Дифференцирование неявных функций

Теорема 7. Пусть функция F(Xl; х2; у) и ее частная про­изводная F‘(X1; х2; у) удовлетворяют следующим условиям:

1) ¾⅛Λ=0;

2) функция F(Xi; х2; у) дифференцируема в окрестнос­ти точки ( х^ ; х® ; У°), а функция F‘(Xi; х2; у) непрерывна в этой окрестности;

3) F’y(x?;x%;y°) ≠0,

Тогда в указанной окрестности функция F(Xl; х2; у) = О определяет функцию У = F(X1; х2), которая

1) удовлетворяет условию p0 = / ( х® ; х®);

2) дифференцируема в окрестности точки (х®; х® ), и при этом ее частные производные находятся из следую­щих соотношений

ЭГ ЭГ 3Y 3F T 3F Зу

■ "f* " • ‘■ Г-— f*l • ——— -^∙ — * ■ —— Л

3Xl 3Y 3X13X2 3Y 3X2

Пример 12. Найти производные функций, заданных не­явно: a) YxХу = 0; Б) ег — хуг — 0.

Решение.

А) Обозначим YxXy = F(X; у), тогда неявная функция задана уравнением F(x; У) = 0.

В соответствии с теоремой о производной сложной функции

3FF Dy Л

— +——— » =0-

Дх ду Dx 3F ∕ √

= YxXy)X = Yxln У — Yχy~L;

əf z /

= Yxχy)V = χyx~1χtfin χ; χy = ух;

Следовательно,

ЭК

Dy_Эх YxlnyYxv~1 Dx № ду

XyYxlny

Ху

Х-1

Xy Inx

У

Yx — ху In Х

— У* Yx Iny — — In X _ X

У _ Y(YXlny) Х(х — У In х) ’

— yx-p*lnx —Inx У У

Б) Обозначим ExXyz = Р(х; У, г), тогда частные произ­водные функции Z = 2(х; У) находятся из уравнений:

FFZFF дг ■ N

+ — • — = 0 и — + — • — =0;

Эх Дг Эх ЭР

Дг _ Эх .

Эх

ЭР ’ Эг ЭР

Дг

Ду

Ду дг ду F~

ЭР *

Эг

F

Так как — = — уг, — = Ez Эх Дг

Дг

То

~Уг

Уг

F Xy‘ ду У2

-хг; Ег = хуг,

Г

Dx EzXy EzXy хуг-ху X(ZL)T ZXZ хг хг Z

Ду EzXy EzXy хуг-ху Y(ZL) Y(YXlny)

Ответ: A) χfχ.Glnχ,

6)⅛-

Г г___

Х(г —1); Zy = Y(ZL) ’

Замена переменных
в дифференциальных выражениях

Одним из эффективных методов преобразования диф­ференциальных выражений является переход к новым переменным. Рассмотрим наиболее важные в практичес­ком отношении случаи.

1. Преобразуемое выражение содержит обыкновенные производные:

W = р(х; У; у’; у";…; y<n>).

Если необходимо перейти к новому аргументу T и но­вой функции И, которые связаны С х и У соотношениями:

Х = х (T; и) и У = у (г; И),

То надо подставить эти выражения в W вместе с производ­ными

, ∂T ди „

^=зг~дг:; Y×× ит-д-

T ди T

2. Преобразуемое выражение содержит частные произ­водные:

W=P

При переходе к новым аргументам T1 и T2, которые свя­заны со старыми X1 и X2 соотношениями:

X1X i(fɪ? %2 % 2(^1»

Необходимо подставить эти выражения в W вместе с час­тными производными, которые определяются из следую­щих уравнений

Ду _ Ду X1 ι Ду X2 T1X1T1X2 ðTɪ ’

Ду _ ду X1 ду X2 T2 əʃɪ T2X2T2

Частные производные высших порядков вычисляются аналогично.

Пример 13. Преобразовать уравнение YY," — Зу"г = х, при­нимая У за независимую переменную.

Решение.

Перейдем от функции У(х) к функции х(у):

ɪ/'(ʃ) = ʒ

У"(х)

χ,(Y) ’ 1

Y"'(χ) =

χ,(Y) F х'(у)

Х'(у)

У'(х) =

Х'(у)

Jx

ɜFɪ'(ɪRt/-X‘⅛)-X‘⅛)

{X‘(Y)T

Jy

χ‘(Y)
(X‘(Y)↑ ’

У (X) =

(*¾∂Js

Подставив полученные выражения в исходное уравне­ние, получаем:

»2

Ir, »2 ∣*

Зх — х ■

— -3х

Х х’5 ‘ X-6 x’

X,(X‘" + х ■ XS) = 0;

Очевидно, что X, 0, поэтому уравнение приобретает вид
X"’ + XXI = 0.

Ответ: х’" + х • х’5 = 0.

Эг Эг

Пример 14. Решить уравнение У — ~ X^Fy = θ> переходя

К переменным И = х к υ = х2 + У2.

Решение.

Воспользуемся формулами

∂z _ дг ди ∂z ∂υ _ дг Эг _ дг θ2

Дх ди дх ðU Дх ди υ Ди υ

∂z дг ди ∂z ∂υ дг λ π дг o I % дг

— ———— +——— =—— 0 + 2у 2 √ о — и —

Ду ди ду ди ду ди Эи ∂v ’

Здесь использованы соотношения

Х = и; у = √u-χ2 =Vu-U2 • Уравнение принимает вид:

X-lθ əθ A F _ θ2

-Jv — U2

Дг

Дг дг

— +2и — ди V

— и ■ 2∙ — и2

Эи

0;

N дг п дг дг

+2U———— 2u — = 0:

Эи Эи υ ди

= 0 <=> г = /(и);

Следовательно, решение исходного уравнения имеет вид
Г = F(X2 + у2).

Ответ: г = F{X2 + у2).

Задания для самостоятельного решения Найти область определения функций:

Vх TF •

1.2= Tx2 +P2-4

О • У

3. Z = arcsιn — .

2. Г

4. Z

Ln(xy).

5. Доказать, что функция Z

Ла при (х; У) → (0; 0)

Найти пределы: sin Ху

2 2 χ

—ъ— V не имеет преде-

X + у

6. Iim x→0 Y->a

7. Iim

X3 +У3

X→~ X4 + у4 y→∞

X2-У2

4 4,χz+√≠o,

Х нане-

0, X2 + Y2 = 0

Прерывность в точке (0; 0).

Найти частные производные и частные дифференциалы:

8. Исследовать функцию Г

9. W = (sin x)y2.

10. Z = sin — У

Zx + iP

11. г = arctg 1 _

V У,

Найти приближенные значения:

12. l,052∙°4.

13. λ∕l,022 +1,972

Найти производные сложных функций:

14. ‘z = f(x+y; ху).

15. Z = sin х — In У, х = T3; у = е*.

16. Z = Yx2 + ху2; х = u∙ о; У = Eu + υ.

Найти производную функции по заданному направле­нию вектора AB в заданной точке А:

17. W = е* + 2У + 3г;А(1; 1; 1); В (2;-3; 4).

18. Z = ln(x2 + у2 + 1); A(0; 1); В(1; 3).

Найти величину и направление градиента функции в точке Az

19. Г = sin

Y2+ι

; A(l; 1). 20.z = xy; А(2; 3).

21. Найти первые и вторые частные производные-фун­кции Z = tg(x2 + 2у).

22. Найти дифференциал третьего порядка функции Z = E3X + 2Y.

Найти производную функции, заданной неявно:

23. 2χ2+Y — у = 0. 24. sin(x2 + У2) — х — у = 0.

1

25. Преобразовать уравнение: У" 4— У’ + у = 0, прини-

Х

Мая Х за новую функцию; T = ху — за независимую пере­менную.

26. Преобразовать уравнение: Y"’ — X3Y" + ху’ — у = 0;

1 U(t)

X = у = ———— .

T * T

Ответы.

1. Внешность круга с центром (0; 0) и радиусом 2: X2 + у2 > 4;

2. Часть первой координатной четверти, ограниченная кривыми У — X2 и у = 0;

3. Часть плоскости p∣ ≤ ∣x∣, х ≠ 0;

4. Первая и третья четверть, не включая оси, Ху > 0; 6. а; 7. 0; 8. Разрывна;

Эга

9. τ√- = Yz ∙ (sin X}Y* ~1 ∙ cos х;

W

Ду

W

Z

Дх

= (sin X)Yz ∙ In (sin х) • Г;

= (sin Х)уг ∙ In (sin х) • У;

Dxw = уZ ∙ (sin Х)уг ~ 1Dx;

D W = (sin X)Yz ln(sin х) ∙ ZAiw = (sin Х)уг ln(sin х) • У

Dy;

Dz;

In dz 10. — = cos Эх

У

Дг

Ъу

COS

‘>Dxz =

Ах ι+Xi∙9Y 1+Y2 12.1,1; 13.2,21818;

COS

( 2λ X

Dy;

Dx ,

-—^;dyz 1 + x2

= Dy I + yi

∂z ∂f ∂f ∂z _df ∂f

14∙‰°‰ ⅛’j’=¾^⅛ Зб’Ж>ГДе“ = Х + !’;6 = Х! Я

Dz

15. — = T ∙ cos(⅛3) + E~t ∙ sin(i3); At

Ъг

16. — = υeu + Tt(2 + U2υ + Eu + V + 2Uett + υ); ди

Z

— — Ueu + 0(2 + 2 + Eu + O + 2υeu + у); ,

υ

—1 = O; 26. *5⅛ + (3*4 + ɪ) j 2 Dt Dt3 2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *