ГЕОМЕТРИЯ ВПОТЬМАХ

На дне трюма

О

Т вольного воздуха полей и моря перенесемся в тесный и темный трюм старинного корабля, где юный герой од­ного из романов Майн-Рида успешно разрешил геометрическую задачу при такой обстановке, при которой, наверное, ни од­ному из моих читателей заниматься математикой не приходи­лось. В романе «Мальчик-моряк» (или «На дне трюма») Майн-Рид повествует о юном любителе морских приключений (рис. 108), который, не имея средств заплатить за проезд, пробрался в трюм незнакомого корабля и здесь неожиданно оказался закупоренным на все время морского перехода. Роясь среди багажа, заполнявшего его темницу, он наткнулся на ящик сухарей и бочку воды. Рассудительный мальчик понимал, что с этим ограниченным запасом еды и питья надо быть воз­можно бережливее, и потому решил разделить его на еже­дневные порции.

Пересчитать сухари было делом нетрудным, но как уста­новить порции воды, не зная ее общего запаса? Вот задача, которая стояла перед юным героем Майн-Рида. Посмотрим, как он справился с нею.

Измерение бочки

рис. 108. юный любитель приключений из романа майн-рида.«Мне необходимо было установить для себя дневную пор­цию воды. Для этого нужно было узнать, сколько ее содер­жится в бочке, и затем раздглпть по порциям.

«К счастью, в деревенской школе учитель сообщил нам на уроках арифметики некоторые начальные сведения из гео­метрии: я имел понятие о кубе, пирамиде, цилин­дре, шаре; знал я также, что бочку можно рассмат­ривать как два усеченных конуса, сложенных своими большими основаниями.

«Чтобы определить вместимость моей бочки, нужно было знать ее вы­соту (или, в сущности, половину этой высоты), затем окружность одного из доньез и окружность срединного сечения, т. е. самой широкой части боч­ки. Зная эти три вели­чины, я мог точно опре­делить, сколько кубиче­ских единиц содержится в бочке.

«Мне оставалось толь­ко измерить эти величи­ны,— но в этом-то и за­ключалась вся трудность.

«Как выполнить это измерение?

«Узн^ь высоту бочки нетрудно: она была передо мною; что же касается окружностей, то я не мог к ним подсту­питься. Я был слишком мал ростом, чтобы достать до верху; кроме того, мешали ящики, стоявшие по сторонам.

«Было еще одно затруднение: у меня не было ни мас­штаба, ни шнурка, которыми можно было бы воспользоваться для измерения; как мог я определять величины, если у меня не было никакой меры? Одлако я решил не отказызаться от своего плана, пока не обдумаю его со всех сторон».

Мерная линейка

(Задача Майн-Рида)

«Размышляя о бочке, с твердым решением ее измерить, я внезапно открыл то, чего мне нехватало. Мне поможет прут такой длины, чтобы он мог пройти насквозь через бочку в са­мом широком ее месте. Если я введу прут в бочку и уткнусь нм в протизоположную стенку, я буду знать длину диаметра. Останется лишь утроить длину прута, чтобы получить длину окружности. Это не строго точно, но вполне достаточно для обиходных измерений. А так как отверстие, которое я раньше проделал в бочке, приходилось в самой широкой ее части, то, введя в него прут, я буду иметь toτ диаметр, который мне нужен.

«Но где найти прут? Это было нетрудно. Я решил вос­пользоваться доской от ящика с сухарями, и тотчас же при­нялся за работу. Правда, доска была длиною всего в 60 См, Бочка же — более чем вдвое шире. Но это не могло составить затруднения, нужно было лишь приготовить три палочки и связать их вместе, чтобы получить прут достаточной длины.

«Разрезав дзску вдоль волокон, я приготовил три хорошо округленных и обглаженных палочки. Чем связать их? Я вос­пользовался шнурками от моих ботинок, имевшими в длину чуть не целый метр. Связав палочки, я получил планку доста­точной длины — около полутора метров.

«Я приступил было к измерению, но наткнулся на новое препятствие. Оказалось невозможным ввести мой прут в боч­ку. помещение было слишком тесно. Нетьзя было и согнуть πpyτ,∙— он наверное сломался бы.

«Вскоре я придумал, как ввести в бочку мой измеритель­ный прут: я разобрал его на части, ввел первую часть и лишь тогда привязал к ее выступающему концу вторую часть; за­тем, протолкнув вторую часть, привязал третью.

«Я направил прут так, чтобы он уперся в противоположную стенку как раз против отверстия, и сделал на нем знак вро­вень с поверхностью бочки. Отняв толщчну стенок, я получил величину, которая необходима была мне для измерений.

«Я вытащил прут тем же порядком, как и ввел его, ста­раясь тщательно замечать те места, где отдельные части были связаны, чтобы потом придать пруту ту же длину, какую он имел в бочке. Небольшая ошибка могла бы в конечном ре­зультате дать значительную погрешность.

«Итак у меня был диаметр нижнего основания усеченного конуса. Теперь нужно найти диаметр дна бочки, которое слу­жило верхним основанием конуса. Я положил прут на бочку, уперся им в противоположную точку края и отметил на ней величину диаметра. На это потребовалось не больше минуты.

«Оставалось только измерить высоту бочки. Надо быто, скажете вы, поместить палку отвесно возле бочки и сделать на ней отметку высоты. Но мое помещение ведь было совершенно темно, и поместив палку отвесно, я не мог видеть, до какого места доходит верхнее дно бочки. Я мог действовать только ощупью: пришлось бы нащупать рукам. и д ю бочки и соответ­ствующее место на палке. Кроме того, палка, вращаясь возле бочки, могла наклониться, и я получил бы неверную величину для высоты.

«Подумав хорошенько, я нашел, как преодолеть это за­труднение. Я связал только две планки, а третью положил на верхнее дно бочки так, чтобы она выдавалась за край его на 30—40 См\ затем я приставил к ней длинный прут так, чтобы он образовал с нею прямой угол и, следовательно, был параллелен высоте бочки. Сделав отметку в том месте бочки, которое больше всего выступало, т. е. посередине, и откинув толщину дна, я получил таким образом половину высоты бочки, или — что то же самое — высоту одного усеченного конуса.

«Теперь у меня были все данные, необходимые для реше­ния задачи».

Что и требовалось выполнить

«Выразить объем бочки в кубических единицах и затем перечислить в галлоны *) представляло простое арифметическое вычисление, с которым нетрудно было справиться. Правда, для вычислений у меня не было письменных принадлежностей, но они были бы и бесполезны, так как я находился в полной темноте. Мне часто приходилось выполнять в уме все четыре арифметические действия без пера и бумаги. Теперь пред­стояло оперировать с не слишком большими числами, и задача меня нисколько не смущала.

«Но я столкнулся с новым затруднением. У меня были три данные: высота и оба основания усеченного конуса; но

Какова численная величина этих данных? Необходимо, прежде чем вычислить, выразить эти величины числами.

«Сначала это препятствие казалось мне непреодолимым, раз у меня нет ии фута, ни метра, никакой измерительной линейки, приходится отказаться от решения задачи.

«Однако я вспомнил, что в π<pτy я измерил свой рост, который оказался равным четырем футам. Как же могло при­годиться мне теперь это сведение? Очень просто: я мог от­ложить четыре фута на моем пруте и взять это за основание при вычислениях.

«Чтобы отметить свой рост, я вытянулся на полу, затем положил на себя прут так, чтобы один его конец касался моих ног, а другой лежал на лбу. Я придерживал прут одной рукой, а свободной отметил на нем место, против которого приходилось темя.

«Дальше—новые затруднения. Прут, равный 4 футам, бес­полезен для измерения, если на нем не отмечены мелкие де­ления— дюймы. Нетрудно как будто разделить 4 фута на 48 частей (дюймов) и нанести эти деления на линейке. В тео­рии это действительно весьма просто; но на практике, да еще в той темноте, в какой я находился, это было не так легко и просто.

«Каким образом найти на пруте середину этих 4 футов? Как разделить каждую половину прута снова пополам, а затем каждый из футов на 12 дюймов, в точности равных друг другу?

«Я начал с того, что приготовил палочку немного длиннее 2 футов. Сравнив ее с прутом, где отмечены были 4 фута, я убедился, что д юйная длина палочки немного больше 4 футов. Укоротив палочку и повторив операцию несколько раз, я на пятый раз достиг того, что двойная длина палочки равнялась ровно 4 футам.

«Это отняло много времени. Но времени у меня было до­статочно: я даже был доволен, что имел чем заполнить его.

«Впрочем, я догадался сократить дальнейшую работу, заменив палочку шнуром, который удобно было складывать пополам. Для этого хорошо пригодились шнурки от моих бо­тинок. Связав их прочным узлом, я принялся за работу—и вскоре мог уже отрезать кусок длиною ровно в 1 фут. До сих п, р приходилось складывать вдвое, — это было легко. Дальше пришлось сложить втрое, что было труднее. Но я с этим справился, и вскоре у меня в руках было три куска

По 4 Дюйма каждый. Оставалось сложить их вдвое, и еще раз вдзое, чтобы получить кусочек длиною в 1 дюйм.

«У меня было теперь то, чего мне нехвдтало, чтобы на­нести на пруте дюймовые деления; аккуратно прикладывая к нему куски моей мерки, я сделал 48 зарубок, означавших дюйму. Тогда в моих руках сказалась разделенная на дюймы линейка, при помощи которой можно было измерить получен ше мною длины. Только теперь мог я довести до конца задачу, которая имела для меня столь важное значение.

«Я немедленно занялся этим вычислением. Измерив оба диаметра, я взял среднее из их длин, затем нашел площадь, соответствующую этому среднему диаметру. Так я получил величину основания цилиндра, равновеликого двойному конусу равной высоты. Умножив результаты на высоту, я определил кубическое содержание искомого объема.

«Разделив число полученных кубических дюймов на 69 (число кубических дюймов в одной кварте) *), я узнал, сколько кварт в моей бочке.

«В ней вмещалось свыше ста галлонов, — точнее, 108».

Поверка расчета

Читатель, сведущий в геометрии, заметит, без сомнения, что способ вычисления объема двух усеченных конусов, при­мененный юным героем Майн-Рида, не вполне точен. Если (рис. 109) обозначим радиус меньших оснований через Г, ра­диус большего—через R, а высоту бочки, т. е. двойную высоту каждого усеченного конуса, через Л, то объем, полу­ченный мальчиком, выразится формулой

π (ɪ/λ=T <Я8 + ‘2 + W

Между тем, поступая по правилам геометрии, т. е. приме­няя формулу объема усеченного конуса, мы получили бы для искомого объема выражение

ɪ(^ + ‘3 + ^)-

1J См. примечание на стр. 170.

172

Оба выражения нетождественны, И легко убедиться, что Второе больше первого на

⅛(tf-r)2.

Знакомые с алгеброй сообразят, что разность -ɪ^(ʃ?—r)a

Есть величина положительная, т. е. способ майн-ридовгкого мальчика дал ему результат преуменьшенный.

Интересно определить, как примерно велико это преумень­шение. Бочки обычно устраиваются так, что наибольшая ши­рина их превышает поперечник дна на j∕6 его, т. е. /?—г==’5 *

рис. 109. поверка расчета юноши.

Принимая, что бочка в романе Майн-Рида была именно такой формы, можем найти разность между полученной и истинной величиной объема усеченных конусов:

hr'i⅛<*→=S(⅞)’

Т. е. около ɪʌ (если считать π = 3). Ошибка равна, мы

Видим, объему цилиндра, радиус основания которого гесть радиус наибольшего сечения бочки, а высота — трехсотая доля ее высоты.

Однако в данном случае желательно небольшое преувели­чение результата, так как объем бочки заведомо больше объема двух вписанных в нее усеченных конусов. Это ясно из рис. 109 (справа), где видно, что при указанном способе обмера бочки отбрасывается часть ее объема, обозначенная буквами А, а, а, а.

Ю ный математик Майн-Рида не сам придумал эту формулу для вычислешя объема бочки; она приводится в некоторых начальных рукозодетвах по геометрии как удобный прием для приближенного определения содержания бочек. Надо заметить, что измерить объем бочки совершенно точно — зада за BvCbMa нелегкая. Над нею рашышлял еще великий Кеплер, оста­вивший в числе своих математических сочинений специальную работу об искусстве измерять бочки. Простое и точное гео­метрическое решение этой задачи не найдено и по настоящее время: существуют лишь выработанные практикой приемы, дающие результат с ббльшим или меньшим приближением. На юге Франции, например, употребляется простая формула

Объем бочки = 3,2 FιRr,

Хорошо оправдывающаяся на опыте.

Интересно рассмотреть также вопрос: почему, собственно, бочкам придается такая неудобная для обмера форма—цилиндра с выпуклыми боками? Не проще ли было бы изготовлять бочки строго цилиндрические? Такие цилиндрические бочки, правда, делаются, но не деревянные, а металлические (для керосина, например). Итак, перед нами

Задача.

Почему деревянные бочки изготовляются с выпуклыми боками? Каково преимущество такой формы?

Решение

Выгода та, что, набивая на бочки обручи, можно надеть их плотно и туго весьма простым приемом: надвиганием их поближе к широкой части. Тогда обруч достаточно сильно стягивает клепки, обеспечивая бочке необходимую прочность.

По той же причине деревянным ведрам, ушатам, чаиач и т. д. придается обычно форма не цилиндра, а усеченного конуса: 3flevb также тугое обхватывание изделия обручами достигается простым надвиганием их на широкую часть (рис. 110).

Здесь уместно будет познакомить читателя с теми сужде­ниями об этом предмете, которые высказал Иоганн Кеплер. В период времени между открытием 2-го и 3-го законов дви­жений планет великий математик уделил внимание вопросу о форме бочек и даже составил на эту тему целое математи-

Ческоз сочинение. Вот как начинается его «Стереометрия бочек»:

«Винным бочкам по требованиям материала, постройки и употребления в удел досталась круглая фигура, родственная конической и цилиндрической. Жидкость, долго содержимая

Рис. 110. Тугое обхватывание бочки обручами до стигается надвиганием их на широкую часть.

В металлических сосудах, портится от ржавчины: стеклянные и глиняные недостаточны по размерам и ненадежны; каменные не подходят для употребления из-за веса,— значит, остается наливать и хранить вина в деревянных. Из одного целого ствола опять-таки нельзя легко приготовить сосуды достаточно вместительные и в нужном количестве, да если и можно, то они трескаются. Поэтому бочки следует строить из многих соединенных друг с другом кускоз дереза. Избегнуть же 175 ~

Вытекания жидкости через щели между отдельными кусками нельзя ни прл помощи какого-нибудь материала, ни каким — нибудь другим способом, кроме сжимания их связками…

«Если бы из деревянных дощечек мокно было сколотить шар, то шарообразные сосуды были бы самыми желательными. Но так как связками доски в шар сжать нельзя, то его место и заступает цилиндр. Но этот цилиндр не может быть вполне празильным, потому что ослабевшие связки тотчас же сдела­лись бы бесполезными и не могли бы быть натянуты сильнее, если бы бочка не имела конической фигуры, несколько сужи­вающейся в обе стороны от пуза ее. Эта фигура удобна и для качения и дчя перевозки в телегах и, состоя из двух подоб­ных друг другу половинок на общем основании, является самой выгодной при покачивании и красивой на взгляд»1).

Ночное странствование Марка Твэна

Находчивость, проявленная майн-рядовским мальчиком в его печальном положении, заслуживает удивления. В полной тем­ноте, в какой он находился, большинство людей не сумели бы даже сколько-нибудь празильно ориентироваться, не говоря уже о том, чтобы выполнять при этом какие-либо измерения и вычисления. C рассказом МаЯщРида поучительно сопоставить комическую историю о бестолковом странствовании в темной комнате гостиницы — приключении, будто бы случившемся со знаменитым соотечественником Майн-Рида, юмористом Марком Твэном. В этом рассказе удачно подмечено, как трудно со­ставить себе в темноте верное представление о расположении предметов даже в обыкновенной комнате, если обстановка мало знакома. Мы приводим далее в сокращенной передаче этот забавный эпизод из «Странствований за границей» Марка Твэна.

«Я проснулся и почувствовал жажду. Мне пришла в голову прекрасная мысль—одеться, выйти в сад и освежиться, вымывшись у фонтана.

ɪ) Не следует думать, что сочинение Кеплера об измерении бочек является математической безделкой, развлечением гения в часы отдыха. Нет, это серьезный труд, в котором впервые вво­дятся в геометрию бесконечно малые величины и начала интеграль­ного исчисления. Винная бочка и хозяйственная задача измерения ее вместимости послужили для него поводом к глубоким и плодо­творным математическим размышлениям. (Русский перевод «Стерео­метрии винных бочек» издан в 1935 г.)

«Я встал потихоньку и стал разыскивать свои вещи. Нашел один носок. Где второй, я не мог себе представить. Остор вкно спустившись на пол, я стал обшаривать кругом, но безуспешно. Стал искать дальше, шаря и загребая. Подвигался все дальше и дальше, но носка не находил и только натыкался на мебель. Когда я ложился спать, кругом было гораздо меньше мебели; теперь же комната была полна ею, особенно стульями, кото­рые оказались повсюду. Не вселились ли сюда еще два се­мейства за это время? Ни одного из этих стульев я в темноте не видел, зато беспрестанно стукался о них головой.

«Наконец, я решил, что могу прожить и без одного носка. Встав, я направился к двери, как я полагал,— но неожиданно увидел свое тусклое изображение в зеркале.

«Ясно, что я заблудился и не имею ни малейшего пред­ставления о том, где нахожусь. Если бы в комнате было одно зеркало, оно помогло бы мне ориентироваться, но их было два, а это так же скверно, как тысяча.

«Я хотел пробраться к двери по стене. Я снова начал свои попытки — и уронил картину. Она была невелика, но натворила шуму, как целая панорама. Гаррис (сосед по комнате, спав­ший на другой кровати) не шевелился, но я чувствовал, что если буду действовать дальше в том же духе, то непременно разбужу его. Попробую другой путь. Найду снова круглый стол — я был около него уже несколько раз — и от него по­стараюсь пробраться к моей кровати; если найду кровать, то найду и графин с водой и тогда, по крайней мере, утолю свою нестерпимую жажду. Лучше всего — ползти на руках и на коленях; этот способ я уже испытал и потому больше доверял ему.

«Наконец, мне удалось набрести на стол — ощутить его головой — с небольшим сравнительно шумом. Тогда я снова встал и побрел, балансируя с протянутыми вперед руками и растопыренными пальцами. Нашел стул. Затем стенку. Дру­гой стул. Затем диван. Свою палку. Еще один диван. Это меня удивило, я прекрасно знал, что в комнате был только один диван. Опять набрел на стол и получил новый удар. Затем наткнулся на новый ряд стульев.

12 занимат. геометрия«Только тогда пришло мне в голову то, что давно должно было притти: стол был круглый, а следовательно, не мог слу­жить точкой отправления при моих странствованиях. Наудачу пошел я в пространство между стульями и диваном,—но очу­тился в области совсем неизвестной, уронив по пути подсвеч — 177

Ник с камина. После подсвечника я уронил лампу, а после лампы со звоном полетел на пол графин.

«Ага,— подумал я,— наконец-то я нашел тебя, голубчика! «— Воры! Грабят! — закричал Гаррис.

«Шум и крики подняли весь дом. Явились со свечами

И фонарями хозяин, гости, прислуга.

«Я оглянулся вокруг. Оказалось, что я стою возле кровати

Гарриса. Только один диван стоял у стены; только один стул стоял так, что на него можно было наткнуться,— я кружил вокруг него, подобно планете, и сталкивался с ним, подобно комете, в течение целой половины ночи.

«Справившись со своим шагомером, я убедился, что сде­лал за ночь 47 миль».

Последнее утверждение преувеличено свыше всякой меры; нельзя в течение нескольких часов пройти пешком 47 миль, но остальные подробности истории довольно правдоподобны и метко характеризуют те комические затруднения, с которыми обычно встречаешься, когда бессистемно, наудачу, странствуешь в темноте по незнакомой комнате. Тем более должны мы оце­нить удивительную методичность и присутствие духа юного героя Майн-Рнда, который не только сумел ориентироваться в полной темноте, но и разрешил при этих условиях нелегкую математическую задачу.

Загадочное кружение

По поводу кружения Твэна в темной комнате интересно отметить одно загадочное явление, которое наблюдается у людей, бродящих с закрытыми глазами; они не могут итти по прямому направлению, а непременно сбиваются в сторону, описывая дугу, воображая, однако, что движутся прямо вперед (рис. 111).

Давно замечено также, что и путешественники, странствую­щие без компаса по пустыне, по степи в метель или в туман­ную погоду,—вообще во всех случаях, когда нет возможности ориентироваться,— сбиваются с прямого пути и блуждают по кругу, по нескольку раз возвращаясь к одному и тому же месту. Радиус круга, описываемого при этом пешеходом,— около 60—100 М; чем быстрее ходьба, тем радиус круга меньше, т, е. тем теснее замыкаемые круги.

fewt>'*r /*4∙ ⅛∙
ju
>≈2i5." 'z4¾s⅛lрис. 111. ходьба с закрытыми гладами.

Производились даже специальные опыты для изучения склонности людей сбиваться с прямого пути на круговой. Вот что сообщает о таких опытах Герой Советского Союза И. Спирин:

«На гладкохМ зеленом аэродроме были выстроены сто буду­щих летчиков. Всем им завязали глаза и предложили итти прямо вперед. Люди пошли… Сперва они шли прямо; потом одни стали забирать впра-

Во, другие — влево, по­степенно начали делать круги, возвращаясь к своим старым следам».

Известен аналогичный опыт в Венеции на пло­щади Марка. Людям за­вязывали глаза, ставили их на одном конце площа­ди, как раз против со­бора, и предлагали до него дойти. Хотя пройти надо было всего только 175 М, все же ни один из испытуемых не дошел до фасада здания (82 М Ширины), а все уклонялись в сторону, описывали дугу и упирались в одну из бо­ковых колоннад (рис. 112).

Кто читал роман Жюля Верна «Приключения ка­питана Гаттераса», тот помнит, вероятно, эпизод о том, как путешествен­ники наткнулись в снежной необитаемой пустыне на чьи-то следы:

«— Это наши следы, друзья мои!—воскликнул доктор.— Мы заблудились в тумане и набрели на свои же собственные следы…».

Классическое описание подобного блуждания по кругу оставил нам Л. Н. Толстой в «Хозяине и работнике»:

«Василий Андреич гнал лошадь туда, где он почему-то предполагал лес и сторожку. Снег слепил ему глаза, а ветер, казалось, хотел остановить его, но он, нагнувшись вперед, не переставая, гнал лошадь.

«Минут пять он ехал, как ему казалось, все прямо, ничего не видя, кроме головы лошади и бело.! пустыни.

«Вдруг перед ним зачернело что-то. Сердце радостно за­билось в нем, и он поехал на это черное, уже видя в нем стены домов деревни. Но черное это было выросший на меже высокий чернобыльник… И почему-то вид этого чернобыльника, мучимого немилосердным ветром, заставил содрогнуться Васи­лия Андреича, и он поспешно стал погонять лошадь, не заме­

Чая того, что, подъезжая к чернобыльнику, он совершенно изменил прежнее направление.

«Опять впереди его зачернело что-то. Это была опять межа, поросшая чернобыльником. Опять так же отчаянно тре­пался сухой бурьян. Подле него шел конный, заносимый ветром след. Василий Андреич остановился, нагнулся, пригляделся: это был лошадиный, слегка занесенный след и не мог быть ничей иной, как его собственный. Он, очевидно, кружился и на небольшом пространстве».

Норвежский физиолог Гульдберг, посвятивший кружению специальное исследование (1896 г.), собрал ряд тщательно проверенных свидетельств о подлинных случаях подобного рода. Приведем два примера.

Трое путников намеревались в снежную ночь покинуть сторожку и выбраться из долины шириною в 4 Км, чтобы достичь своего дома, расположенного в направлении, которое на прилагаемом рисунке отмечено пунктиром (рис. 113). В пути
они незаметно уклонились вправо, по кривой, отмеченной стрелкой. Пройдя некоторое расстояние, они, по расчету вре­меня, полагали, что достигли цели,-—на самом же деле очу­тились у той же сторожки, которую покинули. Отправившись в путь вторично, они уклонились еще сильнее и снова дошли до исходного пункта. То же повторилось в третий и четвертый раз. В отчаянии предприняли они пятую попытку,— но с тем же результатом. После пятого круга они отказались от даль­нейших попыток выбраться из долины

рис. 113. схема блуж-даний трех путников.И дождались утра.

Еще труднее грести на море по прямой линии в темную беззвездную ночь или в густой туман. Отмечен слу­чай,— один из многих подобных,— когда гребцы, решив переплыть в туманную погоду пролив шириною в 4 Км, дважды побывали у противоположного берега, но не достигли его, а бессознательно описали два круга и высадились, на­конец… в месте своего отправления (рис. 114).

То же случается и с животными. Полярные путешествен­ники рассказывают о кругах, которые описывают в снежных пустынях животные, запряженные в сани. Собаки, которых пускают плавать с завязанными глазами, также описывают в воде круги. По кругу же летят и ослепленные птицы. За­травленный зверь, лишившийся от страха способности ориенти­роваться, спасается не по прямой линии, а по спирали.

Зоологи установили, что головастики, крабы, медузы, даже микроскопические амёбы в капле воды — все движутся по кругу.

Чем же объясняется загадочная приверженность человека и животных к кругу, невозможность держаться в темноте прямого направления?

Вопрос сразу утратит в наших глазах окутывающую его мнимую таинственность, если мы его правильно поставим.

Спросим не о том, почему животные движутся по кру­гу, а о том, что им необходимо для движения по прямой линии?

Вспомните, как движется игрушечная заводная тележка. Бывает и так, что тележка катится не по прямой, а свора­чивает в сторону.

В этом движении по дуге никто не увидит ничего зага­дочного; каждый догадается, отчего это происходит: очевидно, правые колеса не равны левым.

Понятно, что и живое существо в том лишь случае может без помощи глаз двигаться в точности пэ прямой линии, если мускулы его празой и левой сторон работают совершенно одинаково. Но в том-то и дело, что симметрия тела человека и животных неполная. У огромного большинства людей и животных мускулы правой стороны тела развиты неодинаково

Рис. 114. Как гребцы пытались переплыть пролив в туманную погоду.

Ч

С мускулами левой. Естественно, что пешеход, все время выносящий правую ногу немного дальше, чем левую, не смо­жет держаться прямой линии; если глаза не помогут ему выправлять его путь, он неизбежно будет забирать влево. Точно так же и гребец, когда он из-за тумана лишен воз­можности ориентироваться, неизбежно будет забирать влево, если его правая рука работает сильнее левой. Это геометри­ческая необходимость.

Представьте себе, например, что, занося левую ногу, человек делает шаг на миллиметр длиннее, чем правой ногой. Тогда, сделав попеременно каждой ногой тысячу шагов, человек опишет левой ногой путь на 1000 Мм, т. е. на целый метр, длиннее, чем правой. На прямых параллельных путях это

Невозможно, зато вполне осуществимо на концентрических окружностях.

Мы можем даже, пользуясь планом описанного выше кру­жения в снежной долине, вычислить, насколько у тех путни­ков левая нога делала более длинный шаг, чем правая (так как путь загибался вправо, то ясно, что более длинные шаги делала именно левая нога). Расстояние между линиями отпе­чатков правой и левой ног при ходьбе (рис. 115) равно примерно 10 См, т. е. 0,1 М. Когда человек опнсызает один полный круг, его правая нога проходит путь 2πR, а левая 2π(^4^θ3)ι гДе R радиус этого круга в метрах. Разность

рис. 115. линии отпечатков правой и левой ног при ходьбе.

2π (/?-{-0,1)— 2тт/? = 2тг0,1, т. е. 0,62 М, ила 620 Мм, Составилась из разницы между длиною левого и правого шагов, повторенной столько раз, сколько сделано было шагов. Из рис. 113 можно вывести, что путники наши описывали круги диаметром примерно 3,5 Км, т. е. длиною около 10 000 М. При средней длине шага 0,7 М на протяжении этого пути было сделано^у^= 14 000 шагов; из них 7000

Правой ногой и столько же левой. Итак, мы узнали, что 7000 «левых» шагов больше 7000 «.правых» шагов на 620 Мм. Отсюда один левый шаг длиннее одного правого на ɪɑðʊ Мм,

Или менее чем на 0,1 Мм. Вот какая ничтожная разница в шагах достаточна, чтобы вызвать столь поражающий результат!

Радиус того круга, который блуждающий описывает, зависит от разности длин «правого» н «левого» шагов. Эту зависимость нетрудно установить. Число шагов, сде­ланных на протяжении одного круга, при длине шага 0,7 М

2ιtj?

Равно —у, где R радиус круга в метрах; из них «левых» шагов

VrI

θ-ɪr О

Gɪ= и столько же «правых». Умножив это число на величину Λ,U>∙
разности X длины шагов, получим разность длин тех концен­трических кругов, которые описаны левой и правой ногами,

Т. е.

τ^^=2π∙0,l или Rx0,14,

Где R и Х в метрах.

По этой простой формуле легко вычислить радиус круга, когда известна разность шагов, и обратно. Например, для участников опыта на площади Марка в Венеции мы ιможем установить наибольшую величину радиуса кругов, описанных ими при ходьба. Действительно, так как ни один не дошел до фасада DE здания (рис. 112), то по «стрелке» √4C=41 М И Хорде ВС, не превышающей 175 М, можно вычислить максимальный радиус дуги АВ. Он определяется из равенства

2/? =,bca
ac
1752
41
750 м,

Откуда R, максимальный радиус, будет около 370 М.

Зная это, мы из полученной раньше формулы /?х=0,14

Определяем наименьшую величину разности длины шагов: 370х—0,14, откуда Х=0,4 Мм.

Итак разница в длине правых и левых шагов у участников опыта не менее 0,4 Мм.

Иногда приходится читать и слышать, что факт кружения при ходьбе вслепую зависит от различия в длине правой и левой ног; так как левая нога у большинства людей длиннее правой, то люди при ходьбе должны неизбежно уклоняться вправо от прямого направления. Такое объяснение основано на геометрической ошибке.-, Важна разная длина шагов, а не ног. Из рис. 116 ясно, что и при наличии разницы в длине ног можно все же делать строго одинаковые шаги, если выносить при ходьбе каждую ногу на одинаковый угол, Т. Е. так шагать, чтобы × g1 = × В. Так как при этом в. егда A1B1=AB и B1C1 = BC, то A1B1C1 = ABC и, следовательно, AC=C1A1. Наоборот, при строго одинаковой длине ног шаги могут быть различной длины, если одна нога дальше выносится при ходьбе, нежели другая.

По сходной причине лодочник, гребущий правой рукой сильнее, чем левой, должен неизбежно увлекать лодку по кругу, загибая в левую сторону. Животные, делающие неоди­наковые шаги правыми или левыми ногами, или птицы, делаю-

Щие неравной силы взмахи правым и левым крылом, также должны двигаться по кругам всякий раз, когда лишены воз­можности контролировать прямолинейное направление зрением. Здесь тоже достаточно весьма незначительной разницы в силе рук, ног или крыльев.

При таком взгляде на дело указанные раньше факты утрачивают свою таинственность и станозятся вполне естест­венными. Удивительно было бы, если бы люди и животные, наоборот, могли выдеоживать прямое направление, не контро-

Рис. 116. Если угол каждого шага один и тот же, то шаги будут строго одинаковыми.

Лируя его глазами. Ведь необходимым условием для этого является строго геометрическая симметрия тела, абсолютно невозможная для произведения живой природы. Малейшее же уклонение от математически совершенной симметрии должно повлечь за собою, как неизбежное следствие, движение по дуге. Чудо не то, чему мы здесь удивляемся, а то, что мы готовы были считать естественным.

Невозможность держаться прямого пути не составляет для человека существенной помехи: компас, дороги, карты спасают его в большинстве случаев от последствий этого недостатка.

Не то у животных, особенно у обитателей пустынь, степей, безграничного морского простора: для них несимметричность тела, заставляющая их описывать круги вместо прямых линий, — важный жизненный фактор. Словно невидимой цепью приковывает он их к месту рождения, лишая возможности
удаляться от него сколько-нибудь значительно. Лез, отважив­шийся уйти подальше в пустыню, неизбежно возвращается обратно. Чайки, покидающие родные скалы для полета в открытое море, не могут не возвращаться к гнезду (тем загадочнее, однако, далекие перелеты птиц, пересекающие по прямому направлению материки и океаны).

рис. 117. правило леонардо да винчи.Измерение голыми руками

Майн-ридовский мальчик мог успешно разрешить свою геометрическую задачу только потому, что незадолго до путешествия измерил свой рост и твердо помнил результаты измерения. Хорошо бы каждому из нас обза­вестись таким «живым метром», чтобы в слу­чае нужды пользоваться нм для измерения. По­лезно также помнить, что у большинства лю­дей расстояние между концами расставленных рук равно росту (рис. 117) — правило, под­меченное гениальным художником и ученым Леонардо да Вин — ч и: оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами» удо­бнее, чем делал это мальчик у Майн-Рида. В среднем высота взрослого человека (славянской расы) около 1,7 М, или 170 См, это легко запомнить. Но полагаться на среднюю величину не следует: каждый должен измерить свой рост и размах своих рук.

Для отмеривания — без масштаба — мелких расстояний сле­дует помнить длину своей «четверти», т. е. расстояние между концами расставленных большого пальца и мизинца (рис. 118). У взрослого мужчины оно составляет около 18 См — примерно 1∕4 аршина (откуда и название «четверть»); но у людей молодых оно меньше и медленно увеличивается с возрастом (до 25 лет).

Далее, дая этой же цели полезно измерить и запомнить дайну своего указательного пальца, считая ее двояко: от основания среднего пальца (рис. 119) и от основания большого.

рис. 118. измерение расстоя ния между концами пальцев.Точно так же долж .о быть известно вам наибольшее рас­стояние между концами указа­тельного и среднего пальцев, — у взрослого около 10 См (рис. 120). Надо, наконец, знать и ширину своих пальцев.

Ширина трех средних пальцев, плотно сжатых, при­мерно 5 См.

Вооруженные всеми этими сведениями, вы сможете довольно удовлетворительно выполнять разнообразные измерения бук­вально голыми руками, даже и в темноте. Пример представлен на рис. 121: здесь измеряется пальцами окружность стакана. Исходя из средних величин, можно сказать, что длина окружно­сти стакана равна 18 —3, т. е. 23 сл*.

Прямой угол в темноте Задача

решение

Возвращаясь еще раз к майн-ридовскому математику, поставим себе задачу: как следовало ему поступить, чтобы надежным образом получить прямой угол? «Я приставил к ней (к выступающей планке) длинный прут так, чтобы он образовал с ней прямой угол», читаем мы в романе. Делая это в темноте, полагаясь только на мускульные ощущения, мы можем ошибиться довольно крупно^ Однако у мальчика в его положении бы­ло средство постро­ить прямой угол го­раздо более надеж­ным приемом. Ка­ким?

Рис. 122. Простейший прямоугольный тре — Надо воспользо — угольник, длины сторон которого — целые ваться теоремой Пи-

Числа. . н

Фагора и построить

Из планок треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиною в 3, в 4 и в 5 каких-либо произвольно выбранных равшх отрезков (рис. 122).

Это старинный египетский способ, которым пользовались в стране пирамид несколько тысячелетий тому назад. Впрочем, еще и в наши дни при строительных работах зачастую при­бегают к тому же приему.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *