III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

3.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

□ Закон Кулона

F = 1 I QI I N21

4πε0 R 2

Где F сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2 в вакууме; R расстояние между зарядами; ε0 — электрическая постоянная, равная 8,85 ∙ 10-i2 Φ / м.

□ Напряженность и потенциал электростатического поля

E = F/Q0; φ = П/QO или φ = A/Q0,

Где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q0 , помещенный в данную точку поля; П — потенциальная энергия заряда QO ; A∞ — работа перемещения заряда из данной точки поля за его пределы.

□ Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда

E = ^Q-; φ 1 ,

4πε0 R2 4πε 0 R

□ Поток вектора напряженности через площадку

DΦ E = EdS = EndS

Где dS = dSN — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью N К площадке; En составляющая вектора E По направлению нормали к площадке.

□ Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S

ΦE = ∫EDS = ∫ ENDS.
SS

□ Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

E = ∑ E; φ = ∑φ<,

I=1 I=1

Где EI , φI — соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом.

□ Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

E =-gradφ или E = — f— I + ∙dφ J + ∙dφ K 1,

∂x ∂y ∂z )

Где I, J, K — единичные векторы координатных осей.

□ В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

E = — ≤φ.

DR

□ Электрический момент диполя (дипольный момент)

P = Q ι,

Где I — плечо диполя.

□ Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов т. е. соответственно заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.

dq dq. =dq
σ ds ’ р dv ’
dl

□ Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

1 N 1

ΦE = JEDS = JEDS——- ∑QI — JpdV ,

S S ε0 I=1 ε0 V

Где ε0 — электрическая постоянная; ∑Qi алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри

I=1

Замкнутой поверхности S ; N — число зарядов; ρ — объемная плотность зарядов.

□ Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью

E = σ∕(2εo)

□ Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями

E = σ∕εo

□ Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R C Общим зарядом Q на расстоянии R от центра сферы

E = 0 при R < R (внутри сферы);

E = -∏-Q при R R (вне сферы.

4 πε 0 R 2

□ Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии R от центра шара

E = Q при R R (внутри шара);

4πε0 R3

E = -∏-Q при R R (вне шара).

4 πε0 R 2

□ Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии R от оси цилиндра,

E = 0 при R < R ( внутри цилиндра);

E = — при R R (вне цилиндра).

4 πε0 R

□ Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

EDL = ∫ EiDl = 0,

LL

Где Ei проекция вектора Е На направление элементарного перемещения dL. Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.

□ Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2

22

A12 = Q0 (φ1 — φ2 ) , или A12 = Q0 EDL = Q0 ∫ ELDL,

11

Где EL проекция вектора Е На направление элементарного перемещения dL.

□ Поляризованность

P = ∑ PdV,

I

Где V объем диэлектрика; Р; — дипольный момент I-й молекулы.

□ Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля

P = χε0E .

Где χ — диэлектрическая восприимчивость вещества.

□ Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической восприимчивостью χ:

ε = l + χ .

□ Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью E0 внешнего поля

E = E0 — pε0, или E = E0/ε.

□ Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля

D = ε0εE .

□ Связь между D, E И P

D = ε0E + P .

□ Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

ΦD =∫ DDS = ∫ DNDS = ∑ QI,

S S l =L

Где ∑ Qi алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных

L=L

Электрических зарядов; DN составляющая вектора D По направлению нормали к площадке вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью N К площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.

□ Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

E = σ /0ε),

Где σ — поверхностная плотность зарядов.

□ Электроемкость уединенного проводника

C = Q / Р,

Где Q заряд, сообщенный проводнику; φ — потенциал проводника.

□ Емкость плоского конденсатора

C = ε0εS / d ,

Где S — площадь каждой пластины конденсатора; D расстояние между пластинами.

□ емкость цилиндрического конденсатора

C Ik&QzI

Ln(R2 / Г)

Где L — длина обкладок конденсатора; R1, R2 радиусы полых коаксиальных цилиндров.

c = 4πε0ε,r1r2
r2 - г

□ Емкость сферического конденсатора где R1 и R2 — радиусы концентрических сфер.

□ Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении

NN

— = ∑ ɪ и C = ∑ Ci,

I

C I=- CI I=-

Где Ci — емкость I-го конденсатора; N число конденсаторов.

cφ2 = qφ = qi 2 2 2c `
w=

Энергия уединенного заряженного проводника

□ Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

N

W = — ∑ QIΨI,

2 I=-

Где φI — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме I-го.

□ Энергия заряженного конденсатора

w== C(∆φ)2 = Q∆φ = Q2 2 2 2C

Где Q — заряд конденсатора; C — его емкость; ∆φ — разность потенциалов между обкладками.

□ Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

P∣ = Q2 = σ2S = ^e 2s

2εoεS 2εoε 2

□ Энергия электростатического поля плоского конденсатора

W = sd = &0&SU = ^O^E У

~ 2 ~ 2 ~ 2 ,

Где S — площадь одной пластины; U разность потенциалов между пластинами; V = Sd объем конденсатора.

□ объемная плотность энергии
w=,ε0εe2
2
ed,
2,
где d — электрическое смещение.

3.2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

□ Сила и плотность электрического тока

I = dQ; J = L DT ’ j S

Где S — площадь поперечного сечения проводника.

□ Плотность тока в проводнике

J = Ne( V),

Где (V) скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; N — концентрация зарядов.

□ Электродвижущая сила, действующая в цепи,

E = A / Q0 или E = ∫ EσrdL,

Где Q0 единичный положительный заряд; A работа сторонних сил; ECt — напряженность поля

Сторонних сил.

□ Сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость G проводника и удельная электрическая проводимость γ вещества проводника

R = ρl/S; G = 1/R; γ = 1/р,

Где ρ — удельное электрическое сопротивление; S — площадь поперечного сечения проводника; L — его длина.

□ Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении где Ri — сопротивление I-го проводника; N — число проводников.

r = ∑ ri i=1 -∑,i =1 ri

□ Зависимость удельного сопротивления р от температуры

ρ = ρ0(1+ αT),

Где α — температурный коэффициент сопротивления.

□ Закон Ома:

♦ для однородного участка цепи

I = U /R;

♦ для неоднородного участка цепи

I = (φι — φ- + EI2 )/ R ;

♦ для замкнутой цепи

I = E /R,

Где U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); (φ1 — φ2 )— разность потенциалов на концах участка цепи; E12 — э. д. с. источников тока, входящих в участок; E — э. д. с. всех источников тока цепи.

□ Закон Ома в дифференциальной форме

J = γE,

Где E — напряженность электростатического поля.

□ Работа тока за время T

2 U 2

A = IUt = 12Rt = —t.

R

□ Мощность тока

2 U2

P = IU = 12R = —.

R

□ Закон Джоуля-Ленца

Q = I2Rt = IUt,

Где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время T .

□ Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

W = JE = γE2,

Где W — удельная тепловая мощность тока.

□ Правило Кирхгофа

IK = 0; ∑IIRI = ∑EK. K i k

3.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, В ВАКУУМЕ И ГАЗАХ

□ контактная разность потенциалов на границе двух металлов 1 и 2
a1 - a2 kt n
,Ψl (1'.',•+ — in—ц
n2
,e e n2
где al , a2 — работы выходов свободных электронов из металлов; nl , n2 — концентрации свободных электронов в металлах.
□ термоэлектродвижущая сила
e = k (Γ1 - t2) n÷,
k — постоянная больцмана;

Где (TL —T2) разность температур спаев.

□ Формула Ричардсона-Дешмана

J = CT2EA/(KT) ,

/Нас Ci e ,

Где /Нас — плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии; C постоянная, теоретически

Одинаковая для всех металлов; A работа выхода электрона из металла.

3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

□ Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

M = [PMB],

Где B — магнитная индукция; PM — магнитный момент контура с током:

PM = ISN ,

Где S — площадь контура с током; N — единичный вектор нормали к поверхности контура.

□ Связь магнитной индукции B И напряженности H Магнитного поля

B = μoμH,

Где μ0 — магнитная постоянная; μ — магнитная проницаемость среды.

□ Закон Био-Савара-Лапласа

DB =μoμ ⅛rj,

R 2

Где dB — магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dL Проводника с током I ; R — радиус-вектор, проведенный от dL К точке, в которой определяется магнитная индукция.

□ Модуль вектора dB

DB = μIDl sin α R2 ’

Где α — угол между векторами dL И R .

□ Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей

B = ∑BI,
I

Где B — магнитная индукция результирующего поля; BI — магнитные индукции складываемых полей.

□ Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током где R расстояние от оси проводника.

μoμ 2/ 4π r ’
b=

□ Магнитная индукция в центре кругового проводника с током B = μoμ -2R ,

Где R радиус кривизны проводника.

□ Закон Ампера

DF = I[dI , B],

Где dF — сила, действующая на элемент длины dL Проводника с током I , помещенный в магнитное поле с индукцией В.

□ Модуль силы Ампера

DF = IBl sin α ,

Где α — угол между векторами dL И В.

□ Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I2

DF = μ0μ 212Dl,

R

Где R расстояние между проводниками; dL — отрезок проводника.

B = μoμ θ[Vr]

R3 ’

Где R радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

□ Модуль магнитной индукции

N μ0μ Qv .

B = wrκ sin α,

R2

Где α — угол между векторами V И R.

□ Сила Лоренца

F = Q [V B],

Где F — сила, действующая на заряд Q , движущийся в магнитном поле со скоростью V.

□ Формула Лоренца

F = QE +Q[V, B],

Где F — результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q , если на него действует электрическое поле напряженностью Е И магнитное поле индукцией В.

□ Холловская поперечная разность потенциалов где В магнитная индукция; I — сила тока; D толщина пластинки; R = 1/(En) — постоянная Холла (П концентрация электронов).

∆φ = r,ib d ’

□ Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)

BDL = ∫ BIDl = μo ∑ IK ,

L L K=1

Где μ0 — магнитная постоянная; dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; Bi = BCosα — составляющая вектора В В направлении касательной контура L произвольной

Формы (с учетом выбранного направления обхода); угол между векторами В И dL ; ∑Ik

K=1

Алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

□ Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,

B = μ0NI /l,

Где L — длина соленоида.

□ Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)

□ Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS

B = BDS = BNDS ,

Где dS = dSN — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью П к площадке; BN — проекция вектора В На направление нормали к площадке.

□ Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S

ΦB = ∫BDS = ∫BNDS.

SS

□ Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида)

φ N

φ = μoμ-pS,

Где μ — магнитная проницаемость среды.

□ Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

DA = IDΦ ,

Где dΦ — магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

□ Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

DA = IDΦ’,

Где dΦ’ — изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

3.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

□ Закон Фарадея

E = I = Dt

Где Ei — э. д. с. индукции.

□ Э. д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B ,

Ei = BSωsinωT,

Где ω T мгновенное значение угла между вектором В И вектором нормали N К плоскости рамки.

□ Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,

Φ = LI .

□ Э. д.с. самоиндукции

Es = —L DI,

S dT

Где L — индуктивность контура.

□ Индуктивность соленоида (тороида)

N2S

L = μoμ-^~,

Где N число витков соленоида; L — его длина.

□ Токи при размыкании и при замыкании цепи

I = IeTτ; I = IO 1 — E1τ),

Где τ = L / R время релаксации ( L индуктивность; R сопротивление).

□ Э. д.с. взаимной индукции (э. д.с., индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре)

DI

12

Где L12 взаимная индуктивность контуров.

□ Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2, намотанных на общий тороидальный сердечник,

T=T= ВД „

L12 = L21 = μ0μ———- 1—- ^,

Где μ0 — магнитная проницаемость сердечника; I длина сердечника по средней линии; S площадь сердечника.

□ Коэффициент трансформации

N2 = E2 = 11 NI “ Eι~ I2,

Где N, E, I — соответственно число витков, э. д.с. и сила тока в обмотках трансформатора.

□ Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,

W = LI2 / 2.

□ Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида

B2 μ0μH2 BH

W =——— = ———- =—- .

2μ0μ 2 2

3.6. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

□ Связь орбитального магнитного PM и орбитального механического LE моментов электрона

PM = —GLE = Q LE ,

2M

Где G = E /(2M) гиромагнитное отношение орбитальных моментов.

□ Намагниченность

J = PM /V = ∑PA /V ,

Где PM = ∑ PA — магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул.

□ Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля

J = χH,

Где χ — магнитная восприимчивость вещества.

□ Связь между векторами B, H, J

B = μo (H + J),

Где μ0 — магнитная постоянная.

□ Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества

μ = 1+χ.

□ Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)

BDL = ∫ BlDl = μ0 (l + I‘),

LL

Где dL — вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; BL — составляющая вектора В В направлении касательной контура L произвольной формы; I и I‘ — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром.

□ Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

HDL = I,

L

Где I — алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L.

3.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

□ Плотность тока смещения

См

D

, , — электрическое смещение; εo— — плотность тока смещения в вакууме; — — плотность тока

Поляризации.

□ Полная система уравнений Максвелла:

в интегральной форме

EDL = -∫-dS ; ∫DDS = ∫ρdV ;

LS Д SV

HDL = ∫∣J + ∂DU ;

в дифференциальной форме

Rot E = — ; div D = ρ ;

ðt,

Д D

Rot H = J + —; div B = 0 ,

J əT ’ ’

Где D = ε0εE; B = μ0μH; J = γE (ε0 и μ0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; (ε и μ — диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ — удельная проводимость вещества).

IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ И
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

□ Уравнение гармонических колебаний

S = A Cos (ω0t + φ),

Где S — смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А амплитуда колебаний; ω

0 = 2T = 2πν — круговая (циклическая) частота; ν = 1/T частота; Т — период колебаний; φ0 — начальная фаза.

□ Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,

DS

DT

= —Aω0 sin (ω0T + φ)= Aω0 cos

ωoT + φ + 2

D2S

D2

= —Aω0 cos(ω0T + φ)= -ω02S .

□ Кинетическая энергия колеблющейся точки массой M

Mv2 MA2 ω20 2

T = — =——— Sin2 (Ot + φ).

□ потенциальная энергия
ma 2 ω 02 2,0cos2 (ω0t + φ)
∏=

Олная энергия

E = MA2 = 2 ‘

□ Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой Т

Mx&& = —Kx, или X&& + ω02X = 0 ,

Где K коэффициент упругости (K = ω20M).

□ Период колебаний пружинного маятника

T = 2π

Где M — масса пружинного маятника; K — жесткость пружины. □ Период колебаний физического маятника

T = 2π^ J /(mgl) = 2πy L / $

Где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; L — расстояние между точкой

Подвеса и центром масс маятника; L = J/(Ml) — приведенная длина физического маятника; G — ускорение свободного падения.

□ Период колебаний математического маятника

T = 2π

Где L — длина маятника.

□ Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью контура С,

T = 2∏4LC.

□ Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:

(&& + -LcQ = 0; Q = QM cos (ω01 +φ),

Где QM — амплитуда колебаний заряда; ω0 = У Jlc — собственная частота контура.

□ Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(φ2 — φ1 ),

Где A1 и A2 —амплитуды складываемых колебаний; φ1 и φ2 — их начальные фазы.

□ Начальная фаза результирующего колебания

A1 sin φ1 + A2 sin φ2

Tgφ = —Г—-—г—~.

A1 cos φ1 + A2cos φ2

□ Период биений

Т = 2πω.

□ Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,

x 2 xy y 2
■ + —— cos φ + ʌ = sin2 φ .

22 X 2 Xy

A ^^AB , B2

Где А и В амплитуды складываемых колебаний; φ — разность фаз обоих колебаний.

□ Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:

d2s,dd + 2δ — + ω,0s = 0; s = a0e δt cos (ωt + φ),,dt,dt

Где S — колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; δ — коэффициент затухания ( δ = R/(2M) в случае механических колебаний и δ = R/(2L) в случае электромагнитных колебаний); ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ω = 7ω0 — δ2 — частота затухающих колебаний; A0e-δT — амплитуда затухающих колебаний.

□ декремент затухания
a (t) = eδt
a ( + t) '

Где A(T) и A(T + T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

□ Логарифмический декремент затухания

a(t)
a(t +t)
1,
n,
= δt = ■
Θ = ln

Где τ =1∕δ — время релаксации; N число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

□ Добротность колебательной системы

ω0 .
2δ
о=Θ
d2s
dt2
+ 0δ — + ω0s = x0 cos ωt; s = a cos (ω t - φ),dt

Где s — колеблющаяся величина, описывающая физический процесс (X0 = F0 / M в случае механических колебаний, X0 =UM / L в случае электромагнитных колебаний);

2δω
φ = arctg—2 2 ■
ω 02 - ω 2
a=,x0 ;
j(v0 - ω2) + 4δ2ω2
,□ резонансная частота и резонансная амплитуда
x0
2δ√ωg -δ2
= y∣ω20 - 2δ2 ;
ap
рез

□ Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U =UM cosω T,

Z = , R2 + ω L-JC =y R R + (Rc + ,

Где Rl = ωL реактивное индуктивное сопротивление; RC = 1∕(ωC) — реактивное емкостное сопротивление.

□ Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

ω L — 1 /(ωC)

Tg φ =——— ÷2L

R

□ Действующие (эффективные) значения тока и напряжения

I = IMJ2; U = UM/42,

□ Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

LpI = 1IUMcos φ ,

Где

Cos φ =

R2 +1 ωL — ɪ

ωC

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *