ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. ВВЕДЕНИЕ

В Этой главе мы рассмотрим вращательные движения твердых тел. Это рассмотрение включает матрицы вращения, преобразования векторов и тензоров, четность, представление вращения в двумер­ном пространстве, вращающиеся тела, вращающиеся системы коор­динат и силы Кориолиса. Следующая глава будет посвящена коле­бательным движениям, которые возникают, если тело не является абсолютно твердым, и другим аспектам колебательных движений.

2. ПРИРОДА И ОПИСАНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Твердое тело состоит из частиц, взаимное расположение которых относительно друг друга остается постоянным. Рассмотрим сово­купность N атомов, положение каждого из которых характеризу­ется координатами X,Y,Z. Эти 3Λr координаты необходимы для за­дания положения тела. Если N атомов образуют твердое тело, то для них должно выполняться следующее условие: расстояние меж­ду каждой парой атомов rʊ остается неизменным

Tij = rji = const для всех I, j. (1)

Твердое тело может двигаться в пространстве, и в любой момент времени его положение задается координатами его центра масс хцм, Уцм и M Ориентация определяется направляющими косинусами cos θij углов θij, Показанных на рис. 3.1 и определяющих ориен­тацию осей системы координат, связанной с телом, относительно неподвижной системы координат, причем начала координат обеих систем совпадают с центром масс тела. Другой способ связан с вве-

Рис. 3.1. Направляющие косинусы углов ðʊ между осями Xyz и XYZ де­картовых систем координат.

Дением полярных углов θ, φ некой оси и угла поворота ψ вокруг этой оси, который приводит к совпадению обеих систем координат. В любом случае для описания положения твердого тела необходи­мы шесть независимых координат — три определяют положение центра масс, и три — ориентацию тела; первые три представляют собой декартовы координаты, а вторые три — угловые. Один из наиболее удобных выборов трех углов для задания ориентации те­ла был предложен Эйлером (рис. 3.2): угол φ задает поворот вокруг оси Z, угол θ вокруг новой оси Х, и наконец, ψ вокруг новой оси г; соответствующая матрица вращений

ЙЭйлер = β2(≠)¾(0)-Rz(⅜?)- (2)

Эта последовательность вращений, называемая операцией вы­бора осей Zxz, отбирает предпочтительное направление, а именно направление Z, которое хорошо подходит для рассмотрения систем с осевой симметрией, таких, как, например, вращающийся симме­тричный волчок, или для изучения эффекта Зеемана.

Пилоты самолетов используют следующую систему координат Xyz для характеристики вращений вокруг осей этой декартовой сис-

Рис. 3.2. Три последовательных поворота на углы Эйлера φ, θ, ≠ для перехода от координат Xyz к координатам XYZ . (Из книги: H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd Ed., Addison-Wesley, 1980, р. 146.)

Темы, связанной с самолетом: ось Х направлена вдоль фюзеляжа самолета от носа к хвосту, ось У — вдоль крыльев самолета и ось Z — вертикально для характеристики высоты полета, как показано на рис. 3.3. Направление полета изменяется поворотом на угол φ Относительно оси Z, т. е. операцией, называемой изменением кур­са, или рысканьем. Она сопровождается креном или виражом — поворотом на угол ≠ вокруг оси Х. Третья операция, называемая изменением угла наклона, или изменением угла тангажа, вызыва­ется поворотом самолета в воздухе относительно оси У для того, чтобы начать набор высоты или спуск. Велосипедист выполняет вираж, поворачивая за угол, и инстинктивно наклоняется при по­вороте, иначе велосипед мог бы упасть. Подъем или спуск с холма представляет собой изменение угла тангажа.

Отметим три основные теоремы, касающиеся ориентаций твер­дого тела.

рис. 3.3. система координат xyz, связанная с самолетом. вираж, изменение угла тангажа и рысканье — это повороты вокруг осей х, у и z, соответственно.

1. Теорема Эйлера утверждает, что наиболее общее перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представля­ет собой вращение.

2. Действительная ортогональная матрица, описывающая враще­ние в трех измерениях, имеет детерминант +1 и одно собствен­ное значение +1. Другие два собственных значения — комплекс­но сопряженные типа Elψ и E~1′Fi.

3. Теорема Шаля утверждает, что наиболее общее перемещение твердого тела представляет поступательное перемещение плюс вращение, и эти операции коммутативны.

4. Вращения в общем случае не коммутативны. Однако бесконечно малые вращения тела коммутативны в первом порядке.

3. МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ

Ортогональная матрица вращения состоит из направляющих коси­нусов углов, изображенных на рис. 3.1,

 { cos cos 0ху cos о
r = cos θyx cos oyy cos θ
 cos ozx cos ozy cos θ

,j/г
(3)

Направляющие косинусы удовлетворяют условиям ортогональ­ности

Cos θij Cos ^Ik = 52c°s c°s @ki = (4)

И детерминант R равен +1:

|Я| = +1. (5)

Для вращения вокруг оси Z матрица направляющих косинусов (3) может быть сведена к

(

Cosφ sinφ 0 \

— sin φ cos φ О. (6)

О О 1 J

Аналогичные выражения могут быть написаны для Rx и Ry.

Формулы преобразований (2) и (3) не содержат операций инвер­сии или отражения и называются собственными вращениями. Лег­ко видеть, что любые две матрицы собственных вращений можно получить одну из другой с помощью последовательных бесконечно малых вращений, при которых, например, φ в (6) заменяется на . Эта последовательность отвечает постепенному повороту век­тора от одной ориентации в пространстве к другой.

Если имеет место операция инверсии, при которой Х => — х, у => —у и Z => —z, то вращение называется несобственным. Инвер­сия переводит вектор V С помощью матрицы J в противоположный ему V => —V.

/ -1 О о \

J=O-IO. (7)

VO 0 —1 /

Отражению относительно плоскости Х, у (х => х, у => у, Z => —Z) Отвечает матрица

ZlO о

σxy = 0 1 О

V 0 0 -1

Аналогичные выражения могут быть записаны для σyz и σzx. Необходимо отметить, что детерминант матрицы инверсии или от­ражения равен —1.

Вообще, произведение матриц типа RI = IRn = σR, где ʃ, σ и матрица собственного вращения R коммутируют, образует матрицу несобственного вращения с детерминантом, равным — 1. Примером служит IRz{ψ), что легко показать, используя (6) и (7):

(

— cos φ — sin φ О \

Sin φ — cos φ О I. (9)

О О -1 J

Как и в случае собственного вращения, любые две матрицы не­собственного вращения могут быть получены одна из другой по­средством последовательных бесконечно малых несобственных вра­щений. Группы собственных и несобственных вращений не связаны в том смысле, что никакая последовательность бесконечно малых собственных вращений не может перевести собственное вращение в несобственное, и наоборот. Правую руку нельзя преобразовать в левую непрерывным способом, а лишь внезапно путем отражения в зеркале!

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ

Вращение на угол φ вокруг оси Z переводит вектор VbV’:

Cos φ sin⅛3 О ∖ Z Vx Z Vc’ \

— sin φ cos φ О Vy = Vy’ , (10)

О О 1 7 V Vz J VJ

Где

Vr’ = Vr cos φ + Vy sin φ,

Vy = — Vr sin √3 + Vy cos φ, (11)

K’ = Vz,

И величина ∣V] сохраняется

K2 + Vy’2 + v;2 = V12 + Vy2 + V22. (12)

При повороте (изменении ориентации) тензора T с помощью преобразования подобия

RTR~1 = т> (13)

Его след сохраняется

τXx + Tyy + τZz = Tχχ + Tyy + Tzz. (14)

Если тензор симметричный (lʊ = Tji) или антисимметричный (Tij = —Tji), то при преобразовании подобия тип симметрии со­храняется. Вращения, представленные в матричной форме, можно

Также записать аналитически с использованием тензорного обозна­чения где Rij = Cosθij направляющие косинусы, суммирование Г = 1,2,3 производится по координатам Х, у, Z и элементы матрицы Rij Подчиняются условию ортогональности (4).

(15)
(16)
ʃij — Σ rimrjnrmn ,

5. ЧЕТНОСТЬ

Более общее название операции инверсии — изменение четности, обозначаемое Р. Эта операция переводит координаты вектора Г В координаты противоположного ему вектора —г, И соответствует за­мене Х => —х, у => —у, Z => — Z. Выше мы отмечали, что эта опе­рация изменяет направление вектора, не влияя на его величину, и она также не влияет на скаляр. Эта операция не оказывает влия­ния и на тензор второго ранга. Указанные факты собраны в табл. 3.1. Мы видим, что скаляры представляют собой тензоры нулевого ранга, векторы — тензоры первого ранга, а то, что мы обычно на­зываем тензорами, правильнее называть тензорами второго ранга.

Существуют также тензоры более высоких рангов, и аналогич­ная терминология используется для их псевдоаналогов. Как видно из таблицы, тензоры нечетного ранга — нечетные, а тензоры чет­ного ранга — четные; в случае псевдотензоров четность противо­положная.

Например, псевдовектор, который иногда называют аксиальным вектором, представляет собой векторное произведение C Двух век­торов А И В

C = AxB. (17)

Таблица 3.1. Четности тензоров и псевдотензоров низшего ранга.

Величина

Ранг

Четность

Псевдовеличина

Ранг

Четность

Скаляр

~5

+

Псевдоскаляр

О

Вектор

1

Псевдовектор (аксиальный вектор)

1

+

Тензор

2

+

Псевдотензор

2

Операция P изменяет направление каждого вектора А И В На противоположное так, что направление векторного произведения остается неизменным

F(A х В) = (FA) × (FB) = -(А) Х (-В) = AxB = C. (18) демонстрируя тем самым, что C — псевдовектор.

6. ДВУМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ

Мы рассмотрели обычный подход к описанию вращения векторов и тензоров с помощью матрицы вращений 3×3. Существует так­же описание вращений с помощью матрицы 2×2, которое играет, важную роль в современной теории, но не представляет практиче­ского интереса в механике. Тем не менее целесообразно привести соответствующие данные.

В Этом методе векторы записываются в виде комплексных эр­митовых матриц 2×2

(19)V _ ( v> У*~ (Vy)
(Vx+IVy) —Vz

Которые допускают преобразование подобия с использованием уни­тарной матрицы вращения второго порядка

V‘ = QVQ-1 (20)

(21а)
(216)
(21в)
Где, например, повороту на угол θ вокруг осей Х, у, Z соответствуют

Cos ⅛θ i sin

I sin

Cos ~θ

Cos ⅜θ

Sin ⅛θ

— sin j#

Cos ~0

F eif>∣2

O ‘

< О

E-iθ∕2

Qx =

Qx =

Qz =

Эти матрицы могут быть записаны с помощью спиновых матриц Паули

σ, = σ1 = fj 1Yσy = σ2=Y Λ,σ2=σ3=Q _°Y (22) образующих вектор в декартовой системе координат:

σ = Iσx + Jσv + Kσz.

Выражение (19) приобретает вид

Vσ = Vxσx + Vyσy + Vzσz, (24)

И унитарные матрицы вращения (21) можно использовать для опи­сания поворота Qn на угол θ вокруг оси с направляющим единич­ным вектором п

qn = i cos ɪfl + in - σ sin ɪfl,I I

(25)

Где I единичная матрица 2 х 2, и (25) приобретает экспоненци­альную форму записи что можно показать, разложив экспоненту в степенной ряд и ис­пользуя циклические перестановки и коммутативные свойства ма­триц Паули, которые приведены в гл. 27, разд. 6.

qn = ехр[гп ■ er(0∕2)], (26)

7. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ И СИЛА КОРИОЛИСА

Найдем выражение для вектора в двух системах координат, нача­ла которых совпадают, но одна неподвижна, а другая вращается с постоянной угловой скоростью Ш. Посмотрим, как меняются уравне­ния движения при переходе от неподвижной инерциальной системы координат к неинерциальной вращающейся системе координат.

Рассмотрим скорость vs (DrDt)S, где вектор г соответствует неподвижной системе. Этот вектор скорости связан с вектором ско­рости vr = (Dt)R во вращающейся системе следующим образом:

(27)
(28)
(29)
Vs = vr + ω × Г.

+ ω × vs. Ускорение as в неподвижной системе координат ‘dv.⅞λ _ ∕ dy« Dt ) . Dt

Можно найти, подставляя выражение (27) в (28) as = ar + 2(u> х vr) + ω х ⅛ х Г),

Где ar = (DvrDt)R. Сила F = mas в неподвижной инерциальной системе и эффективная сила F3φφ = mar в неинерциальной вра­щающейся системе связаны следующим образом: где второй и третий члены в правой части выражения представляют собой силу Кориолиса Fκ0p и центробежную силу F4chtp соответ­ственно

Fκop = -2m(u, × vr), (31)

FueHτp = × (ω × г) (32)

И в случае вращения Земли последняя сила имеет величину

Fuchtp = τnω2r sin# ≈ (33)

≈ 0,0035mg sin θ. (34)

В северном полушарии сила Кориолиса вызывает ветры, цир­кулирующие против часовой стрелки в области низкого давления, и вызывает отклонение свободно падающих тел к востоку от вер­тикали.

Закон всемирного тяготения Ньютона [гл. 2, выражение (5)] утверждает, что одно тело вызывает перемещение другого тела вдоль прямой, соединяющей тела, и это происходит в инерциаль­ной системе, т. е. в системе, где выполняется второй закон Ньютона F = DpDt. Свободно падающее на Землю тело не испытывало бы отклонения, если бы Земля не вращалась. Наблюдаемое отклонение тела показывает, что системы координат, связанные с вращающейся Землей, не являются инерциальными.

8. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ТЕЛА

Мы рассмотрели энергию, связанную с перемещением твердых тел. Если твердое тело вращается, его кинетическая энергия определя­ется выражением

= ~ω ∙ Iω =

2

(35)

1 γ

= -ωL —

2

(36)

=

(37)

Где L — момент импульса, и I момент инерции

Тензор скалярного момента инерции I относительно оси, направле­ние которой задается единичным вектором п, равен

I = n ∙ In = (39)

= — (ri ■ А)2] = (4θ)

= 57 Mi(ri Х N) ∙ (ri х п) (41)

И для тела с плотностью Р главный момент инерции относительно оси Х равен

Ixx = ʃ P(R2X2) = (42а)

= У P(Y2+Z2). (426)

На рис. 3.4 представлены моменты инерции некоторых тел.

Согласно теореме о моментах инерции относительно параллель­

Ных осей момент инерции I тела массой M относительно произ­вольной оси равен

I = Icm + Md2, (43)

Где /см — момент инерции тела относительно оси, проходящей че­рез центр масс, D расстояние между этими осями.

Вращательное движение твердого тела относительно неподвиж­ной точки под действием момента силы N Описывается уравнением Iχχdlx — ШуШг(1уу — Izz) = Nx. (44)

Аналогичные уравнения записываются и для двух других на­правлений, причем начало системы координат совмещено с непо­движной точкой; система движется вместе с телом, и главной оси соответствует Iij = 0 для г ≠ у. Для симметричного волчка

/± — IxxIyyi (45а)

/|| = Izz, (456)

Δ∕ = (∕±-∕∣∣) (45в)

Мы имеем

∕±⅛ — ωyωzΔINx, (46а)

I±ωy + ωzωxΔI = Ny, (466)

I∖∖ωz = Nz. (46в)

т/2
система двух шаров
относительно оси,
перпендикулярной соединяющему их стержню и проходящей через его середину. масса стержня пренебрежимо мала
т/2
i — mr2
i — mr2
тонкое кольцо относительно оси, проходящей через его центр
диск относительно оси, проходящей через его центр i = ~mr2
шар относительно оси, совпадающей с любым диаметром
i = i mr
i = ⅜πιl2
стержень относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню
i = ⅛mh2
стержень относительно оси, проходящей через его середину и перпендикулярной стержню

i = imr2Диск относительно оси, проходящей через точку на краю диска (параллельно оси симметрии)

Рис. 3.4. Моменты инерции некоторых твердых тел. (Из книги: Е. R. Jones, R. Е. Childers, Contemporary College Physics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1993, p. 247.)

Лагранжиан и канонические импульсы этого волчка, выражен­ные с помощью углов Эйлера, даны в гл. 1. Волчок вращается во­круг своей оси со скоростью ψ и прецессирует вокруг вертикали со скоростью φ при этом его ось качается (это движение называ­ется нутацией) и ее угол меняется от минимального угла наклона 0mi∏ до максимального 0max. Когда θ уменьшается, волчок поднима­ется, и происходит увеличение его потенциальной энергии, равное MgL cos θ, что приводит к уменьшению угловых скоростей враще­ния и движения, т. е. уменьшению кинетической энергии враща­тельного движения, которое компенсирует увеличение потенциаль­ной энергии. Общий характер движения обычно представляет собой быстрое вращение со скоростью ψ вокруг оси волчка и медленную прецессию со скоростью φ этой оси относительно вертикали, сопро­вождаемую нутацией оси относительно вертикали от 0max до 0m, n.

ГЛАВА4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *