ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ И МУЛЬТИПОЛИ

Разложение множителя (r[25] [26] + г’2 2Rr) ɪʌ2 по сферическим и тес- серальным гармоникам приводит к равенствам

Свойства этих гармоник рассмотрены в гл. 10 и 28. Коэффициенты разложения M3λm в фигурных скобках — мультипольные моменты —

⅛ = J 2∙,ψVtΛτ∙)D∙-, (4)

Они характеризуют распределения зарядов и называются по — разному в зависимости от числа £

£ = 0 монополь,

I = 1 диполь,

I = 2 квадруполь, (5)

I = 3 октуполь,

£ = 4 гексадекаполь.

Приведем выражения монопольного, дипольного и квадрупольного моментов при Тп = 0:

Moo =

I p(τ’)d3r’ = q

Монополь,

(6)

Мю =

F z’p(τ’)d3r’ = pz

Диполь,

(7)

М20 =

[ (3z∕2)p(r’)d3r’ = Qzz

Квадруполь;

(8)

Здесь опущены нормировочные множители тессеральных гармоник. В Общем случае компоненты квадрупольного момента имеют вид

Qij = I(⅛RIRJR‘2δij)P(τ‘)D3Rl, (9)

А выражения (6) и (9) являются коэффициентами мультипольного разложения потенциала

= _1_/я + ел + ɪ V0. Пи +.. 1

4π∈o [г г3 2 v r5 ʃ ’

Которое часто используется в приложениях.

Дипольный момент представляет собой вектор с компонентами

Px, Py, Pz; он также может быть задан величиной Р и двумя полярны­ми углами θ, φ, определяющими его направление. Квадрупольный момент представляет собой симметричный тензор второго ранга с нулевым следом:

Qij Qjii

Qxx — ь Qyy — ь Qzz б,

Рис. 11.1. Примеры, иллюстрирующие образование электрического моно­поля (а), диполя (6), а также продольного (г/ = 0) (е) и поперечного (η = 1) (г) квадруполей.

У этого тензора пять независимых компонент. Используя углы Эй­лера, его удобно привести к главным осям, т. е. к диагональному виду Qij = 0 для I ≠ j; в этом случае у него будет только две независимые компоненты. Если условиться, что

L‰l ≤ l‰l < Q*Z, (12)

То элемент Qzz будет называться квадрупольным моментом; если тензор не является аксиально-симметричным (т. е. QxxQyy}, вво­дится параметр η

QyyQxx z14v

η~ ‰

0≤j7≤l, (14)

Характеризующий отклонение квадрупольного момента от аксиаль­ной асимметрии. Таким образом, величины Qzz и η однозначно ха­рактеризуют квадрупольный момент. Поперечные компоненты тен­зора даются выражениями

Qxx = —Qzz i Qyy = —Qzz 2 ■ (ɪʒ)

Если η = 0, квадруполь обладает аксиальной симметрией (Qxx = Qyy); η = 1 отвечает значительно менее вероятному случаю Qxx = 0 и QyyQzz

К проблеме можно подойти иначе и рассмотреть последователь­ность мультипольных моментов, начиная с монополя (точечного за­ряда). При таком подходе диполь образуется парой точечных заря­дов (монополей) Q, одинаковых по величине, противоположных по знаку и расположенных на небольшом расстоянии D друг от друга;

Монопольный момент такой пары равен нулю, а дипольный опре­деляется равенством

Р = Qd. (16)

Подобным образом квадруполь возникает при сближении двух про­тивоположно направленных диполей; на рис. 11.1 показаны две воз­можные ситуации, при которых возникает либо продольный, либо поперечный квадруполь. В обоих случаях это чистый квадруполь, Т. Е. не имеющий ни монопольного, ни дипольного моментов. Со­вершенно аналогично октуполь, I = 3, может быть получен сбли­жением двух противоположно направленных квадруполей, причем мультипольные моменты низших порядков с I = 0,1,2 при такой конфигурации зарядов будут отсутствовать.

Произвольная конфигурация зарядов может иметь мультиполь­ные моменты многих порядков. Величина M[27]Tm для момента низше­го порядка не зависит от положения начала координатной системы В Области расположения зарядов, однако такая зависимость может иметь место для моментов более высокого порядка.

Силовые линии этого поля расходятся радиально от заряда.

Компоненты электрического поля, создаваемого диполем, ори­

Ентированным вдоль оси Z, имеют в сферической системе коорди­нат следующий вид:

M 2p cos θ

Ьг ~ 47re0r3 ’

_ psin6> β 4πeor3 ’

(19а)

(196)

6-1168

Eφ = 0.

(19в)

4. ЭНЕРГИЯ И МОМЕНТ СИЛЫ

Энергия U системы зарядов дается интегралом

U= [ p(r’)φ(τl’)d3r’∙ (20)

С помощью соотношений (10) и (18) это выражение можно преобра­зовать к виду

σ = g<∕>(r)-p∙E-j∑Q0⅛^ + … (21)

Энергия взаимодействия Udd двух диполей p1 и рг, расположен­ных на расстоянии ∏ — г2 друг от друга, определяется энергией взаимодействия каждого из диполей с полем другого диполя, т. е. Udd = — Pi ■ E2 = —p2 ∙ E1, где

PlP2 -3(Fi)(NP2)
4πeo∣rι — r2∣3

И п обозначает единичный вектор в направлении (r1 — r2).

На заряд Q, помещенный в электрическое поле Е, действует сила

F = дЕ, придающая ему ускорение в направлении поля. На диполь р, помещенный в однородное электрическое поле Е, действует мо­мент силы N

N = р х Е,

Который стремится ориентировать диполь, в результате чего диа — поль приобретает потенциальную энергию

U = —р ∙ E = —рЕ Cos θ. (24)

Если диполь ориентирован вдоль силовых линий поля, так что θ = 0, то его энергия U = —рЕ минимальна, и он может оставаться в этом состоянии неограниченно долго. Однородное электрическое поле не оказывает влияния на чистый квадруполь и мультиполи более высокого порядка, т. е. на них не действуют силы или мо­менты сил.

Рассмотрим теперь электрическое поле, направленное вдоль оси Х и имеющее постоянный продольный градиент

. ,„п

—— = const, (25)

OX

Как показано на рис. 11.2. Одиночный заряд в таком поле будет, разумеется, двигаться с ускорением, причем последнее будет возра­стать при движении в сторону увеличения поля и уменьшаться при

Рис. 11.2. Силы, действующие на электрический монополь, диполь и про­дольный квадруполь в электрическом поле с постоянным градиентом (на­пряженность поля увеличивается слева направо). Эти силы вызывают изменение ориентации и ускорение диполя (1), ускорение монополя (2) и изменение ориентации квадруполя (3).

Движении в обратном направлении. Силы, действующие на соста­вляющие диполь заряды, будут различны, как показано на рис. 11.2, поэтому сначала диполь станет поворачиваться в поле и одновре­менно ускоряться; после того как он ориентируется по полю, он продолжит ускоренное движение. В том же поле на квадруполь бу­дет действовать только момент силы; под его влиянием квадруполь примет положение с наименьшей энергией и в дальнейшем будет оставаться неподвижным. Электрическое поле С постоянным гра­диентом не оказывает воздействия на октуполи и мультипольные моменты более высокого порядка. Сказанное легко обобщается на случай более сильных градиентов и моментов более высокого по­рядка.

5. МАГНИТНЫЕ МУЛЬТИПОЛИ

После обсуждения свойств электрических мультипольных момен­тов уместно рассмотреть их магнитные аналоги. Существуют прин­ципиальные различия между этими видами мультиполей, обусло­вленные тем, что магнитный монополь не существует и магнитные мультипольные моменты более высокого порядка возникают вслед­ствие движения электрических зарядов или токов. Вместе с тем имеется много общего, поскольку соотношения между магнитными моментами и магнитными полями аналогичны соотношениям для электрических моментов и полей. Сначала мы обсудим существую­щие сходства, а затем обратимся к анализу указанных различий.

Составляющие поля магнитного диполя μ = μk, ориентирован­ного вдоль оси z, имеют в сферических координатах тот же вид, что и их электрические аналоги (19)

μ0 2μcos0

Г3 μ0 μ sin θ R3

= 0.

Здесь не следует путать магнитный момент μ с абсолютной маг­нитной проницаемостью μ.

Энергия взаимодействия двух магнитных диполей μ1 и μ2 об­условлена взаимодействием каждого из них с полем другого дипо­ля, т. е. Udd = ~μi B2 = μ2 Bi:

ττ μ0 Mi-M2-3(n∙Mι)(n∙M2) z∙o-7i

Udd — т————- ;————————- ! (z∣)

4π |п — r2∣3

Что вполне аналогично взаимодействию электрических диполей (22).

Выражения для момента силы N И энергии U магнитного дипо­ля μ в однородном магнитное поле В

N = μ × В, (28)

U = —μ В = — μB cos θ (29)

Имеют тот же вид, что и их электрические аналоги (23) и (24), соот­ветственно. Возникновение у атома с полным моментом J Добавки U к энергии в магнитном поле приводит к расщеплению уровней, называемому в квантовой физике эффектом Зеемана. Величина U Может принимать всего 2J + 1 дискретных значений U = GμsMj, Где J < Mj < +J.

6. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ

Наличие плотности электрического тока J (г) приводит к возникно­вению намагниченности M

M=R×J(R); (30)

Таким образом, с плотностью тока связан магнитный дипольный момент μ

Проинтегрировав это выражение, легко найти величину магнитного момента контура радиусом А с током I

μ = πa2I, (32)

Где вектор μ направлен перпендикулярно плоскости контура. В слу­чае плоского контура произвольной формы

μ = / х (площадь), (33)

Где имеется в виду площадь, ограниченная контуром. Вращающа­яся система зарядов (например, вращающийся заряженный шар) эквивалентна системе контуров с током, так что магнитный момент такой системы будет направлен вдоль оси вращения.

Выше рассматривался классический магнитный момент. В кван­товой механике магнитный момент пропорционален орбитальному моменту, величина которого квантуется. Электрон с массой Т, за­рядом Е и орбитальным моментом TiL Будет иметь магнитный мо­мент

μ = μβl, (34)

Где μβ = Eħ∕2M — единичный магнитный момент, называемый маг­нетоном Бора. В случае собственного вращения (спина), характе­ризуемого моментом ħS, имеем

μ = GμsS, (35)

Где безразмерный g-фактор в классическом случае и в случае орби­тального движения (34) имеет значение Д = 1, а в случае собствен­ного вращения, т. е. спина, Д —2. Более точно для свободного элек­трона первые пять значащих цифр g-фактора таковы: Д = 2,0023.

Первые экспериментальные доказательства существования спи­на у электрона восходят к опыту Штерна-Герлаха. В этом экспери­менте пучок нейтральных атомов серебра, находившихся в основ­ном состоянии 2 S1/2 cI = 0hS=∣, пропускался через силь­но неоднородное магнитное поле. Из-за градиента магнитного поля возникает сила

F≈=⅛g, (36)

Направления которой для двух возможных ориентаций спина Ms = ÷∣ противоположны. Измерение отклонения пучка показало, что магнитный момент атома серебра равен магнетону Бора μβ

7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И

МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТИ

Все среды, кроме вакуума, в микроскопических (атомных) масшта­бах могут обладать распределением электрических дипольных мо­ментов, что приводит к возникновению электрического дипольного момента единицы объема среды, называемого диэлектрической по­ляризацией Р. Точно так же атомы среды могут иметь спин, и в сре­де в молекулярном масштабе могут течь электрические токи, что приводит к возникновению намагниченности M, определяемой как магнитный дипольный момент единицы объема среды. Эти факто­ры учитываются диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ, или же безразмерными восприимчивостями χe И χ, соответственно, о чем говорилось в разд. 5 предыдущей главы.

Восприимчивость является количественной характеристикой от­личия данной среды от вакуума. Многие из обычных веществ обла­дают диэлектрической восприимчивостью, составляющей от 1 до 10, причем большинство немагнитных материалов являются диа­магнетиками, т. е. имеют отрицательную магнитную восприимчи­вость. Парамагнитные материалы имеют положительную магнит­ную восприимчивость; восприимчивость ферромагнитных материа­лов тоже положительна, а ее величина может достигать нескольких тысяч. Величины ε и μ могут существенно зависеть от частоты, и в некоторых случаях они могут быть комплексными: ε = ε‘ + ", μμ! + ". Однако пока мы будем пренебрегать мнимыми частя­ми ε" и μ».

Существует немало причин, по которым ε и μ играют важ­ную роль в физике. Например, выражения для скорости света с = (l∕μoεo)1/2 и импеданса вакуума η = (μo∕εo)1^2 были исполь­зованы в разд. 5 предыдущей главы для определения численных значений εo и μo — Емкость C плоского конденсатора, состоящего из параллельных пластин площадью А на расстоянии D друг от дру­га, пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости ε среды, заполняющей пространство между пластинами:

C = εAD, (37)

А индуктивность L соленоида длиной £, содержащего П витков пло­щадью А, пропорциональна абсолютной магнитной проницаемости μ среды, заполняющей катушку катушку соленоида:

L = μn1LA.

Эти выражения подсказывают метод экспериментального измере­ния значений ε и μ для конкретных материалов.

Сила кулоновского взаимодействия двух зарядов Q и Q‘, нахо­дящихся на расстоянии Г друг от друга, обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости ε среды

F=⅛- <39’ Интересным следствием наличия диэлектрической проницаемости в знаменателе закона Кулона является существование слабо связан­ных экситонов в твердом теле. Экситон представляет собой пару из электрона и дырки, которые взаимодействуют между собой по за­кону Кулона; его эффективная масса Т* меньше массы электрона Те. Уровни энергии экситона определяются выражением, сходным с формулой для уровней энергии атома водорода:

_ m*e4 .anx

N — ~ 2∕i2(4πε)2n2 ’

Эти величины весьма малы из-за больших значений диэлектриче­ской постоянной ε, а радиусы Г соответствующих орбит могут быть очень велики здесь ao = 4πεofr2Mee2 = 0,53 А—боровский радиус, и основному состоянию отвечает n = 1.

8. ЭЛЛИПСОИДЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

До сих пор неявно предполагалось, что электрическое поле вну­три образца с диэлектрической проницаемостью ε, помещенного во внешнее электрическое поле £?о, составляет Еввут = (εεo)Eo. Точно так же неявно предполагалось, что магнитное поле внутри образ­ца с магнитной проницаемость μ, помещенного во внешнее магнит­ное поле Bq, составляет Ввиут = (μμo)Bo Оба допущения, однако, весьма неточны, поскольку напряженности полей внутри образца существенно зависят от формы образца.

Прежде чем приступить к исследованию зависимости полей от формы образца следует отметить, что в вакууме поля (E, o,Bo) свя­заны с полями (Do, Но) обычным образом,

Eo = D0ε0, Во = μoHo

И что в среде удовлетворяются аналогичные соотношения

-^внут ” -^внут/^ -^внут = М-^ВНуТ* (43)

Зависимость от формы возникает из-за граничных условий, опи­санных в разд. 6 предыдущей главы; в силу этих условий в отсут­ствие поверхностных зарядов и токов (σ = О, К = 0) нормальные компоненты полей DhBh тангенциальные компоненты полей E и H Должны быть непрерывны на поверхности раздела, как это показано на рис. 10.1. Например, в случае длинного стержня, ори­ентированного вдоль силовых линий поля, граничные условия для электрического и магнитного полей будут иметь вид

ЕВнут — Eo Я Овнут = ^Eq (44)

И

Нвнут = H0 и Ввнут ɪ (μ∕μo)Eo (45)

Соответственно.

В случае же тонкой пластины, ориентированной поперек сило­вых линий поля, для электрического и магнитного полей имеем

1^внут — D0 и Евнут — (др/д)Ер (46)

И

ЕВНут = Bq И Нвнут — Bq/Ft, (47)

Соответственно.

Данные соотношения можно проверить, используя рис. 10.1 из предыдущей главы.

Длинный стержень можно рассматривать как предельный слу­чай очень вытянутого эллипсоида с главными осями А = B — C с, а тонкую пластину — как очень сильно сплющенный эллипсоид с А = B 3> С. Определенный интерес представляет случай произволь­ного эллипсоида, находящегося во внешнем поле, силовые линии которого ориентированы вдоль главной полуоси, поскольку в этой ситуации поле внутри эллипсоида оказывается однородным, а сило­вые линии поля в нем будут параллельны силовым линиям внешне­го поля. В остальных случаях поле внутри образца, находящегося во внешнем поле, будет, вообще говоря, неоднородным, и его силовые линии могут быть не параллельны силовым линиям внешнего поля.

Эллипсоид во внешнем электрическом поле характеризуется ко­эффициентами деполяризации TVi, которые для трех главных на­правлений удовлетворяют условию нормировки

Nx ÷ Ny + Nz = 1.

Тип эллипсоида

Условие

JvII

N±.

Пластина

С => 0

1

О

Плоский диск

С ≪ А

I-Ai

1∕2A1

Сплющенный эллипсоид

С < А

1/3 + A2

1/3 — 1∕2A2

Шар

С = А

1/3

1/3

Вытянутый эллипсоид

С > А

1/3 — A3

1/3 + 1∕2A3

Стержень

СЗ> А

Si

1/2(1 — A4)

Длинный стержень

C =► OO

О

1/2

Таблица 11.1. Коэффициенты деполяризации и размагничивания N1 для вытянутого и сплющенного эллипсоидов вращения с полуосями а = Ь и с. Поправки S1 ≪ 1 приведены в предельных случаях диска (с ∙C а), шара (с ~ А), и стержня (с а).

Значение поправок:

51

52

Для рассматриваемого случая аксиальной симметрии, А = Ь ≠ с,

Nx = Ny = TVx и Nz = N∖∖, (49)

И условие нормировки имеет вид

27Vx + 7V∣∣ = 1. (50)

В табл. 11.1 приведены выражения для 7Vχ и 7V∣∣ для различных си­туаций. На рис. 11.3 показано как 2Vχ и 7V∣∣ зависят от соотношения С/а главных осей. Для стержня и пластины, о которых говорилось

Выше,

Ar± = ɪ — JV11 = Si

Стержень,

(51)

N± = ∣A1 7V1∣ = 1 — A1

Пластина,

(52)

В табл.

11.1 приведены значения поправок A1-A4 при

Условии

Si 1.

Если главная полуось эллипсоида ориентирована параллельно внешнему электрическому полю Eq, то силовые линии полей DB„yT,

С/а

Рис. 11.3. Зависимость нормальной и тангенциальной компонент Лд и Λr∣∣ коэффициентов деполяризации и размагничивания от соотношения глав­ных осей С/а эллипсоида. (Из книги: C. P. Poole, et al., Superconductivity, Academic Press, New York, 1995, p. 327.)

£виут и P внутри эллипсоида будут параллельны полю Eo, причем первая пара этих полей связана между собой соотношением

N Dεliy τ ÷ (1 — AQeoEBHyT — εoEo, (53)

Где Do = CoEo и Евиут = еЕвиут. Если же направление главной оси эллипсоида не совпадает с направлением внешнего поля Eo, то силовые линии поля внутри эллипсоида, вообще говоря, не бу­дут параллельны внешнему полю. Соотношения (44)-(47) получены для случая, когда внешнее поле направлено вдоль главной оси эл­липсоида. Соотношение (44) для стержня, ориентированного вдоль поля, отвечает предельному случаю 7V∣∣ = 0, ⅛ — 0. При выводе ра­венства (46) для тонкой пластины было положено <5j = 0 и 7V∣∣ = 0. Соотношения (45) и (47) для магнитных полей получены аналогич­ным образом с использованием равенства (57), приводимого ниже. В случае шара А — B = с и все направления равноправны, так что

Рис. 11.4. Концентрация силовых линий электрического поля в шаре из диэлектрика, помещенного во внешнее электрическое поле. (Из книги: J. A. Siratton. Electromagnetic Theory, McGraw Hill, New York, 1941, p. 207.)

Согласно (48) N = ∣ и выражения для электрического поля внутри и поляризации имеют вид

‰τ = -⅛- Е°’ (54)

ε + zɛo

■^внут = " 7 (ʒʒ)

£ + zɛo

P = 3(£-~£о)£оДо (56)

ε + 2ε0

Соответственно; все три величины постоянны в объеме шара. На рис. 11.4 показано, что силовые линии электрического поля кон­центрируются внутри диэлектрического шара.

Для образца из магнитного материала, помещенного во внеш­нее магнитное поле Во, можно получить выражение, аналогичное равенству (53):

N ВВНуТ + (1 А^)цоВвнут = Во, (57)

Где N называется коэффициентом размагничивания.

Если использовать это соотношение совместно с (51) и (52), то при ʤ = 0 и <⅞ = 0 из него легко получить выражения (45) и (47). Соотношения, аналогичные равенствам (54)—(56), также лег­ко выводятся для шара в магнитном поле. Табл. 11.1 и рис. 11.3 остаются в силе и для магнитного поля.

Поскольку намагниченность может иметь место и в отсутствие внешнего магнитного поля, то полагая в равенстве (57) Во = О, получим

Теперь с помощью выражения Bmyτ = цо(Нвнут + M‘) можно опре­делить намагниченность

= ⅛ (59)

Таким образом, поле TTbhvt внутри тела направлено в противопо­ложную сторону по отношению к Ввнут и M. Для шара N = |, так что его магнитный момент μ равен произведению намагниченности на его объем:

μ = ∣π A3 M. (60)

О

9. МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ЯДЕР И АТОМОВ

Электрический монопольный момент ядра с атомным номером Z Совпадает с его полным зарядом Ze. У ядра не существует электри­ческого дипольного момента, однако если его форма отклоняется от сферической, то возникает квадрупольный момент Qzz, характе­ризующий степень этого отклонения. Ядро также не может иметь гексадекапольного момента. В общем случае ядро может обладать электрическими моментами только четного порядка (7 —четное), все моменты нечетного порядка тождественно равны нулю.

C ядерным магнитным моментом все происходит наоборот, а именно отличны от нуля лишь магнитные моменты нечетного по­рядка (£— нечетное), ядро с нечетным числом протонов или нейтро­нов имеет отличные от нуля спин I и магнитный дипольный момент. Например, у ядра дейтерия спин I = 1, а магнитный дипольный мо­мент обусловлен противоположно направленными магнитными мо­ментами протона и нейтрона. Аналогичная ситуация имеет место и для изотопа азота — 14N, распространенность которого в приро­де составляет 99,63% — его ядро состоит из семи нейтронов и семи протонов и имеет спин 7 = 1. Все изотопы с I = 0, например 12C или 16O, имеют четное число и протонов, и нейтронов.

При столкновении с атомом фотона с частотой, соответствую­щей переходу между атомными уровнями, электрическое поле фо­тона E поляризует атом, при этом вероятность индуцированного перехода с уровня П на уровень П’ вычисляется как квадрат модуля матричного элемента дипольного момента (n∣p∣n’), где р — электри­ческий дипольный момент, индуцированный полем падающего из­лучения. Для электрического дипольного перехода правила отбора имеют вид Δ^ = ±1 и ∆j = 0, ±1. Могут также иметь место магнит­ные дипольные переходы (n∣μ∣n’), и электрические квадрупольные переходы (n∣Qz2∣n’). Каждому типу переходов соответствуют свои специфические правила отбора, однако вероятность электрического дипольного перехода обычно существенно выше. Аналогичная си­туация имеет место и для атомного ядра, ибо переходы в этом слу­чае могут быть обусловлены существованием ненулевых матрич­ных элементом для различного типа электрических и магнитных моментов.

ГЛАВА 12

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *