ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. Понятие функции одной переменной

Определение 1. Если каждому значению Х числового множества X по правилу F соответствует единственное число множества У, то говорят, что на числовом множе­стве X задана Функция у = F(X), Хе X.

В этом случае Х называется Аргументом, у — значени­ем функции. Множество X называется Областью опреде­ления функции, У — Множеством значений функции.

Часто задают это правило формулой; например, X2 + 7

У ~ 2х + 5 или У = ———- —. Указанный способ задания фун­

Кции при помощи формулы называется аналитическим.

Определение 2. Графиком функции у = Дх) называет­ся множество точек плоскости, координаты х, У которых удовлетворяют соотношению У = Дх).

Четность и нечетность

Определение 3. Функция У = Дх) называется Четной, Если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат О;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство Д-х) = Дх).

Определение 4. Фуцкция У = Дх) называется Нечет­ной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство Д-х) = — Дх).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относи­тельно начала координат 0(0; 0). Функция, не являюща­яся ни четной, ни нечетной, называется функцией обще­го вида.

Определение 5. Функция У = Дх) называется Периодичес­кой, если существует такое число T > 0, что для каждого
значения Х из области определения этой функции Х + T и Х-Т также принадлежат области определения и выпол­няется равенство F(X + T)=^ F(X). Число T называется пери­одом функции. Очевидно, что F(X + пТ) = F(X), где л ∈ Z.

Пример 1. Найти области определения следующих функ­ций.

A) Z(x) = J* ~ Jx-9 — Решение.

В данном примере — радикал четной степени, поэтому область определения задается системой неравенств

Х О,

=> х > 9.

Х > 9;

Ответ: [9; +∞).

Ответ:

Г) F{χ} ɪog х-1 θ,ɜ •

Х+5

Решение.

Область определения данной функции задается систе­мой неравенств

Д) У = lg(x — 1) — arcsin ɪ .

Решение.

Область определения данной функции задается систе­мой неравенств

Х -1 > О,

-1 ≤ — < 1-

3

Ответ: (1; 3].

Xi sin Зх
X[12] +1

Пример 2. Выясните, является ли заданная функция чет­ной или нечетной или не является ни четной, ни нечет­ной.

Решение.

Область определения функции — (-∞; +∞) симметрич­на относительно начала координат;

(—х)2 sin(-3x) X2 sin Зх

(-X)6 +1

, I-X

Г) У = ln у— •

1 + х

Решение.

Область определения функции найдем, решая неравен­ство методом интервалов:

1 — х х -1 λ λ

—— > О или ——— < О. Отсюда -1 < х < 1.

1 + х х +1

Интервал (-1; 1) симметричен относительно начала координат.

1+х (1-х Y1 , 1-х

Y(-x) = In— — ɪn^-j = — In— — — jrfx). Ответ: функция нечетна.

Д) У = (х + 4)2 cos 2х.

Решение.

Область определения функции — интервал (-∞; +∞); У (—х) = (4 — х)2 cos (-2x) = (х — 4)2 cos 2x == ι∕1(x). Ответ: функция общего вида.

Пример 3. Найти наименьший период следующих функ­ций.

1 + sin х Решение.

Область определения функции

+ 2π⅛, K Z. Следовательно, если точка

Б) F(X) = ∣sin х|.

Решение.

Областью определения функции F(X) является вся чис­ловая ось Ох; д, ля любого Х точки Х + π и Х — π принадле­жат этой области Определения,

F(X + π) = ∣sin + π)∣ = ∣-sin X ≈ Jsin х] = F(X).

Ответ: данная функция является периодической с пе­риодом π.

В) F(X) = 3sin х + sin 2х.

Решение.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что чис­ло π не является периодом данной функции.

Возьмем T = 2π, F(X + 2π) = 3sin (х + 2π) + sin 2(x + 2π) = = 3sin х + sin 2x = F{X).

Ответ: T == 2π — наименьший положительный период данной функции.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти области определения следующих функций: х-1

Х + 1 ………….. sin х…………………. cos πx

2. Найти наименьший положительный период каждой из следующих функций:

A) F(X) ~ sin Х ’ sin Зх; б) /(x) — sin х + sin 2х;

В) Fix) = sin2 х.

3. Выясните, является ли заданная функция четной, нечетной или функцией общего вида:

X2 ____

А) У = ; б) У = X3 — 2х; в) √x _ ɪ ; г) У = х + cos х;

Х -1

Д) У ≈ х + tg 2х; е) У = x2 + sin х.

Ответы:

1. a) x1 ≠ -1, x2 ≠ -2; б) [-2; 0] u [2; ∞); в) [-9; -1) и (-1; 9];

Г) х ≠ ⅛π, K Z; д) х ≠ ɪ + K, K Z;

2. а) Г = 2π; б) T = 2π; в) T = π.

3. а) четная; б) нечетная; в) общего вида; г) четная; Д) нечетная; е) общего вида.

5.2. Предел числовой последовательности и его свойства

Определение 1. Конечное число А называется Пределом числовой последовательности Xl; х2; … ; Хп; … (или про­сто {xn}), если для любого ɛ > 0 (сколь угодно малого) суще­ствует число N = 2V(ε) такое, что ∣xn — A < ɛ при всех П> N.

Обозначение: Iim Хп =■ а.

N→<×>

Определение 2. Числовая последовательность имеет Бесконечный предел, если для любого ɛ > 0 (сколь угодно большого) существует число N = 2V(ε) такое, что ∣ Xa ∣ > ɛ при всех N> N.

Обозначение: Iim Xn∞.

N→∞

Определение 3. Последовательность {xn} называется Бесконечно малой, если Iim Хп = 0.

∕l→oo

Определение 4. Последовательность {xπ} называется

Бесконечно большой, если Iim Хп ≈ OO.

Л—>∞

Теорема 1. Пусть существуют конечные пределы пос­ледовательностей {xπ} и {yπ}.

1) Если существует порядковый номер N, начиная с которого (N > N) выполняется условие Xn<Yn , то

Iim Xn Iim Уп. Л—л—>∞

2) Если существует порядковый номер N, начиная с которого (N > N) выполняется условие xπ = C, C — const, то Iim Xn = С.

Л—>∞

3) Iim (xπ ± Yn) = Iim Xn ± Iim Уп.

N-ι∞ n->∞ n->oa

4) Iim (Xn ∙ Уп) = Iim Xn Iim У„.

Я—>Oo Л—>°° л—

В частности, Hm C = C Iim xπ, C — const.

N-)∞ Л—>oβ

Iimxn

5) Iim — = ∙~— , где Hm Yn О, Yn ≠ 0.

N→∞ Yn Irvayn n→∞

Л—и»

Замечание. Операция [а] означает выделение целой части числа А, не превышающей самого числа А. Напри­мер, [5, 43] = 5; [-5, 43] = -6; [4] = 4 и т. д.

Пример 1. Используя определение предела последователь — П + 2 _ 1 n→∞ 2л +1 2 ‘

Решение.

Покажем, что для произвольного сколь угодно малого действительного числа ɛ > 0 можно указать порядковый

Номер N элемента последовательности Хп Ная с которого выполняется условие

< ε, а это по определению преде-

∏→∞ 2л + 1 2

Проанализируем полученный результат численно. В частности, при ε = 0,01 N = 74, т. е., начиная с x75, все

1

Члены последовательности отличаются от — меньше, чем на 0,01.

При ε = 0,001 N = 749, т. е., начиная с X750 , все члены 1

Последовательности отличаются от — меньше, чем на 0,001.

Отметим, что при ε → 0 N -+ ∞.

Замечание. В дальнейшем будут использованы следу­ющие очевидные соотношения:

— = 0, — = ∞, C ≠ О, C — const.

OO О

1. 1 1 1. 1 1

Например, Iim — = — =O или ɪim —ʒ ɪ = — = ∞.

N→∞ П θo N→∞ Zl + Zl О

Конечно, речь идет не о делении на ∞ или 0, а о деле­

Нии на элементы бесконечно большой или бесконечно малой последовательностей.

Пример 2. Вычислить пределы

∖1′ 2 et∖ι∙ з + Zl 2

A) Iim ———- ; б) hm———— —.

N→o<, + N ∏→∞ П

Решение.

N→∞ Л ð О Ozneeznz а) О ; б) OO,

Замечание. При вычислении некоторых пределов воз­никает ситуация, которую называют Неопределенностью. Например, если /(n) → ∞ и G(N) → ∞ при n → ∞ , то попыт­ка произвести непосредственное вычисление предела

J (оо — OO ); (о • OO ); (1°°) и т. п. Для того, чтобы

Раскрыть неопределенность, требуется применить тот или иной технический прием. В частности, неопределенность

Обычно исчезает после сокращения дроби на множи­тель, который определяет наибольшую скорость роста числителя или (на выбор) знаменателя.

Пример 3. Вычислить пределы: Зл2 + П — 4

A) Iim

∏→∞ 4na + 1

Б) Iim

5n -3n

N→∞ 4.5" + 2"

Y3N4

+ 2 — л

В) Iim __________

π→~ 5л + у2л5 + л-1

Решение.

A) Iim

Злл + Л — 4

F<X>

"→o° 4л3 +1

VoJ

Iim

∏-÷∞

= Iim

11

3 +———

П Tl2

4л +

0.

3 +——- ;

П п‘

4л +

В этом варианте решения дробь сокращена на л2, так как это старшая степень числителя. Возможен вариант решения с сокращением на л®, как на старшую степень знаменателя:

<3 1 4 ʌ,

Iim

Зл^ + л-4

N→∞ 4л +1

K°°7

■ Iim-

N→∞

Л + Л2 л3

Тл3

θ = 0. 4

Б) Iim

5" -3"

5"

∏→∞ 4 ∙ 5n + 2n I ∞

— Iim

Λ→oo

Л f2V 4+ — ∣5,

ɪ

4’

Iim

N-÷°o

5"

В данном выражении 5" определяет максимальную скорость роста и числителя, и знаменателя.

N→~ ɪ L 1 1

5л + П 3 з 2 + —- — — V Л4 л5

^ooʌ

= Iim

Л4 л

Kooy

П—>∞

= ∞.

5 1/1 1

_ + _.з^2 + —- — л3

Ответ: а) 0; б) —; в) ∞ .

4

Замечание. Часто для раскрытия неопределенностей, связанных с иррациональными выражениями, использу­ют известные алгебраические формулы.

(Ja Jb)- (√a + √s)≈ Л — в; л > о; В > о.

(Ja ±Jb)-(Ja* +JΣb + JbγВ-

Пример 4. Найти пределы

А) Iimf Jn2 + л — YN2 — л |;

Ra->∞l I

Б) Iimf ^2n2 + л — y∣2n2 — л 1 •

N→∞l J

Решение.

A) Iimf Jn2 + л — yjn2 — л ∣ = (∞ — ∞) =

Ra->ool I

^yN2 +n-yN2-n^∙>∕n2+ n + >∕n2П

= Hm————- r — .—f

π^*cβ Ул2 + л+л/л2-л

= lim⅛±⅛≤ = Hm-

-i-1∙

1 tɪ

⅜- — + Jl

Пуп

Б) lim^⅛2n3 + Л2 ⅛2n3 — √ } = (oo _ oo) =

= Iim

(‰3+π2 — ⅛2n3-n2} ⅛*3 + n2Γ + V(2n3+n2∫2n3-n2) + ⅛ι3-π2)2 im 1———- — < А—————————————————————— ,

= Iim

Fl->∞

⅛n3+∕ι2f + ^n3+n2)^n3-n2) + 3∣2∏3 — n2↑

(2π3+n2)-(⅛3-√)

Jl

2 + —
ч п;

1V Lfr. 1Y 1 ʌ F 1 ʌ2

+ ?!

2 + — 2- V NA Ъ

2 = j∕2

3-^4 3

Ответ: а) 1; б)

Vi

Замечательные пределы и их следствия

1) Iim П ∙ sin— = (∞ • 0) = 1; П—>∞ Jl

2) Iim

F Pn

1 + — = (1°°) = е, е — основание натурального

N)

Логарифма; Е = 2,7182818…

3) Iim П ’ Ioga

Ч NJ

= (∞ • 0) = ;— ; А > 0; A ≠ 1, In А

Iim П In 1 +

И—>∞

Jl

= 1;

4) Iim П N→∞

( 1 >
An -1

(∞ • 0) — In А; а > 0,

Iim П

( 1 En -1

К

Zz

= 1;

>⅛ ʌ

5) Iim П

N-)∞

= (∞ ∙ O) = fe; K е R;

6) Iim ∏→∞

= (o°)-ι.

О-символика

Определение 5. Если существует конечный не равный нулю предел отношения бесконечно малых последова­тельностей {Xn} и {Yn}:

X

Iim — = fe; 0 < Ifel < ∞, то {xn} и {Yn называются после-

πO° уп

Довательностями Одного порядка малости при П —> ∞. Обозначение: XnO(Yn).

Определение 6. Если Iim — = 0, то последователь — π→°° Уп

Ность {Xn} называется бесконечно малой Более высокого порядка, чем {Yn}.

Обозначение: Xn = O(Yn).

Определение 7. Если ʃ = 1, то {Xn} и {Yn} называ­ются Эквивалентными.

Обозначение: Xn ~ уп

Примеры эквивалентных бесконечно малых последо­вательностей при П → ∞ :

11 1

Sin—— tg—— arcsιn —

П п п

Lθgα

1

1

Nɪnɑ

Infl

Fe

Zl

Zl

1 —

Ina

Zl

ɪ

Etl

ɪ

Zl

Zl

Замечание. При расчете пределов числовых последова­тельностей можно заменять множители (и только множи­тели!) на эквивалентные им выражения.

Пример 5. Вычислить пределы: п + 1

Tg

A) Iim—— ⅛⅛j6) Ит~

Sin—z— n f

1 + —1
п

N2+2

\ 1 ∙ 2ι П2 + 1

В) Iim п ∙ In ————

N→∞ 4

Решение.

N→- . 5 ’

Arcsin— П

A) Iim П>∞

, п + 1

⅛-≈-τ П +1

2п-1 П2 + 2

Sin

П2 +1 2n 1

→ O; tg

П2 +2

→ 0; sin

N2 + 1 n2 +1 2п -1 2n — 1

Г п + г

(2n~1′

4n2 +!,

‘U2+2,

= Iim

Rt→∞

(

П

1 +

N2 + 2 п2 + 2

— Iim (n ÷l)p+2)
π→∞ ∣n2 + 1Д2п — 1)

= Iim

Д —

ТГ

Б) Iim

2-

1 + —1
п

П—>∞ .5

Arcsin— \ п

2 п J1 2 1 1 2 1

П Y л 4 п 2л

5 . .55

—— > 0; arcsιn ———-

П2 +1

В) Iim л ∙ In

∏→o° л2 + 4

N2÷l n2+4-3

П2 + 4

Л2 + 4

= (∞ • 0) = = 1______ з_.

N2 + 4 ’

Я2 +4

In

Га2 +1 Zi2 +4

= In

1-

Л2 +4

И2 +4

= Iim Zix

N→∞

Л2 +4

= -3 Iim

∏→∞ л2 + 4

°° 1 “ =-3 Iim —-

°° J n-}°°

=-3.

Ответ: a) ɪ ; б) -ɪ- ; в) -3. Л XU

Задания для самостоятельного решения

1. Исходя из определения предела числовой посдедова-

5л-3

Тельности, доказать, что последовательность Хп =———

Стремится к 5. Найти значение порядкового номера л, начиная с которого элементы последовательности отлича­ются от 5 меньше чем на IO"4.

2л2 + л -1

2. Доказать, что последовательность Х =—————————

4л +1

Стремится к —.

Найти пределы:

50л3 — Юл2 +1

Ответы:

√2 2 5 1 3

3. ∞; 4) ; 5. 0; 6. 0; 7. — ; 8. — —; 9. — ; 10. —.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *