ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

6’1′ ТЕОРИЯ АТОМОВ ВОДОРОДА ПО БОРУ

□ Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода,

ν-Я1-Т — 4

M 2 N2

Где ν — частота спектральных линий в спектре атома водорода; R — постоянная Ридберга; M Определяет серию (M = 1, 2, 3, »’); N определяет отдельные линии соответствующей серии (N = M +1, M + 2, »’): Т = 1 (серия Лаймана), M = 2 (серия Бальмера), M = 3 (серия Пашена), M = 4 (серия Брэкета), M = 5 (серия Пфунда), Т = 6 (серия Хэмфри)’ □ Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

MevrnNH , N — 1, 2, 3, … ,

Где Me масса электрона; V — скорость электрона по N-й орбите радиусом Rn.

□ Второй постулат Бора (правило частот)

Hν = EE , Nm

Где EN и EM — соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения).

□ Энергия электрона на N-й стационарной орбите

n = 1, 2 , 3,en = -

n 2 8h 2ε 20

1 Z 2Mee4

Где Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева; ε0 — электрическая постоянная.

6.2. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

□ Связь дебройлевской волны частицы с импульсом P

λ = H / P = H / (Mv ) ,

Где M — масса частицы; V ее скорость.

□ Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью v частицы массой Т

VФа3. = ω / K = E / p = C2/V,

Где E = Hω — энергия частицы (ω — круговая частота); P = HK — импульс (K = 2π / λ — волновое число).

□ Групповая скорость свободно движущейся частицы

= dω = dE DK dP

□ Соотношения неопределенностей:

♦ для координаты и импульса частицы

XPxH ,

YPYH ,

ZPzH ,

Где ∆X, ∆Y, ∆Z — неопределенности координат; ∆Px, ∆Py, ∆Pz — неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат;

♦ для энергии и времени

ETH ,

Где ∆E — неопределенность энергии данного квантового состояния; ∆T — время пребывания

Системы в данном состоянии.

□ Вероятность нахождения частицы в объеме DV

DW = ΨΨ DV = I Ψ ∣2dV ,

Где Ψ = Ψ(X, Y , Z, T) волновая функция, описывающая состояние частицы; Ψ* — функция, комплексно сопряженная с Ψ; ∣Ψ∣2 = ψψ* — квадрат модуля волновой функции;

♦ для стационарных состояний

DW = ψψdV = | ψ I2 dV,

Где ψ = ψ (X, Y, Z) координатная (амплитудная) часть волновой функции.

□ Условие нормировки вероятностей

∫ Ψ I2 dV = 1,

-∞

Где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам X, Y, Z от — ∞ до +∞.

□ Вероятность обнаружения частицы в интервале от X1 до X2

X2

W = ∫ ψ(X) ∣2dX.

X1

□ Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,

L =L ψ I2 DV.

Где ψ = ψ(, Y, Z, T) волновая функция, описывающая состояние частицы; H = H∕(2); т — масса

Г ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψI /—

∂x2 ∂y2 ∂z2
потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.
Частицы; ∆ — оператор Лапласа I ∆Ψ =—r + —r + —r∣; I = J1 — мнимая единица; U = U(Х, Y, Z, T)

□ Уравнение Шредингера для стационарных состояний

∆ψ+2mm (— u)ψ=о,

H2

Где ψ = ψ(X, Y, Z) координатная часть волновой функции (Ψ(X, Y, Z, T)= ψ(X, Y, Z)EI(E/H)T); U =U(X, Y, Z) потенциальная энергия частицы; Е полная энергия частицы.

□ Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,

ψ(X, T) = Ae hE Pχx)

Где А — амплитуда волн де Бройля; Px = KH — импульс частицы; E = Hω — энергия частицы.

□ Собственные значения энергии En частицы, находящейся на N-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками",

π2H2

En = n2 -π-, N = 1, 2, 3, …, N 2ml2

Где L ширина ямы.

□ Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии,

ψn,2 n π
'" v - sιn-
,x,
n = 1, 2, 3,

□ Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины 1,

= d0 exp‘-

J2mE — E)l H

Где D0 множитель, который можно приравнять единице; U высота потенциального барьера; Е — энергия частицы.

□ Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике

d2ψ 12m e ∂x2 + h2 1Mω2X2 I

——Jψ=0 • где Mω02X2 /2 =U потенциальная энергия осциллятора; ω0 — собственная частота колебаний осциллятора; M — масса частицы.

□ Собственные значения энергии гармонического осциллятора

n = 1, 2, 3,
hω0,

□ Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора

E0 = — 0 2

6.3. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ

□ Потенциальная энергия U(R) взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме

)=- Ze2 ,

4πε0R

Где R расстояние между электроном и ядром; Z порядковый номер элемента; ε0 — электрическая постоянная.

□ собственное значение энергии en электрона в водородоподобном атоме,en = -,1 z2me4,8h2,n = 1, 2,3,,ε0
□ энергия ионизации атома водорода
4
me
8⅛2ε2
ei = -e1

□ Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона

LI = hy∣l(l + 1),

Где L — орбитальное квантовое число, принимающее при заданном N следующие значения: L = 0,1, …, N -1 (всего N значений).

□ Проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля

LLz = HML ,

Где ML магнитное квантовое число, принимающее при заданном L следующие значения: Ml = 0, ±1, …, ± L (всего (2L + 1) значений).

□ Правила отбора для орбитального и магнитного квантовых чисел

L = ±1 и ∆Ml = 0, ±1.

□ Нормированная волновая функция, отвечающая LY-состоянию (основному состоянию) электрона в атоме водорода, где A = 4πε0H2 /(Me2) — величина, совпадающая с первым боровским радиусом.

ψ100,(г)= 1

□ Вероятность обнаружить электрон в атоме водорода, находящемся в lY-состоянии, в интервале от R до R + dR □ Спин (собственный механический момент импульса) электрона

LS = ħYjs (S + 1) ,

Где S — спиновое квантовое число (S = 1/2).

□ Проекция спина на направление Z внешнего магнитного поля

Lsz = HMs ,

Где MsМагнитное спиновое квантовое число (τs = ±1/2).

□ Принцип Паули

Z (N, L, ML , MS) = 0 или 1,

Где Z (N, L, ML , MS) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: N главного, L орбитального, Mi магнитного, τs магнитного спинового.

□ Максимальное число электронов Z(N), находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом N,

Z(N)= ∑2(2L+1)=2N2. L=0

□ Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра

λmin = Ch /(EU),

Где Е — заряд электрона; U разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.

□ Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характеристического рентгеновского излучения,

ν 5

Где R постоянная Ридберга, Z — порядковый номер элемента в периодической системе; σ — постоянная экранирования; M определяет рентгеновскую серию (Т = 1, 2, 3, …); N определяет отдельные линии соответствующей серии (N = M + 1, Т + 2, …).

□ Закон Мозли для линии Kα= 1)

6.4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

□ Распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
где (NI} соответственно средние числа бозонов и фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei; К

— постоянная Больцмана; T термодинамическая температура; μ — химический потенциал. При E(μ)(τ) >> i оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

(nJ = Ae E/(Т), где A = Eμ /).

□ Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в металле

(N(E) = E(EEF )(T) + i,

♦ при т = 0 к
n (e) =
Где EF энергия Ферми.

1 при E < FF,

0 при E > FF.

□ Характеристическая температура Дебая (при T << TD)

TD = HωD / K ,

□ Электрическая проводимость металла, согласно квантовой теории электропроводности металлов,

Ne2 LF

γ = ,

M uF

Где N концентрация электронов проводимости в металле; (ZF) — средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми; (MF) — средняя скорость теплового движения такого электрона.

6.5. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Ne = C1 E-(E2-EF)/(KT) и Np = C2 E-(E1-EF)/(KT) ,

Где Е2 энергия, соответствующая дну зоны проводимости; E1 — энергия,

Соответствующая верхней границе валентной зоны; EF — энергия Ферми; Т —

Термодинамическая температура; C1 и С2 постоянные, зависящие от температуры и эффективных масс электронов проводимости и дырок (при равенстве последних С1 = С2).

□ Уровень Ферми в собственном полупроводнике

EF = ∆E /2.

Где E ширина запрещенной зоны.

□ Удельная проводимость собственных полупроводников

γ = γ0 e-∆e/(2kt)

Где γ0 — постоянная, характерная для данного полупроводника.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *