ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

150. Теоремы о среднем высших порядков. В п. 126 мы дока­зали, что если F{X} непрерывна для α≤x≤⅛ и имеет производную в интервале A<^X<^B, то

/(⅛)-∕ω==(⅛-α)Z(θ. где A<^ζ<^B, или что

F(a--h) F(a) — bf (α -⅛- θι⅛)> (1)

Где 0≤θ1≤ 1.

Наложим теперь на F(X) дальнейшие ограничения. Мы предпо­ложим, что F (х) непрерывна для α≤x≤⅛ и что F (х) существует для α<^x<^⅛. Рассмотрим функцию

F (6) — F (X)’- (BX)F (X) — (y∈⅛)2 F(B) —F(A)-(BA)F (а)}.

Эта функция обращается в нуль при Х — а и при X = B, и ее про­изводная равна

{F(B) ~FW -(B— (а) — ɪ (⅛ — α)*/’ (а)};

Это выражение должно, следовательно, обращаться в нуль при не­котором значении х между А и Ь. Поэтому существует такое ξ между А и B, f∙ = А -(- θ2 (Ь— а), где 0<≤θ2<≤l, что

F(b) =f(a) + (b A)f ) + ɪ — α)a∕’ (S).

Если мы положим B == A -J — H, то получим равенство

/(ɑ + Λ) =∕(β) + Hf (а) + ɪ Vf (а + θa⅛), (2)

Которое является выражением так называемой Теоремы о среднем второго порядка.

Относительно F (х) мы предположили то же, что мы предполагали отно­сительно φ (х) в п. 126, т. е. непрерывность в замкнутом и дифференцируе­мость в открытом интервале (я, B). В частности, мы предположили суще*
ствоваиие F (а) и F‘(B), а это предположение, вообще говоря, содержит вы­сказывания относительно значений F(X) для значений Х, лежащих вне ин­тервала (а, Ь) слева от а и справа от B. В приложениях F (х) может ока­заться не определенной вне (A, B). В таких случаях под F (а), например, сле­дует понимать

Iim /(* + ⅛)-∕(g).

Л —+ о H

Такое определение не зависит от значений Х вне (а, Ь). Это замечание вполне аналогично тому, которое было сделано относительно непрерывности в конце п. 99.

Подобное обстоятельство возникает относительно нысших производных и в следующей теореме.

По аналогии с (1) и (2) мы приходим к следующей теореме.

Теорема Тейлора или общая теорема о среднем значении.

Если, F(N~V> (х) непрерывна для As^XsSb и FVv> (х) существует для A<^X<^B, то

F{B) =F(A) -{-(BA)F (а) + («) + ••• +

+⅝Bτ)F ∕fn^υ («)+-c⅛ςl∕"j да.

Где A<^ζ<^Bl и если B = A-{-H, то

F (a — f — Л) = F (a) -[- hf (a) — J — ɪ, H*f (α)-J-∙∙∙-b

+√≤⅛√<-‘«+-Hr∕m <“ + 9A г<>е o<a,<ι.

Непрерывность /(n~1) (х) естественно влечет за собой непрерыв­ность /(х), /’ (х), …, Fin~^ (х).

Доказательство проводится аналогично тому, как мы это делали в случаях л = 1 и л = 2. Рассмотрим функцию

F. W-(⅛Γf"W’

F. (х) =∕(B) -/(х) -(BX)F (х) M-

Эта функция обращается в нуль при х = А и при X = B‘, ее про изводная равна и между А и B должно существовать значение х, для которого это выражение обращается в нуль. Отсюда сразу следует утверждение теоремы.

n(b — x)n~1
(⅛ — a)n
(ь - a)n л!
/(")(x)},

Примеры LV. 1. Предположим, что F(X) — многочлен степени Г. Тогда /(") (х) тождественно равно нулю, если N >R, и теорема приводит к следую­щему алгебраическому тождеству:

F(a + A) =f(a) + hf’ ) + f'{a) + … + f⅛fV> (а).

2. Применяя теорему к функции F(X) = ɪ и предполагая, чтох и Х + Л положительны, мы получаем следующий результат:

1 __ 1 H.Hi (-l)π-1Λn→ . (—l)πΛπ

X + Ft X X1 ɪ X8 ∙∙∙+ χπ ^T^(Xψ θπft)Rt+ι

[Так как

1 _ 1 H . Ht (— L)N-1⅛π~1 . (— L}NHn

XH х Xs ʃ X3 • • * + χN ^τ~ х« (χ ft) ’

То достаточно показать, что xn(x-)-Λ) может быть представлено в виде (x-)-θ∏A)rt+1 или что xn(x-)-A) лежит между xn+1 и (x-)-⅛)n+1].

3. Вывести формулу

Л’ H3

Sin 4~ Л) = Sin Х + H Cos Х — SN Xɜɪ"Cos Х + • • • +

+ <-l)n~1 (2д _ ɪ)j cos x + (— 1)nɪɪɪsiπ (x + ‰πΛ)>

Соответствующую формулу для cos(x-)-Λ) и аналогичные формулы, содер­жащие степени H до Λ2π+1.

4. Показать, что если Т — положительное целое число и П — положитель­ное целое число, не превосходящее Т, то

(х — у — H)M = Xm + ɑ) xm~1Λ 4— ɪ JxmWι"+ι 4-^J (χ 4- enΛ)m^nft".

Показать также, что если интервал (х, X-}-H) не содержит точку Х—0, то эта формула имеет место для всех рациональных значений Т и всех поло­жительных целочисленных значений Л, И что даже если x<0<x-)-Λ или x4-Λ<0<x, то формула имеет место, если Т—п положительно.

5. Формула

/(х + Л) =∕(x) 4∙ Hf’ (X 4- θ1A)

Не имеет места, если ∕ (х) = ɪ и х <0 < х 4- H. [Ибо

/(х 4-Л)—/(X) > О И

λz'(x+m) = -(74W<0∙

Ясно, что в этом случае условия теоремы о среднем не выполнены.]

6. Если X= — A, ħ = 2A, F(X)-X1/3, то уравнение

Z(x 4- ⅛) F (χ) H — V {χ + θι⅛)

Удовлетворяется при 6г=у ±. ⅛ j/ɪ lθτoτ пример показывает, что утвер­ждение теоремы может иметь место и в том случае, когдн условия, при ко­торых она была доказана, не выполняются].

7. Метод Ньютона приближенного вычисления корней уравнения.

Пусть ? является приближенным значением корня алгебраического уравне­ния /(x) = 0, причем истинное значение корня равно £ + Тогда

О =√(e+A)=∕<e)+Hf ɑ)+ɪ Ay» (е+θsa),

Так что

, /(s) 1 Fc,∕»(S+‰⅛)

∕,(S) 2 n F‘(ξ) ’

Если ∕’ (ξ) ≠ 0.

Если корень — простой и Л достаточно мало, то существует такое поло­жительное К, что F‘(X)>K для всех значений Х, которые мы рассматри­ваем, и значение корня

S + A = ξ-^∣+O(A∙)=ξ1 + O(A∙),

Где ξ1, следовательно, является уже лучшим приближением, чем?.

Повторяя это рассуждение для?, вместо ; и т. д., мы получим ряд еще лучших приближений ςs, ξf3,…. ошибки которых равны O(Λi), O(Ae),.,..

8. Применить этот процесс к уравнению xs = 2, взяв в качестве пер-

3 17

В ого приближения? =Xy. [Находим ξ1 = j2= 1,417…, что является весьма

Хорошим приближением, несмотря на большую неточность первого. Повторяя 577

Процесс, найдем ξ2 = ξθg= 1,414215…, что дает результат, верный до пятого знака включительно.]

9. Рассматривая таким же образом уравнение хя — 1 — у — 0, гдеу мало, показать, что

У T+7= ɪ + ⅛ J,+ɪ) + О o∙).

10. 5 у, 2y,3 ■Показать, что корень уравнения из примера 7 равен O(∣ Л |е),

Причем аргументом во всех функциях является?.

11. Уравнение Sinx = Ах, где А мало, имеет корень, почти равный л. Показать, что (1—α)π является лучшим приближением и что еще лучшим является (1—α-[-α2)π.

[Метод, изложенный в примерах 7—10, не зависит от того обстоятель­ства, что F(X) = 0 — алгебраическое уравнение; он применим и к трансцен­дентным уравнениям, если только /’ и-/" непрерывны и ∕,(S)≠0.]

12. Показать, что если F (rt+1J (х) непрерывна, то предел при А—,∙0 вели­чии θπ в теореме Тейлора равен — ɪ- .

[Действительно, /(x + А) равно как

так и
an+1

∕w + ∙.. + ^∕w(χ)4/(n+1)(x+θπ+1Λ),/(χ) + …+∣l∕m (x+θλa),

Я! ∙, ` ‘ v~’ l^(n+l)!j где δπ И θ∏+ι лежат между 0 и 1. Следовательно,

/(п)(х-]-9„а)=/(«)(х)-Λ∕(π+i)(x + θπ+1Λ)

Но по первой теореме о среднем, примененной к функции /(n)(x) с θnΛ вместо Л, мы находим, что

F т (х + βnh) = /(«) (х) + 9пЛ/(««) + 9Э„Л), где 9 также лежит между 0 и 1. Следовательно,

V! n+υ (х + θθπΛ) + ⅛ (

Откуда и следует утверждение, так как F (π+1) (х -}-θθnΛ) и ∕ (π+’)(λ’9л+!А) стремятся к пределу / (л+‘) (х) при H—, 0.]

151. Другая форма теоремы Тейлора. Существует другая форма теоремы Тейлора, в которой предполагается меньше, чем в п. 150.

Предположим, что F(X) имеет П производных /'(а), (а)

При X = а. Существование /G) (х) в любой точке предполагает су­ществование ∕<v-1> (х) в некотором интервале, содержащем эту точку, и ее непрерывность в этой точке; таким образом, первые П — 2 производных непрерывны в некотором интервале, содержащем точку X = а, а (л—1)-ая производная непрерывна в точке X = A. Но мы не предполагаем существования л-ой производной ни в какой дру­гой точке, кроме Х = а.

Пусть сперва Λ>ι0, и положим

ATlI

Pn (А) =/(« + А) -/(«) — Hf (а) -… — («)•

Тогда Fn (К) и ее первые л — 1 производных обращаются в нуль при A = 0, a F„n) (0) =∕^π∖α). Следовательно, если мы положим

G (A) = Fn (А) — ~ («) —8},

Где 8 положительно, то

G(0) = 0, G'(O) = O,…, G(n~[58] [59]) (0) = 0, G(")(0) = 8>0.

Из последних двух соотношений и теоремы А п. 122 следует, что G(n^1) (А) возрастает в точке A = O и положительна для малых положительных H.

Далее, G("^a) (O) = O и G(n-1)(A)^>0 для малых положительных А; таким образом, по следствию 1 п. 122, G(n-2)(A)^>0 для малых положительных А1). Повторяя это рассуждение, мы последовательно найдем, что G("^3) (A), G(n-4) (А), … и, наконец, G(A) положительны, т. е. что

FnW>⅛{Fw (fl)-δ} для малых положительных А.

Аналогично [60]) мы можем доказать, что

∕7n(A)<-⅛{∕m(^) + δ}

Для малых положительных А, причем в этих неравенствах δ обозна­чает произвольное положительное число. Отсюда следует, что

∕∖(Λ) = -⅛{Λn) (α)+η}, где η→0 При A→0 справа.

Рассматривая аналогично случай отрицательных H, мы приходим к следующей теореме.

Если F(X~) имеет п производных при х=а, то (1) /(α + A)=∕(α) + A∕'(α) + .∙∙ + -(^⅛-r-1(≈) +

+ ⅛{∕W(α) + η},

Где η→∙0 при h->0.

В обозначениях п. 98 мы можем вместо (1) написать

(2) . F(A + A) =∕(α) + А/ (а) +… + («) + « (⅛π)∙

Эти формулы мы могли бы вывести и из теоремы п. 150, но только в предположении непрерывности/(") (х) при Х = а.

Примеры LVl. 1. Показать, что если

Aa -J — Alx — J-… — J — Anxn -J — О (Xn) = A0 — J — ⅛1x +… — J — Aπxn -J — О (хп)

При x→0, то A0 = bll, al = bl,…t an = bn.

[Устремляя Х к 0, мы видим, что α0 = A0. Деля на Х и устремляя затем

Х к 0, найдем, что AlBl и т. д.

Отсюда следует, что если F (х) имеет Я Производных при Х = а и

∕ (α — J — Л) = c0 -J — c1Λ — J-… — J- cπΛn — J- О {Hn),

То c0, eɪ,… имеют значения из (2).]

2. Доказать, что

/(a + ⅛)-f(a-h)

2А ʃ {а)’

Если F'(a) существует.

3. Доказать, что

F(a + h)-2F(a)+f(A-fι)

Fts J ∖ab

(экз. 1925 г.)(экз. 1935 г.)Если /" (а) существует.

4. Доказать, что

+ ⅛θ5 + 0(Θ6)

3 sin 29 2(2 + cos 29)

Для малых 9.

5. Доказать, что если Sinx = Jrys и Х и У — 1 малы, то

У =1 “ ⅛x* + T⅛o χi + 0 (х<)’ χ2 = —12(У -1) + ⅜ о-i)2+o {(v-i)2}∙ (Экз. 1934 г.)

152. Ряд Тейлора. Предположим, что F(X) имеет производные всех порядков в интервале (а — η, А}- η), Содержащем точку Х — а. Тогда, если H по модулю меньше чем η, То

/(« + *) =∕(α) + Hf (а) + … +-ɪiŋɪ-/(-ɪ) (а) +

+ (α + θn^)>

Где 0<θn< 1 для всех П. Или если положить П—1

S" = Σ⅛≠w(α)> ‘ ^ = ⅛∣√π(α+M)>

О

То мы имеем:

Да+А)

Предположим теперь еще, что ∕fn→0 при ∕z→∞. Тогда Иъ

/(ɑ-j-A) = Iim Sn=f(a) ~-hf (a) + ɪ/’ (а) +… . N→<x> λ"

Это разложение /(α-[-A) известно под именем Ряда Тейлора. При А = 0 эта формула принимает вид

/(A) =Z(O)+Hf (0) + ɪ/’ (0) 4-…,

Что называется рядом Маклорена. Функция Rn называется оста­точным членом в форме Лагранжа.

Читатель должен остерегаться ошибочного мнения, что существование всех производных F (х) является достаточным условием для справедливости разложения функции в ряд Тейлора. Существенным является поведение Rn.

(1) Ряды для синуса и для косинуса. Пусть /(χ) = sinx. Тогда /(х) имеет производные всех порядков для всех значений х. Кроме того, ∣∕rt(x)∣<l для всех значений х и я. Следовательно, в данном случае

Ttrt

Rn ∣≤ — , что стремится к 0 при П—>∞(cm. пример XXVIL 12), каково бы ни было значение Л. Отсюда следует, что

S H3 Hi

Sin (х -)- H) = sin х + H cos χ — %∖ s’n x — ɜj" Cosx-J — ξ∣- sin х — J — …

Для всех значений х и ft. В частности

. . ь ft3 ∣ A5 smft=ft-gf + — g1-…

Для всех значений ft. Аналогично можно доказать, что Hss Fιi

Cos H) = cos Х — H sin Х — c0s x + ɜɪ sin х -|~…

И

. , ⅛a l ⅛4 Cosft=I-2f + 4[-∙∙∙ •

(2) Биномиальный ряд. Пусть /(x) = (l +x)m, где /я —любое рацио­нальное число, положительное или отрицательное. Тогда

F (rt) (х) = Т (т — 1)… (от — я + 1)(1 + X^)M—п И ряд Маклорена (с ft, замененным на Х) имеет вид

(l+x)m = l + Х+ (2) х2+… •

Когда Т — положительное целое число, этот ряд обрывается, и мы по­лучаем известную биномиальную теорему с положительным целочисленным показателем. В общем случае

Rn = <n) (V) = (”) х" (1 + Qnχ)MN

И для того чтобы показать, что ряд Маклорена действительно представляет (I -}-x)m в некоторой области значений х, когда Т не является положитель­ным целым числом, мы должны показать, что Rn—»0 для каждого значе­ниях из этой области. Это в действительности имеет место при — 1 <х<1. G Помощью приведенного выше выражения для Rn можно показать, что разложение справедливо для 0≤x<l, так как для таких х

(l+θnx)m→<l,

Если я>оти х"—*0 при А—<∙∞ (пример, XXVII. 13). Но при —l<x<0

Возникает затруднение, состоящее в том, что здесь 1 -)- V <1 и (1 -)-θπx)m-П > 1, если я > Т. Зная только, что 0<θπ<I, мы не можем быть уверены в том, что 1 +θ∏x не является очень малым, а, следовательно, (l+6nx)m~« очень большим.

Для того чтобы доказать биномиальное разложение с помощью теоремы Тейлора, нужно воспользоваться другим представлением остаточного члена Rn, которое мы рассмотрим ниже (п. 167).

153. Приложения теоремы Тейлора. А. Максимумы и мини­мумы. C помощью теоремы Тейлора может быть получена система признаков максимума и минимума более полная, чем рассмотренная в пп. 123 и 124, хотя эти результаты и не представляют большого практического интереса. В предположении что φ (х) имеет производ­ные первых двух порядков, мы устанонили следующие достаточные условия для того, чтобы φ (х) имела максимум или минимум при х = ξ: Для максимума φ, (ξ) = 0, φ" (S) ≤0; Для минимума φ'(ξ) = O, φ*’ (O θ∙ Очевидно, что эти признаки неприменимы в том случае, когда и φ’ (ξ) и φ" (£) равны нулю.

Допустим, что φ (х) имеет П производных

φ'(∙v), φ"(χ). …, φ(")(χ),

Из которых все, кроме последней, обращаются в нуль при x = ξ. Тогда, согласно (2) п. 151,

A)-φ (0=f φm (0+О П

И это выражение должно иметь в случае максимума или минимума постоянный знак для достаточно малых положительных или отри­цательных А. Для этого, очевидно, требуется, чтобы П было четным; а если П— четное, то мы будем иметь максимум или минимум в зависимости от того, будет ли φ(rt) (?) отрицательно или положи­тельно.

Таким образом, мы получаем следующее предложение: Если φ (£) Является максимумом или минимумом, то низшая производная, не обращающаяся в нуль — при X = I, должна быть четного по­рядка, причем если ее значение в этой точке отрицательно, то φ (£) Является максимумом, а если оно положительно, то φ (?) Является минимумом.

Примеры. LVlI. 1. Проверить справедливость теоремы для функции φ(x) = (x— A)M, где Т— положительное целое число и B = А.

2. Исследовать функцию (х — A)M(х — B)N, где Т и П — положительные целые числа, на максимумы и минимумы в точках Х — а и X= А. Начер­тить все возможные виды графика функции У = (х — α)m(x — B)N.

3. Исследовать на максимум и минимум в точке х = 0 функции Sinx—х, sm х — х + ɜɪ- , sɪn х — х-j-ɜɪ- — 5? ’ • • cθs x — ɪ, cos х — ɪ г ɪj »

Cθs∙r-1+2Γ-4! …………………….

154. В. Вычисление некоторых пределов. Часто бывает необ­ходимо вычислить предел отношения двух функций при стремлении аргумента к некоторому значению, при котором обе функции обра­щаются в нуль. Допустим, что этим значением аргумента Х является 0. Для вычисления таких пределов существует несколько методов.

(а) Предположим, что F{X} и φ(x) дифференцируемы при х = 0 и что/(O) =φ (O) = О, φ, (0) ≠ 0. Тогда

/(X) = χf (0) 4- О (х), φ (х) = xφ, (0) — J — О (х) и, следовательно,

/W ∕,(0)

φ(x) φ'(0) •

Вообще, если функции имеют П производных в точке х = 0 и первые П —• 1 производных каждой из этих функций обращаются в этой точке в нуль, a φ(")(0)≠0, то, по теореме п. 151,

/(*) = ⅞ / <") (0) + О (X»), φ (X) = φ(n) (0) 4- О (Xn)

19 Г. Харди

F(X) >F<N>(0) φ(x) φ(rtj (0) ‘

(Ь) Часто представляется, однако, более удобным применить теорему п. 128. Если F(X) и φ(x) непрерывны для 0≤x≤Λ и дифференцируемы для 0≤x≤Λ,/(O) = O и φ (O) = O, φ(⅛)≠0 и /’ (х) и φ’ (х) не обращаются одновременно в нуль ни при одном значении Х, то

M FW _/’$)

φ(Λ)-φ'(l)

Для некоторого ξ между 0 и А.

Допустим теперь, что

F{H)

φ(*)

>/.
это значит, что (3)
1- /(х) 1- f'(x)
lɪm <4~r = itm 444 i→+0Ψw .l→ + o'÷4)

при x→0 справа. Тогда существует интервал (0, K}, в котором φ'(х) не обращается в нуль[61]). По теореме п. 129, следует, что φ'(x) не меняет знака для 0<4x<4> а отсюда получаем, по след­ствию 2 из п. 122, что φ(x) не меняет знака для 0<≤x<≤A. Поэтому (1) имеет место для каждого положительного Л, меньшего K, и Если этот последний предел существует.

Существуют, конечно, аналогичные теоремы для x→ — 0 или

Для x→0. Кроме того, приведенное рассуждение может быть повто­рено любое число раз. Таким образом,

Для любого П, если только /М(O) = O и φ<v>(0) = 0 для O≤v<^∕z и предел в правой части существует *).

f(x),iim , . x→o,÷w = iim х → 0,/(n) (x) φ(n) (x)
/
tp
/'
то же рассуждение показывает, что -f-∞, если

Если мы хотим вывести (3) из теоремы о среднем п. 126, то мы должны предположить, что /'(х) и φ'(x) непрерывны при х = 0 (во всяком случае при стремлении к 0 справа). Тогда

F (X) = Xf (θ1x), φ (х) = хер‘ (Q1χ)1 Где θɪ и Oa лежат между 0 и 1.

Так как ∕’ (θ,x) —♦ ∕’ (O) и φ’ (θjx)- φ’ (0), то утверждение доказано.

Преимущество метода (Ь) обнаруживается в приведенном ниже примере

LV1Π. 3. Если F

F (х) = tg X — X, φ (X) = X Sin X,

/(0) = /’ (0) =⅛ F" (0) = 0, φ (0) = φ’ (0) ■ φ" (0)= 0, φ"’ (0) = 2, φ"’ (0) = 1,

Н, следовательно, искомый предел ранен 2. Это рассуждение требует трех дифференцирований каждой функции. Но

∕,(x)
.<p'(χ)
2,Secsx-l. ,

-— ——— z= sec8 Х 11 4- cos х)

1—Cosx ` 1 ‘

И мы быстрее получаем результат методом (Ь).

Существует много видоизменений теорем настоящего пункта. Так, Х может стремиться к А или к ∞ вместо 0 и F и φ могут стре­миться обе к бесконечности вместо 0. Эти видоизменения обычно сводятся к рассмотренному случаю простыми преобразованиями.

•0. здесьПримеры LVHI. 1. Если ∕ = x8sia-^-, φ=x, то ʌ У T

-^ = 2xsin ɪ φ X

А эта функция колеблется при х — 0. Таким образом, — может стремиться ∕’ φ

К пределу н в том случае, когда ψ к пределу ие стремится, т. е. наше усло-

Нне является лишь достаточным, ио не необходимым.

2. Найти

Iim х—(rt+l)xrt+1 + ∏xn+8 x→l (1 —х)*

3. Найти пределы при x→0 следующих выражений:

Tgx — х tg их — я tg х

T-X8 — 6-«Кз Iim x{∣∕^x*-(- A*-x}.

19*

х — smx nsιnx — sιπnx4. показать, что(экз. 1932 г.)1 —4sina-i-πχпри x→l.
5. найти
^положить 6. доказать, что→]iiin (х — n} cosec xπ x→niim —— { х_„х — п icosec χrt -~(-l)n
(-l)n)_ (~1>"π (x — n)πf 6

Где П — любое целое число. Найти также соответствующие пределы при замене cosec х~ на Ctg .

7. Найти пределы при x-→0 следующих выражений:

-l(cosecx-i-j), ⅛(ctgx-i+⅞).

8. Показать, что при х—»0

Sinxarcsinx—X2 1 tgxarctgx—x2 ɪ

Xе 18’ xβ 9

155. С. Касание плоских кривых. Две кривые называются Пере­секающимися в некоторой точке, если эта точка лежит на каждой из них. Они называются Соприкасающимися В этой точке, если касательные к ним в этой точке совпадают.

этой точке, необходимо и достаточно, чтобы первые производные /' (х) и φ' (х) имели одно и то же значение при х = £.
касание кривых в этом случае может рассматриваться еще с другой точки зрения. на фиг. 42 проведены дне кривые, касающиеся друг друга в точке р; отрезок qp равен

Допустим, что F(X) и φ(x) имеют производные всех порядкон при X=ζ, И рассмотрим кривые У =F (х), у = φ (х). В общем случае /(ξ) и φ(ξ) не будут ранны. В этом случае абсцисса Х — ξ не соответствует точке пересечения этих кри­вых. Если же /(ξ)=φ(ξ), то кривые пересе­каются в точке x=4, — y=∕(ξ)=φ(ξ). Для того чтобы кривые касались друг друга в

а так как
то он равен
φ(ξ+Λ)-∕(ξ+A),
φ(0=∕(0, φ'(0=m

{φ»(ξ+e⅛)-/- (ξ+θ⅛)}, где θ лежит между 0 и 1. Следовательно,

1⅛¾,= ⅛,ω→» да}

При Λ-→0. Другими словами, Если кривые касаются друг друга в точке с абсциссой ξ, То разность между их ординатами в точке с абсциссой T~H — по крайней мере второго порядка малости от­носительно H.

Очевидно, что порядок малости QR может рассматриваться как мера близости кривых и окрестности точки x = ξ. Нетрудно видеть, что если первые П — 1 производных от F и ψ имеют одинаковые значения при x = ξ, то порядок малости QR будет равен П, и что в этом случае

Lim τ⅛=⅛ {ψw(9-F, ɑ)b

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Касание «-го порядка. Если /(ξ) = φ(ξ), ∕,(ξ) = φ'(ξ)…………………………………

F{n} (ξ) ==φ(n) (ξ), но /(n+1) (ξ) ≠φ (n+1) (I), то мы будем говорить, что кривые у = f(x), у — φ (х) имеют в точке с абсциссой х = ξ касание п-го порядка.

Таким образом определенное понятие касания л-го порядка зави­сит от выбора осей координат и неприменимо к тому случаю, когда касательная к кривым параллельна оси У. В этом случае мы можем рассматривать У как независимую, ах — как зависимую переменную; целесообразнее, однако, рассматривать Х и У как функции некото­рого параметра T. Хорошее изложение этого вопроса читатель найдет в монографии Фоулера: Fowler, The Elementary Differential Geometry Of Plane Curves[62]).

Примеры LIX. 1. Пусть φ (x) = αx-f-⅛, так что графиком y = φ(x) является прямая линия. Условия касания в точке, для которой X = ξ, имеют вид /(ξ) = aξ + ⅛, F (ξ)=α. Если мы определим А и Ъ так, чтобы эти условия выполнялись, то получим α=∕'(ξ), ⅛=∕(ξ)— ζf (ξ). Таким образом, уравне­ние касательной к кривой У =F{X) н точке X = T записывается в виде

J’ = x∕’ (S) + {∕(5)-ξ∕'(S)} или У — /(ξ) = (x—ξ)∕'(ξ) (см. пример XXXIX. 5).

2. Условия касания первого порядка полностью определяют прямую. Для того чтобы касательная имела касание второго порядка, необходимо, чтобы F" (ξ) = φ" (ξ), т. е. F" (ξ) = 0. Мы будем называть точку, в которой касательная к кривой имеет с ней касание второго порядка, Точкой распрямления[63]).

3. Найти точки нулевой кривизны графикон функций

Зх4—6×8-f-l, -ɪ > siπx, αcosax-(-⅛sinax, tgx, arctgx.

4. Показать, что коническое сеченне

Axi + 2Hxy -j — ⅛ya + 2Gx — f — 2Fy + с = О

Не может иметь точек распрямления, если оно не вырождено.

(Здесь

αx + ⅛y + g∙ + (⅛x + ⅛y+√)yι=O и

A — f — 2fty1 + + (⅛x — f — By —-f)ys = О,

Причем индексы обозначают дифференцирования по Х. Таким образом в точке распрямления

α -∣- 2ftyl -|- Byι = О, или

A (Fix + By + /)2 — 2ft (ах + Hy + G) (Fix + By +/) + B(Ax + Hy + G)2= О, Или

(ab Ft2) {ax* + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy} + af2 2fgh -J — Bg2 = O.

Но это соотношение несовместно с уравнением конического сечения, за исклю­чением того случая, когда

А/2 — 2Fgh + Bg2 = C(AbFt2) Или

Abc + 2fgħ Afl Bg2 -ch2 = O,

9 это является условием распадения конического сечения на две прямые.]

5. Кривая

__ Ax2 -)- 2bx 4- С

У ax2+2gx + γ

Имеет одну или три точки распрямления, в зависимости от того, имеет ли уравнение

αx22Дх-J-γ = О

Действительные или комплексные корни.

[Уравнение кривой параллельным переносом осей координат может быть приведено к виду

_______________ S

η- AP + 2Bξ+C ^~ A(i-p)(i-q)’

Где Pt Ч либо действительны, либо комплексно сопряжены. Условие для точки распрямления принимает вид

ξ8- PqiPq(PQ) = Q,

А это уравнение имеет один или три действительных корня, в зависимости от того, будет ли {Pq ⅞,)}2 положительно или отрицательно, т. е. будут ли Р и Q действительными или комплексно сопряженными.]

6. Показать, что если кривая из предыдущего примера имеет три точки распрямления, то онн лежат иа одной прямой. [Уравнение ξ8— 3p⅞,ξ + — f-РЧ (Р + Ч) — θ может быть приведено к виду

(5—р) (5 — Ч) (?+/> + ?) + (р -?)’5 = О, так что точки распрямления лежат иа прямой

ξ + Л (р — Q)T η +p + Q = Q

Или

Ai-4(ЛС—B2)η = 2B.]

7. Найти точки распрямления иа кривой

54y = (x-J-5)s (X8-IO)

И набросать примерный ход кривой в интервале (— 6, 3).

(Экз. 1936 г.)

[См, пример XLVl. 10.]

8. Касание круга и кривой. Кривизна1). Круг

(х —α)s + (y-⅛)s = r2 (1)

Будет иметь касание второго порядка с кривой У = F(X) в точке (ς, η), если V, Pi и У, имеют при x = ς одинаковые значения для этих двух кривых.

Дифференцируя (1) дважды и полагая х = с, находим:

(ξ-a)s + (η-B)I = Ri, (ξ-α) + (η-⅛)η1 = 0, 1 +η[64] [65] + (η-⅛)η2 = 0, где η, ‰ ηs означают /(ς), /’ɑ), ∕" (ς). Этн уравнения дают:

E ηι(i + η’) b ι+< (i + ηs∕z,

A = ζ—————- ɪ-, ^==η-[———— ɪ., г—————- ɪ— .

¾ ¾ ¾

Круг, имеющий касание второго порядка с кривой в точке {ξ, η), назы­вается Кругом кривизны, а его радиус—Радиусом кривизны. Мерой кри­визны (или просто Кривизной) называется неличина, обратная радиусу кривизны. Таким образом, кривизна равна

(1 + <)3<s’

9. Проверить, что кривизна круга есть величина постоянная, равная единице, деленной на радиус круга; показать, что круг является единственной кривой постоянной кривизны*).

10. Найти центр и радиус кривизны в каждой точке конических сечений

⅛*2 ∙y8

У’ = 4ах, j⅛ + ⅛ = l.

-z a2 ⅛2

11. Показать, что в общем случае существует единственное коническое сечение, имеющее касание четвертого порядка с кривой У =F(X) в данной точке Р.

12. Существует бесконечно много конических сечений, имеющих касание третьего порядка с данной кривой в данной точке Р. Показать, что их центры лежат на прямой.

[Возьмем касательную и нормаль в данной точке к данной кривой за оси координат. Тогда уравнение конического сечения примет вид 2y = axs + J-2HxyJBya, и Когда Х мало, одно из значений у может быть предстанлено в виде (см. гл. V, Разные примеры, 24)

У = ɪ Ax^ + у AħXs + о (ха).

Это выражение должно совпадать со следующим:

(см. примерlvl 1). но центры лежат наУ=⅜ Г (0) Xs+ 4 F"’ (θ)χ8 + 0 (χ8)∙

Отсюда a=∕"(0), ⅞≈ прямой Ax— ħY = 0.]

13. Геометрическое место центров конических сечений, имеющих касание V2

Третьего порядка с эллипсом l в точке (α cos α, ⅛siπα), предста­

Вляет собой диаметр эллипса

A cos a B sin a

[Ибо сам эллипс является одним из таких конических сеченнй.]

156. Дифференцирование функций от нескольких переменных.

До сих пор мы занимались исключительно функциями от одного переменного Х, но ничто не мешает нам применить операцию диф­ференцирования к функциям от нескольких переменных Х, у,… .

Допустим, следовательно, что F(X,Y) является функцией от двух 1) действительных переменных Х и У и что пределы

ɪim /(-V + ⅞,J‘)~/(ʃ,ʃ) lim /(Xj + ⅜)-∕(X√)

Λ→0 h ’ ft→O k

Существуют для всех рассматриваемых значений Х и У, т. е. что F(X, у) имеет производную ~ или Dxf(X, у) по Х и производную

— или Dyf(X,Y) по У. Эти производные принято называть Частными

Производными или Частными дифференциальными коэффициентами Функции F и записывать их в виде

Df_ VX,Y,

Или

(X, У), Jy (X. У),

Или проще Fx, Fy, или Fx, Fy. Читатель не должен, однако, думать, что эти новые обозначения содержат какую-нибудь существенно новую идею; „частное дифференцирование по Х“ является в точности такой же операцией, как и обычное дифференцирование, причем единственным новым обстоятельством является то, что в выражении функции F присутствует еще вторая переменная у, не зависящая от Х.

Наши определения предполагают независимость Х и У. Если Х и У связаны некоторым соотношением, то У является функцией φ (х) от Х и

/(*> Y)=F{X, φ(,v)}

Есть функция от одного переменного Х\ а если X = Y(T), Y-^{F), То F(X, у) есть функция от T.

√j∕^xs+,y8, θ = arctgy, то Дг_ X______ Дг у

Д$__ у

∂Q

х

Dx ~ Y^Xi+Ys Dy ~ Yx^Jryi

Дх Xt-fyi’

Dy

~ χ2+ys

Dx λ dy . .

— = cos θ, √- = sin 0,

Дг дг

Дх. ,

5θ-=-rsιπθ,

ðθ ‘

= Г COS θ.

2. Объяснить, почему

R^ _1_ X^R^ ∂X И

^∂r

∂9

Дх дх ‘

^∂Q

Примеры LX. 1. Доказать, что если x = rcosθ, y = rsinθ, так что

[Когда мы рассматривали функцию У от одного переменного Х, нз самих
Dy Dx

Определении следовало, что ɪ и ʤ- являются величинами обратными друг

Другу. Но это уже не имеет места,

Если мы имеем дело с функциями от
двух переменных. Пусть P (фиг. 43) —
точка (х, у) или (г, О). Для нахожде-
Дг

Ния мы должны дать Х приращение

AfAf1=Lv, сохраняя значение у неизмен-
ным. При этом точка P перейдет в по-
ложение P1. Если мы отложим вдоль OP1
Отрезок OP‘== OP, то приращением Г
Будет P1P1 = Sr, и

Дг ,. Sr
дх
Sx

Если же, с другой стороны, мы хотим Дх

Вычислить, причем Х и У рассма­триваются как функции от г н θ, то

Мы должны дать Г приращение Дг, сохраняя значение θ неизменным. До­пустим, что при этом P переходит н P2, причем PP8= Дг. Соответствующим приращением Х будет AfAf1 = Дх, н

Дх ,. ∆X -ʃ-= Iim—.

RR

Но Δx = Sxi), тогда как Δr^ΔSr. Действительно, из чертежа видно, что Sr

Iim

Ох

PiP

Cim7=-1 =Cos θ, Λ7-,1

Тогда как

Так что

.. ∆r 1. PP2 ‘тДх= linPPi cθ,

,. Sr… Iim — т— = cos’ θ.l

∆r j

ɪ) Конечно, равенство Δx = Sx имеет место благодаря специальному выбору Дг (а именно PP2). Всякий другой выбор приращения Дг привел бы к значениям Дх, Дг, пропорциональным полученным в тексте.

3. Доказать, что если Z=F (ах + ⅛y), то

4. Найти Xx, Xy,…, если X-{-Y=X, У — ху. Выразить Х и У как функции от X и У, и найти , Xj,, ….

5. Найти Xx,Если X-+- К+ Z = x, Γ+ ZХу, Z = Xyz. Выразить Х, у и Z через X, У и Z и найти Хх, ….

[Не представляет труда распространить понятия предыдущего пункта на функции от любого числа переменных. Но читатель должен отдать себе ясный отчет в том, что понятие частной производной функции от несколь­ких переменных определено только в том случае, когда указаны Все незави­симые переменные. Так, если U = XJYJZ, причем Х, у и Z являются независимыми переменными, то Kx=I. Но если рассматривать к как функцию переменных Х, х JY = η и Х — f-y — f — Z = ζ, то к = ζ н Ux = 0.]

157. Дифференцирование функции от двух переменных.

Имеется одна теорема, относящаяся к дифференцированию функций от одного переменного, которая играет исключительно важную роль, но зависит от понятия частной производной, рассмотренного в пре­дыдущем пункте. Это — так называемая Теорема о полной произ­водной. Она дает правило для дифференцирования по T функции ∕{φ(0, ψ(0}∙

Допустим, в первую очередь, что F{X, у) является функцией от двух переменных Х и У и что Fx, F,Y являются непрерывными функ­циями от Х и У (см. п. 108) для всех рассматриваемых значений этих переменных. Теперь предположим, что изменения Х и У огра­ничены тем, что точка (х, _у) должна лежать на кривой

*=φ(0> 3,=ψ(0.

Где φ и ψ являются функциями от T, обладающими непрерывными производными φ’ (∕), •/(/). Тогда F{X, у) приведется к функции от единственной переменной T, скажем F {T). Задача состоит в нахожде­нии F‘{T).

Допустим, что когда T изменяется от T. до T — J — τ, Х и У изме­няются до x-∣~ξ и y-j-η. Тогда, по определению,

^ = l⅛i[∕{φ(f+τ), ф (Z + τ)} -√{φ(Z), ф (*)}] =

= lim^{∕(x + ξ, y + η)- F(X, у)} =

__limΓ∕(χ + S,Y + η)-/(χ, Y + η), S ∣ /(χ>Y + η)-/(χ, у). Л]

L 5 ’ τ “Г η ‘ τj∙

Но, по теореме о среднем,

/(^ + ⅛j. + η)-∕⅛J’ + ηl =/.(х + y +

J,+β⅛,

Где О и 0′ лежат между О и 1. Когда τ-→O, ξ-→O и η-→O, причем

∣-→φ'(o, ⅛-→m

Кроме того,

FX (X + θ*> У ÷ γl) → Л (*• У)> Fy (×> У + θ’η) → /’ (х, У). Следовательно,

F (О = Dtf^ (О, ф (Z)} =Fx (X, У) φ’ (О +/; (х, У) ф’ (О, где после дифференцирований по Х и по У следует положить χ = φ(Z) Hy==ψ(Z). Этот результат может быть также записан в следующей форме:

Df ∂/ Dx .F Dy DtXdt ɪ Ду Dt’

Примеры LXL 1. Пусть

_,м 1-^ .,,λ 2Z

так что геометрическим местом точек (х, у) является окружность х’-ф-у2 = = 1. тогда

tP 1 Р V — 1 _|_ T2

f'(t)» f’ , 2(1-Z2) , — (1 + Z2)2 JxT ɑ ψ∕2)2 Jy,

Причем в праной части, после дифференцирований, х и у нужнд заменить,
I-Z2 2Z

Соответственно, выражениями γj~~β и j-qyφ2^∙

Полезно проверить эту формулу в частных случаях. Допустим, напри­

Мер, что /(х, у) = X2 +у2. Тогда Fχ = 2х, ∕j,=2y й F‘ (T) = 2xφ’ (Z) + 2yφ’ (Z) = О,

Что действительно верно, так как Z7(Z) = I.

2. Проверить таким же образом теорему в следующих длучаях:

(a) x = Zm, у = 1-Zm, /(x, y) = xφ-y;

(b) X = A cos Z, У — a sinZ, F(x, y) = xs-φ-ys.

3. Одним из наиболее важных случаев является тот, в котором Z = x.

Тогда мы находим:

Dxf {χ> Ф (■*)} = Dxf (х, у) + Dyf (х, у) ф1 (х), где после дифференцирования вместо у надо подставить ψ(x).

Обозначения ~ и были введены в связи с рассматриваемым слу — Df

Чаем; действительно, здесь под -¾-χ можно было бы понимать Как

Dxf {x, Ф (х)}, Гпак и Dxf (х, у), где в первом из этих выражений у следует положить равным ф (х) до, а во втором — «осле дифференцирования. Пусть, например, у = 1—х и /(χ, y)≈x-(-y. Тогда Dxf(X, 1—х) =ZZc 1=0, тогда как Dxf (х, у)’=!.

В Первом из этих случаев производную можно обозначить через

А во втором ее обозначают через тогда теорема принимает вид F _Df,Df Dy ι Dx дх ʃ Ду Dx

Хотя и эти обозначения не безукоризненны, так как функции F {X, ψ(x)} и ∕ (χ> .У), вид которых как функций от Х совершенно различен, обозна­чаются в 2χ и ОДНОЙ н т°й же буквой /.

4. Если результатом исключения T из уравнений Х — φ (Z), У = 4 (Z) яв­ляется F(X, у) —0, то

⅛f Dx Dfdy_{. дх Dt ‘ ду Dt

5. Если Х н У являются функциями от T, а г и 0 — полярные коорди­наты точки (х, У), то R, = ХХ — ʃʃ , θ’ = ~^-x, где штрихи обозна­

Чают дифференцирование по T.

158. Мы предполагали, что Fχ и /ʃ являются непрерывными функциями от днух переменных Х и У в смысле п. 108. Предположение одного их су­ществования для всех Х я у оказывается недостаточным.

_ 2Y(X*-Y3)

(X3+Y3}3 ’

f(x, у) —

2ху
x3+y3 ’

если x≠0, y≠0 и / = 0, если хотя бы один из аргументов равен нулю. тогда
2х (х3 —у3) (х3 у3)3
f'x (x> у)
jy<x, у) =
во всех точках, кроме начала координат. кроме того,
∕v<θ> 0) =iiin Λ→0,/(Λ, 0)-∕(0,0),ft,: hm -ι-=0, Λ-,o ^,и аналогично fy (0, 0) = 0. таким образом, f,χ н f существуют для х, у; но (как мы видели в п. 108) f разрывна в начале координат.
функция, определенная уравнениями
всех
2ху
x3-∖-y3
f(x> у) (х+у)>

Действительно, из одного существования Fχ и F мы можем сделать очень мало выводов; мы даже не можем заключить, что / непрерывна. Рассмотрим, например, функцию из примера в п. 108, определенную уравне­ниями если x≠0, y≠0, и /’= 0, если х = 0 или У = 0, непрерынна всюду, вклю­чая начало координат; для нее мы также находим, что

Л(0, 0)=/^ (0, 0) = 0.

Положим теперь χ=Y~T. Тогда F(T)≈F(T, T) = 2T и F (0) = 2; но при T 0, так что результат предыдущего пункта не имеет места.

fχ dt + h dt,= 0- 1+0- 1=0

В дальнейшем мы будем предполагать непрерывность всех встречаю­

Щихся производных.

159. Теорема о среднем для функций от двух переменных.

/(χ + a)-∕(χ)==a∕'(χ + 6a).Многие из результатов последней главы следовали из теоремы о среднем:

Это равенство может быть записано в виде δy =∕’ (х — J — 6Sx) Sx,

Где Y=F(X). Предположим теперь, что Z = F{X, у)— функция от двух независимых переменных х и у, и дадим х и У приращения А, А или Sx, Sy. Поставим задачу найти выражение для соответствую­щего приращения Z, а именно,

S^=∕(x + A, YJrk)- f(x, У),

Через А, А и производные от Z по х и У.

Пусть

/(x Ht, у — J — Kt) = F (ŋ..

Тогда

/(х+ A, y + A)-∕(x, У) F(I)-F(O) = F1 (6),
где 0<≤θ<4. Но, по теореме о полной производной (см. п. 157),
F (0 = Dtf(X + Ht, Y + Kt) = Hfχ (х + Ht, у + Kt) +

4" KFy (x — J-A/ У — J — по­следовательно,

δz = F(X -J — А, У А) —/(х, У) = Hfχ (х — J — Θ А, У — J — ΘA) -J — — J — Kfy (χ 4~ У 4- ®^),

Что и является искомой формулой. Так как/[66], F— непрерывные функции от х и У, то

Fje (X -J — θ⅛, У — J — ΘA) =FX (х, у) — J — Sft, ft)

Fy (X + θ^, У — J — ΘA) =FY (х, _У) — J — ηft, ft)

Где Sftι⅛ и ¾⅛ стремятся к нулю при А и А, стремящихся к нулю. Следовательно, теорема может быть записана и так:

Fc=XΛ + s) Sx+ </; + •»!) δy, (1)

Где ε и η малы, если Sx и Sy/ малы.

Результат, содержащийся в (1), состоит в том, что соотношение

=/JSx ÷/JSy

Приближенно верно, т. е. что разность между левой и правой частью этого равенства мала по сравнению с большим из чисел Sx, Sy1). Мы должны сказать „большим из чисел δx, Sy потому что одно из них может быть малб по сравнению с другим; возможно даже, что Sx = O или Sy = O.

Если любое уравнение вида δz = λδx -j^ pδy, приближенно верно", то λ =Fx, р = Fy. Действительно,

Sz — Fχ8XFY8Y = ε8X ηδy, δz — λδx — μδy = ε’δx + 1)’¾,,

Где ε, η, s’, η’ стремятся к нулю, когда и Sy стремятся к нулю; таким образом,

(λ — FX) 8X + (р — FY) 8Y = pδx + σδy,

Где р и о стремятся к нулю. Следовательно, если ζ — любое заданное поло­жительное число, то мы можем подобрать такое <о, что

∣(λ-<)Sx+(p-^)δy∣≤ζ(∣Sx∣4-∣δy[)

Для всех значений Sx и Sy, по модулю меньших чем <о. Полагая Sy=O, получим I (λ—FX)8X I ≤ζ∣ Sx |, или ∣ λ—∕r∣≤ζ, что может иметь место для произвольного ζ только в том случае, когда Z = Fχ. Аналогично найдем, что р= F’у

Мы доказали, что (1) имеет место, если F,χ и F непрерывны, но это условие не является необходимым. Допустим, например, что φ(x, У)—, лю­бая непрерывная функция от х и у, и положим

Z=F(X, y) = (x+y)φ(x, у).

Тогда

<(0, O) = Iim ⅛Ml = φ(0,0)

И аналогично F (0, 0) = φ (0, 0); кроме того, очевидно, что Z= {φ (0, 0) 4- ε} х 4- {φ (0, 0) 4~ η}y,

Где ε и η стремятся к нулю при х иу, стремящихся К 0. Это соотношение эквива­лентно (1) при х =у = 0. Но мы не предполагали, что φ (х, у) дифференцируема по х или по У, и и F могут не существовать ни в одной точке, кроме начала координат.

Соотношение (1) иногда берется в качестве определения, дифференци­руемости функции от двух переменных"; F (х, У) Называется Дифференци­руемой в точке (х, у), если

/(х 4- ft, у 4- A) F(X, у) = (Л 4- ε) й 4- 4- η) А,

Где AuB зависят только от х и у, и ε и η стремятся к нулю при й и А стремящихся к нулю; Дифференцируемость в области означает дифферен­цируемость в каждой точке этой области. В данном случае FX и F, суще­ствуют н равны А и В, но они могут не быть непрерывными. Условия, на­кладываемые на Fχ и Fy в этом определении, являются промежуточными между более слабыми условиями одного лишь Существования FχU FY и бо­лее сильными условиями Непрерывности F,χ и FY. Это определение диффе­ренцируемости имеет много преимуществ, но для наших целей условие не­прерывности частных производных является достаточно общим. См, W. H. Young, The fundamental theorems of the differential calculus (Cam­bridge Math. Tracts, No. 11), а также де ла Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. 1, гл. III, ГТТИ, 1933.

160. Дифференциалы. В приложениях математического анализа, особенно к геометрии, как правило, оказывается чрезвычайно удоб­ным иметь дело с уравнениями, содержащими не приращения δx, δy, δz функций Х, у, Z, а так называемые Дифференциалы Dx, Dy, Dz; в качестве уравнения, содержащего приращения, можно указать на соотношение (1) п. 159.

Вернемся к функции Y=F(X) одного переменного Х. Если F Дифференцируема, то

δV = {∕'(*) ÷ s} δ*> О)

Где е стремится к нулю вместе с δx. Уравнение

δy=∕'(x)δx (2)

Является поэтому „приближенно” верным.

Дб сих пор мы не придавали никакого самостоятельного зна­чения символу Dy, взятому в отдельности. Условимся теперь Опре­делять Dy уравнением

Dy == /’ (х) δx. (3)

Если мы выберем в качестве У функцию У = х, то получим, что

Dx = δx, (4)

Так что

Dy = F (х) Dx. (5)

Если мы разделим обе части уравнения (5) на Dx, то получим:

G=∕’M. (6)

Dy

Где ~ уже не означает, как до сих пор, дифференциальный коэф­фициент У, а является отношением дифференциалов Dy, Dx. Символ ~ приобретает, таким образом, двойной смысл; но это не вызы­вает никаких неудобств, так как (6) остается в силе при любом из двух смыслов левой части.

Перейдем теперь к соответствующим определениям, связанным с функцией Z от двух независимых переменных Хну. Мы опреде­ляем дифференциал Dz уравнением

Dz=FχBx+Ffi>. (7)

Полагая последовательно ZX и ZY, мы найдем, что

(Zx==δx, <Zy = δy, (8)

Так что

DzFχDx+F,YDy, (9)

Что является точным уравнением, соответствующим приближенному уравнению (1) п. 159.

Одно свойство уравнения (9) заслуживает особого упоминания. В п. 157 мы видели, что если Z=F(X, у), причем Х и у являются функциями некоторого переменного T, т. е. не независимы друг от друга, то и Z является функцией только от T и

Az__ ∂f Ax,∂f Ay

At ∂xAt ʃ Ду At

Умножая это уравнение на Dt и принимая во внимание, что = ~Dt, DY = Γtdt> Dz = Ttdt>

Мы получаем:

⅛z=∕yr÷∕jXy,

Что по виду совпадает с уравнением (9). Таким образом, Формула, выражающая Dz через Dx U Dy, одна и та же как в том случае, когда х и у независимы друг от друга, так и в том случае, когда они являются функциями от некоторой третьей перемен­ной. Это замечание играет большую роль в приложениях.

Следует также отметить, что если Z есть функция от двух не­зависимых переменных Х и У и

Dz = λdx —jw∕y,

То λ=Fχi ∣jL=/^. Это сразу следует из п. 159.

Очевидно, что теоремы и определения последних трех пунк­тов могут быть легко обобщены на функции любого числа пере­менных. Дифференциальные обозначения обладают многими практи­ческими преимуществами, в особенности в приложениях к геометрии.

Примеры LXlI. 1. Обозначим площадь эллипса с полуосями А и Ь че — рез А. Доказать, что

AA Aa Ab ^A^~"A+T

2. Выразить Д, площадь треугольника АВС, через (1) А, В, С, (2) А Ь, с и (3) А, Ъ, с и вывести формулы

d∆ . ΛjΛ i db , ac - = ctsaaa+τ + ~,D∆_ 2 ria 4- ∣

Δ А ‘ a sin В *^ a sin С

aΔ ≈ r (cos aaa -∣- cos bab + cos cac),

Где R обозначает радиус описанного круга.

3. Стороны треугольника изменяются таким образом, что его площадь

Остается постоянной, так что А может рассматриваться как функция от B Н С. Доказать, что

Да cos В да cos C

B cos Л’ Дс cos Л ‘

[Это следует из уравнений

Aa — ^AbJAc, cos AAa + cos BAb + cos CAc = О.]

, ∂Z . , ∂Z . . ди. . ди. . до . ,до.

Dz = — du + do, du= ɔ- dx + 3- Dy, do = 3- dx ÷ 3- dy.

‘ до дх ‘ ду Y, дх * ду

4. если а, ь, с изменяются так, что r остается постоянным, то,da
cos а
,db,dc,cosβ cos c,и, следовательно,,да cos а да cos а
∂b cos в ’ дс cos c ‘
[применить формулы a = 2r sin а, ... и учесть, что r и а -j- £+ c постоянны.]
5. если z является функцией от и, о, которые, в свою очередь, являются функциями от х и у, то
,[мы имеем:,∂z
дх'
,∂z ди ди дх,∂z до до дх ’,∂z ди ,∂z до
’ ди ∂y' до ду ‘

Подставить выражения для Du и Do в первое уравнение*) и сравнить ре­зультат с уравнением

. ∂z. . ∂z, ,

6. Если πrcosθ = l, tg 0 = О и F (г, θ) = G {и, о), То

R∕> = -πGβ, FeUoG U + (1 +w2) Gv.

(Экз. 1932 г.)

7. Пусть Z функция от Х чу, и пусть X, Y, Z определены уравнения­ми

X = a1Z + ¼K+c1Z, y = a2Z+⅛2Γ+c2Z, 2 = «,%+ ⅛3Γ+ CiZ.

Тогда Z может быть выражена как функция от X и Г. Найти выражения Zx и через Zx и Zy.

[Обозначим эти дифференциальные коэффициенты через P, Q и ρ, Q. Тогда Dz—ρdxQdy =Q или

(Cιp CtfCT) № ^t^ (AIP 4~ AT4 —A⅛) DX 4~ (⅛√, ~Ь ⅛2? —■ Дц) E=O.

Сравнивая это уравнение с DZ—PdX—QdY = Q, мы находим, что

Aιp + a8g-a8 g _ B1p + btf 8

Clp + Ctf-Cs 4 c1p + ctf-cs ‘j

8. Если

(Aix + B1Y + Clz) р + (Aix -[- Biy + C<TZ) Q = Asx + B3Y + Csz, То

{AiX BlY -}- ClZ) P — ф — (AiX — J — ⅞E — J — c2Z) Q = A,X-J — BsY — j — CsZ.

(Экз. 1899 г.)

9. Дифференцирование неявных функций. Предположим, что / (х, у) И ее производные FX и FY непрерывны в окрестности некоторой точки (а, Ь) и что

___________ F (A, B) = O, Fly (A, B) ≠ 0.

* Инвариантность формы дифференциала, доказанная в настоящем пункте для того случая, когда И и О являются функциями одного пере­менного T, имеет место и в том случае, когда И и О являются функциями от двух переменных Х и У. (Прим, перее.)

20 Г. Харди

Тогда мы можем найти такую окрестность точки (а, Ь), в которой FY(X,Y) Сохраняет знак. Допустим, например, что FY(X,у) положительна вблизи (а, Ь). Тогда для любого значения Х, достаточно близкого к а, функция F(X,Y) Является строго возрастающей (в смысле п. 95) функцией от У для всех У, Достаточно близких к Ъ. Из теоремы п. 109 в этих условиях следует, что существует единственная непрерывная функция У от Х, которая принимает значение Ь при Х — а и удовлетворяет уравнению F (х, у) = 0 для всех значений Х, достаточно близких к а.

Если

F (х, У) —X = а + Л, Y = B + K,

ТО

0 = ∕(λ:, ʃ)-/(a, £) = (/; +ε) ⅛ + <4+ η)⅛[67]), где ε и η стремятся к нулю при ħ и K стремящихся кД Таким образом,

H FB+- FB,

Или

Dy _ _ Ja

Dx f ‘

Jb

10. видУравнение касательной к кривой F (х, у) = 0 в точке (X0, у0) имеет

-f(x, и) и z =(х — X0)FX (x0,y0) + Y0)FY (х„, У о) = 0.

ftfx fχ,∙fu

frf,,=И. Пусть в результате исключения И из уравнений У-. = φ(x, а) мы имеем Z = F(X,Y). Доказать, что

F ’ ‘y f ‘

Ju Ju

(Экз. 1933 г.)

12.

или (что то же самое) f'x≈<j, f'y = q>
df = o

Максимумы и минимумы. Очевидные изменения в определениях п. 123 приводят нас к определению максимального и минимального значений функции от двух переменных. Ясно, что если F(X,Y) в точке (а, Ь) имеет максимальное значение, то функция F(X, Ь) имеет максимум при x = α, так что должно обращаться в нуль в точке (а, Ь). Подобным же образом мы убеждаемся в том, что и Fy обращается в нуль в этой точке. Таким обра­зом, являются Необходимыми условиями максимума и минимума. Вопрос о на­хождении Достаточных условий более сложен, и мы на нем здесь остана­вливаться не будем.

13. Если У определено, как функция от Х, уравнением G(X, у) = 0 и F(X, у) имеет в некоторой точке максимум, то (в силу того, что формула для дифференциала — одна и та же, как в случае независимых переменных, так и в случае, когда переменные связаны между собой некоторым соотно — щеиием) d∕ = 0 в точке максимума, тогда как Dg = 0 для всех Х и У. Дру­гими словами, FχDxFYDy =0, если GχDxGYDy = 0, а, следовательно,

Если Gχ или GY равно нулю, то уравнение (1) должно быть понято так, что стоящее в числителе соответствующей дроби Fχ или FY равно нулю.

Аналогично мы находим, что если л определено уравнением G(X, у, Z)==Q И F (х, У, г) имеет максимум в некоторой точке, то

/’ /’ /’

Sx Sy ~ SZ

(с оговоркой, подобной той, которая сделана в предыдущем случае).

14. Если A, β, γ положительны. А, В, C являются углами в некотором

Треугольнике и siπct ½sitr В sinγ C имеет максимальное значение, то

To*А = ≤±+i+lh te*в=P(a + P + f) t ic_Т(a + P + γ)

8 Pγ ’ g a γα , Ig Ь—

(Экз. 1935 г.)

161. Определенные интегралы и площади. В п. 148 гл. VI мы

Приняли, что если /(χ)— непрерывная функция от х и PiP— дуга графика jι=∕(x), то области, ограниченной P1P, ординатами P1N1 И PN и отрезком N1N оси х, можно сопоставить некоторое число, называемое ее площадью. Ясно, что если ON=X и х меняется, то эта площадь будет функцией от х, которую мы обозначим через F (х).

Сделав такое предположение, мы в п. 148 доказали, 4τoF‘(X) = =/(х), и показали, как этот результат может быть применен к вы­числению площадей некоторых областей, ограниченных кривыми линиями. Но мы должны еще доказать основную предпосылку, что величина F (х) — площадь данной фигуры — действительно существует.

Мы знаем, что понимают под площадью Прямоугольника, и что она измеряется произведением длин его сторон. Свойства треуголь­ников, параллелограмов и многоугольников, доказанные Эвклидом, дают нам возможность определить и площадь этих фигур. Но ничто известное нам до сих пор не дает непосредственного определения площади фигуры, ограниченной кривыми линиями. Покажем теперь, как можно определить F (х) так, чтобы мы могли доказать существо­вание этого числа.

Мы предполагаем /(х) непрерывной в замкнутом интервале (а, Ь) И разбиваем этот интервал на некоторое число подинтервалов точками деления χ0, χ1, X1, … , хп, где

α = x0<x1<xa< … <xn,1<xn = ⅛.

20»

Обозначим через S7 интервал (х„ x4ψι) и через Т.,— точную нижнюю грань (см. п. 103) F(X) в 3, и положим

S = m0δ0 -j — /raɪsɪ + … + ∞n-ιδ,1-ι = ‘∑TMK

Ясно, что если M является точной верхней гранью F(X) в (α, 6), то s≤Λl(⅛— А). Совокупность значений s является поэтому ограни­ченной сверху (см. п. 103) и имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через J. Ни одно значение s не превосходит у, но существуют значения S, превосходящие любое число, меньшее J.

Точно так же, если M~L обозначает точную верхнюю грань /(χ) в S4, то полагая

S=2ΛIΛ,

Мы найдем, что SM(B—а), где Т является точной нижней гранью /(х) в (а, Ь). Совокупность значений S ограничена, таким образом, снизу и имеет точную нижнюю грань, которую мы обозна­чим через J. Ни одно значение 5 не меньше J, но существуют зна­чения 5, меньшие любого числа, большего J.

Полезно уяснить себе геометрический смысл сумм s и S в том простом случае, когда / (х)монотонно возрастает в (a, B). В этом случае /zzv=∕(x4) и Λ4v=∕(x^ + 1). Сумма s является

Суммой площадей прямоугольников, за­штрихованных на фиг. 44i a S — пло­щадью фигуры, обведенной жирной линией. В общем случае s и S также будут площадями фигур, состоящих из прямоугольников, причем s будет пло­щадью такой фигуры, целиком содер­жащейся в криволинейной фигуре, пло­щадь которой мы определяем, a S — площадью фигуры, содержащей эту по­следнюю.

одному разбиению интервала, a s', s' — суммы, соответствующие другому разбиению. нам надлежит показать, что s≤s, и s'≤s.
мы можем образовать третье разбиение интервала, взяв в ка

Покажем теперь, что ни Одно значение S не может превосхо­дить ни одного значения S. Пусть s, S—суммы, соответствующие

Честве точек деления все точки, которые являются таковыми для s, S и для s’, S’. Пусть s, S Обозначают суммы, соответствующие этому третьему разбиению. Тогда легко видеть, что

ssss, s≥ss’, s≤s, s≤s'.
(1)

Например, S Отличается от s тем, что по крайней мере один интервал 8„ встречающийся в S, разделен на некоторое число меньших интервалов

',,p,
84д, s4i2j

Так что слагаемое Nτfi,, из s заменяется в S Суммой ^Γjlιδ⅛5ι — j— Mvtfiv,Cι -∣^ • ■ ∙-Ь

Где Т, л, MJ, … обозначают точные нижние грани /(х) в SmSa3j… . Но очевидно, что zw-ςl S⅛ m4, ∕rav2S≥∕rav, … , так что выписанная сумма не меньше m.,δ∙j. Следовательно, S ≥≥ S, и другие неравенства (1) могут быть установлены таким же образом. Но так как SS, То мы имеем:

S≤s≤S≤5′, что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что J^J. Действительно, мы можем найти зна­чение s, как угодно близкое к у, и значение S, как угодно близкое к J1), Так что из JFi>J следовало бы существование таких s и S, что s J>S.

До сих пор мы не пользовались непрерывностью / (х). Покажем теперь, что J = J и что суммы s и S стремятся к пределу J, когда число точек деления х, неограниченно возрастает таким образом, что все интервалы δ4 стремятся к нулю. Точнее: мы покажем, что Для любого заданного положительного числа е Можно найти такое δ, Что

O^J—S<^ε, 0≤S—Jr≤ε,

Если δv<Jδ Для всех значений V.

По теореме II п. 107, существует число δ такое, что ΛZv /и,<J,

Если только каждое δv меньше δ. Следовательно,

S — s = ,∑ (Mv Mfi) δv<J ε.

Но

5 — s = (S — J) -{- (J—J} -(- (у — S),

Где все три слагаемых в правой части положительны (или равны нулю); следовательно, каждое из них меньше ε. А так как J—J есть постоянная величина, то она должна быть равна нулю. Таким обра­зом, J = J и Q^J s<Jε, 0≤5 — Jr<≤ε, что и требовалось до­казать.

Мы определяем Площадь N1NPP1 как Общий предел S и S, т. е. принимаем за эту площадь число J. Легко придать этому определению более общую форму. Рассмотрим сумму

σ = 2∕Λ,

Где Fv обозначает ,значение F(X) в некоторой точке интервала δv. Тогда очевидно, что лежит между Tn., и Mv и, следовательно,

*) Эти значения s и S не будут, вообще говоря, соответствовать одному и тому же разбиению интервала.

А стремится к пределу J, когда интервалы δ, стремятся к нулю. Поэтому мы можем определить площадь как предел сумм О.

162. Определенный интеграл. Предположим, что F(X)— непре­рывная функция, так что область, ограниченная кривой Y=F(X), Ординатами Х = а и X=B и осью Х, имеет определенную площадь. В п. 148 гл. VI, мы доказали, что если F(х) является „интегралом” от /(х), т. е. если

F’ (х) =F(X), F (х)= (х)Dx,

То площадь этой области равна F (Ь) — F (а).

Так как не всегда возможно найти вид функции F (х), удобно

Иметь формулу, представляющую площадь N1NPP1 и не содержащую в явном виде F (х). Мы будем писать:

Ь

(N1NPP1) = ∫∕(X)Dx. А

Выражение в правой части этого равенства может рассматриваться с двух точек зрения. Можно рассматривать его как сокращенное обозначение для разности F (Ь) — F (а), где F (х) является некоторым интегралом от F(X), независимо от того, известна ли явная формула для этой разности или нет, или же можно рассматривать этот символ как обозначающий площадь N1NPP1, определенную в п. 161.

Число

Ь

J /(X) Dx А

Называется Определенным интегралом’, а и B называются его Ниж­ним и верхним пределами’, F(X) называется Подинтегральной функ­цией и, наконец, интервал (а, Ь) называется Интервалом (или Об­ластью) интегрирования. Определенный интеграл зависит только От А и B и вида функции F(X)∙, он не является функцией от х. C Другой стороны,

F (х) = ∫ F(X) Dx

Иногда называется Неопределенным интегралом от F(X)∙

Различие между определенным и неопределенным интегралом не затра­гивает существа этих понятий. Определенный интеграл

Ь

^F(X)Dx=’F(B)-F(A)

А

Является функцией от Ь и может рассматриваться как некоторый интеграл от функции F(B). C другой стороны, неопределенный интеграл F(X) всегда может быть выражен через определенный интеграл, так как

Х

F (X) = F (A) + ʃ/ (T)Dt. а

Но когда мы рассматриваем „неопределенный интеграл", то обычно имеем н виду некоторое Соотношение между двумя функциями, в силу которого одна из иих является производной другой; рассматривая же „определенный интеграл", мы, как правило, не представляем себе его пределы изменяю­щимися.

Следует отметить, что интеграл

J F(T)Dt А

Имеет дифференциальный коэффициент F (х) и поэтому заведомо является непрерывной функцией от Х.

Так как функция — непрерывна для всех положительных значений Х,

Рассмотрения предыдущих пунктов содержат доказательство существо­вания функции Inx (см. п. 131).

163. Площадь сектора круга. Круговые функции. Теория три­гонометрических функций cos Х, sin хит. д. в том виде, в каком она излагается в учебниках элементар­

Ной тригонометрии, основывается на одном недоказанном предположении. Уг­лом называется конфигурация, состоя­щая из двух полупрямых OA, OP; не представляет труда перевести это „гео­метрическое* определение на язык ана­лиза. Принимаемое предположение со­стоит в том, что Углы можно измерять, Т. е. что существует действительное число Х, сопоставляемое этой конфи­гурации так же, как некоторое действи­тельное число сопоставляется области в п.148.Если это принять, то cosx и sin Х могут быть определены обычным образом, и в дальнейшем развитии теории уже больше не встречается никаких принципиаль­ных трудностей. Все затруднение содержится в вопросе; Что пред­ставляет собой х в COsx И sinx? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны определить меру угла, и теперь мы в состоянии это сделать. Наиболее естественным было бы следующее определение; пусть AP будет дуга окружности с центром в О радиуса 1, так
что OA = OP = 1. Тогда Х, мера угла, есть Длина дуги АР. В основ­ном это — тб определение, которое дается в учебниках, когда рас­сматривается „радианная мера". Для наших целей это определение имеет, однако, один существенный недостаток: дело в том, что мы не доказали существования длины дуги кривой, даже в том случае, когда эта кривая — окружность. Понятие длины дуги кривой может быть подвергнуто такому же точному математическому анализу, как и понятие площади; однако, соответствующие рассмотрения, хотя они и имеют тот же характер, что и рассмотрения предыдущих пунктов, значительно сложнее, так — что провести их здесь не представляется возможным.

Мы должны поэтому основывать наше определение не на по­нятии длины, а на понятии Площади. Мы определяем меру угла AOP Как Удвоенную площадь сектора AOP единичного круга.

Допустим, например, что OA лежит на оси Х (j∕ = 0) и что OP Есть прямая У = тх, где Т^>0. Площадь сектора является функцией от Т, которую мы обозначим через φ(τre). Точка P имеет коорди­наты (р, шр), где

1 Г~Л—— «- M VT —р2

R j∕T + и2 r ∣Λl + m2 Ii

И

1 1 φ (щ) = ɪ Ту? J/1 — Xidx = ^γ. УТ^- Ji4 + ʃ У1 — X4 Dx.

В в

Следовательно,

Iʃ3

2∕l-p*

d<s
dp
1
2∕ltΓj√,
⅛√1-и4
/1-р4
dφ d<s dp . 1 т 1
dm dp dm 2 ɪʌ'lɪp2 (1 + от2)3/2 2 (1 + m2)
i
и, таким образом,
т.
. . 1 г di
cp(m)=2 j Γ+tr'
о

Аналитическим аналогом нашего определения является, следова­тельно, определение arctg Т уравнением

Т

Г Г Dt

Arctg/и = J Jψ7r∙

О

Теория тригонометрических функций, исходящая из этого опреде­ления, изложена в гл. IX.

Примеры LXIII. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных. 1. Показать, что если Ь > A О и П > — 1, то

Ь

C,,j bn+l-an + 1

J /г + 1

OC dx. , P dx 1

3. I R~ι—5 = arc tg B — arc tg a; I 1-l—5 = — π.

J 1 +X2 s Jl +* 4

ɪʃ
sin mb —sinma
т
cos та — cos mb = т '
sin тх dx -
cos тх dx:
[здесь мы встречаемся с некоторым затруднением, связанным с тем, что arc igx является многозначной функцией. это затруднение можно устранить, если заметить, что в уравнении
x
p dχ
j yψ+ = arctgχ
arc tg х должен обозначать угол, лежащий между — ɪ π и ɪ π. действительно, интеграл обращается в нуль при x = o и монотонно и непрерынно возрастает с возрастанием х. таким образом, то же должно иметь место для arctgx, который, следовательно, стремится к ~ при x~→co. таким
же образом мы можем показать, что arctgx—»—^-тгприх —-—со. аналогично, в уравнении
,x
p dt j v Γ -Ξ+'
,: arc sɪn x,
где — 1 < х < 1, arc sin х обозначает угол, лежащий между — ɪ π и следовательно, если а и ь по модулю меньше единицы, то
ь
dx
,-■ arc sin b — arc sin я.] π.
dx,l+2xcosa+x2 2sina ’
4.
если —π<a≤π, за исключением того случая, когда а = 0; н этом случае
ɪ ɑ п
интеграл ранен ɪ, что является пределом ,ɪɪ при а—0.
1 а
5. ʃ]/l ^x2 dx = 1 π; jv^++x = yra2,
о о
если а >> 0.

1

DJc 2

……….. ………….. равен 2, если — 1 <α≤ 1, и —, если ∣ A ∣ > I.

_ ι У 1 — 2aχ -}- as a

(Экз. 1933 г.)

7 Г Dxπ

J a + ⅛cosx^-y^i∑Ξ⅛s »

О r

Если А > J B |.

*∕aπ
ʃ
[Вид неопределенного интеграла установлен в примерах LIIL 3 и 4. Если I A I < I B |, то подйнтегральная функция обращается в бесконечность между 0 и π. Чему равен интеграл, когда А отрицательно и — а > B | ?]

8.Ax

A1 cos2 Х -}- B siπs Х 2AbЕсли А и B положительны. Каково значение интеграла, когда А и B имеют разные знаки или когда они оба отрицательны?

9. Интегралы Фурье. Доказать, что если Т и П — положительные целые числа, то

всегда ранен нулю, и что
2тс 2~
cos тх cos пх ах, ∣ sin тх sin пх ax б о

cos Тх sin Пх Ax

ʃ Cos Тх cos Пх Ах, J Sir о о

Также равны нулю, если Т^п, а при Т — п каждый равен π.

Тс тс

10. Доказать, что интегралы ʃ Cos Тх cos Пх Ax и ʃ Sinmχsin ПхАх О о

Равны нулю, если Mzjzn, и каждый равен ɪ S если Т — п\ а также, что если П — т нечетно, то

2п
cos mxsin пхах --

Если П — т четно, то

ʃ Cos Тх sin Пх Ax = 0. о

11. Доказать, что ʃ Cos Т θ (cos 0)" Ав = О, о

(экз. 1928 г.)Если Т и П—Положительные целые числа и Т > п.

12. вычислить
1
,4xa + 3
8xs 4- 4х + 5
c tc
c xdx г
j vrx + с ’ j '
,dx,i^x + с ’ ɔ 5 + 3cosx ’ or о
τi?
dx
dx,
4- 2 cos х ’

dx /ɑ 2
cos 2α—cosx∖ < α 3π
, j arctgxdx. о

(Экз. 1927, 1928, 1929, 1930, 1936 гг.)

164. Вычисление определенного интеграла как предела суммы.

В небольшом числе случаев мы можем вычислить определенный интеграл непосредственно из его определения (см. пп. 161 и 162). Вообще говоря, вычисление производится гораздо проще с помощью неопределенного интеграла, но читателю полезно самостоятельно разобрать несколько примеров.

Примеры LXIV. 1. Вычислить

Ь

J Xdx

А

Разбиением интервала (я, Ь) на П разных частей точками деления A X0 x1, x2,..∙, Хп ==.Ь и вычислением предела

(X1-X0)Z(X0) + (x2-x1)∕(x1) + … + (х„ — XnL)F(XnL)

При П —> со.

[Эта сумма равна

Ц^[я+(я+Ц-+ . . . + {я 4- (n-l)ʃj] =

= b~^ + {1 + 2 + … + (n —1)}j = (Ь—а) [я 4- — я)n ŋj

Что стремится к пределу ɪ (⅛2 — я2) при /г —со. Проверить результат геометрическими рассмотрениями.]

2. Вычислить

Ь

ʃ Xdx, а

Где 0<o≤⅛, разбиением интервала (а, Ь) на П частей точками деления я, Ar, Ari,…, Arn, где Rn = —. Применить тот же метод к более общему интегралу

Ь

J Xmdx.

3. Вычислить ʃ Xi Dx, ʃ Cosmxdxn ʃ Sinmxdx методом примера 1.

А а а

П — 1

П . п, , п ____________ V N

W8+wa + l8 ɪ ∙∙∙ + ws +(w-l)8~ Z∣o ɪ + /_г\* ’

4. ∕∙==o
[это следует из того, что
Доказать, ч го П ɪ ^A -→ ɪ π при П — со.

W

А эта сумма, по определению, стремится при w —со к пределу

f dx 1
j r+χ= -j

1

5. Доказать, что ^a ɪ ɪʌw8—Г

[этот предел ранен

1

ʃ /Γ^x8dx.[

165. Общие свойства определенного интеграла. В Определении определенного интеграла как предела суммы мы предполагали, что 1° F непрерывна и 2° α<≤6. Мы определяем его значение при A b Равенством

• ь

§ F(χ)dx = —— j*∕(χ)dχ,

(1)

и
ʃ ∕ (х) dx ■
А при а = й—’равенством (2)

Эти определения стаионятся теоремами, если мы определим интегралы с помощью функции Г(х); действительно,

F (F)-F (a) = -{F(a)-F (b)}, F (a)-F ) = 0.

(3)Тогда мы имеем для любых А и Ь:

ʃ/(x) Dx-J — ʃ/(x) Dx = ʃ/(χ) ∙,

Ь ь

(4)
(5)
ʃ K F(X) Dx = K j ∕ (х) ∙, А а

Ь Ь Ь

ʃ{∕W + φWH*=∫∕(*H∙* +J φ(χ)tfχ.

А а А

Читателю рекомендуется провести формальные доказательства этих свойств, исходя (а) Из определения интеграла с помощью функции F(X) и (|3) из определения как предела суммы.

Важную роль играют также следующие теоремы, Ь

(6) Если /(x)≥⅛0 Для а^х^Ь, то J F(X)Dx^Q.

А

Мы должны только заметить, что сумма s из п. 156 не может быть отрицательной. Ниже будет, показано (разные примеры, 43, стр. 338), что значение интеграла не может быть нулем, если F(X) Не равна тождественно нулю; это может быть также выведено из первого следствия в п. 122.

(7) Если H (х) для а^х^Ь, то

Ь

H(BA) ≤ ʃ/(х) Dx ≤ К(Ь — а).

А

Это сразу доказывается применением свойства (6) к функ­циям /(х) — H и К—F(X)∙

Ь

(8) ∫∕(x)dx = (⅛-α)∕(ξ),

А

Где £ лежат между а и Ь.

Это следует из свойства (7). Действительно, в качестве H мы можем взять наименьшее, а в качестве К—Наибольшее значение /(х) в (а, Ь). Тогда интеграл равен η (Ь— а), где η лежит между H и К. Но так как /(х) непрерывна, то должно существовать такое ξ, что /(ξ) = η (см. п. 101).

Если F (х)— интеграл от F(X), то свойство (8) может быть за­писано в виде

F(B)-F(A)≈(BA)F‘(S),

Так что это свойство оказывается частным случаем теоремы о сред­нем из п. 126. Свойство (8) можно назвать Первой теоремой о сред­нем интегрального исчисления.

(9) Обобщенные теоремы о среднем для интегралов. Если φ(x) Положительна и H и К определены как в теореме (7), То

Ь ь ь

φ (х) Rfx ≤ ʃ ∕ (х) φ (X) Dx^K

А а А

А

Ь B

J(X) φ (X) Dx=F(L) ʃφ (X) Dx,

A ɑ

Где ɛ Лежит между а и Ь.

Это сразу доказывается применением теоремы (6) к интегралам Ь B

J {/(*) — HY(X)Dx, ʃ( A,~∕(X)} φ(X)Dx. А а

(10) Основная теорема интегрального исчисления. Функция

X

F{x~} = ^f(f)dt
а

Имеет производную, равную F(X)∙

Это было уже доказано в п. 148, но представляется целесооб­

Разным сформулировать этот результат здесь в виде формальной теоремы. Из этой теоремы следует, как было уже отмечено в п. 162, что F (х) является Непрерывной функцией от х.

примеры lxv. 1. показать, исходя из определения определенного интеграла как предела суммы и снойств (1) — (5), что,ɪ),а
∫φ(χs)dχ = - а
,а
2 y(xz}dxt
о
,xφ (xs) dx = 0;,π∕2 те/а х
ʃ φ (cos х) dx = ʃ φ (sin х) dx = ɪ ʃ φ (sin х) dx; о 0 0
2)
3)

Где Т — целое число. [Справедливость этих соотношений станет геометри­чески очевидной, если предстанить себе вид графиков подинтегральных функций.]

2. Доказать, что

Sin \п + ‘2 sin -ɪ- Θ

<№ = τz,

Где П—Положительное целое число или нуль. Чему равен этот интеграл при отрицательных целочисленных п?

3. Доказать, что интеграл

Sin Пх
Sin Х

Dx

Равен π или 0, в зависимости от того, является ли П числом нечетным или (Экз. 1933 г.)

Четным.

4. Доказать, что

TC

ʃ

Sin Пх

Sin Х

Dx = N~

Для всех положительных целочисленных значений П. [В примере 2 применить тождестно

Sin (п + ɪj Х ~ _ =

Sin ɪ Х

А в примере 3 — тождество sin Пх

(Экз. 1933 г.)

; 1 + 2 cos Х 2 cos 2x +… + 2 cos Пх,

Sin Х

2 cos (п — 1) Х + 2 cos (п — 3) Х 4-…,

Где последнее слагаемое равно 1 или 2cosx. Для доказательства утвержде­ния в примере 4 возвести последнее тождество в квадрат и применить ре­зультат примера LXIII. 10.]

5. Если

ψ (х) = ɪ a∣, + «1 ɛɑs Х + Bl sin Х +… An cos Пх + Bn sin Пх

И А — положительное целое число, не превосходящее П, то 2π 2π 2тс

ʃ φ (х) dx= πaθ, ʃ Cos Ax φ (х) Dx = πaft, ʃ Sin Ax φ (х) Dx = πA⅛;

Если A>w, то значение каждого из последних двух интегралов равно нулю. [Применить результат примера LXIII. 9.]

6. Если F (х) φ (х) для AХ Ь, то

Ь Ь

ʃ Fdx ≤ ʃ φdx.

7. Доказать, что Vs

Vs Vs Vs Vs

ʃ Sin N+L х Dx < J Sin" Х Dx, 0 < ʃ Tg rt+1 Х Dx с J Tg" оо Oo

0<

8 ɪ). Если П > 1, то

Xdx.

ɪ/s

0,5 < ;

Dx

Vl — Xi

<0,524.

I ʃ/(*)?(*) d*J ≤M J Iφ(x)∣dx.

10. доказать, что
(' dx
j v^Ξ3x + ;
0,573 < < 0,595.
[положить х — 1-4- и, затем заменить 2-4-3κ2-j-и3 на 2-4-4π2 и на 2 + зм2.]
11. если а и φ — положительные ост,рые углы, то φ
dx . φ ,
φ<,г ‘
j vl^i^ о
,sιn3<xsιπ∙,itι2x vl,- slhi a sin3 φ,если α = φ= -g- то значение интеграла лежит между 0,523 и 0,541. 12. доказать, что
ʃ f(x)dx ∣≤∫ ∣∕(x)∣dx.
[если σ обозначает сумму, рассмотренную в конце п. 161, a σ'—соответ-ствующую сумму, образованную для функции ∣∕(x)∣, то ∣σ∣≤σ,.]
13. если ∣∕(x)∣≤aΓ, то
ь ь
166. интегрирование по частям и подстановкой. из п. 141
следует, что если f (х) и ср' (х) непрерывны, то
? b j f w φ' (χ) dx =f{b) φ (⅛) — /(a) φ (a) — ʃ ∕' (х) φ (х) dx.
*) примеры 8—11 заимствованы из книги gibson, elementary treatise on the calculus.

[Первое неравенство СледуеТ из того, что У 1 — x2"< 1, а второе—из того, что Vɪ — χin Ξ⅛ vra]

9. Доказать, что

Dx 1

Г, I,——— =-= < a π.

2 JV 4 —x2 + x3 6

Эта формула известна как формула Интегрирования определенного интеграла по частям.

Далее, мы знаем (см. п. 136), что если ∕,(∕)— интеграл от F(T), То

J ∕{ψWlφ’W^=∕7{φW∣∙

Следовательно, если φ(α) = c, φ(6) = √, то D ь

J F(T) Dt=F(D) — F(C) = F{<F(B)}-F>^ (α)} = J ∕ {Ep (X)} φ, (χ) D г, С А

Что является формулой Преобразования определенного интеграла подстановкой.

Эти формулы часто позволяют нам найти значение определенного интеграла без знания функции F (х). Определенный интеграл яв­ляется разностью двух частных значений F(X), которая иногда может быть найдена каким-либо специальным приемом даже в тех случаях, когда сама функция F(X) неизвестна.

Примеры LXVl. 1. Доказать, что Ь

Xf" (X) Dx = {Bf‘ (B)-F(B)} — {Af‘ (A)-F(A)}. А

2. Доказать, что вообще

Ь

ʃ (Л.) Dx = F(b) — F(<l),

А

Где

F(X) = Xm FlM~I (х) — Mxm~1 Flm~I‘> (х) + т (т — 1) Xm~- F M~3) (х) — …+
Ф (— l)m MF(X).

3. Доказать, что

1 1 f, . 1 , с j 1 1

I Arc sin х Dx = ɪ ~ — I, Ix arc tg х Dx = -4 г. — ■ T О о

4. Доказать, что если А и B положительны, то

1* х cos Х sin х Dx __________ г.

J (я8 cos8 Х ф. Bi sin8 х)8 4λ⅛8 ф — Ь) ‘

О

[Проинтегрировать по частям и применить результат примера LXlIl. 8.]

5. Вычислить с помощью подходящих подстановок

2 15 1

Г Dx C dx Г Х Dx

J x(lφ-x1)t J (х — З) Fx^I, J 1 + γrχ,

21 Г. Харди

πLf *∕T R∙∕I _______

J seca .v Dx, j ∣∕rtg Х Dx, J 5 + 7 cos + sin ;

о
vs
c 1 + 2 cos х
j (2 + cos xγ dx' о

sin3^2xcos3 х dx.

π∕2

6. если(Экз. 1924, 1925, 1926, 1931 гг.)

Л (Х) = ʃ F (O dx, ft (Х) = j Л (/) d/,…, ∕fc (х) = J /ft-ɪ (t) dt> Оо О

То

Х

Fk (X) = (j⅛y, ʃ ∕ (О (X — Oft — М. Z о

(Экз. 1933 г.)

(Повторно интегрировать по частям.]

7. Доказать интегрированием по частям, что если 1

Xm (1 —x)n Dx,

О

Где « и « — положительные целые числа, то + П +1)Um NNum Я — 1 И вывести, что

Zzi! я!

П — + ■

8. Доказать, что если

«я х dx,

То Un + о„_8 —- ɪ, Вывести отсюда значение интеграла для всех положи­

Тельных значений П.

[Положить Ign х = tgn-s х (secs х — 1) и интегрировать по частям.]

9. Доказать, что если

Vs

Nn = j siπnx Dx, О

То [Записать sinnx в виде sinn~’xsinx и интегрировать по

Частям.]

10. Вывести из результата примера 9, что Ип равно

2∙4 ∙6…(п— 1) 1 1-3-5.,.(я—1)

3 • 5 -7…П или2~ 2 • 4 • 6…Я ’

В зависимости от того, является ли П числом нечетным или четным.

(Экз. 1935 г.)

11. Вторая теорема о среднем. Если F(X) является функцией от Х С непрерывной производной, не меняющей знака в интервале от Х — а до χB, то между А и Ь найдется такое число ξ, что

I/ ⅛ И

ʃ F (X)^(X)DxF(A) ʃ φ (х) Dx + F (⅛) ʃ φ(x)dx. А а £

[Пусть

X

тогдаJ* φ (Z) Di = Ф (х). А

Ь B

∣,/(x)φ(x)<Zx = j*∕(x)Φ’ (X)Dx

А а

Ъ Ь

γ (⅛) Ф (⅛) _ ʃ F‘(X)Φ(X)Dx =F (⅛) Ф (⅛) — Ф (ξ) ʃ F ‘ (X) Dx,

По теореме (9) п. 165; следовательно, Ь

J F (X) φ (X) Dx=F (Ь) Ф (⅛) + {/ (A) —F(B)}Φ (S), А

Что равносильно утверждению теоремы.]

12. Форма Бонна второй теоремы о среднем. Если F, (х) непрерывна и не меняет знака, a F (Ь) и F(A)-F(B) имеют одинаковый знак, то

⅛ х

ʃ F(x)⅛(x)dx=f(a) j <i(x)dxt А п

Где X лежит между А и Ь. Действительно,

∕ (B) Ф (Ь) + {/ (A) —F(B)} Ф (?) = (а),

Где р. лежит между Φ(S) и Φ(⅛), и, следовательно, является значением Ф (х) Для некоторого значения Х — л. Важным случаем является тот, при кото­ром O≤∕(⅛)≤∕(x)≤∕(α).

Доказать также, Что если F(A) и F(B)—F (а) имеют одинаковый знак, то

* ъ

F(x)<t(x)dx=f(b) ʃ Y(x)dx,

А

Где X лежит между А и

13. Доказать, что

формулу из примера 12 и учесть, что интеграл отЕсли X1 > X > 0.

[Применить первую

Sinx по любому интервалу по модулю не превосходит 2.]

21»

14. Вывести результаты примера LXV. 1 с помощью подстановки. [На пример, в (3) разделим интервал интегрирования на Т равных частей и еде лаем подстановки X = ~—{-Y, x = 2π+y>∙∙∙∙]

15. Доказать, что

Ь ь

J F(x)dx~ j F(a-{-bX)dx.

16. Доказать, что

/s π∕s

cosnt xdx.ʃ Cosnt Х siπntx Dx = 2^M ʃ

17. Доказать, что

TC TZ

J Xφ (sin Х) Dx = ɪ Г. ʃ φ(siπx)dx.

[Положить х = ~—у.]

18. Доказать, что

Г Dx = ɪ ~s, I Xsinβxcos4xdx = —,г*.

J 1-)-cossx 4 J 512

° ° (Экз. 1927 г.)

19. Показать с помощью подстановки х = A coss Θ -(- B sin® 0, что Ь

J H (× — «) (& — х) Dx = ɪ π (Ь — Й)2. А

20. чтоПоказать с помощью подстановки (й -(- ⅛ cos х) (й — B cosy) = AsB“,

J (й -(- B cos X)~N Dx = (й2 — B3)~^N ~ J (й — B cosy)»-1 Dy, О о

Если « — положительное целое число и А > ] B I, и вычислить этот интеграл для N= 1, 2, 3.

21. «г!«! h7i)!Если Т и « — положительные целые числа, то

ʃ (х — α)nt (⅛ — x)n Dx = (B — «)’"+"+’ а

[Положить x==(⅛— α)y-( А и применить результат примера 7.]

167. Доказательство теоремы Тейлора интегрированием по частям. Можно применить метод интегрирования по частям для до­казательства теоремы Тейлора.

Пусть F(X)— функция, первые П производных которой непре­рывны, и пусть

Fn (х) =F(B) -/(х) — (Ь — X)F (х) -… — 1*=⅛2∕("→) (Х). Тогда

F√M=-⅛ξ!’∕∕>’,’M

И, следовательно,

Ь ь

Fn («) = Fn (Ь) — ʃ F√ (х) Dx = jɪɪ J* (Ь — X)NLFm (х) Dx. А а

Если мы теперь будем писать A~H вместо Ь, и преобразуем инте­грал подстановкой X = ATh, то найдем

/(π +⅛) =F(A) + Hf (я) +… + ɪ-/^-ɪ) (а) + Rn, (1)

Где

1

ħn с

^n=wzηr (l^t)n~’fm(a + th)dt. (2)

О

Если теперь Р— любое положительное целое число, не прево­сходящее П, то, по теореме (9) п. 165, мы имеем:

,ɪ 1

J (1 _/)"-</(") (α+∕⅛)rf∕ = J'(l-T)N~P(I T)P~Lβn (AfTh)Dt0 о

1

= (1 — Fi)N~P/т (а + β⅛) j* (1 — F)P~1 Dt,

8

Где 0<≤6≤l. Следовательно,

N (Lβ)"-PfW(A+βh)HT

Rn P(NL)! ‘

Если мы положим Р — п, то получим формулу Лагранжа остаточ­ного члена Rn (см. п. 152). Если же мы возьмем /?=1, то получим так называемую Форму Коши, а именно,

_ (I-9)"-YW(Fl + E⅞)⅞"

R" («—1)! ‘ 4

Это доказательство теоремы Тейлора обладает тем преимуществом, что оно приводит к точной формуле (2) для Rn, которая не содержит неопреде­ленного числа 0. Если его рассматривать просто как доказательство фор­мулы Лагранжа для Rn, то оно дает менее общий результат, чем доказатель­ство, приведенное в п. 150, так как мы предположили непрерывность ∕n,(x). Рассуждение п. 150 может быть видоизменено так,, чтобы оно приводило к формулам (.3), и <4‰

168. Применение остаточного члена в форме Коши к биномиальному ряду. Если /(χ) = (l + x)nt, где Т не является положительным целым числом, то остаточный член в форме Коши имеет вид

__ т (т — 1)… (т — п +1) (1 — Vft~1Xn

Нп~ Γ÷T..(«— 1) ɑ + θx)z≈-‘nt,

J __ Q

Но ɪ- θ- меньше 1, если —1 <x< 1 (независимо от того, положительно

Х или отрицательно); (1 + Qx)M~1 <(l-)-∣ Х ∣)m-1, если Т > 1, и (1 -↑-^X)M~1 < < (1—I Х ,)M~*, если от<1. Следовательно,

∣¾∣<∣m∣(l ±|x|)«-‘|^Z{)||x|" = P„.

Но ρn — О при и —от, согласно результата примера XXVII. 13, и/?„ — 0. Справедливость биномиальной теоремы, таким образом, установлена для всех рациональных значений Т и всех значений Х между — 1 и 1. Напомним, что применение формы Лагранжа наталкивалось на затруднения в связи с отрицательными значениями Х (см. (2) п. 152).

169. Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона. Существует ряд приближенных формул для определенных интегралов, которые играют важную роль в вычис­лениях. Простейшей из них является следующая;

Ь

J /(η⅛≥∣(⅛-• а){/(а)+/(&)}. (1)

А

Здесь мы заменяем площадь P1N1NP (см. п. 148) площадью трапе­ции P1N1NP, и формула точна, когда F{X} — линейная функция. Можно показать (см. пример LXVII. 2, стр. 328), что если /(я) Имеет производные F (я) И /"(я), то ошибка в (1) равна

-⅛(ft-α)V"(ξ),

Где ξ — некоторое значение я между А и Ь. При практических вы­числениях мы должны, конечно, разбить интервал интегрирования на небольшие участки и применить эту формулу к каждому из них в отдельности.

Значительно лучшей формулой является Ь

ʃ /(я)йя^З(6~а){/(а) + 4/(ЦА)+/(й)}. (2)

А

Эта формула известна под названием Правила Симпсона. Мы дока­жем, что если F(X) имеет четыре производных F (я), F (я), F" (я) И Flv (я), то ошибка в (2) равна

(6 — α)s∕'v(ξ)1

2880

Для некоторого S между А и B. В частности, это показывает, что правйло Симпсона дает точный результат для многочленов третьей и низших степеней.

Будем писать С — H, CH вместо А, B и рассмотрим функцию

φ(O=Ψ(O-(⅛)8ψ(⅛),

Где

Е-Н

ψ (Z) — ∫ /(x) Dx — ‘ T { F(C + Z) + 4∕(r) +/(с — 0}.

C T

Дифференцируя три раза, найдем, что

(о=j <+о — W)+/(<•• — о} —

— ;5 T F‘ (с +1) F‘ (T:- T)} — ʒ? ψ (А), φ"(0=4 {F(C + T) -∕,0∙-0}-

— ɪ1 Г (с +1) ÷ f” {c-t)} ψ (А),

<Г (0 = — — р < Г’ (< ÷ T)-F"’ (с —1)} — ~ ψ (А). СледовательнЬ, по теореме о среднем,

φ,’,(0 = -⅜^ {∕lv(ξ) + θ⅛A)}, (3)

Где S лежит в интервале (с — Z, с-J-Z).

Но так как φ(O) = φ(A) = O, то, по теореме Ролля, φ,(Z1) = O для

Некоторого Z1, лежащего между 0 и А. Так как и φ, (O) = O, то φ»(Z4) = 0 для некоторого Z⅛, лежащего между 0 и Ti, а следова­тельно, и подавно между 0 и А. Наконец, φ" (O) = O и поэтому φ’"(Z3) = 0 для некоторого Z3 между 0 и А. Из (3) теперь следует, что

∕ιv (S) = — S ψ (А)

Для некоторого S между С — Z3 и с—(-Z3, т. е. во всяком случае между С — H и с-(-А. Это равенство может быть записано в виде

С -{- H

ʃ Z(X) <Zx — — L А {F(C + А) + 4/(с) +/(с — А)} = — gj/ɪv (О С — H

ИЛИ

B

J /(х) Dx = —L (А — А) [ /(α) + 4/ J -}-∕(C) J⅛⅛ /’V (ŋ-

H

При практических вычислениях мы опять разбиваем интервал интег­рирования на части и применяем правило Симпсона к каждой части.

Примеры LXVH. 1. Доказать, что если F(X) дважды дифференцируема, то F {X + H)-2F (X)+F(XH) = HF" (ξ),

Где ξ лежит х— H и x-{-⅛.

(Экз. 1925 г.)

[Рассмотреть вспомогательную функцию φ (/) =/ (х -)- 0 — 2/ (х) + ∕ (х —1) — (⅛y { F (X + H) — 2/(х) + F — Л) } . 1

2. Доказать, что ошибка в формуле (1) настоящего пункта равна — ,’2 (B — β)V’ (В), W α < S < Ь.

[Рассмотреть вспомогательные функции

Ψ(0 = § F(X)DxT{F(C + T)+F(CT)}, φ(O = Ψ(∕)-({y⅛(Λ).l CT

3. Доказать, что

Ь

J* F (X) dx = (b~a)f (—+-) + ~ (ЬA)>f" (ζ), а

Где А < ς < Ь.

4. Применить правило Симпсона к вычислению по формуле

1

ɪ- — Г Dx

4 J l+xs∙

В

[Результат равен 0,7833… . Если мы разложим интеграл на два — от О II1.

До — — и от ɪ до 1 и применим правило к каждому из них, то получим ре­зультат 0,7853916… . Точное значение равно 0,7853921 … .]

5. Показать, что

5

8,9 < J 4′ +’ χi dX ‘ θ’

3 (Экз. 1903 г.)

6. Применить правило Симпсона с пятью ординатами к вычислению

J’ Vx~ χdx

1

С точностью до двух знаков. (Экз. 1934 г.)

7. Показать, что приближенное значение

4

равно 0,88.(экз. 1933 г.)J X3yrix-~xs dx О

170. Интегралы от комплексных функций действительного переменного. До сих пор мы всегда предполагали, чтб подинте­гральная функция в определенном интеграле действительна. Опреде­лим интеграл от комплексно-значной функции F (х) == φ (х) -}- (х) Действительного переменного Х в пределах от А до B уравнениями

Ъ ъ ь ь

ʃ F(X) с/х = J { φ (X)L Iψ (-v)} Dx = ер (χ) Dx — ф — I J ψ (х) Dx А а а а

Очевидно, что свойства таких интегралов могут быть выведены из уже рассмотренных свойств действительных интегралов.

Одним из этих свойств мы в дальнейшем воспользуемся. Оно выражается неравенством [68])

Ъ Ь

J j F(X) Dx J ¾- j ∣∕(x) I Dx. (1)

А а

Это неравенство может быть легко выведено из определений, дан­ных в пп. 161 и 162. Если 8., обозначает то же, что и в п. 161, a φv и ψv — значения φ и ψ в некоторЬй точке 8,, и /., = φv -J — zψv, го

Ь ь ь

J Fdx — J Ер Dx∙- I j ψ Dx = Iim £ φvδ4 JI Hm ∑ ψ∙Λ> =

А а а

— Iim V (φ4 -∣-⅛7) δ4 = Iim VJ∕484

И, следовательно,

I)

J ^Fdx I = I liɪɪɪ 2j∕A I = Iim ∣ 2j∕v8v j,

А

Тогда как

Ь

I |/| Dx = lim∑j∕, 18,,. А

Утверждение теперь следует из неравенства

Σ∕A∣≤ΣIΛA∙

Очевидно, что формулы (1) и (2) п. 167 остаются в силе, когда / является комплексно-значной функцией φ-(-zψ.

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ VlI I. Проверить выписанные члены следующих рядов Тейлора:

*1 2

(1) tgΛ∙ = Λ∙+-jΛ-3+15Λ∙’+…,

(2) sec x=l+ ɪ- Xs + .∣4 xj + …,

1 7

(3) х cosec х = I — J — — x2 + .vi + .. ,

(4) xctgx=t — ʌ -∙∙∙∙

2. Показать, что если /(х) и ее первые «+2 производных непрерывны, F(N+Lι (0) + 0, и 0„ является значением θ в остаточном члене ряда Тейлора в форме Лагранжа для П членов, то

β — — L 4 2 — ∙L-^θ) v4-of∖’1

" я +W 2(zz ∙.I,2(W 4 2) y("÷H(0∕v + σμ,∙

[Следовать примеру, примененному в примере IV. 12.]

3. Вывести формулы

/(A) /(B) G(A) G(B) Где β лежит между А и Ь, и /(«) /(B) /(с)

(2) G(a) g(b) g(c) h (a) ħ (b) h ) Где β и γ

(ɪ)

■ (Ь — а)

∕{a) /'{β) G(a) g'(?)

— у (BC)(C

[Для доказательства (2) рассмотрим функцию /(A) /(B) /(х)

T W = G(a) g(b) g(x) h(a) h(b) h(x)

/(а)

/’&)

F"(∙l)

G(a)

£’(?)

G"(r)

ħ(a)

Λ’ (β)

ħ" (γ)

Из чис

Ел А, Ь, с.

/(а)

F(b)

/(с)

Д(«)

G(b)

G(c)

H(a)

H(b)

H(c)

■а) (а — Ь)

(х — а)(х — Ь)

(c-a)(c-~b)

Которая обращается в нуль при Х—а, X = B и Х — с. Ее первая производ­ная должна обратиться в нуль при двух различных значениях х, лежащих между наименьшим и наибольшим из чисел А, B и С (по теореме В п. 122); отсюда следует, что ее вторая производная обращается в нуль при некото­ром значении x = γ, удовлетворяющем тому же условию. Таким образом^ мы получаем формулу

/W

G(A)

(A)

/(b) /(с) G(f>) g(c) h(b) h(c)

A)(c-b)

/(a) /(b) /"(/> g(a) g(b) g"(t) h(a) h(b) ħ"(4)

Доказательство теперь может быть легко доведено до конца.

4. Если F (х) имеет непрерывные производные первых П порядков, из

Которых первые я —1 обращаются в нуль при x = 0, a 4≤Λ^(x)≤β для 0 ≤ х ≤ ħ, то

Я!

≤E(x)≤β

X^

«I

Для 0≤x≤⅛. Применить этот результат к функции

F W — F (0) — Xf (0) -… — ∕*’1> (0)

И вывести отсюда формулу Тейлора.

5. Если ∆jftφ (X) = φ (х) — φ (х + H), ∆⅛φ (х) = Δa {∆⅛φ (х)} И Т. Д. И φ (х) имеет производные первых и порядков, то

∑(-ιr("½(∙s+rΛ)χ-⅛)nφ(n>(ξ),

Z=O ‘ ‘

Где ξ лежит между Х и х + яЛ — [Рассмотреть вспомогательную функцию Ф (T) = К" φ(x)-(j)nA" φ (х).

Пример LXVIL I по существу является частным случаем и = 2.J

6. Вывести из примера 5, что

Х" — MAJJxm —» Т (т — 1).. .(т — п + 1) Hn

При х—> со, где « — любое рациональное, а П — любое целое положительное число. В частности доказать, что

X∕x{∕x-2j∕T+ ‘i + ∕x+2}—∣.

7. Допустим, что y = φ(x) имеет непрерывные производные первых четырех порядков и что φ(0) = 0, φ'(O) = I, так что

У = φ (х) = х — f- Asxs + a3x8 — f — A, + O(Xi).

Доказать, что

Х = 4 (j>) =j> — C½Yi + (2A⅛ — As)Yt — (5α> — 5a2α3 + Ai)Yi + о (Y‘)

Н что

φ (X) ψ (X)-Xs Rιi

P ‘a*

При х— 0.

8. Координаты (ξ∙, η) центра кривизны кривой х=∕(∕), Y = F(T) в точке (х, У) определяются’из соотношений

ς— х η—У X‘1+Y,T

Y^’ Xi XY"-X"Y‘ ’

А радиус кривизны равен

(X,S +Y,A)V8 Х’у"—X"Y‘ ,

Где штрихи обозначают дифференцирования по T.

9. Координаты (ς, η) центра кривизны кривой 27ay2 = 4xs в точке (х, У) Определяются из уравнений

(экз. 1899 г.)3a(ξ + x) + 2×2=≈0, κ1 = 4y + ^.

10. Доказать, что круг кривизны в точке (х, У) будет иметь касание третьего порядка с кривой, если (1 ⅛yf)y3 ==3y, yj в этой точке. Доказать также, что окружность является единственной кривой, которая обладает этим свойством в каждой своей точке, и что единственными точками кони­ческого сечения, в которых это имеет место, являются его вершины.

[Сч. гл. VI, Разные примеры, 13 (4).]

11. Коническим сечением, имеющим в начале координат касание наи­высшего порядка с кривой

У = ах- — j — Bxs — j — Cxi 4-… 4- Kxn,

QtMiQPtTCQ

A3y Aix* 4- A*bxy — j — (асBi)yi.

Вывести, что коническим сечением, имеющим в точке (В, η) касание иаи — высшего порядка с кривой У =F(X), является

18η∣ Т — 9η∣ (X — В)2 + 6η∣η3 (χ — В) T + (3ηsη4 — 4η2) Г2,

(экз. 1907 г.)Где г — (У — η)-η1(x-В).

12. Однородные функции 1). Если То а ие изменяется, не считая множителя λ", когда Х, у, г, … Все возра­стают в отношении λ: 1. В этих условиях а называется Однородной функ­цией степени п относительно переменных х, у, г, …. Доказать, что для такой функции

Ди, ди, ди
‘∂X+YTy+Z^

Этот результат называется Теоремой Эйлера об однородных функциях.

13. Если И — однородная функция степени я, то ιιx, иу, … Однородны степени я— 1.

14. Пусть F (х, у) —0 представляет собой некоторое соотношение между Х и. У (например, XnYn х = 0) и пусть F(X, у, г) = 0 будет это же соотношение, приведенное к однородному виду заменой единицы третьей переменной Г (например, Xn -j-yn — Xz,1 `ɪ = 0). Показать, что уравнение касательной к кривой F(X, у) = 0 в точке (В, η) имеет вид

Λ’∕∙ξ YFг. 4- Fζ = θ>

Где 7∙’c, ∕, , означают Fx, Fy, Fi, в которые подставлены значения X = B, y≈=η, 4s = ζ = l.

15. Зависимые и независимые функции. Якобианы или функцио­нальные определители. Допустим, что миг» являются функциями от Х и У, связанными тождественным соотношением

φ (м, г<) = 0. (1)

Дифференцируя (1) по Х и У, мы получим:

∂φ Ди ∂φ До ∂<S ди UV

Ди дх ‘ V дх ’ ди Y‘ ∂VY

,) В этом и следующих примерах мы предполагаем непрерывность всех встречающихся производных.

Исключая отсюда производные от φ, найдем, что

— uxvy uyvx — о, (3)
гдс uχ, vx, vy обозначают производные от и и v по х и у. равенство (3) является, таким образом, необходимым условием существования соотношения типа (1). можно доказать, что это условие также достаточно (см., например, э. гурса, курс математического анализа, т. i, гл. ш).
если миг» связаны соотношением (ɪ), то они называются зависимыми-, в противном случае говорят, что они независимы. выражение j называется якобианом или функциональным определителем отмиг»похи_уи обозначается так:
rjl<⅛>j').
∂ (х, у) '
аналогичные результаты имеют место для функций любого числа переменных. так, три функции и, v, w от трех переменных х, у, г связаны соотношением φ (и, v, гг») = о в том и только том случае, когда
j=,uχ uy ug vx vy vz wx wy wz,равен нулю для всех значений х, у, г.
16. показать, что выражение
, д (и, v, w)
~ д (х, у, г)
,ax2 + bys + cz2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy
может быть представлено в виде произведения двух линейных функций от х, у, z тогда и только тогда, когда
,abc -∣- 2fgh — afa — bg2 — с it2 = 0. [записать условие того, что,рх + <7у + rz и p'x-f- q'y + rlz
связаны с данной функцией функциональным соотношением.]
17. если миг» являются функциями от ξ и η, которые, в свою очередь,
являются функциями от x и у, то
»7(м, г») _ д(м, г») д (ξ,jrl)
∂ (x, у) ∂ (ξ, η) ∂ (x, у) •
,обобщить этот результат на любое число переменных.,18. обозначим через f (х) функцию, производная которой равна ɪ и
которая обращается в нуль при х = 1. показать, что если и = f (х) -]- f (у), v~xy, то
,uxvy — uyvx — 0,
т. е. что и и г» связаны функциональным соотношением. полагая у» = 1, показать, что это соотношение должно иметь вид
f(χ)+f(y)-=f(χy)∙
подобным же образом доказать, что если производная от f (х) и f (o) = o, то f(x) должно удовлетворять уравнению
∕m+∕w-√(⅛⅞).
1
¥+х»
есть

19, Доказать, что если

‘<‘>=f∙i⅛

то
/м+/w≈∕ {-km⅛⅛a^} •

20. Показать, что если существует функциональное соотношение между UF(X)+F(у) + ∕(Z), V = F(у)F(л) + ∕(Z)F(X) + F(X)F (у),

W=F(χ)F(Y)F(Z),

То F (х) должна быть постоянной.

[Условием существования функционального соотношения является равен­ство

FWW(Z)V(Y)-F(Z)} {F(Z)-F(X)} {∕(χ)-∕(y)} = o.]

21. Если F(Y, Z), F(Z, Х) и F(X, У) связаны функциональным соотноше­нием, то F(X, Х) не зависит от Х.

(Экз. 1909 г.)

22. Если и== 0, υ = 0, к> = 0 — уравнения трех окружностей, записанные в однородной форме (как в примере 14), то уравнение

Д (и, У, W) ___ д(х, у, Z)

Представляет окружность, ортогональную к данным трем.

(Экз. 1900 г.)

23. Вычислить ɪ(ʌ’ , если

Д (х, у)

Xa ya __ Xs ya

Aτ+λ+⅛s + x — ∏mF7+⅛r+?—ɪ ‘

(Экз. 1936 г.)

24. Если А, В, С — функции от Х такие, что

А А’ А"

В В’ В"

C C С"

Есть тождественный нуль, то существуют такие постоянные X, μ, что ХД — J- VB ~<С

Тождественно равно нулю, и наоборот. [Обратное предложение почти оче­видно. Для доказательства прямого утверждения положим α = BC—В’С, …. Тогда A‘=BC"-B"C, …, и из равенства нулю определителя следует, что βγ,-3,7==θ, • таким образом, отношения ɑ:fi:i постоянны. Но αA+ββ + γC = 0.]

25. [мы имеемДопустим, что переменные Х, у, Z связаны некоторым соотношением, в силу которого 1° Z является функцией от Х и У с производными Zx и Zy И 2° Х является функцией от у и г с производными Ху и Хг. Доказать, что

Dz = ZxdxZy Dy, Dx = XydyX2 Dz.

Подставляя Dx в первое нз этих уравнений, получим:

Dz == (Zxxy + Zv) Dy + Zxxg Dz,

Что может иметь место только в том случае, когда 2xxv -}- ZyQ, ZxXg = 1.]

26. Четыре переменных Х, у, г, и связаны двумя соотношениями, в силу которых любые два из них могут быть выражены как функции остальных двух. Показать, что

XX+-¾=θ> Y"ZXxy=ZYxAxy

+>’X=1>

Где У“ обозначает производную от У по Г, когда У выражено как функция от Z и и.

(Экз. 1897, 1928 гг.)

27. Переменные Х, у, Z связаны соотношением

X2 +y2 Zi3Xyz = О

И У(х, у, Z)-X3Ysz. Определить значение φ.v в точке (1, 1, 1), если незави­симыми переменными являются 1° Х и У, Txnz-, дать геометрическое толкование того факта, что в этих двух случаях получаются различные значения φx.

(Экз. 1936 г.)

28. Если XsVw, Ys = Wu, Z‘2- и F(X,Y, Z) = Y(U, V, да), то

χFx +У/у + г/г — U<Fa + V< + W<Fυl.

(Экз. 1933 г.)

29. Найти φv(0, 0), если

(χ+y)2(χ-у)

Xs+ys ‘

φ(Λ∙,y) =

Когда Х и У не равны одновременно нулю, и φ(0, 0) = 0; объяснить, почему соотношение φ (х, у) = 0 ие определяет у как однозначную функцию от Х В окрестности начала координат.

(Экз. 1928 г.)

30.Пусть φ (и, о, х, у) однородна со степенью 2 относительно И и V`, Положим ‘■?,,= у, ‰ = tf∙ Пусть φ(zz, V, х, у), выраженная через Р, д, х, у, Есть ψ (ρ, Q, χt у). Доказать, что

^p-u> ‘τ,x = ~,-fx< ⅛==~’tP. v

(Экз. 1936 Г.)

[По теореме Эйлера (пример 12), ∏φa + τ,‰=2φ или yrt + ⅞rv = 2ψ, если И и V выражены через Р, д, х, у. Следовательно,

U+Pup + Qvp = 2∙,Jp.

ПО

⅛ = ‰¾ + ‰¾ = P⅛ + tf⅜>

И значит ⅛p = (z. Остальные результаты доказываются аналогично.]

31. Если А > 0, Ос — Bs > 0, и x1 > X0, то

×ι ———

Dx 1 ____ (x1 — х„) |/ Ас—Bs

Хй

βx2+26x+c У/ас—Ъ*

— arc ⅛’ ^

ZZX1X0 B (X1~ X0) 4“ С

Где значение арктангенса лежит между 0 и *‘).

1) В связи с примерами 31, 33, 36,38 см. Bromwich, Messenger of Mathe — matics, XXXV.

32. Вычислить интеграл

I

1*_____ Sin A dx

J 1 — 2x cos Я 4- Xs -1

Для каких значений А этот интеграл является разрывной функцией от а?

(Экз. 1904 г.)

[Значение интеграла равно ɪ ", если 2nπ<α< (2я — ф 1) π, и — у к, если (2я—l)π<α<2∏κ, где П — любое целое число; при А кратном π интеграл равен 0.]

33. Если Axi + 2 Ьх -)- с > 0 для Xa ≤ х Xl,

F(X) = YAxt -)- 2Bx + с И

Y=F(χ), Y,=FM Yl=F(χi), *=j1cpy°>

ТО

F— = ɪ ιn.1+ΛlC*,

J У Va 1—XVa

Xq F R

Если TA положительно, и

J⅛=r⅛mtg ixy^,i∙

Если А отрицательно, где значение арктангенса лежит между 0 и

^Подстановка T = J~Приводит интеграл к виду 2∫ ɪ ,j

34. Доказать, что

j', dx,β-1~Λ∙∙i
(экз. 1913 г.)
33. если й>1, то

F I<1.-‘f dx= г. (а — /^ɪl). 4/ A ~^- .v *

— 1

2ω,ʃnɪ36. Если Р > 1, 0<g∣< 1, то 1

Dx

∕{1+(P2-l)∙v}{l-(ɪ-^w (P + 9)si∏ω,

Где ω обозначает положительный острый угол, косинус которого равен 1 +Ptf

37. если а > b > 0, то 2π,с sin2fldfl 2r. i —_ч
j β~=-tc5Γfl = ^<a-∕as-^∙
о
38. доказать, что если а > ]∕⅛s+cs, то
/ " ' 2
,τarctg,(экз. 1904 г.)
]Λz--⅞a-cs
,j a -f- b cosfl -j- с sin fl ∣∕^aa ⅞a ci
где значение арктангенса лежит между о и к.
39. доказать, что если т Ξ⅛ 1 и
«/a s∕8
ʃm, п— ʃsitlm x cos nx tix> ^т, n~ ʃsinm x sin nx dχ, о о
то
(zn+n)∕m, n= sin 2-nπ-n∣∙im~-↑, д-1, и выразить im n через im~⅛ я—2 при. w4⅛2.
,(экз. 1933 ɪ'.)
40. доказать интегрированием от 0 до ɪ ~ неравенств
i-sinan-1x 1—sinanx ^l—siπ2', + 1x 2и — 1 > 2я " 2п 4-1
с помощью результата примера lxvl. 10, что л , 2я— 1 \ 4п
pn~t (ɪ h 2n pn~l} > ^~" '"'рп (рп—i)>
,где,pn =,3∙5 ..^(2п j-ɪ)
2∙4..72n
,41. найти рекуррентную формулу для,(экз. 1924 г.)
x
sinsn-1
qdfl

И вывести, что

, ,1 . , . . 1-3…(2й— 3) . „ s,

1 = cos X 4- у COS х SinaX 4-… + 274——— (2n^∑2) cos Хsιn x + t^n,

, 1 sin3а 1-3…(2я — 3) sinan^1α . ŋ

гдеA — sɪnɑ+ ʃ ɜ +∙∙∙+ 2^74..,(2π-2)^ 2л — 1 l~ Rn’

i dfl= 3^√2^-l) f
Гл 2-4…(2я — 2) J sm

22 Г. Харди

Pn = ^rn Dx = j (a — Λ∙) sin=- — *.v Dx.

О о

Доказать, что Х + α cosx≥а, если 0≤,v≤ α≤-π, и вывести от­

кп^ 2-4...2лСюда, что

(Экз. 1924 г.)

42. Доказать с помощью подстановки jΛl-[-χ4 =(1 J-χs)cosφ или иным путем, что

I-X2 Dx

ɪ + χi УI + x4 4jΛ2*

(Экз. 1923 г.)

43. Если F (х) непрерывна и не принимает отрицательных значений и

Ь

∫∕(x)dx = ∫J, А

То /(x)=0 для всех значений х между А и Ь. [Если бы /(х) принимала, например, пр» x = ξ, положительное значение А, то мы могли бы, в силу непрерывности F(X}, найти такой интервал (ξ— S, ξ + 3), в котором F (х) > ^2^A; но тогда значение интеграла превосходило бы δ⅛.∣

44. Неравенство Шварца. Доказать, что

/ ? \з? B M <TψdxjJ Tfsdx ʃ ψ2 Dx.

‘a ‘ а И ■

[Заметим, что не может быть отрицательным. Это неравенство может быть также полу­чено как предельный случай неравенства Коши (гл. I, Разные примеры, 10).]

Dx = λ2 ʃ <Fdx + 2λ[Λ J*

ь
∫(λφ + ∣Λψ)2 а
й
φψ dx jc2 j ψs dx а

45. Если

F,"w=<F⅛πs.

То Pn(X) является многочленом степени П и обладает тем свойством, что

ʃ Pn(X) θ (х) Dx = 0,

Л

Где θ(x) — любой многочлен степени меньшей П.

[Проинтегрировать /и-4-1 раз по частям, где Т—Степень fl(x), и учесть,

Что θ (m+1) (x) = 0J

46. доказать, что

ʃ Pm (х)pп (х) dx≈=0,

если т ≠ п; 47. еслиβ— А

При Т = и значение интеграла равно ψf.

Qn(X)— многочлен степени я, обладающий тем свойством, что

Qn (х) 0(х) Dx-()

Для любого многочлена 0 (х) степени меньшей я, то Qn (х) ~ CPn (х), где C — постоянная.

[Мы можем найтн такое х, что Qn— ч. Рп будет иметь степень я—I. тогда ’

0 0 ʃ Qn (Qn ×Pn) Dx=0, ʃ Pn (Qn -∕Pn) Dx = Q

Л Ct

И, следовательно,

ʃ (Qn-*Pnfdx=0.

А

Далее применить результат примера 43.]

48. Если φ (х) — многочлен пятой степени, то

1

ʃ<F(X)Dx = ɪ ∣5 φ (а) 4- 8 φ (ɪ) + 5<f (⅛i)∣, О

(экз. 1909 г.)

где А и являются корнями уравнения Х — — χ-∣^i = 0.

ГЛАВА VIII

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *