ГЕОМЕТРИЯ У РЕКИ Измерить ширину реки

Н

Е переплывая реки, измерить ее ширину — так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дереза, не взбираясь на вершину. Неприступное расстояние измеряют теми же приемами, какими мы измеряли недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется промером другого расстояния, легко поддающегося непосред­ственному измерению.

Из многих способов решения этой задачи рассмотрим несколько наиболее простых.

1) Для первого способа понадобится уже знакомый нам

«прибор» с тремя булавками на вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 25). Пусть требуется определить ширину AB реки (рис. 26), стоя на том берегу, где точка B1 и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки C1 держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы ви­дели, как обе они покрывают точки В и Л. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на про­должения прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок (перпендикулярно к преж-

Нему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D покры­ваемую этими булавками, т. е. лежащую на прямой, перпен*

рис. 25. измерение ширины реки булавочным прибором.

Дикулярной к АС. После этого воткните в точку C веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль

рис. 26. первое положение рис. 27. второе положение булавочного прибора. булавочного прибора.
прямой cd, пока не найдете на ней такую точку e (рис. 27), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой ь — 43 —

Шест точки C1 а булавкой А — точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треуглльника ACE1 В котором угол C прямой, а угол E разен острому углу булавочного прибора, т. е. ɪ прямого. Очевидно, и угол А

Равен ɪ прямого, т. е. AC=CE. Если вы измерите расстоя­ние CE хотя бы шагами, вы узнаете расстояние AC1 а отняз BC1 Которое легко измерить, определите искомую ширину реки.

Рис. 28. Пользуемся признаками равенства треугольников.

Довольно неудобно и трудно держать в руке булавочный прибор неподвижно; лучше поэтому прикрепить эту дощечку к палке с заостренным концом, которую и втыкать отвесно в землю.

2) Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку C на продолжении AB и намечают при помощи була­вочного прибора прямую CD под прямым углом к CA. Но дальше поступают иначе (рис. 28). На прямой CD отме- ‘ ряют равные расстояния CE и ЕЕ произвольной длины и втыкают в точки Eu E вехи. Став затем в точке E с бу­лавочным прибором, намечают направление FG1 перпендику­лярное к ЕС. Теперь, идя вдоль EG1 отыскивают на этой линии такую точку H1 из которой взха E кажется покрыва­ющей точку А. Это будет означать, что точки H9EnA Лежат на одной прямой.

Задача решена: расстояние FH разно расстоянию AC1 от которого достаточно лишь отнять BC1 чтобы узнать, искомую ширину реки (читатель, конечно, сам догадается, почему FH Равно АС).

Рис. 29. Пользуемся признаками подобия треугольников.

Этот способ требует больше места, чем первый; есля местность позволяет осуществить оба приема, полезло про­верить один результат другим.

3) Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой CF не разные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например (рис. 29), отмеряют FE в четыре р2за меньше EC1 а далее поступают попрежнему: по напра­влению FQ1 перпендикулярному к FC1 отыскивают точку H9 Из которой веха E кажется покрывающей тожу А. Но теперь уже FH не равно AC1 а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и EFH здесь не равны, а подобны (имеют равные углы при неразных сторонах). Из подобия треугольников следует пропорция

A C; FH = CE: EF=4; 1.

рис. 30. когда катет равен половине гипотенузы.bc так, чтобы он расположилсярис. 31. схема применения пря-моугольного треугольника с углом в 30°.=^2 ad', следовательно, лс=ул£.

Значит, измерив FH и умножив результат на 4, полу­чим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.

Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.

4) Четвертый способ оснозан на том свойстве прямоугольного треуголь­ника, что если один из его острых углов равен 30°, то противолежащий катет составляет полознну ги­потенузы. Убедиться в правильности этого поло­жения очень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника ABC (рис. 30, слева) разен 30°; докажем, что в таком случае AC = ɪ- АВ. Повернем треугольник ABC вокруг симметрично своему первона­чальному положению (рис. 30, справа), образозав фигу­ру ABD‘, линия ACD пря­мая, потому что оба угла у точки C прямые. В треуголь­нике ABD угол Л = 60°, угол ABD, как составленный из двух углов по 30 ’, тоже равен 60°. Значит, AD =BD Как стороны, лежащие про­тив равных углов. Но AC=

Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булазки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. C Этим прибором мы помещаемся В Точке C (рис. 31) так, чтобы направление AC совпадало С Гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль корот­кого катета этой? треугольника, намечают направление CD И отыскизают на нем такую точку Et чтобы направление EA Было перпендикулярно к CD (это выполняется при помощи того же булзво того прибора). Легко сообразить, что расстояние CE катет, лежаций против угла 30э,— равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, по­лучим искомую ширину AB реки.

Вот четыре легко выполнимых приема, при помощи которых всегда возможно, ие переправляясь на другой берег, измерить ширину рек ɪ со вполне удовлетворительной точностью. Спо­собов, требующих употребления более сложных приборов (хотя бы и самодельных), мы здесь рассматривать не будем.

При помощи козырька

Вот как этот способ пригодился старшему сержанту Куприя­нову во фронтовой обстановке[II]). Его отделению было прика­зано измерить ширину реки, через которую предстояло орга­низовать переправу…

Подобравшись к кустарнику вблизи реки, отделение Куприя­нова залегло, а сам Куприянов вместе с солдатом Карповым выдвинулся ближе к реке, откуда был хорошо виден занятый фашистами берег. В таких условиях измерять ширину реки нужно было на-глаз.

— Ну-ка, Карпов, сколько? — спросил Куприянов.

— По-моему, не больше 100—110 л,— ответил Карпов. Куприянов был согласен со своим разведчиком, но для контроля решил измерить ширину реки при помощи «ко­зырька».

Способ ЭТОТ СОСТОИТ в CjvVΛuCΛ. Надо стать Mra,OM К реке и надвинуть фуражку на глаза так, чтобы нижний обрез козырька точно совпал С Линией противоположного бе­рега (рис. 32). Козырек можно заменить ладочыо руки или записной книжкой, плотно приложенной ребром ко лбу. Затем, не изменяя положения головы, надо повернуться направо или налево, или даже назад (в ту сторону, где поровней площадка, доступная для измерения расстояния) и заметить самую даль­нюю точку, видимую из-под козырька (ладони, записной книжки).

Расстояние до этой точки И Будет примерно равно Ши­Рине реки.

Этим способом и воспользовался Куприянов. Он быстро встал в кустах, приложил ко лбу записную книжку, также быстро повернулv∏ и завизировал дальнюю точку. Затем вме­сте с Карповым он ползком добрал. я до этой точки, измеряя расстояние шнуром. Получилось 105 М.

Куприянов доложил командованию полученные им данные.

Задача

Дать геометрическое объяснение способу «козырька».

Решение

Луч зрения, касающийся обреза козырька (ладони, запи­сной книжки), первоначально направлен на линию противопо-

Рис. 32. Из-под козырька надо заметить точку на противополож ном берегу.

Ложного берега (рис. 32). Когда человек поворачивается, то луч зрения, подобно ножке циркуля, как бы описывает окруж-

Ность, и тогда AC==AB как радиусы одной окружности (рис. 33).

Длина острова
Задача

Теперь нам предстоит задача более сложная. Стоя у реки или у озера, вы видите остров (рис. 34), длину которого

Рис. 34. Как определить длину острова.

Желаете измерить, не покидая берега. Можно ли выполнить такое измерение?

4 Занимат. геометрия

рис. 35. пользуемся признаками равенства прямоугольных треугольников.

Хотя в этом случае для нас неприступны оба конца изме­ряемой линии, задача все же вполне разрешима, притом без сложных приборов.

Решение

Пусть требуется узнать длину AB (рис. 35) острова, оста­ваясь во время измерения на берегу. Избрав на берегу две произвольные точки PaQ, втыкают в них вехи и отыскивают на прямой PQ точки M и ЛГ так, чтобы направления AM и BN составляли с направлением PQ прямые углы (для этого пользуются булавочным прибо­ром). В середине О расстояния MN втыкают веху и отыски­вают на продолжении линии AM такую точку С, откуда веха О кажется покрывающей точку В. Точно так же на продолжении BN отыскива­ют точку D, откуда веха О Кажется покрывающей конец А острова. Расстояние CD И будет искомой длиной острова.

Доказать это нетрудно. Рас­смотрите прямоугольные тре­угольники AMO и OND; в них катеты MO и NO равны, а кроме того, равны углы AOM и NOD следовательно, тре­угольники равны, и AO= OD. Сходным образом можно дока­зать, что ВО—ОС. Сравнивая затем треугольники ABO и COD, убеждаемся в их равенстве, а значит, и в равенстве расстояний AB и CD.

Пешеход на другом берегу

Задача

По берегу вдоль реки идет человек. C Другого берега вы отчетливо различаете его шаги. Можете ли вы, не сходя С Места, определить, хотя бы приблизительно, расстояние от него до вас? Никаких приборов вы под рукою не имеете.

Решение

У вас нет приборов, но есть глаза и руки, — этого доста­точно. Вытяните руку вперед по направлению к пешеходу и смотрите на конец пальца одним правым глазом, если пешеход идет в сторону вашей правой руки, и одним левым глазом, если пешеход идет в сторону левой руки. В тот момент, когда отдаленный пешеход покроется пальцем (рис. 36), вы

Рис. 36. Как определить расстояние до пешехода, идущего по другому берегу реки.

Закрываете глаз, которым сейчас смотрели, и открываете другой: пешеход покажется вам словно отодвинутым назад. Сосчитайте, сколько шагов сделает он, прежде чем снова поровняется с вашим пальцем. Вы получите все данные, необ­ходимые для приблизительного определения расстояния.

Объясним, как ими воспользоваться. Пусть на рис. 36 А и B ваши глаза, точка M конец пальца вытянутой руки, точка А — первое положение пешехода, В — второе. Треугольники АЬМ и ABM подобны (вы должны повернуться к пешеходу так, чтобы Ab было приблизительно параллельно направлению его движения). Значит, BMBM = ABAb— про­порция, в которой не известен только один член BM1 все же остальные можно определить непосредственно. Действительно, 6УИ— длина вашей вытянутой руки; Ab расстояние между 51 —

Зрачками ваших глаз, AB измерено шагами пешехода (шаг можно принять в среднем равным ɪ Λf^. Следовательно, не­известное расстояние от вас до пешехода на противоположном берегу реки

mb=ab-,ъм аь •

Если, например, расстояние между зрачками глаз (Ab) у Вас 6 См, длина ЬМ от конца вытянутой руки до глаза 60 См, А пешеход сделал от А до В, скажем, 14 шагов, то расстоя­ние его от вас MB= 14∙^2 = 140 шагов, или 105 М.

Достаточно вам заранее измерить у себя расстояние между зрачками и ЬМ—Расстояние от глаза до конца вытянутей руки, чтобы, запомнив их отношение быстро определять

Удаление недоступных предметов. Тогда останется лишь умно­жить AB на это отношение. В среднем у большинства людей равно 10 с небольшими колебаниями. Затруднение будет

Лишь в том, чтобы каким-нибудь образом определить расстоя­ние АВ. В нашем случае мы воспользовались шагами идуще­го вдали человека. Но можно привлечь к делу и иные указа­ния. Если вы измеряете, например, расстояние до отдаленного товарного поезда, то длину AB можно оценить по сравнению с длиною товарного вагона, которая обычно известна (7,6 М Между буферами). Если определяется расстояние до дома, то AB оценивают по сравнению с шириною окна, с длиною кир­пича и т. п.

Тот же прием можно применить и для определения раз­мера отдаленного предмета, если известно его расстояние от наблюдателя. Для этой цели можно пользозаться и иными «дальномерами», которые мы сейчас опишем.

Простейшие дальномеры

В первой главе был описан самый простой прибор для определения недоступных высот — высотомер. Теперь опишем простейшее приспособление для измерения неприступных рас­стояний— «дальномер». Простейший дальномер можно изго­товить из обыкновенной спички. Для этого нужно лишь нане-

Сти на одной из ее граней миллиметровые деления, для ясно­сти попеременно светлые и черные (рис. 37).

Пользоваться этим примитивным «дальномером» для оценки расстояния до отдаленного предмета можно только в тех слу-

■ 1« uiriiiiii,рис. 37. спичка-дальномер.

Чаях, когда размеры этого предмета вам известны (рис. 38); впрочем, и всякого рода иными дальномерами более совершен­ного устройства можно пользоваться при том же условии. Предположим, вы видите вдали человека и ставите себе за-

Рис. 38. Употребление спички-дальномера для определения недоступных расстояний.

Дачу — определить расстояние до него. Здесь спичка-дально­мер может вас выручить. Держа ее в своей вытянутой руке и глядя одним глазом, вы приводите свободный ее конец в совпадение с верхней частью отдаленной фигуры. Затем, мед­ленно нодзигая по спичке ноготь большого пальца, останавли­ваете его у той ее точки, которая проектируется на основание человеческой фигуры. Вам остается теперь только узнать, приблизив спичку к глазу, у которого деления остановился ноготь, — и тогда все данные для решения задачи у вас налицо. 53 —

средний рост человека
измеренная часть спички
рис. 39. выдвижной дальномер в действии.

Легко убедиться в правильности пропорции:

Искомое расстояние
расстояние от глаза до спички

Отсюда нетрудно вычислить искомое расстояние. Если, например, расстояние до спички 60 См, рост человека 1,7 М, А измеренная часть спички 12 Мм, то определяемое расстоя­ние равно

60.i^ = 8500 слг = 85 М.

Чтобы приобрести некоторый навык в обращении с этим дальномером, измерьте рост кого-либо из ваших товарищей и, попросив его отойти на некоторое расстояние, попытайтесь определить, на сколько шагов он от вас отошел.

Тем же приемом вы можете опре­делить расстояние до всадника (средняя высота 2,2 М), велосипедиста (диаметр ко­леса 75 См), телеграфного столба вдоль рельсового пути (высота 8 М, отвесное расстояние между соседними изоляторами 90 См), до железнодорожного поезда, кир­пичного дома и тому подобных предметов, размеры которых нетрудно оценить с до­статочной точностью. Таких случаев может представиться во время экскурсий доволь­но много.

Для умеющих мастерить не составит большого труда изготовление более удоб­ного прибора того же типа, предназначен­

Ного для оценки расстояний по величине отдаленной челове­ческой фигуры.

Устройство это ясно на рис. 39 и 40. Наблюдаемый предмет помещают как раз в промежуток А, образующийся при поднятии выдвижной части приборчика. Величина проме­жутка удобно определяется по делениям на частях ChD Дощечки. Чтобы избавить себя от необходимости делать какие — либо расчеты, можно на полоске C прямо нанести против де­лений соответствующие им расстояния, если наблюдаемый предмет — человеческая фигура (прибор держат от глаза на

человек
1.7м

энергия реки

предмет/-зр0п.
/5л
рис. 40. устройство выдвижного дально
мера.

Расстоянии вытянутой руки). На нрзвой полоске D можнз нанести обозначения расстояний, заранее вычисленных для случаев, когда наблюдается фигура всадника (2,2 М). Для телеграфного столба (высота 8 л) аэро­

Плана с размахом крыльев 15 М и тому под )бных более крупных предметов можно использовать верхние, свободные части полосок C и D. Тогда прибор по­лучит вид, представленный на рис. 40.

Конечно, точность такой оценки рас­стояния невелика. Это именно лишь оценка, а не измерение. В примере, рассмотренном ранее, когда расстоя­ние до человеческой фигуры оценено было в 85 М, ошибка в 1 Мм при изме­рении части спички дала бы погрешность результата в 7 от 85 Но если

Бы челозек отстоял вчетверо дальше, мы отмерили бы на спичке не 12, а 3 Мм, и тогда ошибка даже в ~мм вы­звала бы изменение результата на 57 М.

Поэтому наш пример в случае челове­ческой фигуры надежен только для срав­нительно близких расстояний — в 100 —

200 М. При оценке бблыних расстоя­ний надо избирать и более крупные предметы.

Ты знаешь край, где все обильем дышит,

Где реки льются чище серебра, Где ветерок степной ковыль

Колышет,

В вишневых рощах тонут хутора.

А. К. Толстой.

Реку, длина которой не более 100 Км, принято считать малой. Знае­те ли вы, сколько таких малых рек в СССР? Очень много — 43 тысячи!

Если эги реки вытянуть в одну линию, то получилась бы лента длиною 1 300 000 Км. Такой лентой земной шар можно тридцать раз опоясать по экватору (длина экватора примерно 40 000 Км).

Неторопливо течение этих рек, но оно таит в себе неисто­щимый запас энергии. Специалисты полагают, что, если сло­жить скрытые возможности всех малых рек, которые проте­кают по нашей Родине, получится внушительное число — 34 миллиона киловатт! Эту даровую энергию необходимо ши­роко использовать для электрификации хозяйства селений, расположенных вблизи рек.

«Пусть свободная течет река,—

Если в плане значится, плотина Гребнем каменным по всем глубинам Преградит дорогу на века».

С. Щипачеа,

Вы знаете, что это осуществляется при помощи гидроэлек­тростанций (ГЭС), и можете проявить много инициативы и ока­зать реальную помощь в подготовке строительства небольшей ГЭС. В самом деле, ведь строителей ГЭС будет интересовать все, что относится к режиму реки: ее ширина и скорость теченпя («расход воды»), площадь поперечного сечения русла («живое сечение») и какой напор воды допускают берега. А Все это вполне поддается измерению доступными средства­ми и представляет сравнительно нетрудную геометрическую задачу.

К решению этой задачи мы сейчас и перейдем.

Но прежде приведем здесь практический совет специа­листов, инженеров В. Ярош и И. Федорова, относящийся к выбору на реке подходящего места для строительства буду­щей плотины.

Небольшую гидроэлектростанцию мощностью в 15—20 ки­ловатт они рекомендуют строить «не дальше чем в 5 Км От селения.

«Плотину ГЭС нужно строить не ближе чем в 10—15 Км И не дальше чем в 20—40 Км от истока реки, потому что удаление от истока влечет за собой удорожание плотины, которое вызывается большим притоком воды. Если же пло­тину располагать ближе чем в 10—15 Км от истока, гидро­электростанция в силу малого притока воды и недостаточного

Напора не сможет обеспечить необходимой мощности. Выбран­ный участок реки не должен изобиловать большими глубинами, которые тоже увеличивают стоимость плотины, требуя тяже­лого фундамента».

Скорость течения

Меж селеньем и рощей нагорной Вьется светлою лентой река

А. Фет.

А сколько воды протекает за сутки в такой речке? Рассчитать нетрудно, если прежде измерить скорость те­

Чения воды в реке. Измерение выполняют два человека. У одного в руках часы, у другого — какой-нибудь хорошо

Рис. 41. Измерение скорости течения реки.

Заметный поплавок, например закупоренная полупустая бутылка с флажком. Выбирают прямолинейный участок реки и ставят вдоль берега двз вехи А и £ на расстоянии, например, 10 М Одну от другой (рис. 41).

На линиях, перпендикулярных к ABi ставят еще две вехи C и D. Один из участников измерения с часами становится позади вехи D, Другой — с поплавком заходит несколько выше

Вехи A1 поплавок бросает в воду, а сам становится позади вехи С. О5а смотрят вдоль направлений CA и DB на поверх­ность воды. В тот момент, когда поплавок пересекает про­должение линии CA, первый наблюдатель взмахивает рукой. По этому сигналу второй наблюдатель засекает время первый раз и еще раз, когда поплазок пересечет направление DB.

Предположим, что разность времени 20 секунд.

Тогда скорость течения воды в реке!

Ю лк

—=0,0 М в секунду.

Обычно измерение повторяют раз десять, бросая поплавок в разные точки поверхности реки1). Затем складывают полу­ченные числа и делят на количество измерений. Это дает среднюю скорость поверхностного слоя реки.

Более глубокие слои текут медленнее, и средняя скорость 4

Всего потока составляет примерно ð от поверхностной скоро­

сти,— в нашем случае, следовательно, 0,4 м в секунду.
можно определить позерхностную скорость и иным — правда, менее надежным — способом.
сядьте в лодку и плывите 1 км (отмеренный по берегу) против течения, а затем обратно — по течению, стараясь все время грести с одинаковою силою.
пусть вы проплыли эти 1000 m против течения в 18 минут, а по течению — в 6 минут. обозначив искомую скорость течения реки через х, а скорость вашего движения в стоячей воде через у, вы составляете уравнения
,1000
у—x
,18,,1000
у+х
,= 6,,откуда,, 1000 ʃ + *=- 1000,18,c2x = 110 x= 55

Скорость течения воды на поверхности равна 55 М в ми­нуту, а следовательно, средняя скорость — около s∕β М в секунду.

ɪ) Вместо десятикратного бросания одного поплавка можно сразу бросить 10 поплавков на некотором отдалении друг от друга.

Сколько воды протекает в реке

Так или иначе вы всегда можете определить скорость, с какой течет вода в реке. Труднее вторая часть подготови­тельной работы, необходимой для вычисления количества про­текающей воды,— определение площади поперечного разреза воды. Чтобы найти величину этой площади,— того, что при­нято называть «живым сечением» реки, — надо изготовить чертеж этого сечения. Выполняется подобная работа следую­щим образом.

Первый способ

В Том месте, где вы измерили ширину реки, вы у самой воды вбиваете на обоих берегах по колышку. Затем садитесь с товарищем в лодку и плывете от одного колышка к дру­гому, стараясь все время держаться прямой линии, соединя­ющей колышки. Неопытный гребец с такой задачей не спра­вится, особенно в реке с быстрым течением. Ваш товарищ должен быть искусным гребцом; кроме того, ему должен по­могать и третий участник работы, который, стоя иа берегу, следит, чтобы лодка не сбивалась с надлежащего направления, и в нужных случаях дает гребцу сигналами указания, в какую сторону ему нужно повернуть. В первую переправу через речку вы должны сосчитать лишь, сколько ударов веслами она потре­бовала, и отсюда узнать, какое число ударов перемещает лодку на 5 или 10 М. Тогда вы совершаете второй переезд, воору­жившись на этот раз достаточно длинной рейкой с нанесен­ными на ней делениями, и каждые 5—10 М (отмеряемые по числу ударов веслами) погружаете рейку отвесно до дна, записывая глубину речки в этом месте.

Таким способом можно промерить живое сечение только небольшой речки; для широкой, многоводной реки необходимы более сложные приемы; работа эта выполняется специалистами. Любителю приходится избирать себе задачу, отвечающую его скромным измерительным средствам.

Второй способ

На узкой неглубокой речке и лодка не нужна.

Между колышками вы натягиваете перпендикулярно к те­чению бечевку со сделанными на ней через 1 М пометками или узлами и, опуская рейку до дна у каждого узла, изме­ряете глубину русла.

Когда все измерения закончены, вы прежде всего наносите на миллиметровую бумагу либо на лист из ученической тет­ради в клетку чертеж поперечного профиля речки. У вас полу­чится фигура вроде той, какая изображена на рис. 42. Пло­щадь этой фигуры определить весьма несложно, так как она расчленяется на ряд трапеций (в которых вам известны оба оснозания и высота) и на два краевых треугольника также с известными основанием и высотой. Если масштаб

Рис. 42. «Живое сечение» реки.

Чертежа 1:100, то результат получаем сразу в квадратных метрах.

Теперь вы располагаете уже всеми данными для расчета количества протекающей воды. Очевидно, через живое сече­ние реки протекает каждую секунду объем воды, равный объему призмы, основанием которой служит это сечение, а высотой — средняя секундная скорость течения. Если, напри­мер, средняя скорость течения воды в речке 0,4 М в секунду, а площадь живого сечения, скажем, равна 3,5 Кв. м, то еже­секундно через это сечение переносится

3,5×0,4 = l,4 Куб. м воды,

Или столько же тонн1). Это составляет в час

1,4 X 3600 = 5040 Куб. м,

А в сутки

5040 X 24 = 120 960 Куб. M1

Свыше ста тысяч Куб. м. А ведь река с живым сечением 3,5 Кв. м — маленькая речка: она может иметь, скажем, 3,5 М Ширины и 1 М глубины, вброд перейти можно, но и она таит

Рис. 43. Гидроэлектростанция мощностью 80 киловатт Бурмакинской сельскохозяйственной артели; дает

Энергию семи колхозам.

В себе энергию, способную превратиться во всемогущее электро чество. Сколько же воды протекает в сутки в такой реке, как Нева, через живое сечение которой ежесекундно проно­сится 3300 Куб. м воды! Это — «средний расход» воды в Неве у Ленинграда. «Средний расход» воды в Днепре у Кие­ва— 700 Куб. м.

Молодым изыскателям и будущим строителям своей ГЭС необходимо еще определить, какой напор воды допускают бе­рега, т. е. какую разность уровней воды может создать пло­тина (рис. 43). Для этого в 5 —10 М от воды на берегах,

ɪ) 1 М пресной воды весит 1 Т (1000 Кг).

61 —

Вбивают два кола, как обычно по линии, перпендикулярной к течению реки. Двигаясь затем по этой линии, ставят ма­ленькие колышки в местах характерных изломов берега (рис. 44). C помощью реек с делениями замеряют возвышение одного колышка над другим и расстояния между ними. По результатам измерений вычерчивают профиль берегов анало­гично построению профиля русла реки.

Рис. 44. Измерение профиля берегов.

По профилю берегов можно судить о величине допустимого напора.

Предположим, что уровень воды может быть поднят пло­тиной на 2,5 М. В таком случае вы можете прикинуть воз­можную мощность вашей будущей ГЭС.

Для этого энергетики рекомендуют 1,4 (секундный «расход» реки) умножить на 2,5 (высота уровня воды) и на 6 (коэффи­циент, который меняется в зависимости от потерь энергии в машинах). Результат получим в киловаттах. Таким образом,

1,4 X 2,5×6==21 киловатт.

Так как уровни в реке, а следовательно, и расходы меня­ются в течение года, то для расчета надо узнать ту величину расхода, которая характерна для реки большую часть года.

Г

Водяное коле. о
Задача

Колесо с лопастями устанавливается около дна реки так, что оно может легко вращаться. В какую сторону оно будет

I вращаться, если течение напразлено справа налево (рис. 45)?

Рис. 45. В какую сторону будет вращаться колесо?

Решение

Колесо будет вращаться против движения часовой стрелки. Скорость течения глубже лежащих слоев воды меньше, чем скорость течения слоев, выше лежащих, следовательно, да­вление на верхние лопасти будет больше, чем на нижние.

Радужная пленка

На реке, в которую спускается вода от зазода, можно заметить нередко близ стока красивые цветные переливы. Масло (например, машинное), стекающее на реку вместе с во­дою завода, остается на поверхности как более легкое и рас­текается чрезвычайно тонким слоем. Можно ли измерить или хотя бы приблизительно оценить толщину такой пленки?

Задача кажется замысловатой, однако решить ее не осо­бенно трудно. Вы уже догадываетесь, что мы не станем зани­маться таким безнадежным делом, как непосредственное изме­рение толщины пленки. Мы измерим ее косвенным путем, ко­роче сказать, вычислим.

Возьмите определенное количество машинного масла, на­пример 20 г, и вылейте на воду, подальше от берега (с лодки). Когда масло растечется по воде в форме более или менее ясно очерченного круглого пятна, измерьте хотя бы приблизи­тельно диаметр этого круга. Зная диаметр, вычислите площадь. А так как вам известен и объем взятого масла (его легко вычислить по весу), то уже сама собою определится отсюда искомая толщина пленки. Рассмотрим пример.

Задача

Один грамм керосина, растекаясь по воде, покрывает круг поперечником в 30 См[III]). Какова толщина керосиновой пленки № воде? Кубический сантиметр керосина весит 0,8 г.

Решение

Найдем объем пленки, который, конечно, равен объему взятого керосина. Если один кубический сантиметр керосиза весит 0,8 г, то на 1 г идет — = 1,25 Куб. см, или

1250 Куб. мм. Площадь круга с диаметром 30 См, или 300 Мм, равна 70 000 Кв. мм. Искомая толщина пленки равна объему, деленному на площадь основания: Т» Е. менее 50-й доли миллиметра. Прямое измерение подобной Толщины обычными средствами, конечно, невозможно.

1250
70 000
= 0,018 мм,

Масляные и мыльные пленки растекаются еще более тон­кими слоями, достигающими 0,0001 Мм и менее. «Однажды,— рассказывает английский физик Бойз в книге «Мыльные пузы­ри»,— я проделал такой опыт на пруде. На поверхность воды была вылита ложка оливкового масла. Сейчас же образовалось большое пятно, метров 20—30 в поперечнике. Так как пятно

Было в тысячу раз больше в длину и в тысячу раз больше в ширину, чей ложка, то толщина слоя масла на поверхности воды должна была приблизительно составлять миллионную

. часть толщины слоя масла в ложке, или около 0,000002 мил­лиметра

Круги на воде Задача

Вы не раз, конечно, с любопытством рассматривали те круги, которые порождает брошенный в спокойную воду камень (рис. 46), И вас, без сомнения, никогда не затрудняло объяс-

Рис. 46. Круги на воде.

Нение этого поучительного явления природы: волнение распро­страняется от начальной точки во все стороны с одинаковой скоростью; поэтому в каждый момент все волнующиеся точки должны быть расположены на одинаковом расстоянии от места возникновения волнения, т. е. на окружности.

Но как обстоит дело в воде текучей? Должны ли волны от камня, брошенного в воду быстрой реки, тоже иметь форму, круга, или же форма их будет вытянутая?

На первый взгляд может показаться, что в текучей воде круговые в элны. должны вытянуться в ту сторону, куда увле­кает их течение: волнение передается по течению быстрее, чем 5 Занимат. геометрия ~T 65

Против Течения и в боковых направлениях. Поэтому волную’ щиеся части водной поверхности должны, казалось бы, рас — положиться по некоторой вытянутой замкнутой кривой, во всяком случае, не по окружности.

В действительности, однако, это не так. Бросая камни в самую быструю речку, вы можете убедиться, что волны получаются строго круговые — совершенно такие же, как и в стоячей воде. Почему?

Решение

Будем рассуждать так. Если бы вода не текла, волны были бы круговые. Какое же изменение вносит течение? Оно увле­кает каждую точку этой круговой волны в направлении, ука­занном стрелками (рис. 47, слева), причем все точки переносятся по параллельным прямым с одинаковой скоростью, т. е. на одинаковые расстояния. А «параллельное перенесение» не из­меняет формы фигуры. Действительно, в результате такого перенесения точка 1 (рис. 47, справа) окажется в точке точка 2 — в точке 2′ и т. д.; четырехугольник 1234 заменился четырехугольником 1’2’3’4′, который равен ему, как легко усмотреть из образовавшихся параллелограммов 122’Г, 233’2′, 344’3′ и т. д. Взяв на окружности не четыре, а больше точек, мы также получили бы равные многоугольники; наконец, взяв бесконечно много точек, т. е. окружность, мы получили бы после параллельного пересечения равную окружность.

рис. 47. течение воды не изменяет формы волн.

Вот почему переносное движение воды не изменяет формы волн — они и в текучей воде остаются кругами. Разница лишь в том, что на поверхности озера круги не перемещаются (если не считать того, что они расходятся от своего неподвижного центра); на поверхности же реки круги движутся вместе со своим центром со скоростью течения воды.

Фантастическая шрапнель
Задача

Займемся задачей, которая как будто не имеет сюда отно­шения, на самом же деле, как увидим, тесно примыкает к рассматриваемой теме.

Вообразите шрапнельный снаряд, летящий высоко в воз­духе. Вот он начал опускаться и вдруг разорвался; осколки разлетаются в разные стороны. Пусть все они брошены взры­вом с одинаковой силой и несутся, не встречая помехи со стороны воздуха. Спрашивается: как расположатся осколки спустя секунду после взрыва, если за это время они еще не успеют достичь земли?

Решение

Задача похожа на задачу о кругах на воде. И здесь кажется, будто осколки должны расположиться некоторой фигурой, вытя­нутой вниз, в направлении падения; ведь осколки, брошенные вверх, летят медленнее, чем брошенные вниз. Нетрудно, однако, доказать, что осколки нашей воображаемой шрапнели должны расположиться на поверхности шара. Представьте на мгнове­ние, что тяжести нет; тогда, разумеется, все осколки в те­чение секунды отлетят от места взрыва на строго одинаковое расстояние, т. е. расположатся на шаровой поверхности. Введем теперь в действие силу тяжести. Пзд ее влиянием осколки должны опускаться; но так как все тела, мы знаем, падают с одинаковой скоростью1), то и осколки должны в течение секунды опуститься на одинаковое расстояние, притом по па­раллельным прямым. Но такое параллельное перемещение не меняет формы фигуры,— шар остается шаром.

Итак, осколки фантастической шрапнели должны образо­вать шар, который, словно раздуваясь, опускается вниз со скоростью свободно падающего тела.

Килевая волна

Вернемся к реке. Стоя на мосту, обратите внимание на след, оставляемый быстро идущим судном. Вы увидите, как от носовой части расходятся под углом два водяных гребня (рис. 48).

ɪ) Различия обусловливаются сопротивлением воздуха, которое мы в нашей задаче исключили.

Откуда они берутся? И почему угол между ними тем ост­рее, чем быстрее идет судно?

Чтобы уяснить себе причину возникновения этих гребней, обратимся егце раз к расходящимся кругам, возникающим на поверхности воды от брошенных в нее камешков.

Бросая в воду камешек за камешком через определенные промежутки времени, на поверхности воды можно увидеть круги разных размеров; чем позже брошен камешек, тем меньше вызванный им круг. Если при этом бросать камешки вдоль прямой линии, то образующиеся круги в своей совокупности порождают подобие волны у носа корабля. Чем камешки мельче И Чем чаще их бросают, тем сходство заметнее. Погрузив в воду палку и ведя ею по поверхности воды, вы как бы заме­няете прерывистое падение камешков непрерывным, и тогда вы видите как раз такую волну, какая возникает у носа корабля.

К этой наглядной картине остается прибавить немного, чтобы довести ее до полной отчетливости. Врезаясь в воду, нос корабля каждое мгновение порождает такую же круговую волну, как и брошенный камень. Круг расширяется во все стороны, но тем временем судно успевает продвинуться вперед и породить вторую круговую волну, за которой тотчас же следует третья, и т. д. Прерывистое образование кругов, вызванное камешками, заменяется непрерывным их возникнове­нием, отчего и получается картина, представленная на рис. 49.

рис. 49. как образуется килевая волна.

Встречаясь между собою, гребни соседних волн разбивают друг друга: остаются нетронутыми только те два небольших участка полной окружности, которые находятся на их наруж­ных частях. Эти наружные участки, сливаясь, образуют два сплошных гребня, имеющих положение внешних касательных ко всем круговым волнам (рис. 49, справа).

Таково происхождение тех водяных гребней, которые видны позади судна, позади всякого вообще тела, движущегося с до­статочной быстротой по поверхности воды.

Отсюда прямо следует, что явление это возможно только тогда, когда тело движется быстрее, чем бегут водяные волны. Если вы проведете палкой по воде медленно, то не увидите гребней: круговые волны расположатся одна внутри другой и общей касательной провести к ним будет нельзя.

Расходящиеся гребни можно наблюдать и в том случае, когда тело стоит на месте, а вода протекает мимо него. Если течение реки достаточно быстро, то подобные гребли образуются в воде, обтекающей мостовые устои. Форма воля получается здесь даже ботее отчетливая, чем, например, от

Парохода, так как правильность их не нарушается работою винта.

Выяснив геометрическую сторону дела, попробуем разре­шить такую задачу.

Задала

От чего зависит величина угла между обеими ветвями ки­левой волны парохода?

Решение

Проведем из центра круговых волн (рис. 49, справа) ра­диусы к соответствующим участкам прямолинейного гребня, т. е. к точкам общей касательной. Легко сообразить, что OxB есть путь, пройденный за некоторое время носовой частью корабля, a O1Λ1 — расстояние, на которое за то же время распростра­нится волнение. Отношение есть синус угла O1BzI1, в то

Же время это есть отношение скоростей волнения и корабля. Значит, угол В между гребнями килевой волны — не что иное, как удвоенный угол, синус которого равен отношению скоро­сти бега круговых волн к скорости судна.

Скорость распространения круговых волн в воде приблизи­тельно одинакова для всех судов; поэтому угол расхождения ветвей килевой волны зависит главным образом от скорости корабля: синус половины угла обычно пропорционален этой скорости. И, наоборот, по величине угла можно судить о том, во сколько раз скорость парохода больше скорости волн. Если, например, угол между ветвями килевой волны 30°, как у боль­шинства морских грузо-пассажирских судов, то синус его половины (sin 15°) равен 0,26; это значит, что скорость паро­хода больше скорости бега круговых волн в ŋɪθ, т. е. при­мерно в четыре раза.

Скорость пушечных снарядов
Задача

Волны, наподобие сейчас рассмотренных, порождаются в воздухе летящею пулей или артиллерийским снарядом.

Существуют способы фотографировать снаряд налету; на Рис, 60 и 51 воспроизводятся два таких изображения снаря-

Дов, движущихся неодинаково быстро. На обоих рисунках от­четливо видна интересующая нас «головная волна» (как ее в этом случае называют). Происхождение ее такое же, как и килевой волны парохода. И здесь применимы те же геомет­рические отношения, а именно: синус половины угла расхожде­ния головных волн равен отношению скорости распространения волнения в воздухе к скорости полета самого снаряда. Но

Рис. 50—51. Головная волна в воздухе, образуе­мая летящим снарядом.

Волнение в воздушной среде передается со скоростью, близ­кой к скорости звука, т. е. 330 М в секунду. Легко поэтому, располагая снимком летящего снаряда, определить приблизи­тельно его скорость. Как сделать это для приложенных здесь двух изображений?

Решение

Измерим угол расхождения ветвей головной волны на рис. 50 и 51. В первом случае он заключает около 80°, во вто­ром— примерно 55°. Половина их — 40° и 271∕2°. Sin 40° = = 0,64, sin 271∕2° = 0,46. Следовательно, скорость распро­странения воздушной волны, т. е. 330 М, составляет в первом случае 0,64 скорости полета снаряда, во втором — 0,46. Отсюда

330 330

Скорость первого снаряда равна θθξ-=520Λ, второго ðɪ = = 720 М в секунду.

Вы видите, что довольно простые геометрические сообра­жения при некоторой поддержке со стороны физики помогли нам разрешить задачу, на первый взгляд очень замысловатую: по фотографии летящего снаряда определить его скорость в момент фотографирования. (Расчет этот, однако, лишь при­близительно верен, так как здесь не принимаются в соображе­ние некоторые второстепенные обстоятельства.)

Задача

Для желающих самостоятельно выполнить подобное вы­числение скорости ядер здесь даются три воспроизведения снимков снарядов, летящих с различной скоростью (рис. 52).

рис. 52. как определить скорость летящих снарядов?

Глубина пруда

Круги на воде отвлекли нас на время в область артилле­рии. Вернемся же снова к реке и рассмотрим индусскую за­дачу о лотосе.

У древних индусов был обычай задачи и правила предла­гать в стихах. Вот одна из таких задач:

Задача

Над озером тихим,

C Полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над воюй,

Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока? (Перевод В. И. Лебедева.)

Решение

Обозначим (рис. 53) искомую глубину CD пруда через Jf. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

BD2- X2 = BCi,

откуда

Т. Е.

Хг — X2JXJ—^∙— 4, Х — ɜɪ.

Искомая глубина—3θ∕4 фута.

72

Близ берега реки или неглубокого пруда вы можете оты — скать водяное растение, которое доставит вам реальный

Рис. 53. Индусская задача о цветке лотоса.

Материал для подобной задачи: без всяких приспособлений, не
замочив даже рук, определить глубину водоема в этом месте.
Звездное небо в реке

Река и в ночное время предлагает геометру задачи. Пом­ните у Гоголя в описании Днепра: «Звезды горят и светят над миром и все разом отдаются в Днепре. Всех их держит Днепр в темном лоне своем: ни одна не убежит от него, разве погаснет в небе». В самом деле, когда стоишь на берегу ши­рокой реки, кажется, что в водном зеркале отражается цели­ком весь звездный купол. Но так ли в действительности? Все Ли Звезды «отдаются» в реке?

Сделаем чертеж (рис. 54): А — глаз наблюдателя, стоящего на берегу реки, у края обрыва, MN—Поверхность воды. Какие звезды может видеть в воде наблюдатель из точки Л? Чтобы ответить на этот вопрос, опустим из точки А перпен­дикуляр AD на прямую MN и продолжим его на равное рассто­яние, до точки Л’. Если бы глаз наблюдателя находился в Ar9 Он Мог бы видеть только ту часть звездного неба, которая помещается внутри угла DAfC. Таково же и поле зрения

рис. 54. какую часть звездного неба можно увидегь в водном зеркале реки.Действительного наблюдателя, смотрящего из точки А. Звезды, находящиеся вне этого угла, не видны наблюдателю; их отра­женные лучи проходят мимо его глаз.

*•«zo,∙''рис. 55. в узенькой речке с низкими берегами можно увидеть больше звезд.Как убедиться в этом? Как доказать, что, напри­мер, звезда 5, лежащая вне угла БА’С, не видна нашему наблюдателю в водном зерка­ле реки? Проследим за ее лу­чом, падающим близко к берегу, в точку /И; он от­разится по законам физики под таким углом к перпенди­куляру MPi который равен углу падения SMP и, следо­вательно, меньше угла PMA (это легко доказать, опираясь на равенство треугольни­ков ADM и ArDM) значит, отраженный луч должен пройти мимо А. Тем более пройдут мимо глаз наблюдателя лучи звезды S9 отразившиеся в точках, расположенных дальше точки М,

Значит, гоголевское опи­сание содержит преувеличе­ние: в Днепре отражаются далеко не все звезды, а, во всяком случае, меньше поло­вины звездного неба.

Всего любопытнее, что обширность отраженной ча­сти неба вовсе не доказы­вает, что перед вами ши­рокая река. В узенькой реч­ке с низкими берегами вы можете видеть почти половину неба (т. е. больше, чем в широкой реке), если накло­нитесь близко к воде. Легко удостовериться в этом, сде­

Лав для такого случая построение поля зрения (рис. 55).

Путь через реку

Задача

Между точками А и В течет река (или канал) С Прибли­зительно параллельными берегами (рис. 56). Нужно построить через реку мост под прямым углом к его берегам. Где сле-

Рис. 56. Где построить мост Рис. 57. Место для постройки под прямым углом к берегам моста выбрано,

Реки, чтобы дорога от А к В

Была кратчайшей?

Дует выбрать место для моста, чтобы путь от А до В был кратчайшим?

Решение

Проведя через точку А (рис. 57) прямую, перпендику» лярную к направлению реки, и отложив от А отрезок AC1 равный ширине реки, соединяем C с В. В точке D И надо построить мост, чтобы путь из А в В был крат­чайшим.

Действительно, построив мост DE (рис. 58) и соединив E с A1 получим путь AEDB1 в котором часть AE параллельна CD (AEDC параллелограмм, так как его противоположные стороны AC и ED равны и параллельны). Поэтому путь AEDB По длине равен пути ACB. Легко показать, что всякий иной путь длиннее этого. Пусть мы заподозрили, что некоторый путь AMNB (рис. 59) короче AEDB1 т. е. короче ACB. Со­единив C С Ni видим, что CN равно AM. Значит, путь

AMNB==ACNB. Ho CNBt очевидно, больше СВ; значит, ACNB больше ACBt а следовательно, больше и AEDB. Та­ким образом, путь AMNB оказывается не короче, а длиннее пути AEDB.

Рис. 58. Мост построен. Рис. 59. Путь AEDB действи­тельно кратчайший.

Это рассуждение применимо ко всякому положению моста, не совпадающему с ED; другими словами, путь AEDB дей­ствительно кратчайший.

Построить два моста
Задача

Может представиться более сложный случай — именно, Когда надо найти кратчайший путь от А до В через реку,

Рис. 60. Построены два моста.

Которую необходимо пересечь дважды под прямым углом к бере-
гам (рис. 60). В каких местах рек надо тогда построить мосты?

Решение

Нужно из точки А (рис. 60, Направо) прозести отрезок ACi Равный ширине реки в части I и перпендикулярный к ее бе­Регам. Из точки В прозести отрезок BDi раваый ширине реки в части II и также перпендикулярный к берегам. Точки и D соединить прямой. В точке E строят мост EFi а в точке G—Мост GH. Путь AFEGHB есть искомый кратчайший

Путь от А до В.

Как доказать это, читатель, конечно, сообразит сам, если будет в этом случае рассуждать так же, как рассуждали Мы В предыдущей задаче.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *