈ — (sin (x + Y) + sin (x — y));

1

Sin У = — (cos (x — Y) — cos (x + ⅛r));

1

Cos У = — (cos (x + Y) + cos (x — Y));

= 2 sin x ∙ cos x;

= cos2x — sin2x =1-2 sin2x = 2 cos2x — 1.

Пример 9. Найти интегралы: a) Jsin3 x ∙ cos2 x Dx;

(1 — cos x)

E)ʃ Vl + sin X Dx,, ж) ʃ ^x Решение.

A) ʃ sin3 x ■ cos2 x Dx = — J Sin2 x ∙ cos2 x d(cos x) = ≈- J (1 — cos2 x) ∙ cos2 x d(cos x) — Jcos x = f ∣ =

5 3

=-f(l-i2)∙i2∙^= f(f4-f2)<fc — + =

* • пл

COS5 X COS3 X

-i∫(r4-r2)dt = -∣t-3+∣r1+c-

L,3xl, x = ctg — + —ctg— + С;

6 2 2 2 ’ г) ∫ cos6 х ∙ Dx.

Преобразуем выражение cos6 х, используя формулы понижения степени:

8

— ,——

16

_ JL

_7_

1

1

Cos 2х +

Cos 4х +

— cos 2х +

— cos Qx ≈

— 16 +

16

16

32

32

5

15

3

1

Cos 2х +

Cos 4х +

—— COS 6х.

16

32

16

32

L+3cos2x + ∣(l + costo) + Cos2x.(1+eos4x)

Следовательно,

Cos6 Х Dx = [ — Dx + f — cos 2XDx +
J 16 J 32

ɪ

16

15 sin2x 32 2

+ f ɪ cos 4x ∙dx + f — cos Qx dx = χ +

J 16 J 32

3 sin4x 1 sin6x Л 5 15 .

+ ———- — + ———— — + C = х + — sin 2х +

16 4 32 6 16 64

3 . t 1 . z,

Sin 4x + ——: sin 6x + С.

64 192

Д) Применим универсальную замену:

Dx 4 — sin х

, х. Tg2=T Х = 2 Arctg T

Dx =

Dt

-J

2dt

Sinx =

2t

(1 + И

2t

L + f2

-J

2dt

ι + e
dt

2(2t-1 + 2) i 2t-t + 2

ɪf 2 J

Dt

T2 —t + 1

= If-

2 J ,

\2

15

16

Arctg

= 2 √15 √15 +C =

√1^5

Arctg

( х ʌ
4tg∣-l

√15

+ с.

Е) ʃ Vl + sin Х Dx= ʃ ^sin + cos Dx =

χ χ f f χ χ

Если sin — + cos — ≥ O, то ʃ == sin — + cos —

2 2 J(k 2 2

X X

— -2cos — + 2sin — + C.

X X pf χ ɪʌ

Если sm— + cos— ≤ O, to I =≈ — Sin — + cos— Dx =≈

2 2 2 2)

X X

= 2 cos — — 2 sin — + C.

2 2

Ж) ʃ ‘ sin 2x ∙ cos 3x ■ dx= ɪ ʃ ex (sin 5x — sin x) dx

= ɪ f ex ∙ sin 5x ∙ dx — ɪ f ex ∙ sin x ∙ dx = ɪ ʃ. — ɪ ∕2.

2J 2J 2 l 2

Интегрируя по частям, получаем

Du =Exdx

sin 5xdx υ = — cos 5x 5

== — — ex ∙ cos 5x + „ 5 5

Cos 5x Dx =

И — ex du = exdx

Dυ = cos 5xdx υ = ɪ sin 5x 5

_ _ ex . cθs 5χ

5

ɪ Ex ∙ sin 5x — — f Ex ∙ sin 5x ∙ Dx ; 5 δJ J’

I1 =Ex ∙ cos 5x + ‘ cos 5χ ~ ʃr

О Л м л м

25 ( 1 c 1 ‘

Следовательно, I1 = 2θ ~ cos + 25 Sln

— cos 5х + — sin 5х 26 26

Ex + C1.

Аналогично,

= ∫ex∙si

Sin х ∙ Dx =

U = ex du=exdx

Do =sinxdx υ = — cosx

Ex +C1 =

= — ex ∙ cos х + е ∙ cos х ■ Dx =

И = ex du = exdx

Dυ = cos Xdx υ = sin х

ʃ ex ∙ sin х ∙ dx;

I2 = — ex ∙ cos Х + ex ` sin x — I2.

= — ex ∙ cos X + ex ‘ sin x

Следовательно, I2 = — ex(sin x — cos x) + C2. Окончательно получаем

P. si

Sin 2x ∙ cos 3x ∙ Dx =

(sin x — cos x)ex + C.

Ответ: a)

Cos5 X cos3 x

— cos 5x + — sin 5x 52 52

I1

+ C; 6) 2ln

1 + sin x

1 — sin x

+ C;

1 . 4 x 1 , x

VctgVrtgI+C;

5 15 3 1

Г) 16 X + 64 Sin 2X + 64 Sin 4X + 192 Sin 6X + Ci

Д)

Arctg

I x ʌ
4tg—l

√il

+ C;

V X . X X ^

Е)-2cos — +2sιn — + С, если sin — + cos— ≥0;

2 2 2 2

XX XX

2 cos — — 2sin — + С, если sin — + cos — < O; Z & Δ Δ

Ж)

5 κ 1 . κ

— cos 5x + — sin Ox 52 52 4

ɪ sin X + — cos X I Ex + C.

Задания для самостоятельного решения

(χD3

3∙h

5∙∫

X

9 + 2х:

Dx

2(9 + x2) Dx

Dx

Sin2 х ∙ cos2 х

R.∫Vσ + 3√

Dx

2

4

6

8

. f⅛⅛eij,

ʃ ctg2xdx

G-dx

4-5x

Dx х ∙ Inx

9J

• eigxdx

10.

F Dx

COS2 X

J √7-3×2

11.

Г dx

12.

F Dx

’ 5 + 2х2

J Зх2 — 4

13.

Г dx

14.

Г cos х ∙ sin х

Vδx2 +1

* 1 + sin4 ,

15.

|* dx

16.

Е 2х-3

J Vx +3

> X2 + 4x +1

17.J

Г Dx

18.

F Dx

Л/4 — Зх — X2

I ex(l + e-x)

19.

ʃ E2x ∙ cos х Dx

20.

∣" In х Dx

21. I

ArctgVx Dx

22.

Г Л7 л

Dx

23. ∫

C х“ 25∙J7∑Ξ

X3 — Qx2 + 8x +1

J n. C2х + 4х + 4 ,

N dx 24. —————- -— Dx

X2 — Qx + 8 J X3 + 2х2

X2 +2

З Dx

X3 + xi — х + 1

26. ∫

28. ∫J∣ΞΞ⅛

J V 1 + Х х

X4 -1 Dx

Dx

(X-I) ɪɛ +х — 1

27∙li√w^

Dx

+ л/х +2YX 31. ʃ Vx3 + X4 Dx

•Г

ʃA

Sin X 36. ʃ ex ∙ sin2 х Dx Ответы:

1. ln∣x∣+ ——+ —5- +С; 2. х+ ^~∣∙λ∕x^ + ^∙Tx2^ + С; х 2х2 Зх3 5 2

11 х

3.—— + — arctg — + С; 4. — х — ctg х + С;

Х 3 3

2ft∫

30. ʃ X2 ∙ Tx2 -3x + l Dx
Dx

32.

Х Yfl

33. I cos х ∙ cos 2x ∙ cos Зх ∙ Dx dx

35./

Dx

2 sin х — cos х + 5

5. -2ctg 2x + С;

Ln∣4 — 5х|

6.—— !—— -+С;

7 ɪ (1 + Зх) V(l + Зх)2 + С; 8. In Jln х| + С;

5

1 ТЗх

10. л? arcsin -~Rr~ + C ;

9. Etgx + С;

ɪ Т2х 11. -7= arctg’

TlO

√5

+ С; 12. ~ ■ In 12

Г~ агент г-

ТЗ √7

ТЗх — 2

ТЗх + 2

+ С;

13. -‰ ∙ In
Тб

X + Jx2 + ɪ

+ С; 14. — arctg (sin2 х) + С; Л

Lδ.2y[x -6 In (Vx + 3) + C;

16. In |х2 + 4х + 1|

2√3

In

Х + 2 — Vi

+ С;

Х + 2 + Vi 18. — ln(l + E~X) + С;

. 2х + 3 ,

17. arcsιn———— 1- С;

5

19. —— (sin х + 2 cos х) + С; 20. х ∙ Inx — х + С; 5

21. х ∙ arctg Vx — Vx + arctg Vx + С;

Х4

22.3∙ VT ∙T*÷C; 23. γ + jln

24. In

26. -1п|

— + C; 25. InJx-1∣-

(x2+l)

Х-1

Х +1

27∙lin’^+2>-⅛

J2-I

+ С;

28. In

+ С;

3 1

Х-1 2(Xιγ

■+с;

/

. х 2-х arctg~τ= + —-—7- + С;

Vi 4(х2 + 2) Viarctg2’2+1

+ С, где T = ¾

1-х

V7777ι Vi π+χ,

29. 2 Vx — 3’Vx — 8’Vx + βVx + 481Vx + 31n(l + 1Vx) +

— ln(Vx — 1Vx + 2) — arctg —

171 , 2-1Vx

VF

1 + С;

Ол 25 , . δVδ ,3 45 , o 205 „

30. —— sh4s +—— sh Г + —Sh2s———- Г + С,

512 8 64 128

Где ch2 = -7=

4 х— .

√5 V 2 J

31-i.∕(

X + X2J,-

3 v’

1

<t-lλ

32. — In

±_L + —

6

T + lJ 1

Где T = Vl+ x6 ;

8

In

Ti + t + 1

Arctg •

EVi

+ с,

Х sin 2x sin 4x sin 6х
33∙4+- + Tβ- + -^-+c=

36. (5 Cos 2x 2 sin 2x) + С. 10

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *