ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

1. Рациональные числа. Дробь Г ■■

Ные или отрицательные целые числа, называется Рациональным числом. Мы можем предположить, не ограничивая общности наших рассмо­трений, что Р и Q взаимно простые числа, так как в противном случае дробь можно было бы сократить, а также, что Q положительно, так как

P P —Р_Р 9 9 ’ —9 9 ‘

К таким образом определенным рациональным числам мы можем, полагая jθ = 0, присоединить еще „ рациональное число 0“.

Мы предполагаем, что читатель знаком с обычными арифметиче­скими правилами действий над рациональными числами. Этих знаний вполне достаточно для решения следующих примеров.

Примеры I. 1. Если Г и s— рациональные числа, то г +а, Г — a, Rs г

И ——- также рациональные числа, если в последнем случае s≠0 (если

F

S=O, то — не имеет смысла).

2. Если λ, Т и П—положительные рациональные числа, причем Т > п, τoλ(ma — na), 2^Kmn и λ (zna ГА) ■—также положительные рациональные числа. Исходя из этого, показать, каким образом можно найти любое число прямоугольных треугольников, длины всех сторон которых рациональны.

3. Каждая конечная десятичная дробь представляет рациональное число, знаменатель которого не имеет других делителей, кроме 2 и 5. Обратно, всякое такое рациональное число может быть представлено, и притом единственным образом, как конечная десятичная дробь.

[Общая теория десятичных дробей будет рассмотрена в гл. IV.]

4. Все положительные рациональные числа могут быть записаны в виде последовательности следующим образом:

1 2 JL JL 2 1 4 3 _2_ 1

1 ’ Г ’ 2 ’ 1 ’ 2 ’ 3 ’ T ’ 2 ’ 3 ‘4………………………………….

Показать, что PQ является членом этой последовательности с номером ^Ap+9 — l)(P + 9,-2) + 9.

ГВ этой последовательности каждое рациональное число встречается

Ti 12

Неограниченное число раз. Так, например, 1 встречается в виде у, Tj,

О

I………… Мы можем, конечно, избежать этого, вычеркивая из последователь­

Ности каждое число, которое в ней уже встретилось в более простой форме. Однако тогда определение номера члена ~ становится более сложным.]

2. Представление рациональных чисел точками на прямой.

Во многих областях математического анализа представляется удобным пользоваться геометрическими иллюстрациями.

Применение геометрических иллюстраций не означает, конечно, что анализ каким то образом опирается на геометрию. Геометриче­ские иллюстрации являются лишь иллюстрациями и ничем более, и применяются исключительно в целях достижения большей ясности изложения. В силу этого нет необходимости приводить здесь логи­ческий анализ понятий, известных из элементарной геометрии; можно удовлетвориться теми представлениями о них, которыми мы обладаем, не заботясь о том, насколько они близки к истине.

Предполагая, таким, образом, что мы знаем, что следует понимать под Прямой линией, ее Отрезком и Длиною этого отрезка, рассмо­трим прямую линию Л, неограниченно продолженную в обе стороны, и отрезок A0 A1 любой длины на ней. Назовем Ло Началом, или Точкой 0, a A1 — точкой 1, и будем рассматривать эти точки как представляющие числа 0 и 1.

_1———————— 1———- 1——— 1———————— (_

Aq Fif

Фаг. 1

Для того чтобы получить точку, представляющую положительное рациональное число Г = — , выберем точку Ar так, чтобы

= г,

Где A0 Ar отрезок прямой, расположенный по ту же сторону от A0, Что и отрезок Ло √41. Направление от A0 к j4j мы всегда будем предполагать идущим слева направо, если, как на фиг. 1, прямая начерчена горизонтально. Для того чтобы получить точку, предста­вляющую отрицательное рациональное число г = — S, естественно рассматривать длину как величину алгебраическую, принимающую положительнее значения, если она измеряется в одном направлении (именно в направлении от A0 к √41), и отрицательные значения, если она измеряется в противоположном направлении, так что AB = — BA.

Тогда точку A_S, представляющую число Г = — S, следует о пределить условием:

-A>∙A — s ɪ= АS-Aq[1]^o∙^s∙

Таким образом, мы получаем точку Ar на прямой, соответствую­щую любому, положительному или отрицательному, значению рацио­нального числа Г, причем

∙A0Ar = Г A0Aj,

Или, если мы возьмем A0 A1 за единицу длины и будем писать A0A1 — = 1, то

A0Ar = r.

Точки Ar мы будем называть Рациональными точками прямой. .

3. Иррациональные числа. Если читатель начнет отмечать на прямой все точки, соответствующие рациональным числам с знамена­телями 1, 2, 3,…, то он без труда убедится в том, что прямую можно как угодно густо покрыть рациональными точками. Точнее это можно выразить следующим образом: На любом отрезке BC прямой К можно найти сколь угодно большое число рациональных точек.

Допустим, например, что BC целиком помещается в отрезке A1Ai. Очевидно, что если мы выберем положительное целое число ⅛ так, что

⅛∙BC>1,1) (1)

И разделим A1A2 на K равных частей, то по крайней мере одна из точек деления должна попасть внутрь BC и быть отличной от В и от С. Пусть это будет точка Р. Действительно, если бы такая точка P Не существовала, то отрезок BC целиком помещался бы в одной из K частей, на которые был разбит отрезок A1A2, что противоре­чит условию (1). Но точка Р, очевидно, соответствует некоторому рациональному числу с знаменателем K, и, следовательно, на отрезке BC Имеется по крайней мере одна рациональная точка Р, отличная от концов этого отрезка. Но такое же рассуждение показывает, что найдется рациональная точка Q и между В и Р, другая между В и Q и т. д. Таким образом, как мы и утверждали, на отрезке BC Можно найти сколько угодно рациональных точек. Это положение мы можем выразить и так: отрезок BC содержит Бесконечно много Рациональных точек.

Смысл такой фразы, как „бесконечно много", в предложениях типа „отрезок BC содержит бесконечно много рациональных точек" или „суще­ствует бесконечно много положительных целых чисел", будет подробнее рассмотрен в гл. IV. Утверждение, что „существует бесконечно много поло­жительных целых чисел" означает, что, если дано любое сколь угодно большое положительное целое число П, то можно найти более П положитель­ных целых чисел". Это, очевидно, справедливо, каково бы нн было л, напри­мер, для л = 100 ООО, или л = 100 000 ООО. Это утверждение означает в точ­ности то же, что и следующее: ,мы можем найти Сколь угодно много поло­жительных целых чисел".

Читатель без труда убедится в справедливости следующего утвержде­ния, которое по существу эквивалентно тому, что было доказано в п. 2 настоящей главы: если даио любое рациональное число г и любое положи­тельное целое число л, то можно найти рациональные числа по обе стороны от г, отличающиеся от Г меньше, чем на 1/л. Это же предложение мы будем выражать и так: по обе стороны от Г можно найти рациональные числа, отличающиеся Сколь угодно мало от Г. Аналогично, если даны любые рацио­нальные числа г и s, мы можем вставить между ними цепочку рациональных чисел, в которой каждый член будет сколь угодно мало отличаться от члена, следующего за ним. Это означает, конечно, что разность между любыми двумя соседними членами этой цепочки будет меньше, чем 1/л, где Л — Любое заданное положительное целое число.

Эти соображения могут навести читателя на мысль о том, что можно получить достаточно правильное представление о структуре прямой линии, если считать ее составленной просто из рациональных точек, лежащих на ней. И несомненно, что если бы мы представили себе прямую линию составленной исключительно из рациональных точек, т. е. отбросили бы все ее другие точки (если они существуют), то получившийся образ обладал бы большинством тех свойств, кото­рыми здравый смысл наделяет прямую линию. Этот образ был бы, грубо говоря, весьма похож на прямую линию.

Однако небольшое дополнительное рассмотрение показывает, что такая точка зрения приводит к серьезным затруднениям.

Рассмотрим этот вопрос с точки зрения обычного здравого смысла, и возьмем некоторые свойства прямой линии, которыми она должна обладать, если она отвечает нашему представлению о ней, получен­ному из элементарной геометрии.

Прямая линия должна быть составлена из точек, и любой ее отрезок должен быть составлен из всех точек, которые лежат между его концами. Каждому такому отрезку должно быть сопоставлено некоторое понятие, называемое его Длиной, которое должно иметь характер Величины, допускающей Численное измерение относительно любой данной единичной длины, причем эти длины отрезков должны комбинироваться друг с другом по обычным правилам алгебры путем сложения или умножения. Далее, должно быть возможным построе­ние отрезка, длина которого равна сумме или произведению любых двух данных длин. Если длина PQ вдоль некоторой прямой равна А И длина QP вдоль той же прямой равна Ь, то длина PP должна быть равна A-{-B. Более того, если длины OP и OQ вдоль некото­рой прямой равны соответственно 1 и а и длина OP вдоль некоторой другой прямой равна B и если мы определим длину OS по построе­нию Эвклида (кн. VI, 12) как четвертую пропорциональную к OP, OQ, OP, то эта длина должна быть равна Ab алгебраической
четвертой пропорциональной к 1, А, Ь. Вряд ли необходимо особо отметить, что таким образом определенные суммы и произведения должны подчиняться обычным „законам алгебры", а именно:

AJ-~ B ɪɪɪ B д, А —(Ь — J — с) =ξ (д -J — B} —J — 6,
Ab = Ba, а (Ьс) — (Ab) с, A (B — г-с) = Ab-г-ас.

Длины наших линий должны также подчиняться целому ряду оче­видных законов, относящихся не только к равенствам, но и к нера­венствам. Так, например, если А, В, C — три точки, лежащие вдоль А Слева направо, то должно выполняться неравенство AB AC и т. д. Кроме того должно быть возможным определение на нашей основ­ной прямой А такой точки Р, что A0P равно любому данному отрезку, взятому вдоль А Или вдоль любой другой прямой линии. Все эти свойства прямой линии и многие другие содержатся в пред­посылках нашей элементарной геометрии.

Очень легко показать, что представление о прямой линии как состоящей из ряда точек, каждая из которых соответствует рацио­нальному числу, никак не может удовлетворить всем этим требова­ниям. Существует, например, много элементарных геометрических построений длины Х такой, что X4 = 2. Так мы можем построить равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, в котором AB = = AC=I. Тогда, если BC = X, то х4 = 2. Или мы можем определить длину х с помощью построения Эвклида (кн. VI, 13) средней про­порциональной к 1 и 3, как показано на фиг. 2. Из наших требо­ваний следует, таким образом, существование длины, измеряемой числом х, и точки P на А, Таких, что

A0P = x, X4 = 2.

Но легко видеть, что Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Можно даже утверждать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен, где — любая положительная несократимая дробь, если только Т и П не являются оба квадратами целых чисел.

Допустим, что

ρt____ т

Qt п ’

Где Р не имеет общего делителя с Q, а Т не имеет общего делителя с П. Тогда Пр* = Tnq*. Каждый делитель Q* должен быть делителем Пр*, А так как Р и Q не имеют общего делителя, то каждый делитель Q* Должен быть делителем П. Следовательно N~<F, где λ — целое число. Но отсюда следует, что Т — \р*, а так как Т и П не имеют общего делителя, λ должно быть равно единице. Таким образом MP*, N = Q*, что и требовалось доказать. Беря, в частности, П = 1, мы видим, что целое число не может быть квадратом рационального числа, если это рациональное число само не является целым.

Итак, оказывается, что из наших требований следует существова­ние числа Х и точки Р, не являющейся ни одной из уже построен­ных рациональных точек таких, что A0P = X, х* = 2, и мы пишем (как читатель знает из элементарной алгебры) Х = /2.

Представляет интерес следующее, отличное от предыдущего, доказатель­ство того, что квадрат рационального числа не может быть равен 2.

Допустим, что — —положительная несократимая дробь, для которой z П S

, — J = 2, т. е. ρ* = 2Qi. Нетрудно видеть, что отсюда следует соотношение

{2Q—р)2 = 2 (р — QP, откуда видно, что J также является дробью,

Квадрат которой равен 2. Но из очевидного соотношения Q<ρ<2Q Следует, что 0 <р — Q <Zq. Таким образом, должна существовать дробь, равная ʃ- и имеющая меньший знаменатель, что противоречит предполо­жению несократимости дроби ʃ- .

Примеры II. 1. Показать, что не существует рационального числа, куб которого равен 2.

2. Показать, что, вообще, несократимая рациональная дробь — не может

Быть кубом рационального числа, если Р и Q не являются оба кубами целых чисел.

3. Следующее более общее предложение, принадлежащее Гауссу, содер­жит предыдущие как частные случаи: Алгебраическое уравнение

Хп P1Xn14- P,Xn — 2 4-… 4- Рп = о

С целочисленными коэффициентами не может иметь рациональных нецелых корней.

[Допустим, что уравнение имеет корень, где А и B— взаимно про­стые целые числа и B положительно. Подставляя в уравнение ɪ вместо Х И умножая на Ъп [2], найдем, что

— у =Plan — ɪ +jp2α" — 2⅛ +… +Pnbn ~ ɪ,

Т. е. что несократимая дробь равна целому числу. Таким образом, B∙= 1 И корень равен А. Ясно, что А должно быть делителем ρn. Вообще, если AB является корнем уравнения Ptjxn +P,Xn ~ * + ∙ ∙ ∙ + P∏ = О, то а является делителем ρn, а B—Делителем р„.]

4. Показать, что если р„=1 и ни одно из выражений

ɪ +Pi +Рг +Рз + ■ ∙ ∙ > ɪ —Pi +Рг —Рз + • • •

Не равно нулю, то уравнение не может иметь рациональных корней *).

5. Найти рациональные корни (или доказать, что таковых нет) уравнения

Xi — 4×3 — 8×2 + 13х + 10 = 0.

[Корни могут быть только целочисленными. Следовательно, ±1, ±2, ±5, ±10 являются единственно возможными значениями корней. Находятся ли среди этих значений корни уравнения, или нет, может быть установлено пробами.]

4. Иррациональные числа (продолжение). В результате нашего геометрического представления рациональных чисел выяснилась целе­сообразность расширения нашего понятия о „числе0 путем введения чисел нового рода.

К такому же выводу мы могли бы придти и без применения геометрической терминологии. Одной из центральных проблем алгебры является решение таких уравнений, как

χi=, χ4 = 2.

Первое из них имеет два рациональных корня: 1 и —1. Но если наше понятие о числе будет ограничено рациднальными числами, то мы можем только сказать, что второе уравнение не имеет корней, и то же самое будет иметь место для таких уравнений, как x8 = 2, X4 = 7. Этих фактов уже достаточно для того, чтобы признать целесо­образность некоторого обобщения нашего понятия о числе, если такое обобщение окажется возможным.

Рассмотрим подробнее уравнение х4 = 2.

Мы уже видели, чтЬ не существует рационального числа х, кото­рое удовлетворяло бы этому уравнению. Квадрат всякого рациональ­ного числа либо меньше, либо больше двух. Мы можем поэтому разбить все положительные рациональные числа (рассмотрением кото­рых мы пока ограничиваемся) на два класса, из которых один содер­жит все рациональные числа с квадратом меньшим двух, а другой — все рациональные числа с квадратом большим двух. Назовем первый из этих классов Классом L, или Нижним классом, или Левым классом, А второй — Классом R, или Верхним классом, или Правым классом. Очевидно, что каждое число из класса R больше всех чисел из класса L. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что в классе L Можно найти число, квадрат которого хотя и меньше двух, но отли­чается от двух сколь угодно мало, а в классе R — число, квадрат которого хотя и больше двух, но также отличается от двух сколь угодно мало. Действительно, если мы будем извлекать при помощи известного арифметического алгорифма квадратный корень из двух, то получим ряд рациональных чисел, а именно,

1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142…………………

Квадраты которых

1, 1,96, 1,9881, 1,999396, 1,99996164, …

Все меньше двух, но все более и более приближаются к двум. Взяв достаточно большое число знаков, даваемых указанным алгорифмом, мы можем получить как угодно близкое приближение. Если же мы увели­чим на единицу последнюю цифру в каждом из этих приближений, то получим ряд рациональных чисел

2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, …. квадраты которых

4, 2,25, 2,0164, 2,002225, 2,00024449, … все больше двух, но приближаются к двум как угодно близко.

Хотя предыдущее рассуждение, вероятно, покажется читателю убеди­тельным, оно не имеет того строгого характера, который требуется в совре­менной математике. Формальное доказательство может быть проведено следующим образом. В первую очередь, мы можем найти число в £ и число в R, отличающиеся сколь угодно мало друг от друга. Ибо, как мы видели в п. 3, для любых двух данных рациональных чисел А и Ь можно построить цепочку рациональных чисел, начинающуюся с а и кончающуюся Ь, в кото­рой любые два следующие друг за другом числа отличаются сколь угодно мало друг от друга. Возьмем теперь число Х из L и число у из R и вставим между ними цепочку рациональных чисел, начинающуюся с Х и кончаю­щуюся у, в которой любые два следующие друг за другом числа отличаются друг от друга меньше, чем на δ, где δ— любое положительное сколь угодно малое данное рациональное число, такое как, например, 0,01, или 0,0001, или 0,000001. В этой цепочке должно быть последнее число, которое принадлежит к L, и первое, которое принадлежит к R, и эти два рациональных числа отличаются друг от друга меньше чем на δ.

Теперь мы можем доказать, что В L можно найти число х и в R — число у так, что 2 — х3 и у2—2 Будут сколь угодно малыми, например меньшими чем δ. Заменяя в проведенных выше рассуждениях δ на — δ, мы

Видим, что Х и У можно выбрать так, что у — Х < -ɪ δ; кроме того, мы, очевидно, можем предположить, что и Х и У меньше двух. Тогда

У+x<4, у2—x2 = (y — x)(y-)-x)<4(y-x)<δ,

А так как X2 < 2 и у2 > 2, то 2 — X2 и у2 — 2 будут каждое заведомо меньше чем δ.

Далее следует, что В L не существует наибольшего, а в R—• наименьшего числа. Пусть х— некоторое произвольное число из L, χ2<2. Пусть x2 = 2—δ. Тогда мы можем найти в L такое число x1, что Xj отличается от двух меньше чем на δ, и, следовательно, x^^>x9, т. е. xj^>x. Таким образом, в L существуют числа, боль­шие х; а так как х было Произвольным числом из L, то отсюда следует, что ни одно число из L не может быть больше всех осталь­ных. Следовательно, в L нет наибольшего числа и, аналогично, в R— наименьшего.

5. Иррациональные числа (продолжение). Итак, мы разбили положительные рациональные числа на два класса L и R так, что (1) каждое число из R больше каждого числа из L∙, (2) можно найти число в L и число в R, разность между которыми будет сколь угодно мала, и (3) L не содержит наибольшего, a R наименьшего числа. Наше интуитивное представление о прямой линии, вопросы элементарной геометрии и элементарной алгебры требуют Существо­вания числа х, большего, чем все числа из L, и меньшего, чем все числа из R, и точки P на А такой, что P отделяет все точки, представляющие числа из L, от точек, представляющих числа из R.

Допустим на минуту, что такое число х существует и что над ним можно производить действия в соответствии с законами алгебры, так что, например, X9 имеет определенное значение. Тогда х2 не может быть ни меньше, ни больше двух. Ибо предположим, напри­мер, что X2 меньше двух. Тогда из предыдущего следует, что можно найти такое положительное рациональное число £, чтО V2 лежит между X2 и 2. Но это означает, что в L имеется число, большее х, что прЪтиворечит предположению о том, что х отделяет числа из L От чисел из R. Таким образом, х2 не может быть меньше двух и, аналогично, X2 не может быть больше двух. Поэтому мы вынуждены придти к заключению, что x2 = 2, т. е. что х есть то число, кото­рое в алгебре обозначается ∣/2 . И это число не является рацио­нальным, так как квадрат рационального числа не может быть равен двум. Это — простейший пример так называемого Иррационального Числа.

Предыдущие рассуждения почти дословно применимы и к другим уравнениям, кроме X2 = 2, например, к уравнению x’2 = Λζ где N —■ любое положительное целое число, не являющееся квадратом целого числа, или к уравнениям

X3 — 3, x3 = 7, xi = 23,

Или же, как мы вскоре увидим, к уравнению х3 = Зх 8. Таким образом, мы приходим к убеждению, что существуют иррациональные числа х и точки P на А, которые удовлетворяют таким уравнениям, как приведенные выше, даже если соответствующие длины не могут

2 Г. Харди

Быть построены элементарно-геометрическими методами (в противо­положность длине yz 2, которая может быть так построена).

Из учебников элементарной алгебры читатель несомненно знает, что Q

Корень уравнения х?=я записывается в виде У п, ттп^4, и что смысл символов \

NP∕gt n-P∕g

Определяется с помощью соотношений

NP∕g = (nι∕ψj NP∕<ι n-P∕g = ɪ.

Он также легко восстановит, каким образом, в силу этих определений, извест­ные ,правила показателей’, как, например,

Nr х Ns= nr+s, (nr)s — nrs

Распространяются на случай любых рациональных Г и s.

Читатель может теперь следовать по одному из следующих двух возможных путей. Он может, если пожелает, удовлетвориться пред­положением, что, иррациональные числа” вроде /2, yz3,… су­ществуют и подчиняются алгебраическим законам, с которыми он знаком. Тогда он может избежать более отвлеченных рассмотрений следующих нескольких пунктов и перейти непосредственно к п. 13 и дальнейшим.

Если же он не склонен становиться на столь наивную точку зрения, то ему следует настойчиво порекомендовать с особым вни­манием прочесть следующие пункты, в которых эти вопросы рас­сматриваются подробно.

Примеры Ш. 1. Найти разности между 2 и квадратами десятичных дро­бей, приведенных в п. 4 в качестве приближений к |/"2.

2. Найти разности между 2 и квадратами дробей

J — A Z IZ jɪ ∞

1 ’ 2 ’ 5 ’ 12 ’ 29 ’ 70 *

3. Показать, что еслиявляется хорошим приближением к |^2, то

6. Иррациональные числа (продолжение). В п. 4 мы рассматри­вали разбиение положительных рациональных чисел Х на два таких класса, что для чисел одного класса x[3]<≤2, а для чисел другого класса X9 ^>2. Этот способ разбиения является частным случаем так называемого Сечения в области рациональных чисел. Очевидно, что мы могли бы с одинаковым успехом построить сечение, при ко­тором принадлежность чисел к классам определялась бы неравен­ствами X3 2 и X3 ^>2 или x[4]<7 и x[5]^>7. Попытаемся теперь установить наиболее общие принципы построения такого сечения в области положительных рациональных чисел.

Допустим, что PkQ означают два взаимно исключающих свой­ства, одним из которых должно обладать любое положительное рациональное число. Предположим, далее, что каждое число, обла­дающее свойством Р, меньше каждого числа, обладающего свой­ством Q. Так, например, P может быть свойством „х4<^2“, a Q свойством, x9^>2κ. Тогда мы назовем нижним, или левым, классом L совокупность всех чисел, обладающих свой­ством Р, а верхним, или правым, классом P—’совокупность всех чисел, обладающих свойством Q. В общем случае оба класса существуют, но в отдельных случаях один из них может не существовать. Это будет иметь место, когда все числа обладают одним из двух свойств, например, когда P (или Q) является свойством быть рациональным, или положительным числом. В настоящий момент мы, однако, огра­ничимся случаями, когда оба класса существуют. Тогда, как в п. 4, доказывается, что мы можем найти число из L и число из Р, раз­ность между которыми будет сколь угодно мала.

В том частном случае, который мы рассматривали в и. 4, класс L Не имел наибольшего, а класс P — наименьшего числа. Но, вообще, L может иметь наибольшее число, a P наименьшее, и предста­вляется весьма важным рассмотреть все возможные здесь случаи. Невозможно, чтобы одновременно в L существовало наиболь­шее и в P — наименьшее число. Ибо, если — наибольшее число из L И Г—Наименьшее число из Р, так что Z<≤r, то ɪ(/-j-r) было бы

Положительным рациональным числом, лежащим между Z и Г, т. е. не принадлежащим ни к L, ни к Р, а это противоречит нашему предположению о том, что каждое положительное рациональное число принадлежит к одному из двух классов. Таким образом, остаются только три возможности, каждая из которых исключает две осталь­ные. Либо (1) L содержит наибольшее число Z, либо (2) P содержит наименьшее число Г, либо (3) L не содержит наибольшего и P не содержит наименьшего числа.

Сечение, рассмотренное в п. 4, является примером случая (3). Пример случая (1) мы получим, если в качестве P возьмем ,x2≤l*, а в качестве Q — ,x2>l"; в этом случае Z=I. Если P: ,x2<l", a Q: ,x2≥lα, то мы получаем пример случая (2), причем г=1. Следует заметить, что взяв за P

2*

Свойство „хг <1“, а за Q — свойство „х2>1“, мы вообще не получаем сечения, так как рациональное число 1 выпадает из классификации (ср. при­меры III. 5).

7. Иррациональные числа (продолжение). В первых двух слу­чаях мы будем говорить, что сечение Соответствует положитель­ному рациональному числу А, которое равно Z в первом случае и Г—Во втором. Очевидно, что и, обратно, каждому такому числу А Соответствует сечение, которое мы будем обозначать через <xj∖ Ибо в качестве P и Q мы можем взять свойства, выражаемые, соответ­ственно, условиями

Х ≤ a, x^y>a,

Или x<^α и x≥α. В первом случае А будет наибольшим числом в L, во втором — наименьшим в Р. Только эти два сечения и соот­ветствуют любому положительному числу А. Во избежание неодно­значности условимся брать всегда одно из этих двух сечений, на­пример, то, при котором само число принадлежит к Верхнему классу. Другими словами, условимся рассматривать только такие сечения, при которых нижний класс L не содержит наибольшего числа.

Имея такое соответствие между положительными рациональными числами, с одной стороны, и сечениями, определенными ими, с дру­гой, с точки зрения математических рассмотрений представляется совершенно законным заменить эти числа соответствующими им сече­ниями и рассматривать символы, содержащиеся в наших формулах, как обозначающие сечения, а не числа. Так, например, α^>α’ будет означать то же самое, что α^>α’, если А и а’ — сечения, соответ­ствующие А и А’.

Но после того, как мы заменили сами рациональные числа сече­ниями в области рациональных чисел, мы оказываемся почти вынуж­денными к обобщению нашей системы чисел. Ибо существуют ведь сечения (как, например, рассмотренное в п. 4), которые Не соответ­ствуют никакому рациональному числу. Совокупность сечений в области рациональных чисел является более широкой, чем сово­купность положительных рациональных чисел: она содержит сече­ния, соответствующие всем таким числам, и кроме них еще другие сечения. Это обстоятельство и лежит в основе нашего обобщения понятия о числе. Таким образом, мы приходим к следующим опре­делениям, которые будут, однако, несколько расширены в следую­щем пункте, и поэтому пока должны рассматриваться как предвари­тельные.

Сечение в области положительных рациональных чисел, при котором оба класса существуют и нижний класс не содержит

*) Мы будем в дальнейшем обозначать рациональные числа латинскими буквами, а соответствующие им сечения — соответствующими греческими буквами.

Наибольшего числа,, называется положительным действительным Числом.

Положительное действительное число, которое не соответ­ствует никакому положительному рациональному числу, назы­вается положительным иррациональным Числом.

8. Действительные числа. Мы ограничивались до сих пор рас­смотрением сечений в области положительных рациональных чисел, которые мы условились называть „положительными действительными числами". Прежде чем перейти к формулировке наших окончатель­ных определений, мы должны несколько изменить нашу точку зре­ния. Мы будем рассматривать сечения, или разбиения на два класса, не только положительных рациональных чисел, но и всех рациональ­ных чисел, включая нуль, и можем повторить все рассуждения в пп. 6 и 7, Относящиеся к сечениям в области положительных рациональных чисел, опуская лишь в соответствующих местах слово „положительные".

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Сечение в области рациональных чисел, при ко­тором оба класса существуют и нижний класс не содержит наи­большего числа, называется действительным числом, Или просто Числом.

Действительное число, которое не соответствует никакому рациональному числу, называется Иррациональным Числом.

Если действительное число соответствует некоторому рациональ­ному числу, то мы будем употреблять термин „рациональное" при­менительно и к действительному числу.

Термин „рациональное число" получает в связи с нашими определениями двойной смысл. Он может обозначать рациональное число из п. 1 или соот-

U 11

Ветствующее действительное число. Если мы говорим, что ɪ > ɪ, то это

Может быть понято либо как утверждение элементарной арифметики, либо как предложение, относящееся к сечениям в области рациональных чисел. Такого рода двусмысленности часто встречаются в математике и совершенно безопасны, так как связи между различными предложениями в точности совпадают, какая бы интерпретация ни была принята в отношении самих пред-

„1111 11 ложений. Из ɪ >у и ɜ >γ мы заключаем, что κa ɜɪɑ заключе­

Ние никоим образом не влияет сомнение в том, понимаются ли под ɪ, ɪ и ɪ арифметические дроби или действительные числа. Иногда, конечно,

не оставляет сомнения в том,Текст, в котором встречается, например, какая интерпретация имеется в виду. Так, например, когда мы говорим (см. п. 9), что ɪ < ɪ, мы Должны понимать под,ɪ" действительное

1

Число ɪ.

Читатель должен, кроме того, обратить внимание на то обстоятельство, что точной форме определения „действительного числа", принятого нами, не приписывается никакой особой логической значимости. Мы определили „действительное число" как сечение, т. е. как пару классов. Мы могли бы с одинаковым успехом определить его как нижний или как верхний класс. В действительности, можно легко определить бесконечно много понятий, каждое из которых будет обладать свойствами действительных чисел. Что является существенным в математике — это то, чтобы математическим сим­волам была бы приписана Некоторая интерпретация. Обычно этим символам может быть придано Много интерпретаций, и тогда с точки зрения матема­тики безразлично, какую из них мы примем.

Мы должны теперь различать три случая. Может быть, что все отрицательные рациональные числа принадлежат к нижнему классу, а нуль и все положительные рациональные числа — к верхнему. Это сечение мы описываем как Действительное число нуль. Или же может быть, что нижний класс содержит некоторые положительные числа. Такое сечение называется Положительным действи­тельным числом. Наконец, может быть, что некоторые отрицательные числа принадлежат к верхнему классу. Такое сечение называется Отрицательным действительным числом1).

Различие между нашим настоящим определением положительного дей­ствительного числа и определением, данным в п. 7, состоит в присоединении к нижнему классу нуля и всех отрицательных рациональных чисел. Пример отрицательного действительного числа можно получить, взяв в качестве свойства P п. 6: Х + 1 < 0, и в качестве Q: Х -(-1 ≥⅛ 0. Это сечение, очевидно, соответствует отрицательному действительному числу — 1. Если бы мы за P Взяли X3 <— 2, а за Q: x3>-2, то мы получили бы отрицательное дей­ствительное число, которое не является рациональным.

9. Соотношения величины между действительными числами.

Ясно, что поскольку мы расширили наше понятие о числе, мы должны сделать соответствующие расширения наших понятий о равенстве, неравенстве, сложении, умножении и т. д. Мы должны показать, что эти понятия применимы к новым числам и что их расширение может быть осуществлено так, что останутся в силе все обычные законы алгебры и мы сможем оперировать с действительными числами так же, как мы это делали в п. 1 с рациональными числами. Для того чтобы показать это во всей полноте, потребовалось бы слиш-

1) Существуют также сечения, при которых каждое число принадлежит к нижнему классу, или каждое число принадлежит к верхнему классу. У читателя может возникнуть вопрос, почему мы не рассматриваем также и эти сечения как определяющие некоторые числа, которые можно было бы назвать Действительным числом положительная бесконечность и Действи­тельным числом отрицательная бесконечность.

Логических возражений против этого нет, но практически это оказы­вается неудобным. Наиболее естественные определения сложения и умноже­ния становятся неприменимыми. Кроме того, главным затруднением для начинающего изучать элементы анализа является умение определять точный смысл фраз, содержащих слово „бесконечность". Опыт показывает, что без необходимости не стоит увеличивать число таких фраз.

Ком много времени и места, и поэтому мы ограничимся здесь неко­торыми суммарными указаниями, систематическое развитие которых приведет читателя к полному изложению.

Мы будем обозначать действительные числа греческими буквами <x, β, γ, … , рациональные числа, принадлежащие к их нижним и верх­ним классам, — соответствующими латинскими буквами А, А; Ь, В; с, С; …. Сами классы мы будем обозначать через (а), (Л), ….

Если а и β— два действительных числа, то существуют три возможности:

(1) каждое А есть B и каждое А есть 5; в этом случае (а) со­впадает с (&) и (Л) с (S);

(2) каждое А есть Ь, но не все А суть В; в этом случае (а) есть правильная часть (Ь) 1I и (S) — правильная часть (Л);

(3) каждое Л есть S, но не все А суть Ъ.

Эти три случая графически изображены на фиг. 3.

—I—

А

————- (

Z

—— j——— —(

Z-

—— 1———

аih12)фиг. 3В случае (1) мы пишем α = β, в случае (2) a<≤β и в случае (3) a>β. Очевидно, что когда а и β оба рациональны, то эти определения от­вечают нашим представлениям о ра­венстве и неравенстве между рацио­нальными числами, которые мы при­нимаем за известные. Ясно также, что всякое положительное число больше каждого отрицательного числа.

Теперь уместно определить отри­цательное число — а по данному по­ложительному числу а. Допустим, что а иррационально. Если (а) и (Л)—-классы, определяющие а, мы можем определить другое сече­ние в области рациональных чисел, помещая все числа — Л в ниж­ний класс, а все числа — А—-в верхний. Определенное таким образом действительное число обозначим через — а. Аналогично опреде­ляем —а, когда а отрицательно; в этом случае —а положительно. Ясно также, что —(—а) = а. Из двух чисел а и —а одно всегда положительно. То, которое положительно, мы обозначаем через ∣а| и называем Модулем или Абсолютным значением а.

В случае, когда а рационально, мы встречаемся с затруднением. В этом случае а принадлежит к (Л), и классы (—Л), (—А) не определяют действительного числа в смысле п. 8, так как —а при­надлежит к нижнему классу, а не к верхнему. Мы должны поэтому изменить наше определение — а, обусловив, что если а рационально, то рациональное число — а должно быть отнесено к верхнему классу.

Примеры IV. 1. Доказать, что 0 = — 0.

2. Доказать, что β = a, β<a, β>a, если, соответственно, А = β, a>β, А < β.

*) Т. е. содержится в (6), но не совпадает с (Ь),

3. Если А = β и β = 1, то А = γ.

4. Если A ≤ β и β<γ, то α<γ.

5. Доказать, что — β<—а, если А < β.

6. Доказать, что А > 0, если А положительно, и что А < 0, если а отри­цательно.

7. Доказать, что A ≤ | а [.

. 8. Доказать, что 1 < V 2<"jΛ 3 <2.

[Все эти результаты являются прямыми следствиями наших определений.]

10. Алгебраические действия над действительными числами.

Мы переходим теперь к определению смысла элементарных алгебраи­ческих операций, таких как сложение, применительно к общим дей­ствительным числам.

(1) Сложение. Для определения суммы двух чисел аир мы рассматриваем следующие два класса: класс (с), содержащий все суммы C = a--b, и класс (С), содержащий все суммы C = A--B. Ясно, что во всех случаях c<^C.

Далее, не может существовать более одного рационального числа, не принадлежащего ни к (с), ни к (С). В самом деле, предположим, что существуют два таких числа Г и S, причем R<^s. Тогда и Г и s должны быть больше любого С и меньше любого С, а, следова­тельно, C — с не может быть меньше чем s — Г. Но

C— с = (А — A)-jr(B — Ь),

И мы можем выбрать A, b, А, В так, что А — а и В — B будут сколь угодно Малы. Это же явно противоречит нашему предположению.

Если каждое рациональное число принадлежит либо к (с), либо к (С), то классы (с) и (C) образуют сечение в области рациональных чисел, т. е. определяют некоторое действительное число γ. Если существует одно рациональное число, которое не обладает этим свой­ством, то мы можем присоединить его к (С). Тогда мы получим сече­ние, т. е. действительное число γ, которое, очевидно, должно быть рациональным, так как оно соответствует наименьшему числу в (С). И в том и в другом случае мы называем γ Суммою а и β, И пишем:

γ = α + β.

Если аир оба рациональны, они являются наименьшими числами в верх­них классах (Л) и (В). В этом случае ясно, что α-)-β является наименьшим числом в (С), так что наше определение согласуется с нашими прежними представлениями о сложении.

(2) Вычитание. Мы определяем а — β соотношением α-β = <x + (- Р).

Таким образом, расширение понятия о вычитании не представляет новых трудностей.

Примеры V. 1. Доказать, что з + (— А) — 0.

2. Доказать, ЧТО α-∣-0 = 0-∣-α = α.

3. Доказать, что a+β = β-∣-β. [Это следует сразу из того обстоятель­ства, что классы (я + й) и (b--a), или (Z7J-B) и +Z)> совпадают, так как, например, A--b = b--a, когда А и B рациональны.]

4. Доказать, что ɑ-∣-(β + т) = (≈ + β) + 7-

5. Доказать, что А — a = 0.

6. Доказать, что А — β =— (β-а).

7. Из определения вычитания и примеров 4, 1 и 2 этого пункта сле­дует, что

(а — β) -{- β = {А -{- (— β)} β — а { (— β) —|— β} = а —1_ 0 = a.

Поэтому мы можем определить разность а— β = γ равенством γ-{-β = А.

8. Доказать, что A — (∣3 — γ) = a— β + 7∙

9. Дать определение вычитания, не зависящее от определения сложения. [Следует определить γħ=a — β, исходя из классов (с) и (С), для которых С = а — В, C = A — Ь. Нетрудно видеть, что это определение эквивалентно тому, которое было дано в тексте.]

10. Доказать, что

I∣al-∣β∣l≤∣≈±β∣≤∣a∣ + ∣β∣.

11. Алгебраические операции над действительными чис­лами (продолжение). (3) Умножение. Переходя к умножению, удобнее всего начать с Положительных чисел и временно вернуться к сече­ниям в области положительных рациональных чисел, которые мы рассматривали в пп. 4—7. Тогда мы можем поступать аналогично тому, как мы это делали в случае сложения, беря в качестве (с) класс (ab) и в качестве (C) — класс (АВ). Рассуждения остаются теми же, за исключением доказательства того, что все рациональные числа, кроме, быть может, одного, принадлежат либо к (с), либо к (С). Это зависит, как и в случае сложения, от того, можем ли мы вы­брать A, b, А и В так, чтобы C — с было сколь угодно малым. Здесь мы применяем тождество:

C — с — АВ — Ab = (A — а) В -ira(B — Ь).

Отрицательные числа могут быть включены в наше определение, если принять, что для положительных аир

(-a)β-— aβ, a (__ β) = _ <xβ, (_ «) (_ β) = aβ.

Наконец, мы полагаем (0) a — a (0) = 0 для всех А.

(4) Деление. Для того чтобы определить деление, мы начнем

С определения обратной величины -ɪ- числа а (отличного от нуля).

Ограничиваясь сначала положительными числами и сечениями в области положительных рациональных чисел, мы определяем обратную вели­чину положительного числа а с помощью нижнего класса f-ɪ-ʌ и верх-

Него класса (ɪɔ- Затем мы определяем обратную величину отрица­тельного числа — а равенством • Наконец, мы опре-

А

Деляем ɪ равенством

А 1

Теперь мы в состоянии применить ко всем’ действительным числам как рациональным, так и иррациональным, все идеи и методы эле­ментарной алгебры. Мы не предполагаем здесь, естественно, вдаваться во все подробности. Значительно целесообразнее и интереснее сосре­доточить наше внимание на некоторых специальных, но особенно важных классах иррациональных чисел.

Примеры VJ. Доказать теоремы, выраженные следующими формулами:

1. α×l = l×≈ = α. 2. a×(l∕β)=l. 3. αβ==βα.

4. A (βγ) = (aβ) γ. 5. a (β Д — γ) = aβ + aγ. 6. (a + β) γ = aγ — J — βγ.

7. I aβ I ~ I β I I β I •

12. Число у/2. Вернемся на один момент к тому иррациональ­ному числу, которое мы рассматривали в пп. 4—5. Там мы построили сечение с помощью неравенств x*∙≤2, X2 ^>2. Это было сечением в области только положительных рациональных чисел; но если мы заменим его (как было разъяснено в п. 8) сечением в области всех рациональных чисел, то мы можем это сечение или число обозна­чить через у/2.

Классы, с помощью которых определяется произведение у/2 на самого себя, суть (aa’), где А и а’ — положительные рациональные числа, квадраты которых меньше двух, и (AA’), где А и А’ — поло­жительные рациональные числа, квадраты которых больше двух. Эти классы исчерпывают все положительные рациональные числа, кроме одного, которым может быть только само число 2. Итак

(у/2)2 = у/2 у/2 = 2.

C другой стороны

(- / 2Г = (- /2) (-ɪ /2) = /2 /2 = (/ 2)* = 2.

Таким образом, Уравнение х® = 2 Имеет два корня: /2и — у/2. Аналогично мы могли бы рассматривать уравнения х2 = 3, X3 = 7, … и соответствующие иррациональные числа у/ 3, — у/ 3, у/ 7, … .

13. Квадратичные иррациональности. Число вида ± у/ а, где a — положительное рациональное число, не являющееся квадратом дру­гого рационального числа, мы назовем Чистой квадратичной ирра — атональностью. Число вида а -+- / Ь, где А рационально, а у/ B — Чистая квадратичная иррациональность, иногда называется смешанной квадратичной иррациональностью.

Оба числа A ± ^]∕~ Ъ являются корнями квадратного уравнения X2 — 2ax -)- α2 — Ь = 0.

Обратно, уравнение x2 -)- 2ρx -)- q = 0, где Р и Q рациональны и Р2 — Q>0, Имеет своими корнями две квадратичные иррациональности —Р ± ]∕p2 — Q.

Единственным классом иррациональных чисел, существование которых следовало требовать на основании геометрических рассмо­трений п. 3, являются эти квадратичные иррациональности, чистые и смешанные, а также более сложные иррациональности, которые могут быть выражены формулами, содержащими повторное извлечение квадратных корней, как, например,

У/2 4- Γλ2 4-l∕^2 -4-l×^2 2-j-∕2.

Геометрическое построение отрезка, длина которого равна любому числу такого вида, может быть легко осуществлено, в чем читатель может без труда убедиться сам. Что Только такие иррациональные числа могут быть построены методами Эвклида (т. е. с помощью только циркуля и линейки), будет доказано несколько позже (см. гл. И, Разные примеры, 22). Это свойство квадратичных ирра­циональностей делает их особенно интересными.

Примеры VII. 1. Дать геометрические построения для

/2, /2+ /2, У 2 + /2+/2 .

2. Квадратное уравнение αx2 -(- 2Ъх + с ɪ= 0 имеет два действительных корня1), если й2— αc> 0. Предположим, что а, Ь, с рациональны. Тогда все тр’и коэффициента можно считать целыми, так как мы можем умножить все уравнение на общее наименьшее кратное их знаменателей.

Читателю известно, конечно, что корни этого уравнения равны {-⅛±)∕>→4 π

———- 4………….. — -. Легко построить этн длины геометрически, построив

Сначала /Ьг — ас. Приведем другое, более элегантное, хотя и не столь прямое, построение 2).

Проведем окружность единичного радиуса, диаметр PQ и касатель­ные в концах этого диаметра.

*) Т. е. существуют два значения х, для которых αx2 -∣r 2йх С = 0. Если Ьг — асе 0, то таких значений не существует. Читатель вспомнит, что в учебниках элементарной алгебры говорится, что такое уравнение имеет, комплексные” корни. Смысл этого утверждения будет разъяснен в гл. III.

Когда ⅛2=αc, уравнение имеет только один корень. Обычно говорят, что и в этом случае уравнение имеет два корня, именно, два совпадающих корня, но это только условность.

2) Это построение взято мной из книги Клейна: F. Klein, Vortrlige tlber ausgewahlte Fragen der Elementargeometrie (Leipzig, 1895).

A Q

Отложим PP’ = — 2 — — И QQ1 = — ⅜, учитывая знаки *) (фиг. 4).

Соединим P’ и Q’ прямой, которая пересекает окружность в точках M и N. Проведем PM и PN, которые пересекут QQ’ в X и Y. Тогда QX и QY представляют корни уравнения по величине и по знаку.

Доказательство весьма просто, и мы оставляем его в качестве упраж­нения читателю. Другим, даже более простым, построением является сле­дующее. Возьмем отрезок AB единичной длины. Проведем BC = —

С

Перпендикулярно к AB и CD = — перпендикулярно к BC в направле­нии BA. На AD как на диаметре построим окружность, пересе­кающую BC в X и Y. Тогда BX и BY являются корнями.

3. Если Ас положительно, то PP и QQ имеют одно и то же направле­ние. Проверить, что P,O не пересечется с окружностью, если Ь* < ас, и будет касаться ее, если ⅛2 = Ас. Проверить также, что если ⅛2 = Ас, то во вто­ром построении окружность будет касаться ВС.

4. Доказать, что

L∕p<7 = l∕^p×l∕"<7, Vp^} = pV^}.

14. Некоторые теоремы о квадратичных иррациональностях.

Две чистые квадратичные иррациональности будем называть Подоб­ными, если они являются рациональными кратными одной и той же иррациональности. Так,

/8 = 2/2, ∣∕y = -∣-∕2,

И, следовательно, /8 и ∣Λγ-подобные иррациональности. C дру­гой стороны, если Л1 и N—Положительные взаимно простые числа, причем ни одно из них не является квадратом целого числа, то ∕ M И /ʌf не являются подобными иррациональностями.

Действительно, допустим, что

___________ ∕s=∣∕I, /N=Γ∕X

1) На фигуре изображен случай, когда B и С имеют одинаковый, а А — Противоположный знак. Рекомендуем читателю начертить фигуры для дру­гих случаев.

Где все буквы обозначают целые числа. Тогда yfMNi очевидно, является рациональным числом, и, следовательно (см. пример II. 3),_ целым. Таким образом, MN=Pii где P—-целое число. Пусть А, Ь, с, … — простые делители числа Pi так что

MN = a’ιabi9ci1 … ,

Где α, β, γ, … — положительные целые числа. Тогда MN делится на Aiai откуда следует, что либо M делится на Aiai либо N делится на Aiai либо M и N оба делятся на Att. Но эта последняя возможность должна быть отброшена, так как M и N1 по предположению, взаимно простые числа. Это рассуждение применимо к каждому из множи­телей Aiai bi9i ci1i… , Так что M должно делиться на некоторые из этих множителей, a N на остальные. Но тогда

TkI = P12. Dr=Pli

Где Pl означает произведение некоторых из множителей Aiai biVi citi… , а Р\ — произведение остальных. Следовательно, M и N оба являются квадратами целых чисел, что противоречит нашему пред­положению.

ТЕОРЕМА. Если. А, В, C, D рациональны и

A--yfli=C + yΓD>

То либо A = C и B=Di либо BuD являются каждое квад­ратом рационального числа.

Действительно, В — D рационально и

∕β- /D=C-А

Также рационально. Если В не равно D (в противном случае также и А равно С), то мы найдем, что

∕ S + /D = (В — £>)/(/ В — ∕ D) Также рационально. Следовательно, / В и yf D рациональны.

СЛЕДСТВИЕ. Если A-jr↑∕r B = C~lr↑∕r Di тогда и А—Yf B = = C~F D (если только Yf В и Yr D не являются оба рациональ­ными числами).

Примеры VHI. 1. Доказать, не применяя результатов предыдущего пункта, что ∣∕^ 2 и У 3 не являются подобными иррациональностями.

2. Доказать, что ]/" А и (/Т/в. где А рационально, — подобные иррацио­нальности (если они вообще не рациональны).

3. Если А и B рациональны, то ^J∕r A — j — j∕’ B не может быть рациональ­ным без того, чтобы ]/" А и ]∕" Ь были рациональными. То же справедливо и относительно j∕^А — }∕-⅛, если A^pb.

4. Если _____

У АВ =У С + У D,

То либо А = C и В = D, либо A = D и B = C, либо ↑∕~A, ↑∕^B, VrC, УD Все рациональны или являются подобными иррациональностями. {Возвести в квадрат данное соотношение и применить теорему предыдущего пункта.]

5. Ни 4- У Ь’)3, ии (а —У Ь)3 не могут быть рациональными, если У Ь Иррационально.

6. Доказать, что если X=p+},rq, где Р и Q рациональны, то Хт, где Т — любое целое число, может быть представлено в виде P-[-Q У Q, где P И Q рациональны. Например,

+ У # =P2 + 4 + 2p У ~q, (р + У?)3 -Pi-sr 3PV + (3P2 + Ч) У£ Отсюда следует, что любой многочлен

α0xre + A1xn~l + +an

С рациональными коэффициентами А0, … , ап может быть представлен в та­ком же виде: P-]- Q У Ч-

7. Если я У 6, где B не есть точный квадрат, является корнем алге­браического уравнения с рациональными коэффициентами, то А — У B также будет корнем этого уравнения.

8. Представить —— ɪ — в виде, указанном в примере 6. [Умножить

числитель и знаменатель на р — у <р]

g(x)P + V ч

9. Вывести из примеров 6 и 8, что любое выражение вида > гДе

G (х) и H(х) — многочлены от Х с рациональными коэффициентами, может быть представлено в виде P +Q У Q, где PhQ рациональны. _________________________________________________________________

10. Если ρ, qvip3-q положительны, мы можем представить УрУ Q В форме У^ + Уу, где

-r= 2 {P + Vpt — √}> J’ = y{P-УР2 — 9,)∙

11. Найти условия, при которых Ур + У Q, где P и Q рациональны, может быть представлено в виде У Х 4- У У, где ХУ рациональны.

12. Если я2 — Ь положительно, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы

У я 4- У! 4- У А — УB

Было рационально, является рациональность чисел

У ~^-b^ и ɪ/ɪ {я 4- y^≡7⅛}.

15. Континуум. Совокупность всех действительных чисел, рацио­нальных и иррациональных, назынается Арифметическом контину­умом.

Мы будем предполагать, что прямая линия Л, рассмотренная в п. 2, состоит из точек, соответствующих всем числам арифмети­ческого континуума, и никаких других точек не содержит’). Точки прямой, совокупность которых можно назвать Линейным конти­нуумом, представляют тогда достаточно удобный образ арифметиче­ского континуума.

Мы достаточно подробно рассмотрели основные свойства неболь­шого числа классов действительных чисел, таких как, например, рациональные числа или квадратичные иррациональности. Приведем несколько дополнительных примеров, чтобы показать, насколько частными являются рассмотренные специальные классы чисел, и ка­кую, грубо говоря, незначительную часть бесконечного разнообразия чисел, образующих континуум, они составляют.

(1) Рассмотрим более сложные иррациональные выражения, как, например, Z = У 4 + У15 + V 4 — yi5.

Предположение существования Z может быть обосновано следующим обра­зом. Сначала, как в п. 12, мы показываем, что существует число У = "∣∕^15, для которого у2 = 15, а затем, как в и. 10, мы можем определить числа 4-(-∣∕r15 и 4 — "∣∕^15. Далее, рассмотрим уравнение для Z1

Zf = 4 + jΛl5.

Правая часть этого уравнения иррациональна. Но те же рассуждения, кото­рые привели нас к предположению существования действительного числа Х, Для которого X3 — 2 (или любому другому рациональному числу), приведут нас к заключению о существовании таКого чисЛа Z1, для которого Z1 = = 4 + ∣∕^15. Так мы определяем Z1=V 4∣∕r15, и аналогично определяем

Z2=V 4 — ∣∕r15. Наконец, как в п. 10, мы полагаем Z= z1+ Z2.

Легко проверить, что

Zz = Зг -(- 8,

И нетрудно дать непосредственное доказательство существования единствен­ного числа, удовлетворяющего этому уравнению.

В первую очередь Z, если оно существует, должно быть положительно. Ибо Z = — ζ дает ζ3— 3ζ-(-8 = 0 или 3 — ζa = 8∕ζ. Но это невозможно, если ζ положительно, так как тогда ζa<3, ζ<2 и, следовательно, 8∕ζ>4, тогда как 3 — ζa < 3.

Далее, уравнение не может удовлетворяться двумя различными числами Zl и Z2. Ибо, если

Zf = 3z1 +8, Zl = 3z2 + 8,

То Z1 и Z2 положительны и Z1 > 8, Zf^> 8, или Z1 >2, Z2 > 2, а это невоз­можно, ибо, вычитая из первого уравнения второе и деля на Z1—Z2, мы получаем, что

Z2l -(- 212s, -(- Z2 = 3.

Таким образом, существует не более одного Z, для которого х3 = Зх —(—8, и это Z не может быть рациональным, так как каждый рациональный корень

*) Это предположение является лишь гипотезой, принятой, во-первых, в силу того, что она достаточна для целей нашей геометрии, и, во-вторых, потому, что она снабжает нас удобной геометрической иллюстрацией анали­тических процессов. Так как мы применяем геометрический язык только для иллюстраций, изучение оснований геометрии не входит в нашу задачу.

Этого уравнения должен быть целочисленным и делителем 8 (см. пример II. 3), но ни одно из чисел 1, 2, 4, 8 не удовлетворяет уравнению.

Мы можем теперь разбить положительные рациональные числа Х на два класса L, R, в зависимости от того, будет ли X3 < Зх -ф 8, или X3 > Зх + 8. Если Х принадлежит К R н у > х, то У тоже принадлежит к /?, так как Y>x~>cl и

У3 — Зу — (х3 — Зх) == (у — х) (у2 4- Ху — J — X2 — 3) > 0.

Аналогично мы можем показать, что если Х принадлежит к L и У < х, то У тоже принадлежит к L.

Наконец, ясно, что оба класса LnR существуют. Они определяют сечение в области положительных рациональных чисел, т. е. положительное действительное число Z, которое должно удовлетворять нашему уравнению.

Читатель, который знает, как решаются кубические уравнения по методу Кардано, сможет найти явное выражение для Z непосредственно из уравнения.

(2) Рассуждения, примененные выше к уравнению л:3 = Зл: —8, могут быть также проведены и для уравнения

X8 = X-J — 16

(хотя они в этом случае будут несколько более сложными), и при­ведут нас к заключению, что существует единственное положитель­ное число, которое удовлетворяет этому уравнению. В этом случае, однако, невозможно получить явное выражение для х, составленное из комбинации корней каких бы то ни было степеней. Известно (хотя доказательство этого предложения весьма трудно), что В общем, случае невозможно найти такие выражения для корня уравнения степени большей четырех. Таким образом, кроме иррациональных чисел, которые могут быть выражены как чистые или смешанные квадратичные иррациональности или как комбинации корней высших степеней из рациональных чисел, существуют другие иррациональные числа, которые также являются корнями алгебраических уравнений, но не могут быть так выражены. Такие выражения могут быть най­дены только в самых специальных случаях.

(3) Но даже после того, как мы прибавим к нашему перечню иррациональных чисел корни уравнений (таких, как, например, χ8z=χ-∣-16), которые не могут быть выражены с помощью ком­бинаций корней любых степеней из рациональных чисел, мы далеко еще не исчерпаем всех родов иррациональных чисел, содержащихся в континууме. Проведем окружность с диаметром A0A1, т. е. равным единице. Естественно предположить, что эта окружность обладает некоторой длиной, которую можно .измерить. Эта длина обычно обозначается через я. Доказано (хотя доказательство также весьма сложно), что число π не является корнем никакого алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами, как, например,

К3 = и, π3 = П, K8=ZJt-J-H,

Где П — целое число. Таким образом, мы встретились с иррациональ­ным числом, которое не принадлежит ни к одному из классов ирра­циональных чисел, рассмотренных нами до сих пор. Это число π не

Является каким-либо изолированным особым случаем. Наоборот, только специальные классы иррациональных чисел являются корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, и среди них еще более специальные классы выражаются через корни из рациональных чисел.

16. Непрерывное действительное переменное. „Действительные числа” можно рассматривать с двух точек зрения. Мы можем рас­сматривать их как Совокупность, т. е. как арифметический конти­нуум, определенный в предыдущем пункте, или Индивидуально. А когда мы рассматриваем их индивидуально, мы можем иметь в виду какое-нибудь Определенное число (как, например, 1, —у, ∣/2′ или π)

Или мы можем думать о Любом неопределенном числе Числе х. Этот последний случай мы имеем в виду, когда говорим, что „х есть число”, „х есть длина” и т. д., или когда делаем такие утвер­ждения, как „х может быть рациональным или иррациональным”. Это х, Которое встречается в приведенных и подобных им предло­жениях, называется Непрерывным действительным переменным, а индивидуальные числа называются Значениями переменного.

„Переменное”, вообще говоря, не должно быть обязательно не­прерывным. Вместо того чтобы рассматривать совокупность Всех действительных чисел, мы можем рассматривать некоторую частичную совокупность, содержащуюся в ней, как, например, совокупность рациональных чисел, или совокупность положительных целых чисел. Возьмем последний случай. Тогда в предложениях, относящихся к Любому положительному целому числу или к Неопределенному Положительному целому числу,’ таких, как „л либо четное, либо нечетное”, П называется Положительным целочисленным перемен­ным, а отдельные положительные целые числа являются его значениями.

Естественно, что „х“ и „я” являются только примерами пере­менных: переменного, „область изменения” которого состоит из всех действительных чисел, и переменного, область изменения которого состоит из положительных целых чисел. Эти примеры — наиболее важные, но нам часто придется рассматривать и другие случаи. На­пример, в теории десятичных дробей мы можем обозначить через х любую цифру в выражении любого числа в виде десятичной дроби. Тогда х является переменным, но переменным, которое принимает только десять различных значений, а именно, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мы можем, короче сказать, что переменные, которые мы будем рассматривать, суть классы целых или действительных чисел и что значения этих переменных суть числа соответствующих классов.

17. Сечения в области действительных чисел. В пп. 4—7 мы рассматривали „сечения”,в области рациональных чисел, т. е. раз­биения рациональных чисел (или только положительных рациональ-

3 Г. Хардц

Яых чисел) на два класса L и /?, обладающих Следующими характери­стическими свойствами:

(1) каждое число рассматриваемого типа принадлежит одному и только одному из этих классов;

(2) оба класса существуют;

(3) каждое число из класса L меньше любого числа из класса R.

Ничто не мешает нам приложить эту идею и к совокупности

Всех действительных чисел, что, как читатель увидит из дальнейших глав, оказывается операцией чрезвычайной важности.

Предположим[6]), стало быть, что P и Q два взаимно исклю­чающих свойства, одним из которых обладает каждое действительное число. Предположим, далее, что любое число, обладающее свой­ством Р, меньше каждого числа, обладающего свойством Q. Сово­купность чисел, обладающих свойством Р, мы называем Нижним, Или Левым, классом L, а совокупность чисел, обладающих свой­ством Q — верхним, или Правым, классом R.

Так, например, P может быть: λ≤ ]∕^2, a Q-. x>∣∕r2. Важно заметить, что пара свойств, достаточных для определения сечения в области рацио­нальных чисел, может быть недостаточной для определения сечения в области действительных чисел. .Такое положение имеет место, например, с парой свойств: „х < ]/~2“ и..<>]/ 2“, или (если мы ограничимся положитель­ными числами) ,xa<2" и, xa>2". Каждое рациональное число обладает одним или другим из этих свойств, но в области действительных чисел 2 не подпадает под классификацию.

Теперь возможны два случая[7]). Либо L содержит наибольшее число Z,, либо R содержит наименьшее число Г. Оба эти случая не могут иметь место одновременно. Ибо если L содержит наибольшее число I и R наименьшее число г, то число -∣∙(Z-)-r) было бы

Больше всех чисел из L и меньше всех чисел из R и, таким обра­зом, не могло бы принадлежать ни к одному из классов. C дру­гой стороны, один из этих случаев должен обязательно иметь место [8]).

Обозначим через L1 и R1 классы, состоящие из рациональных Чисел, принадлежащих, соответственно, к L и R. Тогда классы L1 и R1 определяют сечение в области рациойальных чисел. Следует различать два случая.

Может быть, что L1 содержит наибольшее число α. В этом слу­чае а должно быть также наибольшим числом в L. Ибо если бы это было не так, то мы могли бы в L найти большее число, скажем β. Но между а и β лежат рациональные числа, которые, будучи меньшими чем β, должны принадлежать к L, а следовательно, и к L1, что приводит к противоречию. Следовательно, а является наибольшим числом в L.

C другой стороны, может быть, что L1 не содержит наибольше­го числа. В этом случае сечение в области рациональных чисел, оп­ределяемое L1 и R1, дает действительное число а. Это число А долж­но принадлежать либо к L, либо к R. Если оно принадлежит к L, Мы можем показать, применяя только что проведенное рассуждение, что оно является наибольшим числом в L. Аналогично, если оно принадлежит к R, то оно является наименьшим числом в R.

Таким образом, в любом случае либо L содержит наибольшее число, либо R-—Наименьшее. Поэтому любое сечение в области дей­ствительных чисел „соответствует" некоторому действительному числу в том же смысле, в каком сечение в области рациональных чисел иногда, но не всегда, соответствует некоторому рациональному числу. Это заключение исключительно важно, так как оно показы­вает, что рассмотрение сечений в области действительных чисел не приводит ни к какому дальнейшему обобщению понятия числа. Ис­ходя из рациональных чисел, мы нашли, что идея сечения приводит к расширению понятия о числе, А именно, к понятию действительного числа, более широкому, чем понятие рационального числа. Поэтому можно было ожидать, что идея сечения в области действительных чисел приведет нас к понятию еще более общему. Проведенные рас­смотрения показывают, однако, что это не так, а что совокупность всех действительных чисел, или континуум, обладает некоторым свойством полноты, которым совокупность рациональных чисел не обладала. Это свойство полноты в математике обозначается тер­мином замкнутости континуума.

Полученный результат может быть сформулирован следующим образом:

ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА. Если действительные числа разбиты на два класса LuR так, что

(1) Каждое действительное число принадлежит к одному и только к одному из этих классов,

(2) Каждый класс содержит, по крайней мере, одно число,

(3) Каждое число из L меньше любого числа из R,

То тогда существует число а, обладающее тем свойством, что все числа, меньшие его, принадлежат κL,A все числа, большие его, -— κR. Само число а может принадлежать к любому из этих классов.

В приложениях мы часто должны рассматривать сечения не всех чисел, а только тех, которые содержатся в некотором Интервале (β, γ), т. е. всех тех чисел х, для которых (3≤x≤γ. „Сечение" таких чисел — это, само

З*

Собой разумеется, разбиение их иа два класса, обладающих свойствами (1), (2) н (3). Такое сечение может быть превращено в сечение всех чисел при­соединением к L всех чисел, меныцих чем β, и к /? — всех чисел, больших чем γ. Ясно, что утверждение теоремы Цедекинда останется в силе, если мы заменим слова „действительные числа* словами „действительные числа интервала (Д, γ)*, и что в этом случае число А удовлетворяет неравенствам β≤α≤γ.

18. Точки накопления. Любая система действительных чисел или точек прямой, соответствующих им, определенная каким бы то ни было образом, называется Множеством чисел или точек. Мно­жество может состоять, например, из всех положительных целых чисел или из всех рациональных точек.

Здесь чрезвычайно удобно пользоваться языком геометрии ɪ). До­пустим, что мы имеем некоторое множество точек, которое обо­значим через S. Возьмем любую точку ξ, которая может принадле­жать, а может и не принадлежать к 5. Тогда существуют две воз­можности. Либо можно выбрать положительное число 8 так, что интервал (£ — 8, £8) не содержит ни одной точки из S, отличной от ξ[9] [10]), либо это невозможно.

Допустим, например, что S состоит из точек, соответствующих всем положительным целым числам. Если ξ — положительное целое число, то мы можем взять в качестве 8 любое число, меньшее единицы, и тогда осуще­ствляется первая из перечисленных выше двух возможностей; или, если ξ лежит посередине между двумя целыми числами, то мы можем взять любое 8, меньшее половины. C Другой стороны, если S состоит из всех рациональных точек, то, каково бы ни было 8, всегда осуществляется вторая возможность, ибо любой интервал содержит бесконечно много рацио­нальных точек.

Допустим, что мы имеем дело со вторым случаем. Тогда любой интервал (6 — 8, ξ —|—δ), как бы мала ни была его длина, содержит, по крайней мере, одну точку ξ1, принадлежащую к 5 и отличную от ξ. И это независимо от того, принадлежит ли само 6 к 5 или нет. В этом случае мы будем говорить, что ξ является Точкой на­копления S. Легко видеть, что интервал (£ — 8, ξ-}~δ) должен со­держать не только одну, но даже бесконечно много точек 5. Ибо после того, как найдено ξ1, мы можем взять интервал (£— δ1, £—{-δ1), содержащий ξ, но не содержащий £,, и в этом интервале, по условию, также должна содержаться точка ξ2, входящая в 5 и отличная от £. Очевидно, что мы можем это рассуждение повторить, заменив точку ζ1 точкой ξa и т. д. Таким образом, мы получаем сколько угодно точек j

^ɪ, ^3> • • •>

Принадлежащих к 5 и лежащих внутри интервала (В— 8, В — J — 8).

Точка накопления множества S может сама принадлежать к S, но может к S и не принадлежать. Следующие примеры иллюстриру­ют различные возможности.

Примеры IX. 1. Если S состоит из точек, соответствующих положи­тельным целым числам или всем целым числам, то точек накопления йет.

2. Если S состоит из всех рациональных точек, то каждая точка прямой является точкой накопления.

3. Если S состоит из точек 1, —, -ɪ-, …, то имеется одна точка накоп­ления, а именно, точка 0.

4. Если S состоит из всех положительных рациональных точек, то точ­ками накопления являются точка 0 и все положительные точки прямой.

19. Теорема Вейерштрасса. Общая теория точечных множеств представляет большой интерес и чрезвычайно важна в высших об­ластях анализа. Но в своей большей части она слишком сложна для того, чтобы быть включенной в эту книгу. В ней имеется, однако, одна теорема, которая легко выводится из теоремы Дедекинда и ко­торая нам понадобится в дальнейшем.

ТЕОРЕМА. Если множество S содержит бесконечно много точек и заключено целиком в некотором интервале (A, β}, Тогда по край­ней мере одна из точек этого интервала является точкой нако­пления S.

Мы. разбиваем точки прямой А На два класса следующим обра­зом. Точка P принадлежит к L, если существует бесконечно много точек из 5, лежащих справа от Р, а в противном случае точка P Принадлежит к Р. Тогда ясно, что условия (1) и (3) теоремы Де­декинда удовлетворяются, а так как а принадлежит к L и β — к Р, То выполнено и условие (2).

Следовательно, существует такая точка В, что, как бы мало ни было 8, ξ— 8 принадлежит к L, a В-)-8— к Р, так что интервал (В—-8, В 4~ 8) содержит бесконечно много точек из 5. Точка В яв­ляется точкой накопления множества 5.

Эта точка может, конечно, совпасть с А или с β, как, например, в том

Случае, когда α = 0, β = l и S состоит из точек 1, ɪ, -ɪ-, … . В этом

Случае точка 0 является единственной точкой накопления. Другое доказа­тельство теоремы будет Дано в п. 71.

РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ I

1. Каковы условия для того, чтобы Ах ■}-By ■}- Cz = 0 (1) для произ­вольных Х, у, г, (2) для всех Х, у, г, удовлетворяющих условию Ах — f- ⅛y — J — 4~γz = 0, (3) для всех Х, у, г, удовлетворяющих двум условиям:

ιχ* + βy + Тг = θ и Ax-j~By-j-Cz = O?

2. Любое положительное рациональное число может быть представлено одним и только одним способом в виде

Где Al, as,

As

Fll τ 1 ∙ 2 τ 1 ∙ 2 ∙ 3 ^ , βfe— целые числа и О ≤ Ai, O ≤ α2 < 2, О:

AS, ,

Ak

1 • 2 ∙ 3…⅛,

; As < 3, …, О < Ak < к.

3. Любое положительное рациональное число может быть одним и только одним способом представлено в виде непрерывной дроби

, 1

M————— ɪ

Где Al, …………… ап—Целые числа и

Al ≥s O, α2 > о, «з > 0, ,.

<⅛t>0, an>1.

[Элементы теории непрерывных дробей можно найти в учебниках алгебры*), а также в книге Харди и Райта, Введение в теорию чисел, гл. X.]

4. Найти рациональные корни (или доказать, что их нет) уравнения

9×3-6×2-J-15х—10 = 0.

5. Отрезок прямой AB делится точкой C так, что AB ∙ AC = BC2 (так называемое Золотое сечение, см. Эвклид, кн. II, 11). Доказать, что отношение AC

AB

Иррационально.

6. Пусть А иррационально. В каких случаях будет рационально отно-

Fl√4 — J — Ь _ , —

Шение d, где A, b, с, D рациональны?

7. Некоторые элементарные неравенства. Пусть A,, а3, … обозначают положительные числа (включая нуль) и ρ, Q, … — положительные целые числа. Так как разности A%~ и A4Lαj одного знака, то мы имеем (αf — ) (Af — а$) Ξ≥= 0 или

αf + * + αj + *≥sφf + φ* (1)

— неравенство, которое может быть также записано в виде

A? + ?+aξ + <r faP + aξ{af+a%

2 "V 2 А 2 Повторно применяя эту формулу, мы получаем ,AP + aζ

ЦР ~l~ Q — j — τ 4~ •

И, в частности,

)(⅛⅜

Al4^a2

(3)

2f 4“ β⅞∖ ∕ a↑ 4" a∙.

(4)

*) См. также А. Я. Хинчин, Цепные дроби, ГТТИ, 1935; Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1, ГТТИ, 1935, (Прим, перев.)

Когда р = <7=1 в (1), или Р =2 в (4), эти неравенства являются просто другими формами неравенства Of + A⅛^2Aiav которое выражает тот факт, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

8. Обобщения на П чисел. Если мы запишем ɪ П (п — 1) неравенств

Типа (1), которые могут быть образованы из П чисел, и сложим их, то мы получим неравенство

∕ι∑α’,÷9Ξ≡≥∑<√’∑α" (5)

ИЛИ

(6)

Отсюда мы можем вывести очевидное обобщение неравенства (3), которое читатель сможет сформулировать сам, и, в частности, неравенство

>M½ςT∙ Р>

9. Общая форма теоремы об арифметическом и геометрическом средних. Несколько иным неравенством является то, которое выражает, что арифметическое среднее Al, аг, …, ап не меньше их геометрического среднего. Допустим, что Ar и As наибольшее и наименьшее нз этих чисел (если таких наибольших Или Наименьших несколько, то безразлично, какие из них мы возьмем), и пусть О будет их геометрическим средним. Мы можем предположить, что О > 0, так как если 0 = 0, то справедливость предложения очевидна. Если мы теперь заменим Ar и As числами

α’r = O, A’s-aras)Q,.

То их геометрическое среднее не изменится. А так как

О-‘г + о-‘SArAs = (Ar — О) (As — O)∕O≤О,

То мы. при этом заведомо не увеличим их арифметического среднего.

Ясно, что мы можем повторять это рассуждение до тех пор, пока не заменим каждое из Al, Ai, …, ап числом Q для этого потребуется не более я шагов. Так как окончательное значение арифметического среднего будет Q, исходное значение не могло быть меньшим.

10. Неравенство Коши. Пусть А„ A2, …, ап и ⅛1, ⅛2, …, Ъп — любые две системы положительных или отрицательных чисел. Легко убедиться в справедливости тождества

(∑βA)2=∑ ⅛ ∑⅛2 — ∑ (arbs — «А)а.

Где г и s принимают значения 1, 2, …, я. Отсюда следует, что

(Σ∏A)2≤Σ^Σ⅛∙

11, Если A1, α2, …, Ап положительны, то

12. Если А, Ь и С положительны и A + ⅛ + с = 1, то

(÷-lX⅛-1)(τ~1)⅛8∙ <a-∞2r.)∙)

13. Если А и B положительны и α-(-⅛==l, то

(α+⅛)a+(z, + 4)2S≥γ∙ (Эка. 1926 г.)

14. Если α1, β2, …, Ап положительны и Sn = Al~}- A-∙а„, то

<4 Sft

(I + Al) (1 + A2)… (1 4-Al,) ≤ 1 + s„ +-ɪ + … + — A. (Экз. 1909 г.)

15. Если o1, oa, …, Ап и B1, bs, …, Ьп — две системы положительных чисел, записанные каждая в убывающем порядке, то

(a1 -(- а3 -)- … -(- an) (⅛ι + ¾ 4^ ∙ ∙ ∙ A &п) ≤ n (βA -(- AJ,ι + ∙ ∙ ∙ 4^ Atfin)∙

16. Если A, b, е, …, k и А, В, C………………. К—Две системы чисел, причем

Все числа первой системы положительны, то

АА+ЬВ + … + W
А
4- B 4- … 4- K

Лежит между алгебраически наименьшим и наибольшим из чисел А, В,…, К — [Примеры 7—16 являются, большей частью, весьма специальными слу­чаями известных общих теорем, которые систематически изложены в книге

Харди, Ли ттльвуда и Полна, Неравенства (Кэмбридж, 1934 г.). [11]) См. также гл. IV, п. 74 и Приложение I.]

17. Если ]/р не подобно j/ Q и А 4- [12]Vp 4^ c lz^<7 4^ PQ = θ> гДе а> Ь, с, D рациональны, то α = O, ⅛ = 0, c = О, D = 0.

[Представить ^∕~р в форме M + N^F q, где M и N рациональны, и при­менить теорему п. 14.]

18. Показать, что если

A V^∑4- B ^∣Λ3 4- С y^5= О,

Где А, Ь, с—Рациональные числа, то α=0, ⅛ = 0, с = 0.

19. Любой полином от |/р и ~∕^ q с рациональными коэффициентами

(т. е. сумма конечного числа выражений вида А (↑trp)m (↑’rq)n> где Тип — Целые числа и А рационально) может быть представлен в форме

A + b↑∕rp + c↑∕rq + d ∕^pq, где а, Ь, с, D рациональны.

где а, ь, с,рациональны, в форме∩n d & H- ɪ/"P + с ɪ/" Q

20. Выразить —!——- L ∙-~L,

4“ e Vp LfVrQ

А 4-В Yp 4- CYq+D}∕~pq, где А, В, C, D рациональны.

[Очевидно, что

A + bVp + cY^q = (a--bYp--cYlj)(d + gYp-fYq) =

‘d + eYp+fYq (d+eγpy~f^

≈+pYρ + ιYq + sγpq’ ,

ε + tYp

i ι 'τ-^-⅛'s∙]

где A, β и т. д. — рациональные числа, которые могут быть легко опреде­лены. Окончательное преобразование к требуемому выражению производится теперь умножением числителя и знаменателя на ε-ζ,γp. Например, показать, что

21. Если А, Ь, х, у — рациональные числа, удовлетворяющие соотно­шению

(ay — Ьх)2 + 4 (а — Х) (⅛ —у) ~ О,

То либо X = а иу=4, либо 1 — Ab и 1—Ху являются квадратами рацио­нальных чисел. ‘ (Экз. 1903 г.)

22. Если все значения Х и У, определяемые соотношениями

Ax2-]-2ħxy-↑-by2=∙ 1, A’x2 —-2h’xy + b’yt = 1,

Где а, Л, B, a’, ħ’, b` рациональны, также рациональны, то

(Л — Л’)2 — (а — а’) (Ъ — B’) н (ab’ — а’Ъ)2 + 4 (ah’ A’h) (bh` — B’h)

Являются квадратами рациональных чисел. (Экз. 1899 г.)

23. Показать, что Y2 и j/ɪ суть полиномы третьей степени от ∣∕^2^-)- Y 3

С рациональными коэффициентами и что ]∕^2— ]Л(Г + 3 — дробио-лиией — ная функция от ]∕^2^+∣z^3. (Экз. 1905 г.)

24. Показать, что

Ya +’2zn YА — M2 -(-Ya — 2m Yа — т2

Равно 2т, если 2zn,>a>zn2, и равно 2 Ya-Т2, если α>2zn2.

3 _

25. Показать, что любой полином от Y 2 С рациональными коэффициен­тами может быть представлен в виде

З _ з _ A + bY2 + cγ4,

Где а, Ь, с рациональны.

Вообще, если Р — любое рациональное число, то любой полином от

M _

Yp С рациональными коэффициентами может быть представлен в виде

AO 4- AIa Ч" AS≈2 + • ■ • Ч- A∕n-ι≈m-1> Т —

Где β0, ах……….. ι⅛-ι рациональны и a = У р. Ибо всякий такой полином

Имеет вид

⅛oЧ-*t≈Ч-⅞≈2Ч- ••• +¾≈fc>

Где коэффициенты B рациональны. Если ⅛≤m— 1, то это уже есть тре­буемый вид. Если же K>m — 1, то пусть Ar будет любая целая степень выше — 1)-ой. Тогда R = ^km + s, где λ-целое число hO≤s≤m—1. Следовательно Ar — A!-m + ∙s = ρλas, и, таким образом, мы можем избавиться от всех степеней А, больших чем (от — 1)-ая.

З _ т/ 2__ 1

26. Выразить ()/2— I)5 н ʃ————— в форме

Yτ+l

3 __ 3

А + Ь у 2 + с Yr4,

Где А, Ь, с рациональны. {Умножить числитель и знаменатель второго выра — з—. 3—

Жения на F/4 — F∕2-j — I. J

27. Если з _ з _

α+⅛X2+с К 4 = 0,

Где А, Ь, с рациональны, то A = O, B = 0, с = 0.

3 __

{Пусть Y = f∕^2. Тогда У3 — 2 и

Cy3 + by + а — 0.

Следовательно, 2cy2 + 2by + Ау3 = 0 или

Ay3 -{- 2су + 2Ь = 0.

Умндящя Эти квадратные уравнения на а и с и вычитая одно из другого, получим, ^2 ■ 2bc

Что(ай —2c2)y+a2-2йс=0илиу=——2cr’ Т‘ 6‘ Рациональное числ0,

,что невозможно. Единственная другая возможность заключается в том, что Ab — 2c2 = 0 и а2 — 2bc — 0.

Отсюда ай = 2c2, α4=4⅛2c2. Если ни а, ни B не равны нулю, мы можем разделить второе уравнение на первое, что дает а3 = 2й3. Но это невозможно,

З____________________________________________ а

Так как У 2 не может быть равно рациональному числу. Следовательно,

A≈0 н B~Q, а теперь из основного соотношения следует, что А, Ь и С все равны нулю.

Как следствие мы получаем, что если

A + ⅛pr2 + cφz^4 = rf+β∕r2+/pr4.

То А = d, b ~ е, с = /.

Можно вообще доказать, что если

«о + ⅛Plzm + • • • + Ar, l _ 1 p(m — "!т = 0,

Где Р не есть точная да-ая степень, то a0 = al … = am~l = 0; но это доказательство менее просто.]

3_ 3z-

28. Если А + уВ == C + YrD, то либо A = C и B = D, либо . В и D Суть кубы рациональных чисел.

3 з _ з _

29. Если УА -{- )/£ + j∕rC = 0, то либо одно из чисел А, В, C равно

Нулю, а два остальных равны по величине, но обратны по знаку, либо 3___ 3 3

У А, уВ, у C рациональные кратные одной И Той же иррациональности Fx

30. Найти рациональные числа α, β так, чтобы 7 + 5p’ 2 = ct + β У 2.

31. Если (а — Bi)B>O, то

Рационально. [Каждое из выражений под знаками кубического корня может быть представлено в виде

{∙+≠⅛1I

Где А и β рациональны.]

32. )/jhДоказать, что

G^ ɜ 1 3 3 3

^ S — У 4 = -ɪ- 2 + У20 — У25),

3r-

3 + 2 5 уТ+1

+- ir-

3-2]∕5 ∙∣∕5-1

33. Если α = "∣Zp, то любой полином от А является корнем некоторого уравнения степени П с рациональными коэффициентами.

[Мы можем представить любой полином от а в форме

Х = I1 + M1A + … + TiCtn-1,

Где Ll, M1, … рациональны (см. пример 25).

Аналогично,

X2 =Li + znsα + … + rsαn-1

Xn = Ln + Mna. +——— H τπctn-∙.

Отсюда

Lix + Lix2 + … + Inxn = ʌ, где Δ означает определитель

I Zx Ml … тх j Zs Mi. . . τs

I In nιn ∙ ∙ ∙ rn

A Ll, Li, … — алгебраические дополнения элементов Ll, li, …^n-]

34. Применить предыдущее рассуждение к Xρ + lʌ? н вывести теорему п. 14.

35. Показать, что

У = а + bρ1^i + срг 13

Удовлетворяет уравнению

γ2 3αy2 + Зу (а2 — Ьср) — A2B3PCip2 + Sab ср — 0,

36. Алгебраические числа. Мы видели, что некоторые иррациональные числа (как, например, ]∕^2) являются корнями уравнений вида

β0xn + Aixn~L + … +An = 0,

Где α0, Al, …, ап — целые числа. Такие иррациональные числа называются Алгебраическими; все другие иррациональные числа, такие, как, например, π (см. п. 15), называются Трансцендентными.

37. Если Х и У — алгебраические числа, то таковыми же являются

X-]-Y, х— у и Ху, а также у, если y≠0.

[Требуются некоторые сведения из алгебры. Мы должны воспользоваться следующими теоремами: во-первых, что элементарные симметрические функции S Xr, S Xrxs, … корней уравнения

Xm _ χmL + Piχm-* _ __ ±рт==0 (1)

Равны Pl, ρi, … и, во-вторых, что любой симметрический полином (см. пп. 23 и 31) от Xl, Xi, … с целочисленными коэффициентами является полиномом от Pit Pit ∙ ∙.∙ ɑ целочисленными коэффициентами.

Мы можем записать уравнения, которым удовлетворяют Х и у, в виде (1) и

Ул _ Qiyn~ι _|_ 9syn-a _ … ± Gn = 0> (2)

Где nɪ, ρi, … Н Ql, Qi, … рациональны. Мы предполагаем, что корни (1) и (2) суть X1, Xi, … и Y1, Yi, …, причем X = X1 и У =Y1, и образуем про­изведение

Т п

P(Z)=Jl ∏ (ZXhYk)

A=I A=I

По всем Тп парам значений H и K. Тогда P (Z) является полиномом степени Тп от Z, а его коэффициенты суть симметрические полиномы от x⅛ и y⅛ с целочисленными коэффициентами. Отсюда следует, что эти коэффициенты суть полиномы от P1, ρi, …, Q1, Qi, … С целочисленными коэффициентами, т. е. рациональны. Таким образом, P(Z)=O являете® уравнением степени Тп с рациональными коэффициентами; но х+у является одним из его корней.

Доказательство для х—У и Ху аналогично. Если y≠0, и мы пред­положим (что не ограничивает общности наших рассуждений), что Qn^zQ, то

1

Z = — удовлетворяет уравнению

2Л — Rizn~l -{- r≠~2 — … ± Rn = О,

Где R1 = —— , ri = SjL-i-l…. Следовательно, Z есть алгебраическое число,

А, следовательно, XY = xz—Также алгебраическое число.

В частности, X--k и Kx—Алгебраические числа, если K рационально.]

38. χm + αιχm-ι + ... + α,m=o,Если где β1, α2, …,am алгебраические числа, то х — также алгебраическое число.

[Это может быть доказано аналогично предыдущему. Каждое Ar удовле­творяет уравнению

'pr,lPr, П

С рациональными коэффициентами. Предположим, что корнями этого урав-

нения являются ar ведение

По всем N=n1nt…nm комбинациям индексов Sl, ss,…,sm. Таким образом, мы получаем полином от Х степени MN с рациональными коэф­фициентами.

39. еслиВ частности, Хт/п — алгебраическое число, если само Х — число алге­браическое, a zn и П — целые.]

тоX2- .2xyr2 + УЗ = О,

Xs — 16xβ 4- 58×4 — 48×2 + 9 = 0.

40. Найти уравнения с рациональными коэффициентами, которым удовлетворяют следующие алгебраические числа:

L+lA2 + ∕3,J~±J^l, /∕3+-∣∕^2+√l∕^3-,V2, y’2 + yr3.

41. Если x3 = x + l, то X3N = Anx + Bn + Cnx~L, где

. sn+ι= AN + bn, bn+l = βn + дл + Cn, cn+l = an + сп.

42. Если X3+x5 — 2×4 — x3 + x2+l = 0 и y=x4— х’ + х — 1, то у удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными коэффициентами.

(Экз. 1903 г.)

[Находим, что у2 +у + 1= 0.]

ГЛАВА Il

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *