Определение 5. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых Фокусами,
Есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение гиперболы в декартовой прямоугольной системе
2 2 X у
Координат имеет вид ———— % = 1, B2 = с2 — А2.
А Ь
Расстояние между фокусами равно 2с (с > а).
F1(c; О), F2(-c; 0) — Фокусы гиперболы, F1F2 = 2с. Величины А и Ь — полуоси гиперболы.
Оси координат являются осями симметрии гиперболы,
Ось Ox называется Действительной осью, ось Oy — мнимой осью гиперболы, 0(0; 0) — центр симметрии гиперболы.
Точки A1(A-, O), A2{-A,, 0) являются вершинами гиперболы.
Прямые У = ± — х являются Асимптотами гиперболы. А
С B2
~ = + “у (<? > 1) является Эксцентрисите-
-1 называется Сопряженной с
Пример 18. Написать каноническое уравнение гиперболы, нроходящей через точку M (8 J⅛ ; 12), если фокальное расстояние гиперболы равно 20.
Решение.
По условию 2с = 20, или С = 10. Запишем каноническое уравнение гиперболы:
2 2 X у
~2 TF = ɪ*
А B
По условию точка M(8 ʌ/ð ; 12) принадлежит гипербо — 320 144
Ле, следовательно, <r TF-= 1.
А B
Второе уравнение для определения α2 и B2 дает соотношение B2 = с2 — A2 = 100 — А2.
А Ь“ относитель — B2 — 100 — А2
Но А2 и B2 (а > 0, B > 0), найдем A2 = 64, B2 = 36. Искомым X2 У2
Уравнением будет уравнение — — — = 1.
Пример 19. Доказать, что уравнение 21×2 — 43y2 = 903 является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.
Решение.
Разделив обе части уравнения на 903, получим:
Это уравнение гиперболы, для которой A2 = 43, B2 = 21. Из соотношения c2 = A2 + B2 находим с2 = 64 и с = 8 (с > 0). Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках JF,1(8; 0) и F2(-8; 0).
Ответ: F1(8; 0) и F2(-8; 0).
Пример 20. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26,
13
А эксцентриситет равен —.
Решение.
13 С
По условию 2с = 26 и е = — = — . Следовательно, боль — 12 А
12 (12^ (2бА
Шая полуось гиперболы А = —с = — • — = 12. По
13 ^13 J 2 J
Формуле с[7] — α2 = о2 находим малую полуось гиперболы B = Vc2 — α2 = √132 — 122 = 5. Уравнение гиперболы име
144 25
Пример 21. Гипербола, оси которой совпадают с осями ко-
Найти ее каноническое уравнение.
Решение.
Напишем каноническое уравнение гиперболы
А
Этому уравнению удовлетворяют координаты точек ∕ Γ7λ
1 42 (-2)2
1 И -2"^-T2-= 1»
А Ъ
Или |
16 |
2 ɪ H 2 I 2 ɪ’ А Ъ |
Отсюда находим А2 = 8 и B2 = 4 и подставляем их в каноническое уравнение гиперболы; окончательно получим
Пример 24. Построить гиперболу 16×2 — 9Y2 = 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение асимптот.
Решение.
Разделив обе части уравнение на 144, получим:
1) Полуоси гиперболы А = -/9 = 3,6 = —JlQ = 4.
2) Так как С = Va2 + 62 , то с = >/з2 + 4 2 = 5. Фокусы данной гиперболы есть F2(-5; 0) и F1(5; 0).
Ответ: 1) А = 3, 6 = 4; 2) F2(-5; 0), F1(5; 0); 3) Е =
Пример 25. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) У = +1 Vx2 -9 ; 2) У = -3 a∕x2 +1 .
О
Решение.
1) По свойству арифметического корня четной степени У > 0. Возведем данное уравнение в квадрат, получим
4
Y2 = — (х2 — 9), или 9Y2 = 4X2 — 36, 4×2 — 9г/2 = 36. Разделив
Обе части этого уравнения на.36, получим:
2) Очевидно, что в уравнении У = Svx2 +1 , У < 0 для всех хе Л. Возведем данное уравнение в квадрат, получим Y2 = 9(x2 + 1), или Y2 = 9X2 + 9, 9×2 -у2 = -9. Разделим обе
Части этого уравнения на 9, получим
Чили ветвь гиперболы, расположенную в нижней полу-
2 2 У У
Плоскости. Заметим, гиперболы X2 — — = 1 и X2 — — = -1 9 9
Сопряженные.
Ответ: 1) часть гиперболы — — ɪ = 1, расположенная в верхней полуплоскости; 2) часть гиперболы
= -1, расположенная в нижнеи полуплоскости.