Гипербола

Определение 5. Гиперболой называется множество то­чек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых Фокусами,
Есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое урав­нение гиперболы в декартовой прямоугольной системе

2 2 X у

Координат имеет вид ———— % = 1, B2 = с2 — А2.

А Ь

Расстояние между фокусами равно 2с (с > а).

F1(c; О), F2(-c; 0) — Фокусы гиперболы, F1F2 = 2с. Величины А и Ь — полуоси гиперболы.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы,

Ось Ox называется Действительной осью, ось Oy — мнимой осью гиперболы, 0(0; 0) — центр симметрии гиперболы.

Точки A1(A-, O), A2{-A,, 0) являются вершинами гипер­болы.

Прямые У = ± — х являются Асимптотами гиперболы. А

С B2

~ = + “у (<? > 1) является Эксцентрисите-

-1 называется Сопряженной с

Пример 18. Написать каноническое уравнение гипербо­лы, нроходящей через точку M (8 J⅛ ; 12), если фокаль­ное расстояние гиперболы равно 20.

Решение.

По условию 2с = 20, или С = 10. Запишем каноничес­кое уравнение гиперболы:

2 2 X у

~2 TF = ɪ*

А B

По условию точка M(8 ʌ/ð ; 12) принадлежит гипербо — 320 144

Ле, следовательно, <r TF-= 1.

А B

Второе уравнение для определения α2 и B2 дает соотно­шение B2 = с2 — A2 = 100 — А2.

А Ь“ относитель — B2 — 100 — А2

Но А2 и B2 (а > 0, B > 0), найдем A2 = 64, B2 = 36. Искомым X2 У2

Уравнением будет уравнение — — — = 1.

Пример 19. Доказать, что уравнение 21×2 — 43y2 = 903 является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

Решение.

Разделив обе части уравнения на 903, получим:

Это уравнение гиперболы, для которой A2 = 43, B2 = 21. Из соотношения c2 = A2 + B2 находим с2 = 64 и с = 8 (с > 0). Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках JF,1(8; 0) и F2(-8; 0).

Ответ: F1(8; 0) и F2(-8; 0).

Пример 20. Составить каноническое уравнение гипербо­лы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26,

13

А эксцентриситет равен —.

Решение.

13 С

По условию 2с = 26 и е = — = — . Следовательно, боль — 12 А

12 (12^ (2бА

Шая полуось гиперболы А = —с = — • — = 12. По

13 ^13 J 2 J

Формуле с[7] — α2 = о2 находим малую полуось гиперболы B = Vc2 — α2 = √132 — 122 = 5. Уравнение гиперболы име­

144 25

Пример 21. Гипербола, оси которой совпадают с осями ко-

Найти ее каноническое уравнение.

Решение.

Напишем каноническое уравнение гиперболы

А

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек ∕ Γ7λ

1 42 (-2)2

1 И -2"^-T2-= 1»

А Ъ

Или

16

2 ɪ H 2 I 2 ɪ’ А Ъ

Отсюда находим А2 = 8 и B2 = 4 и подставляем их в ка­ноническое уравнение гиперболы; окончательно получим

Пример 24. Построить гиперболу 16×2 — 9Y2 = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение асимптот.

Решение.

Разделив обе части уравнение на 144, получим:

1) Полуоси гиперболы А = -/9 = 3,6 = —JlQ = 4.

2) Так как С = Va2 + 62 , то с = >/з2 + 4 2 = 5. Фокусы данной гиперболы есть F2(-5; 0) и F1(5; 0).

Ответ: 1) А = 3, 6 = 4; 2) F2(-5; 0), F1(5; 0); 3) Е =

Пример 25. Установить, какие линии определяются сле­дующими уравнениями:

1) У = +1 Vx2 -9 ; 2) У = -3 a∕x2 +1 .

О

Решение.

1) По свойству арифметического корня четной степе­ни У > 0. Возведем данное уравнение в квадрат, получим

4

Y2 = — (х2 — 9), или 9Y2 = 4X2 — 36, 4×2 — 9г/2 = 36. Разделив

Обе части этого уравнения на.36, получим:

2) Очевидно, что в уравнении У = Svx2 +1 , У < 0 для всех хе Л. Возведем данное уравнение в квадрат, получим Y2 = 9(x2 + 1), или Y2 = 9X2 + 9, 9×2 -у2 = -9. Разделим обе

Части этого уравнения на 9, получим

Чили ветвь гиперболы, расположенную в нижней полу-

2 2 У У

Плоскости. Заметим, гиперболы X2 — — = 1 и X2 — — = -1 9 9

Сопряженные.

Ответ: 1) часть гиперболы — — ɪ = 1, расположен­ная в верхней полуплоскости; 2) часть гиперболы

= -1, расположенная в нижнеи полуплоскости.