Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Двойные интегралы

Рассматривается произвольная ограниченная Квадрируемая область P. На этом множестве определена функция Z = F(X; У). Область P раз­бита на конечное число подобластей P1; P2; … ; Pn, таких что они попар­но не пересекаются, а их объедине­ние есть P. В каждой подобласти Pi, I = 1; … ; П выбирается произ­вольным образом точка Mi(Xi; Yl), После чего вычисляется значение

σ= ɪ F(xi’,yi)’Si, I=l

Где S1; S2; … ; Sn — площади подобластей P1; P2; … ; Pn, называется Интегральной суммой функции Z F(X; У).

Обозначим λ — наибольший из диаметров подобластей Pi (под диаметром области понимается наибольшее рассто­яние между точками этой области).

Определение 1. Если существует конечный предел ин­тегральной суммы σ при λ→0 (n→∞), то этот предел назы­вается двойным интегралом от функции F(X; У) по облас­ти P и обозначается

∫∫ F(X; У) Dx Dy, Р

При этом сама функция называется интегрируемой на об­ласти Р.

Свойства двойного интеграла

1. Если функция F(X; У) непрерывна в области Р, то ода интегрируема на этой области.

2. Если значения функции /(х; У), интегрируемой на области P, произвольно изменить на некоторой подобла­сти P, площадь которой равна 0, сохранив при этом ее ограниченность, то величина двойного интеграла по обла­сти P сохраняется.

3. Если P = P1 и P2; P1 п P2 = 0, то

ʃʃ F(χ> У) Dx Dy = ʃʃ F{X; у) Dx Dy + ʃʃ F{X; у) Dx Dy.

P Pi P2

4. Если функция F(X; у) интегрируема на области Pt то функция KF(X; у) (K const, K 0) также интегрируема на области P, и при этом

TfkF(χTY) =K∙ ^F(X∙,Y). р P

5. Если функция F1(X; у) и F2(X; у) интегрируемы на об­ласти P , то функции Fl(X; у) ± F2(X; у), также интегриру­емы на области Pt и при этом

ʃʃ(/ɪ(ɪ; У) I Fz(X‘>Y))Dx Dy = ∫∫∕,1(x;^) Dx Dy ±

P P

± fff2(×iy)dx dy. р

6. Если функции F1(X; у) и F2(X; у) интегрируемы на об­ласти P и всюду в P F1(X; у) F2(X; у), то

∫∫А (*; У) Dx Dy ∫∫ ∕2(x; У) Dx Dy.

P P

7. Если функция F(X; у) интегрируема на области Pt то функция F(X; у)\ также интегрируема на области Pt и при этом

ʃʃ F(X> У) Dx Dy < ∫∫∣∕,(x^)∣ Dx Dy.

P P

Теорема о среднем значении

Если функция F(X; у) непрерывна на области Pt то су­ществует такая точка (A; B)E Pt что

∫∫ f(χ’, У) Dx dy = f(at b) ∙ Spt р

Где Sp площадь области Р.

Сведение двойных интегралов к повторным

Теорема 1. Пусть P плоская область, ограниченная графиками непрерывных функций G(X) и H(X)T таких что G(X) ≤ H(X)T х ∈ [а; Ь], и, быть может, отрезками прямых X = аи X = Ь. Если функция Дх; У) непрерывна в области Pt то

F(X)

Аналогичным образом осуществляется интегрирова­ла)

Ние выражений вида F(X; у) Dx .

Е(у)

Пример 1. Вычислить двойные интегралы по прямоуголь­ным областям интегрирования Р.

А) ff-^-ytf*c⅛Gθ≤x≤l, O≤ι,≤l;

7 1 + |Г

Б) ʃʃ X2 У cos(xy2^x Dy ; О X ^,0≤^≤2. Р

Решение.

А) Применяя формулу теоремы 1, получаем:

Б) JJXCos(Xy2)Dxdy = J Dx^XCos (Xy2^Dy =

= ∣x2ydy = ~d(y2) = ^d(xy2)l

2 2

J dxj — ∙ cos (xy2 )∙ D {xy2 ) =

( (

У=2У

Sin(xι∕2J

О

Ii

¾

Cx

J 2

Dx

-∣iχ∙

Sin 4x ∙ dx

U = X

Dυ = sin 4xdx υ =

Х cos

1f’

+ ɪj cos 4χ dx О 4

π 1 . . — + — sin 16 32

π

16

π π

Ответ: а) —; б) — —

Пример 2. Записать двойной интеграл повторный, если

А) P — параллелограмм со сторона­ми Х = 1; Х = 7;

X-ι∕ + 5 = 0jx-ι∕ = 0;

Б) P — треугольник с вершинами 0(0; O); A(2; 1); В(3; -2);

В) P — внутренность эллипса

ʃʃ F(X; у) Dx Dy как Р

Г) P — круговое кольцо 1 ≤ X2 + Y2 ≤ 4.

Решение.

А) При решении задач подобного типа целесообразно изобразить плос­кую область P графически.

Из уравнения стороны BC

Х — у + 5 = О
У
= Х + 5.

Получаем

Из уравнения стороны AD

χYO

Получаем У = х.

Следовательно,

7 ж+5

ʃʃ F(X; У) Dxdy = JdxF(X; у) Dy.

P 1 Х

Если изменить порядок интегрирования, то область P Необходимо рассматривать как объединение трех облас­тей: треугольников ABE, FCD и параллелограмма BFDE. Это связано с тем, что нельзя записать одним уравнени­ем границу ABC и границу ADC.

Из уравнения стороны BC получаем Х = у — 5.

Из уравнения стороны AD получаем Х = у.

ʃʃ F(X‘, У) Dx Dy = ∫∫ F{X; Y} Dx Dy +

P ABE

+ JJf(X;Y)Dxdy + JJf(X;Y)Dx Dy,

BFDE FCD

∫∫ Кх‘, У) Dxdy = р

11 6 У-5

Б) Находим уравнения пря­

Мых OA, OB, АВ, на которых расположены стороны треуголь­ника. Воспользуемся уравнени­ем прямой, проходящей через две заданные точки:

X YYl

X2 — *ι Y2~

В результате очевидных пре­

Образований получаем следую­щие уравнения

1

Прямая OA: У — — х или х = 2у,

Прямая OB: у = ~~х или Х = у:

О Δ

1 7

Прямая АВ: у = — Зх + 7 или х = ~~У + т •

3 3

Поскольку верхняя граница области P состоит из от­резков двух прямых, задаваемых различными уравнени­ями, то область P необходимо разбить на треугольники OAC и CAB.

ʃʃ F(χ у)Dx Dy = ʃʃ /(*; У) Dx DY + ʃʃ ‰ У)Dx Dy:

P OAC OAB

ʃʃ F(X> у) Dxdy = Jdx ʃ F{X‘, у) Dy + J Dx J ∕,(x; У) Dy.

Если изменить порядок интегрирования, то область P придется рассматривать как совокупность треугольников OAD и ODB:

17 17

0 3 ɪ 3tf+3

Fff(X;Y)Dxdy = Fdy Ff(χ∙,Y)Dx+Fdy Jf(X;Y)Dx.

Р -2 ɜ о

2

X2 у2

В) Уравнение — + ɪ = 1 задает эллипс с центром в начале координат, фокусы которого расположены на оси

Следовательно,

Fff(X‘,Y)Dx Dy = Fdx Ff(X;Y)Dy,

^f(x’,y)dx dy = ^dy ^f(χ∙,y)dx

Г) Кольцо 1 < хг + У2 < 4 об­разовано двумя концентричес­кими окружностями с центром в начале координат и имеющи­ми радиусы 1 и 2. Вертикаль­ные касательные BL и DF, про-

Разбивают кольцо на области ABL; MBCDNR; MLKFNS;

EDF.

Дуги АВ; BD; DE задаются уравнением У = V4 — х2 ;

Дуги AL; LF; FE задаются уравнением У = — V4 — х2 ;

Дуга MRN задается уравнением У = ʌ/l — х2 ;

Дуга MSN задается уравнением У = — Vl — х2 .

Таким образом,

-1 Y4-X2

ʃʃ F(X‘,Y) Dx Dy == ʃ Dx [F(X‘,Y)Dy

1fi. Яяк. R

При изменении порядка интегрирования получаем аналогичное выражение формальной заменой Х на У и У HSl Х (за исключением выражения функции F(X; у)).

7 х+5 6 У

Ответ: a) J dx J /(х; У) Dy = ʃ dxj F(X; у) Dx +

Ix 11

1 3

1 Х[25] 3 2 *+2

В) ∫ dx∫ ∕^(x; у) dy + ∫ dx ∫ /(х; у) dy

OO 10

Решение.

А) По пределам интегрирования повторного интеграла восстановим область интегрирования Р.

Границы искомой области задают­ся следующими уравнениями: х = 0; х = 2; У = х; У = 2х.

Таким образом, P треугольник OAB С вершинами 0(0; 0); А(2; 4); В(2; 2). При изменении порядка интегрирова­ния разобьем область P на треуголь­ники OCB и CAB:

2 2 У

Fdxj f(x; y)dy = fdyj f(x; у) dx +

Ox Ol

4 2

+∫ dy ∫ Дх; У) Dx.

1fi*

1 3

2) X= 1; х = 3; У = 0; у = -~х +

После изменения порядка интегрирования получаем 1 з

1 X2 3 ~2*+2 1 -2ι∕+3

Б) ʃ dx ʃ F(X; у) Dy ; в) ∫ DyF(X; у) Dx. о X2 о Jt

Пример 4. Вычислить интегралы

А) ʃʃ (х2 + У) Dxdyi P область, ограниченная парабо — Р

Лами У = X2 и У2 = х;

Б) ʃʃ cos(x + У) Dxdy, P область, ограниченная прямы — Р

Ми х = 0; г/ = π; г/ = х.

Решение.

A) ʃʃ (х2 + У) Dxdy ~ Р

1 J~X

= ∫ dx ʃ (х2 + у) dy =

У=х

, ɪRf I 1 з?

Dx = Jl X2 +-X—X

ɪ __ 2 1 3 33 о ‘ 7 + 4 10 “ 140 ’

Б) ʃʃ cos(x + Y} Dxdy = р

П п

= ʃ dxj cos(x + Y)Dy =

О Х

Я W —

Л JZ-π

= J sin(x + Y} Dx =

О у=х

П

=ʃ (sin(x + π) — sin2x) Dx =

О П

= ʃ (- sin х — sin 2x) Dx =

1 1 13

+ ~ cos 2π) — (cos О + — cos O) = -1 + — — — = -2.

Δ А 2 2

33

Ответ: а) ——; б) -2.

140

Замена переменных в двойных интегралах

Теорема 2. Пусть непрерывно дифференцируемые фун­кции х = x(zz; υ); У = у(и; и) осуществляют однозначное отображение ограниченной и замкнутой области P в плос­кости Oxy на область P в окрестности Ouv. Если якобиан

Дх

Дх

Ди

∂v

Ду

<⅛

Ди

∂v

Д(х, у) Э(ц, υ)

Сохраняет постоянный знак в Р, за исключением, быть может, множества нулевой площади, то справедлива фор­мула

В случае перехода к полярным координатам Г и φ: х = Г cos φ; У = г sin φ , получаем

JJ∕,(xjy) Dx Dy = JJ∕(rcosφjrsinφ)∙ r∙ Dr dφ. Р P,

В частности, если P — криволинейный сегмент, то

P A r1(φ)

Как и в случае однократного

Интеграла, замена переменных в двойном интеграле может су­щественно упростить его вы­числение. При этом введение новых переменных может пре­следовать разные цели: или уп­ростить вид подынтегральной функции, или упростить вид области интегрирования.

Пример 5. Перейти к полярным координатам и расста­вить пределы интегрирования в двойном интеграле

Р

А) P — круг X2 + Y2R2;

Б) P — область, ограниченная линиями Х2 + у2 = 4х; X2 + у2 = 8х; у = х; у = 2х;

В) P — треугольник, ограниченный прямыми Х = 0; У = 0; У = 1-х.

Решение.

А) Переходя к полярной системе координат Х ≈ г cos φ; У = г sin φ, получаем следующее уравнение ок­ружности X2 + Y2R2; R = R.

Очевидно, что 0 ≤ φ < 2π, поэто­му ʃʃ F(X; у) Dx Dy =

Р

О о

Б) Преобразуем исходные выражения х2 + У2 = 4х и X2 + у2 = 8х к каноническому виду:

X2 + у2 — 4х = 0; (х — 2)2 + У2 = 4;

X2 + У2 — 8х = 0; (х — 4)2 + У2 = 16.

Следовательно, область P Ограничена окружностью, имеющей радиус 2, с центром в точке (2; 0); окружностью, имеющей радиус 4, с центром в точке (4; 0), а также прямы­ми У = х; у = 2х.

Фигура ABCD ограничена

π ɪ n

Лучами φ = — и φ = arctg 2.

В полярной системе коор­динат уравнение дуги AD име­ет вид r2 cos2 φ + R2 sin2 φ =

= 4r cos φ, Г = 4cos φ .

Аналогично, уравнение дуги BCz r2 cos2 φ + r2 sin2 φ = 8r cos φ, Г = 8cos φ . Таким образом,

Arctg 2 8cosφ

F(x;y)dx dy = ∫⅜ ∫∕,(rcosφjrsinφ)

Р Jt 4cosφ

4

В) В полярной системе координат прямая У = 1 — Х имеет вид

1 1

Г sιnφ = 1 — Г cos φ; Г =

Следовательно, с; У) Dx Dy =

= Jdφ ʃ F(R cosφ; rsinφ) ∙ Г Dr.

О о

R

Ответ: a) ʃdφj∕j(rcosφ; rsinφ) • Г Dr; О о

Arctg 2 8cosφ

Б) ʃ c∕φ ʃ/(rcosφ; rsinφ) ∙ Г Dr;

Jt 4cosφ 4

π ɪ

Sin φ+cos φ

Dφ ʃ F(R cos φ; Г sin φ) ∙ Г Dr. О о

Пример 6. Перейдя к полярным координатам, вычислить

^2 Dx Dy; где P область, огра-

Ниченная окружностью X2 + У2 = Л2, О < R < 1, и распо-
ложенная в первой координатной четверти.

Решение.

Очевидно, что О < φ ≤p∕2 ,

О < г < R, следовательно,

LX2Z∕2

Z 9^ Dx Dy =
L + X2+Z∕2 Y

Интеграл

Ff /ɪɪ*2-..-

ζMl + X2 +,

1-г2

О о

Г Dr.

. 1 + R2

Рассмотрим неопределенный интеграл

Г dr

,if ∕ΞΞ

2∏l + r

Dr2 = R2 ≈ t1=

-if 4∑LΛ≈if.

2j √l-(2

Dt

2∙l√iT

(2

-if 2 J

Tdt

√Γ-i

= — arcsin T + 2

1 £—- 2 1 „1/7

4— vɪ — T = — arcsin r2 + — vɪ

2 2 2 Следовательно, .

π

= —(arcsin R2 + Vl — R4 ll.

Ответ:

Тройные интегралы

Рассматриваются произвольная ограниченная замкну­тая Кубируемая область P и функция W = F(X; у; г), опре­деленная на этой области. Область P разбита на конечное число подобластей Pl, I = 1; … ; п, которые попарно не пересекаются, и их объединение равно P. В каждой под­области Pi выбирается произвольная точка Mi(xi; z∕i; ai) и вычисляется значение функции в этой точке u>(Λfi) = = /(xi; z∕i; Zl). Выражение вида

П

σ=∑F(Xi‘,Yi‘,Zi)∙Vi,

I=l

Где Vl; V2; … ; Vn объемы подобластей P1; P2;… ; Pn, на­зывается интегральной суммой функции W = F(X; у; г).

Обозначим λ — наибольший из диаметров подобластей Р • р • • р

Определение 2. Если существует конечный предел ин­тегральной суммы σ при λ → O (n → ∞), то этот предел на­зывается Тройным интегралом от функции F(X; у; г) по области P и обозначается

Dx Dydz, Р

При этом сама функция называется интегрируемой на об­ласти Р.

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Сведение тройных интегралов к повторным

Теорема 3. Пусть P — трехмерная область, ограничен­ная поверхностями

Х = χ1; х = X2 (χ1 < X2); у = Y1(χ); у = Y2(X) (Y1(X) < Y2(X)); г = Z1(X; у); Z = Z2(X; у) (Z1(X; у) Z2(X; у)),

Где X1, X2 — const; Y1(X), Y2(X), Z1(X; у), Z2(X; у) — непрерыв­ные функции.

Если функция F(X; у; г) непрерывна на области Р, то Х2 У2<-ХУ г2(х;у)

ʃʃʃF(χ; У’’Z)Dx Dy Dz = Jdx Jdy Jf(X;Y;Z)Dz.

P X1 Y1{X} 21(Xi{∕)

На практике полезна также следующая формула X2

JJJf(X‘,Y,Z)Dxdydz = ʃ Dx ʃʃ F(X;Y;Z)Dy Dz,

P X1 S(X)

Где S(X) — сечение области P плоскостью, перпендикуляр­ной оси Ох: х = const.

Замена переменных в тройных интегралах

Теорема 4. Пусть непрерывно дифференцируемые функции

Х = X(U; о; S); у = Y(U; о; s) ; Z = г(и; о; s) осуществляют однозначное отображение ограниченной и замкнутой области P пространства Oxyz на область P п ю- странства Ouvs.

Если якобиан

1. В случае Цилиндрической системы координат φ, г, H:

∂(χ∙,Y,Z)

Х = г cos φ; г/ = г sin φ; 2 = Л; = П

JJJ/(x;i/;2) Dx Dy Dz = JJJ∕(rcosφjrsinφj⅛)∙ Г Dr ∙ dφ ∙ Dh.

P P’

2. В случае Сферической системы координат φ, ψ, Г: х = Г cos φ cos ψ ; У = г sin φ sin ψ ; Z = г sin ψ;

∂(χ∙,Y,Z)

^Zr, — = Rz ` cos φ.

∂(φjψjr) ψ

ʃʃʃ F(X‘> у, Z) Dx Dy Dz = р

=JJJZ(rcosφ sinψ; rsinφ cosψ; rsinψ) ∙ cos ψ ∙ Dr.

Пример 7. Вычислить тройные интегралы:

A) Fffχy2Z3 Dx Dy Dz, где область P ограничена повер — Р

Хностями Г = ху; у = х; х = 1; Z = 0; Dxdydz

P (1 + X + Y + Z) Хностями Х + у + Z = 1; Х = 0; У = O; Z = 0. Решение.

А) Как и в случае двойных интегралов, вычисление трой­ных интегралов требует пони­мания структуры области ин­тегрирования. В данном случае область P определяется следую­щими неравенствами:

0 ≤ х ≤ 1; 0 Y ≤ х; 0 <Z≤ ху, Поэтому

— ʃʃʃ

P

1 X Ху

= ∫ dx∫ DyXy2Z3 Dz =

Б) Уравнение X+ Y+ Z = 1 оп­ределяет плоскость, которая пе­ресекает оси координат в точках A(l; O; O); B(0; 1; 0); С(0; 0; 1). Следовательно, P треугольная пирамида OABC.

Предельные значения пере­менной х: X = Oh X = 1.

Если зафиксировать значение Х, то предельные значения пере­менной У: у = O Pi у = 1 — х.

При фиксированных значениях Х и У переменная Z Имеет предельные значения Z = Ohz = I — Х — у.

Переходим к повторному интегралу

(х-1)2 llf 1. 1

——- — + — ln(x + 1)—— х

16 2 4

Omβem,∙a) Ajj6)iln2-A

Пример 8. а) Перейти к сферическим координатам в интег­рале ʃʃʃF^YX2 + Y2 + 22 Dx Dy Dz, где область P ограни­чена поверхностями z = х2 + У2; х = у; х = 1; У = O; z = 0; б) перейти к цилиндрическим координатам и вычис­лить интеграл ʃʃʃ(x2 + Y2 )c∕x Dy Dz, где область P ограни-

Р

Чена поверхностями x2 + Y2 ≈ 2z; z = 2.

Решение.

А) Область P ограничена криволинейной трапецией ABCD; криволинейными треугольниками ABO и OCD; Треугольником AOD и частью поверхности параболоида вращения BOC.

В сферических координатах х = Г cos ψ cos φ;

У = г cos ψ sin <р;

Г = г sin ψ; Jx2 + Y2 + Z2 = г.

Переменная φ изменяется от φ = О до

ZAOD =

Переменная ψ изменяется от
ψ = О до значения ZNOM, кото-
рое зависит от величины φ.

Из треугольника AOM: AM =

1

= tgφ, OM = ~, следователь-

Cos Cp

Но, точка M имеет координаты M(l; tgφ; 0).
Точка N находится на поверхности
Z = X2 + у2, поэтому

Z=l + tg2φ = —,
cos φ

Т. е. N

1; tgφ;

Cos2 φ

Из треугольника N0M’. Ig(ZNOM) =

Ta­

NM

Ким образом, диапазон значений переменной ψ: /

О ≤ ψ < arctg

Cos φ

Cos φ

Переменная Г изменяется от значения OS до значения ОТ. Точка S находится на поверхности Z = х2 + у2, урав­нение которой в сферических координатах:

Г sin φ = r2 cos2 ψ cos2 φ + r2 cos2 ψ sin2 φ;

O9 Sin ψ

R sin ψ = rz cos2 ψ; R = ———— —,

Cos2 ψ

Следовательно, OS =

Sin ψ
cos2 ψ

Из треугольника OMT OM

OT =

Cos(ZTOM)

, OT =

Cos φ ∙ cos ψ

Таким образом, переменная Г изменяется в диапазоне

Sin ψ „ 1

—— — ≤ г ≤———- •

COS2 ψ cosφ∙cosψ

Итак,

ɪ arctg∣ ɪ I——————- ——

T

L cosφ J cosy∙cosφ dφ J dψ ʃ F(r} Ra ∙ cos ψ ∙ Dr.

P OO Siny

COS2 у

Б) Очевидно, что область P симметрична относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz. Подынтегральная функция четна по каждой из переменных Х и У. Вычис­ление исходного интеграла сводится к его вычислению в первом октанте (х > 0; У 0; Г > 0).

Рассмотрим сечение области P плоскостью Oyz. По­скольку уравнение Г = ⅜ (х2 + у2) определяет параболоид

Вращения, то все сечения, проходящие через ось Oz, оди­наковы.

В цилиндрической системе координат Х = г cos φ; У = г sinφ; Z = H.

„ zʌ π

Если Ограничиться первым октантом, то O < φ < —.

Переменная H меняется от 0 до 2. Переменная Г меняется от 0 до значения OE, которое определяется величиной Л. В цилиндрических координатах уравнение параболоида:

Следовательно, OE = —J2H . Таким образом, O ≤ Г < λ∕2Λ^

1 X~3 2 l-√4x-x2-3

^Dx^F(χ∙,Y)Dy +^Dx ^F(χ∙,Y)Dy

Л Л 1 П

8. ʃʃ+ У) Dx Dy, P область, ограниченная кривыми Р

У2 = 2х; Х + у = 4; х + у = 12.

2

9. ʃʃ —— с/х Dy, P область, ограниченная прямыми

Х = 2; У = х и гиперболой Ху = 1.

Перейти к полярным координатам, расставить преде­лы интегрирования:

10. ʃʃ F(X", у) Dx Dy; P кольцо: Rf <X2 + Y2 Rf. Р

11. JJ∕(x; У) Dx Dy; P область, ограниченная кривыми Р

Y≈x2 ,y=l.

12. Перейти к полярным координатам, вычислить интег­рал ʃʃsin д/х2 + Y2 Dx Dy, где P — кольцо: π2 ≤ x2 + Y2 ≤ 4π2.

Р

Вычислить тройные интегралы

13. JJJxι∕2 Dx Dy Dz, τp,E P область, ограниченная по-

Р

Верхностями x2 + Y2 + Z2 = 1; х = 0; У = 0; г = 0.

14. ʃʃʃʒ/ɪ2 + !/2 Dx Dy Dzf где P область, ограниченная

Р

Поверхностями x2 + Y2 = Z2; г 1.

Переходя к сферическим и цилиндрическим координа­там, вычислить

15. f f f Dxdydz , р _ ɪɪɪɑp + Y2 + Z2 < ɪ.

! Jx2 + u2+(z-2)2

Ответы:

Ix 11

1. ʃ Dxj F(χ∙, Y)Dy = J Dyj F(X; у) Dx;

2 2 V4 1 /у-У2

2. Jdx J F(χ‘^)Dy = Jdy Jf(χTY)Dx;

0 -777

О 2y∣l+y

3. In —; 4. 2; 5. fdy ∫ f(x; y)dx+Jdy ∫ f(x;y) dx;

-1 -2y[T+y О ~2-Jl + y

G-JdyJ f(x; у) Dx7. JdyF(χ— у) Dx ;

О Ev

∏2π ∙¾

Q f f

8. 543 —; 9. — ; 10. I c∕φ I Г F(R cos φ; г sin φ)Dr; О R1

1 π 2π 12.-6π2; 13. — ;14.-;15. у,

3√10 +1п-Д………………….. -ɪ…… -√2 -8

√10 -3

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *