ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы сначала рассмотрим взаимодействие частиц, а за­тем задачу Кеплера о движении по замкнутой орбите под действи­ем силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Затем обсудим инфинитное движение и рассеяние, после чего сделаем не­которые замечания относительно проблемы трех тел.

2. ДЕЙСТВИЕ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЕ

Если две частицы взаимодействуют друг с другом, то, согласно за­кону о действии и противодействии, силы этого взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению. Частица mɪ действует с силой F12 на RI и частица M∙2 воздействует с силой F21 на mi, так что

F12 + F21 = 0 (1)

А согласно второму закону Ньютона,

Miaɪ + M2A2 = 0, (2)

Где А — Ускорение. Если проинтегрировать это выражение по вре­мени, причем интервал ∆t настолько мал, что силы можно считать постоянными, то получим

Mi Vi + m2v2 = const, (3)

Где константой может быть, например, импульс центра масс сис­темы двух частиц. Таким образом, импульс системы двух частиц сохраняется. Закон сохранения импульса формулируется следую­щим образом: если на систему частиц не действуют внешние силы, то импульс системы остается постоянным. Если все действующие

Между частицами системы внутренние силы подчиняются равенст­ву (1), то в отсутствие внешних сил полный импульс системы оста­ется постоянным во времени.

Если силы Fj2 и F21 не коллинеарны, то массы m1 и m2 при­обретают момент импульса относительно друг друга. Следователь­но, чтобы сохранялся момент импульса, силы, действующие между частицами системы, должны быть не только равны по величине и противоположны по направлению, но и направлены вдоль прямой, соединяющей эти частицы. Такие силы называют центральными. Если все внутренние силы являются центральными, то в отсутствие момента внешних сил полный момент импульса системы тел, как и импульс системы, остается постоянным во времени.

Движущиеся заряды могут действовать друг на друга с силами, которые не только не являются центральными, но и различают­ся по величине и направлению. Заряд gɪ, движущийся с реляти­вистской скоростью, создает электрическое поле Ei, составляющая напряженности которого в направлении, перпендикулярном движе­нию, больше составляющей вдоль направления движения заряда, и кроме того, возникает магнитное поле Bj, силовые линии которо­го представляют собой окружности вокруг траектории движения. Второй движущийся заряд Q2 взаимодействует с электрическим и магнитным полями первого заряда с силой Лоренца Fj2

F12 = Q2(E1 + V2 × Bi), (4а)

А сила действия второго заряда на первый F2ι равна

F2ι = Qi(E2+Vi х БД, (46)

Т. е. в общем случае эти силы различаются и по величине, и по направлению. Ни импульс, ни момент импульса не остаются посто­янными. В гл. 13 будет показано, что в объеме, содержащем заря­ды, токи и электромагнитные поля, скорость изменения импульса при движении заряженных частиц с учетом этих полей равна си­лам, действующим в пределах поверхности, ограничивающей этот объем.

3. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

В механике мы имеем дело с центральными силами, возникающими, например, из закона всемирного тяготения Ньютона. К таким отно-

рис. 2.1. координаты в проблеме двух тел.

сится гравитационное взаимодействие двух масс M1 и R∏2, которое мы запишем в скалярном виде

Mγm,2

f = -g-∣2∙In -Γ2∣

Из формулы (5) видно, что центральная сила F F(∣γ1-γ2∣) = Ffr)

Выражается через скалярный потенциал V, где F

T(∣r, — r2∣) = vw = ⅛⅛

(5)
(6)
(7)
(8)
-vvТ. е. является функцией величины Г вектора г Г = ∣r1 — Γ2∣,

Равного расстоянию между двумя массами (рис. 2.1). На каждую из масс RI действует сила Fj со стороны другой массы RJ и, согласно первому закону Ньютона,

F1(r)=τn2r2, (9а)

F2(r) =mιfι, (96)

Где из (1) следует Fi(г) = — F2(г). Однако векторные уравнения (9) не представляют практического интереса для расчета радиально­го и углового перемещений масс относительно друг друга, так как

Пендикулярной L.

L = г х р.

Заметим также, что

Γ = r’1 τl2,

Так как r’ɪ и Г2 противоположно направлены. Лагранжиан системы имеет следующий вид:

Этого нельзя вывести непосредственно из уравнений (9). Следова­тельно, необходимо использовать иной подход к решению проблемы центральных сил. Положения масс можно описать с помощью век­торов r’ɪ и Г2 относительно центра масс и вектора R, определяющего положение центра масс на рис. 2.1. Поскольку внешние силы отсут­ствуют, а действующие между частицами внутренние силы явля­ются центральными, момент импульса L Остается постоянным, а движение относительно центра масс происходит в плоскости, пер-

(Ю)

(11)

L = j(rnɪ + m2)R2 + jmɪr(2 + ½M2F% — V(∣r’1 — Г21). (12)

Переход от переменных r’ɪ и R‘2 к переменным R и Г Позволяет пе­реписать лагранжиан в более удобной форме

£ = ⅛ι + m2)R2 + I mi, m2 r2-V(r). (13)

2 2 777-1 "Ь ^2

Поскольку координаты центра масс циклические, импульс центра масс системы остается постоянным

R = Vcm = const, (14)

И нас интересуют только относительные координаты.

Так как движение происходит в плоскости, лагранжиан можно переписать в полярных координатах Г, θ

L = ^M(F2 + R2θ2) — V(г), (15)

А гамильтониан имеет вид

W=⅛ + 2⅛+1,W’ <16>

Если угол θ циклическая координата, то канонические импульсы Pr = тг, (17)

Pg = mr2θ = L = const. (18)

Не следует смешивать обозначение через L момента импульса и лагранжиана. Равенство (18), представляющее собой закон сохра­нения скорости R2Dt, является вторым законом Кеплера для движения планет и также устанавливает, что момент импульса со­храняется.

4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ОРБИТЫ

и уравнение лагранжа, и уравнение гамильтона для радиальных координат приводят к следующему уравнению движения:
„2
,тг = f(r),,тг,где радиальная сила /(г),/(г) = -,dv
dr
,уравнение (19) может быть записано в виде d,тг +,dr,у(г) +,pe
2mr2
,и, используя соотношение,dg(r) _ dg(r) dr _ dg(r) . dt dr dt dt r,
его можно представить в форме, удобной для интегрирования
,dt i 2тг,н— у(г) ч—ɪ- dt∖ { * 2mr2,= 0,,(19)
(20)
(21)
(22)
(23)

Где выражение в скобках представляет собой эффективную потен­циальную энергию V1 (рис. 2.2).

l2
2mr2
v' = v +
(24)

Используя замену переменных И = 1/г и выражение Ldt = Mr2, Из уравнения (18) можно вывести уравнение орбиты

d2u
dθ2
+u = -τ2tuv^-
(25)

Система консервативна, следовательно, энергия E является инте­гралом движения

Е = |т?2 + 2^ + У(г) (26)

И это уравнение можно решить относительно Г и после интегрирова­ния получить уравнение движения, т. е. зависимость Г от времени. Орбиты, полученные при решении уравнения (26) в виде зависимо­сти θ от Г, представляют собой траектории движения в простран­стве. В случае гравитационного поля (7), V = —к/г и орбиты пред­ставляют собой конические сечения. Если полная энергия отрица­тельна, то траекторией служит замкнутая кривая, представляющая

Рис. 2.2. Кулоновский (—/с/г), центробежный (L2∕2mr2) и суммарный од­номерный (V(г)) потенциалы для взаимодействия по закону обратных квадратов. Показаны энергии, отвечающие гиперболической (Ei), пара­болической (JS2), эллиптической (Ез), и круговой (Е4) орбитам. (Из кни­ги: H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd Ed., Addison-Wesley, 1980, р 77.)

афелий,рис. 2.3. эллиптическая орбита в полярных координатах (г, 0); показаны перигелий — точка наибольшего сближения (г = rɪ) и афелий —точка наибольшего удаления (г = гг).

(29а)
(296)
(29в)
(30)
(31)
(32)

Собой либо эллипс, либо окружность (рис. 2.3). Для положительных энергий траектория представляет собой гиперболу, а для энергии, равной нулю, траекторией служит парабола, т. е. в обоих случаях орбиты незамкнуты. Имеется минимальное значение энергии, рав­ное βmin = — Mk2∕2L2∙, при меньших энергиях решения не суще­ствует. Орбиты различаются эксцентриситетом е, который зависит от энергии и момента импульса

2EL2

(27)

E — 1 +

Возможны следующие типы траекторий:

E > 1

E > 0 гипербола,

(28а)

E = 1

B = O парабола,

(286)

О < e < 1

В < 0 эллипс,

(28в)

E = О

Тк2

(28г)

E = ——- окружность.

— 2Ju

Эксцентриситет е может

Быть выражен через длины большой

И ма-

Лой полуосей А и Ь соответственно и через кратчайшее расстояние Rl (перигелий) и r2 (афелий) до фокуса:

E 1 а2’

= 1 — (rι∕α),

= (r2∕a) — 1.

Причем длина большой полуоси зависит только от энергии ɑ = I (∏ + r2) = fe∕(-2B).

Эллиптическая орбита в полярных координатах имеет вид _ a(l — е2)

1 + e cos θ

Где Г — расстояние до фокуса, а в декартовых координатах

— + ^ = 1 a2 62 ’

Причем начало координат совпадает с центром эллипса. На рис. 2.3 и 2.4 показаны величины г, θ, A, B, R1, Г2- Окружность является частным случаем эллипса с

А = B = ∏ = r2 и эксцентриситетом е = 0.

рис. 2.4. параметры эллиптической орбиты, рис. 2.3, выражены через эксцентриситет е, большую и малую полуоси, соответственно а и 6.

Выражения, аналогичные случаю эллипса, могут быть написаны и для других конических сечений; для гиперболы

(34)α(e2 — 1) е cos # + 1

У нее имеется расстояние максимального сближения rɑ = a(e — 1), отвечающее углу 0 = 0, рис. 2.5, а угол #о,

Cos #о = l∕e> (33)

Характеризует наклон асимптоты при Г => оо.

5. ОГРАНИЧЕННЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Для многих сил притяжения существуют области энергий, при ко­торых движение является финитным и радиусы траекторий Г огра­ничены rɪ И Г2

Tl ≤ Г < Г2, (36)

Как в случае эллипса. Если частоты радиального и азимутального движений кратны, т. е. их отношение ωrUe представляет собой от­ношение целых чисел, то траектория будет замкнутой, т. е. будет повторять себя или постоянно возвращаться на пройденный путь. На рис. 2.6 показаны случаи ωrωo |, 1 и 2. Задача Кеплера, с силой, обратно пропорциональной квадрату г, является случаем ωrωβ = 1.

Если частоты не кратны, то траектории финитного движения бесчисленное число раз проходят область между п и r2, заполняя кольцо между граничными окружностями, причем траектории ни­когда не совпадают (рис. 2.7, α). На рис. 2.7, Б изображен случай очень малого отличия ωrωo от отношения целых чисел, как, напри­мер, в случае возмущения орбиты планеты. В 1873 г. Бертран по­казал, что только в двух случаях траектории движений замкнуты: когда сила изменяется по закону обратных квадратов и потенциаль­ная энергия V = —к/г, и в случае закона Гука для гармонического движения, когда V = ⅜Kr2. Для других законов зависимости силы от Г движение может быть финитным, но происходит по незамкну­тым траекториям.

Теорема вир нала основана на статистическом усреднении по времени механических характеристик системы. Чтобы-избежать ее

2τ,= τβ ω,=2ωθ
а
ω,=ω0 ωr=ωθ
б в

Рис. 2.6. Замкнутые орбиты в полярных координатах (наверху) И в декар­товых координатах (внизу). Случаи кратных частот: радиальная частота равна удвоенной азимутальной частоте (а), Радиальная и азимутальная частоты равны (б) и азимутальная частота равна удвоенной радиальной частоте (е).

Усложнения, рассмотрим среднюю кинетическую энергию (T) сис­темы частиц

(T) = -1-(∑Fiτl). (37)

Это выражение носит название теоремы вириала, а сумма величин в правой части называется вириалом Клаузиуса. Теорема вириала применима к периодическому движению, но она также может быть использована и в случае непериодического движения при условии, что координаты и скорости остаются конечными, т. е. существует верхняя граница вириала Клаузиуса. Эта теорема, например, может быть использована при выводе закона идеального газа. Для случая степенной зависимости потенциала

У(г) = Arn+1 (38)

(39)Теорема вириала имеет особенно простую форму (Γ) = i(n + l)(V),

Рис. 2.7. Случай некратных частот, когда орбиты заполняют все про­странство между Ti и (а), и случай слабого возмущения, при котором орбита прецессирует (б).

Что сводится к

(n=4η п=_2’ (40а)

(T) = (V) п = +1 (406)

Для случая, когда сила обратно пропорциональна квадрату Г (п = —2), и случая гармонического осциллятора (п = +1).

6. НЕЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ И РАССЕЯНИЕ

Незамкнутые траектории наблюдаются при рассеянии пучка частиц на атомах мишени, например металлической фольги, и регистра­ции их детектором далеко за фольгой. При отсутствии детектора пучок уходит на бесконечность. Кинетическая энергия падающих частиц значительно превышает потенциальную энергию, и траекто­рии представляют собой гиперболы, как и в случае силы, зависящей от Г по закону обратных квадратов. В случае очень низкой кине­тической энергии падающих частиц от источника, находящегося на конечном расстоянии, могут возникать финитные траектории.

Рассмотрим случай пучка, у которого интенсивность частиц, приходящихся на единицу площади поперечного сечения пучка в единицу времени, равна I и который проходит от центра рассея­ния с «прицельным параметром» S (рис. 2.8). «Прицельный пара­метр» S это расстояние максимального сближения при отсут-

Ствии рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс

(Ω)

Отношение числа частиц, рассеиваемых в единицу времени в интервал телесного угла от Ω до Ω + cZΩ, к интенсивности падающего пучка

(41)

Где

DΩ = 27τsin0cftλ

Момент импульса L

L = MvosS(2ME)1^2

(42)

(43)

И мы можем записать

2πlsDs =2πI(~)Smθdθ, (44)

Откуда для дифференциального сечения рассеяния получаем выра­жение

Dσ(θ) _ S ds dθ. sin θ dθ

(45)

Для сил, подчиняющихся закону обратных квадратов, мы получаем знаменитую формулу Резерфорда для сечения рассеяния частиц с зарядом Ze на частицах с зарядом ZE

(θ) 1 dΩ = 4

(46)

Из рис. 2.9 видно, что чем больше прицельный параметр s, тем

Рис. 2.8. Гиперболическая инфинитная траектория (прицельный пара­метр S, угол рассеяния θ}.

Рис. 2.9. Гиперболические траектории с малым (sɪ) и большим (вг) при­цельными параметрами, соответствующие большому (ðɪ) и малому (дг) углам рассеяния.

Меньше угол рассеяния θ. Этот результат эквивалентен решению проблемы одного тела, что соответствует случаю, когда масса рас­сеивающей частицы велика по сравнению с массой рассеиваемой частицы. Центр масс можно считать совпадающим с рассеивающей частицей, которая практически остается неподвижной.

sin θ sθ + р’В более общем случае угол рассеяния Θl в лабораторной систе­ме отсчета связан с углом рассеяния в системе центра масс соот­ношением

(47)Tg6*L =

Где в случае упругого столкновения

Это означает, что для падающих частиц с малой массой mɪ <⅛C M2 (случай Резерфорда) углы рассеяния в обеих системах практиче­ски одинаковы Θjjθ. В противоположном случае, mɪ is> m2, мы имеем Θl θ, так что более тяжелая падающая частица m1 испы­тывает очень малое отклонение, которое практически невозможно измерить на опыте. В случае неупругого столкновения часть кине­тической энергии переходит в тепло Qh Р зависит от величины Q.

7. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

Решение задачи о движении двух тел, взаимодействие между кото­рыми изменяется по закону обратных квадратов, приводит к элли — 2-1168

т,рис. 2.10. векторы ∏, гг и гз, определяют положения масс mɪ, тг и тз, a si, s2 и sɜ определяют их относительные положения. (из книги: d. hestenes, new foundations for classical mechanics, reidel1 dordrecht, 1986, p. 401.)

Птической, параболической или гиперболической траекториям, при­чем в случае эллиптической траектории движение происходит по замкнутой орбите. Если дополнить систему еще одним телом, то возникает проблема трех тел, которая не имеет решения в общем виде. Однако в случае специального взаимного расположения масс уравнения движения настолько упрощаются, что их решения мо­гут быть представлены в элементарных функциях. К тому же если две массы велики, а третья масса — мала, то для решения задачи может быть использован метод возмущений.

Задача трех тел — задача о движении масс mɪ, m2 и m3, поло­жения которых задаются векторами Г2, Г2 и Г3 И которые взаимно притягиваются по закону тяготения Ньютона. Уравнение движе­ния тела с массой mɪ имеет вид

(49)

(рис. 2.10)(50)Аналогичные уравнения можно записать и для двух других масс. Для определения их взаимного расположения введем векторы Sj

Sj — Tj Tk ,

откуда видно, что
sl + s2 + s3 — 0
(51)
т,рис. 2.11. эллиптические орбиты для задачи трех тел эйлера, в которой массы расположены на одной прямой и roɪ : m2 : mɜ = 1:2:3. (из книги: d. hestenes, new foundations for classical mechanics, reidel, dordrecht, 1986, p. 403.)
и уравнения движения принимают симметричную форму
(52)
где т — сумма трех масс
т = ml + m2 + т3,
а вектор g задается выражением
(53)
(54)

Уравнения (52), записанные в симметричной форме, позволяют ре­шить проблему трех тел в некоторых простых случаях.

Например, существует решение для случая, когда масса Т? рас­положена на прямой, соединяющей две другие массы, так что че­тыре вектора sɪ, S2 и sɜ и GКоллинеарны. На рис. 2.11 пред­ставлено решение для отношения масс Тщ : M2 : M3 = 1 : 2 : 3 и отрицательной энергии (эллиптическая траектория).

Решение также может быть получено, если вектор G = O, так что уравнения движения не связаны, и это отвечает случаю, ког­да массы расположены в вершинах правильного треугольника. При движении условие правильности треугольника сохраняется, но из­меняются размеры и ориентация треугольника. На рис. 2.12 пред­ставлены эллиптические траектории, являющиеся решением в слу­чае прежнего соотношения масс M1 : M2 : M3 = 1 : 2 : 3.

В проблеме трех тел могут встречаться различные случаи. Если полная энергия положительна, то все три массы могут удаляться друг от друга, либо одна может удалиться, оставив две другие на

Рис. 2.12. Эллиптические орбиты для задачи трех тел Лагранжа, в ко­торой массы расположены в вершинах равностороннего треугольника и mɪ : m2 : Тпз = 1:2:3. (Из книги: D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Reidel, Dordrecht, 1986, p. 404.)

Финитных эллиптических орбитах. Если энергия отрицательна, од­на масса может удалиться, оставив две другие в связанном состо­янии, или все три массы будут оставаться на финитных орбитах, как показано на рис. 2.11 и 2.12.

Частным случаем проблемы трех тел является задача о свя­занном движении двух масс и возмущении, вызываемом третьим телом. Примерами служат движение космического корабля между Землей и Луной или влияние Солнца на орбиту Луны. В задаче о космическом корабле Земля и Луна в первом приближении движут­ся по невозмущенным орбитам, и спутник взаимодействует с ними по закону обратных квадратов. Мы должны также отметить, что орбиты спутника на высоте 150 км от Земли испытывают возмуще­ние, обусловленное несферической формой Земли.

ГЛАВА3

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *