Рубрика «ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ»

Прямая и плоскость в пространстве

ŋ X~ xO — У ~Уо Z ^ 2O _ I т п Канонические уравнения пря­мой, проходящей через точку Λf0(x0; Уо> ZO) параллельно направ­ляющему вектору А = {/; т; м}; 2) X^*< y~yι _ Z~zι X2 ~ Х1 У2 ~ Vl Z2 — Z1 — уравнение прямой, проходящей через две данные точки Mi(Xi; Yl; Zl) …

Предел функции

Определение 1. Конечное число А называется Пределом функции у = F(X) в точке Х = А, если для любого ɛ > 0 (сколь угодно малого) существует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех Х, удовлетворяющих условию 0 < |х — α∣ < δ, справедливо неравенство: j∕(x) — A∣ < ɛ. Обозначение: …

Геометрические приложения

Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой Если кривая задана параметрически: Х = x(f); У = Y{T); г = Z{T), То касательная прямая в точке X0 (x0; y0; Z0) имеет вид: X — X0 _ У — I∕o __ 2 — 2p Х W y(to) z'(to) ’ Где T0 — значение параметра, соответствующего точке …

Дифференцирование неявных функций

Теорема 7. Пусть функция F(Xl; х2; у) и ее частная про­изводная F‘(X1; х2; у) удовлетворяют следующим условиям: 1) ¾⅛Λ=0; 2) функция F(Xi; х2; у) дифференцируема в окрестнос­ти точки ( х^ ; х® ; У°), а функция F‘(Xi; х2; у) непрерывна в этой окрестности; 3) F’y(x?;x%;y°) ≠0, Тогда в указанной окрестности функция F(Xl; х2; у) = …

Вычисление объемов

Объем произвольного тела Пусть S = S(x) — функ­ция, задающая площадь се­чения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox В точке Х. Объем тела, ограничен­ного плоскостями х = а и х X= Ь, вычисляется по фор­ Муле: Ь R≈∫S(X)Dx. Объем тела вращения Пусть функция У = /(х) не­прерывна и неотрицательна на отрезке [а, Ь], тогда объем тела, …

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Понятие дифференциального уравнения первого порядка Определение 1. Уравнение вида F(X; у; у’) = 0 называ­ется Обыкновенным дифференциальным уравнением пер­вого порядка. Любая функция У = φ(x), обращающая дан­ное уравнение в тождество, называется Решением этого дифференциального уравнения. Основной задачей теории дифференциальных уравне­ний является разыскание всех решений данного дифферен­циального уравнения и изучение …

Производная и дифференциал

Производная функции, заданной явно Определение 1. Пусть функция У = F(X) определена в некоторой окрестности точки х = а, включая и саму эту точку. Если существует конечный предел То он называется Производной функции у = F(X) в точке х = А. Обозначение: Y‘(A); F‘(A); Определение 2. Пусть функция У = F(X) определена в односторонней окрестности …

Парабола

Определение 6. Параболой называется множество то­чек плоскости, равноудаленных от данной точки, называ­емой Фокусом, и данной прямой, называемой Директри­сой. Каноническое уравнение параболы имеет вид Y2 ≈ 2рх, р > 0. Определение 7. ЧислоР называется Параметром пара­болы. Начало координат 0(0; 0) — ее Вершина, а ось Ox — ось симметрии параболы. , О I — Фокус параболы, …

Матрицы

Операции над матрицами Определение 6. Матрицей размера M×N (или (M × п) — матрицей) называется прямоугольная таблица чисел Aij, I= 1, 2, …, т, J = 1, 2, …, п. ^Ml & M2 ••• ^т-п Определение 7. Суммой A + В (M×Ri)- матриц А = (Aij) TiB = (Bij) называется матрица C(Cij) того же порядка, …

Абсолютный экстремум

Теорема 5. Пусть функция У = F(X) дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, тогда она достига­ет своих Наибольшего и наименьшего значений (абсолют­ные экстремумы) или в стационарной точке, или в гра­ничной точке области. Например, если функция двух переменных У = /(x,; х2) определена и дифференцируема в точках плоской облас­ти D, границы которой заданы параметрически: X1 = …