Геометрические приложения

Касательная прямая и нормальная плоскость
к пространственной кривой

Если кривая задана параметрически:

Х = x(f); У = Y{T); г = Z{T),

То касательная прямая в точке X0 (x0; y0; Z0) имеет вид:

X — X0 _ У — I∕o __ 2 — 2p

Х W y(to) z'(to)

Где T0 значение параметра, соответствующего точке X0. Нормальная плоскость задается уравнением

X‘<T0) ‘ (х — X0) + Y‘(T0) • (у — Y0) + Z,() (2 Z0) = 0.

Касательная плоскость и нормаль
к поверхности, заданной явно

Если поверхность задана явно: Z = /(х; У), то в точке X0(x0; Y0‘, Z0) она обладает касательной плоскостью

3z(X0), ⅛(X, l)

(X — *»> + By ⅛^ »»>

XXn У~Уп Z~ZN И нормалью -. ,√7√ = √ = —-sl

∂2(X0) ∂2(X0) -1

Дх ду

Касательная плоскость и нормаль
к поверхности, заданной неявно

XX0 _ YY0 г-г0 F(X0) F(X0) ∂F(X0)

Эх Ду дг

Особые точки плоских кривых

Определение 5. Если функция F(x; У) дифференцируе­ма в точке X0(x0; У0), и при этом F(x0; Y0) = FX(X0; у0) = = FY(X0; у0) = 0 , то точка X0 называется Особой точкой Кривой F(x; У) = 0.

Определение 6. Если функция F(X; у) дважды непре­рывно дифференцируема в изолированной особой точке X0(*<h УО)> частные производные Fxx(X0), Fyy (Xθ), Fzz (X0) не обращаются в этой точке в ноль одновременно, и при этом

Δ = Ffxx (X0) ∙ Fyy (X0) — (Fxy (χo)γt

Тогда, если

Δ > 0, то X0 — Изолированная точка,

Δ < 0, то X0 — Двойная точка (узел),

Δ = 0, то X0 — Точка возврата или Изолированная точка.

Пример 5. Вывести уравнение касательной прямой и нор­мальной плоскости к пространственным кривым:

π

А) х = sin2T; у = sin 2T‘, г = cos2T в точке T = —;

Б) У = х; Г = X2 В точке M(l; 1; 1).

В) Вывести уравнение касательной и нормальной пря­мой к плоской кривой cos Ху = х + 2у в точке (1; 0).

Решение.

А) Пространственная кривая задана параметрически

F ξ!

Xf(t) = (sin2T)f = 2sin T ` cos t = sin 2t; x’l I =1;

Y,{t) = (sin 2t)f = 2cos 2t; У~7 = O; У0

Zf(t) = (cos2T)f = -2cos T ∙ sin T = — sin 2t∙, z’

Zfs = Z

Уравнение касательной прямой:

Х — X0 У ~Уо г — Zc

Х’М y‘(to) Z‘(Tɑ) 1 О

Уравнение нормальной плоскости: x'(f0)(* — ⅞) + Y,(T0)(Y — У о) + Zf(T0)(Z — 2θ) = 0;

2-ɪI == 0; х — Z = 0. ʌʌ V 2J

Отметим, что появление О в знаменателе пропорции носит формальный характер. Фактически это означает, что У — 1 = 0, и направляющий вектор прямой имеет ко­ординаты (1; 0; -1).

Б) Пространственная кривая задана явно; переменная х играет роль параметра

Х’ = 1; λγz(1) = 1; ⅜ = ɪ; У’ = 1; ɪ/'(l)= 1; Y0 = 1; Z = 2x; Z‘(L) = 2; Z0 = 1.

Уравнение касательной прямой:

XX0 = У-Уо = Z-20 . Х-1 = У-1 ,2-1 .

1 Y‘<X0) Z‘(X0) 1 1 2

Уравнение нормальной плоскости;

(х — x0) + Y‘(X0)(Y — у0) + 2,(x0)(2 — ~07 = 0;

(х — 1) + — 1) + 2(2 — 1) = 0; х + У — 2Z — 4 = 0.

В) Плоская кривая задана неявно; дифференцируем это выражение по переменной Х, считая У — функцией от пе­ременной Х:

-sin(xp) ∙ (р + Xy‘) = 1 + 2/;

1 + У Sin(Xp)

Y х ∙ sin(xp) + 2 ’ 2

Уравнение касательной прямой: XX0 = У — P0 . XIyO.

1 √(⅜) ’ 1 _i

2

Уравнение нормальной прямой:

(х — x0) + /(x0) ∙ {YY0) = 0;

Х + — 1 = 0.

(х — 1) ɪ (г/ — 0) = 0;

У — 2 = 0.

1

Ответ: а)

Х-1

Б)

1

У~1

2 _ У"! ________ 2 .

Х — 2 = 0;

112 в) х + 2Y — 1 = 0; 2х

Х + р-2г-4 = 0; У — 2 = 0.

Пример 6. Найти уравнение касательной плоскости и нор­мали к поверхности: а) Г = ху в точке (1; 1; 1) ;

( -λ Х у

У

Б) 2 = arctg — в точке

(2; 2; 1).

Решение.

А) Поскольку

Дг дг(1; 1)

= у;

= 1;

⅛kτ ;в)2-+2′-»

В точке

Дг

Х;

Эг(1; 1)

Дх X ду

Плоскость задается уравнением

Г — 1 = (х — 1) + (у — 1); х + у — г — 1 А нормаль к поверхности имеет вид

Х -1 _ у -1 _ 2 -1

, то касательная

= 0,

Б) Так как

Дг

Дх

L + ⅛r

J/

X2

X2 + у2

Эг(1; 1) = _ 1 Дг_ 1 ɪ = Х θ2(L; ɪ) = ɪ Эх 2 ’ Ъу у2 Х X2 + У2 ’ 2

X2

То получаем следующее уравнение касательной плоско­сти:

2-ɪ =- j(x-1)+ ∣(y-l); XY + 2Z-^=0. Уравнение нормали к данной поверхности:

_ π _ π

Х-1 у-1 2 4 х-1 г/—-1 2 4

11-1 1-12

2 2

В) Запишем уравнение поверхности в виде F(x; У; г) = 0: £ У

2г +2г -8 = 0,

F о, о 1 тогда — = 2г ∙ In 2 • —;

Эх Z

— = 22 ∙l∏2∙i;

. ⅜ 2

F F ~ = 22 1п2 Эг

Пример 7. Найти особые точки плоских кривых и указать их тип:

A) X3 + Y3 + IOxy = 0; б) x4 + Y4 — х2 — У2 = 0; в) У2- х3 = 0. Решение.

F

A) F(X; у) = X3 + Y3 + IOxy ; — г— — 3×2 + IOy ;

Ох

SySy2 + IOx.

Особые точки удовлетворяют следующей системе урав­нений:

X3 + Y3 + IOxi/ = 0,

3×2+10ι∕ = 0, Ix = O,

Зг/2 + IOx = 0; y = θ-

(0; 0) — единственное решение системы. Точка (0; 0) —

X4 + У4 — X2 У2 = 0, 2x(2×2 -1) = 0, 2Y(2Y2 -1) = 0;

Определим тип особой точки (0; 0):

Э2Р Э F ∂2F

= 12×2 — 2; W = 12y2 — 2; w = 0;

Эх2 ∂y2 y ‘ дхду

∂2F(0∙, 0) θ2F(0; 0)

Дх2 " 2’ ⅜2 " 2’

Δ = 4, Δ>0,

Следовательно, (0; 0) — изолированная точка.

3F ∂F

В) F(x; y) = y2-x3∖ — = -3×2; = 2у.

Очевидно, что единственной особой точкой является точка (0; 0). Определим ее тип:

Задания для самостоятельного решения

1. Разложить по формуле Тейлора функцию

Z = X3X2 + Y2 + х + г/ + 1 в окрестности точки Л(1; 1).

2. Разложить в ряд Тейлора функцию Ex ∙ sin У в окрес­тности произвольной точки А(х; у), ограничившись чле­нами третьего порядка.

Найти стационарные точки, точки экстремума и экст­ремумы функций:

3. Z = X4 + Y4 — X2 — 2ху — у2.

4. Z = ху ∙ ln(x2 + У2).

5. 2 = e2x+3jz(8×2 — Qxy + Зг/2).

Найти наибольшие и наименьшие значения функций:

6. 2 = E~X ~Y (2X2 + Зг/2) в круге x2 + Y2 ≤ 4.

7. ZX2 — ху + у2 , если ∣x∣ + Y ≤ 1.

Найти точки условного экстремума и значения услов­ных экстремумов функций:

8. Z = х + у, если х2’+ Y2 = 1.

9. 2 = X2 +■ У2, если х + У = 1.

10. Вывести уравнение касательной прямой и нормаль­ной плоскости для кривой Х = cos T; у = cos T; г = 72 sin T

π

В точке T = —.

11. Вывести уравнения касательной плоскости и нор­мали к поверхности 2 = x2 + У2 в точке Mθ(l; 2; 5).

12. Найти особые точки кривых, указать их тип:

A) X3 + у3 — Зху = 0; б) (х2 + у2)2 = х2 — У2.

Ответы:

1.4 + 2(x — 1) + 3(y — 1) + 2(x — I)2 + {y — I)2 + (х — I)3;

2. ex(sin У + ∆x ∙ sin У + by cos У +. ɪ (∆x2 ∙ sin У +

+ 2∆x ∙ By ∙ cos УBy2 ∙ sin У) + — (∆x3 ∙ sin У +

6

+ 3 ∙ ∆x2 ∙ By cos У3bx By2 sin У — by3 ■ cos Y)) + r3(∆x; ∆y);

3. Zmln = г(1; 1) = Z(-L; -1) = -2; в стационарной точке

‘ll"

^√2e Y∣2e ,

2

<∕2e y∣2e >

(О; 0) экстремума нет;

1

2е ’

; в стационар-

V…………….. к

Ных точках (0; 1); (0; -1); (1; 0); (-1; 0) экстремумов нет; ( 1

5. Zmin = г(0; 0) = 0; в точке

62„а„м = 2(θ; θ) = θ; 2Наиб

7. гнанм — 2(0; 0) = 0; гнаиб — г(0; ±1) = г(±1; 0) — 1;

JL_____ 1_

√Γ"√2

Fi≈iV=i.

(2 2) 2’ ю. х = У = -(г — √2); Х + у = θ; ‘

Х-1 У — 2 2-5

11. 2х + — г — 5 = 0; — у — = -ɪ- = -ɪɪ- ;

12. А) (0; О) — двойная точка; б) (0; 0) — двойная точка.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *